guia teorica vigas
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Mecnica Aplicada IUTEBA
Ing. Jorge A. Zamudio B. 1
VIGA Requisitos para resolver los ejercicios planteados a continuacin:
- Conceptualizar viga (definir vigas con sus propias palabras) - Interpretar apoyo (tipos de apoyos) - Conocer fuerzas internas en vigas. - Definir momento flector - Definir fuerza cortante. - Saber aplicar la grfica de cuerpo libre (DCL)
- Trabajar organizadamente.
- Confiar en tus propios conocimientos.
A continuacin se planteara un ejercicio y su solucin, la ideas es que el
Estudiantado comience a familiarizarle con la metodologa de trabajo para la
solucin de vigas.
GRAFICOS DE FUERZAS INTERNAS EN VIGAS CON CARGAS
CONCENTRADAS
Objetivo:
Con la preparacin y desarrollo de esta clase prctica los alumnos deben saber:
Analizar y construir los grficos de fuerzas internas en vigas sometidas
a cargas concentradas.
Para la construccin de los grficos de fuerzas internas en vigas simplemente
apoyadas debemos tener presente en el anlisis el convenio de signos para las
fuerzas cortante y los momentos flectores y es el siguiente:
Si el anlisis lo comenzamos a hacer de izquierda a derecha, las fuerzas
cortantes se dirigirn hacia abajo y los momentos flectores en sentido
antihorario.
Si el anlisis lo comenzamos a hacer de derecha a izquierda, las fuerzas
cortantes se dirigirn hacia arriba y los momentos flectores en sentido
horario. Esto es lgico, pues as lo establece la tercera Ley de Newton.
Momento Fuerza
cortante
Momento Fuerza
cortante
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Mecnica Aplicada IUTEBA
Ing. Jorge A. Zamudio B. 2
Problema 1 Construya los grficos de fuerza cortante y momento flector de la siguiente viga cargada como se muestra, cuando P = 4 kN.
Solucin:
1. Clculo de las reacciones en los apoyos.
Diagrama de cuerpo libre de la viga.
Ecuaciones de equilibrio.
0MB 08A4P218618 Y
08A44218618 Y
kN 16AY
0FY 0B1818416 Y
kN 16BY
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Comprobacin:
0MA 061821844816
00
Para el anlisis de la viga se debe seccionar la vigas tantas fuerzas
cortantes exteriores tenga ms una y analizar cada seccin, aplicar las
ecuaciones de equilibrio, es decir, graficar el DCL de cada seccin y hallar
la fuerza cortante Q y el momento flector M, para luego con esos datos
construir la grfica de fuerza cortante y momento flector.
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Construccin de los grficos.
Tramo 1 2 x 0 (de izquierda a derecha) Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q16 1
kN 16Q1
0M1 0x16M1
x16M1
Para 0M 0x 1 y para
m-kN 32M 2x 1
Tramo 2 4 x 2 (de izquierda a derecha) Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q1816 2
kN 2Q2
0M2 0x162x18M2
36x2M2
Para m-kN 32M 2x 2 y para
m-kN 28M 4x 2
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Mecnica Aplicada IUTEBA
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Tramo 3 6 x 4 (de izquierda a derecha) Diagrama de cuerpo libre Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q18416 3
kN 2Q3
0M3 04x4x162x18M3
20x2M3
Para m-kN 28M 4x 3 y para
m-kN 32M 6x 3
Tramo 4 2 x 0 (Anlisis de derecha a izquierda) Diagrama de cuerpo libre Ecuaciones de equilibrio
0FY 016Q3
kN 16Q3
0M4 0Mx16 4
x16M4
Para 0M 0x 1 y para
m-kN 32M 2x 1
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El grfico de fuerzas internas quedara de la siguiente forma:
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Problema # 2
Hacer los diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga y cargas indicadas.
Solucin:
1. Clculo de las reacciones en los apoyos.
Diagrama de cuerpo libre de la viga.
Ecuaciones de equilibrio.
0MB 08.4A6.1184.2206.316 Y
kN 28AY
0MA 02.3184.2202.1168.4BY
kN 26BY Comprobacin:
0FY 02618201628
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Construccin de los grficos.
Tramo 1 21. x 0 Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q28 1
kN 28Q1
0M1 0x28M1
x28M1
Para 0M 0x 1 y para
m-kN 6.33M 2.1x 1
Tramo 2 42. x 2.1 Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q1628 2
kN 12Q2
0M2 0x282.1x16M2
2.19x12M2
Para m-kN 6.33M 2.1x 2 y para
m-kN 48M 4.2x 2
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Tramo 4 1.6 x 0 (Anlisis de derecha a izquierda) Diagrama de cuerpo libre Ecuaciones de equilibrio
0FY 026Q4
kN 26Q4
0M4 0Mx26 4
x26M4
Para 0M 0x 4 y para
m-kN 6.41M 6.1x 4
Tramo 3 4.2 x 6.1 Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q1826 3
kN 8Q3
0M3 0x266.1x18M3
8.28x8M3
Para m-kN 6.41M 6.1x 3 y para
m-kN 48M 4.2x 3
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El grfico quedara de la siguiente forma:
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GRAFICOS DE FUERZAS INTERNAS EN VIGAS CON CARGAS
DISTRIBUIDAS
Problema # 1
Construya los grficos de fuerza cortante y momento flector de siguiente viga cargada.
Solucin:
1. Clculo de las reacciones en los apoyos.
Diagrama de cuerpo libre de la viga.
Ecuaciones de equilibrio.
0MA
08836210BY
kN 10BY
0MB
02876210AY
kN 10AY
0Fy (Comprobacin).
08621010 00
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2. Construccin de los grficos.
Tramo 1 6 x 0 Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0x2QA 1Y
10x2Q1
Para kN 10Q 0x 1 y para
kN 2Q 6x 1
Como la ecuacin de Q corta al eje, la curva de momento tendr un mximo. Luego:
010x2
m 5x
0M1
0x2
2x10M 21
x10xM 21
Para 0M 0x 1 y para
m-kN 25M 5x mx
m-kN 24M6x 2
Tramo 3 2 x 0 (Anlisis de derecha a izquierda) Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q10 3 kN 10Q3
0M3 0x10M3 , x10M3
Para 0M 0x 3 y para
m-kN 20M 2x 2
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Tramo 2 4 x 2 (Anlisis de derecha a izquierda) Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q810 3
kN 6Q3
0M2 02x8x10M2
16x2M2
Para m-kN 20 M 2x 2 y para
m-kN 24 M 4x 2
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El grfico quedara as:
Problema # 2.
Construir los grficos de fuerzas internas de la viga empotrada
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Solucin: Si comenzamos el anlisis a partir de C hacia la izquierda, no es necesario calcular,
previamente, las reacciones en los apoyos.
2. Construccin de los grficos.
Tramo 1 (CB) 2.5 x 0 Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q4 1
kN 4Q1
0M1 0x4M1
x4M1
Para 0M 0x 1 y para
m-kN 10M 5.2x 1
Tramo 2 (BA) 4.5 x 5.2 Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q5.2x224 2
65.2x2Q2 Para kN 6 Q 5.2x 2 y para
kN 10 Q 5.4x 2
0M2
0x45.2x25.2x2
2M
2
2
05x65.2xM 22
Para m-kN 10M 5.2x 2 y para
m-kN 26 M 5.4x 2
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El grfico quedara as:
Por tanto las reacciones en los apoyos sera:
kN 10AY
oantihorari sentido En m-kN 26MA
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Problema # 3.
Construir los grficos de fuerzas internas de la viga empotrada.
Solucin:
1. Clculo de las reacciones en los apoyos.
Diagrama de cuerpo libre de la viga.
Ecuaciones de equilibrio.
0MD
05B1151365.0 Y
kN 3BY
0MB
05D265.041 Y
kN 2DY
0Fy (Comprobacin).
01165.023 00
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2. Construccin de los grficos.
Tramo 1 (AB) 1 x 0 Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0x5.0Q1
x5.0Q1
Para 0Q 0x 1 y para
kN 5.0Q 5.0x 1
0M1
0x2
5.0M 21
2
1 x25.0M
Para 0M 0x 1 y para
m-kN 25.0M 1x 1
Tramo 2 (BC) 5 x 1 Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0Q1x5.031 2
5.11x5.0Q2 Para kN 5.1Q 1x 2 y para
kN 5.0Q 5x 2
Como la ecuacin de Q corta al eje X, se producir en ese punto un mximo de la ecuacin de momento flector. Ese punto se obtiene:
05.11x5.0
m 4x
0M2
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01x25.0x5.01x25.0M 22
75.1x5.11x25.0M 22
Para m-kN 25.0M 1x 2 , para
m-kN 2.M 4x 2 (Mximo) y para
m-kN 75.1M 5x 2
Tramo 3 (DC) 1 x 0 (De derecha a izquierda) Diagrama de cuerpo libre
Ecuaciones de equilibrio
0FY 0x5.02Q3
2x5.0Q3
Para kN 2Q 0x 3 y para
kN 5.1Q 1x 3
0M3 0x25.0x2M
2
3
x2x25.0M2
3
Para 0M ox 3 y para
m-kN 75.1M 1x 3
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El grfico quedara de la siguiente forma.
Conclusiones.
Para la construccin de los grficos de fuerzas internas en vigas hay que tener presente el
convenio establecido, es decir:
Si el anlisis de los tramos se realiza de izquierda a derecha, las fuerzas cortantes se
sitan hacia abajo y los momentos flectores en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Por el contrario, si el anlisis se hace de derecha a izquierda se invierten los sentidos,
pues se cumple la 3era Ley de Newton.
Hay que tener presente que en la seccin donde exista una fuerza concentrada habr, en
el grfico de fuerza cortante, un salto equivalente al valor de dicha fuerza.
En el clculo de las reacciones en los apoyos hay que estar seguro de la veracidad del
clculo, pues si se comenten errores en dicho clculo, los grficos no sern continuos, o
sea ocurrirn saltos donde no los hay realmente o viceversa. Es por ello que es muy
importante comprobar el clculo de las reacciones con la tercera ecuacin disponible.
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Ejercicios prcticos de Mecnica Aplicada
VIGAS
P. 3.1. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 1 kN, P2 = 3 kN y q = 2 kN/m
P. 3.2. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 6 kN, P2 = 12 kN y q = 3 kN/m
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Mecnica Aplicada IUTEBA
Ing. Jorge A. Zamudio B. 22
P. 3.3. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 10 kN, P2 = 5 kN y q = 4 kN/m
P. 3.4. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 10 kN, P2 = 5 kN y q = 4 kN/m
P. 3.5. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 10 kN, P2 = 5 kN y q = 12 kN/m
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Mecnica Aplicada IUTEBA
Ing. Jorge A. Zamudio B. 23
3.1. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 2 kN, P2 = 9 kN y q = 4 kN/m
3.2. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 3 kN, P2 = 8 kN y q = 6 kN/m
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Mecnica Aplicada IUTEBA
Ing. Jorge A. Zamudio B. 24
3.3. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 12 kN, P2 = 8 kN y q = 8 kN/m
3.4. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 12 kN, P2 = 8 kN y q = 8 kN/m
3.5. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 12 kN, P2 = 8 kN y q = 10 kN/m
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