accademia dei lincei gruppo di lavoro diretto dai proff. bernardi, fioravanti, tarallo a.s....
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Accademia dei Lincei Gruppo di lavoro diretto dai Proff. Bernardi,
Fioravanti, TaralloA.S. 2013-2014
Proposta di Luca DragoneI.C. Via Giuliano da Sangallo
Classe Prima Sezione C
20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253 254 255
256 257 258 259 260 261 262 263
Chicchi totali in 64 caselle S2(64) = 264–1 = 18.446.744.073.709.551.615
(circa 1,84 × 1019)
DOMANDA:Se dimezziamo le caselle (32 anziché 64) e raddoppiamo la base (4 anziché
2) otteniamo una quantità totale di riso maggiore o minore di quella
richiesta dal Bramino?
Obiettivi specificiRiconoscere regolarità in sequenze di
numeri naturali.Confrontare numeri grandi espressi in notazione scientifica.Individuare le potenze di 4 e di 8 nelle potenze di 2.Eseguire stime e valutare l’ordine di
grandezza di un numero.
PrerequisitiSaper calcolare la potenza di un numero naturale.Conoscere e saper applicare le proprietà delle potenze.Conoscere e saper utilizzare la notazione scientifica per esprimere numeri grandi.Confrontare e convertire numeri espressi in basi diverse.
Organizzazione e tempiAttività matabel(chicchi di riso): 5-6 oreSfida al Bramino:Potenze e somme di potenze: 4 oreConfronto tra numeri grandi: 1 oraLe potenze di 2, 4 e 8: 2 oreDiscussione finale: 1 oraVerifica finale: 1 ora
Note metodologiche
Inquiry based learning.Problem posing e problem solving.Attività laboratoriale in piccoli gruppi.Discussioni guidate.Esposizione e discussione dei cartelloni.Interazione tra pari.
(a-1)Sa(n) +1=an+1
Per a = 2 S2(n)+1 =2n+1
Per a = 3 2S3(n)+1 =3n+1
Per a = 4 3S4(n)+1 =4n+1
Per la Secondaria di I grado:
Scoperta della regolarità per verifica empirica.
Sistemi multibase.
Dimostrazione algebrica (Secondaria di II grado)
Scoperta della regolarità per verifica empirica:
Sistema binario:11111 = 1×20 + 1×21 + 1×22 + 1×23 + 1×24 =31100000 = 25 = 32
Sistema ternario:22222 = 2×30 + 2×31 + 2×32 + 2×33 + 2×34 = 242100000 = 35 = 243
Sistema quaternario:33333 = 3×40 + 3×41 + 3×42 + 3×43 + 3×44 = 1023100000 = 45 = 1024
Sistema decimale:
99999 = 9×100 + 9×101 + 9×102 + 9×103 + 9×104
100000 = 105
Più familiare, vero?
Le potenze di 4 sono potenze di 2 con esponente pari.Considerare solo 32 caselle e riempirle con le potenze di 4 da 40 a 431 equivale a riempire tutte le 64 caselle con le potenze di 2 da 20 a 264 e poi togliere quelle con esponente dispari.Perciò avremo:
S4(32) < S2 (64)
20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253 254 255
256 257 258 259 260 261 262 263
20 22 24 26
28 210 212 214
216 218 220 222
224 226 228 230
232 234 236 238
240 242 244 246
248 250 252 254
256 258 260 262
40 41 42 43
44 45 46 47
48 49 410 411
412 413 414 315
416 417 418 419
420 421 422 423
424 425 426 427
428 429 430 431
S4(32) < S2 (64)
Minore sì, ma quanto minore?
Ricordiamo che:
Ma ciò vuol dire che la somma delle potenze di 2 con esponente dispari è il doppio della somma delle potenze di 2 con esponente pari!
Motivazione empirica: le caselle con gli esponenti più elevati contano tantissimo.La 64ma casella ha un numero di chicchi (263) uguale alla somma di tutti i chicchi delle restanti 63 caselle della scacchiera (a meno di 1, che ovviamente trascuriamo). Quindi:
Proviamo a togliere l’ultima casella alla somma delle potenze di esponente dispari:
20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253 254 255
256 257 258 259 260 261 262 263
20 23 26
29 212 215
218 221
224 227 230
233 236 239
242 245
248 251 254
257 260 263
80 81 82
83 84 85
86 87
88 89 810
811 812 813
814 815
816 817 818
819 820 821
Potenze di 2 e di 4
Tutte le potenze di 4 sono anche potenze di 2.Solo le potenze di 2 con esponente pari sono anche potenze di 4.Per ricavare una potenza di 4 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 2 l'esponente.es. 43 = 26 perché 43 = (22)3 = 26
Potenze di 2 e di 8
Tutte le potenze di 8 sono anche potenze di 2.Solo le potenze di 2 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8.Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 3 l'esponente.es. 83 = 29 perché 83 = (23)3 = 29
Potenze di 4 e di 8
Solo le potenze di 8 con esponente pari sono anche potenze di 4.Solo le potenze di 4 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8.Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 4 bisogna dividere per 3 l'esponente e poi moltiplicarlo per 2.es. 84 = 46 perché 84 = (4×2)4 = 44×24 = 44×42 = 46
