ÁNGULOSÁngulo : Es la figura geométrica formada por dos rayos que nacen de un mismo punto. Los rayos se llaman lados del ángulo y el punto común desde donde nacen, se llama vértice del ángulo.

A

B

OLado OA

Lado OB

Vértice

Un ángulo cualquiera se denota por: AOB

ÁNGULOSSi los lados de un ángulo son perpendiculares entre si, se dice que tal ángulo se llama ángulo recto, y su representación es la siguiente figura:

O A

B

AOB Ángulo recto

NOTA: Cuando se dice que dos rectas son perpendiculares, significa que ellas han determinado en el plano cuatro ángulos rectos

ÁNGULOSExisten cuatro ángulos que al compararlos con al ángulo recto muestran una imagen diferente, a saber, ellos son :El ángulo agudoEl ángulo obtusoEl ángulo extendidoEl ángulo completo

Angulo agudo: es aquel ángulo que es menor que un ángulo recto. Esta comparación está referida a que el lado OB del ángulo está “entre” los lados del ángulo recto

A

B

O

AOB ángulo agudo

ÁNGULOSÁngulo obtuso: Es aquel ángulo que es mayor que un ángulo recto. Esto también está referido a que el lado OB del ángulo recto está “entre” los lados del ángulo obtuso.

A

B

O

AOB ángulo obtuso

Se entenderá aquí por “ENTRE” cuando el rayo que forma parte del ángulo determina ángulos consecutivos con el ángulo con quien se quiere comparar

ÁNGULOSÁngulo extendido: es aquel ángulo que es igual a dos ángulos rectos, en el caso en que los colocáramos hábilmente uno a continuación del otro, ver figura:

AB O

AOB ángulo extendido

ÁNGULOSÁngulo completo: Es aquel ángulo que es igual a cuatro ángulos rectos en el caso en que los colocáramos hábilmente uno a continuación del otro, ver figura:

Angulo completo

Interior y exterior de un ángulo

Al considerar un ángulo AOB, tal como lo muestra la figura:

AO

B

Éste divide al plano en dos regiones, una llamada interior del ángulo y la otra llamada exterior del ángulo. Lo cierto es que tales nombres son asignados en forma arbitraria, lo que por acuerdo entre ustedes y yo sería tal como lo muestra la figura siguiente:

Interior y exterior de un ángulo

Interior del ángulo

Exterior del ánguloA

B

Interior y exterior de un ángulo

En relación a como se interpretó la noción de interior y exterior de un ángulo, éstos se pueden clasificar en ángulos convexos y ángulos cóncavos.

Ángulo convexo: es un ángulo tal que al trazar un segmento de recta que une dos puntos distintos de los lados del ángulo, éste se encuentra totalmente en el interior del ángulo. En la figura, el segmento AB satisface la afirmación.

Interior y exterior de un ángulo

Ángulo cóncavo: es un ángulo tal que al trazar un segmento de recta que une dos puntos distintos de los lados del ángulo, éste se encuentra totalmente fuera del exterior del ángulo. En la figura, el segmento AB satisface la afirmación.

Otra clasificación de ángulosEsta clasificación está referida a la posición de los lados de los ángulos

Según la posición que tienen los lados de los ángulos, estos se pueden clasificar en ángulos consecutivos, ángulos adyacentes, ángulos complementarios y ángulos suplementarios

Ángulos consecutivos: se dice que dos ángulos son consecutivos cuando ellos tienen un mismo vértice y un lado común. En la figura, los ángulos:

AOB y BOCSon ángulos consecutivos

A

B

C

O

Otra clasificación de ángulos

Ángulos adyacentes: son dos ángulos consecutivos cuyos lados no común están sobre una misma recta, ver figura:

A

B

C O

Los ángulos AOB y BOC son consecutivos adyacente o simplemente adyacentes

Nótese que los lados OA y OC están sobre la recta CA

Los ángulos adyacentes también se conocen con el nombre de par lineal

Otra clasificación de ángulos

Ángulos suplementarios: se dice que dos ángulos son suplementarios cuando ellos son adyacentes. Este concepto también está asociado con la medida del ángulo, lo que no será explicado hasta no conocer cómo se miden los ángulos.

A

B

C O

Los ángulos AOB y BOC son suplementarios

Es aquí donde se dice que el ángulo AOB es el suplemento del ángulo BOC y viceversa

Otra clasificación de ángulosÁngulos complementarios: es aquel par ángulos consecutivos cuyos lados no común son perpendiculares entre sí.

A

B

C

O

Los ángulos AOB y BOC

son complementarios y se dice que el ángulo AOB es el

complemento del ángulo BOC y viceversa

Los rayos OA y OC son perpendiculares entre sí

La bisectriz de un ángulo

Al revisar los diferente textos de Geometría Plana sólo es posible encontrar un solo elemento secundario, llamado bisectriz, el que está relacionado directamente con los ángulos, en general.

¿Qué tan importante es este elemento?

¿cómo se define?

y ...

Antes de dar una definición o una explicación de él, veamos el siguiente problema:

La bisectriz de un ánguloPROBLEMA:

Se desea encontrar la forma de cómo se podría trazar un

rayo OC de tal forma que la medida del ángulo AOC sea

igual que la medida del ángulo COB, ver figura:

AO

C

BO bien que el ángulo

AOC COB

La bisectriz de un ángulo

AO

C

B

Si observamos esta figura percibimos como si el rayo OC dividiera al ángulo AOB en dos ángulos AOC y COB, los que si fueran congruentes, ellos tendrían la misma medida. Es así, entonces, que esto podría llevarnos a la definición de bisectriz

La bisectriz de un ánguloDe acuerdo a lo anterior podemos enunciar la siguiente definición de bisectriz

Definición:

Bisectriz de un ángulo es aquel rayo que nace del vértice del ángulo y divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Ver figura:

AO

C

B

rayo OC bisectriz del ángulo AOB

• Observa :• bisectriz

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• “AHORA TE TOCA A TI”

¿Cómo trazar la bisectriz de un ángulo