Algoritma cutting plane

Algoritma Cutting PlaneOleh : Liwanto 130403074Prayogo Suryawan 130403082Herlina Purba - 130403083Algoritma Cutting PlaneAlgoritma ini digunakan untuk penyelesaian problema integer programming murni.Menurut metode ini, pertama-tama penyelesaian dicari tanpa menghiraukan fungsi pembatas integer. Kemudian secara sistematis ditambahkan fungsi-fungsi pembatas sekunder yang akan memberikan kondisi keintegeran decision variable.Prinsip Algoritma Cutting PlaneAlgoritma Cutting Plane Bila harga Xj adalah integer maka problema tersebut dianggap telah terselesaikan. Bila harga Xj adalah real, maka penyelesaian selanjutnya adalah mempersempit daerah feasible solution dengan menambah fungsi pembatas sekunder. Syarat utama dari fungsi pembatas ini adalah : fungsi linear dan tidak bertentangan dengan fungsi pembatas (2) dan (3)Bila fungsi linear baru dijadikan fungsi pembatas tambahan dan harga decision variable memenuhi persamaan (2) maka harga decision variable juga akan memenuhi fungsi pembatas tambahan tersebut.Algoritma Cutting PlaneAlgoritma Cutting PlaneAlgoritma Cutting PlaneAlgoritma Cutting Plane9Algoritma Cutting PlaneLangkah-langkah prosedur Algoritma Cutting Plane diringkas seperti berikut Selesaikan masalah integer programming dengan meng-gunakan metode simpleks. Jika masalah sederhana, ia dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga Algoritma Cutting Plane kurang efisien.Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memi-liki nilai integer, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai pecah, teruskan ke tahap 3.Buatlah suatu bidang pemotong atau cutting plane dan cari solusi optimum melalui prosedur dual simpleks. Kembali ke tahap 2.10

Algoritma Cutting PlaneTabel optimum masalah LP dibawah ini merupakan tabel solusi optimum kontinyu.

11

Variabel Xi (i =1,, m) menunjukkan variabel basis. Variabel Xj (j = 1,..., n) adalah variabel non basis.

Perhatikan persamaan ke i dimana variabel Xi diasumsikan bernilai non integer.Xi = bi aij Wj , dimana b non integer

Kemudian pisahkan bi dan aij menjadi bagian yang bulat dan bagian pecah non negatif seperti berikut :bi = bi + f i jadi f i = bi - bi , dimana 0 f i 1aij = aij + f i jadi f i = aij - aij , dimana 0 f ij 1Algoritma Cutting Plane12Algoritma Cutting Plane DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGAlgoritma Cutting Plane yang diinginkan adalah :Sg - f ij Wj = - f i , Sg adalah variabel slack Gomory ke g.Pada umumnya, persamaan kendala yang berhubungan dengan solusi pecah dipilih untuk menghasilkan suatu Algoritma Cutting Plane. Namun, sebagai aturan main biasanya dipilih persamaan yang memiliki fi, maksimum.

13Tabel baru setelah penambahan Algoritma Cutting Plane menjadi :

14Algoritma Cutting PlaneJika diperoleh solusi primal optimum tetapi tidak layak maka digunakan metode dual simpleks. Proses pembentukan Algoritma Cutting Plane berakhir jika solusi baru semua berupa bilangan bulat. Jika tidak, suatu Algoritma Cutting Plane baru dibuat lagi dari tabel yang dihasilkan dan metode dual simpleks digunakan lagi untuk mengatasi ketidak layakan. Jika pada setiap iterasi metode dual simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah itu tidak memiliki solusi integer yang layak.

15Algoritma Cutting PlaneSolusi kontinyu optimumnya diperoleh dalam tabel berikut :

negatif integer

16Karena solusi tidak bulat, suatu Algoritma Cutting Plane ditambah-kan pada tabel itu. Kedua persamaan (X1 dan X2) pada masalah ini memiliki nilai f i yang sama, yaitu f 1 = f 2 = , sehingga salah satu dapat digunakan, misalkan digunakan persamaan X2 , ini menghasilkan :X2 + 7/22 S1 + 1/22 S2 = 7/2 atauX2 + (0 + 7/22) S1 + (0 + 1/22) S2 = (3 + )

Sehingga Algoritma Cutting Planenya adalah :Sg1 - 7/22 S1 1/22 S2 = - Algoritma Cutting Plane DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

17Algoritma Cutting Plane DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

Tabel baru setelah penambahan Algoritma Cutting Plane menjadi :Dengan memakai metode dual simpleks diperoleh tabel baru yaitu :

18Algoritma Cutting Plane DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGKarena solusi baru masih pecah, suatu Algoritma Cutting Plane bary ditambahkan. Karena persamaan X1 memiliki f 1 terbesar (f 1 = 4/7), maka X1 dituliskan dalam bentuk :X1 + (0 + 1/7) S2 + (0+ 6/7) Sg1 = (4 + 4/7),Menghasilkan Algoritma Cutting Plane kedua :Sg2 1/7 S1 6/7 Sg1 = - 4/7, kemudian tambahkan pada tabel :BasisX1X2S1S2Sg1Sg2SolusiZ00018059X20100103X11001/7- 1/7032/7S10011/7- 22/7011/7Sg2000- 1/7- 6/71- 4/719Dengan menggunakan dual simpleks diperoleh hasil :Yang menghasilkan solusi bulat optimum X1 = 4, X2 =3 dan Z = 55BasisX1X2S1S2Sg1Sg2SolusiZ00002755X20100103X11000-114S10010- 411Sg200016-74Algoritma Cutting Plane DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING