4.10. neki osnovni pou Čci diferencijalnoga ra...

4.10. NEKI OSNOVNI POUČCI

DIFERENCIJALNOGA RAČUNADIFERENCIJALNOGA RAČUNA

CAUCHYJEV, FERMATOV, ROLLEOV I

LAGRANGEOV POUČAK

4.10.1. LOKALNI MINIMUM

• Neka je f funkcija definirana na otvorenom intervalu

⟨a, b⟩.

• Kažemo da funkcija f ima lokalni minimum u točki

c ∈ ⟨a, b⟩ ako postoji otvoreni interval ⟨č, ć⟩ sa

sljedećim svojstvima:sljedećim svojstvima:

• a) ⟨č, ć⟩ ⊆ ⟨a, b⟩;

• b) c ∈ ⟨č, ć⟩;

• c) za svaki x ∈ ⟨č, ć⟩ \ {c} vrijedi nejednakost:

• f (x) > f(c)

Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel,

Zagreb

2

4.10.2. LOKALNI MAKSIMUM

• Neka je f funkcija definirana na otvorenom intervalu ⟨a,

b⟩.

• Kažemo da funkcija f ima lokalni maksimum u točki

c ∈ ⟨a, b⟩ ako postoji otvoreni interval ⟨č, ć⟩ sa

sljedećim svojstvima:sljedećim svojstvima:

• a) ⟨č, ć⟩ ⊆ ⟨a, b⟩;

• b) c ∈ ⟨č, ć⟩;

• c) za svaki x ∈ ⟨č, ć⟩ \ {c} vrijedi nejednakost:

• f (x) < f(c)


Zagreb

3

4.10.3. NAPOMENA

• Lokalni minimum i lokalni maksimum realne

funkcije zajedničkim imenom nazivamo lokalni

ekstremi realne funkcije.

• To su najmanja, odnosno najveća vrijednost• To su najmanja, odnosno najveća vrijednost

funkcije na nekom (proizvoljno malom)

otvorenom intervalu sadržanom u domeni cijele

funkcije.


Zagreb

4

4.10.4. GLOBALNI EKSTREMI

• Neka je f realna funkcija definirana na skupu S ⊆ R.

• Kažemo da funkcija f ima globalni minimum u točki c ∈ S

ako za svaki x ∈ S vrijedi nejednakost:

• f (x) ≥ f(c)

• Kažemo da funkcija f ima globalni maksimim u točki c ∈ S• Kažemo da funkcija f ima globalni maksimim u točki c ∈ S

ako za svaki x ∈ S vrijedi nejednakost:

• f (x) ≤ f(c)

• Globalni minimum i globalni maksimum zajedničkim

imenom nazivamo globalni ekstremi.


Zagreb

5

4.10.5. NAPOMENA

• Treba biti vrlo oprezan u korištenju termina lokalni i

globalni ekstrem. Naime, lokalni ekstrem ne mora

biti i globalni ekstrem (vidjeti Sliku 1.), niti globalni

ekstrem mora biti lokalni ekstrem (vidjeti Sliku 2.)

• Zbog toga ćemo ubuduće uvijek isticati o kojoj vrsti• Zbog toga ćemo ubuduće uvijek isticati o kojoj vrsti

ekstrema se radi: lokalnom minimumu, globalnom

minimumu, lokalnom maksimumu ili globalnom

maksimumu.


Zagreb

6

4.10.6. SLIKA 1.


Zagreb

7

4.10.7. SLIKA 2.


Zagreb

8

4.10.8. FERMATOV POUČAK

• Neka je f realna funkcija definirana na

otvorenom intervalu ⟨a, b⟩.

• Ako f na intervalu ⟨a, b⟩ ima lokalni minimum c1

i/li lokalni maksimum c2, te ako postojei/li lokalni maksimum c2, te ako postoje

derivacije f ’(c1) i/li f ’(c2), tada je nužno

• f ’(c1) = f ’(c2) = 0.


Zagreb

9

4.10.9. KOMENTAR FERMATOVA

POUČKA• Fermatov poučak daje nužne uvjete za određivanje

lokalnih ekstrema realne funkcije definirane na

otvorenom intervalu.

• Prema tom poučku, kandidate za lokalne ekstreme

funkcije f treba tražiti ili među točkama iz domenefunkcije f treba tražiti ili među točkama iz domene

funkcije f u kojima ne postoji derivacija te funkcije

ili među onim rješenjima jednadžbe f ’(x) = 0 koja

pripadaju domeni funkcije f.


Zagreb

10

4.10.10. ROLLEOV POUČAK

• Neka je f realna funkcija definirana na segmentu

[a, b] takva da ima sljedeća svojstva:

• 1.) f je neprekidna na [a, b];

• 2.) f ima derivaciju u svakoj točki iz intervala ⟨a, b⟩;

• 3.) f (a) = f(b).

• Tada postoji barem jedna točka c ∈ ⟨a, b⟩ takva da je

f ’(c) = 0.


Zagreb

11

4.10.11. CAUCHYJEV POUČAK O SREDNJOJ

VRIJEDNOSTI

• Neka su f i g realne funkcije definirane na segmentu [a, b] i

takve da imaju sljedeća svojstva:

• 1.) f i g su neprekidne na [a, b];

• 2.) f i g imaju derivaciju u svakoj točki iz intervala ⟨a, b⟩;

• 3.) za svaki x ∈ ⟨a, b⟩ vrijedi g’(x) ≠ 0.• 3.) za svaki x ∈ ⟨a, b⟩ vrijedi g’(x) ≠ 0.

• Tada postoji barem jedna točka c ∈ ⟨a, b⟩ takva da vrijedi

jednakost


Zagreb

12

4.10.12. LAGRANGEOV POUČAK O

SREDNJOJ VRIJEDNOSTI

• Neka je f realna funkcija neprekidna na segmentu

[a, b] i takva da ima derivaciju u svakoj točki

intervala ⟨a, b⟩. Tada postoji barem jedna točka

c ∈ ⟨a, b⟩ takva da vrijedi jednakost:


Zagreb

13

4.10.13. NAPOMENA

• Lagrangeov poučak o srednjoj vrijednosti poseban je

slučaj Cauchyjeva poučka o srednjoj vrijednosti.

• Ukoliko u Cauchyjevu poučku o srednjoj vrijednosti

odaberemo g(x) = x, dobivamo Lagrangeov poučak.

• Cauchyjev i Lagrangeov poučak lako se dokazuju• Cauchyjev i Lagrangeov poučak lako se dokazuju

primjenom Rolleova poučka, dok se Rolleov poučak

dokazuje primjenom Fermatova poučka.


Zagreb

14

4.10.14. KOMENTAR

LAGRANGEOVA POUČKA • Lagrangeov poučak tvrdi:

• Povučemo li pravac p kroz točke A = (a, f (a)) i B = (b,

f (b)), onda postoji barem jedna točka c ∈ ⟨a, b⟩ u kojoj

je tangenta t povučena na graf funkcije f u točki C = (c,

f (c)) usporedna s pravcem p.f (c)) usporedna s pravcem p.

• Pritom su uvjeti neprekidnosti funkcije f na [a, b],

odnosno derivabilnosti te funkcije na ⟨a, b⟩ nužni jer

ako barem jedan od tih uvjeta nije ispunjen, poučak

općenito ne mora vrijediti.


Zagreb

15

4.10.15. NAPOMENA

• Niti jedan od prethodna dva poučka srednje

vrijednosti (Cauchyjev, Lagrangeov) ne daje

efektivan algoritam kako odrediti barem jednu

točku c čije smo postojanje utvrdili.

• Zbog toga se u numeričkoj matematici razvijaju

posebne metode i tehnike određivanja tih točaka.


Zagreb

16

4.10. neki osnovni pou Čci diferencijalnoga ra...

Documents