kinematyka · 2015. 5. 11. · kinematyka z greckiego „kineo” – „poruszam” kinematyka...

Kinematyka

Kinematyka

Z greckiego „kineo” – „poruszam”

Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględnienia ich masy

oraz bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowałyoraz bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały

Punkt materialny – ciało obdarzone mas ą, lecz nie maj ące obj ętości, a wi ęc takie,które nie mo Ŝe się obraca ć

Rzeczywiste ciała będące w ruchu mogą się obracać lub wykonywać drgania

Układ odniesienia

Zespół ciał traktowanych jako nieruchome, względem których zachodzi

obserwacja zachowań innych ciał

Ciała wokół nas w ciągłym ruchu

Przykłady układów odniesieniaobserwacja zachowań innych ciał Przykłady układów odniesienia

RUCH WZGLĘDNY I RUCH BEZWZGLĘDNY

Ruch – zmiana połoŜenia ciała materialnego względem układu odniesienia

Ruch i spoczynek – poj ęcia wzgl ędne

Tor ruchu

Linia jak ą zakreśla poruszaj ące si ę ciało (np. smuga - samolot)

Podział ruchu

PołoŜenie i przemieszczenie ciała

Poło Ŝenie ciała (współrz ędną punktu), w jakim si ę to ciało znajduje, wyznaczamy względem pewnego punktu odniesienia – pocz ątku układu odniesienia

Kierunek dodatni

xxx −=∆

-3 -2 10-1 2 3

początek osi

Kierunek ujemny

12 xxx −=∆

Przemieszczenie – warto ść wektorowa(warto ść bezwzgl ędna + kierunek)

Prędkość średnia

12

12

tt

xx

t

xvśr −

−=∆∆=

12 ttt −∆

221 vv

vśr

+=

Przykład

stmx

stmx

0.5180

0.120

22

11

====

s

mvsr 50=

stmx

stmx

2520

0.16180

22

11

====

s

mvsr 8.17−=

Prędkość chwilowa

dt

dx

t

xv

t

=∆∆=

→∆lim

0 dttt ∆→∆ 0

Przykład

Przyspieszenie

Przyspieszenie – stosunek przyrostu pr ędkości do czasu w którym ten przyrost nast ąpił

Szybko ść zmiany pr ędkości cz ąstki w danej chwili

t

v

tt

vvasr ∆

∆=−−=

12

12

2

2

0

)()(lim

dt

txd

dt

tdv

t

va

t==

∆∆=

→∆

Przykład

Poło Ŝenie cząstki na osi x od czasu dane jest równaniem

3274 ttx +⋅−=Znajdź funkcje, opisujące zaleŜność prędkości oraz przyspieszenia od czasu

t wyraŜony jest w sx wyraŜone jest w m

Prędkość wypadkowa

Prędkość wypadkowa- suma wektorowa wszystkich prędkości z jakimi równocześnieporusza się ciało

21 vvvwyp

rrr += Prędkość wypadkowa ciała poruszającegosię z prędkościami v1 i v2

21 vvvwyp −=21 vvvwyp +=r2

21

2 vvvwyp +=

Prędkość względna

Jaś Staś Jaś Staś

Wartość prędkości mierzona przez ciało (obserwatora) który jest ró wnie Ŝ w ruchu

smvvvwzg 421 =−= smvvvwzg 2021 =+=

Wektor przyspieszenia

pokazuje o ile wydłuŜy się (lub skróci) wektor prędkości po jednej sekundzie

Spadek swobodny

Spadek swobodny to ruch ciała pod wpływem siły cięŜkości.

Zakładamy, Ŝe pole grawitacyjne jest jednorodne - w kaŜdym punkcie takie samo - ten sam kierunek, ten sam zwrot i taka sama wartość

2

2tgH

⋅=

Przyspieszenie ciała spadającego swobodnie jest stałe i wynosi

g = 9.81 m/s2

Poło Ŝenie ciała w dowolnej chwili czasu

Przemieszczenie i połoŜenie

w trzech wymiarach

Wektor poło Ŝenia

kzjyixr ˆˆˆ ++=Przemieszczenie

12 rrr −=∆

Przemieszczenie

Przykład

kmjmimr

kmjmimr

ˆ)8(ˆ)2(ˆ)9(

ˆ)5(ˆ)2(ˆ)3(

2

1

++=

++−=???=∆r

Prędkość średnia i prędkość chwilowa

JeŜeli w przedziale czasu ∆∆∆∆t cząstka doznała przemieszczenia ∆∆∆∆r to pr ędkość średnia jest równa

t

rvśr ∆

∆=r

Prędko ść średnia

tvśr ∆

=

kvjvivdt

rdv zyx

ˆˆˆ ++==r

r

Prędko ść chwilowa

Przyspieszenie średnie i chwilowe

JeŜeli w przedziale czasu ∆∆∆∆t pr ędkość cząstki zmienia si ę z v1 do v 2 , to jej przyspieszenie średniew tym przedziale

t

v

t

vvaśr ∆

∆=∆−=

rrr12

Przyspieszenie średnie

ttaśr ∆

=∆

=

kajaiadt

vda zyx

ˆˆˆ ++==r

rPrzyspieszenie chwilowe

Rzut pionowy w górę

g

vH

2

20

max =g

vtk

02=

Maksymalna wysokość rzutu

Czas trwania rzutu

−=

−=

gtvv

gttvy

y 0

2

0 2

[ ]00 ,0 vv =r

[ ]ga −= ,0r

[ ]yvv ,0=r

Rzut pionowy w dół

g

v

g

H

g

vtk

02

20 2 −+=

Czas trwania rzutu

[ ]00 ,0 vv −=r

−−=

−−=

gtvv

gttvHy

y 0

2

0 2

[ ]ga −= ,0r

[ ]yvv ,0=r

gHvvk 220 +=Wartość prędkości

końcowej

Rzut poziomy

−=+=

==

22

2200

gtH

taHy

tvtvx

y

x

==

=

g

HvtvOA

g

Ht

k

k

2

2

00

gHvvk 220 +=

Rzut ukośny

Cząstka porusza się w płaszczyźnie pionowej z pewną prędkością v0 oraz przyspieszeniem g, skierowanym zawsze w dół.

oy

ox

oyox

vv

vv

jvivv

Θ=Θ=

+=

sin

cos

00

00

0

Rzut ukośny – ruch w poziomie

Ruch w kierunku poziomym – bez przyspieszenia

x

vv

tvxx 00

=+=

xx vv 0=

Składowa pozioma prędkości pocisku nie ulega zmianie

Rzut ukośny – Ruch w pionie

Ruch ciała w pionie = ruch ciała w rzucie pionowym

Przyspieszenie jest stałe

gtvv

gttvyy

y

y

−Θ=

−+=

000

200

sin2

1

Czas trwania ruchu

200 2

1gttvyy y −+=

g

vt oy2

=

0=y

Równanie toru

tvxx x00 += 200 2

1gttvyy y −+=

( )200

2

0cos2

)(Θ

−Θ=v

gxxtgy

równanie parabolibxaxy += 2

Zasięg rzutu

Zasięgiem poziomym nazywamy odległość jaka przebyło ciało w poziomiedo chwili powrotu na wysokość początkową

tvxx x00 +=

tvxxR )cos( 000 Θ=−=2

0 2

10 gttv y −=

0

20 2sin Θ=g

vR

Rzut ukośny

( )200

2

0cos2

)(Θ

−Θ=v

gxxtgy

5.3 m nad pierwszym diabelskim młynem

v0=26.5 m/s

Ruch po okręgu

Ruch cząstki nazywamy ruchem po okręgu, jeśli porusza się ona po okręgu lub Kołowym ruchu z prędkością o stałej wartości bezwzględnej.

Wektor przyspieszenia skierowany wzdłuŜ promieniaokręgu ,ku jego środkowi okręgu ,ku jego środkowi

r

va

2

=

Przyspieszenie do środkowe

Okres

v

rT

π2=

Ruch ciała po okręgu

0→∆∆= tgdzie

t

αωR

v=ω

Prędko ść kątowa

0→∆

∆= tgdziet

ϖεR

as=ε

Przyspieszenie k ątowe