B. A. f{HCEJIED

CTPOJITE.TlbHAR

CTPOllI13,ll,AT

V. A. Kl5ELIOV

MECANICADE

CONSTRUCCION

TOMO II

Editorial Jlfir Moscl

COU 624.0~ /OrJ.8)_(.o

Iml'r80 e" l., UI"\S~rkrl)'Cho9 r.~rv",IOll

INDlCE

CALCULO DE SISTl:1IlAS E~TATTCAMEK'TE "JNDETEHMINADOSO IIlPEfiESTi\TlCOS

CAVITUI.O }(11l .. SISTI'MAS ESTATICAMENTE lNDETli:R~IINADOS y METonos BASICOS DE SO CALCULO 119. S;3\.(>Dl"~ e;ttiCAmentc indeU'f,"lu.do$ 11li j lUlo i"""lfin 'lOh.., lv~ mHuj,1Ij 11;\$.,.", .le clculo le !iatl'1l10SC8loitira-

mente ;"df,rmn",lo~ 14

CAPITlILO XIV JI' TEOlllA GENERAL DEL ME1'OOO DF. fUER-ZAS' CAL(:ULO DE I'Ol1TH':OS Pl.ANO:'; ESTAT1CAMEN'"F, IN-DETl>!lMINADOS O HlPEJI}"STA'I'[CO~ IlI1. Grado de ;ndelcnnifl.ci6n (,I"He" 1811 12~. [fUlciOl'e~ f"n"jc~' O"'" d dlclI]o I'iljo c...ra [jj" 20 12n. Fu.'"'' 5'~'tjtU)'f"l

t UIO. ShDl'liticaeion... duranle el dlculo do ,I~lemu aim6\rioosI l87, Mftodo esl.itico da coDslruccin de 1.., Unon do inJluol>

'Jell. Tcn~lollelldtbidu. lCf;(jn do Lo t...mp.... tur. ~;!IU(.dn... IM'PO)'" r I ..ioo e1t IA~ barru dt IlHllfitud lneorr."" I~

f . Untu el... mll""'cb dr In IUI.'tU. 11lngiluelilUole 1541 7. ,"'lculo ~JnI.imad.. """ t76

I 1"0. '-lHntlo::rifu;:o...n.lIl.rt> "~co"51ruttiOdel.. Ilnels,I~I"f1_ci.d.. lu IIlf~ita~ ......iQS .... ti ITCO Ji" ..lirhl.rl....ClI ISO

J! 110'0. l..frlt..~ de ;"rlllf'nd.. d. lA5 ,nrt\f::nitu "biCIS par. 1'0$ ."'....i".fl.icul.... iullt1 de C'ml'~Uffetd OOll!l! t'lI t'1 .rro hi~.ttul.do 193~ 1"4. M~lotlo l1f!Jw-."nllll.o 11. con.tn.r"l(j" du lu Ii,,~~, dt' i"Jlu_

,"d~ el"l t'ml'ujr eh d .n:o bJ.'tic\ll.do 1(1.1~ I"'l>. ("leul" J~ "r~OIl b;!tt, .."I~""s tOn 01 ..je. lo ""11"0 d,.I" r_hf." ,1..

Iln>sill .." l,l or.... It"'fli..ul~du f9UI ISI'I. Coi!clJ!O M roron.~ , .... ulal"l"S 197

C\1'11ULO XVItl .. CA,Cl'LO 1)1;; SISTEMAS mI'EIH'.5TATICOSI'L.... lIlOS POR EL Mf.TUI)U DE OeSPlAZ.... MIF.N'l'OS 1ft?, G..dt:I d.. ,,,Ielct'aunac';,, dnt!mtlca n)I 188. [ ..".el..".. can(j"iuI. fUI'" ti f.l..ulo MjQlro ron ..1 ".:i"tffO rollll,lelo dt' ylnculOll 203a1.0. O..If'Mlli ....d6n de lU'!l d~l.u"'l ....to!l nl.ci".. 01(' 1u6 UII'fl'tlOl

delu ~.rr dQr~"le1.... dnpl".IP""\OII(lt"Cf'l'o!,l...~ d.. 1os nud... 207

7

g 'o l. ()I('firi.."wa y lM:millOll indtm..... .."fo' ....ju t,jlr:> 1\0.1:01 222 lOTo EmIJI.~. d .. 1/\ S'lMttlo 2'lJ 10M. Mtodo ..",tIiUr.. 01" collslruen d,' 1In.".

oZJ 8. C,\\wlo dr allJllldllrn mI i! I O. 0""""'1"11 y lcn5i""" y dl'form.tiOM' l'l'mll,",ntN 30011 220. "null'Ilcia de la ..la~Uddld y l., d151oneionN do ~ .poyos ~n

~I \.Jo-r de la urjl:' lim;18 307, 221. Cik>Jlo de djlt'rT"~ t:lI'It'" rfpelidn , .lternad., 30S

CArt'rULO XXII .. CALCULO DF. SIstEMAS ESPACIALES 111-rF.I\"STATICOS :!22. Oh~vleion,., gcucmlM 009M :t:.!U. C'leulu de II!temas c.p~eiaIM poI' d mtodo do "Cl'IU 310, lll! .... C'lelllo 01, 'rlicol pb1JO! hijo earga espaclll por el m~todo de

f""nll 3t3, Sil... lAk~lo ~c pl'lir;," ""J'lIrinll'S por el m~lodo de d~""I..om;cnL05 317

CAI'ITUI.O XXIII CALCULO DE SISrEMAS PLANOS POlIEL ESTADO DE}'Olla.l"DOI 22. P.rtlelllarld,d... d~l dkulo por ,,

CALCULO DE SISTEMAS ESTATICAMENTElNDETEHi\1.JNADOS O HIPERESTATlCOS

CAPITULO Xlii * SISTEMAS ESTATICAMENTEINDETERMINADOS y METODOS RABICOS DE SUCALCULO

.1.10. SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETEnMINADOS. Sellllm~l\ si~lelflns esl6ticamenle tndelermillaMI a aquollos, en 109j}IJlI. no tOdft5 las reacciones y [uer:w.s internas, determinAdas porel e-

5upougnnlos que los eJemetltQ8 delgados ah y cd ((jg. 2(4) c.stllhet".hos ,le goma. Es fcil cOllvenc,erse de qlJo 11. pel;ul' do quo lo~

~istcl}ln.~ (lon C51o~ \'Tlc"I{.,~ son ..."tfiticllmcntc indeLecminados noob;L:mle. 1;'8 fUl'rl..1S intcrnll8 en e~LIJS l'i~lt'ltlllS se diferenciau pocodc llls fucrals iulemns on 101' sisll'mas cstticllIlIl:'lltl' d6tllrmilOnrlo.~silJ e..!!Ln; villculos. '

Fg. 254

2, ,'IS t110 oxplicn, con (lile todo vnculo superfluo que[.rnlmjn ell','n la rigi,lez dl,1 sisll'm:., y:. 'l"e ubsLncula el despla-~nmielllo p(l(. >1" Jirecdu. Si para IHIII CjlrgH oada, ningnno (t~ los\"uculos compll)mlltllrit'.s i"Lroducidos en el ,~i'ltelllll,estltic,"oe"tedf'lf'rrninmlo lr"L:.ja. !:utonces, lo,~ desplazamicntos de los Si.'lll'lnMcst.UCflml'nle intlf'torminado y f'stlic-a"'eJlltl delerminlld\) ~on

id6nlk,,~. Si Imm la.. cnrga dada, en uo "islemll e..~lticolOelll ill-determi"R,I" CUII ,. vnculos ;;lIperfhro.~, 11 ,'i"';\lro.~ 110 trnh"jml,cntance-s. l':Xl'llIy(inrlolo~, ~o pneJ... ohlpller 111) ,~islcma f'8tilticanWllledeterminado eOIl 1118 mismas fuen:.s inlcrlllls y dcsplozamic.losque en el sistemu cstflth:allleulo ind",lermillllrlo (rig. 2;;:"'i).

3. EII los sisLem,,~ l'~l>licammle indf'tcrmin;r1os surgell f"erzasi"ternas complcnwl,tarias pruvnel.d>l1' pOI' lils variaciones dc Il'lll-llertlLura . .'\"dflranH.~ esto C011 un rcjcllll'lo ~il1ll'le. S''1JOUgH(lloyndel medio. In fUCl'ia X"

l'

I'ig. 2~;Fig 256

4, ~~II los sistornas (1staticnffionte illdHenlllnados. COIIIO norma,surg'en fl1erta~ inler"as eomple'llefltarias. debidas ti la dblocael61ldo los apoyo~ trigo 25f1, ej. ~;rect\'amlo'ntr. si Hu exJlStera

rlg. 258

am no utllol'millll Sil destruccin, por CUClnto dio rormnlleCtl ill~arlante. Su derrumbamiento ocurrir slo al romperlle otrabarra ms.

Ciertas pmpil.'dadl!'!! de )1)5 si."l4'mas estticamente indelermJlR~dos. por ejemplo. la sen"ibilidad a 1, \"lIrindn de la tempt-rlltura.a 1, dislocacin de 105 apo)'os ). a 111 fabricacin lnoorrocta. !e ma-nifiesta de diferente numen:!. dependl~do de la rase de trabajo

-el"~licl1 o ehlltiool,llistica- ell qU ."le halla la nlrUClUrO.Todo lo dicho mas IIrriba. se rOfll~rC tambin II los "islemas 08-

patiol!':'!.

.120. NOCION SOBRE LOS r..JETODOS BASICOS DE CALCU-LO DE SISTEMAS ESTATICAMENTI~ INDETERMINADOS.Como ml1t.odos IIisiCOll de clculo do los .o;isternllJl C3llicaml'1I1ai'ldelermillados se ooll!lidenlll el mHodo tlt- fuerzas.. cuandopor incgnitas ~ loman laa fuerza!' y. el mtodo de deaplaUl-mienlOfi, cuando como por inc6rnil." se Lomln los dCSpla7.RllllCIJ-tos IIngtlluE!ol y linoalea d0 los nudU!' del ."listemll.

Ambos m~todos estan ligndos por una idea comi/n. que c'on-aiJ-te en que ul clculo se e{eclo N)hc'e 1In sistema btlico ob-lcnido dt'1 rlado.

En el m(olo, lorlo general. diferentes uno de otro (fia, 259. b. c. 11). La eliminl'ldodel sisl.ema ."lle II 1015 ~'lnC\lI05 !'-uperflllOli deber conducir siempreo un !istema invariante. lo que !'-lroUica q\le, el sistema b{l~ico,por el mtodo de fuenfls, ~erl Invarlnnte.

Al sslerllll lIIsico, adomlS de In carga dAda, a cambio de losvlnculos olimlnados. se le aplican nn IlIs reaccione:l inf.nilll. deIo.~ mismos X, . ... , X sujetas" d"lerminacln, las cunlo.s sellam.n il1cgt1it~ blJic.s del mtodo UIl h.enAS (lig. 2.~!)).

Los valores de las reacciones X, . .. , X. debern ser lIles, quelos desplnl.llmienlo9 por aus direeciones. en el ...i.'!tema bsifo, selln

J

.)

(13.1)

iguales 11 los respeLa illtrotiuooi6o ue nuevos vllcnlos dentro tlcl sistema dlldodebed ser compensada con solicital;iones c,'(terlUll' complementll-rias S(lbre el sislemll b/i!;icn y. pre

11.1 1l:lsl.C1I111 tlado l.">'''1II aplicadn.'t !J coonlllnadn" tl" el pllllto llS Capll1. .le cr(>lIr lIiCllllllllltc Ull Ilwmontoreactivo: en 1'1 ligo 261. jl ~e expone.. d~ I'llriltntes de representa-cin simblica de tal vncuLo;

uEnculD r /"-"'-'-4 (progl'El!!'ivo) irllpue._lo .otIsi"lemtt. que o~l11e\llil.ll.Jllo el de.!'phtzamit!llto prog-resivtl (\" 10'\ Iludos y que "1 C'lIJin16

FIg. 262a) ,

(13.2)Ili,moro indisppllSllble

... t . P=O.obtl"ncrnos (11lt~(Z'. Z.,k~I,2, .... N,Suponiendo lJUl'

de ('phuarniellw. E!tos desplanrrrienhll'l los designa-lIl'IS por l, l: . .... Z. ~ribimos 1aJ! eXflrOOouC!l de las "(,:lceio..esde Ivs yuculos mt.rotlllcidos, origin:ub~ IlOr los liesplnlamieuloS(le lus ,'lnculos y pur la carga. E:'I:alOiJIIIIIIQ.~ cU:llqllier vhlculn k.511 r"ucei6n H~(" .... .. 'n. '" es (1I1\Ci0I1 1\4) I~ ,1,,"~l'lnlnlllienlo~XI' Z!. ., Zh y dll la cM:,;n P. I~Sllt "encei" dllbl'rfi ger iunl11 cero. por Clll\uto, eH (,'1 ~i81('nll\ dndo. e~te ... inclllo 1\0 \~isle. Slnf'lltonce! ...1 sistctllll b:isko. con los "illcnlos iml'''('Ill.o~, ~r;;e'llli\'llrenle ni sistl'lnll liado que 110 pll!ee e~l(ls "J)c"lo~. PorrOllsiguil'lIlc;

1~1,.t':Z.'-.'.'~.:~J~~~}ir.a ',1'..,l. ~=U.

(13.3)

17

(13.3) ,\Iol! JIIS ecuaciones b~iclIs dol mtodo do desplfl1.llmienLosy, lo mismo tllJe las (\3,t), son \'ilidrts pnm lodos los estado~ detrnbnjo

dondE.': e es 111 cnntidnd de contornos cerrados en el sistema, sincontar las articulaciones;

A, la cll.nLirlll.d dol IITticulll.cioncs en los ,contQTnos cerrados.Al emplellr esta frmula In tierra dE' bllrras .u~tHuyolIl

blIrra. Enlone~. D = 2, B "" 1. A = l. S = 1, Va = 9:.. _1.1+21 +314 9_:l:_9.

R

(14.5)

f:!I el desplaUin:aielllo en el :'ii!tema bbico por la direccin de Xl'debido l\ la earga.

Con!iderando en esta ecuacin a le = t, 2'1' . _, n. SUU!livl-Ul('nle. obtenemos tan~! ee\Ulciones cuantas su ueces8rin putlla dt>lermilladn de las inegTlitas XI, XI.' .. '. X.:

Il"XI+lI~,+.. --t 1l,.X.+b,p-=O }~tl.X.,: ~~~2 ,+ .... '.~~2~~".~~'~~~;.1l.IX.+lI.:Xl+'" + ftI>X. +6.,._0.

El sisteml do eCUllcione5 (14.5) so llama sislCt/WI do ecuacionesc.annieu del mtodo d ruenas.

Eseribiremos este sisteDla tU 1.Il forma Ill.llujj>X+Dp_O

donlk> :~"llll 6,.ll"lln 6:.

6.,60 : 6es ];) malril do coeficielltes de las ecuacitNIes eanllic45;

2) X_I{X,X. o X.)Ir:s la mlltriz de b. columna (vector) de las incgnitas;

3) J),.-I{tPuo o.. do,.}!

(t4.6)

(14.7)

(14.8)

(tU)es la IllDtrh de cohmma (vec.:tor) de lo.~ desphmuuif'lItos dl' carga.

Lrnl ddl,I{lamieulus propios ~l" 11,...... II"~ estn dbp\l('Stos\l1l I, diagoual principul de In mntri7; do desl'laz~lIlicntos.

,'hura doll'rlllJl3lDOS lo~ cooficil'nte! ~' los miem!Jr()~ Iihr(l,~ deld!>h'lIIa de ecuaciones (.:lunicas (14,5). Auh' todo. I:f,lculamos 10.:'1

I:oerlcicn~ 11.... = ~ en Ja furma C/lna!. Por~ luS sislemn,-

con barra!! recta.'! y dt-' reducido Cllf\'8tura C'mplenmM, COQ esleObjNo, 111 lrmuln gt.'lIeral de desplu...mit'llt5 (1 J.~) que pre-ft'Jlt8111M t'1I la forma si!:,'IiC'llh':

Divdit'ndo por X,"' It't1dr"lIlos

(14.10)21

donde A1~. N~ Y Q~ son 109 moment09 rJUIIlrt'9 y 1119 fuerzas lon-gitllllinlle.~ )' Iransverslles dflbidOll .. la fnerll3 lildlmensionlll X.... 1en el sislema bsico y lu mlsma~ mlgnHndes M.... ,..}' Q... tlebl-das I l. fuenll adimellsionar X = t.

(.M~) (N~) (Q~) y ti!...) (X ) (O.) IlOO. respectivamente. lO!'diagramu de los momento! fleclores y de IIIS fueru!I loogill1dinslt"sy lransvel'$llll';!'l ell el sistema bisico. debidos tl la! misma.'! f'lenllSX. _ 1 }' X... "" 1.

Los coeficienle!l prOllios 6... >re calclll11II, tambiEn. por b. (r-mula (14.10J. Por cl\llnttl. al determillllr 6u , en los rnl

~nlllr ni:

: (14.14)

1_11~....._-

J) = K6,.1I =M'.A,M =A'oo ... O~O./I~O. ',': ~ , ;lfIIM~I'" M.~000.,. --1_1

Ml, ,. ,l'ilit~ -,?;.~,,.. "lf;~Mt.'li..Y..

En forma anlOlf1l e:!Crhimo!D p _Jl'.AM1-=-

(1

que pt'tmilCJI el empleo del (lrincipio de ir~dc,!l.'lItl~nciA do. ~lcci611de In! fuorUls. pueden l!l:lt hallatloe por 111 lllgUJll.lle e}lp~llm:

(14.li)donde: S ~ In /11l1gltiLud o dclerlllimu' (la fucnn liuslituyen(t! .1/. N.Q: lA rc:r.cdn R del IlpoyO; el dl'8plaz.'\micnto d, etc.) en lo\ !'.!'tellnadado; S. ('$111 m:t.groillld. determiluu debida a X. = t en el ,,"lemabsico y 5"',.. es 1(1 magnitud debida l' la urgll con el sislemu hl..~ico.

Fia26.')

Lw: (hU;nHUlll!' de las fUllno:'l :illSliLuyelltes y de oh'tls ml\g-IHlud~.pueden l!('.f lambilin cOIl$l.ruitlos sobre la btlllC do esto principIo por

. Jo llXlltcsill nnalogu

(14.18)dOllde: (8) ce 01 dillgrama de M, Q o N, debido 11 \11 carga en cll!illle-UHI dado; (8.) es 01 diagrama de "lIJ., (J. o . debido Il X. a 1en 1.'1 sistemo bfu;i(;o i', (8. es el diagrama do .'1J p' Q p o N p, deb!loa la cnrga, en el !i.'Jt('ma bbico,

Al producto ~) XI< lo lIamar ~implcml'ut&, diagralno debido a XI

SUllll' .1s ~n 01 prlicod~ la {ir:. 265. en la forlna corrumt

b) Por la frmula (Il.O):(;.6 2 6 6'6 J.3 ( o ) '"

"11-7'3' u.J. Uu '3.3.4.5-1 T 3 .... j.3 - f:/ ;, .._.,~.';'._6_+~_~

~ '" ~ 'J,E:J El ,,;J'G.l; G G+3 ( 135"1l--T'2lT-~S7fT--7ff ;

3.3P G 3P.a.'~; :",.~IP---r-' 2J::J + El 7!T:

33P ~ lU.~6 ~.2SPu'- --,-'Uil----,:r-- --U--

V.rliut,o..~.r,'G 2 1 66 2 1 ,33 2 1 1t7

{M8){..'I\"I-T'y(i r:J +2'"3 6217' T'T 3W--U:- 3p, 1 I :1 1 1l.2.'P(.JIf.H""81-~33 '!.El -:1J' 3~.-W----p-'

J. ecOlo1ot;onf" falln;C"S en c[ne. l1l'I11:

j 243X,-1g:,X.+MI'~fl; I-135.\',+ 144X,_"';.2.~P_O

00 ollas oblonclOOll: X,_O,061~9o\2P, X._O,:'I\'rSGOOP.El lil"nllll1l di' lIl(lm~nt(l~ Jo comronemoa por (l'U8)'

(.1I),)=(j1,) Xl" (M,l X'.+(,u,,).El

2. Cdl~"lo ... t. /6rmlt ,.,otrlll"..n el eJikulo. ~n la lo..... matriz, ennv6llllllOl en"'"",a. post\~. In.

RlOI1lfIlIOll (1""10"'1 que .n los dltg"'ma!l eltaD trazado! dfntro del enntomo.AdoplamOll "-_J. Por la rrmula (I',t'):bl.-LVI)(JIll-11 0_611 Ghll ~ ~1)'~~II+U-6-'HJ~o~';, O;';,~X

xii =:11. 11-O-'"riJll: ;~i=:IHti'b=IM1J.tM1J-nO-GI'~llo\ 0;SIHI~II+n6 611.J11~~ ll'~:~-~;;b,,_rjj)'(M,)_1I_6_ll11~ 11 O\. i511'11~I+n-6-311 W~ ~ ~ 11 X

xii :II--:,'Jll'j,=l.l1f,Hblll-li- lJ- ll lI O:J 110\ O/'II'II_~'1f>II+

+11-'-'",1, In ;IIII=;~II- ~; ,t.,p=/"ff.J.{M,J-1I3 'll&hijo~!> tS~'~=~II+

- 11' '"ID~: ;1111=:::11-- "{(.b"-CW-'I.t,)fsl-UO-6[1t5~~~ ~lll~6~+'1-6 ollmHlo~s tll x

xll,'!+IIO '''ohll: ;IIII~II- ~; ,W p)(.l1al-1I0 -3f>1Il).;EJ!I~~IHo311+

+1I-3P-3PIII\::JI1~~II'\I~ 11-- "~,~;P.

o o o I o-$ 1'0,001394021'11 - U.36Q3P(Mj_.:ltl'_ -63 o . !O.SI08896P _ t,IG3IP_6 d -3 P _o.;UP-3 G _3 -O.IIOOP

Aqul. las columnas d_ b lD.t.h tI l.aD lido ~1.nldM ~or 1

fill". ~GG

El dingrama do mowonlos so C.l:1WllO 011 la rig. 2t'l3.\'erilicaml)! el diugramll obtenido:

(.III'HMsl=11 0- 8 111\;, II ~ ~ 11'11-~,3600P 11+'11I-ll~3I1G;'Jllo\ t~lll-?:~~~~II-t 11-3 011 6:, Ilo~5 O"IIX

xll_~::~II+ 110 311 G;'~~ ~11'11=~:~~~)I= 4,.~~2P _ d,~~OP r:O.~ 12;1. SOBRE EL SISTEMA SABICO DEL ;,\lETODO DE FUER-ZAS. Si las oper.aciolles ~e efecta.n con exact~Id, para el dlcul(opuede ser adolt.ado cualquier sisteron h~!

Fil!" 207

IH~ ('c'l(teiunes s~ JelerJJlilw por el nlmero de inc6grlilllS y por elhecho de i

8usULIlyenl.es debida.s a ,In carga se delnminan con mas fncilidllU.En l. segunda variante, el diagrllma de los 1lI0melltos 11(l(lorbrlebidos a 111 earga. ~l el prlieo, to.lislira 8610 ('lO un IraniO. y M!r'"Iple, mientras Qlll' en l. lrimera ,arianle. en d

, ,

Lll construccin del dillgnma de N por el de, (J. !>e b~ en elreeorle de Jo~ nudos dol sisl611\i1 y el exomon del equilibrio do l~I05.Al Iludo rccorlndo es IJt'C~l>rio nplicarle, por SU" dircccion~ positi-"Il!. Ins fucrws "C6gldtas longiludillllle, N y tnlll5verSllll!ll Q sinhdiear Su.! valores Il"m':rros (de lid modo. que Ins fnenas lrans-versllles Q giren al mIdo en sentido de In llg-uj/lS del J'ltloj). eDillos indicto..!! qU iTHlicilll \...., bOrTal! sobro lAs cUIdes esllll! fucr7.a:lIlCIllIll. A cOlltirlU{lcin. de las cClIllcionoll de equilibrio, 011 formade In !oj.UUln de proyecciOlll"S

coo al reeorl.fl de los nudos d o r y, despu\s paMlr al nudo ti. o al 1;.Con los procedimiffitos 11l1ual('S. por hl fllena N 4 hlllllldll enel nudo d. se dlllcrmin /V. 4 Despu._ de e1!to. dl!\ recorte .Iel mutoa:, pUedtil !er holladll.' 111, lueru..i lont:itudillRI~ N Y N ft elc.

1.::8. ECUACIONES CANONICAS. PARA EL CALCULO DELA ACClON DE: LA Tl~l\1PERA'I'URA y LA DlSLOCAClONDE LOS APOYOS. LUII ClCIIOciol1e.~ cnnl1icas, durante el clculode la Ilcci6n do la lempcrlltlull. Ul.'llCrl el nsp('(:to:

6~,X,+6...xt+ +6h X.. +6k'-O, (14.21)u01ldll A~, ~ el desplll1.llmielll en 1.11 I-,sll.'ma 1Ii.'lieo por la Ilitee-

cin de In incgnita X. rlcbido 10 la lItt.i611 de hl tcm-pt'tolllra.

El dt'llI,lnumiento A so rl('tcrmillll l)(Ir la exp~in (11.38):~,=~SN.AfU,+~SiU.Ad'f'. (11.22)

donde ti d,'1 Y lid 'f'r se hllllAIl por las fnn"IMI (11.:!.O) y (11.2t).Pllra los sililcrn;l~ comp\le.'~lns de l,nrm,. teClll~. ~ielldo ,"nslOllle

lo I.ernpcrltlllra It lo lurgo dc la borra. II!. ',rlnllla (14.22) plll.'de !'erpl"CSt'ntado (>11 11\ f....rmll. siguienlC':

Af., ..... }; ~ (I,~+I;"Hl~.+:'IJ "~'I Q)l~. (1tl..22')dondeON. Y Q.ii. !-On las Nlflpoc:livlI.'; rt'a.

Esle de.~plazllmienlo puede ser determinado o sobre la base decollsid('rac.ioJle~ puromcnte geomlric:ls o por la frllmll\

(14.25)

donote R~ son las reaccioncs de los apoyos. on el ~;slema bsipo,debidas a X ~ = l. Y 11/n. Jos desplozllmient08 de loslIpO~'OS, por sus diMeeiOlles. en el sisteffill liado.

Pllm pOllcr en claro el empleo de la lrmulll. de los llllSplaZlImien-tos debidos a la dislocacin de los apoyos. ('xllmin6lllOS una vign

Plg.269

de dos trnmOll. en la qll(' el llPOYO hquieroo ':le despi1l1. hacia nbojoen HU '"alor j, (lig. 268).

El sistema bsico se. ol)(jeno por primera vez seccionMHio eJ vill-cuIn de Ilpoyo izquierdo (fig. 26$1. b).

La." reacciones debidas 11 la fUolrza Xl =- 1 ~e mnCSlran en lofigmt. Por la frlJlulu (11.25)

Pef() si elislama blsico se elige secciollllndo el v[nclllo ,le IIPOYOllel medio (Hg. 269. r). entonces. 111... = - +ti. = - ~ .

El dillgrllml\ de los momentos (lectores debldo~ n la rlislocaeinde los apoyos se determina por la expresin

(t4.2li)Por CU;lnlo 6~, y 11~ ... no dependen de la rigidez del sistemll y los

coeficientes de 1M ecuaciones cannicas 6~", son inver.lamenta pro-porcionales a las rigideces, entonces, las incgnita! bsicas XI' Xz, .. ,... , Xn, debidas a la accin de la temperaturs y a la dislocacintle los apoyos, llumenUtn con el crecimienl.o de la rigidez del si!tllmll.3-11~o 33

( lO

~ 27. DESPLAZAMIENTOS EN LO~ SISTEMAl:i HIPEnES'f'A-1'ICOS1. DEsrLAZ.\MIENTOS VEnlDQS A L,\ CAItGA

A.I deducir la frmula ::~nerl\1 110 lo.., uesplnamient.os, [uo utl-Ihado el estado auxiliar del mUl.DJO S,Sl.C1U8, call la fuer~ p .. = 1por la direccin del desplnuunumto buscado. independienlenU'nlllde e6mo e:! el propio sistema. Por coll",ig"ient(!, tal estadll aUXiliarpuede ser empleado par. Jos l!i~teOln.i hipe~llieos. y el de...plo-umienlo .!le puede hallar por In frmula

'" - M,. d-,{.J .1Ia ET S.No obstante, Mto no O::l comodl), pucsto l/lit.. el si'temn lupeTes-

tRlico; (Hg. 270) se tendra que col(;uiar dos voces; bajo la CIH'Il,

FIll:.21(1

'!

~..,

b)

para In ooll.slruccin del diagramn de .lJ.e.. y bajo 111 fuerza p .. = t.pll.lll la construccin del dlngnlmn tlo ,Ifa.

Estn lncl)lJvcniencill puede ser eliminada ~bfe la ba.~c do lo~si.llulenles razonamientos siml,Jes; llls deformaciones dol sist('loahiporostli.Lico lindo, no varien cou la carga, si lo transformamos onun si~temll eualqulera estnticamente dotl.'rminndo, aplicnndolo lasreacciones de los vnculos oxcluidos, En este cago, lenemo.! In po-sibilidad de determinar los de!plaumientos en este sisternll est..ticomonte deterlllinado nuevo obtenido del dado. Esto si2nlficaque el estado auxiliar con la fuen.a p. = t no estar en el sistemadado, sino, en el llistema estticamente determinado, par:l el qUIllas expresiones y el diAg1'ama de los momentos M: se hallan 31m-

Para abn!".ar I~ e~po:olei6n. """ lim,l.iln'"," un .:.10 ....'".n.l.. enla. r6rmul. de ~ d~JlI"tamit'nto!!.34

plemente (fig. 270, e, d). El desplal'.:Imiento buscado es igual a:'" l-' M/,

cstll expresin scr~:~',r= (JT p)' (M _) = (itl r)' (1Il11 ""

AI y l!>.. lo~ desplo:w.miento5 debidos 11, la [lccin de latemperatura y 11 les di~loC8cio\es de los apoyosen t'l si~temo estticllmento determillodo, al cuolClStn aplicada 111 flleua p~ = 1,

El de:~pltl;zamient/} MI se determina por la frmula (14.22) y,d .:

(14.31)

lleva el nOlubre de pt),. trntM. El defeclo tle tal verHicaci6n C011SllItOen que se baS:l. lambin, en h~ mi;:mas upcro.cione., que In oblell-cin de (os eoe(icienles y los miembros libres. que su compruebtln(OlulLiplicacill de diogr30lali), lo (:ual .!!iglUfic3 qlHl el alTor puooecometene lalDbi~". ('lO la prop,a venfit"acin. Por e5(J, en caso dedesil'unldad (!f' (14.30). se d~ooocc donde fUe cometido el error,en 1001 ciltulos anteriortlll o en In \orificacin. Por fin. l!i fot>flt CJlu,-blocido qlle el enor fue cometido en los clculos de ~.... de lodo!'modos. 5& ignora en ruil de ellos.

Pero si mulllpliealnOS el diagrama cspeeinl de (M s), llama/lodiDcrDm4 wdlarJ wwl. compuesto 11610 de dia{ramas uni!.ltrios.por si misrtlo, entonces. tendrcmos quc>

6$$ .... (ji s), (.Ms) - [(:il l)+ (JI t)+ ... + (.tfn) XX l(.lfJ}+O~)+ ... +(J"n)l

A 1Jrcviando (os pIl.I'Jlt~is, ootl'neIDo.'l6S8 - (Al s)(.lfJI) = ~ 6~ ... - : 6~h + ~ 6~,",

... '.3...... .""...

...-I.~ ......

El rl\:iuha'lo de la ,nnltill!leneilI del diarama unitario totolpor $1 lnl.!lmo. cs igUl,1 ~ la !luma de loJo-. 10:1 coof,ciellte:s de lu cellll-eiollei!l tllnjJica!l" o.10 otra manera. iglllll a 111 .tiuma de 10.. en I,,~ exprcsione." (1

completnentariamente, los productos de 105 dillgr:una,o. de s' N~,N~, Qs. QA y 01>, ""logos a lo~ de los dingrolnlls.de M (Jo M ~ Y il'f1,.contenidos en estas frmnllls. o lIo ...ar 111. dCII;IO~lr8c{jll, en la forma

gener~l. con el empico de 105 slmbolos (L s), (LA) y (L;,). en corres-pOlldeneitl eOIl 1lI frmula (11.41).

VuifictU:i6n al fl/'al del clcuW. m diagrarhtl de los momentosflectores sor obtenido CO/lIO reslIltado del cleulo. por la expresin14.18)

(M,,) = (ji ,) X, +(.)1.) X:+ ... + (11[~) X~ -1- (M'.),Si el clculo f\le ...rcduado teniendo en cuellta nicamente la

influencia de Jos momentos UecLores sobre los despluamientos.entonces. es nec.e.sario verjfic:\t el diagramll obtenhlo, antes de cons-truir c.on su ayuda III diagrama de las [uarzas traollvers:lcs. Mul-tipliquemtlS este dillgmffin por un diagramll uoitario cualquiera.el de eU,,), uebi,to n K" = t:

(Mp ) (MA) = (.tI ,) X, +(.Y.) X:+ ... + (A'n)XII + (lI',/>)I.(N,,).Abrwndo los Jar~ntesis. oblendremo!l que

(Mp)(lIh) = b~IX,+ 8X,+ ... +6~nXn+ ~hP'I.ll,lmos oLteni

lotal, es 11\ !luma de lo! prim['ro!l miembros de lIS oeU\l.CiOII['1I can6-Dicll5 "'irl I~ miembros Ilbr~. De esto :.ce desprende que, t:omo n'"sultado dllla mulUplkacin d~ 101 diagrama, tk ioI mOf1UlIlQ6 /Itor~$,

obtmld~ d..L ckuw d..l .hUmo. a la acctn de la t~mpuatura o a ladid(H'a('in tk kn IlPO/lQ6. por t'l dlgrama unilarlo de kn mnn,..nlIA/kcJoru iUhido a X~ _ 1, 1. SiSTEMA BASlCO lIlPEIIESTATICOEl sistema blSico en el mtodo de fuenns. como ya fue dicho,

no dobor SIlr Indispensablemente est/iticomenlll determinado. pt:ro si,poseer menor grado de indelorlllinllcin esttica que el sistemn dado.

El flislema esLtlcamente determinado, frecuentemente se em-plan porque, en muchos ClUlOS, el ~il!tema bllslco, elegido con !tcjerto.es c6nlodo pora lo construccin de los diagramas unitarios y deCargll, necesarios para el clculo.

No ob!\lante, el sistema hi~~ttico p05lle SIlS ventajas. porcuanto exige la composicin y resolucin de lIIellor canlidad de eculI-cionos cannicn que el sistema bllico e:'!titicamente delerminado,lo cual. p.fa el clculo a mano y con poo:l mecaniucin, esde mll['haimponancia. Mi, por ejemple. en el clculo de un prtico (fJg. 272. a).el emploo del sistema bisico estticamenle detuminado Hig. 272, b)d. cinco incgnitll.l bUJc... y, el empleo del sistema bisit:o biperes-ttico (fig. 2;2, ,,), solamente dos.

'0

Pero el sistcm.a bsico billere5t~icoel:ige su estudio pre"io, dadoquo en l, los diagramas indjspell.~ableil para el clculo no puedenser construidos con medios simples. No obstantti, de todos modos,..~ indud/lble qUtl si se eHudia previlHnente, por lo menos una veloan la forma general, bajo diferontes fuerzas, algunos sistemas hipar-estticos que. (rccul'ntemt'nte, entran en los sistemas dados, como.por ejllmplo, los prticos de la ligo 273, entonces, 6Slo.~ podrn serinduidos con xito ell el sistema bsico pora simplifiCllr el clculo.

FIl!'. 272

Fil!'. 273 nn

Por eso, si del sistcml1 dado puedt' ser formado t,,1 !'i;lemn bsichipcrestUco. el CU/ll. o fno Ilf(willllente estudiado o los resultudnsde su!' clculos .~(' dlln 01> Io.~ manuales. por Ins intliclIcione... dlJ lo.~cuales pueden ~I.'r fcilmente conl'lruidO$ en l loe dillgrllml1~ !lutarios y de carga. entonces, tal sistema bbicoes COll\"I!U iel' te em plear-lo, con el fin de ~implifiCIH tll Cllculo del ~iBtemll dudo.2. DIAGRAMAS UNTJ'ARIOS CONVENCIONALES

Fueron Ilamarlo~ unitarios los diagra1l1as dehid"s 11 X h = 1.Supongamos. ahora, qllfl cllda fuerto X A se mido COJl otrll Illlidlld,especialmente ele::-dll, igual a A~, de lit.!' unidades ulItl'riores co-rrientes. Todos los ra'to,,mle_l)\.o~ ""xpueslos Imtcriormell\.e ~o COfl-serV/m por completo. La furmi1 d(' IlIs t'clli1ciol1es ciwnicng (14.6)tampoco varia, pero, ('11 {l1a~. 105 cooliClcntcs a,lqllerl'll otros ,">110-res. Ahoro, 10ll {tiagnlllllls tunitarios. ,t{'bClI ser construirlus purX. = A~ Y 11I~ propiros incgui!as b,bicl1s X ~ fl.'prcscnlan rUen

('?n~truir los tlingr(lm~s unital'ios, no l).

IIll.maremog unitarios a 1l1l0S )' olros. Del misDlo modo, no haremosdif(,Nlucia entre las incgnitas bilsicas X/o e Y/t. y, n todas ellas,las designaremos, idpnlicamento, por X h _ A todo9 los caeficiel1tesy miembros Hl.lre~ de Ins ccuacjrmes Clln6nicMl los designnremos por6/0'" y lJ.IIP ' sin rasgo.

,)

,

IIII 11..

J

ea\eulamo! l(l!l tlirmln,,! do cntla:-216-iq

"'l,,-IM',). (,lI')-3" 8.8q3 ZIT-W;- 2 I 1!l2-

...",='M1)(.lr~)"'38&1fl2EJ~ c'J .LII,S ceuaeion"'" cannica! ron lo. eoof1clcntos numrlcos son:

1 41l4X1-288X3 64'1=0,_2MX, 1 864X:+192q ... O.

Do aqu! obllm~m", '100' X, __ O.09353- y X. __ O,2S:Mq.En la hg. 275,g "" mI1O'~~raO los diag....mu oorrcgld(l~ Y. en lo 275, 11,

La mllgnitud r ~ el t.!el'pl.aalllien1o por la direccin tle lafllena X_o d"bido 11 la eargo. y por 1" oJirt!Ccin de [as im:gnilflllb5lCIl!! X, . .. X... debido a las fnenA! dada!! arbitrll.rlltnenle.

Hablando en gt:'leral, las fUerza!! dadall X~ . .. _, X~. 11l.1l'den:rer arloararias. pero sus Vy'or~ tlel.oe.. ele:i~ de tll.l modo quesimplifiquen el dilculo. SI los vaJores de Xl, . _. X:.. !!e eh~nceruno:J a lO!' ".lorC:! esporados de X" .. XII' I'Jltom:es. losincremente,s X,. ~\X: ... ..\XII sern magnitud!!!! p6llu('i'ia&

FlII. VG

que puedclI ~cr colcull\da~ por II\~ ecuAciones{J1i.iI(ll. cnn 1In;1 exoclituil m(',.,or dc III I{U'"exigirln dllrll.n\.c el clculo de In!! illcguilll."lolales X, . .. _. X". 1~1J eslo cOI.sil.e ItllAde la" ,.iOtplilicncitlnc." del c:lIIclIlo.

IncluoO. n ,-eel'l'l. los dilll:ramAs dp cargadebidos ti la.'! carga!< y n la!! fUN"'" Xj.... ... X:. que se le incorpnrllroll. puooeu M'rms simple'! que los dll!bidos .solAmente 11. lacarga. Por ojemplo. en ID ligo 2m. el diagro_tlU de corg~. COII la fnllr'lB Xr _ ~l ..grt'gndllA lA corya. ('S IIIHfI lI-inlple qlLc ~irL elln

tll posibilidad de jncorll'OrAr f"ena, n la..... ra pOr la dir(:C(;in de la!' IncgnilAs X" .. _. X.. !le desprtlnde.ademb. de los siguientes razonamientos. En el silltcrna bsiC(J. I~'Ilenas X .. . _. X. y la CArga, SOIl fuen'''I exlernas.A ellllll.!!icmpre!'e In... puede reprl\.~entllr~n formo de dos componentes,llls X~ . _ .. ~. conoeldllll. y 111'" i"cllniLlls cofttplementltrllUIX,. _... 6X. Las hIena!

fll_ 271

modo invariante, aunque >;I!a con lre.~ barras, que no se corten enun mislllo punto (fi:. 277, b). El sjstema bsico S6 obtiene soocio-n~lIdo, Il conlinU8CiII, h'll ttl~ borras que UIl('1I In5 consolas rigidas.(lig. 27. e).

Tambin se pu('de prIXcder de otra mollera, o sea: eJiminnr elapoyo i~quierdo y unir nI exlrcmQ i:;quiertlo. una collsola rlgida.el exlremo de la ..unl S

CII di.~Ultla.c v.:lria"l~, 8nloncl's, l'5 IIcc('s.nrio emplear ~ta pMl1.ll-Iirh"t I'rora eliminar los de."pl:'l'I:amipnlos !l\ICundari05. a fin tic SIIU-plifll'f\r el ciilc"lo.

C'.lmu) hllPer ('>,10, se e3:pollc S\brl." el ejeml,lo uc n" prliru onfnrrna de U. con el que nos t'ncunlralll"" frC(nenlemenlo en 111 rric-lic.. (tI!:. 2j8, 11). 1::.. III rig. 271:1. b r "

Mo..tremos como 11I.ccr esto. Eseribimos la exprt'!siu de 10$momentos nectore!l unitarios t'n f'l sistema bsico (fIg. 280. e),

M._ - t.v:Al principio hacem

~'il. 281

EscrillilllO-S llI'lll coodici ;ill tener NI cucnta las fucna" IOllgi-tudin.les tr&JlsvCl"lUlles

6n=,~ 1.Ut ~; tU ..~ 1-yzdu_O.De ella re3ull. qU6. si en 11' 6xprl.'5in 61% = O I

cr. es el ongulo de giro de los l)jcs llrineipales:~ y '1 tlOlI IItJ> c'lQrdeuodos de lal! cnrg8~ e1stico~;

JI' J, Y I VI los mOmellL().'I de inercia de las car.gos elslicllS conrespecto (l los cjt'S ~ y 'l'

&'1 .ecesorlo sealar que la delorrnJnll.dn del centro al1sUeo110 presenta dHieulLodes. Es muello ms difcil deltrmiDut 1113 di-re de Inereh. principales, !lino, que debe'llos limilllmos altraslado de la!! lutuas al Ulitl'O elbtico.

Indudablelf,ente. el! Il~rio utilizar la propiedad de 106 ejesprinl;:illale.~ de inoreilll "'11 los :l.i:stemn lJimlril;:lr.l. donde ID. pOllicinde los ejes principales e5 conocida. por cuanto uno de ellos eoincidel;:on el eje de simNria. En C':5le c.!!O, teniendo en cuenta N y Q, eldcsplllZDmiellto ti.: ser gll:..1 11 cero.

LII elhninacin del d(lpluamil'll10 uCl\JIdario 6u 1ombi';"e!I posible cambillndo la (]ircn:ilI de UIIIl rola illc6gnitll. pero 110 esmenos coml,lkndo que I'or ",{'(he del giro de los eje!;.

El'f",!>l ... 31. r.oOSI",;r l'1 diagrama Je 1"" .n"mntos llC'Clorf'll (flll:. Un.E rl'nlro ulli.tieo. 1'Or la C

En l. n 231.!J,~. d, t, f. I!

(.)

Al eOnlliderllr los deformaciones debidas ti los momonlos fleetoresy lu fuorUJI longitudinales transversales, los coeficientes de lasecuaciones c8nnicas 6" ... y los miembros libres A.,. pueden serpresenl,d05 Gil!:

, ( L. J a El.)u.,= EJ, a....+""'''' J';+e.... CF, :

'( B J, ,. EJ,)UfoP=-e; A,s'+ al' Po +....."CF; .donde a.",. b.... 0:..... A. p 8,po Y Cl" son nmeros independient.e:sde liUI dimensiones de las secciollE.'S; a.... y A. p slo dependen deJos coeficientes k, bit .. Y B,po de m/: eh. Y CAP' do 10'-1 y m,.

CoJOClndo estu up~iones en la k-lslmll eeu

vi;a sobre los UOJI npoyos 6xlreml>:!. pam lo ellal. seceionamos 103pOrOS eUsticos del ~istomn dado (fig. 282, b). Componemos 1;1 t!x-

pr~i6n de la l'nefga potencial U do la deformncin d...1 sistema.Ello ('$ fllllcin de I, eargo l' y las incOgni\Il!i lli.olicllS X" .. "' X~.eslo ('.!-.

U=-f(X h Xt. "". X f.Compoll~mos las deriYadu pll1'Cialas l.

Las eeu:lciones (tijA!)) tloLer,"il1:m hUi eonliciOlll)S tic mux.imOo mnimu de la cncrghl potc.'Ilcial U como flllldn de mnchulI nl,-riablll9 XI>. .. Xn

Dado que al aumelltnr i1imitadamenle lllli incgnitas X~ la cnar-gia polancial llumentn, no puede haber mLl.ximu. Esto Significa,que las incgnitas Xl, ' .. , Xn arlquil!ren ttlle! valore!', porn loscualos la energa poLellCial de 11\ ddorml.lcin del ~Istema es mnimo.,Por cuanto la energa relaMial de la deformacin C9 isuAI al tra-bajo de las [ueuas oxlerna5. enloncM, c5las ltimas. deformandoAl llistema. tambin realhal\ u.\ ltabaJo mlnlmo. En esto preciSA-mente roside al principio dd trabajo minimo.

I La condiCin de mnimo de la energa Iotencial de la rleforma-cin tambin se puede ~tDblecer Oltllclf\I.LiCllOcDte. Compongamoslas segulldas derivadu pareil.ll'S de la ancrgia potencial de dorol'-mac(n con roll.cin 11 las incgnitM X ' . '. Xn:

/1'0 ,l.1",7,if--n;-=6u>O, (fIAO)

Esla e~, preci~aUll:lIle. la condici6n tle lIIinilno de la funci6n.Prose:-uimoa con nuestros ruollomieJll05. Oe 111 ecuacin (14.40)

obtentlmo! 01 valor de 18.':1 incgnitas bl'icas Xl... , Xn Supon-gamos que todas ellas !IOn diferentes de cero. SI bacemos, ahora,X. _ O. entonC!. descubrimos que lb condiciones (14.39) no .!lerncumplidas y que no bay lIn mfnin.o de llIllU"ga potencial. Si X.. _... O. el nuevo valor de la encrga potencial ser lJl8)'Or que el ante-rior.

f'il~J'1'-r--l-"-1----:l\A

EuminelllOS ahora el llueVO sistema sin el vinculo l'I (fig. 283),con la IlJleria potencial de deformnei6n UI ~ fa (X" Xl' .... . . X~_" P).

Las nueVa~ condlcinn~ pat'tl el mlnimo son:iJUl O 'UI OdX""I- , ~- .

De estas COlldiciolleos h"lI11rOmOll los nllevo.~ "alores ue X" .... . ., X~_l que dQlllCminall el llliuilllO do la energa potencinl U"UlnparA 01 ~jnoma con (n - I) incglllLl\S. Si n eSle slslemn le agregamos lit (uena X,. = O, entOl\ce~, 1/\ magnitud de la ('nerga poleu-eiul U I no vllrll. P('ro lJll.eriormenlO,llllrll el S~lQmfl con 11 hl('.6~"lIi1llS fue hollado que, cuando X" = O. In nlaguilnd de la encrgU1polenchtl. elelldo IIl~ {u('r'1.a> l'e~tolJte.\l X..... , X n _ 1 diferentes d

Pii. 2&4

Para concluir, exominemOll la gr3Cica de 111 variacin de In enOr'-gla poteucial de deformacin de la vigll en funcin de la variacin

Q,jl~'IlIl[~EJU

del 1ll01O~tO.1i (lig. 284). El mn!mode la energa polellcial ser cuando M =- r;.. Esto se dcspl1lnde de la ecuacin

U I (q'I~+ ql~ -' M'I)= 7!T 2(rj """14 -]--r .

,a I (ql~ uil)dodollde-.--- -+--,r- ... 0.

desplazamiento del estado Ru:.:i1illr. EsWl foruHI de escribir las ecua-ciones can6nicas no tiene ven lajas partieulal't)S. E.~ c6moda Slllll-mente durante el clculo de los l'istcmas a 1

(llo.4ti)

(H.4S)

Loa eooficielll.cs de lo das!'! PI~ llevan el nombm do codicienle3(1 nrlll'toll de influencia del mip.lllb1'o lilJrt' 64.. -1 llObre el vlllor00 la inoogllilll Xl'

Escribimos (14.13) en la formll. mllotri:l 00 13 siguiente Illanra:...~ = lJn,.

\~"',, ...~.....~,. ~

donde n-II~,.ll- P.IP.. PsaP1P~,P~.. :P~a. ," i~

es la matriz do los coolki('lllf'll de inl\ut'llrla.Moslremoo que Jos coeficienles de mlhlencia JIu puedon consi

derarse como rea.ceiollc~ de IOj vnculos i, d('hiul\!1 a Jos despioZlllllien-tos unitarios do [os \'neu(o~ /:, en 01 sislema Ihtdo. Paro ello, al sis-tomo dado le inlprimirn().~ un rlespLnarniCI110 i{l'llOI 11 la unidad, porIn direccilI oJel vnculo" E, obtenemos queR= _V-l. (14.46)

Por consiguiente, In delerminaci

El producto de la lnea do la matriz IIllj~11 por le. columna (o lI-nea) del mismo nombre de la nJlllriz 11 ll 11 &S igual a la unidad nega-tiva y, su producto por cualquier columna (o llt\ln) dl.' nombre dis-t.into, es igual n cero. A', por ejemplo, mulli:licamlo la mab'izJIBIA 11 por la k-tsima columna do la matriz IIlSfA 11, obtOlHlmos:

c'lll~'~ + &Utl2!1 + + 1lJ!",,- + +lllnPn~+ 0= O,tI!S,'" + 0IJl2" + + th~H + +(j."~"~+0 = O;

(14.47)

La flres

La frmula para ~ ... se obtiene de la expresin (1.4.48), haciendoen ella dA" = t, todos Jos restantes d,p = O.

6,,6,~ O 6,.1).. l)n O ... 6."

;f)=(_l)(I+"'\tJl)~"'. (14.1,9)

6",6. 2 O 6""El tletcrrninllnto D,,,, se oblicue tlcl determinante b~ico D,exeluY~l\do In j-t.~imll lnea y la k-sima columna o la k-simll Jnelly In l-Mima columna.

El prOCl'dimienlo de los determinantes posee los siguientes dc-fecto~:

1) lo~ detl'rminalltes se calculan de IlUlllerll s;mple slo hDSlll eltercor ordcn. esto es, cuando el nmero de incgnitas no el! mayurde tres:

2) 01 resu\t(l(]l en el nllmtlrlldor y Muomin&dor de (14.48)y (14.49) so oblienf', IrecuclIlclrIClIlc. como la diferencia de n lmerosgrandel! prximos, lo cual requiere clc.uJos e.~actos. de lo contrll-rlo. en el resultlldll habr un error gr1ll\de.

El procedimIento merece alencioll cUlIndo el nmero de incgni-tas es peqllel1o.

Efmplo n. ReSolver un ..u,ma de ,"",u3riun," lll"ras pnr uuJJo de l~dolcrmin~"t

La ftlilieacl6n de los Oileliei9nt.< obl..nidos SIl .fed'" por 1, f6mula(101..01.7) plIn .1:_1, 2, 3, I.'!Ilpleelldo l. 11_ 'lIbnyada:

4 (-~) +1-2) (-T)+2.j+I_O;-2 (-})+. (-})+2} .'_0,

2f-l 2'{",..4 (-{) r- 1_ O.

3. RESOLUCION DE LAS ECUACIO~ES y CALCULO DE LOSCOEFICIENTES DE INFLUENCIA. 1'01\ El. PROCEDIMIENTO DEGAUSS

El procedimiento de Gau."!I el el Uletodo de la e::Eohl,si6n sucesivade las inc:6gniUo,s t'n un ordl:D determinado, lo que permit.e cumplirle Yt'rificaci6n de control durante el proceso de resolucin.

Al principio. de la primera t'Cuacin delllistema dado X, se expre-NI por medio dt' toda.s IlllI demas intnitu X!,. .. X" Y se coloeaen lIS ecullcioJl{'s restantes. Luego. do la primera ecuacin del nllevosilllelllll, X, se exprcsn por medio de 1"", resl.

(l~.51)

X I.... O:It>i'-l- O:I~X,+ o:lOX,+... +o:,"X~ -~ ,Oo,tIonde a.... - _~l) ;61:;-'1.siendo m_(k+l). (k+2), .. ,n.

.l..a obtcncin de I~ ecuaciODe" con Jlllltrl~ tri3llguIar tic los coe-IicicDtts!e 11arn. cielo directo y. 11 ID reIOOlucin de e.'llas eeuacionC!,ciclo ill'erso.

Las ecuaciones (14.50) pucdeu ser oblenidas. asi como lIS ecUa-ciones cannicas, para diferentes sistema! bbico.s.

Enmmt'w05 UII sisle.ma hipel1'Slllco y el sistcl"l bsico. pnr.{'Ste (fiJ:'. 286. 1). Compong.mos pnra l 111 primera ecu:lcin can-nic. del Upo de la KUQciJI (1) en (1/j.5O).

Ahora, illlrotlucimos 1m vf"culo por 111 dlreceiu do XI y lomamosel Id!le.... monobiperest.alico oblenhlo como bli!c

a) a'i

PIll:.286

r'1 (o,) L"

" " '.

b) 1"a

fi

'.(0:-)~

~ ~.,a

c'

"x ,

d)(;~)) (;~J)

,, Z'~lJcrlJd"

~lf z""'ClZ3

(iI:HM;' r:(M,)Z

X-'

Examinemos I'~le Sf'gullIlo procedimiento. que al mismo lIempo1100 brindot6, informes comphmenLnriOA. Nos damos la taren de deler-millllr los coeficientes de la ecuacin (2(1)), esto elI, los coencien~e!'ldel lipo IW:' Por el tenrCll,a do lo reciprocidad 6~~ - W, donde 6'!4es el desplullmicnto un!trio por la direccin de ennlquier fuena k,debido a la (ueno X t y cvrrospondient.e 11 la nnidlld de esLn flltr:t8.Por cOIl!iftlienle, In rorgn, Sl)bre el sistema bAsiro serA la fuerzaXz = I (fig. 2&3. d) que da el diagrama do Ji~". '~sLo sistem", es

G:{

monobiporestlitico. Atloptamos para el, en calidad de bAsieo, elsistema isostatieo iniciul (fig. 286, d). La ecuacilI can6nicll ser

6JIZI+61~=O, dc donde Z= -~=a".0"Por consiguiente. Ctu es la roaccin del vnculo int.roducido en el

sistemA monohiperestltico bsico dehida a X 2 = 1.Una interpretacin mH\logll como reacciones debjda~ a las fuer-

7.lIS X~ "" 1, reclbflll. tnmbin, lo!' restantes coeficientes del tipol.' Despus do esto. podemos decir, que el diagr(lma de "'(~1) 6l:ltarcompuesto de dos dingramns

(M:") = (,1[,) + 0.'0 .111,). (t4.52)Para IR do1errnill8cill dol desplazamiento 6i.~', al sistema isosltico

bsico .se le nlllica In fUI.'f7.8 lluxilillf X. = 1 (lig, 286, eJ, lo quodetermina al diagrama dE' lf._ Ahora hnllomos 6.'.'

61',' = 6~' =' (-'l.).[ (llet ) +a,t' (M 1)] ...... 6~~+ al,61~' (a)La expresin obt.enida muestra qUl' la ocuncin (2"') puede :;cr

obt$ttico.

Al obtener la fuerzn Z2' a 11l que ahoro con,~iderClrcmos como car-ga. pasamos al sistema b

Pnr:a la doterminaciu de 6';.', nplirando la fuc!':llt X~ = Inl sistemaioosll.co, formamos un l'sLado au:cillD.r, (fii' 28G. e). El despllUll-mi

"~ l' I ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ,~. , ....--,: .1 ,

,

p , .,

, ,..1

ecuacin (3,1,), los cocficlcnl6ll de XI y Xl llOO iguales a tero, e.n suscolumna! ponemos punto!'. Sumando 11I8.1I00ll8 7, 8 Y 9 en In tOobtenCOl(),!l los coefieientts de la ocuacin (3,1')~ Lut'go. efectuamoeel control de la suma de los ~ por la lnea tO y po~ lIS 7,8 'J 9 de l.columna '1_ En la Hnra 11 (!i uisle) c:leulamos los coeficienty0:"". cte.

A.!! ;e componltni ('1 lIistema de ecu.done (t"-.50) ~, dicho deolr. mAJ)('ra, se cumplir el cielo dirf'Cto de lo reoluci60 (desde"riba hacia Ilhajo). El tikulo de las illcgnitu lo efectuamOll CUUI-pliendo la marellll inverM tde obajo hacia arriba), por 188 6:JpreaJo--n{oS (14.51).

Si el sistema dado !oe vuelve I calculnr bajo olra carga, enlonces,In porle bsica de los c!llclll~ dol ciclo directo 8e ('onselVI, pero, eaJIl! columnas 6p Y .s. habrn aIras nmcr05.

Sefinlomos en C,OlJclullin que, 1.'1 sisteDlll~(S'A2) contiene ecuacio-nes in

~,. llO 1.. __1.......eDUaC,o_HU) (11.'11

X,_ ,,,Xl~- ......

.'1: 1"'" ., a/'j""'"".JA +.. +(01.11...XIoI =- 1\.11' ,... tE I,II ,>'\ +""'h.,llo.'J'. ~ .. , I ahl' ---;-r-TX,_ ,.. '..x-..= Il.~ ..\....

X~_ ,..

Ix' la lnbln 4 vhll'llOmos 1;15 r6rmllla~ pllrn 105 WCllici~!lt(',~ duillrJucncill ,

Pu= - .. 0_11 +tl.,u I~('HI'+... +a.."~" ." 111111_

tfrml""len ~Il' ~!'(I a." =(1.

(l

~I""-,

,"l-I-j

,joj'i

. ,-".---;--,-,--,--,--.---;--,--,--~

I ,

!-1-

"'"'j"

N I N-

"

1+ I + 1g ,

'i +I;~+

" .NI

; ;

~

-1--- -,--f--I----1-~------~

Por lu frmulas (14.59) y (U.IIO) baHamos loa COlIIi"illllte!l de loJl\llilod_.prilllen. operacin: para 1.16rll1ul. (14.59) k_3, pus b (14.lIO] ...3. 1_2,1;

, , ,ji:q--'i'- -'--"6;

. ..

3 ( ') ,~ ...~--~ -& .... "2";, , '( ') .~-OIuf':I+a:I~:Q=>'Z'2--r -ij --y:

OCtIDda 0""";6D: para l. tl1llula (14..5-9) 4=2, ".t.I.(14.60) 1

Pl\ra determinar el valor de la inegJlita X~ en la primera apro-l:imaei6n, los valores do lllll incgnitlls Xt+l. X{+z. ., X~ en la;,proximaci6n inicial pueden ser dados arbitrariamente, por ejemplo,iguales a cero.

En/i. demostrado que paffl las ecuaciones del tipO de las ecuacio-nes callnkas del mtodo de fuerzas (y del de desptazaminlltOll,vase el captudo 18), el proceso de aproximacin expuesto, siempreel; eoincidente.

Los valores de las incgnitas por aproxhnaciones, al principioJel proceso no es indigpensahle determinarlos con exnctitud, pudin-dose efectuar el clclllo con la regla de clculo. Solamento al f10aJ!lEl debe pnsnr a UD clilculo ms preciso. Es interesante seiialar que,en IUl proceso coincidente, el efror cometido en 10.'1 elilculos desapa-rece graduslmente y no se refleja en el resultado definitivo, pero,debido al error, el proceso de las aproximaciones se alarga UD poco,

Ejemplo 84, Rosolver Mte 5bt~U11 de (lCUlelODll8 por el ID~todo de In~p",,:dlllaeiolles sucesiVa!:

8X,_ X,+XJ -J8"",O;- x, +'.X.+ XI-10""et.

X, .-X.+8X.-36_0.Por (\1 esquema (U.~I);

x ; =..!! I ~X(I-tt_~ ,11_\,.18S~ S03'I 10 1 , 1 ,,\1-1)

.':2--""'4 +"4XI-7, " ;

...1 ::IU I X' I ,01o'J=T-lf '-11":''

LAs ~a.lol'1.'s do lu i"c6:,,tn,~, en 1.. primero al\'O:Jimnci

i . 17'~-'JVt.'()(,'~ hil~rt'lltljeo~. (O;sto significa que 111 ~ MI'-')~ dspor todo el sISlenl". deber s('r iglllll" cero, lo ,nlmo que I'lllroduelode lo~ do!' tli3J::Tll"'3S ortogonn!("< (iil;-j,). ("'.\"-0, si ('5 que In.1I111!l.lpIiCfltiut dI' ;.tos ~ posible.

t::feet'I'lllllfnll'. 111 fllena X, = l. "Jliead" ..1 sislelnu h.'''I''l'k - t \'ec(lll hipl:'rt'l'l:ilico. !lO originll dl!""pl:mlluicntos por In dirce:cin do la! incllg'li(as CU}'O indico es nelH)r, por cuaotl'l 1111 l:'S!.to ,..i.sh,ma lSC h.u intrnd'

examinodo como di,groma unitario de Jo fuerl.ll glllletaliudll Y. ,.._1. El dc!!plll~mionto renerali:t.ado, COrTC5pOlldlente a y~. !eriun d~lllnllmi{'oto col{'Cljyo compuesto por los dl1SplllZamientos elldireu.in do 1M UlclgnitlUll nnlE'riorel X" Xl' .... X ...

La orlogon.lidad de 105 diagTluna!< [lCrmite escribir la5 :ecuoc.lo-Des (ln6nica5 en la 5i>Jietlle forma:

c5..Y1 -l-.1,p_O;6H1),I + .l~:J -= O;

(14.63}

(14.G.'l)114.&H

LtlS desplllZJlmientos llll' ,W~.... , t'I~~-1l /lon CQntellidos t'n latabla del ciclo directo. plJr la cUlll se cnlculnron los coeficientes 0..Si en osto misma toblo lJ~nllmos tambin ItI colulllno 6/o p , ontoll-ces. oJn ella lendrt'mos 11 t(ldos 1011 miembro.!l Iibre~ 6,p, 6,/,'".... I,\~i>') de III.'J ecullclonc., (14.63).

Adems, por Cllllnto elL el sisteOlfl bslcu ;S05Iti~.o, lo~ t1ll.'lpln-um[enl05 generaliLlH.lOll dl!l lipo 6~~-11 y ll~~;-Ii 500 iguol(',5 a loe dtll-Illuolnieotos simples en el a~lcmll bsico k - t veces hiperf'$t:,iUcoy, los ltimos puedell st'r delermiuod05, en el o;lemll i5l'l/!ttico, lOfmedio ilt'l estado IUllllitlr, entonct'!', podemo.~ CMib'

"_1) l- ;~.-IJ~. - ~ .\I.--eJdt::, .- 1 '(1 l ,,'.-11 "',." "'.P - j JI. n-...t.

Teniendo tU cueula 18 t'\I,~i61l dt 1"" mOIlLC'JlIIIS M~-l). I~,r(14.6~), ,,1I1('0...mos:

(KM'){1~.65'}

L.'1 f('solucin eJe Il\s ('Cu(leion ...~ (14.G3) no flre~lll.H dif;cult/ldclI.Eu ('1 sisLem

Lo !lu!ltiluci6n de lu in~g!lita! X.. ,Xft !imples por la.~Y" .. _, V. nueva!. lo efectuamOJ'! por modio de la! proporeicmcs:

X, ='l"Y +1)11YI + ... +'1JkY' ... +I)CftY.: }

~k .-.~,~~ :.~1~!_~ .: ...~r~~~. +.. ~ ~~~_: (14.(;71Xft =l)ft,Y+ 'l.1YI + . +'ldY. -!- .. + '1 ...Y...

-donde Y I ~n 1:J!l ine6gni~a! nueva! y '1" eler~ coclieientellarbitril-dos. parle de 1011 eUlllOll pueden sor iguales a eero.

Para que cx.i~la In. posibilidad tle tal !lu!lti~ueion.o !lea. para quelllll incgniLas nuc\"a.~ y viejas 1$tlMI reciprlltalllellte dcterminablt'-".

&JFia:. l87

'.

es indisponsable que el de\.ormi-ulole de los eodicien~ '1 00sea ilfUaI a epro, eslo ('S, que

l)" TI...... 1'\, ..

x, 1,

1"'J,--r---,

'J r--.,.---,(I

diagramas colectivo.!I de M: se determinan por Ju uprcsion6!l:(M!)=TJll(MJ+Th(Mtl+ ." +1J~(Ji~):("rr) = 'l1l(.lfJ+'ln(M') + ... +'I~;.(j.);

(14.69)

(.M:) = rh~(H.)+ Th~ (~V'>+ ... + 'l.. '(.!f.).La~ lineas de la malrh de los eDllficionles 'l de las expresiones

(14.69) aon lall columnas de la malriz; de loa werieiente!! TI de 141exptel'iones (t4.67). La COlO posicin de los diagramas coll"ctivo.!l por11Is. expresiones (14.69), puede ser e1eetul1da independientemellte dela.s lC(l.nsformaciones de (1~.67), con 14 condicl6n de que el delermlnante de 10$ coeficiente! (14.69) sea diferente de C6ro.

LO!! dlagrnmos simples de M~ son elgullo!l ea$O~ pnrlie\llar~ detales digramas cole

105 di;',L(rillllal> !!i"'llle:s, 105 co\cclivos. I~n e.~lc cngo, una la:s UlC.:IU~tas simples. todo ('1 oroeu del cilculo se COIl!!(lfVIl, tambin aqu.

Col1 otrnl! palabrall, en el calculo so puedt:o utilhar como diagra-DlIl, ullllDri~ Gtllllll/l8S, por In c:"prc.n (14.G9). los unilario!! coJee-

tho~. compuestus por los uniLllriO!! simples. slo que las illcgni-tn.!l no :teran ya 13.9 USl.lale!l, ,.no !llenMI generlllizada.'1.

Por CUIIIIW la,. ecuoeioaes c~1n6llicM (1'.70) en el caso de ine.:-.. ita, enlcctivl\.!I (de diogr:unM C011'C1i\'os). por 5U forma, no '5Cl dife-rencian de IIL! ('CI1IICiulle3 cllll6nieu corriero IR do coefleillOt.ea '1 qua putdcn 1ft" "i.d.,. arLllr.tnamcnle se dotcnnilla pocol. uP"li6n '" = ..' _ .. f~,- tl= ~ lro:; tI. Elu6mero mlb e6mooo y ~;m.

, -

76

.. , .. _ 11ple e.I el uro. P no. ff ronv(,llIent(' ,,",ur Il>lloa IlNl c~fld,nl .._,u.IO'!! C('Ill. POI" ""lo es impOllibl,. rt,e;IO que o .1 drU'rIDin.."le de (14.681~ I ..ul... O Rduc:ir tero" f .. l 1I dl'5J:,I....mle

mooI ' t ,1 1, l' ~rP-r-'

1, P[,O~ gnlro~ Y o Y3 SOll siUllrico~y. 10ll Yzl' Y I inV(\tMllllClltl'simllrieo~. A 13s magnitudes de las ncgnitas pares Y I ., }',las COllSirll.'rlll'omo.~, liara ellos, romo fuerzas generalizad,,!. 'Losdcsplazulllic/!tos uuitarios ccnoraliMdos 6~m que corresponden 11

Fi.291

estos grupos. eBtarn compuestos de !I'l suma () diferencia de dos de.....plaumientos simples por la direccin de cada grupo de fuerzas.

Escribimosllls ecuaciones C811n;cas para las fuerzas generalizadas.Por cuanto en el sistema dado, los desplaualjentoll simples son igualesa cero, entonces, tambin sern igunle.s 11 cero los desplazamientosgenerIlIi:tlldos. Por eso, las ecuaciones cannicas tienen la forma

78

tl""i3~

usnal:611Y,+ 6,!Y. -+ 6"Y3+1\.,Y~ +~,p = o; }8~Y, +llnY, +623Y.+ I\~Y4+ ~U''''''-O; (,

llJ'Y+ .'i-.l;lY3 +113,Y3 +6J ,Y, +A3P-O;6.,Y,+ 6'2Y:+ 0uY3+ .,Y.+ ti",=> O.

Es silbido qua un grupo dl! fuerzos simtrico ni actuar sobre UIlsistem(\ siwt1lrico uo origJflIl desplatamienlos de simetrla inversay, viceversa. Esto significa que el trabajo de un grupo de fucuas-simetrico (de simctrill inversa) en los desplazamientos debidos a los-grupus de fuerzas de simelrn inversa (simtricos) es igual a cero.Por consiguiente, los desplallllllientos generalizados debidos nigrupo de fUl'rzas simtrico (de simetrfn inversa), (,urrespondienteiJ(1. la fuerza generalt7.otla del grupo de fuet7./l.s do shnelri/l. IIIversa (si~m61I"ico), tambi6n, sern iguales Il cero. Por eso, 10l1d('ll;I'lazamientos"qecllndarios 6'2" 611 , 6" Y ti,_ son iguales a cero, y las llC1l8cionesca-nnicas se simplifico1J

"Y,+6'JY3 +'\'P=O; }62, Y~+ 6.4Y4 + A:>J' = O;

61'~' ~6JJY3 1--'~3/'=0;6,,1 ~+6HY.+6;p=O"

L.,s ccu:lr.ioncs primrra y tcrcera contienen ~lo ~ la~ fU('rJ:as gene-raHzad~s dI:' lo!' gI'I)J)O~ sin,Hric.Oll do incgnitas pnl"C's (incgnilas~imtTlcas) y. lai seguI1d.. y cuorl{l" II las de Jo"~ grupos do simutrialnv'r5a de inc,gnita~ parCll (incgnihs inwr.oaml'nte sim6tricas).

Con olras palallrlls, el sistema do ocuacionesc,onlIicas (a) Ae divi-di cn dos sisl(,'mll~ indermdieJllc-~.

"~i ;er p/lrll Clla]l"ier Sisll'ltll1 simtrico. El ntlm(,'ro total le-illCguita.q lJiSIcn.s ~c conscrva. peTO, con incgnit~s pares, I,,~ l'(;1JII-cionl"l' cllllnical1 se dividcll en dos sistomas indopendientes: u"o con in-cgnitas sim~lricas y. l'1 olru, con ncgnitns inversumen te ~ilJl(tricas"

ESlo significa Illlll gran simplificacin. lle5oh"er dos ~istel1la~dA ecuac,i\>I1\'S c,m menor n(lmel"Q de ill

(H.74)(uona glOnet'a"pcr

al cje: O ill"ersamonto simtricos on resJlocto al eje y (lig. 293, /1);~j ."Lricos COII respecLo fll eje y" in ver~nmerlte ~jmldcos con respectoal "JO ~ (lig. 293. () y, u(\ sitllctri,l inversa con ro.~pQ(;l(' II nmvos eje!Hlg. 2

(14.15)

~ + 12+1: lIl;! - u ~-I:T'

~ 3P3 ~~". t 1/1>1 /.I1:J "" - ------ "'4ffJ-3P 4 12 11117 P

-----;-- -8'iT .J.~I ...,n.~iont'S r",,"6niCOI eOh 1011 v",I,~Il'hte! num"Tir~ ~,,:

"Y .~ P ,."" t-T -,612Y.-~P_O.

le ol(>".Je Y, ~~ P. 1':_*P,El .h..:no.... Jo 10& _oolQ!; flfocln....

ni' "",p..-"t&

(14.76)

ID forma matri. e3

F" ~ll'" 1',.II1.J1'= I~'. JI.".. : ..~:"

.P., JI"I'" ~""I.i. do?'X""

Los lrminos de cargll del tipo ~ r son runclonl'll de la pOllici6nufl peso P .... '1, esto l"!', 1(\1 upre."one!l tlnaHticllS de las lineR! dein f1uell('ia de los dt'!'platlllnie"tOll 6.. p o. por el l.eOremll de 111 reci-procidad de los d~ph.zamu::lll03 unitarios Ial' upre3ione!l anaUlicasde 101> de!!'pluBlnienlOll do 111 lnea de carga 6~r por la di~d6n delpe!o mvil unib.rio. debj,In:-, en e: J!i~tem.ll bsico, a las fuena3unitllrilUl XI = 1.

Esto mismo. pero tn

Si MI considera. /lO /3 ccunci6n de la linea de influencia, sino,IlJO el calculo de Jal' ordcnfHlllS de dicbo linea de lnfluencifl, en puno

to~ BI.~Jpdos rle aplicncill del pellO, entonce", es noeell8rio trnnsfor-nlM In mlllrh: do ('olutn1l3 n r = 11 (j/ J' 11 en nllllri1; cOlDpll.'lll, cu)'ascolumnns determin~1l nI" el' dl.'pl.'nuencia Jel plInlo toncrcln deoplitlci6n del pem.

Lns 1"ea~ de influtncill de las fnenas internn 111. Q y N Y .10olras Inngnitndf";l quo peflllil('1t el empleo del Ilrincipio de iode(K'n.dencln dI' afdn de lal' fueu.all. se expreMl1 a lrDvis de las linMs Jeinfluencia bAsic~. por la upresin generlll (1I\.t1). En este caso,M nt'C\'!'ario tener en Cllculll (Iuf', ]lara la :secc:ill dllda. la.'!! ma&,nl-ludes S,.. ..:5.. fOil con!!tantes ':!. h.3 XI" .. X" Y S'. son ....wlbh.':!'. I>:...to Si:lllflf.a que la 1.1. lie S so C1blit'll(' lIumando lal' l.i.Je X, ..., X"' nllllt.ipliC:/ldll5 por los eoc.licitnle!' S, y. hl3 l!leasd(' llHueneill dI' la mismo 1l111ltllltud S~,. cn el,i .. temn b.isic:o. E.,to

~ pUl'de rellre8CnIDr. eu 11, forma I:l'lll'rlll, con ID siguiente expresinsimb6JI(:II.

l.i. de S-(1.1. dI' X,)8,+(I.', de X11S,+",++(1.i, dI' X"IS.. +l.i. de So, {1{.77)

Si 1:'1 ;;.i.~I('ma 1'$ !>unlrlco, 1'$ nec.e,";llrio elllpJcllr incgnita:! pnres.Bu tole" c.asOl'. las lincns u.. illfllll.'lIcia de IlIs incgnitll.'!! parc~ son 01mislllo tielllpo ln5 Hlle"~ dt' inFlucnda bli... icu. lA l.'xpresiu (14.77)WIlSCfVl

l')

...., tlMfleM.D\K '1 lfTmllW!O h~"-....011115 !IOn:

/111 ,",-(,lid-IM,)-( 6.(;:! t 6.122 i 1 ""- -r'-r6RT+-r"!6"!iU 'l-7fT:

0511 =IM,lo(M,l __

( 6012 1 j) 12-- ----r-'J'2lfT 2--7fT:6::- fll.l ,CM.} ""

( ,,2, 1 l' '= "2 ~'J TU "-lIT"Cwlndd ..1 1'"!oO es'" di~pUl"l

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Vil: ~

Lo5 vocrilicamos l'" IM.-\1,

- 1\Jl.l8 2M-..

-1lQS(-I2) .t-O,13 m,4,-~(-\2)-Tij'+1="

CQlIln/k) .. Jl"5U rl\1A f" ..1rrillM'r tramo, In .-o:\U,do_ dfas I_~ de inf1uend. ~:11. d;,> XI_ 1

~ 12 I-T""jiff, ('l-""j""i'i'iil.(:).

11 'lb)ti. ,1.- X._ I

12 U\lI." 10'.>8 J,(.)-l'1:i:6 f. (:)'J

1'", la ooudldn ..le ~illl~lri ..po,].. ,,,I.I~ os lI/!fu do lnf\uend" X,V :

~ 13g. METODO CINEMATICO oc CON$'l'RUCCION DE LASLINEAS DE INFLUENCIA. En lu~ ~i!t(lma~ hiperestticOo!. lasIllleas do influencia .. con!lrn)'on por ~l mtodo cin~mtico !!Obre la

ba~e de las mismllJl idel13 que en los 5istcmllS i.so!ttico!. Se ('Hmioadel sistenla ::Iqucl "Inculo, la linea de influencia de cuya reacci6.1 sedetermina y !n eliminacin se colllpen511. con 1::1 aplicadll de la ru/lC-cin bu..-eadll.. LUt'go, se in"OSliga el sIstema tr'nSformlldo bajo laaecj6n del peso /' _ f, flOr el prjltipio de los d~pla~llmielllosposibles.

En los sistemas i:105ltico!l, que dcspu:'l de la eliminaei611 de \Invinculo se transformaban en sistemas rnonoyarianles. los posiblesde3I,lau1Ilil'fltos no iban /lcomp

PIJ;.2i7

, p./ d

pll1't1culAr del ,lespil'lzn'nlcll\O Ildollndo por nOlKllros, .h, que el tri!-bl'lJo de In lllenA!; illlernll.~. rtAliz:lllo l'n este

Si l>e l':xigj('r,l, 111m, COlllll..I'll' otra lim'a dI." influencia cualqull'fll,por l'Jl'IllIJlo, In J.i. dI.' la fuerza IrllllSVt>fS~, S

JaD. CALCULO DE PORl'ICQS COMPLEJOS. Al calcular pr-tjco~ l'omplcjos, es particularmeote importan le la eliminacin dolmayor nmero posible de tlcsplazll.mhmtos secundarios. JunLo con losprocediOliclJtos da IH eliminacin de dichus ues.lwwmiClltos. sea-lados anteriormentll, pUf merliu dl'l l.rnslndo de las IIlcognllns, elagrupaluicnto de diagramas y la utilizacin d(lla !\imlltrin. se pnedenilldk.ar, tambiilll. alg\lno~ pl'(lcc!lim (lnl,,!> de l'loc.cin de lo~ ~istemlls

b~i~os. qul' [acilillJ gIl dl.,~trncci6n. Aules !rU" nlul:.. es indispi'll-S4b ... /mder u qUA! ...l stslefflll /)(;"1(1) "sU (olllpllllog no sesuperpondrn y IllglIIlO'< .1"~]Jlaz"!llierttos secll",ll\"io~ so rcducinlltl cer". Por ejemplo. l'n UJ) prl.ico .Ie VI"(l,~ tWflIO!; y 1111 pm(fig. 298, a), tal ~i~l(lllH1 b:sien puede ser obtenido enn ...1 seco.:ioll.'l-miento ;le "ig"'~ de IIrtTladul'U (tig. 298, b) o la introdllcei'\l1 /le arU-c,ulllcion~s (lig. 298, e), LIl ilolol'nJllciu dol sislemu h;,~ico, dohidan cUlllquier X = 1. ueUfl'e dentro de los lmHo.~ dI:! contornu dll! lra-mo dldo. Por e~tn ra~611 lo.'l de~JllI~llIl1t'.lllo,'j tendr.n Ing

n X = 1,5011 i(l;tlUll'g 11 cero .....dems, cOll\iene utilbar 01 trasladode fuerzll:s r el agrupamiento de diagrllJnas unitarios, lo cual reduceII cero a unos cuantos dcsplaUlmientos secundarios ms. Complemen-tariamente, en la ligo 298, d, se reducen 1\ cero lO

Ia~ frmull\~ (rigo. 300):l.,. d~ N U. d~ N }1.i.d,'fl- l' 11' ;

tI. de M~:'L=I.I, (1(\ M-(J.i. de N)tI;/.1. rlt\ M;"~'

~ 1"1. CONCLUSIONES SOBlU; EL C,\LCULO DE PORTICO$.Como I10f",II, algunO$ rlcmt.>nlOJ! tle lo~ sbtemllS de prticO.'! traLoa;lI/l:l 111 fh.'.'lOCOllJl"esin o fie)"oltllCotion, (1 ~a, se C/lcuenlran en cundi-ci(;n(......lu fle~ul l\..,;iuLr:l.Il!l\'Cn1 fuerza!! loltll'il\l-diullkq compriwt'-II\(':l illfluycll consi,ll'rnbtcllICIILl' sobr!! el r;,tMludolorlllndo nl'l sislelll>1, ;l1\1I101lInndo l(l,q de~pIK7.umien\os lrnnl'll'l':'la-

J/'~. 01 elcu!o .Ie IloS prtkos ~ tl ..hel"ill hacte por el c~quemll dI! de"forrnncl6n. Pero lnl clculo rCl!\llla c(,tn\,Jcndo. rindo que ,,,[nIno ('5 ulilbllblu el Ilrindpio dr indcprn. enciA de lled6n ele In.'

fllen/l~.LlIs ocUOS, tUlludo 011 la frmula de lO!! dcspluzamieu-tos los sumandos qlle contienen (n('rlM longitudinales y IranS\"t'N'

CAPlTULONl.-AS POR

xV * CALCULO DE VIGASEL !\.fE'fOOO DE FUEHZAS

CONTL-

~ 1-;l:,!:. NOCIONES GENEll/lLBS. Se lI11ma conliTwa a lo. vigahipt.'l't'l'i'I:i.tica de alma Ilen'l. yeon m.~ de/ln el' 1'1 nlII"ff' ,Lo '"inc"los de "llfl~'O (''0 de poyos).

Si 111 "iga po::'ce rnfl,o; ,le "" tlpoyo fiju, clltonCI)S, para eargn v('rli-tal \' mOlllClllo~ ecrJl~ run('cnlrndos, ..,,,ando .Ia.~ filen as internas

i'~ dl'lC'rmin[\Il pOI" ",1 loSl.1do in,l('forrnndo, 1M. r6llcciones IUll"izolltal..sde los PO)'OlS fijos son igualf's II cero. En l':!t.o.~ MSOS, el nmero j('

in{'gJ)it.~s hlsiras. ,li[('_r.nt.t\.~ ,Il' Cfl\'O. e~ igu"l l:(1fl.2)

.l,1.n. :::1:;j'fl~MA BASICO. El ~islemll b;;.ieo pllrD 1:'1 viga continuaCXPUl!'Stll en In fig, 303, a, puede ser oblte'llido eliminawJo todos los"rr,culos intermedios y tomando 1'1l caUdad d.. incgnitas bsicaslns rellceiolll.'S de apoyo (fig. 303, b) o. introduciendo articulacionesso!>re los llpf)YO~ y adoptando como illcllnitas bsiell.!1 los 11101\1011105!lectores de npoyo (Iig. 303, e).

CoJ\n'Jlij1l1l10S en Ilumerar los Iramos d\lla vgll dud.. de j~qlli(>rJII11 derecho. AlllPll>'O de,"(!cho dI) en da tramll y al momento de 31lOYoi"cgrlJlo. sohre l, los designarl'mos eo" lu letra _,11 ). los ll(\ice.s de

e~le tramo.No es dificil COllvcncerse de que, el) 1'1 I'l"imer sistema bsis dos trll(lI01< con-

tiguo.~ :l am!>o~ l,dos del apo)'O donde l (I.~~6. nplicado (fig. 303. r))' lWlo origino despl:namielltos por la dirl.'ccin dI' las incglllLa~ b-sicas Jl/I~" MI Y '}/,+r'

Por consiguiente, en el primer sistemn bsico, cada desplazamiclI-to secundario no es igual a cero y las t'cuncioncs cannicas serncompletail y, t'n el segundo, un gran nmero de desplazamientos se-cundarios son gunles o cero y lail ecuMiones cllllniell!l sern incom-pletll.s. Por cuanto el segunllo si5lemn bi,ico es ms rneion/ll que elprimero, entonces. precisamente ~I ~er e."taminlldo en odelllntl). U.,I-. ECUAClON DJ~ LOS TRES !\laMENTOS, EXllDliucmos dostramos contiguos, el i-simo y el {i -'- I)-iisimo del sistema b~sico(fig. 304, a)_ &..eribamos la l-tsima eCllllc(,n cnn6nica del ",,todode fuenas. No es di{[cil convencerSll de que los momentos ,111_1 yMf+2 no deforman los tramos examinarlos de la viga y, por consi-guif'nte, 110 origin'm desplnzamientl>S por la dirf'ccin del mOlllen(.o

U'

.Y,. Por eso, la t'ClUIdnGlInniell tiene la fo'u.o

6",_.,JJ._J..,.oS"If, ,..+6''''''1)''''+1 + -1lp - (l.

tt5.:i)Lo~ eoefci('nh'~ do ('stn

('l;Ullrin)' el miembro lilller('Jlr('~cntarl los ng\llo.~ 110giro recproco~ de la k>ccilllpor ll. dirl!Ci:;n de la ~cdndel IllO"'erlto rle JlpOrO .11"1;1 .lireecin po.~ili\'a de [O'lcll.lt'lt coincide co.. la dirl'C-dn po.~ili,tl de C$to mO'menlo,

!'upongalll~quo Id ";ga~1101I.E('CC.i6n~al(l"ada",.rlable, con un momento de inen:ia constante ('i' cada tramo,Al delerminar los coeficienl" y miembrO" libres de!c'prf'Ciare,nosla! rUel":tM h'llls\p.rsalc.'l en b frmula de 10l" Jl!SI,13lam;entos. En Jofii!". 304, b, r, (1, r,!-I:' hin c"n~lrllido los di'gTl"uas ddO"momentosi'uprcscindibifoS lIlrn la dolermillllc;(,n ,lo 10" cOt-lic;'lItes y mio",bro..

Ijbr'~,Hlllltlmo! lo~ ("oefiden'('~,mullipliclInl1u los diagrallllls unitarios:

- - //1 1 \ lc'l.fl-ll-(J/,-ti,(.I/)"'''---Y-'3 1;J. = fJf>J ;

- - I t"""'+Il-U'f~,)'(.I'.l- "Ej... :,- l - /"1 2 It'iu- -'l. (-",J=----z-':' 01 +

+ 1101 ,\ 2 t 1, l-2- T U,.\ =3lf7I-r3f."l';;;'

Ahor.. , l. kuacill e.,nv"'4'".. 10m,) 1.. forma" 1/ +( 1, , 1.., )," 1,.. 11 +. O6~/h" .-. :\1::'1,' ~/::Jt.l - IT"1iE7'i:"i'"'''' ..../1.= ,

9~1

,\Iulliplln;ndol., 1)01." ~I \'ular IIrbitrar;o iEJ. OhU.'IlCIUOS, ,j'ffilllliI'Dmt'lIt". que

.[J/ -l 2 (i.,+ 1.",) M,+j.,.,.11",+ 6EJ~lr =0. (ti/'IdII.lo~, = I,....!.!-("'< In IOlOgilnd 1'(',lucill....1&1 I-~imo Lraml!.

"I"l ecullcion t':lIInit.a (15.'1,) :'!C II3I1,a e.:uacin de 1P!i tI'\.... lrlOmCn-tos. por 1."11""10 ella Ii~ll n tres r1lQm~ll'>5 lIlcg"il..s de apoyo liUC'~"\'~.

HRllcIOOc'i....lIorn, rI ml~lllbrQ libn'.Ardon ,1.. la carga. :'111111 il,liCllndo lo:< ,1"'J.:'tlllfHI:!I .Ie carga 1'01." el

dill:rnmn I1lllario M, (lig. 304) Ohl

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~ J.:l5. P,\IlTICULAHlDADES DEL E~IPLl~O DE LA ECUAClONDE LOS THES MOIIIENTOS. m eu,pleo ele la eCIllcIl de los tres""'llll'U[o/< del'ende

El momento flector en cualquier ~eceTl !,uede eser(birse por Infrmula (14.19)

iIf,=M:,g + 1I~:_. (1,_;) - ';~I;, (15.(j)dOlldti !If: iB ('5 el momento d(' una vign smplcmt.'nle Ilpo;yndll dt'bidoa la cnrga dlldll..

lbllamo.~ la fut.'rz!i trllllsvcrSllI difercllfilllldo la e"pre,;in delmomclll-O flCl'.tor

Q _ d,ll. _Q'''+ 1I1,-M,_.,- d. - < 1,' (15.10)

donde Q:,g e!' la fuerza transversal en Ulln dgll !1illlplenll'1l1e IlIJOy.la,debidll n lo carga. dndn.

Pi,wnlado. e" la lig. 31M, o.

100

'

t::r"",lll~"'(>~ I~ Cl)II!l"ue:"lll del dngr"m" d~ m(>lIl~"~OIl Ul'Ct.. res ..,r 1"160'",,,10 U-l,I81, AJ prJllC1ll.., l"null .... 0'11 ufl.\ Ir.''''" ,,,... lnea {'uulo...d" '11l~rern"',,"'o.1 dl'-I(r.."", .1. 1"8 ","lUl"l'-0511""1"rl'" ,l..b.dutl l.", "'omIll1(tlt la ardon tic lA I",rlo' ,lt'n...ha f'lim ..... I.. :-ld", Jus "'Oll'elllo.~ f1L'I:'lor"'" """ ig.."I~ n "1'''0. "l'-lIr;1l1lodns u ;,lgull

Jfl'~

,) ~,g; +-2 t,., ~{-' L. f L,0-~ ~., .. J'

1, a,..1,Ilr,) C, M,,

...,

L,,~ nli\cioll~ rot",)I ...:> (K'rmit..,1I C'~lahlC('('r rou ,nl)(liflS !lllupll!S111 I"'~ll'i'\ de lo" r,lCO~ )' dl.'ltrminar lUlO ,lo lo!' lIlolllrnl.." ti" l1Jloro!'i (';< CUlloddo l'1 litro.

nrl)t~nt(''"O/l. holl' ""11 "iW' l'll!1tRd.1 ~In NI un Ir'IIooHig. :1u9. ti). S"JlUl1g.Ulll>S q\~ *' conocen 1M mO/ll('fJlo~ ti!.' :lp"")'O .It'loslc '!;lIno cllrg:ulo} (;'1,. r>;l:idOllf'S foellle'l IJllrA tOllA /:1 \ J::ll. 1-:11101.CIP!!. 1", mOOl(,llll)S ..,(' ll.po}u de los trl.mO!! 11.'1"i('rtlO5 y ,Il'mcl,o~ nocl'lrgll.l(k'l !'l' tiellltO!' dt, la "iga ~'uplll'"montl! ~po)'arla. t!('bidB! II la carga dada. Si la 'iga.so cOllculjl, car,;ad .. l'n variO!! tl'/l,mos, ('nlonce!'. oS inds~n....,blc (,>lI:llninnr 11\ cMea

103

de cadol traillO por 5eJlllflldo)', luego, !>obre la baso del prmcilJio duIIdepend9llcia de aceUin de lu fuerzas, sumar todos los dilgralll'w.

Como $1.1 v~ de lo dicho, para el c

illriuitl.'simal (Hg, 311. e). \.(>tldrelll09 que para l. k. _ .~:: ... oo.Dl.'Splls de esto. por 115.t6) hilamos que k. - 2 +*(2 - k} ...- 2lado que 1., = O.

FI@'. Jlt

OPor cOllsiguiclltO. para un apoyo articulado tII d I;;ur:r1w dd prJ-

mllr (l1l1lmo) tramo. la rd~16'l f{)(;al izqu~rda fder~ha) es igual alinjilUto, ptro, para lJIl, cmpolrruntmto m tI. ln nlcu:M/lf/Xallzqufl/r-da (dm.-c::ha), n iguala do$.

Cad~ tramo de viga continua puede ~r examinado eo.no ell.!ti-C'lI11cnle cmp()trado, e.~ decir, que ocupa lIna IlO!icin intermedillentre Unll viga eon apoyo.! II.rticulados y otra eon apoyos empotudos.Por e:su "'In las relaciODes focales satWaeen a lAs dl'Sigualdllde!2 lli; k .s;; oo.1. DETEIUllN.-4.CION DE Lo..

lk",pu"':. le c:slo. 1M! llClIll;CiOIlI.'!I ad(llli..,.~u 1\1 IvrlUO:- ~,-, JI /., + ::! (1..,_. + ).,\;11 '.0 _. ).tIf, + t;EJ~l'-ur' =- ();

..,..

'11 ,. , 1I , /JI, "'JA._ ._, I _('"'+ -.ttl. ,- .,_,-,-,--1 h" o.l,p=!I.. ,

" l,ieH

.1l... rZ I 't' (2- 1;_.)] 1I.+l;I;;J.. .llj/tP ti'U I1 [-")-L "'-1 (., ')J l..l'EJ ,lo/v l..

o _,-. ,_ -r --~ '0- I Q-';1"01111111,10 ell l"U1I5id..t;u:iu tI!'"'.II;] r (1:" 17). l('lIdn'lIlo~ fldlll

tlv;llllt'nt(O:

.1'I_,k, . 11f,-

,11,.,-.11,1.-; ..[K> 'flu;

tRIo--r- .

OCJn- -----r,-- .

.\". 1",.1-;-.\,,k,4-; J

.\",1. - .\: ro,'Itl~, 1

:} (1 ;" ISll(j~ d('s!,1l\1;,rnif'IILos ~\IP , \'_hP ~(, ('''l'r(lslI, fI~:'1 hnbit'l1do ('nrg'l. !)

a) el lllOll\lllllo J(l apoyo c11'l'ec"O ,lel primer tramo. C(~1 al. 2

,lf, =" ~--r'lT' (15. 2), ,

h) el '''Olllcn!o de I1P'-'VO lzquJerdo dl.'l ltimo cJl,,:simo tramo~l ._ ~ ("'m.~ (15.23) n._, ---r;;:- km'

La,. f6rmulas (1 .. 211-(1;;.2.3) son tumhil"n 'vlidas para las\'ig-s 0.1" sl'~I-Ol>. k.-2+: (2-~ )-10,ka~:! I : (2-+)_ ~",

8 (., ') '"1-,_2 I"'T. ~- 15 -""'j'?;'"-

107

La~ r~IKQIJe! looal.. dvl'l'Oh ,., delcnlllul" de In C:OlldlC;UfM!!I deII,,-etrf.:

, $ti ,l.'i,_~, .t.-T , l'_4, .t;_oo.[..00, "'''IOOIlV6 .Io:! epo,. &1 \...mo urg"do so d"tllrmin,,,, por 1"" lmou-

1M 11:'> ti):

e: Htl. CALCULO DE VIGAS CONTINUAS SOBRE APOYOStLASTlCOS. Se llaman vigas WJltilOUM sobro apoyos ~lMtico.~

.) l',i r 1 r ;ro,. 311,

.)

"

;'( 1, t l" f ''

,) ~j' " ' 11,; I\ 1.1 :e.11 aqullAll cuYOll puntos de apoyo. b3jo carga, pucdeu desplUllrM'pe.rpendieularmeul.e tll eJo do! la vil'" Cumo ejemplo pnct.le l'ervjr110/1 "ig/l continua lIOM puntales largos (fig. 314, a). Conlliderl'lremnscomo apoyos elj,~tcOll " los eapaOC:'! de delurman;e linealmente. pl\ralos cuales, los desplluamientOll de los plinto'! de OPO)'o i1~ 1:. vig"son propomiOlll'lJes a lu rtl3eclOll($ di: dic.h~ apoyos

1/.. = .....11... (15.26)lOS

Fig.315

1:

"

(E,.2U)(1~.28)

(15.2;)Sus 1'00-

(loo(!e e", ('s el ((oefideuhl de oompre.sibilldlld del elll"imo apo)'oen cm/kg.

T:,I \"igll pUlltle ~et r(>prl'so;-otlldll e~quemtiGllmeflle eon los apO)'O!l(JO forma de Illllellcs (lig. :'H. b). El sistema basieo S(> elige con lasarti(,,,laciolle9 sobre los ropo~'os (fig. 314. e). En el caso generlll. lasecuaciones canniCa!; pOtft U!lO \"ig(l f_onliulIlI so"re "poyo~ e1{,!'leosseran de cinco miombro~ y !lO de lr('s, eomo Jora la viga sohre apoyosrgidos. Esto es fcil tlt' cOl1lprender, por cllonlo, ,l(>bit!o a la dasti-cidno de los apoyos. los dl'~plaa"llieolosoriginados por los ,oolllcnlos01' "po~'o Al,. ahorA. Stl (\xtcnd('ll sobre 1100 1"IIUIO!' 11 la rll:

/j'''_2,Mi_~ y O'li_lM'_1+6'IM++ o'I'--'-'I!lJ r ~1 +6( 121M .+2+ '-\iP~' O.l~~to l'Clwd61J se Irronlll l'r.nac;ll du (O! einr.o )l)u"'('I,lo~.lidl'lLlc" ~' nli("mhn.ll' "l'- riCICtllli":11l por lu~ frll'IlIIl~:

6,1, -= ~ JX/ ~; r/s+ ~ e",~"n~,.;" r - '\/,. ~-~II''''.!J J .\/ JU- d . l, Jt.J r",/I""U"I"

,1011(1JJ In \'i{::l. dcLi(lo~:l M~,\/ ,,, lo':! 1l1Omcnlo..~ !kLitlne n la carga ,JiUln;R,"I (.~ In r('lIccin ,leI nJlnyo 111 drbidll 11 1Il, = 1;

fl ...\, la reAccin 1101 apoy" m Ut>llHllt a /H ~ - i;R",l" la feSCci.;1I del alltl~o m dchilla fI 1:. carga:l',q. el codicieolC flt' comprcsi1fili,lad del apo),t't m.

Por Clcml,lo, ~'i;O (1{).28), d d("'pl,,~nn'le"t.o 6, ,_~, ..., ;L!"ll,.111 lrig. ur" h):

Si los lIIOYO" -..:In .,bsol"l:lIIlClIte r:;-uloil. o.:l,IOllC('c"l. p,.r. "lIu"',r ... = O '/ la t'(:uari,'m de 10"1 rill(~O IUUlll@lItO" l!C trtlnsrorm~ l'Il 01l1ll11(I~.

~ I-In. UIA(;ll,\,\l,\S ENVOL\'ENTBS 'J .r::UHlOO~ DE LO::; 1\10MENTOS FLECTOnES. Al l'1('gir 11l~ socci,.)IIt~ trllns\'~r~~Il'''' de lit'

\'igll~ "o"tll"'n~, cnm" lllrl1!Jiln, de olrR~ ('"alc~(l"icrll. In!' ,"('Pl'ro, ~i lIo!t>fllb dt' 1. c:ar,a pcrnuIlIetllt'. como c,(lrril' .. I""I~lJtos'lc;ctll', soLrc 1.. ,,gn van a :aClll>lr lirer('nIOli c/llg:'lS :lClt'i

nllo,. (,rl \',llor ab,., 101

p("!o ~l el lramo + 1:

111

I..M OCUllciOllell de III! Iint"\l.s de lllrlucllcia de lo~ JIIomeutusde allUyo se eXI'resall, por lII{'f!io de 105 eoeficienlt'S r1e influl'nrin.d. In siguiente m:>nOl'&:

I.i. di' M,....,.~,,6ip+~f1:61p+... +~,,,6:p;

I.i. dl' /01_ ... ~.,6ip... ~"",Mp 1- . +1J..6.: p; (15.3:!)

1., .11' /lf. ~.,6ip+~.l6i,.+... +tld6:p.Los ~fic~en\.t'fl de influenciM pueden :-er haUados l)(Jr medio

de los dClermlll""lt'l! por 111 fcirrnulll (14.les por 111 lrnllll"

lit',!; 1)'donde !t/H son lo. momenlos dc apoyo tlcbidos 11 .lfu = t ([,g. ::117):

k, y k. Iu rf'lac.ionl.'ll focnll'5 en rl u'lIno 1;k'""' 1, 2. 3....,

_I,J~". J,'

El (Iil{grotlrlll 11e Itls momelltN f1l~tOI'(>S debidos n Jf" - I(fig, 317) l!{' dl'1Je construir JI'lr el moilodo de los [ue,," d., lll"melllus,

PoI'"

Fig. ~t8

I{l,-z)-'-,-

Los coc[i(;ielltf:S; de inUuenria!.'tl ,'('rHicall por 1" expre"'in (14....7).Para la rlelermnacin de 6~j_l)p y 1iT", c~llminemos el tmmn 1

carrado COlI la [nena l' ... I (lig. 318).&n ('Sle CAllO:

- : (f,-o) 1w.----r-; 17=y(f,....,..:);,

b,=y{21.-:l.

T~bl" 7

" 1" 1",' I ",2 ID,", IO,, IO,, I'O" I '

.. O O,~ 0,7 O,;;; (),S 0,0 1 I(,(11) lO 0,:1.1,\1.11\10273010,23140,1926 Q,OOOO[ O

51'l"llll (15.:~ll:

p",iD,b : \/, _~112I, __ '11,10, = \'If;J

cOllsigu;t'JlI():

8,

= ;;~I =,(I,-:-"I(II~-'J,l' EJ, lol,EJI

ll~, . 1) l' - (;/Ul>,;.u l' l~ j~ It (lt):M" 11IlJ"(j,,, l~ ~~ 1:('1).

,Ioud"f,(lI)- n(l-o) (2_u), ,

(I~.3!')

(C-,,:{5)

Lo~ \',dl)t\~~ dl' eSlas [UIlClOIWS se flau en 1,1 Inl,I'l 7.TOlllilll(lo ('>1 (t;;.34) y (15,35) lo~ (tifercnlcs \nlofcs dcl indi-

c(.' i """ L 2,. .. obl('npl11Os los miembros librl'.q ,le las "f,lIacio-n..s (1:) 3t) en l1cptll\lellciu de la l'osici

Si );, \'iga liene. ('n elapo)'o izquierdo HU "Ollldiw de Jonllltlul (",('!llonees, Ill~ li"~, le innl,ll'nda (Ir los mon'll'lllos de apn)'o.o;ohreJa parle ,ohuliu. se Tepre5efltan langentes a la., lneas: de inrlllf'flciatll"l 3['OYO itqllilrdO...:;.slo se dr!:. .le 1.1'!o,,(I~ ,rl' u,Uuloncia sou:

C>i", .. l~~:/{u), 6~,.,.,...I~~:/t(Il);Jl 1 """ ~1I1: ~: ji (11) +- liul~ ~: !~ (u.);

rIcoL::s

Ik-SI'Ull de bs lrltlls(orm:leior('s lwusarias, obWllemos las eeu.~('iOIlel! dI!' 13S lnoos dI' influ('D('ill de los momentdl! de opoyo dellramo ellrgado i:

.1/._._ 1 ,,~h! pello Sf' Iwsa ni trllmo siglli('nl(> y se repitoIII opcrnei6n.

El~ml"o 39. Collstnlll' JIl~ Jfnpas do i"{l,,,'lI(ill lIe lus momenlos de "poyo(Ji.:..~IIl) ~lendQ 10=/1",,1.I.u Im,ghudes r('rl[ll:Ldu Oc 1.-. Ira"'..... ~D:

1Al_lO m. i..,=12 n -lU m.1

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'n 01 .....nndo !ramo1.1. dl' ltf,_ -3.ZJ!,("I.-..-Q,83ifd.. ). }U. de' "'J-(l)l.-;7f,("1-3.~2!lf:("I;l.i. ,1, iII ,_ - ['.211.~f, {u)" 0.8.'\11. (III.

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1\/ ,.,,.., k4I1Q ." d 1"'''''' "am~: P' (l~. :l'J)'..o 15I.i. dll "', .... -8h(Io' . B- T 'llN).

So 1" "'1(., ''''' t-:l .....

a: O.:.:lIi ",1.'1 ('(;" ,,, .."" 11 .. I..s lln

Las ~cu"cioncs

Fig, :J21

Estas l'XI)rl'~io"l'~ ;Oll ,,,[,IlIS para Los lll~ Lramos haslll (.\apoyo iJl1('l'lll""lio. Im,Lo )lira los p(lSl'~ .sim~lri"os tomo L1M" losdtl simctrl in\l'V'lI.

L:ls Inc

estn \lbicado.~ en el tumo del merlio (ng. 323) 1" elpre!!ioncs 6fp5Crn olras y. se obtie.nen empleando la frmula general de los dcspla7.II.mit>nto,;

( ' ')' ,fI),~ 2":1"2 2+ 2 (1.--)-:i(l_-.);I I",u '-~ - 20) : 1/ ., 'o~-z'~& :U.,"" -"'ii --...:.'( .....+'... ) '(' o 1c-"'l" T T- z -1' --:;

S=w"c.2-i (IrlIl-2:){(l,.,~-:)2.

Fir. 323

iIIuhipltC:Mdo 10li dlasramM COrn'llIJOndJcnIH, dllbidos las

2.. ~IMrLlflC,\CION CON I::L ElIPI.JW UIOL I:.'TOOO DE FOC05L.u lnea!! de iDfluenci. de lO!< "lomE'lll(l5 de lIpuyo uhiudOd

flimetricaOlenle repn.'O!\f!nttln, con respecto ni eje de simelrn, IUlnimagen e!

Las CCUllcion&5 de la~ HlLca~ do influencia, por (~) y (1)), sonI.i. de M: __ t~~ ,.("j. l.i. de M:---~hlu). (e)

El 1"'~ # "/lila m .1 ,,,,,do (e" el J~I mM/o) tramo, por (1;;,41l) y (15.4.9)'0122 '1. 12'()IP~-Zf(") H)(IIl]; 6,,.; --,-lfl(II)-'~hll.

La ecuacin ,1ll la U., ror (a), esI.i. de. M~..,. - :~ Ifl (u)+f, (IO)J. (d)

La ceull.cill (\e la I.i.. por (b), esLi. de N1"-- ~ Ifllu)-f,{I'IETOno CINEMt\T!CO DE CONS'J'RUCCION UE LASLINEAS DE lN"FLUKNCIA DE LOS ,\10:-'lENTOS DE APOYO.Durante la co"~lr,,crill ,1", las lnc-llS d6 illnlloncia del momento

11(' apo)'o Mi pOI' 1,1 mlodo dilemtico, SI) (Iello inlroducir UJlll flrtiClllnri(,1I en .,1 i-';~im() lll",yn ~'. nlll, llplicllr (1 mO'ncllto M, - 1Hig. ::l2fl, a), 'Luego, com'lrnir el dillgrama de dl\~1J11l1.1"liel\lo.~ \'erli-rl\l,,~ 6'p-11. (ldlldo a lnl rnrga. y llulernlinnr 1,1 ,ll'~lJla~,ami('lllo1\''' 1," .

1.;1 CCll'lCi6u ct('

mtodo de IlIs roc(),.~ (fig. 325, b). El v310r t'll~-l) plledc ser ol.llcnirlomuJtipUCllllUO el Iliagramll pOI' si mismo. Pero tal multiplicacinre$ultn complicada. Mejor es construir en la viga i!'(JsthUcn 01 segundodingrllnla unitario deiJido Il M, ... 1 (fig. 32;;. ej.

MlIltiplicallIJo los diagramas lcrl(lrclllos que~~-ll =..!.:!!.. (:'. I-.!.. .....!....) _'_+ l'/'+-I (2 1_2...-+-)_'_

l :r J., J!.I, 2 :1 1;"-O-;" kIr;_I_ AI., k.,1

El t'/lll'll"(..)+ Al" {"'lI...n JI,=-oo. ella .""t;t'I\C' j .....~nn;f1ac.I6n. La ck8.rrollam"" dlcidie""',

,,1 Ill"n",..dor y oo.r..mll-..,".r p',r "".. ~pui3 de In r'~l, owenr.1llOSI - l.~

J. do .11,_ - -r, 1.ll'-'>_lIt/d"}-- ;" ../:1-1).El P'''' ~ ~.ll. r~ ..1 I.......~r " ..,."" ,11 _(\ ,\1,,_1

I .I~ MI"" _ 8;& 1, (11\_ -1,':::.82/,~"1." .11

'" 3ftl fK.Q .. IUIII.. ~" .. I "C.. ,,,/, Ir"",., MIl_l, M,.--lO

. 12-12 r ' J 3 .". ,k> .\1, __ S !ll 111("1-10 f,1" ..,. ,\I~l;lId",-O.3f:l")1.

" 3L" p"'" ... IMII..... ~l tunr " .....: "'''''''lO' Mn-O,., [' ]l . de \1'''''-:91 -10/,(..1.....0 '",

La_

l';g. aZ:l

El> l., 1,1t_ ;'M. b '"' ".~I."1Il ,.\ ...grnm,\ l\S DE INPLlJENCA IH'. .V y fJ EN EL TI1A.\fO_LM Int'a~ de illfluencia de Al }' Q ell eU:l!qui(,f '"d6n J, d(' cllnlq,,ef128

FIl[. 3~ *,,,,,,,,

.

trllmo kde unn vilt:l continup. so determinan por la expre,sin general(l4.7i).~qtle, en 6."16 CIl$O. lorllll la forma:I.i. de M,._U. rilO M;;=+(I.i. d(' 111. ,) l.;:'. t

(15.55)

1.1 ,te Q,._I . ,1(' Q:;+(I.I. r!(' M ... -I.i. dlO "',.,li (15.~)Lt lnea de iJl[llllmdo. tl('.1 momento fletlor en la ~in : .. del

trllmo k. 15e compone dE' ItI lnea de infllllOncln Ilel mOllleolo C'l O!ll'llIli!!lllll.'ieecin d(>l l'Ii>llema 1,.ii'lICO iJ'lOl'lttieo, ll, de "'llt vilr-' simple-rne"'" ItllOYlldn ,11;~': ,1(' 1.. lnlOa tiC' inrtnencill dlOl momento delIl"')'O Izquierdo M h , I"tlllllil'liellun por J.. ~'" Y. ,It' l.1 Iin(>1I doIllllul'ucin del Illom{'lllll drrr7,ll Irnns\'oulIl l'c ('onlllOIl(> r111 511 llll(>lltic inflllcTlcia Q;~lI ('11 lIr1il ,'jgll simplollll'ulo apoynclll y do In dirl'reneill de la1' linells

1.1. de Q..._I.l. d. Q:,"+ll i. dI' M._I.I. de M,) :. _

_ Ll de Q:~HU. M M,-U. del M,) 112'811 la li,. 329. . l" .ido wns\nlidu lal Jlflnu de Influfllda d. M~'.

r Q"1I Y. rll J. ng. 3ZV, t, . las dI' JI )' Q 1n~..\I..,.

~ 15.&. LINEAS DE INFLUENCIA DE. LAS REACCIONES 0[;;APOYO. La!! eculIciolles de las InellJ de influencia de las reacciOlle.'"de apoyo ~ obtienen de Iu l'J:presion(!5 (14,77) y (l.tI).l.i. de I, .... U. tle ..tI:" + U. rle orle +

+ 1.1. do M , 1.l.,1~M, I.i do M, l.i.deM,_, (,,")~.\ 1, .~I1.0. lltell do illflueneln de la refl.Cf.i61l tic apoyo R, puede scr

construida ~umnndo; 1) llls llnco.s de influencio. de la reaccin hquicr-do. Alf, del ~ramo l + I y !tIS de la rcacGi6lt dorecba B~~ del trnlllO" lIBro IIUI \'il:as /\Obre (los aIJ'OYo~; 2) lit diferencia de la~ lneas doin! nenein de I'l~ momento.' de :1pO)'O Mal Y if, dividida IlOr Inlongitud ,Iet tramo "+I; 31 111 difere"cill ,le la!! lineas de ,,(Inellcjado 108 mOlDC'tllos do DPOYO /01,)- M'_I ,]jvldldll pur In loogilud tlel(mOlO 1,. lomada eull el signo cu"lrllrio.~ UG. CALCULO DE VIG.'\S CONTINUAS 1)(0; SE:Q:;ION VAHIA-BLE. I'Il).!I n-ferimU!l n Ins viJl'l\S r,uy;o. l!oCCdOll vllr. loO forma eonti-nua lo lugo de todo el lramo (fig. 3..10).

Yig. sau,tF,;=,.=!d='"'T'.==::;::=;=;;l-cI""","",_L+__-"I,,,,",,,-_T--'I,,,,,,,,,,,'_1

1. CALCULO nAJO CAJlr.A l'EJlMANEN'fE

El cllcltlo dtl lu vigtls contiUttll'l

(t5.60)

d d..d

'. '. '. '.. '.

'--

Fi,. 3.11

".1 EJ l . (l.~,_.) '. d 15 G0hlol' ......'lltu D= -r;; ---r,:-- ~ J. (. t)A'r"'b'l.t:JO= ~) ,M,. f~~l ch. (t5.62)

FreeuentemellU>, lll.S intl'f:'rales en (t5.59)-(15.62) no se tomanen r~rm. cerrada y. por lo comn, ~ calculaD con lIproriroaci.llpor Ilts frmulu (t 1.48). (I1.1i9) o. en la forma roatriz, por (U.58).

Cuando los lIlornr-ntnS [Jl'clorcs )' do inercia \'llran continUlllnenteIlor cllromo, In matriz A ~c puede construir \liddicndo cltramo enIIn numero lllr do partes de igual IOllgitud d (fig. 33J). l."Il In formaslguj~"t~:

". O O (l O O O OO TnUCCION DB LAS LINF....S DE INI'"I.U::NCI .... DEl,O~ MOMENTOS Dt' APOYO

E, este CIl$O. la:!! f'CWlCiun{'ll CDnniClUl S('r6.. :1I,,,_,.M._, + IIli,V.+UI.IH,ilfh,-1 11.,.=0. (15.6i)

'"c6modo eJ'Clullr su lt'8OIud6n por medio .le I~ coefic k-t,tc!l

d. ,. matril: invf'1'SlI.1.1. de MI = I'llOlP+I',,.a,,,.+ ... +f\,.o.,.

(1:1.65)I.i. de lU.-= 1'.,0 ,,.+ fl.o4o,p + ... +f\...lI",w

Al'nrl.8 de las rrmula.'J (15.59) - (15.62), aqui, es cmodo cal-cular los coeficienles y trminos independiente!! por medio de 111

9 131

(15.G8)

(t5.6U)

MICllrl(/\ CUIlV('IlCiOIlHI q- - J(O) , Pnrll eslo oXHlllinl'lOlOS do~ lfn111M \'ecino'" el ,4sino:y 01 {l+l)-~illlo (fiK". 332). Componomos111. cnrg.. convencional q por los trilmo~ :" ellrg"ml),.~ con ella 108 "jgll!COIl\'8ncionaics (jue. eu este (:a~o, llE'rn 1,'8 mi"lD1l3 que 13.5 del si!lto-IlUI lJsico (fig. 332, b).

RacordarnO'l que. en 1;1 viga con'-ellc.ion.. I, los mo~ntos mlore.debidos o la. carga eon\'Cllcional dcteroninan ti a,p =z Gp , y. lasTt(lt'CioI1U de :\poyo. 11):'1 ngulOli de giro en l(),.~ e.rlrem05 de b. y'ga,lIumCl'11adll:l et:l EJ. "e de a rol se dt'lerlliflanpor ItI ('('ilAcin difennu::ll

,,-..,,/ ,J~ t J (,,,.")---;- .... - J>tu -- -fj' lit:)' ;J .......

fA"! Cflsl~lIl ...s :'fOilrilrill.! ,ff' illtt'gr,lci6u ~e det;,rminall )(Ir 1:13eonflh;i(\ll~ 11101tOS:

1) llnfa ="",0 ",1_0.2) pllrn :_l, all_O.

I)e la (lJ[presin de a"f (z) ohttlniclo. l

o1

..-,

En oquellos ro~o~. CUUll-do la~ecuaci(lle;; dHewncia-les (1~.66)-{l5.G8) no SOninlc:tra!llS, para el c.alculode (,l pI es necesnrio emplclIrcllrgas. elsticas.

Si se dividen los trallloSel) pHrles iguoles. entonec!',I,,~ ,,,,,(reee de lus ,,;argselsticlls Wq!'e pue

F,I valor dol lUom~nlo dt' apoyo l'l! M, = _ 7 ri60 q. 30.4 = - z.l8.G842q.M"du~mo~ l~ resoluci6n "n la ["'ma matriz V eomp8rt'mos 10.'1 resultados.

Pita Rlmplficar, dividimoR 01 tramo dr la VI\i:a on lI610 CUI\ro partes >'.para el dlculo do a" y A ,p. ompI1'~mos 1.16rOl"lo (fl .r;9. u"lendo oad.. dos I'ar-l.C!! on uoa y lomando la muriz do A (XIr (I1.!;Ol y la ole A; por (tl.S!;):

aJl'"' Elo~ll _EJo II.M[, TI;, fl A I {MuM.ti -=1100,25 0,:;0 0';,0 0,7:; 111 ~ X\00000 OO 3.9 O O O O 0,2.~

x O O 0,9 O O O O,

Abor. pockmos escribir(I:i.n)

dond.,,

'1 (1ll"llad.. d. la UnlN de ln.fluDllciacClIUlCllida "' l. fllr :4:n. t. r....nstl'l'i~ abon, l. lnea d. nllllfllei. delOlOtnlTltO de .poy0.77::-S,1O

0,71,~

>>>>,!lOt,,"

,-0,(;09375 1::1,

_S.~2:> E~,

-6,.5625 IU

-8.~37.$n;

-.(,~S3I!5 iJ;1,.." .11' coll.....,O""'I >'l .,.... .I!l!ltic.... 51 upolMl ... i. flf. ~.

Abo,. c.lcul.lI"IO$ .,..,. La fRlttia d. innllOnel. di rOl~ olbtleos..35

.... lOftIa tollllld~n"do f\\MI 1M pn:lS el.1s~i

f v" jI'ig. :\:15 60. ~. M."

W' (tI i;:;& Ft ( )",U;;, ;; .;c.

'!.If/" (M!) /IIr/

F;g.33r,

C.,lc,,18mo~ 611/2, COlOn l"cr~H Icn"~n'rsal~_ -11 O 0,2-'> 0,5 0,7';' 1jl-l( -O,G32g12"-

_3,GOO375_ G,r':,625_l'l,578t2..J_4,523437:'} I=_15,1875 (pI ...alor endo '" [!"J,20).

"j'lEn la !iR. 333, e, se e:tpo"el' ln~ u.' (~ -.)1J:

J,b" 1'(II_l). n-J--O,.~..,t:rL..,I""mo~ 1" r~llldn apr"x,mn

,.)

,d,

(e)

_0,60548-3,M56:i- 6 ..'l2!1I;'I-7,734.:18-3,817G,j

... _248/011'--,-

Para ~;mplilicar los e.",,105 dIvidimos Clld" lramo de Ja viga ""1.. en ClIa-tro part'!l (80 rC1:omienda en 8-1 Z). CompOllemo5lil~ ,"atric"" do los pl"l(l~ rlst

co~ PQ' la f6rmub (ILt14).1. ,,~ 1".61:"/',, ,"""rl.a ",: Ulg. 396)

En el priml'f tramo, lo matrit (le 10l! pelKlS el!!~cos es:2 0.96875 O O O Ot 3,875 0,875 O u 114

-\5 O O.9M75 3,SO 0,71875 O 1/2---- O O 0.87:. 2.875 0,5 3,4

O O O O.7t!l7.~ 1,0 tEn el segundo traillO, [a malri! de 105 pMO!l e16stlroa ,'S:

1 0,875 O O O 1 _ 7,50,.:; 3,:;0 , O O 1 -20,0

- -:HElo'" ""-- O 0.875' 0,875 O 1 -23.0O O 1 3,SO 0,5 1 -20.0O O (1 0.875 1 1 - 7.J

La viga c(lnVCneioll ... l, que on I~ viga ,'-ontinu", (!)lucide cOn el 'l,wma Usi-"". se ,lo NI la rig. 3:\(" 1" donde s:aet.o 1'5 M..OO).

Dividiond{J las {Jl'flenadas EJ.6';., p"r a: t = tO,~,38282, S('(Cun (a), obtena_lUos1n urd('nada~d,' la linea de inlluencla de la lne6gnil-ll aimtriroll (lig, 3.16, ~).Bn l'Sta mis",a f'lfIlr", pata confruntar los T"",,It.ndo!, se dan enlre parnte3131n3 ordN,ndas do la l.i. obtenidas por 01 ekul.. Haet

Pi~.~i

En "la mi!Ill.ll Iillllll, ell l'unhlldc., !It' DlUOlIlrl la l.i. ~ra u..'" vi,. diM'f.C;6n coostal!{('.

~ 150. FORMAS Og LAS LINEAS DE INFLUF:NCIA DE M,Q y H Y POSJC10NES TEOnJr',.AS O DE CALCULO DE LA CAR-GA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA, Lll. rorllta tic Ins IlneaAde infhlencill puede sel' hallada, en muchos 1,\1I$'l8, por el mHodocirlemliUco. En In lig, 339 I;e han (rMallo 1011 configurllciorlCl! aprooximlldll.9 de 111.9 lllMS do inflnellci;l de los rnomeutos [Iectore!', lll.~ful.'uOS trnnS\erso.l~ ). la!' rCllcc;ones de apoyo.

Las lneas de influencia de los moment03 fleelores plleucu serde tres lpos: para las secclon~ entre IU!I roeo..~ (j%:. 339, a); pl\ralos secc:ioJlt~s e

Fig.33(1

f) 'aIDll"1!

Al sistema hii.~ico para el calculo dio! armaduras lo larmoremos5610 con el secciollamierol (no cun la eliminacir) do Il

ra'a 9

"",,1 " " I "00

tlU.6t

.~~""PII. M1 .. ! _-----------!...

I 6111 , ..

~~ J.69. INFLUENClA UEL AR~A DE: LA SECClON DE UNABARRA SUPERFLUA SOBRE LAS FUERZAS Y TENSiONESLONGITUDINALES. Al actuar una G8.rg8. las fuerzas y tensioneslongitudinales en las bafTU supernuu de las armadura!! biperestitieu dept'flden do la~ relaoiones de 1.., reas de todu las barras super-fluas de J. armadura y. bajo la .cej6n de iIl tcmperatU1'1l y las dblo-cacioucs de 10lI apo)'O$, dewndCfI de 11\.5 mllguitudos del.dreas de las

~eiolles do ('lltllS barra!. Oc ah la importancia do conocer unovllriAr~n IIUl fuer7.as y l~n5iol1cs IUllgltudillllles al variar 1M ~rea!lde las ;eeciOlll'S lIe nlgunllJ! borrllS.

Ac('plernos que n :leu el gr>,do do indolormin/lcin egtticu (le lallrrnadnrn y m el n(mlL'fO de lIUS burras. Aelllrcm().'j Cmo variAr lafuerza lol1gitudillaJ en In hurrn k en dopendencia de lo variaei6n dellren do la seccin de esta barra. Seteiollando la barril k, en la qU&el 'rea de la seccin l'S wllrial.Jle. ((trlUaOlOS t'.1 ,Sleona bsico 11 _ tVl'Ct'S hiperc:!tatico.

1.. e

3) por cuanto 61..- 1) y, por c'Ol1siglJlC'/lle, tnlllbin, E'l ](>nomina-.lOl (H;.(i), son siempre positivos. ('l1lonc{":;, el t

160. ARMADURA DE RESISTENCIA UNIFORME,.So lJarnll armadura de reslst(mda lInHOrmOIl aquella, on 1a quo, .1 Dumenl

1" c...rlta,d~l tipo dad.... .,l ..atado limita" ('xl....mo comlMia en lEn Una armadura hoot.Btn. li! f ...auu longitudinales no dependen ,]\11roa dl' las aecelones y, P'Jl' eso, las annadlUu lSO'JUticaa puo_don sor de "",laten-cia umforme en lodos lO!! CUGIl. En'una armadura hiperest!t1ca, 01 asun\(> esdiCorent... En ella, las luorr.as longitudlnsles dependen de las lreas de li! IOC-

don~. Por """. la armadura hipc.elllll.t1ea, slo en cMOl! raTOS pUOOll ser dert'Siswncill Uniformo.

Ef()Ctlvamente, ai en lOuas las hlIrras no """"loll8das\ de eler\.(> sisloma bl-co (Iig. 340, a), In Ulrrslon~. ""n 19u.I~.. a Inllmi~(I'), MtollCOlI, lo, dls.lou-llIiClltoS JtlClpr0e0.9 de los nudos" y.~, e y d, Y otl'08, sern ((talmon\(! d~termlnad,.... Por C!l(I, los alargarolento. elsticos relativos da IIIS barre ab. ~d y otra.)', por conslgul~nta. In tensiones ~n ollu, """ tIolllhin all5Olutamonte de\ormi-nadas. Ella! $lo dep.mdendlll esqUilma de la armadun y de lo. alargamlenlos

(t~n.ion"") de 1... harras RO ....-eiol\8das der ,i,lma bsico y, (lOmO normo, n,o""JI ig"alos a las ton~'Jfl1'9 l",llC!! pano .u.s barras 9

(ld.9)

C111.Il)

Mo9trtmlO cmo H haQ(l ClIIO NI ulla armadorll ....onohlp...l'5LUu. parala cual, d~lMor' cumpU... 4 Igualdad

~ N.. (cJdll +. ,. OLJ e, '-'u'r"'"- .AC~lllt'moe que, ,.... 1u leDalones Umil.t'll fl}a.daa. _a

~ u(O,lll +, +, ~O; el u UT"'Los SIIPl ..ndos bajo 01 .no lW suma I"*leu Mr potitiyO$ o ....plh0,, E, ~ E, ti 1En las umnduUll isosttleas, si se desprecia el peso propio o setiene 00 cuenta aprodmadamebte, las fuertos longitudillales nodepondoo del rea de la!! aeeeiotles de las barras. Por eso, las fullJ'zuIODgltudinales-;:.:eo Wdas las B barras de la &rnledura y todas la5roaecioncs da apoyo Vapo pueden sel' determinadas por las ecuacionesde la est'tice.. Esto sipillea que deben ser conoeidu Id ireude las secciones de todas las B barras o 11.3 resilltenc:ias tl!6ricaso unas y, otras ti! mllrno tiempo, pero, con J c:.antJdad general 8.146

En 1M armllduras hiperest.licas, donde hl1> fu~~U\s 1011git~inalClldependen do las reas de las secciones, la cu~tin es dj!erc1J).te-.Veamlll cules ecuaciones pueden ser empleadas en e.l elileul.o de\lila armadura n