電磁에너지변환공학

3장 전기와 기계적 관계

3.3.11 Laplace 역변환

3.3 라플라스 전달함수

계자회로에 인가된 전압과 축 회전속도와의 전달함수는 다음 식으로 나타낸다.

계단함수 전압 Vf가 계자회로단자에 인가되었을 때, Vf의 Laplace 변환은,

따라서, 식 (3.96)를 다음 식으로 변환한다.

(3.96)

(3.97)

3.3.11 Laplace 역변환

3.3 라플라스 전달함수

s가 포함된 모든 항을 부분분수로 전개한다.

Laplace 역 변환하면,

따라서,

(3.98)

(3.99)

3.3.11 Laplace 역변환

3.3 라플라스 전달함수

상수 A, B, C를 구한다.

(3.100)

(3.102)

(3.101)

3.3.11 Laplace 역변환

3.3 라플라스 전달함수

상수 A, B C를 본래 식에 대입하면,

이 식은 시간에 따른 전동기 속도의 변화를 나타낸 것이다.

속도

Ω

t

정상속도

ⅰ) t = ∞ : 일정속도

ⅱ) t = 0 : 속도 = 0

(3.103)

그림 3.16 계단함수의 계자전압이 인가되었을때의 전동기축 속도의 상승곡선

3.3.12 고유응답(자연응답)

3.3 라플라스 전달함수

응답 = 자연응답 +강제응답

(1) 고유응답은 지수항에 대한 응답이다.

(2) 구동함수 = 0 상태의 응답이다.

(3) 과도상태의 응답이다

3.3.13 강제응답

3.3 라플라스 전달함수

응답 = 자연응답 + 강제응답

(1) 강제응답은 t = ∞일 때의 응답이다.

(2) 강제응답은 최종응답이기 때문에

일정한 값이거나 0으로 된다.

(3) 정상상태 응답이다.

3.3.14 임펄스 교란

3.3 라플라스 전달함수

임펄스 교란이란 시스템에 순간적으로 충격파를 가했을 때의 응답상태를 말한다.

예를 들면, 배트로 야구공을 때렸을 때와 같이 한 번 충격으로 끝나고 그 이후에는 힘이가해지지 않았을 때의 응답이다. 즉, 자연상태에 따른 운동이다.

(1) 술잔의 가장 자리를 살짝 때린 경우, 술잔의 울림을 듣고 술잔의 질 상태를알 수 있다.

(2) 차 문을 닫는 소리로부터 차의 견고성 여부를 판단할 수 있다.(3) 마이크를 손으로 톡톡 치는 것으로 마이크의 확성능력을 시험할 수 있다. (4) 시스템에 임펄스 충격파를 가함으로써 시스템의 특성을 평가할 수 있다.

임펄스 시험

→ 임펄스 교란은 시스템의 상태를 시험하거나 해석하는 수단으로 사용된다.

3.3.15 임펄스 함수

3.3 라플라스 전달함수

임펄스는 매우 짧은 시간에 가해지는 충격파적 힘이다.

임펄스 량 = 힘 X 시간으로 정의된다.

임펄스 = F t1

F

tt1

F t1

δ

F 2

0

4

1/4 1/2

면적=1

t 물리적으로 δ는 시스템 응답이 무시될정도로 짧은 시간에 일어나는 힘 또는교란을 나타낸다.

(3.104)

그림 3.17(a) 임펄스 (b) 임펄스 함수의 극한

3.3.15 임펄스 함수

3.3 라플라스 전달함수

임펄스 Laplace 변환

임펄스 함수는 t = 0를 제외하고는 모든 시간에서 δ = 0이 된다. 마찬가지로 δe-st는 함수는 t = 0를 제외하고는 모든 시간에서 0이 된다.

(3.105)

3.3.16 임펄스와 자연응답

3.3 라플라스 전달함수

임펄스 함수 v = δ가 인가되었을 때 전류 i는

정상상태의 임피던스

라플라스변환

그림 3.18 (a) 유도성 회로

3.3.16 임펄스와 자연응답

3.3 라플라스 전달함수

여기서, τ = L/R (R-L직렬회로의 시정수)

라플라스 역변환

(3.108)

(3.109)

그림 3.18(b) 단위충격전압v = δ의 응답

3.4.1 전달함수의 분류

3.4 함수와 응답의 유형

전달함수의 응답

ⅰ) 주파수 응답(주파수 함수)ⅱ) 시간함수인 고유응답ⅲ) 어떤 인수들에 의해서 그 인수가 전달함수에 미치는 영향

(즉, 인수 s에 의한 적분 또는 미분)

제 Ⅰ 형 상수 인수제 Ⅱ 형 s 인수제 Ⅲ 형 (1+sτ) 형태의 선형인수제 Ⅳ 형 (1+bs+as2) 형태의 2차인수

전달함수의 인수 유형

3.4.2 상수인수

3.4 함수와 응답의 유형

상수인수를 갖는 전달함수

전달함수 인수가 상수(k)이면, 응답 v2는 입력 v1에 비례한다. 이 경우는 이상적인 지렛대, 기어, 변압기, 저항으로 구성된 회로 등이다.

(3.110)

그림 3.19 비례응답 저항회로망

3.4.2 상수인수

3.4 함수와 응답의 유형

(1) 주파수응답ⅰ) 전달함수 인수가 상수(k)인 경우의 응답 크기는 주파수와 무관하다. ⅱ) 주파수에 관계없이 입력과 출력의 비는 항상 k이다. ⅲ) 주파수 응답은 수평의 직선이다.

(2) 고유응답ⅰ) 상수의 전달함수를 갖는 장치는 고유응답이 없다. ⅱ) 어떤 입력이든지 간에 출력은 입력과 같은 형태를 갖고 크기만 k배가 된다.

(3) 상수인자가 미치는 영향ⅰ) 상수인자가 복잡한 전달함수의 일부분으로 나타날 때는 이 인자가 응답의

크기를 결정한다. 즉, 주파수 응답함수의 절대값에만 영향을 주고 함수의형태와는 무관하다.

ⅱ) 상수인자 항은 교란에 의한 고유응답의 대소에만 관계하고 응답의 형태에는무관하다.

3.4.3 적분인수

3.4 함수와 응답의 유형

적분인수를 갖는 전달함수

여기서, 1/s은 각 θ가 속도 Ω의 적분임을 뜻하는 적분인수이다.

1/s의 전달함수는 각과 속도에 관계된다.

따라서 각 θ의 Laplace 변환은 다음 식으로 나타낸다.

(3.111)

(3.112)

3.4.4 실제적인 예

3.4 함수와 응답의 유형

1/s의 전달함수를 갖는 장치로서 플라이휠을 들 수 있다.

플라이휠의 미분방정식

F : 힘

(3.113)

그림 3.20 회전력에 의해서 가속된 플라이휠

3.4.4 실제적인 예

3.4 함수와 응답의 유형

라플라스 변환하면,

입력 토오크에 대한 출력속도의 전달함수

따라서,

그러므로

여기서, T는 입력Ω는 출력J는 비레상수

(3.114)

(3.115)

3.4.5 주파수 응답

3.4 함수와 응답의 유형

주파수 응답은 정상상태(s대신에 jω를 대입)를 나타내는 식에서 구할 수 있다.

크기만을 고려하면,

응답은 주파수에 반비례하며 그림 3.21과 같이쌍곡선으로 나타난다.이렇게 반비례 하는 것이 전달함수가 1/s일 때의주파수응답 특성이다.

(3.116)

(3.117)

그림 3.21(a) 주파수응답의 크기

3.4.5 주파수 응답

3.4 함수와 응답의 유형

Log눈금으로 나타내면,

이 그래프는 y = -x형태의 그래프가되며, 기울기는 -1인 직선이다.

즉, 주파수가 10만큼 내려가면출력이 10 만큼 내려간다.그러므로 -10:10의 기울기로 나타낸다.

(3.118)

그림 3.21(b) 로그눈금

3.4.6 고유 응답

3.4 함수와 응답의 유형

입력의 전달함수가 δ인 경우 → 출력은 장치의 전달함수 자체가 된다. 그러므로 전달함수가 1/s인 장치의 출력은 계단함수로 된다.

T = δ라 하면, 충격함수 T의 Laplace 변환은 T=1이 되므로

에서

1/s은 단위계단함수 u(t)의 Laplace 변환이므로, 1/s을 역변환하면 1이 된다.따라서

그러므로 플라이휠에 갑자기 힘을 가했다고 하면, 이 충격으로 플라이휠은계속해서 회전하게 된다. 회전속도는 시간적 계단함수이다.

(3.119)

(3.120)

3.4.6 고유 응답

3.4 함수와 응답의 유형

※ 참고

3.4.7 적분항

3.4 함수와 응답의 유형

전달함수의 인자가 1/s이 되는 것을 적분인수라 한다.

(1) 입력이 충격펄스인 δ함수이면, 출력은 이것의 적분인 계단함수가 된다.(2) 입력이 T가 cos함수이면, 출력은 cos의 적분인 sin함수가 된다.(3) 입력이 계단함수 U(t)이면, 출력은 그 적분인 램프함수로 된다.

t

Ω

1

0

T

그림 3.22 단위계단함수의 응답

3.4.8 미분인수

3.4 함수와 응답의 유형

전달함수의 인자가 s가 되는 것을 미분인수라 한다.

(1) 주파수응답

주파수응답은 s대신에 jω로 나타낸다.

C

(3.121)

(3.122)그림 3.23(a) 미분장치로 구동하는커패시터

3.4.8 미분인수

3.4 함수와 응답의 유형

101

10

1

1/10

1/10

절대값의 크기

출력 I는 주파수에 비례한다.

이것이 s가 전달함수의 분자에있는 경우의 주파수응답특성이다.

(3.123)

그림 3.23(b) 주파수응답

3.4.8 미분인수

3.4 함수와 응답의 유형

변환함수 분자에 s가 있으면 시간함수를 미분하는 것과 같다.

(2) 변환함수의 분자에 s가 있는 경우

출력 I는 입력 V를 미분한 것에 C배를 한 것과 같다.

따라서,

V가 sin함수이면 I는 cos함수가 되고, V 가 계단함수이면 I는 임펄스함수가 된다.그리고 V가 램프함수이면 I는 계단함수가 된다.

(3.124)

3.4.8 미분인수

3.4 함수와 응답의 유형

δ함수의 미분은 t = 0일 때를 제외하고는 모두 0이다.

(3) s함수의 고유응답은 δ함수의 미분과 같다.

t = 0일 때,

δ함수를 미분 가능한 피크를 가진 좁고 높은 함수의 극한이라고 생각하면, V는 폭이 좁고 높이는 점점 커지므로 미분은 처음 순간에는 매우 높은 (+)값을 가지며다음 순간에는 매우 큰 (-)값을 가지게 되고 극한에 가서는 무한대로 접근함을알 수 있다.

물리적으로 보면,

커패시터에 δ함수에 가까운 전압을 인가한 경우에 흐르는 전류가 고유응답이라할 수 있다.

3.4.9 분모에 선형인수가 있을 경우

3.4 함수와 응답의 유형

여기서, τ = R/L이다.

분모에 선형인수가 있는 형태

(3.125)

그림 3.24(a) 저역 통과회로

3.4.9 분모에 선형인수가 있을 경우

3.4 함수와 응답의 유형

교류를 인가한 경우의 응답은s 대신에 jω를 대입한다.

(1) 주파수 응답

이 함수의 절대값

이 함수의 크기는 항상 1보다 작다.

0 21 3 4

1/2

1

0

ωτ

1/10

1

10

1/10τ 1/τ 10/τ

(3.126)

(3.127)

그림 3.24(b) 선형눈금상의 주파수응답

그림 3.24(c) 로그눈금상의 주파수응답

3.4.9 분모에 선형인수가 있을 경우

3.4 함수와 응답의 유형

고유응답을 나타내는 식의 형태

(2) 고유응답

인가전압 V1이 δ함수일 때, δ의 Laplace변환이 1이므로,

따라서

V2를 시간함수로 나타내면,

0 21 3

1

0

t

V2

(3.128)

(3.129)

(3.130)

그림 3.24(d) 시간함수로서의 고유응답

3.4.10 선형인수가 분자에 있을 경우

3.4 함수와 응답의 유형

인수 (1+sτ)가 분자에 있는 경우의 함수

(1) 교류전원에 대한 주파수함수의 응답

이 식은 식(3.127)과 역관계로 된다.

따라서주파수응답은 주파수 증가에 따라 무한대로 증가하게 된다.

1/10

1

10

1/10τ 1/τ 10/τ

(3.131)

(3.132)

그림 3.25 (1+sτ)인자에 의한 주파수응답

3.4.10 선형인수가 분자에 있을 경우

3.4 함수와 응답의 유형

이와 같은 종류의 응답은 커패시터와 저항을 병렬로 연결했을 때의 어드미턴스 함수에서나타난다.

응답이 (1+sτ)형태이므로 일정 크기의 전압에대해서 커패시터 양단 전압은 일정하므로 주파수를증가시키면 입력전류는 무한대에 이른다.

CRY

3.4.10 선형인수가 분자에 있을 경우

3.4 함수와 응답의 유형

(2) (1+sτ)의 인수가 복잡한 함수의 분자항으로 나타날 때

이 때의 출력은 와 를 적분한 것의 합으로 나타난다.

이 미분항은 주파수가 높은 경우에 응답을 중가시키는 효과를 갖는다.분자에 있는 이러한 인수와 고주파에서의 증가된 응답은 전체 시스템의 응답곡선을 증가시킨다.

→ 이 특성은 폐로 시스템의 안정도를 증가시키는 방법으로 이용된다.

(3.133)