สารบญ
1 ลาดบและอนกรม 1
2 อนกรมกาลง 3
3 ปรภมสามมต (Three-Dimensional Space) 53.1 ระบบพกดฉากในปรภมสามมต (Three-Dimensional Rectangle Coordinate Systems) . . . . . . . . . . 53.2 เวกเตอรในปรภมสามมต (Vectors in Three-Dimensional Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 เสนตรงในปรภมสามมต (Lines in Three-Dimensional Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 ระนาบในปรภมสามมต (Plane in Three-Dimensional Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 ฟงกชนคาเวกเตอรและเสนโคง (Vector Value Function and Curve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 ฟงกชนหลายตวแปร (Functions of Several Variable) 414.1 ฟงกชนคาจรงสองตวแปร (Functions of Two Variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปร (Limit and Continuity) . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 อนพนธยอยของฟงกชนสองตวแปร (Partial Deivatives) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 กฎลกโซ (Chain Rule) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5 อนพนธอนดบสง (Higher order partial derivative) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6 การประมาณคาเชงเสน (Linear Approximation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (Integral of Functions of Two Variables) 615.1 อนทรกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา (Rectangular Domain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 อนทรกรลบนโดเมนทวไป (General Domain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3 ระบบพกดเชงขว (Polar Coordinate System) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4 อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (Integral in Polar Coordinate System) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 สมการเชงอนพนธเบองตน (Elementary Differential Equations) 1096.1 สมการแบบแยกตวแปรได (Separable Equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.2 สมการเอกพนธ (Homogeneous Equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 สมการแมนตรง (Exact Equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4 ตวประกอบอนทรกรล (Integral Factor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.5 สมการเชงเสน (Linear Equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
ก
ข สารบญ
6.6 สมการแบรนลล (Bernoulli's Equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
บทท 1
ลาดบและอนกรม
1
2 บทท . ลาดบและอนกรม
บทท 2
อนกรมกาลง
3
4 บทท . อนกรมกาลง
บทท 3
ปรภมสามมต (Three-Dimensional Space)
3.1 ระบบพกดฉากในปรภมสามมต (Three-Dimensional RectangleCoordinate Systems)การบอกตาแหนงของจดในปรภมสามมตทาไดจากการอางองเสนตรงสามเสนคอ แกน X แกน Y และแกน Z ซงตดการทจด Oเรยกวาจดกาเนด (origin) และเรยก
ระนาบทผาน แกน X และแกน Y วา ระนาบ XY (XY-plane)ระนาบทผาน แกน X และแกน Z วา ระนาบ XZ (XZ-plane)ระนาบทผาน แกน Y และแกน Z วา ระนาบ YZ (YZ-plane)
X
Y
Z
ระนาบ XY
X
Y
Z
ระนาบ XZ
X
Y
Z
ระนาบ YZระนาบพกดฉากทงสามจะแบงปรภมสามมตออกเปน 8 สวนเรยกวา อฐภาค (Octance)
X
Y
Z
5
6 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
การเลอกทศทางทเปนบวกของพกดฉาก เรานยมใชกฎมอขวาโดยใหนวหวแมมอไปทางแกน Z บวก นวช ไปทางแกน X บวกและนวกลาง ชไปทางแกน Y บวก ตงฉากกนเสมอ ตวอยางดงรปตอไปน เราจะเลอกใชแบบใดแบบหนงตามความเหมาะสม
X
Y
Z
Z
X
Y
X
Y
Z
Y
X
Z
การบอกตาแหนงของจด P ในปรภมสามมต มแกนพกดเปนทอางองบอกไดโดยใชจานวนจรง (x, y, z) เรยกวาพกดฉากของจด P และใชR3 แทนเซตของจด (x, y, z) ในปรภมสามมต
XY
Z
P (x, y, z)
(x, 0, 0)
(x, 0, z)
(0, 0, z)
(x, y, 0)
(0, y, 0)
(0, y, z)
จากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ XY ไปยงแกน Z จะไดจด (0, 0, z) เราเรยกจดนวา ภาพฉาย (projection) ของ P แกน Zจากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ YZ ไปยงแกน X จะไดจด (x, 0, 0) เราเรยกจดนวา ภาพฉายของ P แกน Xจากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ XZ ไปยงแกน Y จะไดจด (0, y, 0) เราเรยกจดนวา ภาพฉายของ P แกน Yจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน Z ไปทระนาบ XY จะไดจด (x, y, 0) เราเรยกจดนวา ภาพฉายของ P บนระนาบ XYจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน X ไปทระนาบ YZ จะไดจด (0, y, z) เราเรยกจดนวา ภาพฉายของ P บนระนาบ YZจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน Y ไปทระนาบ XZ จะไดจด (x, 0, z) เราเรยกจดนวา ภาพฉายของ P บนระนาบ XZ
ตวอยาง 3.1.1 จงหาภาพฉายทงหมดของจด P (1, 2, 3)
ภาพฉายบนระนาบ XY ของจด P คอ (1, 2, 0)
ภาพฉายบนระนาบ XZ ของจด P คอ (1, 0, 3)
ภาพฉายบนระนาบ YZ ของจด P คอ (0, 2, 3)
ภาพฉายบนแกน X ของจด P คอ (1, 0, 0)
ภาพฉายบนแกน Y ของจด P คอ (0, 2, 0)
ภาพฉายบนแกน Z ของจด P คอ (0, 0, 3)
. . ระบบพกดฉากในปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL RECTANGLE COORDINATE SYSTEMS) 7
ตวอยาง 3.1.2 จงเขยนกราฟในปรภมสามมตแสดงจดดงตอไปน
1. P (1,−2, 2) 2. Q(0, 2, 1) 3. R(1, 2, 2) 4. S(3, 1, 2)
X
Y
Z
P (1,−2, 2)
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
แบบฝกหด 3.11. จงเขยนกราฟในปรภมสามมตแสดงจดดงตอไปน
1.1 A(5, 0, 0)
1.2 B(0, 2, 1)
1.3 C(3, 1, 0)
1.4 D(−3, 0, 2)
1.5 E(1, 1, 3)
1.6 F (−4, 2,−3)
1.7 G(2, 1,−2)
1.8 H(3,−2, 6)
2. จงหาภาพฉายของจด P บนระนาบ XY, XZ และ YZ2.1 P (3, 1, 2) 2.2 P (1, 2,−2) 2.3 P (4,−1, 0) 2.4 P (−8, 9, 7)
3. จงหาภาพฉายของจด P บนแกน X, Y และ Z3.1 A(5, 0, 0) 3.2 B(0, 2, 1) 3.3 C(3, 1, 0) 3.4 D(−3, 0, 2)
8 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
3.2 เวกเตอรในปรภมสามมต (Vectors in Three-Dimensional Space)เวกเตอร (vector) คอปรมาณทมทงขนาดและทศทาง โดยทวไปใชสวนของเสนตรงเชอมโยงกนระหวางจดสองจดและมลกศรกากบแทนเวกเตอร และความยาวของเสนตรงแทนขนาดของเวกเตอร ใชสญญาลกษณ −→
PQ แทนเวกเตอรทมจดเรมตนทจด PสนสดทจดQ มทศทางจาก P ไปQ และใช ∥−→PQ∥ แทนความยาวหรอขนาด (length/magnitude/norm) ของ−→PQ และเวกเตอรทงสองจะเทากนกตอเมอทงสองมขนาดเทากนและทศทางเดยวกน
X
Y
Z
P
Q
O
A
บทนยาม 3.2.1 กาหนดให P (x1, y1, z1) และQ(x2, y2, z2) แลว a เปนเวกเตอรตาแหนง (position vector) ของ−→PQ คอ
a = ⟨x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1⟩
ถา a1 = x2 − x1, a2 = y2 − y1 และ a3 = z2 − z1 ดงนน a = ⟨a1, a2, a3⟩ เรยก a1, a2 และ a3 วาสวนประกอบ(component) ของ a ตามแกน X แกน Y และ แกน Z ตามลาดบ
XY
Z
OA
a1 a2
a3
a
จากรปโดยใชความสมพนธของสามเหลยมมมฉากจะไดวา
∥a∥ =√a21 + a22 + a23
บทนยาม 3.2.2 เวกเตอรทมตวประกอบทกตวเปนศนยเรยกวา เวกเตอรศนย (zero vector) เขยนแทนดวย 0 = ⟨0, 0, 0⟩
ขอตกลง เมอ P เปนจดในR3 และO เปนจดกาเนด เราจะเขยนเวกเตอร−→OP แทนดวย P
. . เวกเตอรในปรภมสามมต (VECTORS IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 9
มมแสดงทศทาง (Direction Angles)บทนยาม 3.2.3 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ = 0 เปนเวกเตอรททามม α, β, γ กบแกน X แกน Y และแกน Z ดานบวกตามลาดบโดยท α, β, γ ∈ [0, π] เราเรยก α, β, γ วามมแสดงทศทาง (direction angles) ของ a และ cosα, cos β, cos γ วาโคไซนแสดงทศทาง (direction cosines) ของ a
XY
Z
O
a1 a2
a3
a
α
β
γ
จากรปจะไดวา cosα = a1∥a∥ cos β = a2
∥a∥ cos γ = a3∥a∥
ตวอยาง 3.2.4 จงหาเวกเตอรตาแหนงของ−→PQ พรอมทงขนาดและโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรนน
1. P (1, 2,−3) และQ(−1, 0− 4) 2. P (4,−1, 2) และQ(5,−2, 3)
ตวอยาง 3.2.5 จงหามมแสดงทศทางของเวกเตอร a = ⟨−1, 1,√2⟩
บทนยาม 3.2.6 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ และ k ∈ R
1. a = b กตอเมอ a1 = b1, a2 = b2 และ a3 = b3
2. a+ b = ⟨a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3⟩
3. ka = ⟨ka1, ka2, ka3⟩
4. a− b = a+ (−b)
ตวอยาง 3.2.7 ให a = ⟨1,−2, 5⟩ และ b = ⟨−1,−4, 7⟩ จงหาเวกเตอรตอไปน
1. a+ b 2. 2a+ 3b 3. 3a− 2b
10 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
ทฤษฎบท 3.2.8 ให a, b และ c เปนเวกเตอรในR3 และ c, k ∈ R แลว
1. a+ b = b+ a
2. (a+ b) + c = a+ (b+ c)
3. a+ 0 = a
4. a+ (−a) = 0
5. (ck)a = c(ka) = k(ca)
6. c(a+ b) = ca+ cb
7. (c+ k)a = ca+ ka
8. 1a = a
9. 0a = 0
เวกเตอรหนงหนวย (Unit Vector)บทนยาม 3.2.9 เราเรยกเวกเตอรทมขนาดหนงหนวยวา เวกเตอรหนวยหรอเวกเตอรหนงหนวย (unit/unit vector)
ให a เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยในR3 และจะไดวาa
∥a∥เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศเดยวกบ a − a
∥a∥เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศตรงขามกบ a
ตวอยาง 3.2.10 จงหาเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอรตอไปน
1. ⟨1,−2, 2⟩ 2. ⟨1, 1,√2⟩ 3. ⟨3 sin θ, 4 sin θ, 5 cos θ⟩
เวกเตอรหนงหนวยตามแนวแกน X แกน Y และ แกน Z คอ i, j และ k ตามลาดบ
i = ⟨1, 0, 0⟩ j = ⟨0, 1, 0⟩ k = ⟨0, 0, 1⟩
ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ แลวจะไดวา
a = ⟨a1, a2, a3⟩ = a1⟨1, 0, 0⟩+ a2⟨0, 1, 0⟩+ a3⟨0, 0, 1⟩ = a1i+ a2j + a3k
ผลคณเชงสเกลาร (Scalar Product)บทนยาม 3.2.11 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ แลวผลคณเชงสเกลาร (scalar product) ของ a และ b เขยนแทนดวย a · b มคาดงน
a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3
ตวอยาง 3.2.12 จงหาผลคณเชงสเกลารของเวกเตอร a และ b
1. a = ⟨3,−1, 5⟩ และ b = ⟨1, 6,−3⟩
2. a = ⟨2, 1,−7⟩ และ b = ⟨4, 6, 2⟩
3. a = ⟨a, 1,−a⟩ และ b = ⟨a, a, a+ 1⟩
4. a = ⟨2 sinx, cosx, 1⟩ และ b = ⟨sinx, 2 cosx, 1⟩
. . เวกเตอรในปรภมสามมต (VECTORS IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 11
ทฤษฎบท 3.2.13 ให a, b และ c เปนเวกเตอรในR3 และ k ∈ R แลว
1. a · b = b · a
2. a · (b+ c) = a · b+ a · c
3. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb)
4. a · a = ∥a∥2
ตวอยาง 3.2.14 ให a และ b เปนเวกเตอรในR3 จงแสดงวา
1. a · a = 0 กตอเมอ a = 0 2. ∥a+ b∥2 = ∥a∥2 + 2a · b+ ∥b∥2
ทฤษฎบท 3.2.15 ให a = 0 และ b = 0 เปนเวกเตอรในR3 แลว
a · b = ∥a∥∥b∥ cos θ
เมอ θ เปนมมระหวาง a และ b เมอ 0 ≤ θ ≤ π ดงรป
a
b
θ
ขอสงเกต a และ b ตงฉากกน (perpendicular/orthogonal) กตอเมอ a · b = 0 หรอ θ = π2
ตวอยาง 3.2.16 ใหA(1, 2, 0),B(0, 4, 2) และC(3, 2,−2) เปนจดยอดของสามเหลยมABC จงหามมBAC
ตวอยาง 3.2.17 ให a = ⟨3, 2,−1⟩, b = ⟨1,−1, 1⟩ และ c = ⟨3, 4,−2⟩ จงตรวจสอบวาเวกเตอรคใดตงฉากกน
12 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
ภาพฉายเวกเตอร (Vector Projection)บทนยาม 3.2.18 ให a = 0, b = 0 และ θ เปนมมระหวาง a และ b ลากเสนตรงจากA ไปตงฉากกบ−−→
OB ทจดC ดงรป
B
A
θ
O C
a
bB
A
θ
OC
a
b
• เรยก−→OC วา ภาพฉายเวกเตอร (vector projection) ของ a บน b เขยนแทนดวย Projba
• เรยก ∥−→OC∥ วา ภาพฉายสเกลาร (scalar projection/component) ของ a บน b เขยนแทนดวย Compbaทฤษฎบท 3.2.19 ให a = 0, b = 0 แลวจะไดวา
Projba =a · b∥b∥2
b และ Compba =a · b∥b∥
ตวอยาง 3.2.20 จงหาภาพฉายเวกเตอรและภาพฉายสเกลารของ a บน b
1. a = ⟨1, 2, 3⟩ และ b = ⟨1,−2,−2⟩ 2. a = ⟨3, 1, 2⟩ และ b = ⟨1,−2, 4⟩
ผลคณเชงเวกเตอร (Vector Product)บทนยาม 3.2.21 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ แลวผลคณเชงเวกเตอร (vector product/cross product) ของ aและ b เขยนแทนดวย a× b คอ
a× b = ⟨a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1⟩
หรอ
a× b =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣∣ = i
∣∣∣∣∣a2 a3
b2 b3
∣∣∣∣∣− j
∣∣∣∣∣a1 a3
b1 b3
∣∣∣∣∣+ k
∣∣∣∣∣a1 a2
b1 b2
∣∣∣∣∣เมอ |M | แทนดเทอรมแนนทของเมตรกซM
b
a
a× b
. . เวกเตอรในปรภมสามมต (VECTORS IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 13
ตวอยาง 3.2.22 กาหนดให a = ⟨1, 2,−1⟩, b = ⟨0, 2, 1⟩ และ c = ⟨−3, 1,−1⟩ จงหา
1. a× b 2. a× (b+ c) 3. c× (a× b)
ทฤษฎบท 3.2.23 ให a, b และ c เปนเวกเตอรในR3 และ k ∈ R แลว
1. a× b = −(b× a)
2. a× (b+ c) = (a× b) + (a× c)
3. k(a× b) = (ka)× b = a× (kb)
4. a · (a× b) = 0 = b · (a× b)
ตวอยาง 3.2.24 จงหาเวกเตอรทตงฉากกบ a = ⟨1,−3, 4⟩ และ b = ⟨2, 2, 1⟩
ทฤษฎบท 3.2.25 ให a = 0 และ b = 0 เปนเวกเตอรในR3 และ θ เปนมมระหวาง a และ b แลว
∥a× b∥ = ∥a∥∥b∥ sin θ
ขอสงเกต a และ b ขนานกน (paralell) กตอเมอ a× b = 0 หรอ θ = 0 หรอ π
ทฤษฎบท 3.2.26 ให a และ b เปนเวกเตอรในR3 แลวพนทสเหลยมดานขนาน (parallelogram) ทมดานประชดเปน a และ b มคาเทากบ ∥a× b∥
a
b
ขอสงเกต a และ b ขนานกน (paralell) กตอเมอ a× b = 0 หรอ θ = 0 หรอ π
ตวอยาง 3.2.27 จงหาพนทของสามเหลยมทมจดยอดเปนA(2, 1, 1),B(−1, 3, 1) และC(0, 2,−3)
14 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร (Scalar Triple Product)บทนยาม 3.2.28 ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 แลวผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร (scalar triple products) ของ a, bและ c คอ a · b× c หรอ a · (b× c) นนคอ
a · b× c =
∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣เมอ a = ⟨a1, a2, a3⟩, b = ⟨b1, b2, b3⟩ และ c = ⟨c1, c2, c3⟩
โดยคณสมบตของดเทอรมแนนทจะไดวา a · b× c = b · c× a = c · a× b
ทฤษฎบท 3.2.29 ปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน (parallepiped) ซงมดานประชดเปนa, b และ c เทากบ |a · b× c|
b× c
c
b
a
A
h
θ
จากรป V = Ah = ∥b× c∥∥a∥| cos θ| = |a · b× c|
ตวอยาง 3.2.30 จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานซงมดานประชดเปน ⟨1, 1,−1⟩, ⟨2, 1, 0⟩ และ ⟨0, 1, 3⟩
ตวอยาง 3.2.31 จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรแสดงวา ⟨1, 4,−7⟩, ⟨2,−1, 4⟩ และ ⟨0,−9, 18⟩ อยบนระนาบเดยวกน (coplanar)
. . เวกเตอรในปรภมสามมต (VECTORS IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 15
แบบฝกหด 3.21. กาหนดให a = ⟨1, 2, 0⟩, b = ⟨1,−1, 2⟩, c = ⟨1, 0, 3⟩ และ d = ⟨−2, 1, 5⟩ จงหา
1.1 2a− 3b
1.2 ∥c+ 2d∥+ ∥2a+ b∥
1.3 เวกเตอรหนงหนวยของ 2c− d
1.4 โคไซนแสดงทศทางของ b+ c
1.5 มมระหวาง a+ c กบ a− c
1.6 (a× b)× (c× d)
1.7 ภาพฉายเวกเตอรและภาพฉายสเกลารของ b บน c
1.8 เวกเตอร 5 หนวยทตงฉากกบ a และ c
2. จงตรวจสอบวาเวกเตอรคใดตอไปนตงฉากกนบาง
a = ⟨1, 2, 1⟩, b = ⟨1,−2, 3⟩, c = ⟨−3, 3, 1⟩ และ d = ⟨−1, 1, 7⟩
3. จงหาพนทสามเหลยมทมจดยอดเปน (−3, 1, 2), (−5, 1, 0) และ (4,−2, 1)
4. กาหนดใหA(1, 1, 2), B(2, 0, 3), C(3, 0, 0) และD(2, 1,−1) จงแสดงวารปสเหลยม ABCD เปนสเหลยมดานขนาน และหาพนทของรปสเหลยมน
5. จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานซงมดานประชดเปน a = ⟨2, 1,−3⟩, b = ⟨4,−1, 0⟩ และ c =
⟨−1, 4,−1⟩
6. จงยกตวอยางเวกเตอร a, b และ c ททาให a× (b× c) = (a× b)× c
7. จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรแสดงวา ⟨1, 5,−2⟩, ⟨3,−1, 0⟩ และ ⟨5, 9,−4⟩ อยบนระนาบเดยวกน
8. ให a, b และ c เปนเวกเตอรในR3 จงแสดงวา
8.1 ∥a× b∥2 = ∥a∥2∥b∥2 − (a · b)
8.2 ถา a+ b+ c = 0 แลว a× b = b× c = c× a
8.3 (a− b)× (a+ b) = 2(a× b)
8.4 a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c
8.5 a× (b× c) + b× (c× a) + c× (a× b) = 0
8.6 (a× b) · (c× d) =
∣∣∣∣∣a · c b · ca · d b · d
∣∣∣∣∣
16 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
3.3 เสนตรงในปรภมสามมต (Lines in Three-Dimensional Space)สมการของเสนตรง (Equations of Lines)บทนยาม 3.3.1 ให P0 เปนจดในR3 และ A = 0 เปนเวกเตอรในR3 เราจะเรยก
เซตของจด P ใดๆซงทาให−−→P0P ขนานกบ A วาเสนตรงทผานจด P0 และขนานกบ A
และเรยก A วาเวกเตอรแสดงทศทาง (direction vector) ของเสนตรง
X
Y
Z P
P0
L
O
A
เนองจาก−−→P0P ขนานกบ A ดงนนจะไดวาม t ∈ R ททาให−−→P0P = tA หรอ P = P0 + tA (3.1)
ถากาหนดจด P (x, y, z) และ P0(x0, y0, z0) และ A = ⟨a, b, c⟩ ดงนน
⟨x, y, z⟩ = ⟨x0, y0, z0⟩+ t⟨a, b, c⟩ = ⟨x0 + at, y0 + bt, z0 + ct⟩ (3.2)
เราเรยกสมการ (3.1) หรอ (3.2) วาสมการเวกเตอร (vector equation) ของเสนตรง Lจากสมการ (3.2) เราจะแยกเขยนสมการสาหรบสวนประกอบไดเปน
x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct (3.3)
เราจะเรยกสมการ (3.3) วาสมการอางองตวแปรเสรม (parametric equation) ของเสนตรง Lถา a, b, c ไมมจานวนใดเปนศนยเลย จะไดวา
x− x0
a=
y − y0b
=z − z0
c(3.4)
เราเรยกสมการ (3.4) วาสมการสมมาตร (symmetric equation) ของเสนตรง L
ตวอยาง 3.3.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม สมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด P0(1, 2, 3) และขนานกบA = ⟨1, 2,−1⟩
. . เสนตรงในปรภมสามมต (LINES IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 17
ตวอยาง 3.3.3 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรมสมการสมมาตรของเสนตรงทผานจดP1(1, 3, 4)และP2(1,−2, 3)
จดและเสนตรง (Point and Line)การตรวจสอบวาจด P (x, y, z) อยบนเสนตรง L หรอไมทาไดโดยการแทนคา x, y, z ลงในสมการเสนตรง L วาสอดคลองกบสมการของเสนตรง L หรอไม
ตวอยาง 3.3.4 จงตรวจสอบวาจด P (1,−2, 3) อยบนเสนตรงตอไปนหรอไม
1. x = 3− t, y = 2− 4t, z = 3 + t 2. x+ 1
2=
y + 5
3= z − 2
ตวอยาง 3.3.5 จงพจารณาA(1, 2, 0),B(−1, 3, 4) และC(−2, 1, 5) อยบนเสนตรงตอไปนหรอไม
ตวอยาง 3.3.6 จงหาจดทเสนตรงตอไปนตดระนาบ XY ระนาบ XZ และ ระนาบ YZ
1. x = 1 + t, y = 2− 2t, z = t− 3 2. 1− x
3=
y − 10
5, z = 4
18 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
การวดระยะทางระหวางจดB กบเสนตรง L คอความยาวทสนทสดจากจดB ไปยงเสนตรง L ซงกคอความยาวของเสนตงฉากทลากจากจดB ไปยงเสนตรง L ทจดM เรยกจดM วาจดเชงเสนตงฉาก (Orthogonal point)
X
Y
Z
P0
M
B
L
O
A
θ
จากรปจะไดวา ∥−−→BM∥ = ∥−−→P0B∥ sin θ เนองจาก A ขนานกบ−−→P0M ดงนน θ เปนมมระหวาง−−→PB กบ A ดงนน
∥−−→BM∥ =
∥−−→P0B∥∥A∥ sin θ
∥A∥=
∥−−→P0B × A∥
∥A∥
ตอไปเราจะหาจดM เนองจากM อยบนเสนตรง L ดงนนม t ∈ R ททาให M = P0 + tA เนองจาก−−→BM ตงฉากกบ A
ดงนน
0 =−−→BM · A = (M − B) · A = (P0 + tA− B) · A = (P0 − B) · A+ t∥A∥2
แลวจะไดวาt =
(−−→OB −
−−→OP0) · A
∥A∥2
ดงนน
M = P0 +(B − P0) · A
∥A∥2A
ตวอยาง 3.3.7 จงหาจดเชงเสนตงฉากของจดB(2, 1,−1) บนเสนตรง x = 5 + 4t, y = 2− t, z = 4 + 3t พรอมทงหาระยะทางจากจดB ไปยงเสนตรงน
. . เสนตรงในปรภมสามมต (LINES IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 19
การตดกนของเสนตรง (Intersection of two Lines)ความสมพนธของเสนตรง L1 และ L2 ในปรภมสามมตมลกษณะดงน
1. ตดกน
2. ไมตดกน
2.1 ไมตดกน และขนานกน2.2 ไมตดกน และไมขนานกน
X
Y
Z
L1
L2
O
X
Y
Z
L1 L2
O
X
Y
Z
L1
L2
O
ตวอยาง 3.3.8 จงตรวจสอบวา L1 และ L2 ตดกนหรอไม ถาตดจงหาจดตด
1. L1 : x = 2 + t, y = 4− t, z = 3 + 2t
L2 : x = 1− s, y = 9 + 3s, z = 2 + s
2. L1 : 2− x = 3− y = z−12
L2 : 7−x3
= y = z − 1
20 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
มมระหวางเสนตรง (Angle between Lines)บทนยาม 3.3.9 มมระหวางเสนตรงสองเสน คอมมระหวางเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสองเสนนน
XY
Z
L1
L2
O
A1
A2
θ
cos θ =A1 · A2
∥A1∥∥A2∥
ตวอยาง 3.3.10 จงหามมระหวางเสนตรง L1 และ L2
1. L1 : x = 2 + t, y = 1 + 2t, 2z = 1 + 4t
L2 : x = −3s, y = 2 + 4s, z = 5s− 1
2. L1 : 2x− 1 = y = 1−z3
L2 : x4= y − 1 = z
ตวอยาง 3.3.11 จงหาสมการเสนตรงทผานจดB(1,−1, 2) ซงตดและตงฉากกบเสนตรง x− 1 = 3−y2
= −z
. . เสนตรงในปรภมสามมต (LINES IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 21
การขนานกนของเสนตรง (Parallel Line)บทนยาม 3.3.12 เสนตรงสองเสนขนานกน (parallel line) กตอเมอเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสองเสนขนานกน
ตวอยาง 3.3.13 จงหาสมการเสนตรงทผานจด (1, 2, 3) และขนานกบเสนตรง x+ 2 = 4−y2
= 1− z
การไขวตางระนาบของเสนตรง (Skew Line)บทนยาม 3.3.14 เราจะเรยกเสนตรงสองเสนวา เสนไขวตางระนาบ (skew line) กตอเมอเราไมสามารถหาระนาบทเสนตรงทงสองอยบนระนาบเดยวกนได หรอกลาวไดอกอยางวาเสนตรงทงสองไมตดกนไมไมขนานกน
ตวอยาง 3.3.15 จงพจารณา L1 และ L2 วาเปนเสนไขวตางระนาบกนหรอไม
1. L1 : 2x = 1 + t, y = 2− t, 3z = t
L2 : x = 2− 3s, y = 6s, z = 1− 2s
2. L1 : x = y2= z − 1
L2 : x+12
= y − 1 = z+23
22 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน (Distance between Lines)บทนยาม 3.3.16 ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน คอระยะทสนทสดระหวางเสนตรงทงสอง
ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทขนานกน
X
Y
Z
P2
P1 L2
L1
O
ให L1 และ L2 เปนเสนตรงสองเสนทขนานกน ซงผานจด P1 และ P2 ตามลาดบ ระยะทางระหวาง L1 และ L2 คอ ระยะทางระหวางจด P1 ไปยง L1 หรอ P2 ไปยง L2 นนคอ
ระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ ∥−−→P1P2 × A1∥
∥A1∥หรอ ∥
−−→P2P1 × A2∥
∥A2∥
ตวอยาง 3.3.17 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง
L1 : x = 1 + t, y = 2− 2t, z = −1 + 2t และ L2 : x = 2− s, y = 1 + 2s, z = −2s
. . เสนตรงในปรภมสามมต (LINES IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 23
ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทไมขนานกน
XY
Z P1
Q1
P2
Q2
L1
L2
O
A1 × A2
L1
L2
P2
P1
−−−→Q1Q2
จากรปQ1 และQ2 เปนจดปลายของสวนเสนตรงทตงฉากกบ L1 และ L2 ดงนน
ระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ ∥−−−→Q1Q2∥
เนองจาก−−−→Q1Q2 ตงฉากกบ A1 และ A2 จะไดวา−−−→Q1Q2 ขนานกบ A1 × A2 จากรปจะไดวา
∥−−−→Q1Q2∥ = ขนาดของภาพฉายสเกลารของ−−→P2P1 บน A1 × A2
ดงนน
ระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ |−−→P2P1 · (A1 × A2)|
∥A1 × A2∥
ตวอยาง 3.3.18 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง
L1 : x−12
= −y = z−2
และ L2 : x = −3t, y = 1 + 2t, z = t
24 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
แบบฝกหด 3.31. จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม สมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด P0 และขนานกบ A
1.1 P0(2, 1, 1) และ A = ⟨1,−1, 3⟩ 1.2 P0(−1, 3, 5) และ A = ⟨0, 2,−1⟩
2. จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม สมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด P1 และ P2
2.1 P1(1,−1, 0) และ P2(2,−3, 5) 2.2 P1(−1,−3,−2) และ P2(−5, 0, 1)
3. จงตรวจสอบวาจด (1, 2,−3) อยบนเสนตรงใดตอไปนหรอไม
3.1 x = 3− 2t, y = 3 + t, z = 1− 4t
3.2 2x = 3 + 2t, y = 1− 2t, 3z = 4t− 7
3.3 2x− 1 = y+22
= z3
3.4 x+74
= 4− y = z+93
4. จงพจารณาวาจดA(3, 3, 1),B(−1, 5,−7) และC(5, 2, 5) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม
5. จงหาระยะทางจากจดB(1,−2, 1) ไปยงเสนตรงตอไปน
5.1 x = 6 + 4t, y = 3− 2t, z = 1 + t 5.2 x−12
= 1−y3
= z+14
6. จงหาพกดของจดบนเสนตรงตอไปน ทอยใกลจดกาเนดมากทสด
6.1 x = 9 + 4t, y = t, z = 3 + 2t 6.2 8−x6
= y−22
= z+78
7. จงตรวจสอบวา L1 และ L2 ตดกนหรอไม ถาตดจงหาจดตด
7.1 L1 : x = 2 + t, y = −1 + 3t, z = 2− 3t
L2 : x = 4 + s, y = 5 + 3s, z = s
7.2 L1 : x−12
= 2− y = z
L2 : 2x+13
= y = z − 2
8. จงหามมระหวางเสนตรง L1 และ L2 ในแตละขอตอไปน
8.1 L1 : x = 2 + t, y = 1− t, z = 5 + t
L2 : x = 2 + s, y = 5− 2s, z = 1− 3s
8.2 L1 : 1− x = y = z+3√2
L2 : x√2= y−3√
2= z+1
2
9. จงหาสมการเสนตรงทผานจดกาเนด ซงตดและตงฉากกบเสนตรง x = 3−y2
= z − 2
10. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (−1, 2, 1) และขนานกบเสนตรง x+32
= 1−y5
= 2− z
. . เสนตรงในปรภมสามมต (LINES IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 25
11. จงพจารณา L1 และ L2 วาเปนเสนไขวตางระนาบกนหรอไม
11.1 L1 : 2x = 1 + 4t, y = 2− t, z = t
L2 : x = −4s, y = 1 + 2s, 3z = 1− 6s
11.2 L1 : x− 1 = 3−y2
= 2z + 1
L2 : 2− x = y−12
= 1−4z2
12. จงระยะทางระหวาง L1 และ L2 ในแตละขอตอไปน
12.1 L1 : x = 7t, y = 2 + t, z = 4− 3t
L2 : x = 3− s, y = 5, z = 6 + 2s
12.2 L1 : x+ 5 = y+34
= 6−z9
L2 : 2− x = 4−y4
= z+1−9
12.3 L1 : x = 5 + 4t, y = 2− t, z = 4 + 3t
L2 : x = 2−8s, y = 1+2s, z = −1−6s
12.4 L1 : x+ 1 = z+12, y = 2
L2 : x = 2− t, y = 3 + 4t, z = 2t
26 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
3.4 ระนาบในปรภมสามมต (Plane in Three-Dimensional Space)สมการระนาบ (Equation of Plane)บทนยาม 3.4.1 ให P0 เปนจดในR3 และ N = 0 เปนเวกเตอรในR3 เราจะเรยก
เซตของจด P ใดๆซงทาให−−→P0P ตงฉากกบ N วาระนาบ (plane) ทผานจด P0 และตงฉากกบเวกเตอร N
และเรยก N วาเวกเตอรแนวฉาก (normal vector)
X Y
Z
O
N
P0
P
เนองจาก−−→P0P ตงฉากกบ N ดงนน −−→P0P · N = 0 หรอ
(P − P0) · N = 0 (3.5)
เราจะเรยกสมการ (3.5) วาสมการเวกเตอรของระนาบ (vector equation of the plane)
ถากาหนดให P0 = (x0, y0, z0), P = (x, y, z) และ N = ⟨a, b, c⟩ จะไดวา
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 (3.6)
เรยกสมการ (3.6) วาสมการสเกลาร (scalar equation) ของระนาบทผานจด (x0, y0, z0) และม ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉาก
ถาเราจดรปสมการ (3.6) โดยกาหนดให d = ax0 + by0 + cz0 จะไดวา
ax+ by + cz = d (3.7)
เรยกสมการ (3.7) วาสมการคารทเซยน (cartesian equation) ของระนาบ ทม ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉาก
ตวอยาง 3.4.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการสเกลาร และสมการคารทเซยนของระนาบทผานจด P0(1, 2, 3) และตงฉากกบN = ⟨1,−1, 4⟩
. . ระนาบในปรภมสามมต (PLANE IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 27
ตวอยาง 3.4.3 จงหาสมการของระนาบทผานจด P (1, 2, 3),Q(3,−1, 6) และR(5, 1, 0)
ตวอยาง 3.4.4 จงเขยนกราฟของระนาบตอไปน
1. x = 2
2. y = 1
3. z = 3
4. x+ y = 1
5. x+ y − z = 2
6. 2x+ 3y + 4z = 12
28 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
จดกบระนาบ (Point and Plane)จดใดๆจะอยบนระนาบ กตอเมอพกดของจดนนสอดคลองสมการระนาบ
ตวอยาง 3.4.5 จงตรวจสอบวา P (1, 2,−1) และQ(2, 3, 1) อยบนระนาบ x− 2y − 4z = 1 หรอไม
ตวอยาง 3.4.6 จงตรวจสอบวา P (1, 2,−1),Q(2, 0, 3),R(3, 4, 1) และ S(−2, 1, 2) อยบนระนาบเดยวกนหรอไม
บทนยาม 3.4.7 ระยะทางระหวางจดกบระนาบ คอระยะทางตงฉากจากจดนนไปยงระนาบ
ใหระนาบM มสมการเวกเตอรเปน (P − P0) · N = 0 และ P1 เปนจดในR3 ลากไปตงฉากกบระราบM ทจดQ ดงรป
N
P0
P1
Q
N
P0
P1
Q
จากรปจะไดวา ∥−−→QP1∥ = ขนาดของภาพฉายของ−−→P0P1 บน N จะไดวา
∥−−→QP1∥ =
|−−→P0P1 · N |∥N∥
=|(P1 − P0) · N |
∥N∥
กาหนดใหระนาบM ผานจด P0 = (x0, y0, z0) และม N = ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉากM จะมสมการคารทเซยนเปนax+ by + cz = d เมอ d = ax0 + by0 + cz0 แลว
∥−−→QP1∥ =
|(P1 − P0) · N |∥N∥
=|⟨x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0⟩ · ⟨a, b, c⟩|√
a2 + b2 + c2
=|ax1 + by1 + cz1 − (ax0 + by0 + cz0)|√
a2 + b2 + c2
=|ax1 + by1 + cz1 − d|√
a2 + b2 + c2
ดงนนระยะทางระหวางจด P1(x1, y1, z1) กบระนาบ ax+ by + cz = d คอ|ax1 + by1 + cz1 − d|√
a2 + b2 + c2
. . ระนาบในปรภมสามมต (PLANE IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 29
ตวอยาง 3.4.8 จงหาระยะทางระหวางจด P1(4, 3,−1) กบระนาบ x− 2y + 2z = 5
ตวอยาง 3.4.9 จงหาจดบนระราบ 2x+ y − 3z + 10 = 0 ซงอยใกลทสดกบจด P1(4, 2, 2)
เสนตรงกบระนาบ (Line and Plane)เสนตรงกบระนาบมความสมพนธกน 3 ลกษณะคอ
1. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนจดเดยว เรยกวาเสนตรงตดกบระนาบ
2. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนมากกวาหนงจด นนคอเสนตองอยบนระนาบ
3. เสนตรงกบระนาบมไมมจดรวม นนคอเสนตรงขนานกบระรนาบ
ตวอยาง 3.4.10 จงพจารณาวาเสนตรงกบระนาบตอไปนตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตด ถาขนานกนจงพจารณาวาเสนตรงอยบนระนาบหรอไม
1. x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3− 3t และ x+ 4y + 2z = 5
2. x− 1 = y+32
= z และ 2x− y + z = 7
ตวอยาง 3.4.11 จงหาสมการของระนาบทผานเสนตรง L : x = y − 1 = z2และผานจดQ(1, 3,−1)
ตวอยาง 3.4.12 จงหาสมการของระนาบทขนานกบเสนตรง L1 : x − 1 = y2= z และ L2 : x
2= y = z
3และผานจด
Q(2,−3, 1)
30 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
บทนยาม 3.4.13 ถาเวกเตอรแสดงทศทางของ L ทามม θ กบเวกเตอรแนวฉากของระนาบM เราจะกลาววา
มมระหวางเสนตรง L กบระนาบM คอ |π2− θ|
L
A
N
M
θπ2− θ
ตวอยาง 3.4.14 จงหามมระวางเสนตรง L : x5= 1−y
2= z
5กบระนาบ 2x+ y − 7z = 1
ตวอยาง 3.4.15 จงหาสมการของระนาบทผานจดQ(3,−6, 3) และตงฉากกบเสนตรง P = ⟨2, 0, 1⟩+ t⟨3,−1, 1⟩
ตวอยาง 3.4.16 จงระยะทางระหวางเสนตรง x−12
= y = z+23
กบระนาบ x+ y − z = 9
. . ระนาบในปรภมสามมต (PLANE IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 31
การขนานกนของระนาบ (Parallel Plane)ระนาบขนานกน กตอเมอเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกน
N1
N2
M2
M1
ตวอยาง 3.4.17 จงหาสมการระนาบทผานจด (1, 2,−3) และขนานกบระนาบ x+ 2y − z = 5
บทนยาม 3.4.18 ระยะทางระหวางระนาบทงสอง คอระยะฉากระหวางระนาบทงสอง
ใหM1 และM2 เปนระนาบทขนานกนมสมการดงน ax + by + cz = d1 และ ax + by + cz = d2 ตามลาดบ ใหP1(x1, y1, z1) เปนจดบนระนาบM1 ดงนน
ระยะทางระหวางระนาบM1 และM2 = ระยะทางระหวางจด P1 กบระนาบM2
=|ax1 + by1 + cz1 − d2|√
a2 + b2 + c2
=|d1 − d2|√a2 + b2 + c2
ตวอยาง 3.4.19 จงหาระยะทางระหวางระนาบ x+ 2y − 2z = 10 และ x+ 2y − 2z = 1
ตวอยาง 3.4.20 จงหาสมการระนาบทขนานกบระนาบ x+ y −√2z = 1 และระยะทางระหวางระนาบทงสองเทากบ 5 หนวย
32 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
การตดกนของระนาบ (Intersection of two Planes)ระนาบทตดกนคอระนาบทไมขนานกน (พจารณาจากเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกนหรอไม) รอยตดทเกดยอมเปนเสนตรง
L
M2
M1
จากรปเนองจากเสนตรง L อยบนระนาบM1 และM2 ดงนนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L ตองตงฉากกบ N1 และ N2
ดงนน A = N1 × N2
ตวอยาง 3.4.21 จงหาสมการเสนตรงทเกดจากการตดกนของระนาบ 2x− y + z = 1 และ x+ y − 2z = 5
มมระหวางระนาบ (Angle between Planes)บทนยาม 3.4.22 มมระหวางระนาบสองระนาบ คอมมระหวางเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสอง
ตวอยาง 3.4.23 จงหามมระหวางระนาบ 2x+ y + 2z = 1 กบ 5x− 3y + 4z = 5
. . ระนาบในปรภมสามมต (PLANE IN THREE-DIMENSIONAL SPACE) 33
แบบฝกหด 3.41. จงหาสมการของระนาบทผานจด P0 และม N เปนเวกเตอรแนวฉาก
1.1 P0(2, 1, 1) และ N = ⟨2,−1, 5⟩
1.2 P0(−1, 0, 5) และ N = ⟨3, 2, 1⟩
1.3 P0(1, 3,−3) และ N = ⟨0, 3,−2⟩
1.4 P0(2, 6,−4) และ N = ⟨−1,−3, 1⟩
2. จงหาสมการของระนาบทผานจดทง 3 จด
2.1 (1,−1, 0), (0,−1, 2) และ (−1,−3, 5) 2.2 (−1,−3,−2), (2, 5, 0) และ (1,−2, 1)
3. จงเขยนกราฟของระนาบตอไปน
3.1 x = z
3.2 3x+ y = 2
3.3 x− y + z = 2
3.4 2x− y + z = 5
3.5 5x+ 2y − 3z = 15
3.6 3x+ 3y + 2z = 6
4. จงพจารณาวาจดทง 4 จดอยบนระนาบเดยวกนหรอไม
4.1 (1, 1, 1), (−2, 4, 1), (3, 1, 2) และ (5, 1, 3) 4.2 (1, 2, 7), (−1, 1, 2), (2, 0, 7) และ (1, 1, 2)
5. จงหาระยะทางระหวางจดกบระนาบทกาหนดใหตอไปน
5.1 (1,−2, 3) กบ 3x+ 2y − z = 12 5.2 (−1, 1,−2) กบ 3x+ 4y − 5z = 15
6. จงหาจดบนระราบ x− 2y + 3z = 4 ซงอยใกลทสดกบจด (2, 3,−2)
7. พจารณาเสนตรง L กบระนาบ M ทกาหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตดและมมระหวางเสนตรงกบระนาบ ถาขนานกนจงพจารณาวาเสนตรงอยบนระนาบหรอไม และจงหาระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ
7.1 L : x6= y = 1−z
2
M : x− 2y + 2z = 4
7.2 L : x2= fracy2 = z
M : 5x+ 4y − 3z = 15
7.3 L : x = 3 + t, y = −1 + 3t, z = 1 + 2t
M : 2x− y + 3z = 5
7.4 L : 1− x = y2= z − 2
M : 3x+ y + z = 3
8. จงหาสมการระนาบทนสอดคลองเงอนไขตอไปน
8.1 ผานจด (1, 0, 2) และเสนตรง x3= y + 1 = 2−z
2
8.2 ผานเสนตรง x−22
= y + 1 = −z และ 1−x2
= −y = z + 1
8.3 ผานจด (2, 1,−3) และขนานกบเสนตรง x2= y = z
3และ x− 1 = y + 1 = z
2
8.4 ผานเสนตรง x = 3 + 2t, y = −t, z = 2t และ x− 2 = −1−y2
= −3− z
8.5 ผานจด (2,−1, 0) และตงฉากกบเสนตรง x2= y
3= z
8.6 ผานจด (1, 2, 3) และ (2, 0, 2) และขนานกบเสนตรง x = y − 1 = z2
9. จงหาสมการเสนตรงทเกดจากการตดกนของระนาบM1 และM2
34 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
9.1 M1 : x+ y + z = 2
M2 : 2x− y + z = 3
9.2 M1 : x+ y + 3z = 5
M2 : x− 5y + z = 1
10. จงหามมระหวางระนาบM1 และM2
10.1 M1 : 2x− 5y + 5z = 2
M2 : 1x− 2y + 7z = 1
10.2 M1 : x+ y + z = 3
M2 : x− y − z = 4
11. จงหาสมการระนาบทผานจด (1, 2, 3) , (2, 0, 1) และตงฉากกบระนาบ x+ y − z = 1
. . ฟงกชนคาเวกเตอรและเสนโคง (VECTOR VALUE FUNCTION AND CURVE) 35
3.5 ฟงกชนคาเวกเตอรและเสนโคง (Vector Value Function and Curve)ฟงกชนคาเวกเตอรบทนยาม 3.5.1 กาหนดให x, y, z เปนฟงกชนคาจรงบนชวง I แลวF (t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอร (vector value function) จาก I ไปR2
F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอร จาก I ไปR3
ในหวขอนถากลาวถงฟงกชนคาเวกเตอร ใหหมายถงฟงกชนคาเวกเตอรจาก I ไปR2 หรอจาก I ไปR3
ตวอยาง 3.5.2 ให F (t) = ⟨t, t2⟩, 0 ≤ t ≤ 2 และ G(t) = ⟨sin t, cos t, t⟩, 0 ≤ t ≤ π จงหาเวกเตอร F (1) และ G(π3)
ดงนน F (1) = ⟨1, 1⟩ และ G(π3) = ⟨
√32, 12, π3⟩
บทนยาม 3.5.3 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ u เปนฟงกชนจาก I ไปR และ t ∈ I แลว
1. (F + G)(t) = F (t) + G(t)
2. (uG)(t) = u(t)F (t)
3. (F · G)(t) = F (t) · G(t)
4. (F × G)(t) = F (t)× G(t)
บทนยาม 3.5.4 ให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชน คา เวก เตอร ล มตของ F (t) เมอ t เขาใกล t0 เขยนแทนดวยlim
t→t0F (t) แลว
limt→t0
F (t) มคา กตอเมอ limt→t0
x(t), limt→t0
y(t) และ limt→t0
z(t) มคา
และจะไดวา limt→t0
F (t) = ⟨ limt→t0
x(t), limt→t0
y(t), limt→t0
z(t)⟩
ตวอยาง 3.5.5 จงหาคาของ limt→1
⟨t2 + 1, cosπt,t2 − 1
t− 1⟩
บทนยาม 3.5.6 กาหนดให F เปนฟงกชนคาเวกเตอร
F มความตอเนอง t = t0 กตอเมอ F (t0) และ limt→t0
F (t) มคา และ limt→t0
F (t) = F (t0)
ถา F ตอเนองทกจดบนชวง I แลวจะกลาววา F มความตอเนองบนชวง I
บทนยาม 3.5.7 กาหนดให F เปนฟงกชนคาเวกเตอรและตอเนองบนชวง I และ t0 ∈ I ถา limh→0
F (t0 + h)− F (t0)
hมคาเรา
จะเขยนd
dtF (t)|t=t0 = lim
h→0
F (t0 + h)− F (t0)
hหรอ F ′(t0) = lim
h→0
F (t0 + h)− F (t0)
h
เรยกวา อนพนธของ F ทจด t0 ∈ I
ทฤษฎบท 3.5.8 กาหนดให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เมอ t ∈ I และ x, y, z เปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธบนชวง I จะไดวา F มอนพนธท t และ
F ′(t) = ⟨x′(t), y′(t), z′(t)⟩
36 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
ทฤษฎบท 3.5.9 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ u เปนฟงกชนคาจรง ถา F , G และ u มอนพนธท t แลว
1. (F + G)′(t) = F ′(t) + G′(t)
2. (uG)′(t) = (u′F )(t) + (uF ′)(t)
3. (F · G)′(t) = F ′(t) · G(t) + F (t) · G′(t)
4. (F × G)′(t) = F ′(t)× G(t) + F (t)× G′(t)
ตวอยาง 3.5.10 กาหนดให F = ⟨t, t2, sin t⟩ และ G = ⟨1− 2t, t3, 1⟩ จงหา
1. (F · G)′(t)
2. F ′(t) · G(t) + F (t) · G′(t)
3. (F × G)′(t)
4. F ′(t)× G(t) + F (t)× G′(t)
บทนยาม 3.5.11 กาหนดให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอรบนโดเมนD ⊂ R ถา x, y, z เปนฟงกชนคาจรงทอนทรเกรตไดบนชวง [a, b] แลว F เปนฟงกชนทอนทรเกรตได (integrable) บนชวง [a, b] ⊂ D และ∫ b
a
F (t)dt = ⟨∫ b
a
x(t)dt,
∫ b
a
y(t)dt,
∫ b
a
z(t)dt⟩
ทฤษฎบท 3.5.12 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ c1, c2 เปนคตาคงตว และ u เปนฟงกชนคาจรง และ C เปนเวกเตอรคงตว แลว
1.∫ b
a
(c1F (t) + c2G)dt = c1
∫ b
a
F (t)dt+ c2
∫ b
a
G(t)dt
2.∫ b
a
F (t)dt =
∫ c
a
F (t)dt+
∫ b
c
F (t)dt เมอ a < c < b
3.∫ b
a
(uC(t)dt =
∫ b
a
u(t)dtC
4.∫ b
a
(C · F )(t)dt = C ·∫ b
a
F (t)dt เมอ C · F อนทรเกรตไดบนชวง [a, b]
ตวอยาง 3.5.13 กาหนดให F (t) = ⟨cos t, sin t, t⟩ และ C = ⟨1, 2, 1⟩ จงหา∫ 2
1
C · F (t)dt
ตวอยาง 3.5.14 จงหา∫ 2π
0
∥⟨cos t, sin t, 1⟩∥dt
. . ฟงกชนคาเวกเตอรและเสนโคง (VECTOR VALUE FUNCTION AND CURVE) 37
กราฟแสดงการเคลอนทของฟงกชนคาเวกเตอรกราฟของการเคลอนท r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เมอ a ≤ x ≤ b คอ
กราฟความสมพนธ {(x(t), y(t)) | r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เมอ a ≤ x ≤ b}
X
Y
0 1 2 3 4 5 6012345678910111213141516
t = 1
t = 2
t = 3
t = 4
r(t) = ⟨t, t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 4
X
Y
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t = 0
t = π2
t = π
t = 3π2
r(t) = ⟨3 sin t, 3 cos t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π
ตวอยาง 3.5.15 จงเขยนกราฟแสดงการเคลอนทตอไปน
X
Y
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
r(t) = ⟨3 cos t, 2 sin t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π
X
Y
Z
r(t) = ⟨2 cos t, 2 sin t, t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π
38 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
เวกเตอรความเรวและความเรงกาหนดให r(t) เปนฟงกชนการเคลอนท แลว
เวกเตอรความเรว V (t) = r′(t)
เวกเตอรความเรง A(t) = V ′(t) = r′′(t)
อตราเรว v(t) = ∥V (t)∥ = ∥r′(t)∥
อตราเรง a(t) = ∥A(t)∥ = ∥V ′(t)∥
ตวอยาง 3.5.16 ให r(t) = ⟨1, 2t, 3t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2 เปนสมการการเคลอนทของวตถ จงหาตาแหนงของการเคลอนทเวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรง เมอเวลา t = 1
เวกเตอรสมผส เวกเตอรแนวฉาก เวกเตอรแนวฉากค และระนาบสมผสประชดกาหนดให r(t) เปนฟงกชนคาเวกเตอร แลวเวกเตอรสมผสหนวย (unit tangent vector) ทจด t คอ
T (t) =r′(t)
∥r′(t)∥เมอ ∥r′(t)∥ = 0
เวกเตอรแนวฉากหนวย (unit normal vector) ทจด t คอ
N(t) =T ′(t)
∥T ′(t)∥เมอ ∥T ′(t)∥ = 0
เวกเตอรแนวฉากค (binormal vector) ทจด t คอ
B(t) = T (t)× N(t)
ระนาบทผานจด r(t) และตงฉาก B เรยกวา ระนาบสมผสประชด
ตวอยาง 3.5.17 ให r(t) = ⟨cos t, sin t, t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π จงหาเวกเตอรสมผสหนวย และเวกเตอรแนวฉากหนวย เวกเตอรแนวฉากค และระนาบสมผสประชดทจด (−1, 0, π)
. . ฟงกชนคาเวกเตอรและเสนโคง (VECTOR VALUE FUNCTION AND CURVE) 39
แบบฝกหด 3.51. จงหาคาของลมตตอไปน
1.1 limt→1
⟨2t+ 1,t− 1
1−√t, t sin πt⟩
1.2 limt→0
⟨2− t2, tan t,sin tt⟩
1.3 limt→0
⟨t2 + 1,t3 − 1
t2 − 1, 1− 2t⟩
1.4 limt→0
⟨t tan t, 2t3, 1
t− 1⟩
2. กาหนดให F (t) = ⟨1 + t, 1 + 2t, 1 + 3t⟩ และ G(t) = ⟨cos t, sin t, t⟩ จงหา
2.1 F ′(t) + G′(t) 2.2 (F · G)′(t) 2.3 (F ′ × G′)(t) 2.4 (F · G′)(t)
3. จงหาคาตอไปน
3.1∫ 3
1
⟨t, 2t+ 1, t2⟩
3.2∫ π
0
⟨t sin t, cos2 t, t+ 1⟩
3.3∫ 1
0
⟨2 cos t, 3 sin t+ 1, sec2 2t⟩
3.4∫ 1
0
⟨et, 1
1− t,√2− t⟩
4. จงหารอยเดนของการเคลอนทตอไปน
4.1 r(t) = ⟨t,√t2 − 1⟩ เมอ 1 ≤ t ≤ 3
4.2 r(t) = ⟨t+ 1t, t− 1
t⟩ เมอ 1 ≤ t ≤ 4
4.3 r(t) = ⟨1 + t, 2 + t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 5
4.4 r(t) = ⟨tan2 t, sec t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ π2
4.5 r(t) = ⟨1, t, t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2
4.6 r(t) = ⟨sin t, cos t, 4⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ π2
5. จงหา ตาแหนงของการเคลอนท เวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรง เมอกาหนดสมการการเคลอนทดงนขณะเวลาทกาหนดให
5.1 r(t) = ⟨t, t2 + 1⟩ เมอ t = 2
5.2 r(t) = ⟨t+ 1t, t− 1
t⟩ เมอ t = 1
5.3 r(t) = ⟨sin 3t, cos 2t⟩ เมอ t = π4
5.4 r(t) = ⟨sin2 t, et cos t, t⟩ เมอ t = 0
5.5 r(t) = ⟨ln 2t, e2t, t cos t⟩ เมอ t = 1
5.6 r(t) = ⟨tan2 t, cos t sin t, 2t⟩ เมอ t = π3
6. จงหา เวกเตอรสมผสหนวย เวกเตอรแนวฉากหนวย เวกเตอรแนวฉากค และสมการระนาบสมผสประชด ของเสนโคงตอไปนทจดทกาหนด
6.1 r(t) = ⟨sin t, cos t, 0⟩ เมอ t = π
6.2 r(t) = ⟨t, t, t2⟩ เมอ t = 1
6.3 r(t) = ⟨1 + t, 1− t, 1 + t2⟩ เมอ t = 1
6.4 r(t) = ⟨sin t, cos t, sin t⟩ เมอ t = 0
6.5 r(t) = ⟨sin2 t, cos2 t, t⟩ เมอ t = π
6.6 r(t) = ⟨sin t+ cos t, sin t− cos t, et⟩ เมอ t = 0
40 บทท . ปรภมสามมต (THREE-DIMENSIONAL SPACE)
บทท 4
ฟงกชนหลายตวแปร (Functions of Several Variable)
บทนยาม 4.0.1 ให f : D → R เมอD ⊂ Rn = R × R × ... × R และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 เราจะเรยก f วาฟงกชนคาจรงของ n ตวแปร
ตวอยางเชน f(x, y) =√x+ y, g(x, y, z) = xy + xz + yz และ h(x1, x2, x3, x4) =
√x21 + x2
2 + x23 + x2
4
สาหรบฟงกชนทไมระบโดเมนใหถอวาเปนโดเมนใหญสดทเปนสบเซตของRn
4.1 ฟงกชนคาจรงสองตวแปร (Functions of Two Variables)ตวอยาง 4.1.1 กาหนดให f(x, y) = ln(1− x2 − y2) จงหาคาของ f(0, 0) และจงเขยนรปแสดงโดเมน
ตวอยาง 4.1.2 กาหนดให f(x, y) = 1√1+x−y2
จงหาคาของ f(3, 0) และจงเขยนรปแสดงโดเมน
41
42 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)
ตวอยาง 4.1.3 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) = 12− 2x− 3y
ตวอยาง 4.1.4 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) =√
9− x2 − 4y2
ตวอยาง 4.1.5 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) =√
x2 + y2
แบบฝกหด 4.11. จงหาคาของฟงกชนทจดตอไปน
1.1 f(x, y) = x+√y ทจด (0, 1)
1.2 f(x, y) = x+ y + xy ทจด (1, 2)1.3 f(x, y, z) =
√x2 + y2 + z2 ทจด (1,−2, 2)
1.4 f(x, y, z) = x2y2 − x4 + 4zx2 ทจด (a+ b, a− b, ab)
2. จงหาโดเมนของ f พรอมเขยนกราฟแสดงโดเมน
2.1 f(x, y) = ln(1− x2 + y2)
2.2 f(x, y) =√
x+yx−y
2.3 f(x, y) =
√4−x2−y2
y
2.4 f(x, y) = 1y−x2
3. จงหาโดเมนและเรจนของ f
3.1 f(x, y) = 4x2 + 9y2
3.2 f(x, y) = 1− x2 − 9y2
3.3 f(x, y) = −√
x2 + y2
3.4 f(x, y) = −√
1− x2 + y2
. . ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปร (LIMIT AND CONTINUITY) 43
4.2 ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปร (Limit and Continuity)บทนยาม 4.2.1 ใหD ⊂ R2 และ (x0, y0) ∈ D เราจะกลาววา (x, y) เปนจดลมต (limit point) ในD กตอเมอ ทกๆ r > 0
(Br(x0, y0)− {(x0, y0)}) ∩D = ∅
เมอBr(x0, y0) = {(x, y) |√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < r}
บทนยาม 4.2.2 ให f : D → R เปนฟงกชนสองตวแปร และให (x0, y0) ∈ R2 ทมจดในD ทอยใกลๆ (x0, y0) เราจะกลาววา f(x, y) มลมตเปน L เมอ (x, y) เขาใกล (x0, y0) เขยนแทนดวย
lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L
กตอเมอ ทกๆจานวนจรง ϵ > 0 มจานวนจรงบวก δ > 0 ททาให
|f(x, y)− L| < ϵ ทกๆจานวน (x, y) ∈ D ซง 0 <√(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ
ทฤษฎบท 4.2.3 ให f และ g เปนฟงกชนจากD ไปR และ (x0, y0) เปนจดลมตของD และให c, L,M เปนจานวนจรง แลว
1. lim(x,y)→(x0,y0)
c = c
2. lim(x,y)→(x0,y0)
x = x0
3. lim(x,y)→(x0,y0)
y = y0
4. ถา lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L และ lim(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = M แลว
4.1 lim(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y) + g(x, y)] = L+M
4.2 lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)g(x, y) = LM
4.3 lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
g(x, y)=
L
MเมอM = 0
4.4 lim(x,y)→(x0,y0)
|f(x, y)| = |L|
4.5 lim(x,y)→(x0,y0)
n√f(x, y) =
n√L เมอ n ∈ N และ n
√L เปนจานวนจรง
ตวอยาง 4.2.4 จงหาคาลมตตอไปน
1. lim(x,y)→(1,−1)
(4x2y − x3y − 4x+ 1)
2. lim(x,y)→(2,−5)
(x√x2 − y)
3. lim(x,y)→(−2,−1)
(|x+ y − 1|)
4. lim(x,y)→(1,−1)
x2y + y2 − 3x2 − 3y
xy − 3x− y + 3
44 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)
ทฤษฎบท 4.2.5 ให f และ g เปนฟงกชนจากD ไปR และ (x0, y0) เปนจดลมตของD ถา
1. มจานวนจรงบวกM ซง |f(x, y)| < M ทกๆ (x, y) ∈ D ซง 0 < ∥(x, y)− (x0, y0)∥ < δ
2. lim(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = 0
แลวจะไดวาlim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y)g(x, y) = 0
ตวอยาง 4.2.6 จงหาลมตของ lim(x,y)→(0,0)
x2y4
x4 + y4
ตวอยาง 4.2.7 จงหาลมตของ lim(x,y)→(0,0)
2x2y3
x2 + y2
. . ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปร (LIMIT AND CONTINUITY) 45
ทฤษฎบท 4.2.8 ให f : D → R และ (x0, y0) เปนจดลมตของD และC เปนเสนโคงในR2 ทผานจด (x0, y0)
lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L กตอเมอ f(x, y) มลมตเปน L เมอ (x, y) เขาใกล (x0, y0) ตามเสนโคงC
ตวอยาง 4.2.9 กาหนดให f(x, y) = x2yx4+y2
จงแสดงวา lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) ไมมคา
ตวอยาง 4.2.10 กาหนดให f(x, y) = x2+y3
x2+y4จงแสดงวา lim
(x,y)→(0,0)f(x, y) ไมมคา
46 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)
บทนยาม 4.2.11 ให f : D → R และ (x0, y0) ∈ D เราจะกลาววา f ตอเนองทจด (x0, y0) กตอเมอ
1. lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) มคา
2. lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)
และเราจะกลาววา f ตอเนองบนเซต S ⊂ D กตอเมอ f ตอเนองทกจดในเซต S
ตวอยาง 4.2.12 กาหนดให f(x, y) = xy2
x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)
0 เมอ (x, y) = (0, 0)แลว f ตอเนองทจด (0, 0) หรอไม
ตวอยาง 4.2.13 กาหนดให f(x, y) = xyx+y
แลว f ตอเนองบนโดเมน f หรอไม
ทฤษฎบท 4.2.14 ให f : D → R เมอD ⊂ R2 และ g เปนฟงกชนคาจรงซงRf ∩Dg = ∅ สาหรบ (x0, y0) ∈ D
ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด (x0, y0) แลว g ◦ f จะตอเนองทจด (x0, y0)
ตวอยาง 4.2.15 กาหนดให f(x, y) = cos(x2+y2)x2−y
แลว f ตอเนองมความตอเนองทจดใดบาง
. . ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปร (LIMIT AND CONTINUITY) 47
แบบฝกหด 4.21. จงหาคาของลมตตอไปน
1.1 lim(x,y)→(1,2)
(xy + x2)
1.2 lim(x,y)→(1,−1)
x2 − y2
x4 − y4
1.3 lim(x,y)→(1,1)
x2 − y2
x2y − xy2
1.4 lim(x,y)→(0,0)
x2 + y
x2 + y2
1.5 lim(x,y)→(0,0)
xy3
x4 + y4
1.6 lim(x,y)→(0,0)
xy3
x4 + y6
1.7 lim(x,y)→(0,0)
x3y4
x6 + y6
1.8 lim(x,y)→(0,0)
x3 + y4
x2 + y2
1.9 lim(x,y)→(0,0)
x4y4
(x2 + y4)3
1.10 lim(x,y)→(0,0)
y2x− y2
xy − y
1.11 lim(x,y)→(−1,2)
xy − 2x
xy − 6− 2x+ 3y
1.12 lim(x,y)→(0,0)
x2y4
x4 + x2y2 + y4
1.13 lim(x,y)→(1,0)
√x+ y −
√x− y
y
1.14 lim(x,y)→(0,0)
y2x
x2 + |xy|+ y2
1.15 lim(x,y)→(1,1)
x3 + 3xy − x2y − 3y2
x4 + xy2 − x3y − y3
1.16 lim(x,y)→(2,1)
x3 − 8y3
x2 − xy − 2y2
2. จงพจารณาวา f ตอเนองบนจดทกาหนดใหหรอไม
2.1 f(x, y) = x3y2
1−xyทจด (1, 1)
2.2 f(x, y) =
x2−y2
x−yเมอ (x, y) = (1, 1)
1 เมอ (x, y) = (1, 1)ทจด (1, 1)
2.3 f(x, y) =
xy2
x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)
1 เมอ (x, y) = (0, 0)ทจด (0, 0)
3. กาหนดให f(x, y) =x4−y4
x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)
0 เมอ (x, y) = (0, 0)แลว f ตอเนองบนโดเมน f หรอไม
4. จงพจารณาวา f ตอเนองมความตอเนองทจดใดบาง
4.1 f(x, y) =√y − x
4.2 f(x, y) = x2+4y2
x2−4y2
4.3 f(x, y) = 13√
x2+y2−4
4.4 f(x, y) = exy cos(xy2 + 1)
4.5 f(x, y) = 5x2y ln |1− x2 − y2|
4.6 f(x, y) = arcsin(xy)
48 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)
4.3 อนพนธยอยของฟงกชนสองตวแปร (Partial Deivatives)บทนยาม 4.3.1 ให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ (a, b) ∈ Df
อนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด (a, b) คอ fx(a, b) = limh→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
hถาลมตมคา
อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด (a, b) คอ fy(a, b) = limh→0
f(a, b+ h)− f(a, b)
hถาลมตมคา
ดงนนอนพนธยอยของฟงกชน f คอ fx และ fy
fx(x, y) = limh→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
hfy(x, y) = lim
h→0
f(x, y + h)− f(x, y)
h
สญญาลกษณทนยมใชแทนอนพนธยอย
fx(x, y) = fx = f1 = D1f = Dxf = ∂f∂x
= ∂f∂x(x, y) = ∂z
∂x
fy(x, y) = fy = f2 = D2f = Dyf = ∂f∂y
= ∂f∂y(x, y) = ∂z
∂y
ตวอยาง 4.3.2 กาหนดให f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2 จงหาคาของ fx(2, 1) และ fy(2, 1)
ตวอยาง 4.3.3 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y) = 2x+y2
x+y
ตวอยาง 4.3.4 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y) = ex2y sin2(5y)
. . อนพนธยอยของฟงกชนสองตวแปร (PARTIAL DEIVATIVES) 49
ตวอยาง 4.3.5 ให f(x, y) =x3y−xy3
x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)
0 เมอ (x, y) = (0, 0)จงหาคาของ fx(0, 0) และ fy(0, 0)
ความหมายทางเรขาคณตของอนพนธยอยตวอยาง 4.3.6 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว z = 4 + x2 − 4y2 กบระนาบ x = 2 ทจด (2, 1, 4)
ตวอยาง 4.3.7 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว 3x2 + y2 + z2 = 8 กบระนาบ y = −1 ทจด (1,−1,−2)
50 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)
แบบฝกหด 4.31. จงหาอนพนธยอยของฟงกชนตอไปน
1.1 f(x, y) = 3xy − 5x4y4
1.2 f(x, y) = 3√
1− sin2(xy)
1.3 f(x, y) = ln(cos√x+ y)
1.4 f(x, y) = x+yx2+y2
1.5 f(x, y) = y2 + x2 tan(xy)
1.6 f(x, y) = 5ex2y2 + ex sin(x+ y2)
1.7 f(x, y) = ex(cosxy + sinxy)
1.8 f(x, y) = arctan(xy)
2. กาหนดให f(x, y) = x2yexy จงหาคาของD1f(1, 1) และD2f(1, 1)
3. กาหนดให f(x, y) = (x2 + y2)√x2 − y2 จงหาคาของ f1(2, 1) และ f2(2, 1)
4. กาหนดให f(x, y) =x3+y3
x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)
0 เมอ (x, y) = (0, 0)จงหาคาของ fx(0, 0) และ fy(0, 0)
5. กาหนดให f(x, y) = x2y3
x2+4y2เมอ (x, y) = (0, 0)
0 เมอ (x, y) = (0, 0)จงหาคาของ ∂f
∂x(0, 0) และ ∂f
∂y(0, 0)
6. ให f(x, y) =x2−xy
x+yเมอ x+ y = 0
0 เมอ x+ y = 0จงหาคาของD1f(0, y) เมอ y = 0 และD2f(x, 0) เมอ x = 0
7. จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว x2 + 3y2 − z = 0 กบระนาบ x = 2 ทจด (2, 1, 7)
8. จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว9x2−36y2−4z2 = 36กบระนาบy = −1 ทจด (√12,−1,−3)
. . กฎลกโซ (CHAIN RULE) 51
4.4 กฎลกโซ (Chain Rule)ทฤษฎบท 4.4.1 กาหนดให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ x = x(t), y = y(t) เปนฟงกชนหนงตวแปร ถา x, yหาอนพนธไดแลว
z
y
t
x
t
dz
dt=
∂z
∂x
dx
dt+
∂z
∂y
dy
dt
ตวอยาง 4.4.2 กาหนดให z = x2y, x = t cos t และ y = t sin t จงหา dzdt
ตวอยาง 4.4.3 กาหนดให z = ln(2x2 + xy), x =√t และ y = 3t− 1 จงหา dz
dtเมอ t = 1
52 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)
ทฤษฎบท 4.4.4 กาหนดให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ x = x(s, t), y = y(s, t) เปนฟงกชนสองตวแปร ถาx, y หาอนพนธไดแลว
z
y
s t
x
ts
∂z
∂s=
∂z
∂x
∂x
∂s+
∂z
∂y
∂y
∂s
∂z
∂t=
∂z
∂x
∂x
∂t+
∂z
∂y
∂y
∂t
ตวอยาง 4.4.5 กาหนดให z = exy , x = 2s+ t และ y = st
จงหา ∂z∂s
และ ∂z∂t
ตวอยาง 4.4.6 กาหนดให u = 3s− t2, s = x+ y ln x และ t = x2 − y ln y จงหา ∂u∂x
และ ∂u∂y
เมอ (x, y) = (1, 1)
ตวอยาง 4.4.7 กาหนดให z = f(u− v, v − u) จงแสดงวา ∂z∂u
+ ∂z∂v
= 0
. . กฎลกโซ (CHAIN RULE) 53
ตวอยาง 4.4.8 จงหาอตราการเปลยนแปลงของปรมาตรของกรวยกลม ในขณะทความสง 30 นว และรศมของฐานของกรวยยาว20 นว ถาความสงกาลงเพมขนในอตรา 2 นวตอนาท และรศมของฐานกาลงลดลงในอตรา 1 นวตอวนาท
ตวอยาง 4.4.9 นา รวออกจากถง รปทรงกระบอกดวยอตรา 45π ลกบาศกฟต ตอนาท ถาถงขยายตวลกษณะทยงคงรปเปนทรง
กระบอกอย โดยรศมเพมดวยอตรา 0.002 ฟตตอนาท จงหาความสงของนาในถงจะเปลยนแปลงไปในอตราเทาใด ขณะทรศมของถงเปน 2 ฟต และปรมาตรของนาในถงเปน 20π ลกบาศกฟต
ตวอยาง 4.4.10 ใหx และ y เปนความยาวของดานทขนานกนของรปสเหลยมคางหมรปหนง ซงมความสงเปนh เพมขนดวยอตรา2 นวตอวนาท y ลดลงในอตรา 1 นวตอวนาท และ h เพมขนในอตรา 3 นวตอวนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทของรปสเหลยมคางหมน ขณะท x = 30 นว y = 50 นว และ h = 10 นว
54 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)
แบบฝกหด 4.41. จงหาอนพนธตอไปน
1.1 dzdt
เมอ z = x2ey , x = 2 sin t และ y = t4
1.2 dzdt
เมอ z = arctan( yx), x = ln t และ y = cos t2
1.3 dzdt
เมอ z = x2y3 + x sin y + tx, x = t+ 1t
และ y =√t
1.4 ∂z∂s
และ ∂z∂t
เมอ z = 3x2 + xy + 2y2 + 3x− y, x = 2s− 3t และ y = st+ s2
1.5 ∂z∂t
และ ∂z∂r
เมอ z = eyx , x = r cos2 t และ y = r2 sin t
1.6 ∂z∂r
และ ∂z∂θ
เมอ z = xyexy , x = r cos θ และ y = r sin θ
2. กาหนดให z =√5 + x− 2xy4 เมอ x = t2 และ y = t− 1 จงหา dz
dtเมอ t = 1
3. กาหนดให z = f(x2 − y2) จงแสดงวา x∂z∂y
+ y ∂z∂x
= 0
4. ถารศมของกรวยกลมใบหนงกาลงเพมขนดวยอตรา 1 เซนตเมตรตอนาท และความสงกาลงลดลงดวยอตรา 2 เซนตเมตรตอนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของปรมาตรกรวยใบน เมอรศมและความสงของกรวยเปน 10 และ 20 เซนตมเตรตามลาดบ
5. สเหลยมผนผารปหนง ดานกวางกาลงเพมขนดวยอตรา 1 ฟตตอวนาท และดานยาวกาลงลดลงดวยอตรา 2 ฟตตอวนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทของรปสเหลยมรปน เมอความยาวของดานกวางเปน 6 ฟต และความยาวดายยาวเปน 12ฟต
6. รางนาอนหนงยาว 300 เซนตเมตร หนาตดเปนรปสามเหลยมหนาจว ซงมมมหนงเปนมมฉาก ถาไขนาลงในรางดวยอตรา50,000 ลกบาศกเซนตเมตรตอวนาท ระดบนาในรางจะสงขนดวยอตราเทาใด เมอนาลก 150 เซนตเมตร
. . อนพนธอนดบสง (HIGHER ORDER PARTIAL DERIVATIVE) 55
4.5 อนพนธอนดบสง (Higher order partial derivative)บทนยาม 4.5.1 ให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร เราเรยก ∂f
∂xและ ∂f
∂yวาอนพนธยอยอนดบหนง (fisrt-order partial
derivative) และนยามอนพนธยอยอนดบสอง (second-order partial derivative) ดงน
1. ∂∂x(∂f∂x) เขยนแทนดวย ∂2f
∂x2 , fxx, f11 หรอ D11f
2. ∂∂y(∂f∂x) เขยนแทนดวย ∂2f
∂y∂x, fxy , f12 หรอ D12f
3. ∂∂x(∂f∂y) เขยนแทนดวย ∂2f
∂x∂y, fyx, f21 หรอ D21f
4. ∂∂y(∂f∂y) เขยนแทนดวย ∂2f
∂y2, fyy , f22 หรอ D22f
อนพนธยอยอนดบอนๆ กนยามทานองเดยวกน
ตวอยาง 4.5.2 จงหาอนพนธอนดบสองของ f(x, y) = yexy + x3y2
ตวอยาง 4.5.3 กาหนดให f(x, y) = x3y2 − x2 sin y จงหา fxxy
ตวอยาง 4.5.4 ให f(x, y) =x3y−xy3
x2+y2เมอ (x, y) = (0, 0)
0 เมอ (x, y) = (0, 0)จงหาคาของD12f(0, 0) และD21f(0, 0)
56 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)
ตวอยาง 4.5.5 กาหนดให z = f(x, y), x = 2t+ 3s และ y = st จงหา ∂2z∂s∂t
ตวอยาง 4.5.6 กาหนดให z = f(x, y), x = x(r, θ) และ y = y(r, θ) จงหา ∂2z∂r2
และ ∂2z∂θ∂r
. . อนพนธอนดบสง (HIGHER ORDER PARTIAL DERIVATIVE) 57
แบบฝกหด 4.51. จงหาอนพนธยอยอนดบสองของแตละขอตอไปน
1.1 f(x, y) = x2 − 2xy3 + 5y6 + 3
1.2 f(x, y) = ln(x2 − 5y)
1.3 f(x, y) = sin(cos(2x+ 3y))
1.4 f(x, y) = exy + y√x
2. กาหนดให f(x, y) = x3y5 − 2x2y + x จงหา ∂3f∂y∂x2 , ∂3f
∂y∂x∂yและ ∂3f
∂y3
3. กาหนดให f(x, y) = (2x+ y)5 จงหา ∂3f∂y∂x∂y
, ∂3f∂x2∂y
และ ∂4f∂y2∂x2
4. กาหนดให f(x, y) = x3e−5y จงหา fxyy(0, 1), fxxx(0, 1) และ fyyxx(0, 1)
58 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)
4.6 การประมาณคาเชงเสน (Linear Approximation)บทนยาม 4.6.1 คาเชงอนพนธ (differential) ของ f ทจด (x, y) เขยนแทนดวย df(x, y) และกาหนดโดย
df(x, y) = fx(x, y)∆x+ fy(x, y)∆y
หรออาจจะเขยน∆x = dx และ∆y = dy
df(x, y) = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy
ตวอยาง 4.6.2 กาหนดให f(x, y) = x2 sinxy จงหา df(x, y)
เราจะประมาณคา f(x+ dx, y + dy)− f(x, y) ≈ df(x, y) เมอ ∥(dx, dy)∥ มคานอยๆ เราจะไดสตรการประมาณคาเชงเสน (Linear approximation) ดงน
f(x+ dx, y + dy) ≈ f(x, y) + fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy
ตวอยาง 4.6.3 จงใชคาอนพนธประมาณคาของ 3√
(2.01)2 + (1.98)2
ตวอยาง 4.6.4 จงหาปรมาตรโดยประมาณของกลองรปสเหลยมมมฉากทมฐานเปนรปสเหลยมจตรสซงมความยาวดานละ 5.003เซนตเมตร และสง 9.997 เซนตเมตร
. . การประมาณคาเชงเสน (LINEAR APPROXIMATION) 59
แบบฝกหด 4.61. จงหาคาเชงอนพนธของฟงกชนตอไปน
1.1 f(x, y) =√
x2 + xy
1.2 f(x, y) = ex cosxy
1.3 f(x, y) = xyx+y
1.4 f(x, y) = x3 sin ln y
2. จงประมาณคาตอไปน
2.1√
(3.01)2 + (3.97)2
2.2 (1.002)e0.001
2.3 13√
(0.003)3+(7.979)3
2.4 (0.99)3.001
3. ทรงกระบอกใบหนงรศมฐานเปน 5.026 เซนตเมตร และวดสวนสงได 24.003 เซนตเมตร จงคานวณปรมาตรโดยประมาณของทรงกระบอกน
4. กรวยกลมใบหนงมการเปลยนแปลงรศมจาก 3 ฟต และสง 4 ฟต ไปเปนรศม 2.9 ฟต และสง 4.3 ฟต จงหาคาสวนการเปลยนแปลงของปรมาตรของกรวยใบนโดยใชคาอนพนธ
5. ในการคานวณปรมาตรของกลองรปทรงสเหลยมมมฉากซงวดความกวาง ความยาว และความสงได 10 13 และ 16 นวตามลาดบ ถาวดความผดพลาดไมเกน 0.03 นว จงหาขอบเขตของความผดพลาดสมพทธ
60 บทท . ฟงกชนหลายตวแปร (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLE)
บทท 5
อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (Integral of Functions ofTwo Variables)
5.1 อนทรกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา (Rectangular Domain)ให f : D → R เมอ D = [a, b]× [c, d] พจารณาการแบงชวงแบง [a, b] ออกเปนm ชวง ดวยจด x0, x1, x2, ..., xm โดยท
a = x0 < x1 < x2 < ... < xm = b
แบง [c, d] ออกเปน n ชวง ดวยจด y0, y1, y2, ..., yn โดยทc = y0 < y1 < y2 < ... < yn = d
ใหDij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj] เปนสเหลยมผนผายอยของรป ij เมอ i = 1, 2, ...,m และ j = 1, 2, ..., n
X
Y
a = x0 x1 xi−1 xi xm−1 xm = b
c = y0
y1
yj−1
yj
yn−1
d = yn
Dij
ให∆xi = xi − xi−1 และ∆yj = yj − yj−1 และDij = ∆Aij = ∆xi∆yj ให (xij, yij) ∈ Dij แลว
Smn =m∑i=1
n∑j=1
f(xij, yij)∆Aij
เรยก Smn วาผลบวกรมนน (Reimann sum) ของ f บนD
61
62 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ถาเราแบง∆xi และ∆yi มคาเขาใกลศนยเมอm และ n มคามากๆ และ
limm→∞,n→∞
Smn = L
แลวเราจะกลาววา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตได (integrable) บนD และเรยกคาลมต L วาอนทรกรลสองชน (double integral)ของ f บนD ซงเขยนแทนดวย∫∫
D
f หรอ∫∫D
f dA หรอ∫∫D
f dxdy
พจารณาฟงกชน f(x, y) ≥ 0 ทก (x, y) ∈ D ซงอนทรเกรตไดบนD
f(xij, yij)∆Aij = ปรมาตรรปทรงสเหลยมมมฉากทมความสง f(xij, yij) บนสเหลยมผนผาDij
X
Y
Z
a
xi−1
xi
b
cyj−1
yj
d
(xij, yij)
Dij
f(xij, yij)
z = f(x, y)
ดงนน ∫∫D
f dA = ปรมาตรรปทรงตนซงอยภายใตผว z = f(x, y) บนD
สาหรบ f(x, y) = 1 จะไดวา ∫∫D
dA = พนทอาณาบรเวณของD
. . อนทรกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา (RECTANGULAR DOMAIN) 63
ตวอยาง 5.1.1 กาหนดให f(x, y) = xy และD = [0, 1]× [1, 2] จงหา ∫∫D
dA โดยใชลมตของผลบวกรมนน
เนองจากการคานวนคาอนทรกรลสองชนผานลมตของผลบวกรมนนคอนขางยงยาก เราจงพจารณา เหมอนกบการอนเกรตในหนงตวแปร ∫
f(x, y) dx มอง y เปนคาคงตว และ∫
f(x, y) dy มอง x เปนคาคงตว
ตวอยางเชน ∫ 1
0
∫ 2
1
xy dydx =
∫ 1
0
(∫ 2
1
xy dy
)dx =
∫ 1
0
[1
2xy2
]y=2
y=1
dx
=
∫ 1
0
[1
2x22 − 1
2x12
]dx =
∫ 1
0
3
2x dx
=
[3
4x2
]x=1
x=0
=3
4
64 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ทฤษฎบท 5.1.2 ให f : D → R เมอ D = [a, b]× [c, d] ถา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบนD แลว∫ b
a
∫ d
c
f(x, y) dydx =
∫ d
c
∫ b
a
f(x, y) dxdy
ตวอยาง 5.1.3 จงหาคาอนทรกรลสองชน∫ 4
−2
∫ 3
1
(3x2 − 2xy + 3y2 + 2) dydx
ตวอยาง 5.1.4 จงหาคาอนทรกรลสองชน∫ 1
−1
∫ 2
1
x+ y
ydydx
ตวอยาง 5.1.5 จงหาคาอนทรกรลสองชน∫ 3
0
∫ 1
0
2x√
x2 + y dxdy
. . อนทรกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา (RECTANGULAR DOMAIN) 65
ตวอยาง 5.1.6 จงหาคาอนทรกรลสองชน ∫∫D
x sin(xy) dA เมอ D = [0, 1]× [0, π2]
ตวอยาง 5.1.7 จงหาปรมาตรรปทรงตนทอยเหนอระนาบ XY ซงปดลอมดวยระนาบ x + y + z = 4 และปดลอมดวยระนาบx = 0, x = 1, y = 1 และ y = 2
X
Y
Z
X
Y
Z
66 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
แบบฝกหด 5.11. จงหาคาอนทรกรลสองชนตอไปน
1.1∫ 2
1
∫ 3
2
(x2y + xy2) dxdy
1.2∫ 1
0
∫ 6
1
1
x+ 1dxdy
1.3∫ 2
−2
∫ 8
3
dxdy
1.4∫ 2
0
∫ 1
0
y sinx dydx
1.5∫ π
π2
∫ 2
1
y cos(xy) dxdy
1.6∫ ln 2
0
∫ ln 3
0
ex+y sinx dxdy
2. จงหาคาอนทรกรลสองชนตอไปนบนอาณาบรเวณทกาหนดให
2.1 ∫∫D
y(xy+1)2
dA D = [0, 1]× [0, 1]
2.2 ∫∫D
ydA D = {(x, y) | − 3 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 5}
2.3 ∫∫D
x√1− x2dA D = อาณาบรเวณทปดลอมดวย x = 0, x = 1, y = 2 และ y = 3
2.4 ∫∫D
x cos(xy) cos2(πx)dA D = [0, 12]× [0, π]
3. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทอยภายใตพนทผว z = 4x3 + 3x2y และอยเหนอรปสเหลยมผนผาD = {(x, y) | 1 ≤x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4}
4. จงหาปรมาตรของรปทรงตนในอฐภาคทหนง ซงปดลอมดวยระนาบ x = 0, z = 0, x = 5, z − y = 0 และz = 6− 2y
. . อนทรกรลบนโดเมนทวไป (GENERAL DOMAIN) 67
5.2 อนทรกรลบนโดเมนทวไป (General Domain)ให f : S −→ R เมอ S ⊂ D = [a, b]× [c, d]
X
Y
a b
c
d
S
ให f : D → R นยามโดย
f(x, y) =
f(x, y) เมอ x ∈ S
0 เมอ x /∈ S
ถา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบนD เราจะกลาวไดวา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบน S โดยนยามคาของอนทรกรลเปน∫∫S
f =
∫∫D
f
ตวอยาง 5.2.1 กาหนดให f(x, y) = xy และ S เปนอาณาบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง y =√x และเสนตรง x = 2y จง
หาคาของ ∫∫S
f
X
Y
x = 2y
y =√x
0 1 2 3 4 5
1
2
3(4, 2)
D = [0, 4]× [0, 2]
ดงนน f(x, y) =
0 เมอ 0 ≤ x < y2
xy เมอ y2 ≤ x ≤ 2y
0 เมอ 2y < x ≤ 4
68 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
เราสามารถหาอนทรกรลสองชนโดยการพจารณาโดเมนไดสองลกษณคอ
1. แบบท 1 S = {(x, y) | g1(x) ≤ y ≤ g2(x), a ≤ x ≤ b}
X
Y
a b
c
d y = g1(x)
y = g2(x)
S
f(x, y) =
0 เมอ c ≤ y < g1(x)
f(x, y) เมอ g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
0 เมอ g2(x) < y ≤ d
และ∫∫S
f =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f(x, y) dydx
2. แบบท 2 S = {(x, y) |h1(y) ≤ x ≤ h2(y), c ≤ y ≤ d}
X
Y
a b
c
d
x = h2(y)x = h1(y) S
f(x, y) =
0 เมอ a ≤ x < h1(y)
f(x, y) เมอ h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
0 เมอ h2(y) < x ≤ b
และ∫∫S
f =
∫ b
a
∫ h2(y)
h1(y)
f(x, y) dxdy
. . อนทรกรลบนโดเมนทวไป (GENERAL DOMAIN) 69
ตวอยาง 5.2.2 จงหาคาของ ∫∫S
f เมอ S = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ π8, sinx ≤ y ≤ cos x}
X
Y
0 1 2
1
π8
π4
π2
y = sinx
y = cosx
ตวอยาง 5.2.3 จงหาคาอนทรกรลสองชนของ f(x, y) = x− 3y2 บนอาณาบรเวณทลอมรอบดวย y = |x|+ 1 และ y = 3
X
Y
−3 −2 −1 0 1 2 3
1
2
3
70 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ตวอยาง 5.2.4 จงหาคาของ ∫∫S
xy2 dA เมอ S เปนอาณาบรเวณทลอมรอบดวย y = x2, x + y = 2 และ y = 12โดยท
y ≥ x2
X
Y
−3 −2 −1 0 1 2 3
1
2
3
4
y = x2
y = 2− x
y = 12
ตวอยาง 5.2.5 จงหาคาของ∫ 4
0
∫ 2
√y
ex3
dxdy
X
Y
0 1 2 3
1
2
3
4
5
. . อนทรกรลบนโดเมนทวไป (GENERAL DOMAIN) 71
ตวอยาง 5.2.6 จงเปลยนลาดบการอนทรเกรตของ∫ 0
−2
∫ 5
1+y2f(x, y) dxdy
X
Y
1 2 3 4 5 6
−3
−2
−1
0
1
ตวอยาง 5.2.7 จงเปลยนลาดบการอนทรเกรตของ∫ 6
2
∫ x2
|x−3|f(x, y) dydx
X
Y
0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
72 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ตวอยาง 5.2.8 จงหาปรมาตรทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 4 − x2 − y2 และระนาบ x + y = 1 โดยทx+ y ≤ 1
X
Y
Z
ตวอยาง 5.2.9 จงหาปรมาตรทรงตนในอฐภาคทหนงซงอยเหนอระนาบ XY และปดลอมดวยพนผว x2 + y2 = 4 และระนาบy + z = 4
X
Y
Z
. . อนทรกรลบนโดเมนทวไป (GENERAL DOMAIN) 73
แบบฝกหด 5.21. จงเปลยนลาดบการอนทรเกรต และเขยนรปแสดงอาณาบรเวณของการอนทรเกรต
1.1∫ 0
−2
∫ 2+√4−x2
2−√4−x2
f(x, y) dydx
1.2∫ 2
0
∫ ey
1
f(x, y) dxdy
1.3∫ 1
0
∫ 0
x2−4
f(x, y) dxdy
1.4∫ 3
0
∫ y+1
(y−1)2f(x, y) dxdy
2. จงหาคาของ
2.1∫ 2
0
∫ √4−y2
0
x dxdy
2.2∫ 2
1
∫ 2x
x
1
(x+ y)3dydx
2.3∫ 1
−1
∫ y
−1
xyex2
dxdy
2.4∫ 1
0
∫ 1
0
|x− y| dydx
2.5∫ 1
0
∫ y
0
x√
y2 − x2 dxdy
2.6∫ π
π2
∫ x2
0
1
xcos
y
xdydx
2.7∫ 3
1
∫ x
0
2
x2 + y2dydx
2.8∫ 1
0
∫ 3√x
√x
(1 + y6) dydx
2.9∫ 1
0
∫ x
4x
e−y2 dydx
2.10∫ 1
0
∫ π2
arcsin ysec2(cosx) dxdy
3. จงหาคาอนทรกรลสองชน ∫∫S
f(x, y) dA ตอไปนบนอาณาบรเวณทกาหนดให
3.1 f(x, y) = cos(x+ y) S คออาณาบรเวณทปดลอมดวย y = x, x = π และแกน X3.2 f(x, y) = xy2 S คออาณาบรเวณเหนอเสนตรง y = 1− x และอยภายในวงกลม x2 + y2 = 1
3.3 f(x, y) = 2y−1x+1
S คออาณาบรเวณทปดลอมดวย y = 2x− 4, y = 0 และ x = 1
4. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทปดลอมดวย
4.1 ระนาบ x+ 2y + 3z = 6 ในอฐภาคทหนง4.2 พนผว z = 1− x2 − y2 เหนอระนาบ XY4.3 ระนาบ x+ y + z = 3, y = x, x+ y = 2, x = 0 และ z = 0 โดยท x+ y ≥ 2
4.4 พนผว 4x2 + y2 = 9 ระนาบ z = y + 3 และอยเหนอระนาบ XY4.5 พนผว z = x2 + y2 และ x2 + y2 = 4 ในอฐภาคทหนง
74 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
5.3 ระบบพกดเชงขว (Polar Coordinate System)บทนยาม 5.3.1 ให P เปนจดใดๆในระนาบXY
ถา r เปนระยะทางจากO (จดกาเนด) ไปยงจด P และสวนของเสนตรงOP ทามม θ กบแกนOX (วดแบบทวนเขมนาฬกา)
เราจะเรยกจด (r, θ) วาพกดเชงขว (polar coordinate) ของจด P
X
O
ขว
P (r, θ)
r
แกนเชงขวθ
ตวอยาง 5.3.2 จงเขยนจดตอไปนลงในระบบพกดเชงขว
A(1, π4), B(2, π
2), C(3, 3π
4), D(4, 11π
6), E(5, 4π
3), F (0, π
3), G(4.5,−π), และ H(2.5,−2π
3),
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 75
บทนยาม 5.3.3 ถา P มพกดเชงขวเปน (r, θ) เมอ r > 0 แลว
(−r, θ) หมายถงพกดของจดปลายทไดจากการลากเสนตรงจากขวไปในทศตรงกนขามกบ−→OP เปนระยะ r
X
π2
O
P (r, θ)
r
Q(−r, θ)
r
θ
ตวอยาง 5.3.4 จงเขยนจดตอไปนลงในระบบพกดเชงขว
A(−1, π4), B(−2, 3π
2), C(−3.5, 5π
6), D(−4, 7π
6), E(−5,−4π
3), F (0,−π), และ G(−3,−2π
3),
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
76 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ความสมพนธระหวางพกดเชงขว (r, θ) และพกดฉาก (x, y) ของจด P ใดๆทไมใชจดกาเนด
X
Y
O
P (r, θ), P (x, y)
r
x
y
θ
จะได x2 + y2 = r2
x = r cos θ และ y = r sin θ
และ tan θ = yx
ตวอยาง 5.3.5 จงหาพกดเชงขวของจดพกดฉากตอไปน เมอ r > 0 และ 0 ≤ θ < 2π
1. (2, 0)
X
Y
−4−3−2−1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
2. (2, 2)
X
Y
−4−3−2−1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
3. (−2, 2√3)
X
Y
−4−3−2−1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
4. (−√3,−1)
X
Y
−4−3−2−1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 77
ตวอยาง 5.3.6 จงหาพกดฉากของจดซงมพกดเชงขวตอไปน
1. (5, π3)
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
2. (4, 5π3)
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
3. (−3, π6)
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
4. (−5,−3π4)
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
78 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ตวอยาง 5.3.7 จงแปลงสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว
1. x = 3
2. y = 5
3. y = x
4. y = x+ 1
5. x2 = 9y
6. x2 + y2 = 4
7. x2 + y2 − 2x = 0
8. 4x2 + 9y2 = 36
9. x2 − y2 = 1
ตวอยาง 5.3.8 จงแปลงสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก
1. r = 4 sin θ
2. r = cos 2θ
3. r = tan θ
4. r = csc 2θ
5. r = 6
3 cos θ + 2 sin θ
6. r = 5
2− cos θ
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 79
กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว1. สมการ r = k เปนกราฟวงกลมทมรศม |k| มจดศนยกลางอยท (0, 0)
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/33π/2
5π/3
11π/6
5
r = 3
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5−4−3−2−1012345
r = 3
2. สมการ θ = θ0 เปนกราฟเสนตรงททามม θ0 กบแกนเชงขว
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/33π/2
5π/3
11π/6
5
θ = π4
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5−4−3−2−1012345
θ = π4
3. สมการ r = 2k sin θ เมอ 0 ≤ θ ≤ π เปนกราฟวงกลมทมจดศนยกลางอยท (k, π2) รศม |k|
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/33π/2
5π/3
11π/6
5
r = 4 sin θ
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5−4−3−2−1012345
r = 4 sin θ
80 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
สมการ r = 2k cos θ เมอ 0 ≤ θ ≤ π เปนกราฟวงกลมทมจดศนยกลางอยท (k, 0) รศม |k|
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/33π/2
5π/3
11π/6
5
r = 4 cos θ
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5−4−3−2−1012345
r = 4 cos θ
ตวอยาง 5.3.9 จงวาดกราฟเชงขวตอไปน
1. r = −5 sin θθ 0 π
6π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 81
2. r = −4 cos θθ 0 π
6π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
3. สมการ r = k sin 2nθ และ r = k cos 2nθ เมอ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ 4n กลบ
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
r = 4 sin 2θ
X
Y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
r = 4 sin 2θ
82 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ตวอยาง 5.3.10 จงวาดกราฟเชงขวตอไปน1. r = 4 cos 2θ
θ 0 π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π 7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
2. r = −4 sin 2θθ 0 π
6π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π 7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 83
สมการ r = k sin(2n+ 1)θ และ r = k cos(2n+ 1)θ เมอ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ 2n+ 1 กลบ
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
r = 4 sin 3θ
X
Y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
r = 4 sin 3θ
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
r = 4 cos 3θ
X
Y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
r = 4 cos 3θ
84 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ตวอยาง 5.3.11 จงวาดกราฟเชงขวตอไปน1. r = −4 cos 3θ
θ 0 π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π 7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
2. r = 4 sin 5θθ 0 π
6π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π 7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 85
4. สมการ r = a+ b sin θ และ r = a+ b cos θ เมอ 0 ≤ θ ≤ 2π
ถา |a| = |b| แลวกราฟนจะผานขว และเรยกกราฟนวา กราฟรปหวใจหรอคารดออยด (cardioid)ถา |a| = |b| จะเรยกกราฟนวา ลมาซอง (limacon)
ถา |a| > |b| กราฟนจะไมผานขวถา |a| < |b| กราฟนจะผานขว และมวงวน (loop) อยภายใน
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
r = 2 + 2 sin θ
X
Y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
r = 2 + 2 sin θ
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
r = 2 + 3 sin θ
X
Y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
r = 2 + 3 sin θ
86 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
r = 3 + 2 sin θ
X
Y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
r = 3 + 2 sin θ
ตวอยาง 5.3.12 จงวาดกราฟเชงขวตอไปน
1. r = 2 + 2 cos θθ 0 π
6π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π 7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 87
2. r = 1 + 3 cos θθ 0 π
6π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π 7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
3. r = 3 + 2 cos θθ 0 π
6π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π 7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
88 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
4. r = 2− 2 cos θθ 0 π
6π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π 7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
5. r = 1− 3 sin θθ 0 π
6π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π 7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
r
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
5
X
Y
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 89
ตวอยางกราฟเชงขว
X
r = 3
X
θ = π4
X
r = 4 sin θ
X
r = 4 cos θ
X
r = 4 sin 2θ
X
r = 4 sin 4θ
X
r = 4 cos 2θ
X
r = 4 cos 4θ
X
r = 4 sin 3θ
X
r = 4 sin 5θ
X
r = 4 cos 3θ
X
r = 4 cos 5θ
90 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
X
r = 4 cos 8θ
X
r = θ sin θ
X
r = 4 sin2 θ
X
r = 2 + 2 sin θ
X
r = 2 + 3 sin θ
X
r = 3 + 2 sin θ
X
r = 2 + 2 cos θ
X
r = 2 + 3 cos θ
X
r = 3 + 2 cos θ
X
r = 2− 2 cos θ
X
r = 2− 2 sin θ
X
r = 2 + 2 sin 2θ
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 91
1−1
1
−1
r = sin2(2.4θ) + cos4(2.4θ)
2−2
2
−2
r = sin2(1.2θ) + cos3(6θ)
1−1
1
−1
r = sin(85θ)
6−6
6
−6
r =√θ
92 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
การหาพนทในระบบพกดเชงขวใหR เปนพนทอาณาบรเวณทปดลอมดวยฟงกชน r = f(θ) และเสนตรง θ = α และ θ = β เมอ r > 0 แบง [α, β] ออกเปน n ชวงยอยดวยจด θ0, θ1, θ2, ..., θn โดยท
α = θ0 < θ1 < θ2 < ... < θn = β
X
O
r = f(θ)
R θ0 = αθ1
θi−1
θi
θn−1
β = θn
สาหรบ i = 1, 2, 3, ..., n ใหRi เปนพนทของอาณาบรเวณทปดลอมดวย θ = θi−1 และ θ = θi ดวยเสนโคง r = f(θ)
Pi เปนจด (f(θi), θi) และ Pi−1 เปนจด (f(θi−1), θi−1) ให θ∗i ∈ [θi−1, θi] และ P ∗i เปนจด (f(θ∗i ), θ∗i )
X
O
Pi P ∗i
Qi
Pi−1
Qi−1r = f(θ)
θ∗i
θi−1
θi
พจารณาวงกลมรศมOP ∗i ตดกบเสนตรง θ = θi−1 ทจดQi−1 และเสนตรง θ = θi ทจดQi และให∆θi = θi − θi−1
Ri ≈ พนทเซกเตอรOQiQi−1 =1
2[f(θ∗i )]
2∆θi
ดงนน
R =n∑
i=1
Ri ≈n∑
i=1
1
2[f(θ∗i )]
2∆θi
เมอแบง n มากๆ และทาให∆θi มคานอยๆ และ r = f(θ) เปนฟงกชนตอเนอง โดยใชผลบวกของรมนนจะไดวา
พนทR = limn→∞
n∑i=1
1
2[f(θ∗i )]
2∆θi =
∫ β
α
1
2r2 dθ
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 93
ตวอยาง 5.3.13 จงหาพนทของอาณาบรเวณทเปดลอมดวย
1. r = 2− 2 sin θ บนชวง [0, 2π]
X
r = 2− 2 sin θ
2. r = 4 cos 3θ บนชวง [0, 2π]
X
r = 4 cos 3θ
94 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ตวอยาง 5.3.14 จงหาพนทของอาณาบรเวณทเปดลอมดวย
1. r = 4 cos θ บนชวง [π6, π3]
X
θ = π3
θ = π6
r = 4 cos θ
2. r = 4 sin 2θ บนชวง [0, π2]
X
r = 4 sin 2θ
. . ระบบพกดเชงขว (POLAR COORDINATE SYSTEM) 95
ตวอยาง 5.3.15 จงหาพนทของอาณาบรเวณทเปดลอมดวย
1. r =√θ และ θ = 0 บนชวง [0, 2π]
X
r =√θ
2. r = 4 sin θ และ r = 2 + sin θ บนชวง [π6, 5π
6]
X
r = 4 sin 2θ
96 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
แบบฝกหด 5.31. จงหาพกดเชงขวของจดในระบบพกดฉากตอไปน เมอ r > 0 และ 0 ≤ θ < 2π
1.1 (−1, 1)
1.2 (−3,−3)
1.3 (−1,√3)
1.4 (4√3,−1)
1.5 (3√2,−3
√2)
1.6 (8, 4√3)
2. จงเขยนจดในระบบพกดฉาก และหาพกดฉากของจดตอไปน
2.1 A(2, π4)
2.2 B(−1, 3π3)
2.3 C(−3, 5π6)
2.4 D(4,−π4)
2.5 E(−5, 11π6)
2.6 E(2.5, 4π3)
X
0 1 2 3 40
π/6
π/3π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/33π/2
5π/3
11π/6
5
3. จงเขยนสมการในระบบพกดฉากใหอยในระบบพกดเชงขว
3.1 x+ y = 2
3.2 y = x2
3.3 x2 + y2 = 4
3.4 x2 + y2 = 2x
3.5 x2 − y2 = xy
3.6 1x2 +
1y2
= 1
4. จงเขยนสมการในระบบเชงขวใหอยในระบบพกดฉาก
4.1 r = 3
4.2 r = 5 sin θ
4.3 r = 2 cos 2θ
4.4 r = 1− sin θ
4.5 r = 11−sin θ
4.6 r = tan θ
5. จงเขนกราฟของสมการในระบบเชงขวตอไปน
5.1 r = 3 sin θ
5.2 r = 5 cos θ
5.3 r = 2 cos 2θ
5.4 r = 2− sin θ
5.5 r = 2 + 3 cos θ
5.6 r = 3 + 3 cos θ
6. จงหาพนทของอาณาบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง
6.1 r = 4 + 3 cos θ บนชวง [0, π]6.2 r = 8 cos 2θ บนชวง [0, π
4]
6.3 r = 12 sin 3θ บนชวง [0, π6]
6.4 r = 2 + 2 cos θ บนชวง [0, 2π]6.5 r = 3 sin θ บนชวง [π
6, π4]
6.6 r = 2− 2 sin θ บนชวง [0, π4]
. . อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (INTEGRAL IN POLAR COORDINATE SYSTEM) 97
5.4 อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (Integral in Polar Coordinate System)เราจะพจารณาโดเมน
D = {(r, θ) | a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}
X
O r = a r = b
D
θ = β
θ = α
ให f : D → R เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบนD จะแบงอาณาบรเวณD ออกเปนสวนยอยๆคอแบง [a, b] ออกเปนm ชวงยอยดวยจด r0, r1, r2, ..., rm โดยท
a = r0 < r1 < r2 < ... < rm = b
แบง [α, β] ออกเปน n ชวงยอยดวยจด θ0, θ1, θ2, ..., θn โดยท
α = θ0 < θ1 < θ2 < ... < θn = β
สาหรบ i = 1, 2, 3, ...,m และ j = 1, 2, 3, ..., n ให
Dij = {(r, θ) | ri−1 ≤ r ≤ ri, θj−1 ≤ θ ≤ θj}
X
O a = r0 r1 ri−1 ri rm−1 rm = b
Dij
θ0 = α
θ1
θj−1
θj
θn−1
θn = β
98 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ให (xij, yij) เปนจดในDij ดงนน
xij = rij cos θij และ yij = rij sin θij เมอ ri−1 ≤ rij ≤ ri และ θj−1 ≤ θij ≤ θj
และ ∆Aij เปนพนทของอาณาบรเวณDij ดงนนผลบวกรมนนคอ
Smn =m∑i=1
n∑j=1
f(xij, yij)∆Aij
O
ri−1ri
Dijθj−1
θj
∆Aij =1
2r2i (θj − θj−1)−
1
2r2i−1(θj − θj−1) =
1
2(r2i − r2i−1)(θj − θj−1)
=1
2(ri + ri−1)(ri − ri−1)(θj − θj−1)
= rij(ri − ri−1)(θj − θj−1) เลอก rij = 1
2(ri + ri−1) เปนจดกงกลาง
ดนนนSmn =
m∑i=1
n∑j=1
f(rij cos θij, rij sin θij)rij(ri − ri−1)(θj − θj−1)
เนองจาก f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบนD ดงนน∫∫D
f = limm→∞,n→∞
Smn =
∫ β
α
∫ b
a
f(r cos θ, r sin θ)r drdθ
สรปไดวา ∫∫D
f(x, y) dA =
∫ β
α
∫ b
a
f(r cos θ, r sin θ)r drdθ
หรอ ∫∫D
f(x, y) dA =
∫ b
a
∫ β
α
f(r cos θ, r sin θ)r dθdr
. . อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (INTEGRAL IN POLAR COORDINATE SYSTEM) 99
ตวอยาง 5.4.1 กาหนดให f(x, y) = √x2 + y2 จงหาคาของ
∫ π
0
∫ 1
0
f(r cos θ, r sin θ)r drdθ
ตวอยาง 5.4.2 กาหนดใหD เปนอาณาบรเวณในจตภาคทหนง ซงอยระหวางวงกลม x2 + y2 = 1 และ x2 + y2 = 4 จงหา∫∫D
1
x2 + y2 + 1dA
X
Y
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
ตวอยาง 5.4.3 จงหาคาของ∫ 1
0
∫ √1−y2
0
ex2+y2 dxdy
X
Y
−2 −1 0 1 2
−2
−1
0
1
2
100 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
การอนทรเกรตบนโดเมน S ใดๆ เมอ f : S → R เปนฟงกชนทอนทรเกรตได เราจะหาคาของ ∫∫S
f โดยการสรางรป
D = {(r, θ) | a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}
ลอมรอบ S
X
Y
O
D
r = a r = b
S
θ = α
θ = β
และกาหนดฟงกชน f : D → R นยามโดย
f(x, y) =
f(x, y) เมอ x ∈ S
0 เมอ x /∈ S
ถา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบนD เราจะกลาวไดวา f เปนฟงกชนทอนทรเกรตไดบน S โดยนยามคาของอนทรกรลเปน∫∫S
f(x, y) dA =
∫∫D
f(x, y) dA
. . อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (INTEGRAL IN POLAR COORDINATE SYSTEM) 101
เราสามารถหาอนทรกรลสองชนในระบบพกดเชงขวโดยการพจารณาโดเมนไดสองลกษณคอ
1. แบบท 1 S = {(r, θ) | g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ), α ≤ θ ≤ β}
X
Y
O
Dg1(θ)
g2(θ)
r = a r = b
Sθ = α
θ = β
f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) =
0 เมอ a ≤ r < g1(θ)
f(r cos θ, r sin θ) เมอ g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ)
0 เมอ g2(θ) < r ≤ b
∫∫S
f(x, y) dA =
∫ β
α
∫ g2(θ)
g1(θ)
f(r cos θ, r sin θ)r drdθ
2. แบบท 2 S = {(r, θ) |h1(r) ≤ θ ≤ h2(r), a ≤ r ≤ b}
X
Y
O
Dh1(r)
h2(r)
r = a r = b
Sθ = α
θ = β
f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) =
0 เมอ α ≤ θ < h1(r)
f(r cos θ, r sin θ) เมอ h1(r) ≤ θ ≤ h2(r)
0 เมอ h2(θ) < θ ≤ β
∫∫S
f(x, y) dA =
∫ b
a
∫ h2(r)
h1(r)
f(r cos θ, r sin θ)r dθdr
102 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ตวอยาง 5.4.4 จงเขยนอนทรกรล∫ 2
−2
∫ 2+√
4−y2
2−√
4−y2f(x, y) dxdy ใหอยในระบบพกดเชงขว
X
Y
−1 0 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
0
1
2
3
ตวอยาง 5.4.5 จงเขยนอนทรกรล∫ 2
0
∫ 2
x
f(x, y) dydx ใหอยในระบบพกดเชงขว
X
Y
0 1 2 3
1
2
3
. . อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (INTEGRAL IN POLAR COORDINATE SYSTEM) 103
ตวอยาง 5.4.6 จงเขยนอนทรกรล∫ 2
0
∫ 3
x
f(x, y) dydx ใหอยในระบบพกดเชงขว
X
Y
0 1 2 3 4
1
2
3
4
ตวอยาง 5.4.7 จงเขยนอนทรกรล∫ π
2
0
∫ 2 sec θ
0
r2 sin 2θ drdθ ใหอยในระบบพกดฉาก
X
Y
−2 −1 0 1 2
1
2
3
104 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ตวอยาง 5.4.8 จงหาคาของ∫∫S
sin(x2+y2) dA เมอS เปนอาณาบรเวณในจตภาคทหนงทปดลอมดวยวงกลมx2+y2 = 4
และ เสนตรง y = 0 และ y = x
X
Y
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
. . อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (INTEGRAL IN POLAR COORDINATE SYSTEM) 105
ตวอยาง 5.4.9 จงหาคาของ∫ 2
1
∫ √4−x2
−√4−x2
1√x2 + y2
dydx
X
Y
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
106 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
ตวอยาง 5.4.10 จงหาพนทของอาณาบรเวณในจตภาคทหนงซงอยภายในวงกลม x2 + y2 = 1 และวงกลม x2 + y2 = 2y
X
Y
−2 −1 0 1 2
−2
−1
0
1
2
. . อนทรกรลบนระบบพกดเชงขว (INTEGRAL IN POLAR COORDINATE SYSTEM) 107
ตวอยาง 5.4.11 จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงลอมรอบดวยดานขางดวยพนผว x2 + y2 − 2x = 0 และสวนบนปดดวยพนผว z =
√4− x2 − y2
X
Y
Z
X
Y
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
108 บทท . อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร (INTEGRAL OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)
แบบฝกหด 5.41. จงเขยนอนทรกรลตอไปนใหอยในรปพกดเชงขวพรอมทงเขยนรปแสดงอาณาบรเวณการอนทรเกรต
1.1∫ 1
0
∫ √1−y2
1−y
f(x, y) dxdy
1.2∫ 1
−1
∫ √1−x2
0
f(x, y) dydx
1.3∫ √
2
−√2
∫ √4−y2
|y|f(x, y) dxdy
1.4∫ 1
−1
∫ 1
x2
f(x, y) dydx
2. จงเขยนอนทรกรลตอไปนใหอยในรปพกดฉากพรอมทงเขยนรปแสดงอาณาบรเวณการอนทรเกรต
2.1∫ π
2
0
∫ cos θ
0
r2 drdθ 2.2∫ π
2
π3
∫ 2 csc θ
csc θr cos θ drdθ
3. จงหาคาอนทรกรลสองชน ∫∫S
f(x, y) dA ตอไปนบนอาณาบรเวณทกาหนดให
3.1 f(x, y) =√1 + 4x2 + 4y2 S คออาณาบรเวณในจตภาคทหนงทปดลอมดวย x2 + y2 = 4
3.2 f(x, y) = 1√x2+y2
S คออาณาบรเวณทอยภายในวงกลม x2 + y2 = 4x
และอยภายนอกวงกลม x2 + y2 = 4
3.3 f(x, y) = x+ y S คออาณาบรเวณในจตภาคทหนงทปดลอมดวย x2 + y2 = 4,y =
√3x และ y = 0
3.4 f(x, y) = y√
x2 + y2 S คออาณาบรเวณทปดลอมดวยครงวงกลม y =√2x− x2 และแกน X
4. จงหาพนทของบรเวณซงปดลอมดวยวงกลม x2 + y2 = 1 และเสนตรง x = 3, y = x และ y = 0
5. จงหาพนทของบรเวณทอยภายในวงกลม x2 + y2 = 4 เมอ y ≥ 3
6. จงหาพนทของบรเวณซงปดลอมดวยวงกลม x2 + y2 = 4x และเสนโคง y =√2x กบแกน X
7. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 1 − x2 − y2 และลอมรอบดวยพนผวดานขางดวย x2 + y2 = x
8. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 4+ x+2y และลอมรอบดวยพนผวดานขางดวยx2 + y2 = 1
9. จงหาปรมาตรของรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดานขางดวย x2 + y2 = 4y และสวนบนปดดวยz =
√x2 + y2
บทท 6
สมการเชงอนพนธเบองตน (Elementary DifferentialEquations)
สมการทแสดงความสมพนธระหวางฟงกชนกบอนพนธของฟงกชนนน เราจะเรยกวาสมการเชงอนพนธ (differential equation)ตวอยางเชน
1. สมการการเคลอนทของวตถตามแนวราบ (Newton's second law)
md2s
dt2= f(t)
2. สมการการเตบโตของจานวนประชากร (population growth)dP
dt= kP
บทนยาม 6.0.1 อนดบ (order) ของสมการเชงอนพนธ คออนดบขสงสดของอนพนธทปรากฎในสมการนน
บทนยาม 6.0.2 ดกร (degree) ของสมการเชงอนพนธ คอกาลงสงสดของอนพนธอนดบสงสดทปรากฎทปรากฎในสมการนน เมอจดทกๆกาลงเปนจานวนเตม
ตวอยาง 6.0.3 จงบอกอนดบและดกรของสมการเชงอนพนธตอไปน
1. dydx
= x3
2. y d2ydx2 +
(dydx
)2= 0
3. xy ( dydx
)2+(
d3ydx3
)3
= cosx
4. xy2 = y′ +√1 + y′
5. xy = y′ + 3√1 + (y′)2
109
110 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
บทนยาม 6.0.4 เราจะเรยกฟงกชนซงไมเปนฟงกชนของอนพนธ และสอดคลองสมการเชงอนพนธวา ผลเฉลย (solution) ของสมการ
ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอาจจะอยในรปของฟงกชนทนยามแบบแจมชด (explicite function) หรอฟงกชนทนยามโดยปรยาย (implicite function) กได เราเรยกผลเฉลยของสมการเชงอนพนธทมคาคงตวไมเจาะจงวา ผลเฉลยทวไป (generalsolution) และผลเฉลยทกาหนดคาคงตวแนนอนวา ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution)
ตวอยาง 6.0.5 จงแสดงวา y = Ae−3x +Bex ผลเฉลยทวไปของสมการ y′′ + 2y′ = 3y
ตวอยาง 6.0.6 จงแสดงวา y = 1+cet
1−cetเปนผลเฉลยทวไปของสมการ dy
dt= 1
2(y2 − 1)
111
ตวอยาง 6.0.7 จงแสดงวา y = x− 1x
ผลเฉลยเฉพาะของสมการ xy′ + y = 2x
ตวอยาง 6.0.8 จงแสดงวา y = sinx cos x− cosx เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการ y′ + (tan x)y = cos2 x
ตวอยาง 6.0.9 จงแสดงวา x2y − xy2 = c สอดคลองสมการ (x2 − 2xy)y′ = y2 − 2xy
112 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
สมการเชงอนพนธอนดบหนงดกรหนงจะเขยนไดเปนdy
dx= f(x, y) หรอ M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0
6.1 สมการแบบแยกตวแปรได (Separable Equation)สมการแบบแยกตวแปรได คอสมการทสามารถเขยนไดในรป
F (x)dx+G(y)dy = 0
หรอจะไดวาM(x, y) และN(x, y) เขยนไดในรป
M(x, y) = M1(x)M2(y) และ N(x, y) = N1(x)N2(y)
การหาผลเฉลยของสมการแบบแยกตวแปรไดคอการอนทรเกรตแตละสวน
F (x) dx+G(y) dy = 0∫F (x) dx+
∫G(y) dy = c
เมอ c เปนคาคงตว
ตวอยาง 6.1.1 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน
1. 3(1− y2) dx− 2xy dy = 0
2. dy
dx=
y − xy
x2 + 1
. . สมการแบบแยกตวแปรได (SEPARABLE EQUATION) 113
ตวอยาง 6.1.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน
1. (ln y)2y′ = x2y เมอ y(2) = 1
2. 4 sin2 x dy + sec2 y dx = 0 เมอ y(π2) = π
114 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
แบบฝกหด 6.11. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน
1.1 dydx
+ 2xy = 4x
1.2 (y4 + y)y′ = sin x− cosx
1.3 x3 dydx
=√
x2 − x2y2 เมอ x > 0
1.4 3(4y2 + 1) dx = y(x− 1) dy
1.5 1+ex
1−e−y dy + ex+y dx = 0
1.6 (x2y + x2) dx = (xy2 − y2) dy
1.7 (x2 + 1)y′ + y2 + 1 = 0
1.8 (x2y2 secx tanx+ xy2 secx) dx+ xy3 dy = 0
2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน
2.1 cos2 x dydx
= sin2 y เมอ y(0) = π2
2.2 √x2 + 1 dy
dx= x
yเมอ y(
√3) = 2
2.3 dy = 9ex
ey2+y2e2dx เมอ y(1) = 3
2.4 x dy = yx−x3dx เมอ y(2) = −2
. . สมการเอกพนธ (HOMOGENEOUS EQUATION) 115
6.2 สมการเอกพนธ (Homogeneous Equation)บทนยาม 6.2.1 เราจะเรยกฟงกชน f(x, y) วาฟงกชนเอกพนธ (homogeneous function) ดกร n ถามจานวนเตม n ททาให
f(kx, ky) = knf(x, y) สาหรบทกๆจานวนจรงบวก k
ตวอยาง 6.2.2 จงพจารณาฟงกชนตอไปนวาเปนฟงกชนเอกพนธหรอไม ถาเปนดกรเทาใด
1. f(x, y) = x3 + 2xy2
2. f(x, y) = x2−2y2
xy
3. f(x, y) = 1ycos x
y
4. f(x, y) = x2 sinxy
บทนยาม 6.2.3 สมการเชงอนพนธ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 เปนสมการเอกพนธ (homogeneous equation) ถาM(x, y) และN(x, y) เปนฟงกชนเอกพนธทมดกรเทากน
ดงนนM(kx, ky) = knM(x, y) และN(kx, ky) = knN(x, y) สาหรบจานวนจรงบวก k ถา x > 0 ให k = 1x
จะไดวาM(x, y) = xnM(1,
y
x) และ N(x, y) = xnN(1,
y
x)
แลวจะไดวา
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0
xnM(1,y
x) dx+ xnN(1,
y
x) dy = 0
M(1,y
x) dx+N(1,
y
x) dy = 0
โดยการเปลยนตวแปร v = yx
แลว y = vx ดงนน dy = vdx+ xdv นนคอ
M(1, v) dx+N(1, v) (xdv + vdx) = 0
[M(1, v) + vN(1, v)]dx+ xN(1, v) dv
จะเปนสมการแบบแยกตวแปรไดในพจนของ x และ v
116 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
ตวอยาง 6.2.4 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน
1. (y2 − x2) dx+ xy dy = 0
2. xdydx
− y = x cosy
x
. . สมการเอกพนธ (HOMOGENEOUS EQUATION) 117
ตวอยาง 6.2.5 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ xyy′ = x2e−yx + y2 เมอ y(1) = 0
118 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
แบบฝกหด 6.21. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน
1.1 dydx
= y2+2xyx2
1.2 x dy − (x tan yx+ y) dx = 0
1.3 (x2y + y3) dx+ x3 dy = 0
1.4 2xy dx+ (x2 + y2) dy = 0
1.5 xy′ = x+ y
1.6 x(1 + ln yx)y′ = y
1.7 2x dy − 2y dx =√x2 + 4y2 dx เมอ x > 0
1.8 2yexy dx = (2xe
xy − y) dy
2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน
2.1 dydx
= x+yx−y
เมอ y(−1) = 0
2.2 x2y dx− (x3 − y3) dy = 0 เมอ y(1) = 1
2.3 14xyy′ = 6x2 − 7y2 เมอ y(−2) = 1
2.4 x2y′ = 3x2 − 2xy + y2 เมอ y(1) = 32
. . สมการแมนตรง (EXACT EQUATION) 119
6.3 สมการแมนตรง (Exact Equation)บทนยาม 6.3.1 สมการเชงอนพนธ M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 เปนสมการแมนตรง (exact equation) กตอเมอมฟงกชนF (x, y) ททาให
dF (x, y) = M(x, y) dx+N(x, y) dy
เนองจาก M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 ดงนน dF (x, y) = 0 นนคอ
ผลเฉลยทวไปของสมการแมนตรงคอ F (x, y) = c
จากสมบตคาเชงอนพนธจะไดวา
dF (x, y) = M(x, y) dx+N(x, y) dy
∂F
∂xdx+
∂F
∂ydy = M(x, y) dx+N(x, y) dy
ดงนน∂F
∂x= M(x, y) และ ∂F
∂y= N(x, y)
จะไดวา ∂2F∂y∂x
= ∂M∂y
และ ∂2F∂x∂y
= ∂N∂x
ถาM,N, ∂M∂y
และ ∂N∂x
ตอเนองจะไดวา
∂M
∂y=
∂N
∂x
ดงนนF (x, y) =
∫M(x, y) dx+ C(y)
หาC(y) ไดจาก ∂F∂y
= N(x, y)
ในทานองเดยวกนF (x, y) =
∫N(x, y) dy + C(x)
หาC(x) ไดจาก ∂F∂x
= M(x, y)
120 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
ตวอยาง 6.3.2 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (2xy3 − ye−x) dx+ (3x2y2 + e−x − 4) dy = 0
. . สมการแมนตรง (EXACT EQUATION) 121
ตวอยาง 6.3.3 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ x+ y2
xy2dy − y − 4
x2dx = 0 เมอ y(−2) = 1
122 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
แบบฝกหด 6.31. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน
1.1 2x− y3 − 3xy2y′ = 0
1.2 (2x− 5y) dy = (6x− 2y) dx
1.3 x(x cos(x2y)− 2y)y′ + 2xy cos(x2y) = y2
1.4 (sinxy + xy + cos xy) dydx
+ y2 cosxy = 0
1.5 3xy+1y
dx+ 2y−xy2
dy = 0
1.6 πy + (πx+ arcsin y) dydx
= sinx
1.7 ln yxdx+ ( lnx
y+ sin y) dy = 0
1.8 (2xyex2+ sin y) dx+ (x2ex
2y + x cos y − y) dy = 0
2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน
2.1 (3x2y + 2xy) dx+ (x3 + x2 + 2y) dy = 0 เมอ y(1) = 2
2.2 (ey + yex) dx− (ex + xey) dy = 0 เมอ y(1) = 0
2.3 (sin2 x− 2y cosx)y′2y sin x cosx+ y2 sinx = 0 เมอ y(0) = −2
2.4 ln(1 + y2) = ( 1y− 2xy
1+y2) dydx
เมอ y(2) =√e− 1
. . ตวประกอบอนทรกรล (INTEGRAL FACTOR) 123
6.4 ตวประกอบอนทรกรล (Integral Factor)ในกรณท M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 เปนไมเปนสมการแมนตรงแตม µ(x, y) ททาให
µ(x, y)(M(x, y) dx+N(x, y) dy) = 0
เปนสมการแมนตรง เราจะเรยกฟงกชน µ(x, y) นวาตวประกอบอนทรกรล (integral factor) ของสมการเชงอนพนธน แลว
∂(µM)
∂y=
∂(µN)
∂x
µ∂M
∂y+M
∂µ
∂y= µ
∂N
∂x+N
∂µ
∂x
ดงนน1
µ
(N∂µ
∂x−M
∂µ
∂y
)=
∂M
∂y− ∂N
∂x
กรณท 1. µ เปนฟงกชนชองตวแปร x เพยงอยางเดยว1
µNdµ
dx=
∂M
∂y− ∂N
∂x
Nd
dxln |µ| = ∂M
∂y− ∂N
∂x
d
dxln |µ| = 1
N
(∂M
∂y− ∂N
∂x
)= f(x)
ดงนน µ = e∫f(x) dx
กรณท 2. µ เปนฟงกชนชองตวแปร y เพยงอยางเดยวd
dyln |µ| = 1
M
(∂N
∂x− ∂M
∂y
)= g(y)
ดงนน µ = e∫g(y) dy
สรปไดวา
1. สาหรบ f(x) = 1N
(∂M∂y
− ∂N∂x
)มตวประกอบอนทรกรลเปน µ = e
∫f(x) dx
2. สาหรบ g(y) = 1M
(∂N∂x
− ∂M∂y
)มตวประกอบอนทรกรลเปน µ = e
∫g(y) dy
124 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
ตวอยาง 6.4.1 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน
1. (3x+ 2y2) dx+ 2xy dy = 0
2. (x2 + y2 + 1) dx+ x(x− 2y) dy = 0
3. (1 + x sin y)y′ + cos y = 0
. . ตวประกอบอนทรกรล (INTEGRAL FACTOR) 125
ตวอยาง 6.4.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ 2y(x2−y+x) dx+(x2−2y) dy = 0 เมอ y(0) = −1
126 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
แบบฝกหด 6.41. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน
1.1 2xy dx+ (x3 + 2xy) dy = 0
1.2 (4xy − 3x− 3x2) dy − (2xy − y2 + y) dx = 0
1.3 (xy + y − 1) dx+ x3 x dy = 0
1.4 y(x+ y3) dx+ x(y3 − x) dy = 0
1.5 (xy − x2)y′ − xy + 1 = 0
2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน
2.1 y(1 + x2y) dx− x dy = 0 เมอ y(1) = −1
2.2 (x2 + y) dx+ (x2 cos y − x) dy = 0 เมอ y(2) = 0
2.3 1 + (x tan y − 2 sec y)y′ = 0 เมอ y(−1) = π
. . สมการเชงเสน (LINEAR EQUATION) 127
6.5 สมการเชงเสน (Linear Equation)สมการเชงเสนคอสมการเชงอนพนธทอยในรป
dy
dx+ P (x)y = Q(x)
เราสามารถจดรปไดเปน [P (x)y−Q(x)] dx+ dy = 0 ดงนนM(x, y) = P (x)y−Q(x) และN(x, y) = 1
จะไดวาP (x) =
1
N
(∂M
∂y− ∂N
∂x
)ดงนน µ = e
∫P (x) dx
µdy
dx+ µP (x)y = µQ(x)
d
dx(µy) = µQ(x)
µy =
∫µQ(x) dx+ C
ดงนนผลเฉลยทวไปคอy =
1
µ
(∫µQ(x) dx+ C
)ตวอยาง 6.5.1 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน
1. dydx
− 2xy = x
2. (y cot x− sec2 x) dx+ dy = 0
128 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
ตวอยาง 6.5.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ (xy+ x+ x3) dx+(1+ x2) dy = 0 เมอ y(√3) = 1
. . สมการเชงเสน (LINEAR EQUATION) 129
สมการเชงอนพนธอนดบหนงดกรหนงบางสมการไมเปนสมการเชงเสน เราอาจทาใหเปนสมการเชงเสนโดยอาศยการเปลยนตวแปรทเหมาะสมเชนสมการตอไปนจะเรยกวา สมการแบรนลล (Bernoulli's equation)
dy
dx+ P (x)y = Q(x)yn
เมอ n เปนคาคงตว เปลยนตวแปรโดยให z = y1−n จะสมการแบรนลลจะกลายเปนสมการเชงเสนdz
dx+ (1− n)P (x)z = (1− n)Q(x)
จะได µ = e∫(1−n)P (x) dx ดงนนผลเฉลยทวไปคอ z = 1
µ
(∫µ(1− n)Q(x) dx+ C
) หรอy1−n =
1
µ
(∫µ(1− n)Q(x) dx+ C
)ตวอยาง 6.5.3 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (1 + x2) dy
dx+ xy = x3y3
130 บทท . สมการเชงอนพนธเบองตน (ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)
ตวอยาง 6.5.4 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ dy
dx+
y
2x=
x
y3เมอ y(1) = 2
. . สมการเชงเสน (LINEAR EQUATION) 131
แบบฝกหด 6.51. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน
1.1 dydx
+ y cotx = 5ecosx
1.2 x2y′ + 3xy + 2x5 = 0
1.3 (2y − 4) dx+ dy = 0
1.4 x dydx
+ 3y = sinxx2
1.5 y′ − y = 11−e−x
1.6 dydx
+ yx lnx = x2
1.7 (3xy − 4y − 3x) dx+ (x2 − 3x+ 2) dy = 0
1.8 2(y − 3 sinx) cosx dx+ sinx dy
1.9 (x2 + y2) dx− 2xy dy = 0
1.10 (y + xy2) dx− dy
2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน
2.1 (x− 1)3 dydx
+ 4(x− 1)2y = x+ 1 เมอ y(3) = 12
2.2 (y − ex sinx) dx+ dy = 0 เมอ y(0) = −1
2.3 (cosx)y′ + y = 1 เมอ y(π4) = 2
2.4 dydx
+ x3yx4+1
= x7 เมอ y(0) = 1
2.5 xy′ + y = y2x2ex เมอ y(1) = e
2.6 x dydx
+ y + 3 = x3(y + 3)3 เมอ y(−12) = −1