ЕГЭ по математике задания В3

Решение заданий Решение заданий

В3 В3 (площади многоугольников)(площади многоугольников)

по материалам открытого банка по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 годазадач ЕГЭ по математике 2014 года

Теорема ПикаПусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика:

S = L + B/2 – 1

Пример 1. Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

1см

Теорема Пика

Пример 2. L = 18 (красные точки), B = 10 (синие точки), поэтомуS = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.

1см

Площадь прямоугольного треугольника

Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь.

Тогда справедливы формулы:

21

S = ab

a

b

21

S = ch

c

h

Площадь произвольного треугольника

Пусть а − сторона треугольника, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

21

S = aha

a

ha

a

ha

Площадь параллелограмма

Пусть а − сторона параллелограмма, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

S = aha

a

ha

haa

Площадь трапеции

Пусть а и b − основания трапеции, h – высота, S − площадь трапеции.

Тогда справедлива формула:

b

h

2a + b

S = h

a

b

h

a

Площадь четырехугольника

Пусть d1 и d2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

21

S = d1d2 sin α

d2

d1

d2

d1

Задания открытого банка задач1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 10,5.

Решение:

abS2

1=

7

3

1см

.,S 510732

1 =⋅⋅=

Задания открытого банка задач2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16.

Решение:

aahS2

1=

8

4

1см

.S 16842

1 =⋅⋅=

ha

Задания открытого банка задач3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12.

Решение:

aahS2

1=

.S 12832

1 =⋅⋅=

81см

ha3

Задания открытого банка задач4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12.

Решение:

aahS2

1=

.S 12642

1 =⋅⋅=4

6

1см

ha

Задания открытого банка задач5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12.

Решение:

aahS2

1=

.S 12832

1 =⋅⋅=

3

8

1см

ha

Задания открытого банка задач6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 33.

Решение:

−= п/уΔ SS

.33827472 =−−−=

1см

18

9

8

6

8

2

−1ΔS −

2ΔS3ΔS

−⋅= 98ΔS −⋅⋅ 182

1

−⋅⋅− 692

1 =⋅⋅ 282

1

Задания открытого банка задач7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 15,5.

Решение:

п/уΔ SS =

.,, 515452143672 =−−−−=

1см

7

9

8

1

5

1ΔS−

2ΔS−3ΔS−

−⋅= 98ΔS −⋅⋅ 982

1

−⋅⋅− 472

1 −⋅⋅ 152

1

4

=⋅14

1у/пS−

Задания открытого банка задач8. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 50.

Решение: 2aS =

1см

17

5014917 222 =+=+=а

по теореме Пифагора:

а

а

50=S

Задания открытого банка задач9. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 20.

Решение:

abS =

1см

2

6

4043626 222 =+=+=а

по теореме Пифагора:

а

204001040 ==⋅=S

b

1

3101913 222 =+=+=b

40=а

10=b

Задания открытого банка задач10. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16.

Решение:

1см

212

1ddS ⋅=

4

8

16482

1 =⋅⋅=S

Задания открытого банка задач11. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 17,5.

Решение:

1см

5

( ) 5172

35345

2

1,S ==+⋅⋅=

43

+= 12

1ahS

=S +1ΔS

2ΔS

( )212

1hhaS +=

22

1ah

Задания открытого банка задач12. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 8.

Решение:

1см

6

( ) 84682

1 =−⋅⋅=S

−= 12

1ahS

=S −1ΔS

2ΔS

( )212

1hhaS −=

22

1ah4

8

Задания открытого банка задач13. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 30.

Решение:

1см

hba

S ⋅+=2

5

4

3052

48 =⋅+=S

8

Задания открытого банка задач

Ответ: 36.

Решение:

1см

hba

S ⋅+=2

7

2

3682

27 =⋅+=S

8

14. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задания открытого банка задач15. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 28.

Решение:

1см

72874 =⋅=S

4

aahS =

Задания открытого банка задач17. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 25,5.

Решение: −= п/уΔ SS

.,, 52552851372 =−−−=

1см

5

9

8

3

7

−1ΔS −

2ΔS3ΔS

−⋅= 98ΔS −⋅⋅ 932

1

−⋅⋅− 872

1 =⋅⋅ 252

1

2

Задания открытого банка задач

Ответ: 13,5.

Решение: (1 способ)

1см

7

18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

2

3( ) 513

2

27273

2

1,S ==+⋅⋅=

+= 12

1ahS

=S +1ΔS

2ΔS

( )212

1hhaS +=

22

1ah

Задания открытого банка задач

Ответ: 13,5.

Решение: (2 способ)

1см

hba

Sтрапеции ⋅+=2

7

53872

291 ,S =⋅+=

9

18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4

2

1

2224

2

292 =⋅+=S

2222

13 =⋅⋅=S

1122

14 =⋅⋅=S

51312225384321 ,,SSSSS =−−−=−−−=

S2

S3

S4

Задания открытого банка задач19. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 51.

Решение: −= п/уSS

.5166972 =−−−=

1см

6

9

8

2

3

−1ΔS −

2ΔS у/пS

−⋅= 98S −⋅⋅ 632

1

−⋅⋅− 262

1 =⋅23

6

Задания открытого банка задач20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 31.

Решение:

−= п/уSS

.3153672 =−−=

1см

9

8

2

−1ΔS

2ΔS

−⋅= 98S −⋅⋅ 982

1 =⋅⋅ 252

15

Задания открытого банка задач21. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 33,5.

Решение:

−= п/уSS

.,, 533785756 =−−−=

1см

7

8

2−

1ΔS −2ΔS

−⋅= 78S −⋅⋅ 352

1

282

1 ⋅⋅−5

3ΔS

3

=⋅⋅− 272

1

2

Задания открытого банка задач22. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 24.

Решение:

−= кв.б.SS

.24251564 =−−=

1см

8

8

3−ΔS2 .кв.мS

−⋅= 88S −⋅⋅⋅ 352

12 =⋅55

5

5 3

Задания открытого банка задач23. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 14,5. 1см

7

8

3

4

53

Решение:

−= п/уSS

.,, 514151651056 =−−−=

−1ΔS −

2ΔS

−⋅= 78S −⋅⋅ 372

1

482

1 ⋅⋅−

у/пS

=⋅− 35

Задания открытого банка задач24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 18. 1см

7

8

Решение:

=S

.181028 =−=

−ΔS

−⋅⋅= 782

1S =⋅+

22

73

3

трапецииS

2

Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16.

1см 4

4

4

4

Решение: (1 способ)Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4√2, а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.

4√2

4√2

Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16. 1см

Решение: (2 способ)

L = 15 (красные точки),

B = 4 (синие точки),

тогда по теореме Пика

S = L + B/2 – 1

S = 15 + 4/2 – 1 = 16

Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 19,5. 1см

Решение: (1 способ)

9

9

54

5

3

5

4

6

−= кв.SS

.,, 51916512181581 =−−−−=

−1ΔS −

2ΔS

−⋅= 99S −⋅⋅ 652

1−⋅⋅ 49

2

1

−3ΔS

552

1 ⋅⋅− 42

53 ⋅+−

.трапS−

Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 19,5. 1см

Решение: (2 способ)

L = 16 (красные точки),

B = 9 (синие точки),

тогда по теореме Пика

S = L + B/2 – 1

S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5