equações do 2º grau uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na...
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Equações do 2º grauEquações do 2º grauEquações do 2º grauEquações do 2º grau
Uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na forma
com a, b e c IR e
02 cbxax
0a
Dizemos que uma equação do 2º grau está na forma canónica se está escrita na forma
com a, b e c IR e
02 cbxax
0a
Observa que:
a representa o coeficiente de x²;b representa o coeficiente de x;c representa o termo independente.
Exemplos:
x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0.
x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.
02 cbxax
Exemplos
352 2 xx
1223 2xxx
1223 22 xxx
É uma equação
do 2º grau
01232 22 xxx
0332 xx
0352 2 xx
Exemplo
22
2
251
2
43x
xxxx
222
2
1051
2
43x
xxxx
222 2105243 xxxxx
02104253 222 xxxxx
026 x
1(×2) 1(×2)
É uma equação do 1º grau
Exemplos de equações do 2º grau:
•
•
•
0342 2 xx
054 2 xx
0362 x
a=2, b=4 e c=3
a=4, b= -5 e c=0
a=1, b=0 e c= -36
Equação do 2º grau completa
Equações do 2º grau incompletas
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero.
Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)
x² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3. -2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4.
Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)
3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2. x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.
Resolução de equações do 2º grau incompletas
(Revisões do 8º ano)
Problema 1: Determina o perímetro de um triângulo rectângulo de catetos 6 cm e 8 cm.
Resolução:1º) Desenhar o triângulo rectângulo e equacionar o problema. x
6
8
222 86 x
1010
100100
100
6436
86
2
2
222
xx
xx
x
x
x
2º) Resolver a equação do 2º grau incompleta
3º) Verificar se a ou as soluções da equação
são ou não solução do problema.
4º) Dar resposta ao problema
R: O perímetro do triângulo é 10cm + 6cm + 8cm = 24cm
-10 não é solução do problema
Resolução de equações do 2º grau incompletas
(Revisões do 8º ano)
Problema 2: Resolve a seguinte equação, aplicando a Lei do Anulamento do Produto:
042 xxRecorda:
Lei do Anulamento do Produto – Um produto é zero se e só se um dos seus factores for nulo, isto é,
000 baba
Resolução:1º) Factorizar o 1º
membro;
2º) Aplicar a Lei do Anulamento do Produto;
3º) Resolver cada uma das equações do 1º grau e determinar o conjunto-solução
042 xx
04xx
040 xx
40 xx
40,.. SC
Observação:
Para resolver equações do 2º grau
incompletas, aplicando a lei do anulamento
do produto, é necessário que o 2º membro
da equação seja 0 (zero) e que o 1º
membro da equação seja um produto.
Para isso, deves rever a factorização de
polinómios que aprendeste no 8º ano e
recordar os Casos Notáveis da Multiplicação.
Por aplicação dos casos notáveis da multiplicação é possível resolver equações de 2.º grau completas, transformando-as num produto de equações de 1.º grau e aplicar a Lei do Anulamento do produto.
Repara no seguinte exemplo:
(x + 4)(x + 4) = 0 01682 xx
02 cbxax
02
a
cx
a
bx
2
2
a
b
222
22 a
b
a
c
a
bx
a
bx
a
c
a
b
a
bx
a
bx
2
222
42
a
c
a
b
a
bx
2
22
42
Dividir ambos os membros da equação por a ≠ 0
Adicionar a ambos os membros da equação
Passar para o 2º membro o termoa
c
Factorizar o 1º membro da equação, usando os casos notáveis da multiplicação
2
2
4
4
2 a
acb
a
bx
2
2
4
4
2 a
acb
a
bx
a
acbbx
2
42
a
c
a
b
a
bx
2
22
42
Fórmula ResolventeFórmula Resolvente
Reduzimos o 2º membro ao mesmo denominador e escrevemos na forma de uma única fracção
2
22
4
4
2 a
acb
a
bx
Retiramos o quadrado do 1º membro com a noção de raiz quadrada
Isolamos a incógnita x e calculamos a raiz do denominador
Para resolver uma equação do 2º grau, basta aplicar a fórmula resolvente, isto é:
com a , b e c IR e a ≠ 0
02 cbxaxa
acbbx
2
42
Vejamos um exercício prático:• Exercício 1:
020142 2 xx
22
20241414 2
x
Aplicando a F.R.
4
16019614 x
4
3614x
4
614
4
614
4
614xxx
254
8
4
20 xxxx
5,2.. SC
Δ > O Δ = O Δ < O
O valor de √Δ é real e a
equação tem duas raízes
reais diferentes, assim
representadas:
O valor de √Δ é nulo e a
equação tem duas raízes
reais e iguais, assim
representadas:
O valor de √Δnão existe em
IR, não existindo,
portanto, raízes reais.
x’ = - b + √Δ 2a
x” = - b - √Δ 2a
x’ = x” = -b 2a
As raízes da equação não são números
reais.
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