Лабораторная работа №1

Векторные и градиентные поля.

Градиент поля

В математике градиентом скалярной функции называют скорость изменения

функции, взятую в направлении её наибольшего возрастания. По определению градиент –

вектор, определяемый соотношением вида:

Fkz

Fj

y

Fi

x

FFgrad

)(

k

zj

yi

x

В Mathcad нет встроенной функции, вычисляющей градиент функции. В то же время в нём

определены правила записи векторов и набор операций с ними, а также операций

дифференцирования функций, поэтому вычисление градиента скалярной функции может быть

реализовано в виде функции пользователя. Пример вычисления градиента скалярной функции

приведен на рис. 1.

Рис.1. Запись и вычисление градиента скалярной функции в Mathcad.

Математический смысл градиента состоит в задании в каждой точке (х,у) направления на

плоскости, в котором функция f (х,у) растет наиболее быстро. Абсолютное значение градиента

(т. е. длина вектора в каждой точке) определяет локальную скорость изменения f (x,y). Из

сопоставления графи ков ясно, что в центре показанной на них области (х,у) сама функция f

(х,у) меняется медленно (соответственно, значения ее градиента являются малыми), а в углах —

быстро (там значения градиента максимальны).

Дивергенция поля

Вычисление дивергенции можно представить как скалярное произведение оператора

пространственного дифференцирования на векторную функцию:

или

,

откуда

Az

A

y

A

x

AAdiv zyx

,

где - проекции вектора на оси декартовой системы координат.

Пример вычисления дивергенции векторной функции средствами Mathcad приведен на рис.2.

Рис.2. Запись и вычисление дивергенции векторной функции.

Ротор поля

Ротор – это векторная функция, характеризующая поле в рассматриваемой точке в отношении

способности к образованию вихрей. Для декартовой системы координат ротор можно записать

как

y

F

x

Fk

x

F

z

Fj

z

F

y

Fi

FFF

zyx

kji

FFrot xyzxyz

zyx

,

Как и вычисление других функций теории поля вычисление ротора в Mathcad реализуется в

виде функции пользователя (рис. 3).

Рис. 3. Вычисление ротора (вихря) векторной функции.

Вычисление сложных операторов теории поля.

В теории поля наряду с определёнными выше операторами grad, div и rot применяются и

производные от них операторы. Например, классическая формула для оператора Лапласа имеет

вид:

2

2

2

2

2

2

2

zyx

Вычислить лапласиан средствами Mathcad для заданной скалярной функции не

представляет труда. С другой стороны, если записать оператор Лапласа в виде:

и произвести замену: , то лапласиан можно записать в виде:

и вычислить его средствами, приведенными выше, записав функции вычисления градиента и

дивергенции на одном рабочем листе.

Для сравнения на рис. 4 приведены расчёты лапласиана по разным формулам. Если по аналогии

представить процедуру взятия ротора от ротора в виде:

, где ,

то это простое преобразование позволит для вычисления «двойного» ротора использовать

функцию пользователя вычисления rot (рис 5).

Рис. 4. Примеры вычисления лапласиана средствами Mathcad.

Рис. 5. Операция взятия ротора от ротора векторной функции.

Потенциальные векторные поля

Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является

градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

z

uk

y

uj

x

uiugradA

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.Примерами

потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т, помещенной в начале

координат, электрическое поле точечного заряда е, находящегося в начале координат, и

другие.Поле является потенциальным, если выполняется условие:

rot A = 0

Векторное поле A = {Ax, Ay, Az}, для которого rot A = 0, называется безвихревым. Любое

потенциальное поле является безвихревым. Справедливо и обратное, любое безвихревое поле

есть поле потенциальное.

Соленоидальные и гармонические векторные поля

Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области D, если в каждой точке

этой области выполняется

div A = 0

Замечание. Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А, то в области, где

поле соленоидально, нет источников этого поля. Примером соленоидального поля может

служить поле точечного заряда е во всех точках, кроме точки, где расположен заряд. Скалярное

поле, задаваемое функцией u = u(x, y, z), называется гармоническим в некоторой области, если

функция и в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа:

Δ и = 0.

Примеры: линейная функция, потенциал электрического поля точечного заряда или поля

тяготения точечной массы.

Задания

Задание 1. найдите градиент скалярного поля и проверьте, является ли скалярное

поле u(x,y,z) гармоническим.

1. u(x,y,z) = 3xy2z+3xz

2+2xy-4z-5

2. u(x,y,z) = 3xyz+3x2

– 4y2-2z

2 + 7

3. u(x,y,z) =y∙sin(z) - x∙cos(y) + xz – 2z2+7

4. u(x,y,z) = 3x2 - y

2+xy- yz+2y-1

5. u(x,y,z) = yx2 - yz

2+y

2 – z

2 +11x +8

6. u(x,y,z) =x∙sin(y) - y∙cos(x) - y2 +z -3

7. u(x,y,z) =yex – ze

y +x

2 – z +27

8. u(x,y,z) = xy + xz – yz +2x-3y –z +28

9. u(x,y,z) = 3xyz2

- xy3+4y

2 - 4z

2 – 9

10. u(x,y,z) = xy3

- yx3

+ xz + y -1

Задание 2. Проверить является ли векторное поле : а) потенциальным, б) соленоидальным.

Если поле потенциально, найдите его потенциал.

1. )2( yekzejyzeiA xxx

2. 22 ykyzjeiA x

3. zxkyjxziA 22 )1(

4. )()21(2 22 yxkyzjxziA

5. zzx yekejeiA

6. zkyxjyiA )sin()cos(

7. yekzejyzeiA xxx )1(

8. )(2)3()( 2222 yxzkyzjxziA

9. )cos()sin( 2 xkyjxziA

10. )3()12(3 22 zyxkyzjziA

Задание 3. Определите скалярный потенциал поля. Постройте линии поля, векторную

картину градиента. Пример выполнения задания на рисунке 6.

1. )1()()( 2 yjxxigrad , φ(0, 1)=0 x0 = -5, y0 = -5

2. 22

1

1

1

1)(

yj

xigrad

, φ(1, 1)=0, x0 = -0.5, y0 = -0.5

3. 21

1)sin()(

yjxigrad

, φ(1, 1)=0, x0 = -0.5, y0 = -0.5

4. )cos()sin()( yjxigrad , φ(0, 0)=0, x0 = -0.5, y0 = -0.5

5. yjxxyigrad )()( 2 , φ(1,2)=0 x0 = -3, y0 = -3

6. )()()( yshjxchigrad , φ(0,0)=0 x0 = -3, y0 = -3

7. )()1()( yshjxigrad , φ(0,0)=0 x0 = -5, y0 = -5, dx=1, dy=0

8.

yjx

xigrad

1)( φ(2,0.2)=0 x0 = -5, y0 = -5

9.

)ln(1

)( yjx

xigrad

φ(2,0.2)=0 x0 = -5, y0 = -5

10. )ln()ln()( yjxigrad φ(1,1)=0 x0 = -5, y0 = -5

Рисунок 6. Пример выполнения задания 3

Лабораторная работа № 2

Исследование поля точечных зарядов

Цель работы:

Компьютерное моделирование электрического поля точечных зарядов и подтверждение

закономерностей для этих полей; определение величины электрической постоянной

Закон Кулона: rlr

QQF

2

0

21

4

где F - сила взаимодействия двух зарядов; rl -единичный вектор, направленный по линии, соединяющей

заряды Q1 и Q2; r – расстояние между зарядами; - относительная диэлектрическая проницаемость

среды; 0 – электрическая постоянная (1/(49109) = 8,8510

-12 Ф/м). Иногда в законе Кулона вводят

коэффициент kе 1/40, который в системе СИ равен = 9109 .

Напряженность электростатического поля в вакууме точечного заряда зависит от величины заряда

q, создающего поле и от квадрата расстояния между зарядом и точкой, в которой определяется

напряженность поля (рис.1):

)(3

rrrr

qkE i

i

.

Если заряд, создающий поле, находится в начале координат, а положение точки, в которой

определяется напряженность поля, определяется радиусом-вектором r (рис.2), то напряженность поля

точечного заряда равна

rr

qkE

3

.

Модуль напряженности поля точечного заряда в вакууме

20

2 4

1

r

q

r

qkE

.

Так как значение напряженности поля точечного заряда изменяется с расстоянием, то такое поле

является неоднородным.

Рис.1. Рис.2.

Напряжённость E поля точечного заряда q во всех точках поля направлена радиально от заряда

при q > 0 и к заряду при q < 0.

Принцип суперпозиции. Напряжённость поля, создаваемого системой неподвижных точечных

зарядов q1, q2, q3, , qn, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей,

создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности:

n

i

iEE1

Принцип суперпозиции, позволяет рассчитывать не только напряжённость поля системы

точечных зарядов, но и напряженность поля в системах, где имеет место непрерывное

распределение заряда. Заряд тела можно представить как сумму элементарных точечных

зарядов dq.

Потенциал электростатического поля:

Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают

электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в

бесконечность.

Потенциал электрического поля, создаваемого зарядами qk с координатами (Xk,Yk), k=1, 2, ...m

в точке (xi,yj) равен:

k

kr0

k

4

q

, где в двумерном случае 22

i jkkk yyxxr , хi, уj – текущие координаты.

Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами,

следует принцип суперпозиции для потенциалов:

φ = φ1 + φ2 + φ3 + ...

Таким образом, потенциал системы

m

kjkk yyxx

yx1

22

i0

k

4

q),(

Потенциал поля точечного заряда: r

Q

04

Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).

Зависимость между напряженностью электростатического поля и потенциалом:

constldEgradE ;

Индукция электрического поля. Напряженность электрического поля является силовой

характеристикой поля и определяется не только зарядами, создающими поле, но зависит и от свойств

среды, в которой находятся эти заряды. Часто бывает удобно исследовать электрическое поле,

рассматривая только заряды и их расположение в пространстве, не принимая во внимание свойств

окружающей среды. Для этой цели используется векторная величина, которая называется электрической

индукцией или электрическим смещением. Вектор электрической индукции D в однородной изотропной

среде связан с вектором напряженности Е соотношением

.

Единицей измерения индукции электрического поля служит 1 Кл/ м2. Направление

вектора электрического смещения совпадает с вектором Е.

Граничные условия в электростатическом поле: D1n - D2n = ; E1 - E2 = 0

где D1n, D2n - нормальные к граничной поверхности, составляющие вектора электрического смещения;

E1 , E2 - тангенциальные (касательные к граничной поверхности), составляющие вектора

напряженности электрического поля; - поверхностная плотность свободных зарядов на границе

раздела. Граничные условия на поверхности проводника, помещенного в электростатическое поле: D =

Dn = aE = ; E = 0

Сила, действующая на заряд: F=qE

Работа поля по переносу q заряда из некоторой точки 1 в некоторую точку 2 не зависит от траектории

его движения и определяется для данного поля и данного заряда только координатами этих точек.

Задание 1.Исследовать поле точечного заряда.

Порядок выполнения задания:

1. Выбрать из таблицы 1значение заряда в соответствии с выбранным вариантом.

Таблица 1.

Исходные данные к заданию 1

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Значение q, мкКл -5 -4 -3 -2 2 3 4 5 -4 -5

Значение ε 2 10 81 57 3 2 81 10 2 3

2. Рассчитать значения напряженности и потенциала электростатического поля для расстояний

указанных в таблице 2. Заполнить таблицу 2.

Таблица 2

Результаты измерений напряженности и потенциала

d, м 2 2,5 3 3,5 4

E, В/м

φ, В

3. Построить графики зависимости напряженности (Е) электрического поля точечного заряда от

квадрата обратного расстояния (1/d2) и зависимости потенциала (φ) электрического поля точечного

заряда от обратного расстояния (1/d) между зарядом-источником электрического поля и исследуемой

точкой поля.

4. Установить значение d (в этом задании d используют как расстояние r между зарядом-

источником Q электрического поля и исследуемой точкой поля), указанное в таблице 3 для выбранного

варианта.

Таблица 3.Значения расстояния от точечного заряда до исследуемой точки

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Значение d, м 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8

5. Изменяя значение заряда источника в соответствии с таблицей 4 вычислить напряженность и

потенциал электростатического поля . Заполнить таблицу 4.

Таблица 4.Результаты измерений напряженности и потенциала

qi, мкКл 1 2 3 4 5

E, В/м

Ф, В

6. Построить графики зависимости напряженности (Е) электрического поля точечного заряда от

величины заряда q1 и зависимости потенциала (φ) от величины заряда q1.

7. Вычислить значение напряженности поля и потенциала для среды с диэлектрической

проницаемостью ε. Построить на одном рисунке графики для напряженности поля для различных

значений ε.

8. Записать выводы по результатам расчетов и анализа графиков.

Задание 2. Рассчитать силу взаимодействия двух зарядов.

Порядок выполнения задания:

1. Задать значение зарядов в соответствии с вариантом из таблицы 5.

2. Изменяя расстояние вычислить силу взаимодействия двух зарядов и напряженность поля и

заполнить таблицу 6. Величину напряженности электрического поля в исследуемой точке можно

рассчитать по формуле

где F12 - величина силы взаимодействия между зарядами q1 и q2.

Таблица 5. Значения величины точечного заряда q1i

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Значение qi(1),∙ 10-8

Кл 1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10

Значение qi(2), ∙ 10-8

Кл -7 5 -8 9 -1 3 -10 2 -6 4

Таблица 6.Результаты измерений и расчетов

r12, м 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

1/(r12)2

F12∙10-6

Н

Е, В/м

3. Построить график зависимости напряженности электрического поля (Еi) точечного заряда q1i от

квадрата обратного расстояния (1/r2)

Задание 3

Рассчитайте распределение потенциала электрического поля, постройте эквипотенциальные линии и

поверхность φ=φ(x,y) для поля двух зарядов. Координаты зарядов, величину зарядов выбрать в

соответствии с вариантом из таблицы.

Порядок выполнения

Чтобы построить силовые линии, необходимо создать матрицу, каждый элемент которой

двумерный вектор, представленный комплексным числом. Реальная часть этого числа – Х-

компонент вектора, мнимая часть - Y- компонент. Для построения силовых линий вычисляются

проекции вектора напряженности на оси координат и создается матрица Ei,j:=Ex(xi,yj)+ i·

Ey(xi,yj) (i означает мнимую единицу, в Mathcad вводится как 1i) и нормированная матрица

ji,

ji,

ji,E

EA , используемая для построения векторного поля .

1. Задать все входящие в формулу значения констант, зарядов, координат и т.д.

2. Задать число точек n, на которое будет разбиваться двумерная область по осям X и Y

(20-30 точек).

3. Определить, как будут меняться текущие координаты (например xi = hxi, где hx – шаг с

которым меняется координата х, i = 1,2…n)

4. Ввести формулы для потенциалов точечных зарядов φ1i,j и φ2i,j и найти полный

потенциал системы, построить поверхность φ=φ(x,y).

5. Построить эквипотенциальные поверхности потенциала φ(x,y).

6. Построить силовые линии поля зарядов. Для этого необходимо вновь ввести формулы

для потенциалов, но уже как функции от (x,y), например:

. Аналогично записывается потенциал для второго

заряда.

7. Вычислить х и у – компоненты напряженности Е:

Ex x y( )x

U1 x y( ) U2 x y( )( )d

d

(у - компонента вводится аналогично)

8. Ввести матрицу ji,

ji,

ji,E

EA и построить график (Insert/Graph/3D Scatter Plot, внизу на

месте маркера вводсяимя матрицы, в данном случае А).

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X1, м

0,3 0,1 0,8 0,2 0,7 0,1 0,2 0,25 0,42 0,5

Y1, м 0,3 0,15 0,2 0,5 0,7 0,2 0,2 0,15 0,2 0,5

X2, м 0,7 0,12 0,2 0,5 0,1 0,8 0,4 0,3 0,35 0,8

Y2, м 0,6 0,1 0,6 0,8 0,2 0,6 0,9 0,7 0,35 0,4

Q1,

∙10-

9Кл

5

2

1

8

4

3

1

0,19

-7,2 4.6

Q2,

∙10-

9Кл

-1

0,5

2

-1,08

1

1,5

0,6

0.1

7,3 -4

U1 x y( )k q1

eps x1 x( )2

y1 y( )2

0.0001

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте закон Кулона для электрических зарядов, поясните, что обозначает каждый

символ и как изменяется сила, действующая на заряд, при изменении величины зарядов и

расстояния между ними.

2. Дайте определение вектору напряженности электрического поля. От чего зависит его величина и

направление.

3. Дайте определение вектору электрической индукции. Как связана напряженность

электрического поля и электрическая индукция в вакууме и в веществе.

4. Что такое диэлектрическая проницаемость. Какие виды диэлектрической проницаемости вы

знаете.

5. Дайте определение принципа суперпозиции для напряженности электрического поля. Как

рассчитать электрическое поле от дискретного набора зарядов и от заряда, распределенного в

некоторой области.

6. Дайте определение потенциала электрического поля

7. Эквипотенциальные поверхности

8. Дайте определение принципа суперпозиции для потенциала электрического поля.

9. Какая поверхность называется эквипотенциальной?

Лабораторная работа №3

Исследование поля зарядов вблизи проводящей поверхности

Метод зеркальных отражений

Метод зеркальных отражений - искусственный приём расчёта, в котором кроме заданных

зарядов вводят ещё дополнительные, значения и местоположение которых выбирают так, чтобы

удовлетворить граничным условиям в поле. Территориально заряды помещают там, где находятся

зеркальные отражения заданных зарядов.

При отражении точечного заряда q (или линейного заряда ), расположенного в близи плоской

проводящей границы, отраженный заряд q1 = -q, т.е. меняет свой знак на обратный. При этом граничные

условия для векторов поля на проводящей поверхности тождественно выполняются во всех точках, что

позволяет исключить из анализа саму поверхность. Заряд q1 заменяет своим интегральным действием

наведённый свободный заряд проводящей поверхности.

Если заряд q (или ) расположен у границы двух диэлектриков (рис. 1a), то на поверхности

раздела наводится связанные электрические заряды. Исключить действие этих зарядов с заменой их

эквивалентным действием сосредоточенных зарядов можно путём разбиения задачи на две части:

а) Поле в той среде, где задан точечный заряд q (рис. 1б), определяется зарядом q и зарядом

, где .

При этом вторая среда замещается первой, т.е. становится однородной с диэлектрической

проницаемостью ;

б) Поле по другую сторону границы (среда с определяется зарядом

, где .

При этом первая среда замещается второй и становится однородной с диэлектрической проницаемостью

(рис. 2в).

Рис. 1

Дополнительные заряды должны находиться на том же расстоянии от границы, что и заданный.

Задание 1. Близи бесконечной проводящей плоскости в воздухе на расстоянии y0 расположен

заряд q. Изучите распределение потенциала и постройте силовые линии напряженности электрического

поля.

Рассмотреть случай, когда проводящая плоскость заряжена с поверхностной плотностью σ.

Для расчета электростатического поля, используйте метод зеркальных отражений.

Для данной задачи поле рассчитывается только над проводящей поверхностью как от двух

зарядов: q (на расстоянии y0 м над плоскостью) и (–q) (на расстоянии y0 под плоскостью). Координата х

меняется от –x0 до x0 м, у – от –y0 до y0 м. Потенциал определяется по принципу суперпозиции:

φ = φ1 + φ2 + φ3 + ….. + φm

В случае, когда плоскость не заряжена, поле складывается из поля двух точечных зарядов

(заданного и его зеркального изображения):

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

000 )(4

)(

)(44

)(

4),(

zyyx

q

zyyx

q

r

q

r

qyx

(координата z0 необходима для того, чтобы потенциал вычислялся на некотором удалении от

заряда).

Когда плоскость имеет плотность заряда σ, в формулу добавляется потенциал заряженной

плоскости как от совокупности точечных зарядов:

qkq 11 )/()( 21211 k

qkq 22 )/(2 2122 k

10

102

0

22

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

)(5.04

)(4

)(

)(4),(

k

i

zykx

Q

zyyx

q

zyyx

qyx

,

где Qi = σ/M – элементарный заряд плоскости, M – число элементарных зарядов, на которые разбивается

плоскость

Напряженность поля связана с потенциалом соотношением

yj

xigradyxE

),( ,

где i, j – единичные орты.

Для построения силовых линий вычисляются проекции вектора напряженности на оси координат

x

yxyxEx

),(),(

и

y

yxyxEy

),(),(

. Создается матрица ),(),(, jijiji yxEyiyxExE (i –

мнимая единица, в Mathcad записывается как 1i) и нормированная матрица

ji

ji

jiE

EA

,

,

, , используемая

для построения векторного поля.

Задание 2. Вблизи безграничной плоской поверхности раздела двух диэлектриков с ε1 и ε2, расположен

точечный заряд q. Необходимые расстояния даны на рисунке. Вычислить напряженность поля в точках

a, b, c, d. Точку b рассматривать как точку, принадлежащую двум средам. Построить график

зависимости E = f(x).

ε1 ε2

1 2 3 4 5 6 7

a b c d x, см

0

Вычислить работу, затрачиваемую при удалении заряда в бесконечность из точки d=2 см от: а) плоской

проводящей поверхности; б) поверхности очень толстой пластины c проницаемостью ε2.

Варианты

№ 1 2 3 4 5

q, Кл 3∙10-11

5∙10-9

-1,3∙10-10

-3∙10-11

-5∙10-10

σ, Кл/м2

10-10

2∙10-8

-2,8∙10-10

-10-10

-1,7∙10-9

ε1 3 1 1 2 2

ε2 7 7 3 5 10

№ 6 7 8 9 10

q, Кл 10-10

3∙10-11

-3∙10-10

1,3∙10-10

2,8∙10-10

σ, Кл/м2

10-10

-2,8∙10-10

2∙10-9

2,8∙10-10

-3∙10-10

ε1 3 2 27 1 5

ε2 27 7 5 5 2

x0=5, y0=5, n=25,dx=dy=0.4

Пример выполнения задания 2

Лабораторная работа №4

Решение уравнения Пуассона (Лапласа).

Уравнение Пуассона имеет вид

a

2

Частный случай уравнения Пуассона, когда плотность свободных зарядов равна

нулю – уравнение Лапласа:

02

Разобьем рассматриваемую область пространства на конечное число элементов,

каждый из которых будет иметь два индекса – i и j. Потенциал каждого элемента

равен φi,j.

Запишем производные от потенциала:

xxx

jiji

,1,

yyy

jiji

,,1

2

1,,1,

2

2 2

xx

jijiji

2

,1,,1

2

2 2

yy

jijiji

Уравнение Пуассона примет вид:

a

jijijijijiji

yxyx

2

,1,,1

2

1,,1,

2

2

2

2 22

Преобразуем его к виду:

jijijijijiji fedcba ,,1,1,,1,1 , (1)

где

2yba a

,

2xdc a

, )(

2222

dcbayx

e aa

, a

jif

, (2)

Данное уравнение можно легко решить с помощью функции

relax(a,b,c,d,e,f,u,rjac). Функция возвращает квадратную матрицу, в которой

местоположение элемента в матрице соответствует ее местоположению в

пределах квадратной области, а значение элемента есть приближенное решение

уравнения Пуассона в соответствующей точке. a,b,c,d,e – коэффициенты

уравнения (1); f – квадратная матрица, содержащая источник поля в каждой точке

рассматриваемой области; u – квадратная матрица, содержащая граничные

условия по краям рассматриваемой области и начальные условия для решения;

rjac – радиус сходимости, принимает значения от 0 до1.

n

21rjac

Примечание: эта функция использует метод релаксации. Вы можете использовать

функцию relax, если известно значение функции u(x,y) на всех четырех сторонах

квадратной области. Все матрицы, задающие как коэффициенты разностной

схемы а, b, с, d, e, граничные условия, так и само решение F, должны иметь

одинаковый размер (N+1)х(N+1), соответствующий размеру расчетной области.

При этом целое число N обязательно должно быть степенью двойки: N = 2k, k = 1,

2 ….

Если свободные заряды отсутствуют в рассматриваемой области (решаем

уравнение Лапласа), то 0, jif

Задание

Тонкостенный металлический бесконечно протяженный вдоль оси z желоб с

изолированной крышкой, изображенный на рисунке, имеет потенциал стенок,

равный нулю. Потенциал крышки равен U0.

Найти распределение потенциала электростатического поля внутри желоба в

плоскости XY. Сравнить полученные значения со значениями потенциала,

полученными при аналитическом решении задачи:

a

ypsh

a

xp

a

bpshp

UyxU

l

1

0 sin4

),( ,

где ....3,2,1,12 llp

№ варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

U0, В 8 12 16 20 24 10 14 26 12 10

a 5 10 15 20 20 10 20 25 5 3

b 10 15 20 15 10 20 20 15 10 4

Исследовать, как изменится распределение потенциала, если в пространстве

желоба появится точечный источник с объемной плотностью заряда ρ/εa=5∙10-9

Кл/м3.

Контрольные вопросы

1. Какова связь между E и φ?

2. Сформулируйте основную задачу электростатики.

3. Сформулируйте теорему о единственности решения электростатической

задачи.

4. Запишите вывод уравнения Пуассона.

5. Запишите уравнение Лапласса.

6. Как в общем виде может быть записано решение уравнения Пуассона?

7. Когда уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласса?

8. Как задается граничное условие Дирихле?

9. Как задается граничное условие Неймана?

10. 11. Записать граничные условия на границе раздела диэлектрика и проводящего

тел.

12. Записать граничные условия на границе раздела двух различных

диэлектриков.

13. С помощью уравнения Пуассона определить потенциал однородно

заряженного шара, если радиус шара R, а его плотность заряда ρ.

Лабораторная работа №5

"Расчет магнитного поля системы проводников с током".

Цель работы: научиться рассчитывать магнитную индукцию в произвольной точке на

плоскости от системы проводников с постоянным током.

Задание 1. Рассчитайте магнитное поле, создаваемое двумя (тремя) параллельными

проводниками, по которым текут токи в различных направлениях. Построить силовую картину

поля и линии уровня индукции магнитного поля. Исследовать, как меняется поле с ростом

расстояния от проводника с током. Координаты и ток первого проводника выбрать в

соответствии с примером, координаты и величину тока второго проводника выбрать из

таблицы:

№

варианта

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 3.1 -1.1 2 2 2 -2 1.2 2.5 1.2

y -2 2 0 0 -1 1 -3 0 -4 -1.5

I2 2 5 3 5 5 3 1 1 1 2

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током:

214 0

0

coscos

r

IB

где r0 -расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция; α1

и α2

- углы между направлением тока и радиус векторами, проведенными из концов проводника

в точку наблюдения.

В случае длинного проводника

0

0

2 r

IB

. Векторная запись последнего выражения:

0

00

2 r

rIB

(1)

Векторное произведение 0rI

можно расписать:

xy

zyx

z

zyx

zyx rIjrIi

rrr

I

kji

rrr

III

kji

rI

000 (2)

Здесь

2

0

2

00 )yy()xx(r ,

2

0

2

0

0

)yy()xx(

xxrx

,

2

0

2

0

0

)yy()xx(

yyry

x0, y0 – координаты проводника с током.

Чтобы найти поле от двух (трех) проводников с током необходимо воспользоваться принципом

суперпозиции полей:

m

i

iBB1

, m – количество проводников, Bi – поле i-го проводника.

Ниже приводится пример расчета магнитного поля от одного проводника с током I = 1 А. Координаты

проводника с током – (0.1;0). Область решения задачи прямоугольная 5553 ;y,;x . Для

построения силовых линий используется нормированная матрица С.

Задание 2. Рассчитайте индукцию магнитного поля, создаваемого двумя витками с током, оси которых

расположены на оси Z, и постройте силовые линии в плоскости YOZ. в случаях, когда токи

сонаправлены и противоположно направлены. Постройте график зависимости модуля индукции от

координаты вдоль оси витков с током и перпендикулярно ей. Получите проекции вектора индукции

магнитного поля на плоскость перпендикулярно оси витка с током.

№ варианта 1, 6 2,7 3, 8 4, 9 5, 10

Сила тока I1 10 2.5 5 10 4

Сила тока I2 5 7 5 5 1

Радиус

витков r1

2 1.5 2.8 1.7 2

Z1 3 1.5 3.4 1.2 3.5

Z2 3 2 3 2 4

Рассмотрим виток с током, лежащий в плоскости XOY, с центром в точке O. Разобьем его на элементы

dls, определим элементарный магнитный момент, создаваемый каждым элементом в точке наблюдения.

Затем просуммируем их. Для расчета индукции магнитного поля используется закон Био- Савара-

Лапласа:

где μ0 - магнитная постоянная, I - сила тока. Элемент витка и точка наблюдения имеют координаты

(r1·cos(φ), r1·sin(φ), 0), и (x, y, z) соответственно. r1– радиус витка с током. Следовательно можно

записать:

z

y

x

z)y,R(x,

и

0

sin

cos

r

s

1 ssr

, где s = 0..m-1, m – число элементов dl. Элемент длины окружности равен:

dl

dl

или

ddl s

s

0

cos

sin

r1

.

Здесь rl - длина окружности в радианах; dφ=2π/m, φs=dφ∙s. Тогда индукция будет равна:

1

03

201

03

10

3,,

3,,

42,,

2,,

4),,(

m

s s

ssm

s s

ss

rzyxR

rzyxRdlI

rzyxR

rzyxRdlIzyxB

(3)

где I1 ,I2 – сила тока в первом и втором витке соответственно. Первый контур с током располагается над

плоскостью XOY на расстоянии 2 м, второй – под плоскостью XOY на расстоянии 3 м. Чтобы

построить силовые линии, необходимо построить нормированную матрицу С:

Ci j

B e li j

B e li j

, где

Bei j

B 0 yi

zj

Beli j

Bei j

1i Be

i j 2

Задание 3. Имеется два соленоида, расположенных соосно по отношению друг к другу. Построить

силовые линии магнитного поля в случаях, когда токи текут в одном направлении и в противоположных

направлениях. постройте графики зависимости индукции магнитного поля (В) на оси соленоида от

расстояния r до его центра Указание: поле соленоида найти как сумму полей от витков с током, варьируя

в формуле 3 в радиус-векторе R координату z (вместо числа будет дополнительный индекс).

Контрольные вопросы

1. Что такое магнитное поле? Назовите источники магнитного поля.

2. Дайте определение вектору напряженности магнитного поля. От чего зависит его величина и

направление?

3. Дайте определение вектору магнитной индукции. Как связаны напряженность магнитного поля и

магнитная индукция вакууме и в веществе?

4. Запишите закон Био-Савара-Лапласа и поясните физический смысл

величин, в него входящих (используйте для этого рисунок).

Нарисуйте силовые линии (с указанием их направлений) и запишите

формулу вычисления магнитной индукции для магнитного поля: а)

прямого провода с током; б) кругового витка (контура) с током в

центре витка.

5. Сформулируйте принцип суперпозиции для магнитных полей.

6. Что такое соленоид и для чего он используется? Является ли магнитное поле внутри соленоида

везде однородным?

7. Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции, выведите формулу расчета

магнитной индукции поля внутри соленоида.

Лабораторная работа №6.

Электрические поля постоянных токов

Цель работы: Научиться рассчитывать электрическое поле постоянных токов.

Краткие теоретические сведения

Если под воздействием внешних источников в проводящей среде создано электрическое поле, то в ней

будет протекать электрический ток.

Электрический ток – упорядоченное движение электрических зарядов.

Упорядоченное движение свободных электронов в металле и ионов в жидкости под воздействием

электрического поля называют током проводимости.

Силой тока называется скалярная величина равная отношению заряда dq, переносимого сквозь

рассматриваемую поверхность (через сечение) за малый промежуток времени, к величине dt этого

промежутка:

dt

dqI

Для постоянного тока t

qI -величина постоянная.

Вектор плотности тока направлен противоположно направлению движения электронов и численно

равен отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхности, нормальный к направлению

движения заряженных частиц, к величине dS площади этого элемента:

dS

dI

Сила тока через поверхность произвольную поверхность S:

S

n

S

dSSdI ,

где δn = δ∙Cos(α) – проекция δ на направление нормали.

Свойство среды, характеризующее ее способность проводить ток, называется удельной проводимостью

γ. Удельная проводимость зависит от физических свойств проводящего материала и температуры и

измеряется в единицах См/м, См = 1/Ом.

Электрическое сопротивление среды ρ = 1/ γ.

Закон Ома для плотности тока (в дифференциальной форме): δ = γЕ

Если область занята источниками ЭДС: δ = γ(Е+Естор) – обобщенный закон Ома в дифференциальной

форме.

Закон Кирхгофа в дифференциальной форме: для постоянного во времени поля в проводящей среде -

div δ = 0

Дифференциальная форма закона Джоуля – Ленца: в единице объеме проводящей среды в единицу

времени выделяется энергия, численно равная γЕ2.

22

EV

RI

Поле в однородной проводящей среде подчиняется ур. Лапласа: 02

Напряженность электрического поля: )(gradE

Граничные условия:

При переходе тока из среды с проводимостью γ1 в среду с проводимостью γ2 выполняются условия

21 tt EE 21 nn

Проводимость:

2

1

ldE

SdE

U

IG

Связь проводимости с емкостью:

a

G

C

Задание: К сферическому заземлителю (электроду) радиуса r0 = 2 м подводится ток I = 104 А.

Заземлитель находится на расстоянии h = 6 м от границы раздела двух сред с разными удельными

проводимостями σ1 = 5∙10-2

См/м и σ1 = 10-2

См/м. Исследовать картину поля.

Рис. 1. а) взаимное расположение шарового источника тока и двух проводящих сред; б) физическая

модель анализа поля тока для 1-й среды; в) то же для 2-й среды.

Задача решается методом отражений с учетом метода электростатической

аналогии. Поле растекания токов обладает осевой симметрией (нет зависимости от угловой

координаты), поэтому вместо декартовой системы координат принята цилиндрическая система - z, r. Для

расчета поля в 1-й среде вводится, кроме тока I , фиктивный ток:

IkII 1

21

211

При этом вторая среда замещается первой (см. рис.1б). Для расчета поля во 2-й среде вводится

фиктивный ток

IkII 2

21

22

2

а первая среда замещается второй (см. рис. 1в). Поле сферического заземлителя подобно полю шарового

заряда, при этом заряд q заменяется на ток I, а диэлектрические свойства среды εε0 на проводимость σ

r

I

4

Порядок выполнения работы

1. Задать исходные данные задачи:

2. Вычислить фиктивные токи:

3. Определить длины радиус-векторов до точек наблюдения, для чего

предварительно следует выбрать систему координат (произвольно). В задаче

начало отсчёта переменных r, z смещено влево на расстояние 3h:

4. Определить функции потенциала в первой и второй средах

С помощью панели инструментов «Программирование» задать потенциальную функцию

для всего исследуемого пространства с учетом её поведения в первой и второй средах:

При этом учесть, что на поверхности и внутри электрода потенциал постоянен и определяется ранее

найденной величиной φS.

5. Построить график потенциальной функции ϕ(z,r) вдоль оси z при r = 0, для чего

предварительно задать диапазон изменения переменной z:

6. Построить график поверхности потенциальной функции и карту линий

уровня. Для построения карты линий равного уровня можно использовать как массив φi,j, так и

воспользоваться встроенной функцией CreateMesh:

Для построения в MathСAD линии уровня заданного значения следует

определить заданную величину как постоянную и воспользоваться встроенной

функцией знака sign. Построим для определенной ранее

потенциальной функции эквипотенциаль со значением 2 кВ:

7. Найти с помощью оператора дифференцирования производ

8. ные от потенциальной функции, которые (с учётом знака) равны проекциям вектора

напряженности поля:

9. Построить графики изменения компонент напряженности вдоль различных осей,

Рис. 2. График изменения z-компоненты напряженности вдоль оси z при r = 0

Рис. 3. График изменения r-компоненты напряженности вдоль оси r по

границе раздела проводящих сред (z = 3h)

Из графиков видно, что нормальная составляющая вектора E на границе раздела сред изменяется

скачком в соответствии с граничным условием и изменяет знак при переходе с левого края

электрода на правый.

10. Найти составляющие вектора плотности тока и построить график изменения z-

компоненты плотности тока вдоль оси z при r = 0.

Контрольные вопросы

1. Дать определение силы тока, привести формулу и ед. измерения.

2. Что понимают под сторонней напряженностью поля?

3. Что такое плотность электрического тока? В каких единицах измеряется плотность тока?

Запишите формулы для расчета плотности тока.

4. Что называют электрическим сопротивлением проводника? От чего зависит электрическое

сопротивление? В каких единицах измеряется сопротивление?

5. Почему уравнение называют обобщенным законом Ома, а также вторым

законом Кирхгофа?

6. Правильно ли утверждение, что на границе раздела сред с

проводимостями σ1 и σ2 условие непрерывности потенциала эквивалентно условию ?

7. Обоснуйте возможность моделирования электростатического

поля полем постоянного тока в проводящей среде.