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Prof. José Luiz

Pesquisa Operacional

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DUALIDADE

DUALIDADE

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DUALIDADE

DUALIDADE

Exercício Resolvido: – Escreva o Dual do seguinte modelo Primal

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DUALIDADE

Exercício 2 – Escreva o Dual do seguinte modelo Primal

MAX Z = x1 + 2x2 + 3x3

Sujeito à: x1 + x2 + x3 ≤≤≤≤ 10

2x1 + x2 + 4x3 ≤≤≤≤ 12

x1 + 3x2 – x3 ≤≤≤≤ 9

x1, x2, x3 ≥≥≥≥ 0

DUALIDADE

Exercício 3 – Escreva o Dual do seguinte modelo Primal

MAX Z = 2x1 + 3x2

Sujeito à: x1 + x2 ≥≥≥≥ 10

2x1 + x2 ≤≤≤≤ 16

x1, x2 ≥≥≥≥ 0

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DUALIDADE

Exercício 4 – Escreva o Dual do seguinte modelo Primal

MIN Z = 3x1 + 2x2

Sujeito à: 2x1 + x2 ≥≥≥≥ 10

x1 + 5x2 ≥≥≥≥ 15

x1, x2 ≥≥≥≥ 0

DUALIDADE

Exercício 5 – Escreva o Dual do seguinte modelo Primal

MAX Z = x1 + x2 + 2x3

Sujeito à: x1 + 2x2 ≤≤≤≤ 10

3x1 + 4x2 + x3 ≤≤≤≤ 20

x1, x3 ≥≥≥≥ 0; x2 é livre

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DUALIDADE

Exercício 6 – Escreva o Dual do seguinte modelo Primal

Min Z = 2x1 + 4x2 + 10x3

Sujeito à: x1 + x2 + x3 ≤≤≤≤ 120

x1 + 2x2 + 5x3 ≤≤≤≤ 30

x1, x2, x3 ≥≥≥≥ 0;

Analogia entre as Soluções Primal e Dual

a. A cada solução viável básica primal não ótima corresponde

uma solução básica inviável dual.

b. A solução ótima primal corresponde à solução ótima dual com

Z=0.

c. O coeficiente da variável de decisão na função objetivo primal

é o valor da variável de folga correspondente na solução dual.

(coeficiente de xi = valor de yFi)

d. O coeficiente da variável de folga da função objetivo primal é o

valor da variável de decisão correspondente na solução dual.

(coeficiente de xFi = valor de yi)

Como o primal é dual do próprio dual, vale o raciocínio no sentido

dual → primal.

(coeficiente de yi = valor de xFi)

(coeficiente de yFi = valor de xi).

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O modelo dual correspondente é:

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Min D – 10y1 – 12y2 – 9y3 = 0 ou

Max (-D) + 10y1 + 12y2 + 9y3 = 0

DUAL

PRIMAL

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Solução do DUAL através da solução definitiva do SIMPLEX

A próxima solução viável básica do primal, com a entrada da variável x3

(coeficiente -3) e a saída da variável xF2 (12÷4 = 3), após a pivotamento, será:

Solução:

Usando a correspondência descrita, vamos montar o quadro dual

correspondente:

coeficientes de xi → valores de yFi

coeficientes de xFi → valores de yi

valores de xi → coeficientes de yFi

valores de xFi → coeficiente de yi

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PRIMAL

DUAL

Exercício 1:

Transforme a solução definitiva do Primal no quadro correspondente do Dual

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Exercício 1:

Transforme a solução definitiva do Primal no quadro correspondente do Dual

Conclusão: Dado um problema de programação linear, podemos escolher

entre solucionar o modelo primal ou o modelo dual correspondente. A escolha

leva em consideração o esforço computacional, que depende do número de

restrições, variáveis artificiais, etc.

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2º) Escreva o Dual do seguinte quadro primal do Simplex (Solução ótima):

2º) Escreva o Dual do seguinte quadro primal do Simplex (Solução ótima):

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2º) Resposta: