Решение заданий Решение заданий

В3 В3 (площади многоугольников)(площади многоугольников)

по материалам открытого банка по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 годазадач ЕГЭ по математике 2014 года

Теорема ПикаПусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика:

S = L + B/2 – 1

Пример 1. Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

1см

Теорема Пика

Пример 2. L = 18 (красные точки), B = 10 (синие точки), поэтомуS = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.

1см

Площадь прямоугольного треугольника

Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь.

Тогда справедливы формулы:

21

S = ab

a

b

21

S = ch

c

h

Площадь произвольного треугольника

Пусть а − сторона треугольника, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

21

S = aha

a

ha

a

ha

Площадь параллелограмма

Пусть а − сторона параллелограмма, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

S = aha

a

ha

haa

Площадь трапеции

Пусть а и b − основания трапеции, h – высота, S − площадь трапеции.

Тогда справедлива формула:

b

h

2a + b

S = h

a

b

h

a

Площадь четырехугольника

Пусть d1 и d2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

21

S = d1d2 sin α

d2

d1

d2

d1

Задания открытого банка задач1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 10,5.

Решение:

abS2

1=

7

3

1см

.,S 510732

1 =⋅⋅=

Задания открытого банка задач2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16.

Решение:

aahS2

1=

8

4

1см

.S 16842

1 =⋅⋅=

ha

Задания открытого банка задач3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12.

Решение:

aahS2

1=

.S 12832

1 =⋅⋅=

81см

ha3

Задания открытого банка задач4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12.

Решение:

aahS2

1=

.S 12642

1 =⋅⋅=4

6

1см

ha

Задания открытого банка задач5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12.

Решение:

aahS2

1=

.S 12832

1 =⋅⋅=

3

8

1см

ha

Задания открытого банка задач6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 33.

Решение:

−= п/уΔ SS

.33827472 =−−−=

1см

18

9

8

6

8

2

−1ΔS −

2ΔS3ΔS

−⋅= 98ΔS −⋅⋅ 182

1

−⋅⋅− 692

1 =⋅⋅ 282

1

Задания открытого банка задач7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 15,5.

Решение:

п/уΔ SS =

.,, 515452143672 =−−−−=

1см

7

9

8

1

5

1ΔS−

2ΔS−3ΔS−

−⋅= 98ΔS −⋅⋅ 982

1

−⋅⋅− 472

1 −⋅⋅ 152

1

4

=⋅14

1у/пS−

Задания открытого банка задач8. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 50.

Решение: 2aS =

1см

17

5014917 222 =+=+=а

по теореме Пифагора:

а

а

50=S

Задания открытого банка задач9. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 20.

Решение:

abS =

1см

2

6

4043626 222 =+=+=а

по теореме Пифагора:

а

204001040 ==⋅=S

b

1

3101913 222 =+=+=b

40=а

10=b

Задания открытого банка задач10. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16.

Решение:

1см

212

1ddS ⋅=

4

8

16482

1 =⋅⋅=S

Задания открытого банка задач11. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 17,5.

Решение:

1см

5

( ) 5172

35345

2

1,S ==+⋅⋅=

43

+= 12

1ahS

=S +1ΔS

2ΔS

( )212

1hhaS +=

22

1ah

Задания открытого банка задач12. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 8.

Решение:

1см

6

( ) 84682

1 =−⋅⋅=S

−= 12

1ahS

=S −1ΔS

2ΔS

( )212

1hhaS −=

22

1ah4

8

Задания открытого банка задач13. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 30.

Решение:

1см

hba

S ⋅+=2

5

4

3052

48 =⋅+=S

8

Задания открытого банка задач

Ответ: 36.

Решение:

1см

hba

S ⋅+=2

7

2

3682

27 =⋅+=S

8

14. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задания открытого банка задач15. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 28.

Решение:

1см

72874 =⋅=S

4

aahS =

Задания открытого банка задач17. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 25,5.

Решение: −= п/уΔ SS

.,, 52552851372 =−−−=

1см

5

9

8

3

7

−1ΔS −

2ΔS3ΔS

−⋅= 98ΔS −⋅⋅ 932

1

−⋅⋅− 872

1 =⋅⋅ 252

1

2

Задания открытого банка задач

Ответ: 13,5.

Решение: (1 способ)

1см

7

18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

2

3( ) 513

2

27273

2

1,S ==+⋅⋅=

+= 12

1ahS

=S +1ΔS

2ΔS

( )212

1hhaS +=

22

1ah

Задания открытого банка задач

Ответ: 13,5.

Решение: (2 способ)

1см

hba

Sтрапеции ⋅+=2

7

53872

291 ,S =⋅+=

9

18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4

2

1

2224

2

292 =⋅+=S

2222

13 =⋅⋅=S

1122

14 =⋅⋅=S

51312225384321 ,,SSSSS =−−−=−−−=

S2

S3

S4

Задания открытого банка задач19. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 51.

Решение: −= п/уSS

.5166972 =−−−=

1см

6

9

8

2

3

−1ΔS −

2ΔS у/пS

−⋅= 98S −⋅⋅ 632

1

−⋅⋅− 262

1 =⋅23

6

Задания открытого банка задач20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 31.

Решение:

−= п/уSS

.3153672 =−−=

1см

9

8

2

−1ΔS

2ΔS

−⋅= 98S −⋅⋅ 982

1 =⋅⋅ 252

15

Задания открытого банка задач21. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 33,5.

Решение:

−= п/уSS

.,, 533785756 =−−−=

1см

7

8

2−

1ΔS −2ΔS

−⋅= 78S −⋅⋅ 352

1

282

1 ⋅⋅−5

3ΔS

3

=⋅⋅− 272

1

2

Задания открытого банка задач22. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 24.

Решение:

−= кв.б.SS

.24251564 =−−=

1см

8

8

3−ΔS2 .кв.мS

−⋅= 88S −⋅⋅⋅ 352

12 =⋅55

5

5 3

Задания открытого банка задач23. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 14,5. 1см

7

8

3

4

53

Решение:

−= п/уSS

.,, 514151651056 =−−−=

−1ΔS −

2ΔS

−⋅= 78S −⋅⋅ 372

1

482

1 ⋅⋅−

у/пS

=⋅− 35

Задания открытого банка задач24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 18. 1см

7

8

Решение:

=S

.181028 =−=

−ΔS

−⋅⋅= 782

1S =⋅+

22

73

3

трапецииS

2

Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16.

1см 4

4

4

4

Решение: (1 способ)Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4√2, а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.

4√2

4√2

Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16. 1см

Решение: (2 способ)

L = 15 (красные точки),

B = 4 (синие точки),

тогда по теореме Пика

S = L + B/2 – 1

S = 15 + 4/2 – 1 = 16

Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 19,5. 1см

Решение: (1 способ)

9

9

54

5

3

5

4

6

−= кв.SS

.,, 51916512181581 =−−−−=

−1ΔS −

2ΔS

−⋅= 99S −⋅⋅ 652

1−⋅⋅ 49

2

1

−3ΔS

552

1 ⋅⋅− 42

53 ⋅+−

.трапS−

Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 19,5. 1см

Решение: (2 способ)

L = 16 (красные точки),

B = 9 (синие точки),

тогда по теореме Пика

S = L + B/2 – 1

S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5