สารบัญ - eledu.ssru.ac.th · 6 บทที....

สารบญ

1 ลาดบและอนกรม 1

2 อนกรมกาลง 3

3 ปรภมสามมต (Three-Dimensional Space) 53.1 ระบบพกดฉากในปรภมสามมต (Three-Dimensional Rectangle Coordinate Systems) . . . . . . . . . . 53.2 เวกเตอรในปรภมสามมต (Vectors in Three-Dimensional Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 เสนตรงในปรภมสามมต (Lines in Three-Dimensional Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 ระนาบในปรภมสามมต (Plane in Three-Dimensional Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 ฟงกชนคาเวกเตอรและเสนโคง (Vector Value Function and Curve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 ฟงกชนหลายตวแปร (Functions of Several Variable) 414.1 ฟงกชนคาจรงสองตวแปร (Functions of Two Variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปร (Limit and Continuity) . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 อนพนธยอยของฟงกชนสองตวแปร (Partial Deivatives) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 กฎลกโซ (Chain Rule) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5 อนพนธอนดบสง (Higher order partial derivative) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6 การประมาณคาเชงเสน (Linear Approximation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (Integral of Functions of Two Variables) 615.1 อนทรกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา (Rectangular Domain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 อนทรกรลบนโดเมนทวไป (General Domain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3 ระบบพกดเชงขว (Polar Coordinate System) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4 อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (Integral in Polar Coordinate System) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 สมการเชงอนพนธเบองตน (Elementary Differential Equations) 1096.1 สมการแบบแยกตวแปรได (Separable Equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.2 สมการเอกพนธ (Homogeneous Equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 สมการแมนตรง (Exact Equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4 ตวประกอบอนทรกรล (Integral Factor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.5 สมการเชงเสน (Linear Equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

ก

ข สารบญ

6.6 สมการแบรนลล (Bernoulli's Equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

บทท 1

ลาดบและอนกรม

1

2 บทท . ลาดบและอนกรม

บทท 2

อนกรมกาลง

3

4 บทท . อนกรมกาลง

บทท 3

ปรภมสามมต (Three-Dimensional Space)

3.1 ระบบพกดฉากในปรภมสามมต (Three-Dimensional RectangleCoordinate Systems)การบอกตาแหนงของจดในปรภมสามมตทาไดจากการอางองเสนตรงสามเสนคอ แกน X แกน Y และแกน Z ซงตดการทจด Oเรยกวาจดกาเนด (origin) และเรยก

ระนาบทผาน แกน X และแกน Y วา ระนาบ XY (XY-plane)ระนาบทผาน แกน X และแกน Z วา ระนาบ XZ (XZ-plane)ระนาบทผาน แกน Y และแกน Z วา ระนาบ YZ (YZ-plane)

X

Y

Z

ระนาบ XY

X

Y

Z

ระนาบ XZ

X

Y

Z

ระนาบ YZระนาบพกดฉากทงสามจะแบงปรภมสามมตออกเปน 8 สวนเรยกวา อฐภาค (Octance)

X

Y

Z

5

6 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)

การเลอกทศทางทเปนบวกของพกดฉาก เรานยมใชกฎมอขวาโดยใหนวหวแมมอไปทางแกน Z บวก นวช ไปทางแกน X บวกและนวกลาง ชไปทางแกน Y บวก ตงฉากกนเสมอ ตวอยางดงรปตอไปน เราจะเลอกใชแบบใดแบบหนงตามความเหมาะสม

X

Y

Z

Z

X

Y

X

Y

Z

Y

X

Z

การบอกตาแหนงของจด P ในปรภมสามมต มแกนพกดเปนทอางองบอกไดโดยใชจานวนจรง (x, y, z) เรยกวาพกดฉากของจด P และใชR3 แทนเซตของจด (x, y, z) ในปรภมสามมต

XY

Z

P (x, y, z)

(x, 0, 0)

(x, 0, z)

(0, 0, z)

(x, y, 0)

(0, y, 0)

(0, y, z)

จากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ XY ไปยงแกน Z จะไดจด (0, 0, z) เราเรยกจดนวา ภาพฉาย (projection) ของ P แกน Zจากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ YZ ไปยงแกน X จะไดจด (x, 0, 0) เราเรยกจดนวา ภาพฉายของ P แกน Xจากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ XZ ไปยงแกน Y จะไดจด (0, y, 0) เราเรยกจดนวา ภาพฉายของ P แกน Yจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน Z ไปทระนาบ XY จะไดจด (x, y, 0) เราเรยกจดนวา ภาพฉายของ P บนระนาบ XYจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน X ไปทระนาบ YZ จะไดจด (0, y, z) เราเรยกจดนวา ภาพฉายของ P บนระนาบ YZจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน Y ไปทระนาบ XZ จะไดจด (x, 0, z) เราเรยกจดนวา ภาพฉายของ P บนระนาบ XZ

ตวอยาง 3.1.1 จงหาภาพฉายทงหมดของจด P (1, 2, 3)

ภาพฉายบนระนาบ XY ของจด P คอ (1, 2, 0)

ภาพฉายบนระนาบ XZ ของจด P คอ (1, 0, 3)

ภาพฉายบนระนาบ YZ ของจด P คอ (0, 2, 3)

ภาพฉายบนแกน X ของจด P คอ (1, 0, 0)

ภาพฉายบนแกน Y ของจด P คอ (0, 2, 0)

ภาพฉายบนแกน Z ของจด P คอ (0, 0, 3)

. . ระบบพกดฉากในปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL RECTANGLE COORDINATE SYSTEMS) 7

ตวอยาง 3.1.2 จงเขยนกราฟในปรภมสามมตแสดงจดดงตอไปน

1. P (1,−2, 2) 2. Q(0, 2, 1) 3. R(1, 2, 2) 4. S(3, 1, 2)

X

Y

Z

P (1,−2, 2)

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

แบบฝกหด 3.11. จงเขยนกราฟในปรภมสามมตแสดงจดดงตอไปน

1.1 A(5, 0, 0)

1.2 B(0, 2, 1)

1.3 C(3, 1, 0)

1.4 D(−3, 0, 2)

1.5 E(1, 1, 3)

1.6 F (−4, 2,−3)

1.7 G(2, 1,−2)

1.8 H(3,−2, 6)

2. จงหาภาพฉายของจด P บนระนาบ XY, XZ และ YZ2.1 P (3, 1, 2) 2.2 P (1, 2,−2) 2.3 P (4,−1, 0) 2.4 P (−8, 9, 7)

3. จงหาภาพฉายของจด P บนแกน X, Y และ Z3.1 A(5, 0, 0) 3.2 B(0, 2, 1) 3.3 C(3, 1, 0) 3.4 D(−3, 0, 2)


3.2 เวกเตอรในปรภมสามมต (Vectors in Three-Dimensional Space)เวกเตอร (vector) คอปรมาณทมทงขนาดและทศทาง โดยทวไปใชสวนของเสนตรงเชอมโยงกนระหวางจดสองจดและมลกศรกากบแทนเวกเตอร และความยาวของเสนตรงแทนขนาดของเวกเตอร ใชสญญาลกษณ −→

PQ แทนเวกเตอรทมจดเรมตนทจด PสนสดทจดQ มทศทางจาก P ไปQ และใช ∥−→PQ∥ แทนความยาวหรอขนาด (length/magnitude/norm) ของ−→PQ และเวกเตอรทงสองจะเทากนกตอเมอทงสองมขนาดเทากนและทศทางเดยวกน

X

Y

Z

P

Q

O

A

บทนยาม 3.2.1 กาหนดให P (x1, y1, z1) และQ(x2, y2, z2) แลว a เปนเวกเตอรตาแหนง (position vector) ของ−→PQ คอ

a = ⟨x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1⟩

ถา a1 = x2 − x1, a2 = y2 − y1 และ a3 = z2 − z1 ดงนน a = ⟨a1, a2, a3⟩ เรยก a1, a2 และ a3 วาสวนประกอบ(component) ของ a ตามแกน X แกน Y และ แกน Z ตามลาดบ

XY

Z

OA

a1 a2

a3

a

จากรปโดยใชความสมพนธของสามเหลยมมมฉากจะไดวา

∥a∥ =√a21 + a22 + a23

บทนยาม 3.2.2 เวกเตอรทมตวประกอบทกตวเปนศนยเรยกวา เวกเตอรศนย (zero vector) เขยนแทนดวย 0 = ⟨0, 0, 0⟩

ขอตกลง เมอ P เปนจดในR3 และO เปนจดกาเนด เราจะเขยนเวกเตอร−→OP แทนดวย P

. . เวกเตอรในปรภมสามมต (VECTORS IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 9

มมแสดงทศทาง (Direction Angles)บทนยาม 3.2.3 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ = 0 เปนเวกเตอรททามม α, β, γ กบแกน X แกน Y และแกน Z ดานบวกตามลาดบโดยท α, β, γ ∈ [0, π] เราเรยก α, β, γ วามมแสดงทศทาง (direction angles) ของ a และ cosα, cos β, cos γ วาโคไซนแสดงทศทาง (direction cosines) ของ a

XY

Z

O

a1 a2

a3

a

α

β

γ

จากรปจะไดวา cosα = a1∥a∥ cos β = a2

∥a∥ cos γ = a3∥a∥

ตวอยาง 3.2.4 จงหาเวกเตอรตาแหนงของ−→PQ พรอมทงขนาดและโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรนน

1. P (1, 2,−3) และQ(−1, 0− 4) 2. P (4,−1, 2) และQ(5,−2, 3)

ตวอยาง 3.2.5 จงหามมแสดงทศทางของเวกเตอร a = ⟨−1, 1,√2⟩

บทนยาม 3.2.6 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ และ k ∈ R

1. a = b กตอเมอ a1 = b1, a2 = b2 และ a3 = b3

2. a+ b = ⟨a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3⟩

3. ka = ⟨ka1, ka2, ka3⟩

4. a− b = a+ (−b)

ตวอยาง 3.2.7 ให a = ⟨1,−2, 5⟩ และ b = ⟨−1,−4, 7⟩ จงหาเวกเตอรตอไปน

1. a+ b 2. 2a+ 3b 3. 3a− 2b


ทฤษฎบท 3.2.8 ให a, b และ c เปนเวกเตอรในR3 และ c, k ∈ R แลว

1. a+ b = b+ a

2. (a+ b) + c = a+ (b+ c)

3. a+ 0 = a

4. a+ (−a) = 0

5. (ck)a = c(ka) = k(ca)

6. c(a+ b) = ca+ cb

7. (c+ k)a = ca+ ka

8. 1a = a

9. 0a = 0

เวกเตอรหนงหนวย (Unit Vector)บทนยาม 3.2.9 เราเรยกเวกเตอรทมขนาดหนงหนวยวา เวกเตอรหนวยหรอเวกเตอรหนงหนวย (unit/unit vector)

ให a เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยในR3 และจะไดวาa

∥a∥เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศเดยวกบ a − a

∥a∥เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศตรงขามกบ a

ตวอยาง 3.2.10 จงหาเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอรตอไปน

1. ⟨1,−2, 2⟩ 2. ⟨1, 1,√2⟩ 3. ⟨3 sin θ, 4 sin θ, 5 cos θ⟩

เวกเตอรหนงหนวยตามแนวแกน X แกน Y และ แกน Z คอ i, j และ k ตามลาดบ

i = ⟨1, 0, 0⟩ j = ⟨0, 1, 0⟩ k = ⟨0, 0, 1⟩

ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ แลวจะไดวา

a = ⟨a1, a2, a3⟩ = a1⟨1, 0, 0⟩+ a2⟨0, 1, 0⟩+ a3⟨0, 0, 1⟩ = a1i+ a2j + a3k

ผลคณเชงสเกลาร (Scalar Product)บทนยาม 3.2.11 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ แลวผลคณเชงสเกลาร (scalar product) ของ a และ b เขยนแทนดวย a · b มคาดงน

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3

ตวอยาง 3.2.12 จงหาผลคณเชงสเกลารของเวกเตอร a และ b

1. a = ⟨3,−1, 5⟩ และ b = ⟨1, 6,−3⟩

2. a = ⟨2, 1,−7⟩ และ b = ⟨4, 6, 2⟩

3. a = ⟨a, 1,−a⟩ และ b = ⟨a, a, a+ 1⟩

4. a = ⟨2 sinx, cosx, 1⟩ และ b = ⟨sinx, 2 cosx, 1⟩


ทฤษฎบท 3.2.13 ให a, b และ c เปนเวกเตอรในR3 และ k ∈ R แลว

1. a · b = b · a

2. a · (b+ c) = a · b+ a · c

3. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb)

4. a · a = ∥a∥2

ตวอยาง 3.2.14 ให a และ b เปนเวกเตอรในR3 จงแสดงวา

1. a · a = 0 กตอเมอ a = 0 2. ∥a+ b∥2 = ∥a∥2 + 2a · b+ ∥b∥2

ทฤษฎบท 3.2.15 ให a = 0 และ b = 0 เปนเวกเตอรในR3 แลว

a · b = ∥a∥∥b∥ cos θ

เมอ θ เปนมมระหวาง a และ b เมอ 0 ≤ θ ≤ π ดงรป

a

b

θ

ขอสงเกต a และ b ตงฉากกน (perpendicular/orthogonal) กตอเมอ a · b = 0 หรอ θ = π2

ตวอยาง 3.2.16 ใหA(1, 2, 0),B(0, 4, 2) และC(3, 2,−2) เปนจดยอดของสามเหลยมABC จงหามมBAC

ตวอยาง 3.2.17 ให a = ⟨3, 2,−1⟩, b = ⟨1,−1, 1⟩ และ c = ⟨3, 4,−2⟩ จงตรวจสอบวาเวกเตอรคใดตงฉากกน


ภาพฉายเวกเตอร (Vector Projection)บทนยาม 3.2.18 ให a = 0, b = 0 และ θ เปนมมระหวาง a และ b ลากเสนตรงจากA ไปตงฉากกบ−−→

OB ทจดC ดงรป

B

A

θ

O C

a

bB

A

θ

OC

a

b

• เรยก−→OC วา ภาพฉายเวกเตอร (vector projection) ของ a บน b เขยนแทนดวย Projba

• เรยก ∥−→OC∥ วา ภาพฉายสเกลาร (scalar projection/component) ของ a บน b เขยนแทนดวย Compbaทฤษฎบท 3.2.19 ให a = 0, b = 0 แลวจะไดวา

Projba =a · b∥b∥2

b และ Compba =a · b∥b∥

ตวอยาง 3.2.20 จงหาภาพฉายเวกเตอรและภาพฉายสเกลารของ a บน b

1. a = ⟨1, 2, 3⟩ และ b = ⟨1,−2,−2⟩ 2. a = ⟨3, 1, 2⟩ และ b = ⟨1,−2, 4⟩

ผลคณเชงเวกเตอร (Vector Product)บทนยาม 3.2.21 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ แลวผลคณเชงเวกเตอร (vector product/cross product) ของ aและ b เขยนแทนดวย a× b คอ

a× b = ⟨a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1⟩

หรอ

a× b =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣∣a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣∣− j

∣∣∣∣∣a1 a3

b1 b3

∣∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣∣a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣∣เมอ |M | แทนดเทอรมแนนทของเมตรกซM

b

a

a× b


ตวอยาง 3.2.22 กาหนดให a = ⟨1, 2,−1⟩, b = ⟨0, 2, 1⟩ และ c = ⟨−3, 1,−1⟩ จงหา

1. a× b 2. a× (b+ c) 3. c× (a× b)

ทฤษฎบท 3.2.23 ให a, b และ c เปนเวกเตอรในR3 และ k ∈ R แลว

1. a× b = −(b× a)

2. a× (b+ c) = (a× b) + (a× c)

3. k(a× b) = (ka)× b = a× (kb)

4. a · (a× b) = 0 = b · (a× b)

ตวอยาง 3.2.24 จงหาเวกเตอรทตงฉากกบ a = ⟨1,−3, 4⟩ และ b = ⟨2, 2, 1⟩

ทฤษฎบท 3.2.25 ให a = 0 และ b = 0 เปนเวกเตอรในR3 และ θ เปนมมระหวาง a และ b แลว

∥a× b∥ = ∥a∥∥b∥ sin θ

ขอสงเกต a และ b ขนานกน (paralell) กตอเมอ a× b = 0 หรอ θ = 0 หรอ π

ทฤษฎบท 3.2.26 ให a และ b เปนเวกเตอรในR3 แลวพนทสเหลยมดานขนาน (parallelogram) ทมดานประชดเปน a และ b มคาเทากบ ∥a× b∥

a

b

ขอสงเกต a และ b ขนานกน (paralell) กตอเมอ a× b = 0 หรอ θ = 0 หรอ π

ตวอยาง 3.2.27 จงหาพนทของสามเหลยมทมจดยอดเปนA(2, 1, 1),B(−1, 3, 1) และC(0, 2,−3)


ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร (Scalar Triple Product)บทนยาม 3.2.28 ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 แลวผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร (scalar triple products) ของ a, bและ c คอ a · b× c หรอ a · (b× c) นนคอ

a · b× c =

∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣เมอ a = ⟨a1, a2, a3⟩, b = ⟨b1, b2, b3⟩ และ c = ⟨c1, c2, c3⟩

โดยคณสมบตของดเทอรมแนนทจะไดวา a · b× c = b · c× a = c · a× b

ทฤษฎบท 3.2.29 ปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน (parallepiped) ซงมดานประชดเปนa, b และ c เทากบ |a · b× c|

b× c

c

b

a

A

h

θ

จากรป V = Ah = ∥b× c∥∥a∥| cos θ| = |a · b× c|

ตวอยาง 3.2.30 จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานซงมดานประชดเปน ⟨1, 1,−1⟩, ⟨2, 1, 0⟩ และ ⟨0, 1, 3⟩

ตวอยาง 3.2.31 จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรแสดงวา ⟨1, 4,−7⟩, ⟨2,−1, 4⟩ และ ⟨0,−9, 18⟩ อยบนระนาบเดยวกน (coplanar)


แบบฝกหด 3.21. กาหนดให a = ⟨1, 2, 0⟩, b = ⟨1,−1, 2⟩, c = ⟨1, 0, 3⟩ และ d = ⟨−2, 1, 5⟩ จงหา

1.1 2a− 3b

1.2 ∥c+ 2d∥+ ∥2a+ b∥

1.3 เวกเตอรหนงหนวยของ 2c− d

1.4 โคไซนแสดงทศทางของ b+ c

1.5 มมระหวาง a+ c กบ a− c

1.6 (a× b)× (c× d)

1.7 ภาพฉายเวกเตอรและภาพฉายสเกลารของ b บน c

1.8 เวกเตอร 5 หนวยทตงฉากกบ a และ c

2. จงตรวจสอบวาเวกเตอรคใดตอไปนตงฉากกนบาง

a = ⟨1, 2, 1⟩, b = ⟨1,−2, 3⟩, c = ⟨−3, 3, 1⟩ และ d = ⟨−1, 1, 7⟩

3. จงหาพนทสามเหลยมทมจดยอดเปน (−3, 1, 2), (−5, 1, 0) และ (4,−2, 1)

4. กาหนดใหA(1, 1, 2), B(2, 0, 3), C(3, 0, 0) และD(2, 1,−1) จงแสดงวารปสเหลยม ABCD เปนสเหลยมดานขนาน และหาพนทของรปสเหลยมน

5. จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานซงมดานประชดเปน a = ⟨2, 1,−3⟩, b = ⟨4,−1, 0⟩ และ c =

⟨−1, 4,−1⟩

6. จงยกตวอยางเวกเตอร a, b และ c ททาให a× (b× c) = (a× b)× c

7. จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรแสดงวา ⟨1, 5,−2⟩, ⟨3,−1, 0⟩ และ ⟨5, 9,−4⟩ อยบนระนาบเดยวกน

8. ให a, b และ c เปนเวกเตอรในR3 จงแสดงวา

8.1 ∥a× b∥2 = ∥a∥2∥b∥2 − (a · b)

8.2 ถา a+ b+ c = 0 แลว a× b = b× c = c× a

8.3 (a− b)× (a+ b) = 2(a× b)

8.4 a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c

8.5 a× (b× c) + b× (c× a) + c× (a× b) = 0

8.6 (a× b) · (c× d) =

∣∣∣∣∣a · c b · ca · d b · d

∣∣∣∣∣


3.3 เสนตรงในปรภมสามมต (Lines in Three-Dimensional Space)สมการของเสนตรง (Equations of Lines)บทนยาม 3.3.1 ให P0 เปนจดในR3 และ A = 0 เปนเวกเตอรในR3 เราจะเรยก

เซตของจด P ใดๆซงทาให−−→P0P ขนานกบ A วาเสนตรงทผานจด P0 และขนานกบ A

และเรยก A วาเวกเตอรแสดงทศทาง (direction vector) ของเสนตรง

X

Y

Z P

P0

L

O

A

เนองจาก−−→P0P ขนานกบ A ดงนนจะไดวาม t ∈ R ททาให−−→P0P = tA หรอ P = P0 + tA (3.1)

ถากาหนดจด P (x, y, z) และ P0(x0, y0, z0) และ A = ⟨a, b, c⟩ ดงนน

⟨x, y, z⟩ = ⟨x0, y0, z0⟩+ t⟨a, b, c⟩ = ⟨x0 + at, y0 + bt, z0 + ct⟩ (3.2)

เราเรยกสมการ (3.1) หรอ (3.2) วาสมการเวกเตอร (vector equation) ของเสนตรง Lจากสมการ (3.2) เราจะแยกเขยนสมการสาหรบสวนประกอบไดเปน

x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct (3.3)

เราจะเรยกสมการ (3.3) วาสมการอางองตวแปรเสรม (parametric equation) ของเสนตรง Lถา a, b, c ไมมจานวนใดเปนศนยเลย จะไดวา

x− x0

a=

y − y0b

=z − z0

c(3.4)

เราเรยกสมการ (3.4) วาสมการสมมาตร (symmetric equation) ของเสนตรง L

ตวอยาง 3.3.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม สมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด P0(1, 2, 3) และขนานกบA = ⟨1, 2,−1⟩

. . เสนตรงในปรภมสามมต (LINES IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 17

ตวอยาง 3.3.3 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรมสมการสมมาตรของเสนตรงทผานจดP1(1, 3, 4)และP2(1,−2, 3)

จดและเสนตรง (Point and Line)การตรวจสอบวาจด P (x, y, z) อยบนเสนตรง L หรอไมทาไดโดยการแทนคา x, y, z ลงในสมการเสนตรง L วาสอดคลองกบสมการของเสนตรง L หรอไม

ตวอยาง 3.3.4 จงตรวจสอบวาจด P (1,−2, 3) อยบนเสนตรงตอไปนหรอไม

1. x = 3− t, y = 2− 4t, z = 3 + t 2. x+ 1

2=

y + 5

3= z − 2

ตวอยาง 3.3.5 จงพจารณาA(1, 2, 0),B(−1, 3, 4) และC(−2, 1, 5) อยบนเสนตรงตอไปนหรอไม

ตวอยาง 3.3.6 จงหาจดทเสนตรงตอไปนตดระนาบ XY ระนาบ XZ และ ระนาบ YZ

1. x = 1 + t, y = 2− 2t, z = t− 3 2. 1− x

3=

y − 10

5, z = 4


การวดระยะทางระหวางจดB กบเสนตรง L คอความยาวทสนทสดจากจดB ไปยงเสนตรง L ซงกคอความยาวของเสนตงฉากทลากจากจดB ไปยงเสนตรง L ทจดM เรยกจดM วาจดเชงเสนตงฉาก (Orthogonal point)

X

Y

Z

P0

M

B

L

O

A

θ

จากรปจะไดวา ∥−−→BM∥ = ∥−−→P0B∥ sin θ เนองจาก A ขนานกบ−−→P0M ดงนน θ เปนมมระหวาง−−→PB กบ A ดงนน

∥−−→BM∥ =

∥−−→P0B∥∥A∥ sin θ

∥A∥=

∥−−→P0B × A∥

∥A∥

ตอไปเราจะหาจดM เนองจากM อยบนเสนตรง L ดงนนม t ∈ R ททาให M = P0 + tA เนองจาก−−→BM ตงฉากกบ A

ดงนน

0 =−−→BM · A = (M − B) · A = (P0 + tA− B) · A = (P0 − B) · A+ t∥A∥2

แลวจะไดวาt =

(−−→OB −

−−→OP0) · A

∥A∥2

ดงนน

M = P0 +(B − P0) · A

∥A∥2A

ตวอยาง 3.3.7 จงหาจดเชงเสนตงฉากของจดB(2, 1,−1) บนเสนตรง x = 5 + 4t, y = 2− t, z = 4 + 3t พรอมทงหาระยะทางจากจดB ไปยงเสนตรงน


การตดกนของเสนตรง (Intersection of two Lines)ความสมพนธของเสนตรง L1 และ L2 ในปรภมสามมตมลกษณะดงน

1. ตดกน

2. ไมตดกน

2.1 ไมตดกน และขนานกน2.2 ไมตดกน และไมขนานกน

X

Y

Z

L1

L2

O

X

Y

Z

L1 L2

O

X

Y

Z

L1

L2

O

ตวอยาง 3.3.8 จงตรวจสอบวา L1 และ L2 ตดกนหรอไม ถาตดจงหาจดตด

1. L1 : x = 2 + t, y = 4− t, z = 3 + 2t

L2 : x = 1− s, y = 9 + 3s, z = 2 + s

2. L1 : 2− x = 3− y = z−12

L2 : 7−x3

= y = z − 1


มมระหวางเสนตรง (Angle between Lines)บทนยาม 3.3.9 มมระหวางเสนตรงสองเสน คอมมระหวางเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสองเสนนน

XY

Z

L1

L2

O

A1

A2

θ

cos θ =A1 · A2

∥A1∥∥A2∥

ตวอยาง 3.3.10 จงหามมระหวางเสนตรง L1 และ L2

1. L1 : x = 2 + t, y = 1 + 2t, 2z = 1 + 4t

L2 : x = −3s, y = 2 + 4s, z = 5s− 1

2. L1 : 2x− 1 = y = 1−z3

L2 : x4= y − 1 = z

ตวอยาง 3.3.11 จงหาสมการเสนตรงทผานจดB(1,−1, 2) ซงตดและตงฉากกบเสนตรง x− 1 = 3−y2

= −z


การขนานกนของเสนตรง (Parallel Line)บทนยาม 3.3.12 เสนตรงสองเสนขนานกน (parallel line) กตอเมอเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสองเสนขนานกน

ตวอยาง 3.3.13 จงหาสมการเสนตรงทผานจด (1, 2, 3) และขนานกบเสนตรง x+ 2 = 4−y2

= 1− z

การไขวตางระนาบของเสนตรง (Skew Line)บทนยาม 3.3.14 เราจะเรยกเสนตรงสองเสนวา เสนไขวตางระนาบ (skew line) กตอเมอเราไมสามารถหาระนาบทเสนตรงทงสองอยบนระนาบเดยวกนได หรอกลาวไดอกอยางวาเสนตรงทงสองไมตดกนไมไมขนานกน

ตวอยาง 3.3.15 จงพจารณา L1 และ L2 วาเปนเสนไขวตางระนาบกนหรอไม

1. L1 : 2x = 1 + t, y = 2− t, 3z = t

L2 : x = 2− 3s, y = 6s, z = 1− 2s

2. L1 : x = y2= z − 1

L2 : x+12

= y − 1 = z+23


ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน (Distance between Lines)บทนยาม 3.3.16 ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน คอระยะทสนทสดระหวางเสนตรงทงสอง

ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทขนานกน

X

Y

Z

P2

P1 L2

L1

O

ให L1 และ L2 เปนเสนตรงสองเสนทขนานกน ซงผานจด P1 และ P2 ตามลาดบ ระยะทางระหวาง L1 และ L2 คอ ระยะทางระหวางจด P1 ไปยง L1 หรอ P2 ไปยง L2 นนคอ

ระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ ∥−−→P1P2 × A1∥

∥A1∥หรอ ∥

−−→P2P1 × A2∥

∥A2∥

ตวอยาง 3.3.17 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง

L1 : x = 1 + t, y = 2− 2t, z = −1 + 2t และ L2 : x = 2− s, y = 1 + 2s, z = −2s


ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทไมขนานกน

XY

Z P1

Q1

P2

Q2

L1

L2

O

A1 × A2

L1

L2

P2

P1

−−−→Q1Q2

จากรปQ1 และQ2 เปนจดปลายของสวนเสนตรงทตงฉากกบ L1 และ L2 ดงนน

ระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ ∥−−−→Q1Q2∥

เนองจาก−−−→Q1Q2 ตงฉากกบ A1 และ A2 จะไดวา−−−→Q1Q2 ขนานกบ A1 × A2 จากรปจะไดวา

∥−−−→Q1Q2∥ = ขนาดของภาพฉายสเกลารของ−−→P2P1 บน A1 × A2

ดงนน

ระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ |−−→P2P1 · (A1 × A2)|

∥A1 × A2∥

ตวอยาง 3.3.18 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง

L1 : x−12

= −y = z−2

และ L2 : x = −3t, y = 1 + 2t, z = t


แบบฝกหด 3.31. จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม สมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด P0 และขนานกบ A

1.1 P0(2, 1, 1) และ A = ⟨1,−1, 3⟩ 1.2 P0(−1, 3, 5) และ A = ⟨0, 2,−1⟩

2. จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม สมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด P1 และ P2

2.1 P1(1,−1, 0) และ P2(2,−3, 5) 2.2 P1(−1,−3,−2) และ P2(−5, 0, 1)

3. จงตรวจสอบวาจด (1, 2,−3) อยบนเสนตรงใดตอไปนหรอไม

3.1 x = 3− 2t, y = 3 + t, z = 1− 4t

3.2 2x = 3 + 2t, y = 1− 2t, 3z = 4t− 7

3.3 2x− 1 = y+22

= z3

3.4 x+74

= 4− y = z+93

4. จงพจารณาวาจดA(3, 3, 1),B(−1, 5,−7) และC(5, 2, 5) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม

5. จงหาระยะทางจากจดB(1,−2, 1) ไปยงเสนตรงตอไปน

5.1 x = 6 + 4t, y = 3− 2t, z = 1 + t 5.2 x−12

= 1−y3

= z+14

6. จงหาพกดของจดบนเสนตรงตอไปน ทอยใกลจดกาเนดมากทสด

6.1 x = 9 + 4t, y = t, z = 3 + 2t 6.2 8−x6

= y−22

= z+78

7. จงตรวจสอบวา L1 และ L2 ตดกนหรอไม ถาตดจงหาจดตด

7.1 L1 : x = 2 + t, y = −1 + 3t, z = 2− 3t

L2 : x = 4 + s, y = 5 + 3s, z = s

7.2 L1 : x−12

= 2− y = z

L2 : 2x+13

= y = z − 2

8. จงหามมระหวางเสนตรง L1 และ L2 ในแตละขอตอไปน

8.1 L1 : x = 2 + t, y = 1− t, z = 5 + t

L2 : x = 2 + s, y = 5− 2s, z = 1− 3s

8.2 L1 : 1− x = y = z+3√2

L2 : x√2= y−3√

2= z+1

2

9. จงหาสมการเสนตรงทผานจดกาเนด ซงตดและตงฉากกบเสนตรง x = 3−y2

= z − 2

10. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (−1, 2, 1) และขนานกบเสนตรง x+32

= 1−y5

= 2− z


11. จงพจารณา L1 และ L2 วาเปนเสนไขวตางระนาบกนหรอไม

11.1 L1 : 2x = 1 + 4t, y = 2− t, z = t

L2 : x = −4s, y = 1 + 2s, 3z = 1− 6s

11.2 L1 : x− 1 = 3−y2

= 2z + 1

L2 : 2− x = y−12

= 1−4z2

12. จงระยะทางระหวาง L1 และ L2 ในแตละขอตอไปน

12.1 L1 : x = 7t, y = 2 + t, z = 4− 3t

L2 : x = 3− s, y = 5, z = 6 + 2s

12.2 L1 : x+ 5 = y+34

= 6−z9

L2 : 2− x = 4−y4

= z+1−9

12.3 L1 : x = 5 + 4t, y = 2− t, z = 4 + 3t

L2 : x = 2−8s, y = 1+2s, z = −1−6s

12.4 L1 : x+ 1 = z+12, y = 2

L2 : x = 2− t, y = 3 + 4t, z = 2t


3.4 ระนาบในปรภมสามมต (Plane in Three-Dimensional Space)สมการระนาบ (Equation of Plane)บทนยาม 3.4.1 ให P0 เปนจดในR3 และ N = 0 เปนเวกเตอรในR3 เราจะเรยก

เซตของจด P ใดๆซงทาให−−→P0P ตงฉากกบ N วาระนาบ (plane) ทผานจด P0 และตงฉากกบเวกเตอร N

และเรยก N วาเวกเตอรแนวฉาก (normal vector)

X Y

Z

O

N

P0

P

เนองจาก−−→P0P ตงฉากกบ N ดงนน −−→P0P · N = 0 หรอ

(P − P0) · N = 0 (3.5)

เราจะเรยกสมการ (3.5) วาสมการเวกเตอรของระนาบ (vector equation of the plane)

ถากาหนดให P0 = (x0, y0, z0), P = (x, y, z) และ N = ⟨a, b, c⟩ จะไดวา

a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 (3.6)

เรยกสมการ (3.6) วาสมการสเกลาร (scalar equation) ของระนาบทผานจด (x0, y0, z0) และม ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉาก

ถาเราจดรปสมการ (3.6) โดยกาหนดให d = ax0 + by0 + cz0 จะไดวา

ax+ by + cz = d (3.7)

เรยกสมการ (3.7) วาสมการคารทเซยน (cartesian equation) ของระนาบ ทม ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉาก

ตวอยาง 3.4.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการสเกลาร และสมการคารทเซยนของระนาบทผานจด P0(1, 2, 3) และตงฉากกบN = ⟨1,−1, 4⟩

. . ระนาบในปรภมสามมต (PLANE IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 27

ตวอยาง 3.4.3 จงหาสมการของระนาบทผานจด P (1, 2, 3),Q(3,−1, 6) และR(5, 1, 0)

ตวอยาง 3.4.4 จงเขยนกราฟของระนาบตอไปน

1. x = 2

2. y = 1

3. z = 3

4. x+ y = 1

5. x+ y − z = 2

6. 2x+ 3y + 4z = 12


จดกบระนาบ (Point and Plane)จดใดๆจะอยบนระนาบ กตอเมอพกดของจดนนสอดคลองสมการระนาบ

ตวอยาง 3.4.5 จงตรวจสอบวา P (1, 2,−1) และQ(2, 3, 1) อยบนระนาบ x− 2y − 4z = 1 หรอไม

ตวอยาง 3.4.6 จงตรวจสอบวา P (1, 2,−1),Q(2, 0, 3),R(3, 4, 1) และ S(−2, 1, 2) อยบนระนาบเดยวกนหรอไม

บทนยาม 3.4.7 ระยะทางระหวางจดกบระนาบ คอระยะทางตงฉากจากจดนนไปยงระนาบ

ใหระนาบM มสมการเวกเตอรเปน (P − P0) · N = 0 และ P1 เปนจดในR3 ลากไปตงฉากกบระราบM ทจดQ ดงรป

N

P0

P1

Q

N

P0

P1

Q

จากรปจะไดวา ∥−−→QP1∥ = ขนาดของภาพฉายของ−−→P0P1 บน N จะไดวา

∥−−→QP1∥ =

|−−→P0P1 · N |∥N∥

=|(P1 − P0) · N |

∥N∥

กาหนดใหระนาบM ผานจด P0 = (x0, y0, z0) และม N = ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉากM จะมสมการคารทเซยนเปนax+ by + cz = d เมอ d = ax0 + by0 + cz0 แลว

∥−−→QP1∥ =

|(P1 − P0) · N |∥N∥

=|⟨x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0⟩ · ⟨a, b, c⟩|√

a2 + b2 + c2

=|ax1 + by1 + cz1 − (ax0 + by0 + cz0)|√

a2 + b2 + c2

=|ax1 + by1 + cz1 − d|√

a2 + b2 + c2

ดงนนระยะทางระหวางจด P1(x1, y1, z1) กบระนาบ ax+ by + cz = d คอ|ax1 + by1 + cz1 − d|√

a2 + b2 + c2


ตวอยาง 3.4.8 จงหาระยะทางระหวางจด P1(4, 3,−1) กบระนาบ x− 2y + 2z = 5

ตวอยาง 3.4.9 จงหาจดบนระราบ 2x+ y − 3z + 10 = 0 ซงอยใกลทสดกบจด P1(4, 2, 2)

เสนตรงกบระนาบ (Line and Plane)เสนตรงกบระนาบมความสมพนธกน 3 ลกษณะคอ

1. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนจดเดยว เรยกวาเสนตรงตดกบระนาบ

2. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนมากกวาหนงจด นนคอเสนตองอยบนระนาบ

3. เสนตรงกบระนาบมไมมจดรวม นนคอเสนตรงขนานกบระรนาบ

ตวอยาง 3.4.10 จงพจารณาวาเสนตรงกบระนาบตอไปนตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตด ถาขนานกนจงพจารณาวาเสนตรงอยบนระนาบหรอไม

1. x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3− 3t และ x+ 4y + 2z = 5

2. x− 1 = y+32

= z และ 2x− y + z = 7

ตวอยาง 3.4.11 จงหาสมการของระนาบทผานเสนตรง L : x = y − 1 = z2และผานจดQ(1, 3,−1)

ตวอยาง 3.4.12 จงหาสมการของระนาบทขนานกบเสนตรง L1 : x − 1 = y2= z และ L2 : x

2= y = z

3และผานจด

Q(2,−3, 1)


บทนยาม 3.4.13 ถาเวกเตอรแสดงทศทางของ L ทามม θ กบเวกเตอรแนวฉากของระนาบM เราจะกลาววา

มมระหวางเสนตรง L กบระนาบM คอ |π2− θ|

L

A

N

M

θπ2− θ

ตวอยาง 3.4.14 จงหามมระวางเสนตรง L : x5= 1−y

2= z

5กบระนาบ 2x+ y − 7z = 1

ตวอยาง 3.4.15 จงหาสมการของระนาบทผานจดQ(3,−6, 3) และตงฉากกบเสนตรง P = ⟨2, 0, 1⟩+ t⟨3,−1, 1⟩

ตวอยาง 3.4.16 จงระยะทางระหวางเสนตรง x−12

= y = z+23

กบระนาบ x+ y − z = 9


การขนานกนของระนาบ (Parallel Plane)ระนาบขนานกน กตอเมอเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกน

N1

N2

M2

M1

ตวอยาง 3.4.17 จงหาสมการระนาบทผานจด (1, 2,−3) และขนานกบระนาบ x+ 2y − z = 5

บทนยาม 3.4.18 ระยะทางระหวางระนาบทงสอง คอระยะฉากระหวางระนาบทงสอง

ใหM1 และM2 เปนระนาบทขนานกนมสมการดงน ax + by + cz = d1 และ ax + by + cz = d2 ตามลาดบ ใหP1(x1, y1, z1) เปนจดบนระนาบM1 ดงนน

ระยะทางระหวางระนาบM1 และM2 = ระยะทางระหวางจด P1 กบระนาบM2

=|ax1 + by1 + cz1 − d2|√

a2 + b2 + c2

=|d1 − d2|√a2 + b2 + c2

ตวอยาง 3.4.19 จงหาระยะทางระหวางระนาบ x+ 2y − 2z = 10 และ x+ 2y − 2z = 1

ตวอยาง 3.4.20 จงหาสมการระนาบทขนานกบระนาบ x+ y −√2z = 1 และระยะทางระหวางระนาบทงสองเทากบ 5 หนวย


การตดกนของระนาบ (Intersection of two Planes)ระนาบทตดกนคอระนาบทไมขนานกน (พจารณาจากเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกนหรอไม) รอยตดทเกดยอมเปนเสนตรง

L

M2

M1

จากรปเนองจากเสนตรง L อยบนระนาบM1 และM2 ดงนนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L ตองตงฉากกบ N1 และ N2

ดงนน A = N1 × N2

ตวอยาง 3.4.21 จงหาสมการเสนตรงทเกดจากการตดกนของระนาบ 2x− y + z = 1 และ x+ y − 2z = 5

มมระหวางระนาบ (Angle between Planes)บทนยาม 3.4.22 มมระหวางระนาบสองระนาบ คอมมระหวางเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสอง

ตวอยาง 3.4.23 จงหามมระหวางระนาบ 2x+ y + 2z = 1 กบ 5x− 3y + 4z = 5


แบบฝกหด 3.41. จงหาสมการของระนาบทผานจด P0 และม N เปนเวกเตอรแนวฉาก

1.1 P0(2, 1, 1) และ N = ⟨2,−1, 5⟩

1.2 P0(−1, 0, 5) และ N = ⟨3, 2, 1⟩

1.3 P0(1, 3,−3) และ N = ⟨0, 3,−2⟩

1.4 P0(2, 6,−4) และ N = ⟨−1,−3, 1⟩

2. จงหาสมการของระนาบทผานจดทง 3 จด

2.1 (1,−1, 0), (0,−1, 2) และ (−1,−3, 5) 2.2 (−1,−3,−2), (2, 5, 0) และ (1,−2, 1)

3. จงเขยนกราฟของระนาบตอไปน

3.1 x = z

3.2 3x+ y = 2

3.3 x− y + z = 2

3.4 2x− y + z = 5

3.5 5x+ 2y − 3z = 15

3.6 3x+ 3y + 2z = 6

4. จงพจารณาวาจดทง 4 จดอยบนระนาบเดยวกนหรอไม

4.1 (1, 1, 1), (−2, 4, 1), (3, 1, 2) และ (5, 1, 3) 4.2 (1, 2, 7), (−1, 1, 2), (2, 0, 7) และ (1, 1, 2)

5. จงหาระยะทางระหวางจดกบระนาบทกาหนดใหตอไปน

5.1 (1,−2, 3) กบ 3x+ 2y − z = 12 5.2 (−1, 1,−2) กบ 3x+ 4y − 5z = 15

6. จงหาจดบนระราบ x− 2y + 3z = 4 ซงอยใกลทสดกบจด (2, 3,−2)

7. พจารณาเสนตรง L กบระนาบ M ทกาหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตดและมมระหวางเสนตรงกบระนาบ ถาขนานกนจงพจารณาวาเสนตรงอยบนระนาบหรอไม และจงหาระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ

7.1 L : x6= y = 1−z

2

M : x− 2y + 2z = 4

7.2 L : x2= fracy2 = z

M : 5x+ 4y − 3z = 15

7.3 L : x = 3 + t, y = −1 + 3t, z = 1 + 2t

M : 2x− y + 3z = 5

7.4 L : 1− x = y2= z − 2

M : 3x+ y + z = 3

8. จงหาสมการระนาบทนสอดคลองเงอนไขตอไปน

8.1 ผานจด (1, 0, 2) และเสนตรง x3= y + 1 = 2−z

2

8.2 ผานเสนตรง x−22

= y + 1 = −z และ 1−x2

= −y = z + 1

8.3 ผานจด (2, 1,−3) และขนานกบเสนตรง x2= y = z

3และ x− 1 = y + 1 = z

2

8.4 ผานเสนตรง x = 3 + 2t, y = −t, z = 2t และ x− 2 = −1−y2

= −3− z

8.5 ผานจด (2,−1, 0) และตงฉากกบเสนตรง x2= y

3= z

8.6 ผานจด (1, 2, 3) และ (2, 0, 2) และขนานกบเสนตรง x = y − 1 = z2

9. จงหาสมการเสนตรงทเกดจากการตดกนของระนาบM1 และM2


9.1 M1 : x+ y + z = 2

M2 : 2x− y + z = 3

9.2 M1 : x+ y + 3z = 5

M2 : x− 5y + z = 1

10. จงหามมระหวางระนาบM1 และM2

10.1 M1 : 2x− 5y + 5z = 2

M2 : 1x− 2y + 7z = 1

10.2 M1 : x+ y + z = 3

M2 : x− y − z = 4

11. จงหาสมการระนาบทผานจด (1, 2, 3) , (2, 0, 1) และตงฉากกบระนาบ x+ y − z = 1

. . ฟงกชนคาเวกเตอรและเสนโคง (VECTOR VALUE FUNCTION AND CURVE) 35

3.5 ฟงกชนคาเวกเตอรและเสนโคง (Vector Value Function and Curve)ฟงกชนคาเวกเตอรบทนยาม 3.5.1 กาหนดให x, y, z เปนฟงกชนคาจรงบนชวง I แลวF (t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอร (vector value function) จาก I ไปR2

F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอร จาก I ไปR3

ในหวขอนถากลาวถงฟงกชนคาเวกเตอร ใหหมายถงฟงกชนคาเวกเตอรจาก I ไปR2 หรอจาก I ไปR3

ตวอยาง 3.5.2 ให F (t) = ⟨t, t2⟩, 0 ≤ t ≤ 2 และ G(t) = ⟨sin t, cos t, t⟩, 0 ≤ t ≤ π จงหาเวกเตอร F (1) และ G(π3)

ดงนน F (1) = ⟨1, 1⟩ และ G(π3) = ⟨

√32, 12, π3⟩

บทนยาม 3.5.3 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ u เปนฟงกชนจาก I ไปR และ t ∈ I แลว

1. (F + G)(t) = F (t) + G(t)

2. (uG)(t) = u(t)F (t)

3. (F · G)(t) = F (t) · G(t)

4. (F × G)(t) = F (t)× G(t)

บทนยาม 3.5.4 ให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชน คา เวก เตอร ล มตของ F (t) เมอ t เขาใกล t0 เขยนแทนดวยlim

t→t0F (t) แลว

limt→t0

F (t) มคา กตอเมอ limt→t0

x(t), limt→t0

y(t) และ limt→t0

z(t) มคา

และจะไดวา limt→t0

F (t) = ⟨ limt→t0

x(t), limt→t0

y(t), limt→t0

z(t)⟩

ตวอยาง 3.5.5 จงหาคาของ limt→1

⟨t2 + 1, cosπt,t2 − 1

t− 1⟩

บทนยาม 3.5.6 กาหนดให F เปนฟงกชนคาเวกเตอร

F มความตอเนอง t = t0 กตอเมอ F (t0) และ limt→t0

F (t) มคา และ limt→t0

F (t) = F (t0)

ถา F ตอเนองทกจดบนชวง I แลวจะกลาววา F มความตอเนองบนชวง I

บทนยาม 3.5.7 กาหนดให F เปนฟงกชนคาเวกเตอรและตอเนองบนชวง I และ t0 ∈ I ถา limh→0

F (t0 + h)− F (t0)

hมคาเรา

จะเขยนd

dtF (t)|t=t0 = lim

h→0

F (t0 + h)− F (t0)

hหรอ F ′(t0) = lim

h→0

F (t0 + h)− F (t0)

h

เรยกวา อนพนธของ F ทจด t0 ∈ I

ทฤษฎบท 3.5.8 กาหนดให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เมอ t ∈ I และ x, y, z เปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธบนชวง I จะไดวา F มอนพนธท t และ

F ′(t) = ⟨x′(t), y′(t), z′(t)⟩


ทฤษฎบท 3.5.9 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ u เปนฟงกชนคาจรง ถา F , G และ u มอนพนธท t แลว

1. (F + G)′(t) = F ′(t) + G′(t)

2. (uG)′(t) = (u′F )(t) + (uF ′)(t)

3. (F · G)′(t) = F ′(t) · G(t) + F (t) · G′(t)

4. (F × G)′(t) = F ′(t)× G(t) + F (t)× G′(t)

ตวอยาง 3.5.10 กาหนดให F = ⟨t, t2, sin t⟩ และ G = ⟨1− 2t, t3, 1⟩ จงหา

1. (F · G)′(t)

2. F ′(t) · G(t) + F (t) · G′(t)

3. (F × G)′(t)

4. F ′(t)× G(t) + F (t)× G′(t)

บทนยาม 3.5.11 กาหนดให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอรบนโดเมนD ⊂ R ถา x, y, z เปนฟงกชนคาจรงทอนทรเกรตไดบนชวง [a, b] แลว F เปนฟงกชนทอนทรเกรตได (integrable) บนชวง [a, b] ⊂ D และ∫ b

a

F (t)dt = ⟨∫ b

a

x(t)dt,

∫ b

a

y(t)dt,

∫ b

a

z(t)dt⟩

ทฤษฎบท 3.5.12 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ c1, c2 เปนคตาคงตว และ u เปนฟงกชนคาจรง และ C เปนเวกเตอรคงตว แลว

1.∫ b

a

(c1F (t) + c2G)dt = c1

∫ b

a

F (t)dt+ c2

∫ b

a

G(t)dt

2.∫ b

a

F (t)dt =

∫ c

a

F (t)dt+

∫ b

c

F (t)dt เมอ a < c < b

3.∫ b

a

(uC(t)dt =

∫ b

a

u(t)dtC

4.∫ b

a

(C · F )(t)dt = C ·∫ b

a

F (t)dt เมอ C · F อนทรเกรตไดบนชวง [a, b]

ตวอยาง 3.5.13 กาหนดให F (t) = ⟨cos t, sin t, t⟩ และ C = ⟨1, 2, 1⟩ จงหา∫ 2

1

C · F (t)dt

ตวอยาง 3.5.14 จงหา∫ 2π

0

∥⟨cos t, sin t, 1⟩∥dt


กราฟแสดงการเคลอนทของฟงกชนคาเวกเตอรกราฟของการเคลอนท r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เมอ a ≤ x ≤ b คอ

กราฟความสมพนธ {(x(t), y(t)) | r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เมอ a ≤ x ≤ b}

X

Y

0 1 2 3 4 5 6012345678910111213141516

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

r(t) = ⟨t, t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 4

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

t = 0

t = π2

t = π

t = 3π2

r(t) = ⟨3 sin t, 3 cos t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π

ตวอยาง 3.5.15 จงเขยนกราฟแสดงการเคลอนทตอไปน

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

r(t) = ⟨3 cos t, 2 sin t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π

X

Y

Z

r(t) = ⟨2 cos t, 2 sin t, t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π


เวกเตอรความเรวและความเรงกาหนดให r(t) เปนฟงกชนการเคลอนท แลว

เวกเตอรความเรว V (t) = r′(t)

เวกเตอรความเรง A(t) = V ′(t) = r′′(t)

อตราเรว v(t) = ∥V (t)∥ = ∥r′(t)∥

อตราเรง a(t) = ∥A(t)∥ = ∥V ′(t)∥

ตวอยาง 3.5.16 ให r(t) = ⟨1, 2t, 3t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2 เปนสมการการเคลอนทของวตถ จงหาตาแหนงของการเคลอนทเวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรง เมอเวลา t = 1

เวกเตอรสมผส เวกเตอรแนวฉาก เวกเตอรแนวฉากค และระนาบสมผสประชดกาหนดให r(t) เปนฟงกชนคาเวกเตอร แลวเวกเตอรสมผสหนวย (unit tangent vector) ทจด t คอ

T (t) =r′(t)

∥r′(t)∥เมอ ∥r′(t)∥ = 0

เวกเตอรแนวฉากหนวย (unit normal vector) ทจด t คอ

N(t) =T ′(t)

∥T ′(t)∥เมอ ∥T ′(t)∥ = 0

เวกเตอรแนวฉากค (binormal vector) ทจด t คอ

B(t) = T (t)× N(t)

ระนาบทผานจด r(t) และตงฉาก B เรยกวา ระนาบสมผสประชด

ตวอยาง 3.5.17 ให r(t) = ⟨cos t, sin t, t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π จงหาเวกเตอรสมผสหนวย และเวกเตอรแนวฉากหนวย เวกเตอรแนวฉากค และระนาบสมผสประชดทจด (−1, 0, π)


แบบฝกหด 3.51. จงหาคาของลมตตอไปน

1.1 limt→1

⟨2t+ 1,t− 1

1−√t, t sin πt⟩

1.2 limt→0

⟨2− t2, tan t,sin tt⟩

1.3 limt→0

⟨t2 + 1,t3 − 1

t2 − 1, 1− 2t⟩

1.4 limt→0

⟨t tan t, 2t3, 1

t− 1⟩

2. กาหนดให F (t) = ⟨1 + t, 1 + 2t, 1 + 3t⟩ และ G(t) = ⟨cos t, sin t, t⟩ จงหา

2.1 F ′(t) + G′(t) 2.2 (F · G)′(t) 2.3 (F ′ × G′)(t) 2.4 (F · G′)(t)

3. จงหาคาตอไปน

3.1∫ 3

1

⟨t, 2t+ 1, t2⟩

3.2∫ π

0

⟨t sin t, cos2 t, t+ 1⟩

3.3∫ 1

0

⟨2 cos t, 3 sin t+ 1, sec2 2t⟩

3.4∫ 1

0

⟨et, 1

1− t,√2− t⟩

4. จงหารอยเดนของการเคลอนทตอไปน

4.1 r(t) = ⟨t,√t2 − 1⟩ เมอ 1 ≤ t ≤ 3

4.2 r(t) = ⟨t+ 1t, t− 1

t⟩ เมอ 1 ≤ t ≤ 4

4.3 r(t) = ⟨1 + t, 2 + t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 5

4.4 r(t) = ⟨tan2 t, sec t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ π2

4.5 r(t) = ⟨1, t, t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2

4.6 r(t) = ⟨sin t, cos t, 4⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ π2

5. จงหา ตาแหนงของการเคลอนท เวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรง เมอกาหนดสมการการเคลอนทดงนขณะเวลาทกาหนดให

5.1 r(t) = ⟨t, t2 + 1⟩ เมอ t = 2

5.2 r(t) = ⟨t+ 1t, t− 1

t⟩ เมอ t = 1

5.3 r(t) = ⟨sin 3t, cos 2t⟩ เมอ t = π4

5.4 r(t) = ⟨sin2 t, et cos t, t⟩ เมอ t = 0

5.5 r(t) = ⟨ln 2t, e2t, t cos t⟩ เมอ t = 1

5.6 r(t) = ⟨tan2 t, cos t sin t, 2t⟩ เมอ t = π3

6. จงหา เวกเตอรสมผสหนวย เวกเตอรแนวฉากหนวย เวกเตอรแนวฉากค และสมการระนาบสมผสประชด ของเสนโคงตอไปนทจดทกาหนด

6.1 r(t) = ⟨sin t, cos t, 0⟩ เมอ t = π

6.2 r(t) = ⟨t, t, t2⟩ เมอ t = 1

6.3 r(t) = ⟨1 + t, 1− t, 1 + t2⟩ เมอ t = 1

6.4 r(t) = ⟨sin t, cos t, sin t⟩ เมอ t = 0

6.5 r(t) = ⟨sin2 t, cos2 t, t⟩ เมอ t = π

6.6 r(t) = ⟨sin t+ cos t, sin t− cos t, et⟩ เมอ t = 0

บทท 4

ฟงกชนหลายตวแปร (Functions of Several Variable)

บทนยาม 4.0.1 ให f : D → R เมอD ⊂ Rn = R × R × ... × R และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 เราจะเรยก f วาฟงกชนคาจรงของ n ตวแปร

ตวอยางเชน f(x, y) =√x+ y, g(x, y, z) = xy + xz + yz และ h(x1, x2, x3, x4) =

√x21 + x2

2 + x23 + x2

4

สาหรบฟงกชนทไมระบโดเมนใหถอวาเปนโดเมนใหญสดทเปนสบเซตของRn

4.1 ฟงกชนคาจรงสองตวแปร (Functions of Two Variables)ตวอยาง 4.1.1 กาหนดให f(x, y) = ln(1− x2 − y2) จงหาคาของ f(0, 0) และจงเขยนรปแสดงโดเมน

ตวอยาง 4.1.2 กาหนดให f(x, y) = 1√1+x−y2

จงหาคาของ f(3, 0) และจงเขยนรปแสดงโดเมน

41

42 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)

ตวอยาง 4.1.3 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) = 12− 2x− 3y

ตวอยาง 4.1.4 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) =√

9− x2 − 4y2

ตวอยาง 4.1.5 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) =√

x2 + y2

แบบฝกหด 4.11. จงหาคาของฟงกชนทจดตอไปน

1.1 f(x, y) = x+√y ทจด (0, 1)

1.2 f(x, y) = x+ y + xy ทจด (1, 2)1.3 f(x, y, z) =

√x2 + y2 + z2 ทจด (1,−2, 2)

1.4 f(x, y, z) = x2y2 − x4 + 4zx2 ทจด (a+ b, a− b, ab)

2. จงหาโดเมนของ f พรอมเขยนกราฟแสดงโดเมน

2.1 f(x, y) = ln(1− x2 + y2)

2.2 f(x, y) =√

x+yx−y

2.3 f(x, y) =

√4−x2−y2

y

2.4 f(x, y) = 1y−x2

3. จงหาโดเมนและเรจนของ f

3.1 f(x, y) = 4x2 + 9y2

3.2 f(x, y) = 1− x2 − 9y2

3.3 f(x, y) = −√

x2 + y2

3.4 f(x, y) = −√

1− x2 + y2

. . ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปร (LIMIT AND CONTINUITY) 43

4.2 ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปร (Limit and Continuity)บทนยาม 4.2.1 ใหD ⊂ R2 และ (x0, y0) ∈ D เราจะกลาววา (x, y) เปนจดลมต (limit point) ในD กตอเมอ ทกๆ r > 0

(Br(x0, y0)− {(x0, y0)}) ∩D = ∅

เมอBr(x0, y0) = {(x, y) |√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < r}

บทนยาม 4.2.2 ให f : D → R เปนฟงกชนสองตวแปร และให (x0, y0) ∈ R2 ทมจดในD ทอยใกลๆ (x0, y0) เราจะกลาววา f(x, y) มลมตเปน L เมอ (x, y) เขาใกล (x0, y0) เขยนแทนดวย

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L

กตอเมอ ทกๆจานวนจรง ϵ > 0 มจานวนจรงบวก δ > 0 ททาให

|f(x, y)− L| < ϵ ทกๆจานวน (x, y) ∈ D ซง 0 <√(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ

ทฤษฎบท 4.2.3 ให f และ g เปนฟงกชนจากD ไปR และ (x0, y0) เปนจดลมตของD และให c, L,M เปนจานวนจรง แลว

1. lim(x,y)→(x0,y0)

c = c

2. lim(x,y)→(x0,y0)

x = x0

3. lim(x,y)→(x0,y0)

y = y0

4. ถา lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L และ lim(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = M แลว

4.1 lim(x,y)→(x0,y0)

[f(x, y) + g(x, y)] = L+M

4.2 lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y)g(x, y) = LM

4.3 lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y)

g(x, y)=

L

MเมอM = 0

4.4 lim(x,y)→(x0,y0)

|f(x, y)| = |L|

4.5 lim(x,y)→(x0,y0)

n√f(x, y) =

n√L เมอ n ∈ N และ n

√L เปนจานวนจรง

ตวอยาง 4.2.4 จงหาคาลมตตอไปน

1. lim(x,y)→(1,−1)

(4x2y − x3y − 4x+ 1)

2. lim(x,y)→(2,−5)

(x√x2 − y)

3. lim(x,y)→(−2,−1)

(|x+ y − 1|)

4. lim(x,y)→(1,−1)

x2y + y2 − 3x2 − 3y

xy − 3x− y + 3


ทฤษฎบท 4.2.5 ให f และ g เปนฟงกชนจากD ไปR และ (x0, y0) เปนจดลมตของD ถา

1. มจานวนจรงบวกM ซง |f(x, y)| < M ทกๆ (x, y) ∈ D ซง 0 < ∥(x, y)− (x0, y0)∥ < δ

2. lim(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = 0

แลวจะไดวาlim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y)g(x, y) = 0

ตวอยาง 4.2.6 จงหาลมตของ lim(x,y)→(0,0)

x2y4

x4 + y4

ตวอยาง 4.2.7 จงหาลมตของ lim(x,y)→(0,0)

2x2y3

x2 + y2


ทฤษฎบท 4.2.8 ให f : D → R และ (x0, y0) เปนจดลมตของD และC เปนเสนโคงในR2 ทผานจด (x0, y0)

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L กตอเมอ f(x, y) มลมตเปน L เมอ (x, y) เขาใกล (x0, y0) ตามเสนโคงC

ตวอยาง 4.2.9 กาหนดให f(x, y) = x2yx4+y2

จงแสดงวา lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) ไมมคา

ตวอยาง 4.2.10 กาหนดให f(x, y) = x2+y3

x2+y4จงแสดงวา lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) ไมมคา


บทนยาม 4.2.11 ให f : D → R และ (x0, y0) ∈ D เราจะกลาววา f ตอเนองทจด (x0, y0) กตอเมอ

1. lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) มคา

2. lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0)

และเราจะกลาววา f ตอเนองบนเซต S ⊂ D กตอเมอ f ตอเนองทกจดในเซต S

ตวอยาง 4.2.12 กาหนดให f(x, y) = xy2

x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)แลว f ตอเนองทจด (0, 0) หรอไม

ตวอยาง 4.2.13 กาหนดให f(x, y) = xyx+y

แลว f ตอเนองบนโดเมน f หรอไม

ทฤษฎบท 4.2.14 ให f : D → R เมอD ⊂ R2 และ g เปนฟงกชนคาจรงซงRf ∩Dg = ∅ สาหรบ (x0, y0) ∈ D

ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด (x0, y0) แลว g ◦ f จะตอเนองทจด (x0, y0)

ตวอยาง 4.2.15 กาหนดให f(x, y) = cos(x2+y2)x2−y

แลว f ตอเนองมความตอเนองทจดใดบาง


แบบฝกหด 4.21. จงหาคาของลมตตอไปน

1.1 lim(x,y)→(1,2)

(xy + x2)

1.2 lim(x,y)→(1,−1)

x2 − y2

x4 − y4

1.3 lim(x,y)→(1,1)

x2 − y2

x2y − xy2

1.4 lim(x,y)→(0,0)

x2 + y

x2 + y2

1.5 lim(x,y)→(0,0)

xy3

x4 + y4

1.6 lim(x,y)→(0,0)

xy3

x4 + y6

1.7 lim(x,y)→(0,0)

x3y4

x6 + y6

1.8 lim(x,y)→(0,0)

x3 + y4

x2 + y2

1.9 lim(x,y)→(0,0)

x4y4

(x2 + y4)3

1.10 lim(x,y)→(0,0)

y2x− y2

xy − y

1.11 lim(x,y)→(−1,2)

xy − 2x

xy − 6− 2x+ 3y

1.12 lim(x,y)→(0,0)

x2y4

x4 + x2y2 + y4

1.13 lim(x,y)→(1,0)

√x+ y −

√x− y

y

1.14 lim(x,y)→(0,0)

y2x

x2 + |xy|+ y2

1.15 lim(x,y)→(1,1)

x3 + 3xy − x2y − 3y2

x4 + xy2 − x3y − y3

1.16 lim(x,y)→(2,1)

x3 − 8y3

x2 − xy − 2y2

2. จงพจารณาวา f ตอเนองบนจดทกาหนดใหหรอไม

2.1 f(x, y) = x3y2

1−xyทจด (1, 1)

2.2 f(x, y) =

x2−y2

x−yเมอ (x, y) = (1, 1)

1 เมอ (x, y) = (1, 1)ทจด (1, 1)

2.3 f(x, y) =

xy2

x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)

1 เมอ (x, y) = (0, 0)ทจด (0, 0)

3. กาหนดให f(x, y) =x4−y4

x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)แลว f ตอเนองบนโดเมน f หรอไม

4. จงพจารณาวา f ตอเนองมความตอเนองทจดใดบาง

4.1 f(x, y) =√y − x

4.2 f(x, y) = x2+4y2

x2−4y2

4.3 f(x, y) = 13√

x2+y2−4

4.4 f(x, y) = exy cos(xy2 + 1)

4.5 f(x, y) = 5x2y ln |1− x2 − y2|

4.6 f(x, y) = arcsin(xy)


4.3 อนพนธยอยของฟงกชนสองตวแปร (Partial Deivatives)บทนยาม 4.3.1 ให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ (a, b) ∈ Df

อนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด (a, b) คอ fx(a, b) = limh→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

hถาลมตมคา

อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด (a, b) คอ fy(a, b) = limh→0

f(a, b+ h)− f(a, b)

hถาลมตมคา

ดงนนอนพนธยอยของฟงกชน f คอ fx และ fy

fx(x, y) = limh→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

hfy(x, y) = lim

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

สญญาลกษณทนยมใชแทนอนพนธยอย

fx(x, y) = fx = f1 = D1f = Dxf = ∂f∂x

= ∂f∂x(x, y) = ∂z

∂x

fy(x, y) = fy = f2 = D2f = Dyf = ∂f∂y

= ∂f∂y(x, y) = ∂z

∂y

ตวอยาง 4.3.2 กาหนดให f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2 จงหาคาของ fx(2, 1) และ fy(2, 1)

ตวอยาง 4.3.3 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y) = 2x+y2

x+y

ตวอยาง 4.3.4 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y) = ex2y sin2(5y)

. . อนพนธยอยของฟงกชนสองตวแปร (PARTIAL DEIVATIVES) 49

ตวอยาง 4.3.5 ให f(x, y) =x3y−xy3

x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)จงหาคาของ fx(0, 0) และ fy(0, 0)

ความหมายทางเรขาคณตของอนพนธยอยตวอยาง 4.3.6 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว z = 4 + x2 − 4y2 กบระนาบ x = 2 ทจด (2, 1, 4)

ตวอยาง 4.3.7 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว 3x2 + y2 + z2 = 8 กบระนาบ y = −1 ทจด (1,−1,−2)


แบบฝกหด 4.31. จงหาอนพนธยอยของฟงกชนตอไปน

1.1 f(x, y) = 3xy − 5x4y4

1.2 f(x, y) = 3√

1− sin2(xy)

1.3 f(x, y) = ln(cos√x+ y)

1.4 f(x, y) = x+yx2+y2

1.5 f(x, y) = y2 + x2 tan(xy)

1.6 f(x, y) = 5ex2y2 + ex sin(x+ y2)

1.7 f(x, y) = ex(cosxy + sinxy)

1.8 f(x, y) = arctan(xy)

2. กาหนดให f(x, y) = x2yexy จงหาคาของD1f(1, 1) และD2f(1, 1)

3. กาหนดให f(x, y) = (x2 + y2)√x2 − y2 จงหาคาของ f1(2, 1) และ f2(2, 1)

4. กาหนดให f(x, y) =x3+y3

x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)จงหาคาของ fx(0, 0) และ fy(0, 0)

5. กาหนดให f(x, y) = x2y3

x2+4y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)จงหาคาของ ∂f

∂x(0, 0) และ ∂f

∂y(0, 0)

6. ให f(x, y) =x2−xy

x+yเมอ x+ y = 0

0 เมอ x+ y = 0จงหาคาของD1f(0, y) เมอ y = 0 และD2f(x, 0) เมอ x = 0

7. จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว x2 + 3y2 − z = 0 กบระนาบ x = 2 ทจด (2, 1, 7)

8. จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว9x2−36y2−4z2 = 36กบระนาบy = −1 ทจด (√12,−1,−3)

. . กฎลกโซ (CHAIN RULE) 51

4.4 กฎลกโซ (Chain Rule)ทฤษฎบท 4.4.1 กาหนดให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ x = x(t), y = y(t) เปนฟงกชนหนงตวแปร ถา x, yหาอนพนธไดแลว

z

y

t

x

t

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt

ตวอยาง 4.4.2 กาหนดให z = x2y, x = t cos t และ y = t sin t จงหา dzdt

ตวอยาง 4.4.3 กาหนดให z = ln(2x2 + xy), x =√t และ y = 3t− 1 จงหา dz

dtเมอ t = 1


ทฤษฎบท 4.4.4 กาหนดให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ x = x(s, t), y = y(s, t) เปนฟงกชนสองตวแปร ถาx, y หาอนพนธไดแลว

z

y

s t

x

ts

∂z

∂s=

∂z

∂x

∂x

∂s+

∂z

∂y

∂y

∂s

∂z

∂t=

∂z

∂x

∂x

∂t+

∂z

∂y

∂y

∂t

ตวอยาง 4.4.5 กาหนดให z = exy , x = 2s+ t และ y = st

จงหา ∂z∂s

และ ∂z∂t

ตวอยาง 4.4.6 กาหนดให u = 3s− t2, s = x+ y ln x และ t = x2 − y ln y จงหา ∂u∂x

และ ∂u∂y

เมอ (x, y) = (1, 1)

ตวอยาง 4.4.7 กาหนดให z = f(u− v, v − u) จงแสดงวา ∂z∂u

+ ∂z∂v

= 0

. . กฎลกโซ (CHAIN RULE) 53

ตวอยาง 4.4.8 จงหาอตราการเปลยนแปลงของปรมาตรของกรวยกลม ในขณะทความสง 30 นว และรศมของฐานของกรวยยาว20 นว ถาความสงกาลงเพมขนในอตรา 2 นวตอนาท และรศมของฐานกาลงลดลงในอตรา 1 นวตอวนาท

ตวอยาง 4.4.9 นา รวออกจากถง รปทรงกระบอกดวยอตรา 45π ลกบาศกฟต ตอนาท ถาถงขยายตวลกษณะทยงคงรปเปนทรง

กระบอกอย โดยรศมเพมดวยอตรา 0.002 ฟตตอนาท จงหาความสงของนาในถงจะเปลยนแปลงไปในอตราเทาใด ขณะทรศมของถงเปน 2 ฟต และปรมาตรของนาในถงเปน 20π ลกบาศกฟต

ตวอยาง 4.4.10 ใหx และ y เปนความยาวของดานทขนานกนของรปสเหลยมคางหมรปหนง ซงมความสงเปนh เพมขนดวยอตรา2 นวตอวนาท y ลดลงในอตรา 1 นวตอวนาท และ h เพมขนในอตรา 3 นวตอวนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทของรปสเหลยมคางหมน ขณะท x = 30 นว y = 50 นว และ h = 10 นว


แบบฝกหด 4.41. จงหาอนพนธตอไปน

1.1 dzdt

เมอ z = x2ey , x = 2 sin t และ y = t4

1.2 dzdt

เมอ z = arctan( yx), x = ln t และ y = cos t2

1.3 dzdt

เมอ z = x2y3 + x sin y + tx, x = t+ 1t

และ y =√t

1.4 ∂z∂s

และ ∂z∂t

เมอ z = 3x2 + xy + 2y2 + 3x− y, x = 2s− 3t และ y = st+ s2

1.5 ∂z∂t

และ ∂z∂r

เมอ z = eyx , x = r cos2 t และ y = r2 sin t

1.6 ∂z∂r

และ ∂z∂θ

เมอ z = xyexy , x = r cos θ และ y = r sin θ

2. กาหนดให z =√5 + x− 2xy4 เมอ x = t2 และ y = t− 1 จงหา dz

dtเมอ t = 1

3. กาหนดให z = f(x2 − y2) จงแสดงวา x∂z∂y

+ y ∂z∂x

= 0

4. ถารศมของกรวยกลมใบหนงกาลงเพมขนดวยอตรา 1 เซนตเมตรตอนาท และความสงกาลงลดลงดวยอตรา 2 เซนตเมตรตอนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของปรมาตรกรวยใบน เมอรศมและความสงของกรวยเปน 10 และ 20 เซนตมเตรตามลาดบ

5. สเหลยมผนผารปหนง ดานกวางกาลงเพมขนดวยอตรา 1 ฟตตอวนาท และดานยาวกาลงลดลงดวยอตรา 2 ฟตตอวนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทของรปสเหลยมรปน เมอความยาวของดานกวางเปน 6 ฟต และความยาวดายยาวเปน 12ฟต

6. รางนาอนหนงยาว 300 เซนตเมตร หนาตดเปนรปสามเหลยมหนาจว ซงมมมหนงเปนมมฉาก ถาไขนาลงในรางดวยอตรา50,000 ลกบาศกเซนตเมตรตอวนาท ระดบนาในรางจะสงขนดวยอตราเทาใด เมอนาลก 150 เซนตเมตร

. . อนพนธอนดบสง (HIGHER ORDER PARTIAL DERIVATIVE) 55

4.5 อนพนธอนดบสง (Higher order partial derivative)บทนยาม 4.5.1 ให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร เราเรยก ∂f

∂xและ ∂f

∂yวาอนพนธยอยอนดบหนง (fisrt-order partial

derivative) และนยามอนพนธยอยอนดบสอง (second-order partial derivative) ดงน

1. ∂∂x(∂f∂x) เขยนแทนดวย ∂2f

∂x2 , fxx, f11 หรอ D11f

2. ∂∂y(∂f∂x) เขยนแทนดวย ∂2f

∂y∂x, fxy , f12 หรอ D12f

3. ∂∂x(∂f∂y) เขยนแทนดวย ∂2f

∂x∂y, fyx, f21 หรอ D21f

4. ∂∂y(∂f∂y) เขยนแทนดวย ∂2f

∂y2, fyy , f22 หรอ D22f

อนพนธยอยอนดบอนๆ กนยามทานองเดยวกน

ตวอยาง 4.5.2 จงหาอนพนธอนดบสองของ f(x, y) = yexy + x3y2

ตวอยาง 4.5.3 กาหนดให f(x, y) = x3y2 − x2 sin y จงหา fxxy

ตวอยาง 4.5.4 ให f(x, y) =x3y−xy3

x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)จงหาคาของD12f(0, 0) และD21f(0, 0)


ตวอยาง 4.5.5 กาหนดให z = f(x, y), x = 2t+ 3s และ y = st จงหา ∂2z∂s∂t

ตวอยาง 4.5.6 กาหนดให z = f(x, y), x = x(r, θ) และ y = y(r, θ) จงหา ∂2z∂r2

และ ∂2z∂θ∂r

. . อนพนธอนดบสง (HIGHER ORDER PARTIAL DERIVATIVE) 57

แบบฝกหด 4.51. จงหาอนพนธยอยอนดบสองของแตละขอตอไปน

1.1 f(x, y) = x2 − 2xy3 + 5y6 + 3

1.2 f(x, y) = ln(x2 − 5y)

1.3 f(x, y) = sin(cos(2x+ 3y))

1.4 f(x, y) = exy + y√x

2. กาหนดให f(x, y) = x3y5 − 2x2y + x จงหา ∂3f∂y∂x2 , ∂3f

∂y∂x∂yและ ∂3f

∂y3

3. กาหนดให f(x, y) = (2x+ y)5 จงหา ∂3f∂y∂x∂y

, ∂3f∂x2∂y

และ ∂4f∂y2∂x2

4. กาหนดให f(x, y) = x3e−5y จงหา fxyy(0, 1), fxxx(0, 1) และ fyyxx(0, 1)


4.6 การประมาณคาเชงเสน (Linear Approximation)บทนยาม 4.6.1 คาเชงอนพนธ (differential) ของ f ทจด (x, y) เขยนแทนดวย df(x, y) และกาหนดโดย

df(x, y) = fx(x, y)∆x+ fy(x, y)∆y

หรออาจจะเขยน∆x = dx และ∆y = dy

df(x, y) = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy

ตวอยาง 4.6.2 กาหนดให f(x, y) = x2 sinxy จงหา df(x, y)

เราจะประมาณคา f(x+ dx, y + dy)− f(x, y) ≈ df(x, y) เมอ ∥(dx, dy)∥ มคานอยๆ เราจะไดสตรการประมาณคาเชงเสน (Linear approximation) ดงน

f(x+ dx, y + dy) ≈ f(x, y) + fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy

ตวอยาง 4.6.3 จงใชคาอนพนธประมาณคาของ 3√

(2.01)2 + (1.98)2

ตวอยาง 4.6.4 จงหาปรมาตรโดยประมาณของกลองรปสเหลยมมมฉากทมฐานเปนรปสเหลยมจตรสซงมความยาวดานละ 5.003เซนตเมตร และสง 9.997 เซนตเมตร

. . การประมาณคาเชงเสน (LINEAR APPROXIMATION) 59

แบบฝกหด 4.61. จงหาคาเชงอนพนธของฟงกชนตอไปน

1.1 f(x, y) =√

x2 + xy

1.2 f(x, y) = ex cosxy

1.3 f(x, y) = xyx+y

1.4 f(x, y) = x3 sin ln y

2. จงประมาณคาตอไปน

2.1√

(3.01)2 + (3.97)2

2.2 (1.002)e0.001

2.3 13√

(0.003)3+(7.979)3

2.4 (0.99)3.001

3. ทรงกระบอกใบหนงรศมฐานเปน 5.026 เซนตเมตร และวดสวนสงได 24.003 เซนตเมตร จงคานวณปรมาตรโดยประมาณของทรงกระบอกน

4. กรวยกลมใบหนงมการเปลยนแปลงรศมจาก 3 ฟต และสง 4 ฟต ไปเปนรศม 2.9 ฟต และสง 4.3 ฟต จงหาคาสวนการเปลยนแปลงของปรมาตรของกรวยใบนโดยใชคาอนพนธ

5. ในการคานวณปรมาตรของกลองรปทรงสเหลยมมมฉากซงวดความกวาง ความยาว และความสงได 10 13 และ 16 นวตามลาดบ ถาวดความผดพลาดไมเกน 0.03 นว จงหาขอบเขตของความผดพลาดสมพทธ

บทท 5

อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (Integral of Functions ofTwo Variables)

5.1 อนทรกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา (Rectangular Domain)ให f : D → R เมอ D = [a, b]× [c, d] พจารณาการแบงชวงแบง [a, b] ออกเปนm ชวง ดวยจด x0, x1, x2, ..., xm โดยท

a = x0 < x1 < x2 < ... < xm = b

แบง [c, d] ออกเปน n ชวง ดวยจด y0, y1, y2, ..., yn โดยทc = y0 < y1 < y2 < ... < yn = d

ใหDij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj] เปนสเหลยมผนผายอยของรป ij เมอ i = 1, 2, ...,m และ j = 1, 2, ..., n

X

Y

a = x0 x1 xi−1 xi xm−1 xm = b

c = y0

y1

yj−1

yj

yn−1

d = yn

Dij

ให∆xi = xi − xi−1 และ∆yj = yj − yj−1 และDij = ∆Aij = ∆xi∆yj ให (xij, yij) ∈ Dij แลว

Smn =m∑i=1

n∑j=1

f(xij, yij)∆Aij

เรยก Smn วาผลบวกรมนน (Reimann sum) ของ f บนD

61

62 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)

ถาเราแบง∆xi และ∆yi มคาเขาใกลศนยเมอm และ n มคามากๆ และ

limm→∞,n→∞

Smn = L

แลวเราจะกลาววา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตได (integrable) บนD และเรยกคาลมต L วาอนทรกรลสองชน (double integral)ของ f บนD ซงเขยนแทนดวย∫∫

D

f หรอ∫∫D

f dA หรอ∫∫D

f dxdy

พจารณาฟงกชน f(x, y) ≥ 0 ทก (x, y) ∈ D ซงอนทรเกรตไดบนD

f(xij, yij)∆Aij = ปรมาตรรปทรงสเหลยมมมฉากทมความสง f(xij, yij) บนสเหลยมผนผาDij

X

Y

Z

a

xi−1

xi

b

cyj−1

yj

d

(xij, yij)

Dij

f(xij, yij)

z = f(x, y)

ดงนน ∫∫D

f dA = ปรมาตรรปทรงตนซงอยภายใตผว z = f(x, y) บนD

สาหรบ f(x, y) = 1 จะไดวา ∫∫D

dA = พนทอาณาบรเวณของD

. . อนทรกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา (RECTANGULAR DOMAIN) 63

ตวอยาง 5.1.1 กาหนดให f(x, y) = xy และD = [0, 1]× [1, 2] จงหา ∫∫D

dA โดยใชลมตของผลบวกรมนน

เนองจากการคานวนคาอนทรกรลสองชนผานลมตของผลบวกรมนนคอนขางยงยาก เราจงพจารณา เหมอนกบการอนเกรตในหนงตวแปร ∫

f(x, y) dx มอง y เปนคาคงตว และ∫

f(x, y) dy มอง x เปนคาคงตว

ตวอยางเชน ∫ 1

0

∫ 2

1

xy dydx =

∫ 1

0

(∫ 2

1

xy dy

)dx =

∫ 1

0

[1

2xy2

]y=2

y=1

dx

=

∫ 1

0

[1

2x22 − 1

2x12

]dx =

∫ 1

0

3

2x dx

=

[3

4x2

]x=1

x=0

=3

4


ทฤษฎบท 5.1.2 ให f : D → R เมอ D = [a, b]× [c, d] ถา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบนD แลว∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dydx =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y) dxdy

ตวอยาง 5.1.3 จงหาคาอนทรกรลสองชน∫ 4

−2

∫ 3

1

(3x2 − 2xy + 3y2 + 2) dydx


−1

∫ 2

1

x+ y

ydydx


0

∫ 1

0

2x√

x2 + y dxdy

. . อนทรกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา (RECTANGULAR DOMAIN) 65

ตวอยาง 5.1.6 จงหาคาอนทรกรลสองชน ∫∫D

x sin(xy) dA เมอ D = [0, 1]× [0, π2]

ตวอยาง 5.1.7 จงหาปรมาตรรปทรงตนทอยเหนอระนาบ XY ซงปดลอมดวยระนาบ x + y + z = 4 และปดลอมดวยระนาบx = 0, x = 1, y = 1 และ y = 2

X

Y

Z

X

Y

Z


แบบฝกหด 5.11. จงหาคาอนทรกรลสองชนตอไปน

1.1∫ 2

1

∫ 3

2

(x2y + xy2) dxdy

1.2∫ 1

0

∫ 6

1

1

x+ 1dxdy

1.3∫ 2

−2

∫ 8

3

dxdy

1.4∫ 2

0

∫ 1

0

y sinx dydx

1.5∫ π

π2

∫ 2

1

y cos(xy) dxdy

1.6∫ ln 2

0

∫ ln 3

0

ex+y sinx dxdy

2. จงหาคาอนทรกรลสองชนตอไปนบนอาณาบรเวณทกาหนดให

2.1 ∫∫D

y(xy+1)2

dA D = [0, 1]× [0, 1]

2.2 ∫∫D

ydA D = {(x, y) | − 3 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 5}

2.3 ∫∫D

x√1− x2dA D = อาณาบรเวณทปดลอมดวย x = 0, x = 1, y = 2 และ y = 3

2.4 ∫∫D

x cos(xy) cos2(πx)dA D = [0, 12]× [0, π]

3. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทอยภายใตพนทผว z = 4x3 + 3x2y และอยเหนอรปสเหลยมผนผาD = {(x, y) | 1 ≤x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4}

4. จงหาปรมาตรของรปทรงตนในอฐภาคทหนง ซงปดลอมดวยระนาบ x = 0, z = 0, x = 5, z − y = 0 และz = 6− 2y

. . อนทรกรลบนโดเมนทวไป (GENERAL DOMAIN) 67

5.2 อนทรกรลบนโดเมนทวไป (General Domain)ให f : S −→ R เมอ S ⊂ D = [a, b]× [c, d]

X

Y

a b

c

d

S

ให f : D → R นยามโดย

f(x, y) =

f(x, y) เมอ x ∈ S

0 เมอ x /∈ S

ถา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบนD เราจะกลาวไดวา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบน S โดยนยามคาของอนทรกรลเปน∫∫S

f =

∫∫D

f

ตวอยาง 5.2.1 กาหนดให f(x, y) = xy และ S เปนอาณาบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง y =√x และเสนตรง x = 2y จง

หาคาของ ∫∫S

f

X

Y

x = 2y

y =√x

0 1 2 3 4 5

1

2

3(4, 2)

D = [0, 4]× [0, 2]

ดงนน f(x, y) =

0 เมอ 0 ≤ x < y2

xy เมอ y2 ≤ x ≤ 2y

0 เมอ 2y < x ≤ 4


เราสามารถหาอนทรกรลสองชนโดยการพจารณาโดเมนไดสองลกษณคอ

1. แบบท 1 S = {(x, y) | g1(x) ≤ y ≤ g2(x), a ≤ x ≤ b}

X

Y

a b

c

d y = g1(x)

y = g2(x)

S

f(x, y) =

0 เมอ c ≤ y < g1(x)

f(x, y) เมอ g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

0 เมอ g2(x) < y ≤ d

และ∫∫S

f =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dydx

2. แบบท 2 S = {(x, y) |h1(y) ≤ x ≤ h2(y), c ≤ y ≤ d}

X

Y

a b

c

d

x = h2(y)x = h1(y) S

f(x, y) =

0 เมอ a ≤ x < h1(y)

f(x, y) เมอ h1(y) ≤ x ≤ h2(y)

0 เมอ h2(y) < x ≤ b

และ∫∫S

f =

∫ b

a

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dxdy


ตวอยาง 5.2.2 จงหาคาของ ∫∫S

f เมอ S = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ π8, sinx ≤ y ≤ cos x}

X

Y

0 1 2

1

π8

π4

π2

y = sinx

y = cosx

ตวอยาง 5.2.3 จงหาคาอนทรกรลสองชนของ f(x, y) = x− 3y2 บนอาณาบรเวณทลอมรอบดวย y = |x|+ 1 และ y = 3

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3


ตวอยาง 5.2.4 จงหาคาของ ∫∫S

xy2 dA เมอ S เปนอาณาบรเวณทลอมรอบดวย y = x2, x + y = 2 และ y = 12โดยท

y ≥ x2

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4

y = x2

y = 2− x

y = 12

ตวอยาง 5.2.5 จงหาคาของ∫ 4

0

∫ 2

√y

ex3

dxdy

X

Y

0 1 2 3

1

2

3

4

5


ตวอยาง 5.2.6 จงเปลยนลาดบการอนทรเกรตของ∫ 0

−2

∫ 5

1+y2f(x, y) dxdy

X

Y

1 2 3 4 5 6

−3

−2

−1

0

1

ตวอยาง 5.2.7 จงเปลยนลาดบการอนทรเกรตของ∫ 6

2

∫ x2

|x−3|f(x, y) dydx

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4


ตวอยาง 5.2.8 จงหาปรมาตรทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 4 − x2 − y2 และระนาบ x + y = 1 โดยทx+ y ≤ 1

X

Y

Z

ตวอยาง 5.2.9 จงหาปรมาตรทรงตนในอฐภาคทหนงซงอยเหนอระนาบ XY และปดลอมดวยพนผว x2 + y2 = 4 และระนาบy + z = 4

X

Y

Z


แบบฝกหด 5.21. จงเปลยนลาดบการอนทรเกรต และเขยนรปแสดงอาณาบรเวณของการอนทรเกรต

1.1∫ 0

−2

∫ 2+√4−x2

2−√4−x2

f(x, y) dydx

1.2∫ 2

0

∫ ey

1

f(x, y) dxdy

1.3∫ 1

0

∫ 0

x2−4

f(x, y) dxdy

1.4∫ 3

0

∫ y+1

(y−1)2f(x, y) dxdy

2. จงหาคาของ

2.1∫ 2

0

∫ √4−y2

0

x dxdy

2.2∫ 2

1

∫ 2x

x

1

(x+ y)3dydx

2.3∫ 1

−1

∫ y

−1

xyex2

dxdy

2.4∫ 1

0

∫ 1

0

|x− y| dydx

2.5∫ 1

0

∫ y

0

x√

y2 − x2 dxdy

2.6∫ π

π2

∫ x2

0

1

xcos

y

xdydx

2.7∫ 3

1

∫ x

0

2

x2 + y2dydx

2.8∫ 1

0

∫ 3√x

√x

(1 + y6) dydx

2.9∫ 1

0

∫ x

4x

e−y2 dydx

2.10∫ 1

0

∫ π2

arcsin ysec2(cosx) dxdy

3. จงหาคาอนทรกรลสองชน ∫∫S

f(x, y) dA ตอไปนบนอาณาบรเวณทกาหนดให

3.1 f(x, y) = cos(x+ y) S คออาณาบรเวณทปดลอมดวย y = x, x = π และแกน X3.2 f(x, y) = xy2 S คออาณาบรเวณเหนอเสนตรง y = 1− x และอยภายในวงกลม x2 + y2 = 1

3.3 f(x, y) = 2y−1x+1

S คออาณาบรเวณทปดลอมดวย y = 2x− 4, y = 0 และ x = 1

4. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทปดลอมดวย

4.1 ระนาบ x+ 2y + 3z = 6 ในอฐภาคทหนง4.2 พนผว z = 1− x2 − y2 เหนอระนาบ XY4.3 ระนาบ x+ y + z = 3, y = x, x+ y = 2, x = 0 และ z = 0 โดยท x+ y ≥ 2

4.4 พนผว 4x2 + y2 = 9 ระนาบ z = y + 3 และอยเหนอระนาบ XY4.5 พนผว z = x2 + y2 และ x2 + y2 = 4 ในอฐภาคทหนง


5.3 ระบบพกดเชงขว (Polar Coordinate System)บทนยาม 5.3.1 ให P เปนจดใดๆในระนาบXY

ถา r เปนระยะทางจากO (จดกาเนด) ไปยงจด P และสวนของเสนตรงOP ทามม θ กบแกนOX (วดแบบทวนเขมนาฬกา)

เราจะเรยกจด (r, θ) วาพกดเชงขว (polar coordinate) ของจด P

X

O

ขว

P (r, θ)

r

แกนเชงขวθ

ตวอยาง 5.3.2 จงเขยนจดตอไปนลงในระบบพกดเชงขว

A(1, π4), B(2, π

2), C(3, 3π

4), D(4, 11π

6), E(5, 4π

3), F (0, π

3), G(4.5,−π), และ H(2.5,−2π

3),

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 75

บทนยาม 5.3.3 ถา P มพกดเชงขวเปน (r, θ) เมอ r > 0 แลว

(−r, θ) หมายถงพกดของจดปลายทไดจากการลากเสนตรงจากขวไปในทศตรงกนขามกบ−→OP เปนระยะ r

X

π2

O

P (r, θ)

r

Q(−r, θ)

r

θ

ตวอยาง 5.3.4 จงเขยนจดตอไปนลงในระบบพกดเชงขว

A(−1, π4), B(−2, 3π

2), C(−3.5, 5π

6), D(−4, 7π

6), E(−5,−4π

3), F (0,−π), และ G(−3,−2π

3),

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5


ความสมพนธระหวางพกดเชงขว (r, θ) และพกดฉาก (x, y) ของจด P ใดๆทไมใชจดกาเนด

X

Y

O

P (r, θ), P (x, y)

r

x

y

θ

จะได x2 + y2 = r2

x = r cos θ และ y = r sin θ

และ tan θ = yx

ตวอยาง 5.3.5 จงหาพกดเชงขวของจดพกดฉากตอไปน เมอ r > 0 และ 0 ≤ θ < 2π

1. (2, 0)

X

Y

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

2. (2, 2)

X

Y

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

3. (−2, 2√3)

X

Y

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

4. (−√3,−1)

X

Y

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4


ตวอยาง 5.3.6 จงหาพกดฉากของจดซงมพกดเชงขวตอไปน

1. (5, π3)

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

2. (4, 5π3)

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

3. (−3, π6)

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

4. (−5,−3π4)

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5


ตวอยาง 5.3.7 จงแปลงสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว

1. x = 3

2. y = 5

3. y = x

4. y = x+ 1

5. x2 = 9y

6. x2 + y2 = 4

7. x2 + y2 − 2x = 0

8. 4x2 + 9y2 = 36

9. x2 − y2 = 1

ตวอยาง 5.3.8 จงแปลงสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก

1. r = 4 sin θ

2. r = cos 2θ

3. r = tan θ

4. r = csc 2θ

5. r = 6

3 cos θ + 2 sin θ

6. r = 5

2− cos θ


กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว1. สมการ r = k เปนกราฟวงกลมทมรศม |k| มจดศนยกลางอยท (0, 0)

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 3

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5−4−3−2−1012345

r = 3

2. สมการ θ = θ0 เปนกราฟเสนตรงททามม θ0 กบแกนเชงขว

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

θ = π4

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5−4−3−2−1012345

θ = π4

3. สมการ r = 2k sin θ เมอ 0 ≤ θ ≤ π เปนกราฟวงกลมทมจดศนยกลางอยท (k, π2) รศม |k|

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4 sin θ

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5−4−3−2−1012345

r = 4 sin θ


สมการ r = 2k cos θ เมอ 0 ≤ θ ≤ π เปนกราฟวงกลมทมจดศนยกลางอยท (k, 0) รศม |k|

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4 cos θ

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5−4−3−2−1012345

r = 4 cos θ

ตวอยาง 5.3.9 จงวาดกราฟเชงขวตอไปน

1. r = −5 sin θθ 0 π

6π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5


2. r = −4 cos θθ 0 π

6π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

3. สมการ r = k sin 2nθ และ r = k cos 2nθ เมอ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ 4n กลบ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4 sin 2θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4 sin 2θ


ตวอยาง 5.3.10 จงวาดกราฟเชงขวตอไปน1. r = 4 cos 2θ

θ 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π 7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

2. r = −4 sin 2θθ 0 π

6π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π 7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5


สมการ r = k sin(2n+ 1)θ และ r = k cos(2n+ 1)θ เมอ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ 2n+ 1 กลบ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4 sin 3θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4 sin 3θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4 cos 3θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4 cos 3θ


ตวอยาง 5.3.11 จงวาดกราฟเชงขวตอไปน1. r = −4 cos 3θ

θ 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π 7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

2. r = 4 sin 5θθ 0 π

6π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π 7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5


4. สมการ r = a+ b sin θ และ r = a+ b cos θ เมอ 0 ≤ θ ≤ 2π

ถา |a| = |b| แลวกราฟนจะผานขว และเรยกกราฟนวา กราฟรปหวใจหรอคารดออยด (cardioid)ถา |a| = |b| จะเรยกกราฟนวา ลมาซอง (limacon)

ถา |a| > |b| กราฟนจะไมผานขวถา |a| < |b| กราฟนจะผานขว และมวงวน (loop) อยภายใน

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

r = 2 + 2 sin θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 2 + 2 sin θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

r = 2 + 3 sin θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 2 + 3 sin θ


X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

r = 3 + 2 sin θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 3 + 2 sin θ

ตวอยาง 5.3.12 จงวาดกราฟเชงขวตอไปน

1. r = 2 + 2 cos θθ 0 π

6π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π 7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5


2. r = 1 + 3 cos θθ 0 π

6π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π 7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

3. r = 3 + 2 cos θθ 0 π

6π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π 7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5


4. r = 2− 2 cos θθ 0 π

6π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π 7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

5. r = 1− 3 sin θθ 0 π

6π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π 7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5


ตวอยางกราฟเชงขว

X

r = 3

X

θ = π4

X

r = 4 sin θ

X

r = 4 cos θ

X

r = 4 sin 2θ

X

r = 4 sin 4θ

X

r = 4 cos 2θ

X

r = 4 cos 4θ

X

r = 4 sin 3θ

X

r = 4 sin 5θ

X

r = 4 cos 3θ

X

r = 4 cos 5θ


X

r = 4 cos 8θ

X

r = θ sin θ

X

r = 4 sin2 θ

X

r = 2 + 2 sin θ

X

r = 2 + 3 sin θ

X

r = 3 + 2 sin θ

X

r = 2 + 2 cos θ

X

r = 2 + 3 cos θ

X

r = 3 + 2 cos θ

X

r = 2− 2 cos θ

X

r = 2− 2 sin θ

X

r = 2 + 2 sin 2θ


1−1

1

−1

r = sin2(2.4θ) + cos4(2.4θ)

2−2

2

−2

r = sin2(1.2θ) + cos3(6θ)

1−1

1

−1

r = sin(85θ)

6−6

6

−6

r =√θ


การหาพนทในระบบพกดเชงขวใหR เปนพนทอาณาบรเวณทปดลอมดวยฟงกชน r = f(θ) และเสนตรง θ = α และ θ = β เมอ r > 0 แบง [α, β] ออกเปน n ชวงยอยดวยจด θ0, θ1, θ2, ..., θn โดยท

α = θ0 < θ1 < θ2 < ... < θn = β

X

O

r = f(θ)

R θ0 = αθ1

θi−1

θi

θn−1

β = θn

สาหรบ i = 1, 2, 3, ..., n ใหRi เปนพนทของอาณาบรเวณทปดลอมดวย θ = θi−1 และ θ = θi ดวยเสนโคง r = f(θ)

Pi เปนจด (f(θi), θi) และ Pi−1 เปนจด (f(θi−1), θi−1) ให θ∗i ∈ [θi−1, θi] และ P ∗i เปนจด (f(θ∗i ), θ∗i )

X

O

Pi P ∗i

Qi

Pi−1

Qi−1r = f(θ)

θ∗i

θi−1

θi

พจารณาวงกลมรศมOP ∗i ตดกบเสนตรง θ = θi−1 ทจดQi−1 และเสนตรง θ = θi ทจดQi และให∆θi = θi − θi−1

Ri ≈ พนทเซกเตอรOQiQi−1 =1

2[f(θ∗i )]

2∆θi

ดงนน

R =n∑

i=1

Ri ≈n∑

i=1

1

2[f(θ∗i )]

2∆θi

เมอแบง n มากๆ และทาให∆θi มคานอยๆ และ r = f(θ) เปนฟงกชนตอเนอง โดยใชผลบวกของรมนนจะไดวา

พนทR = limn→∞

n∑i=1

1

2[f(θ∗i )]

2∆θi =

∫ β

α

1

2r2 dθ


ตวอยาง 5.3.13 จงหาพนทของอาณาบรเวณทเปดลอมดวย

1. r = 2− 2 sin θ บนชวง [0, 2π]

X

r = 2− 2 sin θ

2. r = 4 cos 3θ บนชวง [0, 2π]

X

r = 4 cos 3θ



1. r = 4 cos θ บนชวง [π6, π3]

X

θ = π3

θ = π6

r = 4 cos θ

2. r = 4 sin 2θ บนชวง [0, π2]

X

r = 4 sin 2θ



1. r =√θ และ θ = 0 บนชวง [0, 2π]

X

r =√θ

2. r = 4 sin θ และ r = 2 + sin θ บนชวง [π6, 5π

6]

X

r = 4 sin 2θ


แบบฝกหด 5.31. จงหาพกดเชงขวของจดในระบบพกดฉากตอไปน เมอ r > 0 และ 0 ≤ θ < 2π

1.1 (−1, 1)

1.2 (−3,−3)

1.3 (−1,√3)

1.4 (4√3,−1)

1.5 (3√2,−3

√2)

1.6 (8, 4√3)

2. จงเขยนจดในระบบพกดฉาก และหาพกดฉากของจดตอไปน

2.1 A(2, π4)

2.2 B(−1, 3π3)

2.3 C(−3, 5π6)

2.4 D(4,−π4)

2.5 E(−5, 11π6)

2.6 E(2.5, 4π3)

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

3. จงเขยนสมการในระบบพกดฉากใหอยในระบบพกดเชงขว

3.1 x+ y = 2

3.2 y = x2

3.3 x2 + y2 = 4

3.4 x2 + y2 = 2x

3.5 x2 − y2 = xy

3.6 1x2 +

1y2

= 1

4. จงเขยนสมการในระบบเชงขวใหอยในระบบพกดฉาก

4.1 r = 3

4.2 r = 5 sin θ

4.3 r = 2 cos 2θ

4.4 r = 1− sin θ

4.5 r = 11−sin θ

4.6 r = tan θ

5. จงเขนกราฟของสมการในระบบเชงขวตอไปน

5.1 r = 3 sin θ

5.2 r = 5 cos θ

5.3 r = 2 cos 2θ

5.4 r = 2− sin θ

5.5 r = 2 + 3 cos θ

5.6 r = 3 + 3 cos θ

6. จงหาพนทของอาณาบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง

6.1 r = 4 + 3 cos θ บนชวง [0, π]6.2 r = 8 cos 2θ บนชวง [0, π

4]

6.3 r = 12 sin 3θ บนชวง [0, π6]

6.4 r = 2 + 2 cos θ บนชวง [0, 2π]6.5 r = 3 sin θ บนชวง [π

6, π4]

6.6 r = 2− 2 sin θ บนชวง [0, π4]

. . อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (INTEGRAL IN POLAR COORDINATE SYSTEM) 97

5.4 อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (Integral in Polar Coordinate System)เราจะพจารณาโดเมน

D = {(r, θ) | a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

X

O r = a r = b

D

θ = β

θ = α

ให f : D → R เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบนD จะแบงอาณาบรเวณD ออกเปนสวนยอยๆคอแบง [a, b] ออกเปนm ชวงยอยดวยจด r0, r1, r2, ..., rm โดยท

a = r0 < r1 < r2 < ... < rm = b

แบง [α, β] ออกเปน n ชวงยอยดวยจด θ0, θ1, θ2, ..., θn โดยท

α = θ0 < θ1 < θ2 < ... < θn = β

สาหรบ i = 1, 2, 3, ...,m และ j = 1, 2, 3, ..., n ให

Dij = {(r, θ) | ri−1 ≤ r ≤ ri, θj−1 ≤ θ ≤ θj}

X

O a = r0 r1 ri−1 ri rm−1 rm = b

Dij

θ0 = α

θ1

θj−1

θj

θn−1

θn = β


ให (xij, yij) เปนจดในDij ดงนน

xij = rij cos θij และ yij = rij sin θij เมอ ri−1 ≤ rij ≤ ri และ θj−1 ≤ θij ≤ θj

และ ∆Aij เปนพนทของอาณาบรเวณDij ดงนนผลบวกรมนนคอ

Smn =m∑i=1

n∑j=1

f(xij, yij)∆Aij

O

ri−1ri

Dijθj−1

θj

∆Aij =1

2r2i (θj − θj−1)−

1

2r2i−1(θj − θj−1) =

1

2(r2i − r2i−1)(θj − θj−1)

=1

2(ri + ri−1)(ri − ri−1)(θj − θj−1)

= rij(ri − ri−1)(θj − θj−1) เลอก rij = 1

2(ri + ri−1) เปนจดกงกลาง

ดนนนSmn =

m∑i=1

n∑j=1

f(rij cos θij, rij sin θij)rij(ri − ri−1)(θj − θj−1)

เนองจาก f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบนD ดงนน∫∫D

f = limm→∞,n→∞

Smn =

∫ β

α

∫ b

a

f(r cos θ, r sin θ)r drdθ

สรปไดวา ∫∫D

f(x, y) dA =

∫ β

α

∫ b

a


หรอ ∫∫D

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ β

α

f(r cos θ, r sin θ)r dθdr


ตวอยาง 5.4.1 กาหนดให f(x, y) = √x2 + y2 จงหาคาของ

∫ π

0

∫ 1

0


ตวอยาง 5.4.2 กาหนดใหD เปนอาณาบรเวณในจตภาคทหนง ซงอยระหวางวงกลม x2 + y2 = 1 และ x2 + y2 = 4 จงหา∫∫D

1

x2 + y2 + 1dA

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3


0

∫ √1−y2

0

ex2+y2 dxdy

X

Y

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2


การอนทรเกรตบนโดเมน S ใดๆ เมอ f : S → R เปนฟงกชนทอนทรเกรตได เราจะหาคาของ ∫∫S

f โดยการสรางรป

D = {(r, θ) | a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

ลอมรอบ S

X

Y

O

D

r = a r = b

S

θ = α

θ = β

และกาหนดฟงกชน f : D → R นยามโดย

f(x, y) =

f(x, y) เมอ x ∈ S

0 เมอ x /∈ S

ถา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบนD เราจะกลาวไดวา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบน S โดยนยามคาของอนทรกรลเปน∫∫S

f(x, y) dA =

∫∫D

f(x, y) dA


เราสามารถหาอนทรกรลสองชนในระบบพกดเชงขวโดยการพจารณาโดเมนไดสองลกษณคอ

1. แบบท 1 S = {(r, θ) | g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ), α ≤ θ ≤ β}

X

Y

O

Dg1(θ)

g2(θ)

r = a r = b

Sθ = α

θ = β

f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) =

0 เมอ a ≤ r < g1(θ)

f(r cos θ, r sin θ) เมอ g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ)

0 เมอ g2(θ) < r ≤ b

∫∫S

f(x, y) dA =

∫ β

α

∫ g2(θ)

g1(θ)


2. แบบท 2 S = {(r, θ) |h1(r) ≤ θ ≤ h2(r), a ≤ r ≤ b}

X

Y

O

Dh1(r)

h2(r)

r = a r = b

Sθ = α

θ = β

f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) =

0 เมอ α ≤ θ < h1(r)

f(r cos θ, r sin θ) เมอ h1(r) ≤ θ ≤ h2(r)

0 เมอ h2(θ) < θ ≤ β

∫∫S

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ h2(r)

h1(r)

f(r cos θ, r sin θ)r dθdr


ตวอยาง 5.4.4 จงเขยนอนทรกรล∫ 2

−2

∫ 2+√

4−y2

2−√

4−y2f(x, y) dxdy ใหอยในระบบพกดเชงขว

X

Y

−1 0 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

0

1

2

3


0

∫ 2

x

f(x, y) dydx ใหอยในระบบพกดเชงขว

X

Y

0 1 2 3

1

2

3



0

∫ 3

x

f(x, y) dydx ใหอยในระบบพกดเชงขว

X

Y

0 1 2 3 4

1

2

3

4

ตวอยาง 5.4.7 จงเขยนอนทรกรล∫ π

2

0

∫ 2 sec θ

0

r2 sin 2θ drdθ ใหอยในระบบพกดฉาก

X

Y

−2 −1 0 1 2

1

2

3


ตวอยาง 5.4.8 จงหาคาของ∫∫S

sin(x2+y2) dA เมอS เปนอาณาบรเวณในจตภาคทหนงทปดลอมดวยวงกลมx2+y2 = 4

และ เสนตรง y = 0 และ y = x

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3



1

∫ √4−x2

−√4−x2

1√x2 + y2

dydx

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3


ตวอยาง 5.4.10 จงหาพนทของอาณาบรเวณในจตภาคทหนงซงอยภายในวงกลม x2 + y2 = 1 และวงกลม x2 + y2 = 2y

X

Y

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2


ตวอยาง 5.4.11 จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงลอมรอบดวยดานขางดวยพนผว x2 + y2 − 2x = 0 และสวนบนปดดวยพนผว z =

√4− x2 − y2

X

Y

Z

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3


แบบฝกหด 5.41. จงเขยนอนทรกรลตอไปนใหอยในรปพกดเชงขวพรอมทงเขยนรปแสดงอาณาบรเวณการอนทรเกรต

1.1∫ 1

0

∫ √1−y2

1−y

f(x, y) dxdy

1.2∫ 1

−1

∫ √1−x2

0

f(x, y) dydx

1.3∫ √

2

−√2

∫ √4−y2

|y|f(x, y) dxdy

1.4∫ 1

−1

∫ 1

x2

f(x, y) dydx

2. จงเขยนอนทรกรลตอไปนใหอยในรปพกดฉากพรอมทงเขยนรปแสดงอาณาบรเวณการอนทรเกรต

2.1∫ π

2

0

∫ cos θ

0

r2 drdθ 2.2∫ π

2

π3

∫ 2 csc θ

csc θr cos θ drdθ

3. จงหาคาอนทรกรลสองชน ∫∫S

f(x, y) dA ตอไปนบนอาณาบรเวณทกาหนดให

3.1 f(x, y) =√1 + 4x2 + 4y2 S คออาณาบรเวณในจตภาคทหนงทปดลอมดวย x2 + y2 = 4

3.2 f(x, y) = 1√x2+y2

S คออาณาบรเวณทอยภายในวงกลม x2 + y2 = 4x

และอยภายนอกวงกลม x2 + y2 = 4

3.3 f(x, y) = x+ y S คออาณาบรเวณในจตภาคทหนงทปดลอมดวย x2 + y2 = 4,y =

√3x และ y = 0

3.4 f(x, y) = y√

x2 + y2 S คออาณาบรเวณทปดลอมดวยครงวงกลม y =√2x− x2 และแกน X

4. จงหาพนทของบรเวณซงปดลอมดวยวงกลม x2 + y2 = 1 และเสนตรง x = 3, y = x และ y = 0

5. จงหาพนทของบรเวณทอยภายในวงกลม x2 + y2 = 4 เมอ y ≥ 3

6. จงหาพนทของบรเวณซงปดลอมดวยวงกลม x2 + y2 = 4x และเสนโคง y =√2x กบแกน X

7. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 1 − x2 − y2 และลอมรอบดวยพนผวดานขางดวย x2 + y2 = x

8. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 4+ x+2y และลอมรอบดวยพนผวดานขางดวยx2 + y2 = 1

9. จงหาปรมาตรของรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดานขางดวย x2 + y2 = 4y และสวนบนปดดวยz =

√x2 + y2

บทท 6

สมการเชงอนพนธเบองตน (Elementary DifferentialEquations)

สมการทแสดงความสมพนธระหวางฟงกชนกบอนพนธของฟงกชนนน เราจะเรยกวาสมการเชงอนพนธ (differential equation)ตวอยางเชน

1. สมการการเคลอนทของวตถตามแนวราบ (Newton's second law)

md2s

dt2= f(t)

2. สมการการเตบโตของจานวนประชากร (population growth)dP

dt= kP

บทนยาม 6.0.1 อนดบ (order) ของสมการเชงอนพนธ คออนดบขสงสดของอนพนธทปรากฎในสมการนน

บทนยาม 6.0.2 ดกร (degree) ของสมการเชงอนพนธ คอกาลงสงสดของอนพนธอนดบสงสดทปรากฎทปรากฎในสมการนน เมอจดทกๆกาลงเปนจานวนเตม

ตวอยาง 6.0.3 จงบอกอนดบและดกรของสมการเชงอนพนธตอไปน

1. dydx

= x3

2. y d2ydx2 +

(dydx

)2= 0

3. xy ( dydx

)2+(

d3ydx3

)3

= cosx

4. xy2 = y′ +√1 + y′

5. xy = y′ + 3√1 + (y′)2

109

110 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)

บทนยาม 6.0.4 เราจะเรยกฟงกชนซงไมเปนฟงกชนของอนพนธ และสอดคลองสมการเชงอนพนธวา ผลเฉลย (solution) ของสมการ

ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอาจจะอยในรปของฟงกชนทนยามแบบแจมชด (explicite function) หรอฟงกชนทนยามโดยปรยาย (implicite function) กได เราเรยกผลเฉลยของสมการเชงอนพนธทมคาคงตวไมเจาะจงวา ผลเฉลยทวไป (generalsolution) และผลเฉลยทกาหนดคาคงตวแนนอนวา ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution)

ตวอยาง 6.0.5 จงแสดงวา y = Ae−3x +Bex ผลเฉลยทวไปของสมการ y′′ + 2y′ = 3y

ตวอยาง 6.0.6 จงแสดงวา y = 1+cet

1−cetเปนผลเฉลยทวไปของสมการ dy

dt= 1

2(y2 − 1)

111

ตวอยาง 6.0.7 จงแสดงวา y = x− 1x

ผลเฉลยเฉพาะของสมการ xy′ + y = 2x

ตวอยาง 6.0.8 จงแสดงวา y = sinx cos x− cosx เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการ y′ + (tan x)y = cos2 x

ตวอยาง 6.0.9 จงแสดงวา x2y − xy2 = c สอดคลองสมการ (x2 − 2xy)y′ = y2 − 2xy


สมการเชงอนพนธอนดบหนงดกรหนงจะเขยนไดเปนdy

dx= f(x, y) หรอ M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

6.1 สมการแบบแยกตวแปรได (Separable Equation)สมการแบบแยกตวแปรได คอสมการทสามารถเขยนไดในรป

F (x)dx+G(y)dy = 0

หรอจะไดวาM(x, y) และN(x, y) เขยนไดในรป

M(x, y) = M1(x)M2(y) และ N(x, y) = N1(x)N2(y)

การหาผลเฉลยของสมการแบบแยกตวแปรไดคอการอนทรเกรตแตละสวน

F (x) dx+G(y) dy = 0∫F (x) dx+

∫G(y) dy = c

เมอ c เปนคาคงตว

ตวอยาง 6.1.1 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1. 3(1− y2) dx− 2xy dy = 0

2. dy

dx=

y − xy

x2 + 1

. . สมการแบบแยกตวแปรได (SEPARABLE EQUATION) 113

ตวอยาง 6.1.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

1. (ln y)2y′ = x2y เมอ y(2) = 1

2. 4 sin2 x dy + sec2 y dx = 0 เมอ y(π2) = π


แบบฝกหด 6.11. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1.1 dydx

+ 2xy = 4x

1.2 (y4 + y)y′ = sin x− cosx

1.3 x3 dydx

=√

x2 − x2y2 เมอ x > 0

1.4 3(4y2 + 1) dx = y(x− 1) dy

1.5 1+ex

1−e−y dy + ex+y dx = 0

1.6 (x2y + x2) dx = (xy2 − y2) dy

1.7 (x2 + 1)y′ + y2 + 1 = 0

1.8 (x2y2 secx tanx+ xy2 secx) dx+ xy3 dy = 0

2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

2.1 cos2 x dydx

= sin2 y เมอ y(0) = π2

2.2 √x2 + 1 dy

dx= x

yเมอ y(

√3) = 2

2.3 dy = 9ex

ey2+y2e2dx เมอ y(1) = 3

2.4 x dy = yx−x3dx เมอ y(2) = −2

. . สมการเอกพนธ (HOMOGENEOUS EQUATION) 115

6.2 สมการเอกพนธ (Homogeneous Equation)บทนยาม 6.2.1 เราจะเรยกฟงกชน f(x, y) วาฟงกชนเอกพนธ (homogeneous function) ดกร n ถามจานวนเตม n ททาให

f(kx, ky) = knf(x, y) สาหรบทกๆจานวนจรงบวก k

ตวอยาง 6.2.2 จงพจารณาฟงกชนตอไปนวาเปนฟงกชนเอกพนธหรอไม ถาเปนดกรเทาใด

1. f(x, y) = x3 + 2xy2

2. f(x, y) = x2−2y2

xy

3. f(x, y) = 1ycos x

y

4. f(x, y) = x2 sinxy

บทนยาม 6.2.3 สมการเชงอนพนธ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 เปนสมการเอกพนธ (homogeneous equation) ถาM(x, y) และN(x, y) เปนฟงกชนเอกพนธทมดกรเทากน

ดงนนM(kx, ky) = knM(x, y) และN(kx, ky) = knN(x, y) สาหรบจานวนจรงบวก k ถา x > 0 ให k = 1x

จะไดวาM(x, y) = xnM(1,

y

x) และ N(x, y) = xnN(1,

y

x)

แลวจะไดวา

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

xnM(1,y

x) dx+ xnN(1,

y

x) dy = 0

M(1,y

x) dx+N(1,

y

x) dy = 0

โดยการเปลยนตวแปร v = yx

แลว y = vx ดงนน dy = vdx+ xdv นนคอ

M(1, v) dx+N(1, v) (xdv + vdx) = 0

[M(1, v) + vN(1, v)]dx+ xN(1, v) dv

จะเปนสมการแบบแยกตวแปรไดในพจนของ x และ v



1. (y2 − x2) dx+ xy dy = 0

2. xdydx

− y = x cosy

x

. . สมการเอกพนธ (HOMOGENEOUS EQUATION) 117

ตวอยาง 6.2.5 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ xyy′ = x2e−yx + y2 เมอ y(1) = 0



1.1 dydx

= y2+2xyx2

1.2 x dy − (x tan yx+ y) dx = 0

1.3 (x2y + y3) dx+ x3 dy = 0

1.4 2xy dx+ (x2 + y2) dy = 0

1.5 xy′ = x+ y

1.6 x(1 + ln yx)y′ = y

1.7 2x dy − 2y dx =√x2 + 4y2 dx เมอ x > 0

1.8 2yexy dx = (2xe

xy − y) dy


2.1 dydx

= x+yx−y

เมอ y(−1) = 0

2.2 x2y dx− (x3 − y3) dy = 0 เมอ y(1) = 1

2.3 14xyy′ = 6x2 − 7y2 เมอ y(−2) = 1

2.4 x2y′ = 3x2 − 2xy + y2 เมอ y(1) = 32

. . สมการแมนตรง (EXACT EQUATION) 119

6.3 สมการแมนตรง (Exact Equation)บทนยาม 6.3.1 สมการเชงอนพนธ M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 เปนสมการแมนตรง (exact equation) กตอเมอมฟงกชนF (x, y) ททาให

dF (x, y) = M(x, y) dx+N(x, y) dy

เนองจาก M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 ดงนน dF (x, y) = 0 นนคอ

ผลเฉลยทวไปของสมการแมนตรงคอ F (x, y) = c

จากสมบตคาเชงอนพนธจะไดวา

dF (x, y) = M(x, y) dx+N(x, y) dy

∂F

∂xdx+

∂F

∂ydy = M(x, y) dx+N(x, y) dy

ดงนน∂F

∂x= M(x, y) และ ∂F

∂y= N(x, y)

จะไดวา ∂2F∂y∂x

= ∂M∂y

และ ∂2F∂x∂y

= ∂N∂x

ถาM,N, ∂M∂y

และ ∂N∂x

ตอเนองจะไดวา

∂M

∂y=

∂N

∂x

ดงนนF (x, y) =

∫M(x, y) dx+ C(y)

หาC(y) ไดจาก ∂F∂y

= N(x, y)

ในทานองเดยวกนF (x, y) =

∫N(x, y) dy + C(x)

หาC(x) ไดจาก ∂F∂x

= M(x, y)


ตวอยาง 6.3.2 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (2xy3 − ye−x) dx+ (3x2y2 + e−x − 4) dy = 0

. . สมการแมนตรง (EXACT EQUATION) 121

ตวอยาง 6.3.3 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ x+ y2

xy2dy − y − 4

x2dx = 0 เมอ y(−2) = 1



1.1 2x− y3 − 3xy2y′ = 0

1.2 (2x− 5y) dy = (6x− 2y) dx

1.3 x(x cos(x2y)− 2y)y′ + 2xy cos(x2y) = y2

1.4 (sinxy + xy + cos xy) dydx

+ y2 cosxy = 0

1.5 3xy+1y

dx+ 2y−xy2

dy = 0

1.6 πy + (πx+ arcsin y) dydx

= sinx

1.7 ln yxdx+ ( lnx

y+ sin y) dy = 0

1.8 (2xyex2+ sin y) dx+ (x2ex

2y + x cos y − y) dy = 0


2.1 (3x2y + 2xy) dx+ (x3 + x2 + 2y) dy = 0 เมอ y(1) = 2

2.2 (ey + yex) dx− (ex + xey) dy = 0 เมอ y(1) = 0

2.3 (sin2 x− 2y cosx)y′2y sin x cosx+ y2 sinx = 0 เมอ y(0) = −2

2.4 ln(1 + y2) = ( 1y− 2xy

1+y2) dydx

เมอ y(2) =√e− 1

. . ตวประกอบอนทรกรล (INTEGRAL FACTOR) 123

6.4 ตวประกอบอนทรกรล (Integral Factor)ในกรณท M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 เปนไมเปนสมการแมนตรงแตม µ(x, y) ททาให

µ(x, y)(M(x, y) dx+N(x, y) dy) = 0

เปนสมการแมนตรง เราจะเรยกฟงกชน µ(x, y) นวาตวประกอบอนทรกรล (integral factor) ของสมการเชงอนพนธน แลว

∂(µM)

∂y=

∂(µN)

∂x

µ∂M

∂y+M

∂µ

∂y= µ

∂N

∂x+N

∂µ

∂x

ดงนน1

µ

(N∂µ

∂x−M

∂µ

∂y

)=

∂M

∂y− ∂N

∂x

กรณท 1. µ เปนฟงกชนชองตวแปร x เพยงอยางเดยว1

µNdµ

dx=

∂M

∂y− ∂N

∂x

Nd

dxln |µ| = ∂M

∂y− ∂N

∂x

d

dxln |µ| = 1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)= f(x)

ดงนน µ = e∫f(x) dx

กรณท 2. µ เปนฟงกชนชองตวแปร y เพยงอยางเดยวd

dyln |µ| = 1

M

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)= g(y)

ดงนน µ = e∫g(y) dy

สรปไดวา

1. สาหรบ f(x) = 1N

(∂M∂y

− ∂N∂x

)มตวประกอบอนทรกรลเปน µ = e

∫f(x) dx

2. สาหรบ g(y) = 1M

(∂N∂x

− ∂M∂y

)มตวประกอบอนทรกรลเปน µ = e

∫g(y) dy



1. (3x+ 2y2) dx+ 2xy dy = 0

2. (x2 + y2 + 1) dx+ x(x− 2y) dy = 0

3. (1 + x sin y)y′ + cos y = 0

. . ตวประกอบอนทรกรล (INTEGRAL FACTOR) 125

ตวอยาง 6.4.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ 2y(x2−y+x) dx+(x2−2y) dy = 0 เมอ y(0) = −1



1.1 2xy dx+ (x3 + 2xy) dy = 0

1.2 (4xy − 3x− 3x2) dy − (2xy − y2 + y) dx = 0

1.3 (xy + y − 1) dx+ x3 x dy = 0

1.4 y(x+ y3) dx+ x(y3 − x) dy = 0

1.5 (xy − x2)y′ − xy + 1 = 0


2.1 y(1 + x2y) dx− x dy = 0 เมอ y(1) = −1

2.2 (x2 + y) dx+ (x2 cos y − x) dy = 0 เมอ y(2) = 0

2.3 1 + (x tan y − 2 sec y)y′ = 0 เมอ y(−1) = π

. . สมการเชงเสน (LINEAR EQUATION) 127

6.5 สมการเชงเสน (Linear Equation)สมการเชงเสนคอสมการเชงอนพนธทอยในรป

dy

dx+ P (x)y = Q(x)

เราสามารถจดรปไดเปน [P (x)y−Q(x)] dx+ dy = 0 ดงนนM(x, y) = P (x)y−Q(x) และN(x, y) = 1

จะไดวาP (x) =

1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)ดงนน µ = e

∫P (x) dx

µdy

dx+ µP (x)y = µQ(x)

d

dx(µy) = µQ(x)

µy =

∫µQ(x) dx+ C

ดงนนผลเฉลยทวไปคอy =

1

µ

(∫µQ(x) dx+ C

)ตวอยาง 6.5.1 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1. dydx

− 2xy = x

2. (y cot x− sec2 x) dx+ dy = 0


ตวอยาง 6.5.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ (xy+ x+ x3) dx+(1+ x2) dy = 0 เมอ y(√3) = 1


สมการเชงอนพนธอนดบหนงดกรหนงบางสมการไมเปนสมการเชงเสน เราอาจทาใหเปนสมการเชงเสนโดยอาศยการเปลยนตวแปรทเหมาะสมเชนสมการตอไปนจะเรยกวา สมการแบรนลล (Bernoulli's equation)

dy

dx+ P (x)y = Q(x)yn

เมอ n เปนคาคงตว เปลยนตวแปรโดยให z = y1−n จะสมการแบรนลลจะกลายเปนสมการเชงเสนdz

dx+ (1− n)P (x)z = (1− n)Q(x)

จะได µ = e∫(1−n)P (x) dx ดงนนผลเฉลยทวไปคอ z = 1

µ

(∫µ(1− n)Q(x) dx+ C

) หรอy1−n =

1

µ

(∫µ(1− n)Q(x) dx+ C

)ตวอยาง 6.5.3 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (1 + x2) dy

dx+ xy = x3y3


ตวอยาง 6.5.4 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ dy

dx+

y

2x=

x

y3เมอ y(1) = 2



1.1 dydx

+ y cotx = 5ecosx

1.2 x2y′ + 3xy + 2x5 = 0

1.3 (2y − 4) dx+ dy = 0

1.4 x dydx

+ 3y = sinxx2

1.5 y′ − y = 11−e−x

1.6 dydx

+ yx lnx = x2

1.7 (3xy − 4y − 3x) dx+ (x2 − 3x+ 2) dy = 0

1.8 2(y − 3 sinx) cosx dx+ sinx dy

1.9 (x2 + y2) dx− 2xy dy = 0

1.10 (y + xy2) dx− dy


2.1 (x− 1)3 dydx

+ 4(x− 1)2y = x+ 1 เมอ y(3) = 12

2.2 (y − ex sinx) dx+ dy = 0 เมอ y(0) = −1

2.3 (cosx)y′ + y = 1 เมอ y(π4) = 2

2.4 dydx

+ x3yx4+1

= x7 เมอ y(0) = 1

2.5 xy′ + y = y2x2ex เมอ y(1) = e

2.6 x dydx

+ y + 3 = x3(y + 3)3 เมอ y(−12) = −1

สารบัญ - eledu.ssru.ac.th · 6 บทที....

Documents