equações de 2º grau
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Este arquivo é para quem gosta de se aprofundar em fuções do 2° grau..TRANSCRIPT
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Equações de 2º grauDefinições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:
ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplo:
x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.
6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.
7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente.
Equação completas e Incompletas Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas. Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:
x² - 36 = 0(b = 0)
x² - 10x = 0(c = 0)
4x² = 0(b = c = 0)
Raízes de uma equação do 2º grau Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:
Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação
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x² - x - 2 = 0 ?
Solução Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.
Para x = -1(-1)² - (-1) - 2 = 0
1 + 1 - 2 = 00 = 0
(V)
Para x = 00² - 0 - 2 = 00 - 0 -2 = 0
-2 = 0(F)
Para x = 11² - 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0
-2 = 0(F)
Para x = 22² - 2 - 2 = 04 - 2 - 2 = 0
0 = 0(V)
Logo, -1 e 2 são raízes da equação.
Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.
SoluçãoSubstituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.
Logo, o valor de p é .
Resolução de equações incompletas Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
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Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais: 1ª Propriedade:
2ª Propriedade: 1º Caso: Equação do tipo . Exemplo:
Determine as raízes da equação , sendo .
SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:
Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim: Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade: De modo geral, a equação do tipo tem para
soluções e . 2º Caso: Equação do tipo Exemplos:
Determine as raízes da equação , sendo U = IR. Solução
De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes
reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.
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Resolução de equações completas Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara. A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.
2º passo: passar 4ac par o 2º membro.
3º passo: adicionar aos dois membros.
4º passo: fatorar o 1º elemento.
5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.
6º passo: passar b para o 2º membro.
7º passo: dividir os dois membros por .
Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
Exemplos:
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resolução a equação: Temos
Discriminante Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).
Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:
De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:1º Caso: O discriminante é positivo . O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:
Exemplo: Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite
raízes reais e desiguais?
Solução
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Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter
Logo, os valores de k devem ser menores que 3.2º Caso: O discriminante é nulo O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:
Exemplo:
Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. Solução
Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .
Logo, o valor de p é 3.
3º Caso: O discriminante é negativo .
O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.
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Exemplo: Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite
nenhuma raiz real?
SoluçãoPara que a equação não tenha raiz real devemos ter
Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.
Resumindo Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para , a equação tem duas raízes reais diferentes. Para , a equação tem duas raízes reais iguais. Para , a equação não tem raízes reais.
EQUAÇÕES LITERAISAs equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.Exemplos: ax2+ bx + c = 0 incógnita: x parâmetro: a, b, c ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x parâmetro: a Equações literais incompletas A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas. Observe os exemplos:
Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.
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Solução 3x2 - 12m2 = 0 3x2 = 12m2
x2 = 4m2
x=Logo, temos:
Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com m 0, sendo y a variável.
Solução my2 - 2aby = 0 y(my - 2ab)=0Temos, portanto, duas soluções: y=0 ou
my - 2ab = 0 my = 2ab y= Assim:
Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido: my2 - 2aby= 0 my2 = 2aby my = 2ab
Desta maneira, obteríamos apenas a solução .O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.
Equações literais completasAs equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:Exemplo:
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Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a variável. Solução Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2
Portanto:
Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.
RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.
Logo:
Observe as seguintes relações:
Som−b±√b2−4 ac2a
a das raízes (S)
Produto das raízes (P)
Como ,temos:
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Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.
Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.
SoluçãoNesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.
A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a
Assim: Assim:
Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.
SoluçãoNesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2. S= x1 + x2 = 7
Logo, o valor de k é -2.
Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes seja igual a -2.
SoluçãoNesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m. P= x1. x2= -2
Logo, o valor de m é . Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1 = 0, para
que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a 8.
SoluçãoConsidere x1 e x2 as raízes da equação.
A soma dos inversos das raízes corresponde a .Assim:
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Logo, o valor de k é -8.
Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2 = 0 admita:
a) raízes simétricas;b) raízes inversas. SoluçãoSe as raízes são simétricas, então S=0.
Se as raízes são inversas, então P=1.
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a , obtemos:
Como , podemos escrever a equação desta maneira.
x2 - Sx + P= 0
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Exemplos: Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
SoluçãoA soma das raízes corresponde a:
S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5O produto das raízes corresponde a:
P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais,
sabendo-se que uma das raízes é .SoluçãoSe uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma
raiz , a outra raíz será .
Assim:
Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada. FORMA FATORADA Considere a equação ax2 + bx + c = 0. Colocando a em evidência, obtemos:
Então, podemos escrever:
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Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:a.(x - x') . (x - x'') = 0
Exemplos:
Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.SoluçãoCalculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:
(x-2).(x-3) = 0 Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.
SoluçãoCalculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:
2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0
Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.SoluçãoComo o , a equação não possui raízes reais.Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.
EQUAÇÕES BIQUADRADAS Observe as equações:
x4 - 13x2 + 36 = 09x4 - 13x2 + 4 = 0
x4 - 5x2 + 6 = 0
Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.Denominamos essas equações de equações biquadradas.Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:
ax4 + bx2 + c = 0
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Exemplos:x4 - 5x2 + 4 = 0
x4 - 8x2 = 03x4 - 27 = 0
Cuidado! x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau. Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.
Seqüência prática Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao
quadrado) e x2 por y. Resolva a equação ay2 + by + c = 0 Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da
equação ay2 + by + c = 0.
Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.Exemplos:
Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.SoluçãoSubstituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 - 13y + 36 = 0Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=4 e y''=9Como x2= y, temos:
Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.
Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.Solução
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Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 + 4y - 60 = 0Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=6 e y''= -10Como x2= y, temos:
Logo, temos para o conjunto verdade: .
Determine a soma das raízes da equação .
SoluçãoUtilizamos o seguinte artifício:
Assim: y2 - 3y = -2 y2 - 3y + 2 = 0 y'=1 e y''=2Substituindo y, determinamos:
Logo, a soma das raízes é dada por:
Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.
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Para isso, substituimos xn por y, obtendo: ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.
Exemplo: resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.
SoluçãoFazendo x3=y, temos: y2 + 117y - 1.000 = 0Resolvendo a equação, obtemos: y'= 8 e y''= - 125Então:
Logo, V= {-5, 2 }.
Composição da equação biquadrada Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:
(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0
Exemplo: Compor a equação biquadrada cujas raízes são:
Soluçãoa) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0 x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0 x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0 PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''. De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:
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Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades: 1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da
equação biquadrada é igual a - .
3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da
equação biquadrada é igual a .
EQUAÇÕES IRRACIONAISConsidere as seguintes equações:
Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.Ou seja:
Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL
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A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente. Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade). É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.
Solução
Logo, V= {58}.
Solução
Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
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Solução
Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
Solução
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Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU Observe o seguinte problema: Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:8x + 4y = 642x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192
Simplificando, obtemos:2x + y = 16 1x2 +xy = 48 2 Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:Assim: 2x + y = 16 1 y = 16 - 2xSubstituindo y em 2 , temos: x2 + x ( 16 - 2x) = 48 x 2 + 16x - 2x2 = 48 - x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. x2 - 16x + 48 = 0x'=4 e x''=12Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:y'=16 - 2 . 4 = 8
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y''=16 - 2 . 12 = - 8 As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra: Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m Largura =2x = 2. 4 = 8mVerifique agora a solução deste outro sistema:
Isolando y em 1 y - 3x = -1 y = 3x - 1Substituindo em 2 x2 - 2x(3x - 1) = -3 x2 - 6x2 + 2x = -3 -5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. 5x2 - 2x - 3 = 0
x'=1 e x''=-Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .
Logo, temos para conjunto verdade:
PROBLEMAS DO 2º GRAU Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:Sequência prática
Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
Resolva a equação ou o sistema de equações. Interprete as raízes encontradas, verificando se são
compatíveis com os dados do problema.
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Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:
Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma
de seus inversos seja .
SoluçãoRepresentamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os
seus inversos serão representados por .
Temos estão a equação: .Resolvendo-a:
Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
SoluçãoRepresentamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.Observe:
Número: 10x + y
Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.
Temos, então, o sistema de equações:
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Resolvendo o sistema, temos:
Isolando y em 1 : -x + y = 3 y= x + 3Substituindo y em 2:xy = 18x ( x + 3) = 18x2 + 3x = 18x2 + 3x - 18 = 0x'= 3 e x''= -6Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y'= 3 + 3 = 6 y''= -6 + 3 = -3Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número36 ( x=3 e y=6).Resposta: O número procurado é 36.
Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.
SoluçãoConsideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:
Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação correspondente:
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Resolvendo-a, temos: 6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 ) 6x + 30 + 6x = x2 + 5x x2 - 7x - 30 = 0 x'= - 3 e x''=10Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.
Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?
SoluçãoPodemos representar por:
Resolvendo-a:
Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.
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Na página onde foi tratado o tema Relações entre Coeficientes e Raízes em Equações do 2° Grau, foi comentado que as relações de Albert Girard, em alguns casos, nos permitem obter mentalmente as raízes de uma equação do segundo grau, mas como assim? Vamos estudar o tema, através da utilização de alguns exemplos.Observe a seguinte equação:x2 - 5x + 6 = 0Agora me diga: Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?É muito provável que mentalmente você tenha identificado rapidamente que os dois números procurados são 2 e 3, pois 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6.Mas de onde surgiu a questão "Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em6?"?Segundo Girard, vimos que x2 - Sx + P = 0, onde S representa a soma das raízes da equação e P representa oproduto destas raízes.Neste nosso exemplo S está sendo representado pelo coeficiente 5, assim como P está sendo representado pelo coeficiente 6, por isto me referi a 5 como sendo a soma das raízes e a 6, como sendo o seu produto.Para conferência, vamos aos cálculos pelo método tradicional:
Como não poderia deixar de ser, as raízes encontradas são exatamente 2 e 3.Vamos a outros exemplos para que você tenha uma melhor compreensão do assunto e elimine qualquer possível dúvida.
Exemplos de Identificação Mental das Raízes de uma Equação do 2° grau
Encontre as raízes da equação do segundo grau x2 - 6x + 5 = 0.Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 6 e cujo produto é igual 5?".Sem qualquer esforço podemos chegar a 1 e 5. Conferindo através da fórmula temos:
Portanto 1 e 5 são as raízes da equação x2 - 6x + 5 = 0.
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Encontre as raízes da equação do segundo grau x2 + 2x - 8 = 0.Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a -2 e cujo produto é igual -8?".Neste caso, com um pouquinho mais de esforço, já que há o envolvimento de números negativos, chegamos a -4 e 2, pois -4 + 2 = -2 e -4 . 2 = -8. Conferindo via fórmula:
Portanto -4 e 2 são as raízes da equação x2 + 2x - 8 = 0.
Encontre as raízes da equação do segundo grau 4x2 - 12x + 8 = 0.Neste outro exemplo temos uma situação um pouco diferente. Note que nos casos anteriores, o coeficiente a era sempre igual a 1, o que simplificava a utilização deste artifício, mas neste caso ele é igual a 4.Segundo Girard a soma das raízes é dada por:
E o produto é dado por:
Assim sendo, para S temos:
E para P temos:
Podemos então nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 3 e cujo produto é igual 2?".Facilmente chegamos a 1 e 2, pois 1 + 2 = 3 e 1 . 2 = 2. Conferindo via fórmula:
Portanto 1 e 2 são as raízes da equação 4x2 - 12x + 8 = 0.
Quais as raízes da equação x2 + 4x + 12 = 0.Para finalizar este tema, vamos resolver este último exemplo.Veja que por mais que você se esforce em descobrir quais são os números que somados totalizam -4 e que multiplicados dão 12, jamais conseguirá encontrá-los dentre os números reais, simplesmente porque eles não existem. Sabe por quê?Calculemos então o discriminante da equação:
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Como Δ = -32, isto é, como o discriminante da equação é negativo, a mesma não possui raízes reais.
Portanto a equação x2 + 4x + 12 = 0 não possui raízes reais.
Como pudemos perceber, dependendo de nossas habilidades com os números, este é um recurso que podemos utilizar, sempre que possível, nos casos onde facilmente encontramos as raízes, só de "bater os olhos" na equação. Em outros casos é melhor procurarmos um outro método mais adequado.Com um pouco de treino, este é um recurso que pode nos ajudar bastante na busca pelas raízes de equações do segundo grau.