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Metodos Variacionais

Prof. Dr. Ricardo L. Viana

Departamento de Fsica

Universidade Federal do Parana

Curitiba - PR

13 de maio de 2014

1 Introducao

O calculo variacional surgiu em meados do Seculo XVIII, tendo sido criado porEuler, Lagrange e outros matematicos para a resolucao de problemas geometricosenvolvendo a determinacao de curvas ou superfcies que maximizassem ou mi-nimizassem determinadas quantidades. Muitos princpios basicos da Fsica saoexpressos sob a forma de princpios variacionais. Podemos citar o princpio deHamilton da mecanica classica, o princpio de Fermat da otica geometrica, entreoutros. O uso do calculo variacional prove uma metodologia elegante e geralpara a solucao de varios problemas da Fsica Matematica. Nesta parte do cursoestudaremos a formulacao de problemas variacionais para uma ou mais variaveis

dependentes e/ou independentes, procurando exemplificar os assuntos vistoscom aplicacoes de interesse fsico. Posteriormente iremos tratar a equacao deSturm-Liouville como um problema de calculo variacional e, como consequencia,veremos um metodo devido a Rayleigh e Ritz, para a determinacao aproximadade solucoes de problemas variacionais, o qual tem aplicacoes diversas que vaodesde a Acustica a Mecanica Quantica.

2 Equacao de Euler para uma variavel indepen-

dente e uma dependente

No que segue, denotaremos porx a variavel independente, e pory a dependente.Usaremos, ainda, a notacaoyx = dy/dx para a derivada de y(x) em relacao ao

seu argumento. O problema central do calculo variacional pode ser expresso naseguinte forma: desejamos encontrar uma funcao y(x) que possui valores fixosnos pontos x = x1 e x = x2, tal que a integral de linha de uma dada fun caof(y, yx, x)

J=

x2x1

f(y, yx, x)dx (1)

seja um extremo (maximo, mnimo ou ponto de inflexao). Em outras palavras,queremos encontrar y(x) com valores fixos y1 = f(x1) e y2 = f(x2) tal que aintegralJ seja estacionaria. A integralJ e um funcional, pois nao depende sodos valores dey e sua derivada num dado ponto x, mas sim em todos os pontos

1

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x

x

y

1

2

y

y

x x

1

1 2

2

0

=0

=

=

=

2

1

2

3

=

Figura 1: Parametrizacao de caminhos ligando dois pontos fixos.

do intervalox1 x x2, ja que a integral (131) depende do caminho escolhidoentre esses pontos.

2.1 Parametro variacional

Ha, naturalmente, infinitas funcoes com valores fixos em (x1, y1) e (x2, y2), masa integral J assume valores diferentes para cada um. No plano cartesiano,isso equivale a dizer que ha infinitos caminhos ligando os pontos fixos, masapenas para um deles J e um extremo. Formalmente podemos rotular todos os

caminhos possveis entre os pontos (x1, y1) e (x2, y2) por meio de um parametrovariacional , de modo que cada caminho seja caracterizado por y(x, [Fig.1]. Para um dado valor de, como = 0, o caminho otimo correspondente,denotado pory (x, 0) torna J estacionaria.

Suporemos que cada caminho seja uma deformacao contnua do caminhootimo no sentido de que podemos escrever

y(x, ) =y(x, 0) +(x), (2)

onde(x) representa a deformacao, portanto deve ser uma funcao continuamentediferenciavel (suave) em todos os pontos do intervalo x1< x < x2, anulando-senos seus extremos: (x1) =(x2) = 0.

Como um exemplo de parametrizacao consideremos os pontos fixos no plano(x1, y1) = (0, 0) e (x2, y2) = (1, 0), onde o caminho otimo seja o segmento dereta que os une:

y(x, 0) = {(x, y)|y = 0, 0 x 1}.Uma famlia de curvas suaves parametrizadas por que conectam os pontosfixos e ( R)

y(x, ) =x(1 x),onde = 0 fornece o caminho otimo: y(x, 0) = 0. Logo(x) = x(1 x), quesatisfaz (0) =(1) = 0.

Observe que a deformacao (x) deve ser uma funcao suave no intervalo[x1, x2], ou seja, deve ser diferenciavel em todos os seus pontos. No exemplo

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anterior, isso significa que nao podemos usar uma funcao como ( R)

(x) =

2x, se 0 x 1/2,2(x 1), se 1/2 x 1,

pois ela nao e diferenciavel em x = 1/2.

2.2 Deducao da equacao de Euler

O funcional integral (131), com o auxlio do parametro variacional , pode serreescrito como

J() =

x2x1

f(y(x, ), yx(x, ), x)dx. (3)

A condicao imposta ao caminho otimo y(x, 0) de que torne o funcional acima

estacionario implica em J

=0

= 0. (4)

Diferenciando (3) em relacao a teremos

J

=

x2x1

f

y

y

+

f

yx

yx

dx. (5)

Integrando por partes o segundo termo do lado direito x2x1

f

yx

=uyx

dx

=dv=

f

yx

y

x2

x1

x2x1

y

=vd

dx

f

yx

dx

=du(6)

Como todas as curvas parametrizadas por devem passar pelos pontos fixos,y

x1

= 0,

y

x2

= 0, (7)

tal que a primeira parcela resultante da integracao por partes e identicamentenula, restando, entao

J

=

x2x1

f

y d

dx

f

yx

y

dx. (8)

Multiplicando pord e calculando as derivadas em relacao a para o cami-nho otimo = 0 teremos

J

=0

d=

x2x1

f

y d

dx

f

yx

y

ddx. (9)

Vamos denominar variacaoda integral Ja seguinte expressao

J

J

=0

d, (10)

assim como, analogamente, a variacao de y sera

y

y

=0

d, (11)

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com as quais reescrevemos (9) como

J= x2x1

fy d

dx

fyx

ydx. (12)

A condicao (4) para que a integral J seja estacionaria e, portanto, simples-mente

J= 0. (13)

Impondo essa condicao em (12), como y e arbitrario, concluimos que, neces-sariamente, o termo entre colchetes deve anular-se, o que fornece a equa cao deEuler 1

f

y d

dx

f

yx

= 0. (14)

Leonhard Euler chegou a equacao acima em 1744, no seu trabalho Metodopara achar curvas planas que mostram algumas propriedades de maximos e

mnimos. Posteriormente, em 1760, Joseph Louis Lagrange aprofundou a analiseprevia de Euler no seu trabalho Ensaio sobre um novo metodo para determinaros maximos e mnimos de formulas integrais indefinidas. Por esse motivo, den-tro do contexto da mecanica, a expressao (14) e tambem chamada de equacaode Euler-Lagrange.

2.3 Aplicacao: Menor distancia entre dois pontos

O elemento de comprimento de um arco no plano e dado por

ds= dr dr= dx2 +dy2 =dx1 + dydx2 =dx1 +y2x, (15)

de tal sorte que o comprimento total de uma curva plana ligando os pontos decoordenadas (x1, y1) e (x2, y2) e

L=

21

ds=

x2x1

dx

1 +y2x, (16)

na forma de um funcional integral.Desejamos encontrar a curva ligando os pontos 1 e 2 tal que o seu compri-

mento L seja mnimo. Do ponto de vista do calculo variacional, isso implicaem achar y(x) tal que a integral L seja estacionaria (um mnimo, na verdade,

mas essa e uma questao posterior), ou seja, resolver a equacao de Euler (14)correspondente para f=

1 +y2x. Como f nao depende explicitamente de y ,

d

dx

yx

1 +y2x

= 0

yx1 +y2x

= C

yx =

C2

1 C2 a,1A equacao de Euler e uma condicao necessaria, porem nao suficiente para que J= 0.

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onde a e uma outra constante.

A equacao diferencial dy/dx = a e elementar e fornece a solucao geraly(x) =ax +b, onde b e uma constante de integracao. Como a curva y (x) devepassar pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2), as constantesa e b sao determinadas pelaresolucao do seguinte sistema de equacoes lineares

ax1+b = y1,

ax2+b = y2,

isto e,

a = y1 y2

x1 x2 , (17)

b = y2x1 y1x2

x1

x2. (18)

A solucao y (x) =ax+b representa um segmento de reta entre dois pontos.Em geral, curvas que fornecem a menor distancia entre dois pontos sobre uma

superfcie sao chamadas geodesicas dessa superfcie. Numa superfcie esferica,por exemplo, a geodesica entre dois pontos e o menor arco de crculo maximo (ocentro coincide com o centro da esfera) que conecta estes pontos. Na relatividadegeral, o espaco-tempo quadridimensional e curvo, e a geodesica generaliza anocao de linha reta para este espaco. Uma partcula livre, na relatividade geral,sempre move-se ao longo de uma geodesica do espaco-tempo curvo.

2.4 Identidade de Beltrami

Quando a funcao fno funcional integral (131) nao depende explicitamente da

variavel independente x, e possvel reduzir a equacao de Euler-Lagrange a se-guinte identidade, descoberta por Beltrami em 1868:

f yx fyx

=C= constante. (19)

Para deduzir essa identidade, consideremos primeiramente a derivada totalda funcaof(y, yx, x):

df

dx =

f

y

dy

dx+

f

yx

dyxdx

+f

x

= f

yyx+

f

yxyxx+

f

x,

onde podemos isolarf

yyx =

df

dx f

yxyxx f

x. (20)

Multiplicando a equacao de Euler (14) por yx obtemos

yxf

y yx d

dx

f

yx

= 0. (21)

Substituindo (20) em (21),

df

dx f

yxyxx f

x yx d

dx

f

yx

= 0. (22)

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x

y

0

x

y

1

2

Figura 2: A braquistocrona.

Comod

dx

yx

f

yx

= yxx

f

yx+yx

d

dx

f

yx

, (23)

a expressao (22) fornece, apos um pequeno rearranjo, uma forma alternativa daequacao de Euler:

fx

+ d

dx

f yx f

yx

= 0. (24)

Casof nao dependa explicitamente de x, entao fx = 0 e (24) reduz-se a

ddx

f yx f

yx

= 0. (25)

que, por integracao, nos leva a identidade de Beltrami (19).

2.5 Aplicacao: Braquistocrona

O problema da braquistocrona consiste em achar a trajetoria pela qual umapartcula deslizando a partir do repouso, sem atrito, e acelerada unicamentepela gravidade, vai de um ponto a outro (num plano vertical) no menor tempopossvel. Ele foi formulado pela primeira vez por Johann Bernoulli em 1696, soba forma de um desafio lancado aos maiores matematicos do seu tempo. Cincodeles enviaram suas solucoes: Newton, Jacob Bernoulli (irmao de Johann), Leib-nitz, LHopital, alem do proprio Johann Bernoulli. Todos eles, usando diferentesmetodos geometricos, encontraram corretamente a curva como sendo um arco decicloide. Os metodos usados pelos irmaos Bernoulli para resolver o problema dabraquistocrona e assemelhados levaram, anos apos, Euler e Lagrange a criaremo calculo variacional.

Por simplicidade, vamos supor que a partcula de massa m parta do repousoda origem 1 : (0, 0) e deslize sem atrito pela curva y(x) ate chegar ao ponto2: (x, y). O tempo necessario para percorrer o caminho ligando esses pontos e

t12=

21

ds

v, (26)

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onde ds e o elemento de arco dado por (15). Para achar a velocidadev como

funcao da elevacao y podemos usar conservacao de energia, o que fornece v =2gy. Substituindo em (26) teremos o funcional integral

t12=

x0

1 +y2x

2gy dx. (27)

Desejamos achar a forma da curva y(x) para a qual, dados os pontos fixos1 e 2, o tempo de percurso e mnimo. Este e um problema variacional parao qual a solucao e obtida resolvendo-se a equacao de Euler (14) para a funcao

f(y, yx) = (1 +y2x)1/2

(2gy)1/2. Como ela nao depende explicitamente de xpodemos usar, alternativamente, a identidade de Beltrami (19):

f yxf

yx = y2

x(1 +y

2

x)

1/2

(2gy)

1/2

+ (1 +y

2

x)

1/2

(2gy)

1/2

C = (2gy)1/2(1 +y2x)1/2 y2x+ (1 +y2x)

= (2gy)1/2(1 +y2x)

1/2.

Quadrando ambos os membros obtemos a seguinte equacao diferencial

y(1 +y2x) = 1

2gC2 k2, (28)

onde k e uma nova constante. Isolando dx e tomando apenas o sinal positivopara a raiz quadrada, obtemos

dx= yk2 y dy. (29)Vamos introduzir um parametro 0

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y

x0

y

y

xx

y

ds2

1

1 2

Figura 3: Superfcies de revolucao de area mnima.

que sao as equacoes de uma cicloide.A cicloide e a curva tracada por um ponto fixo num crculo de raioa = k2/2

que rola sem deslizar por uma linha reta. Podemos interpretar o parametro como o angulo que o raio vetor do ponto fixo faz com um raio vetor dereferencia. Num ciclo completo, portanto, o parametro vai de zero a 2. Elafoi estudada primeiramente por Galileu em 1599, que tentou achar a sua areaexperimentalmente (!) cortando e pesando pedacos de metal. A area sob a curvaapos um ciclo completo, dada por 3a2, foi encontrada por Torricelli, Fermat eDescartes usando metodos geometricos. O comprimento de um ciclo completoda cicloide e 8a.

A braquistocrona tem uma outra propriedade notavel, e aparentemente pa-radoxal: uma partcula colocada em qualquer posicao (nao necessariamente aorigem), vai alcancar o ponto final no mesmo tempo, ou seja, t12, alem de sermnimo, independe da posicao inicial! Por esse motivo a cicloide e tambem umatautocrona. Essa propriedade foi descoberta por 1673 por Huyghens, que a uti-lizou no (tambem sua invencao) relogio de pendulo. Para garantir o isocronismodas suas oscilacoes, ele adaptou no ponto de suspensao do pendulo duas guiasna forma de arcos de cicloide, o que fez com que o proprio pendulo oscilassenao em arcos de crculo (aproximadamente isocronos), mas em arcos de cicloide(isocronos), o que melhorou bastante a precisao do relogio.

2.6 Aplicacao: Superfcies de revolucao e filmes de sabao

O problema consiste em encontrar a curva que liga os pontos (x1, y1) e (x2, y2)que, ao ser girada em torno do eixo das abscissas, fornece uma superfcie derevolucao de mnima area [Fig. 3]. Imaginando que os pontos 1 e 2, ao seremgirados, geram dois crculos de raios y1 e y2, respectivamente, isso equivale aperguntar qual a superfcie de mnima area limitada por esses dois aros circula-res.

Sob esse ultimo ponto de vista, o problema das superfcies de revolucaotem uma aplicacao fsica muito interessante. Filmes lquidos de sabao tem umaenergia livre de GibbsFproporcional a areaAda sua superfcie: F =fA, ondef e o coeficiente de tensao superficial do lquido. Se o filme de sabao estiver

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em equilbrio termodinamico, a energia livre de Gibbs deve ser mnima. Como

f so depende da temperatura do lquido, se esta e constante, entao o filme desabao em equilbrio deve sempre ter uma configuracao que minimiza a sua areasuperficial. Este e o famoso problema de Plateau, nomeado em homenagem aofsico frances que primeiro estudou este e outros problemas relacionados.

A superfcie de revolucao gerada pela rotacao do arco de curva plana y(x)ligando os pontos (x1, y1) e (x2, y2) em torno do eixo x tem um elemento dearea

dA= (2y)(ds) = 2y

1 +y2xdx, (35)

onde usamos (15). A area total da superfcie sera, portanto, o funcional integral

A= 2

x2x1

y

1 +y2xdx, (36)

que se pretende minimizar.Como o integrandof=y

1 +y2xnao depende explicitamente dexpodemos

usar a identidade de Beltrami (19) no lugar da equacao de Euler (14):

f yx fyx

=y

1 +y2x yy2x

1 +y2x=a = const. (37)

Multiplicando por

1 +y2x obtemos

y(1 +y2x) y2xy = y = a

1 +y2x.

Isolando y2x nessa expressao teremos

dx

dy =

1

yx=

ay2 a2 . (38)

A equacao diferencial acima pode ser imediatamente integrada:

x= a

dy

y2 a2 =a cosh1y

a

+b (39)

onde b e uma constante de integracao. Invertendo temos a equacao da curvaprocurada

y(x) =a cosh

x b

a

, (40)

denominada catenaria na literatura. As constantes a e b sao determinadasimplicitamente pelas coordenadas dos pontos fixos

y1= a cosh

x1 b

a

, y2= a cosh

x2 b

a

, (41)

A superfcie de revolucao gerada pela catenaria e chamada de catenoide, e seriatambem obtida se a rotacao fosse feita em torno do eixo das ordenadas, aoinves das abscissas. Foi Euler quem, em 1744, mostrou que a catenoide e umasuperfcie de mnima area.

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3 Equacao de Euler para uma variavel indepen-

dente e varias dependentes

Para generalizar o problema variacional nos consideraremos uma funcao de nvariaveis yi, i = 1, 2, . . . n, todas elas dependentes de x:

f=f(y1(x), y2(x), . . . yn(x); x),

e o funcional integral que desejamos tornar estacionario

J=

x2x1

f(y1, y2, . . . yn; y1x, y2x, . . . ynx; x)dx, (42)

onde yix = dyi/dx.

Como antes, consideramos uma infinidade de caminhos possveis ligando ospontos fixos emx = x1e x = x2, parametrizados por, tal que= 0 representeo caminho otimo para cada variavel dependente

yi(x, ) =yi(x, 0) +i(x), (43)

ondei(x) representam as deformacoes continuamente diferenciaveis para cadai = 1, 2, . . . n, e que sao independentes entre si, anulando-se nos extremos:i(x1) =i(x2) = 0.

Diferenciando o funcional (42) em relacao a teremos

J

=

x2x1

f

= x2x1

dxni=1

fyi

yi

+ fyix

yix

=

ni=1

x2x1

dx

f

yii+

f

yixix

(44)

onde usamos o teorema de Schwartz para escrever

yix

=

dyidx

= d

dx=

yi

= di

dx =ix. (45)

Integrando por partes a parcela

x2x1

fyixdidxdx = fyix

ix2x1

=0

x2x1

i ddx fyix dx (46)

e impondo que o funcional integral sera estacionario se estivermos no caminhootimo entre os pontos fixos

J

=0

= 0. (47)

chegamos ani=1

x2x1

dxi

f

yi d

dx

f

yix

= 0 (48)

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Como osi sao todos mutuamente independentes, para que a condicao acima

subsista para quaisquer deformacoes, cada termo entre os colchetes deve anular-se identicamente, fornecendo uma equacao de Euler para cada variavel depen-dente em separado:

f

yi d

dx

f

yix

= 0, (i= 1, 2, . . . n) (49)

3.1 Princpio de Hamilton

Uma das consequencias mais importantes dos metodos variacionais para a fsicafoi a construcao, feita por Lagrange, de uma nova formulacao para a mecanicaNewtoniana, a partir do princpio de mnima acao de Maupertuis, e finalmenteconsolidada em 1788 com a publicacao de sua obraMecanique Analytique. Nesseformalismo, a variavel independente e o tempo t e trabalhamos com as coorde-nadas generalizadas de um sistema qi,i = 1, 2, . . . ne as respectivas velocidadesgeneralizadas qi = qit = dqi/dt. Uma partcula no espaco, por exemplo, pode tercomo coordenadas generalizadas as componentes do seu vetor posicao: q1 =x,q2= y, eq3= z; mas outras escolhas sao possveis.

A energia cinetica e, em geral, uma funcao das velocidades generalizadas,enquanto a energia potencial usualmente depende das coordenadas generaliza-das e/ou do tempo. Neste formalismo ocupa papel central a Lagrangeana dosistema, igual a diferenca entre as energias cinetica e potencial L(qi, qi, t). Oprincpio variacional (de Hamilton) da mecanica diz que a trajetoria de um sis-tema entre dois pontos fixos em t = t1 e t = t2, e aquela que torna estacionariaa seguinte integral de acao

J=

t2t1

L(qi, qi, t)dt, (50)

que e um problema variacional com uma variavel independente endependentes,e que implica resolvermos n equacoes de Euler da forma (49):

L

qi d

dt

L

qi

= 0, (i= 1, 2, . . . n) (51)

chamadas, no presente contexto, de equacoes de Lagrange.Um problema fundamental em dinamica consiste no movimento de uma

partcula de massam no espaco tridimensional, sujeita a uma energia potencialV(x,y,z) conhecida, a partir da qual podemos obter uma forca conservativacomo F =V. As coordenadas generalizadas serao x,y,z e as velocidadesgeneralizadas x, y, z, com as quais formamos a energia cinetica

K= 1

2m

x2 + y2 + z2

,

tal que a Lagrangeana sera

L(x,y,z; x, y, z) =K V = 12

m

x2 + y2 + z2 V(x,y,z).

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As equacoes de Lagrange (51) serao

L

x d

dt

L

x

= dV

dx d

dt(mx) =Fx mx= 0, (52)

L

y d

dt

L

y

= dV

dy d

dt(my) =Fy my= 0, (53)

L

z d

dt

L

z

= dV

dz d

dt(mz) =Fx mz = 0, (54)

ou seja, nada mais do que as tres componentes da equacao Newtoniana domovimento F= mr.

4 Equacao de Euler para varias variaveis depen-

dentes e independentes

A generalizacao do problema variacional consiste em consideraremos uma funcaode n variaveis dependentes yi, i = 1, 2, . . . n, e n variaveis independentes xj ,j = 1, 2, . . . n, bem como das respectivasn2 derivadas jacobianasyij dyi/dxj :

f =f(y1, . . . yn; y11, . . . ynn; x1, . . . xn),

que e o integrando de um funcional integral n-dimensional, sendo os pontos fixos

(x(1)1 , x

(2)1 ), . . ., (x

(1)n , x

(2)n ):

J= x

(2)1

x(1)1

dx1 x

(2)2

x(1)2

dx2 x(2)n

x(1)n dxnf(yi, yij , xj). (55)

O problema variacional consiste em encontrar as n funcoes yi(xj) para asquais J e estacionaria, ou J = 0. Como ha n variaveis dependentes, cadauma delas devera satisfazer uma equacao de Euler. Caso as variaveis xj sejamindependentes entre si, a funcao f deve satisfazer o seguinte conjunto de nequacoes de Euler:

f

yi

nj=1

xj

f

yij

= 0. (i= 1, 2, . . . n) (56)

Esta situacao bastante geral pode ocorrer em problemas variacionais com vnculos,como se vera a seguir.

5 Problemas variacionais com vnculos

E comum que as variaveis xj nao sejam, de fato, independentes entre si, massim estejam amarradas por alguma relacao de vnculo. A existencia dessesvnculos leva a introducao dos chamados multiplicadores de Lagrange. Antesde abordar o problema variacional propriamente dito, vamos estudar esse pro-blema sob o ponto de vista da determinacao de maximos e mnimos no calculodiferencial.

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5.1 Vnculos e multiplicadores de Lagrange

Considere uma funcao de tres variaveis independentesf(x,y,z). Se ela tem umextremo, entao

df= f

xdx+

f

ydy+

f

zdz = 0, (57)

tal que e necessario e suficiente que, para dx, dy e dz arbitrarios, tenhamos

f

x =

f

y =

f

z = 0. (58)

No entanto, se x, y e z estiverem amarrados por uma dada relacao naforma geral

(x,y,z) = 0,

dita vnculo, entao as variaveis nao sao mais independentes entre si, poispodemos, em princpio, exprimir uma delas, como z, em funcao das outrasduas: z =z (x, y), de modo que, ainda que dx e dy sejam arbitrarios, dz nao emais arbitrario. Logo, a condicao (58) para queftenha um extremo nao e maisvalida, em geral.

Para contornar esse problema, observamos que, como d = 0, podemosintroduzir um escalar, dito multiplicador de Lagrange, tal que

df+ d= 0. (59)

Aplicando diferenciais totais temos que a relacao acima implica em

f

x+

xdx+

f

y +

y dy+

f

z +

z dz = 0 (60)

Ate agora o multiplicador de Lagrange e um escalar qualquer. No entanto,nos o escolhemos de tal sorte que

f

z +

z = 0, (z= 0) (61)

ja que, agora, dz nao e mais arbitraria devido ao vnculo. Logof

x+

x

dx+

f

y +

y

dy = 0 (62)

Lembremos, porem, que dx e dy ainda sao arbitrarios, de modo que a igualdadeacima vale se e somente se

fx

+ x

= 0, (63)

f

y +

y = 0. (64)

Logo, se as condicoes (63)-(61) forem satisfeitas, entaodf= 0 e f e um extremo.Por tabela, tambem podemos obter, se o quisermos, o multiplicador de Lagrange(as vezes isso nem e realmente necessario).

Podemos generalizar a presente discussao para um numero n qualquer devariaveis independentes (x1, x2, . . . xn) sujeitas a m vnculos, descritos pelasequacoes

k(x1, x2, . . . xn) = 0, (k= 1, 2, . . . m). (65)

13

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14/30

Neste caso, as condicoes (63)-(61) sao generalizadas na seguinte forma

f

xi+

mk=1

kkxi

= 0, (i= 1, 2, . . . n) (66)

que, tambem, determinam os m multiplicadores de Lagrange k, um para cadavnculo do sistema.

5.2 Exemplos de vnculos

5.2.1 O problema da lata de leite condensado

Um fabricante de leite condensado deseja produzir uma lata cilndrica de raiore altura h que acondicione um volume dado V0 do seu produto:

V(r, h) = (r2)h= V0= constante. (67)

Em princpio, as variaveis r e h sao independentes entre si, ou seja, se o fabri-cante quiser uma lata mais estreita (r menor), entao ela devera ser necessaria-mente mais alta (hmaior), e vice-versa.

No entanto, para cada escolha que for feita de r e h a area S da sup erfcieda lata sera diferente.

S(r, h) = (2r)h+ 2(r2) (68)

Como o custo de fabricacao da lata e proporcional a area da superfcie, ofabricante naturalmente deseja minimizar a funcao S(r, h) sujeita ao vnculoV(r, h) =V0. A condicao de vnculo sera, entao

(r, h) =r2h V0= 0. (69)Introduzindo o multiplicador de Lagrange teremos duas condicoes para

um extremo na forma (63)-(61), a saber:

S

r +

r = 2h+ 4r +(2r)h= 0, (70)

S

h+

h = 2r+(r2) = 0 (71)

De (71) obtemos o multiplicador de Lagrange =2/r que, substituido em(70), forneceh = 2r, ou seja, o cilindro de menor area superficial, para um dadovolume, tem o diametro igual a altura.

5.2.2 Eletron numa caixa tridimensional

Um problema elementar em mecanica quantica consiste em achar os nveis deenergia de uma partcula quanto-mecanica de massam, como um eletron, dentrode uma caixa de paredes impenetraveis, na forma de um paraleleppedo dearestas a, b e c. A partir da equacao de Schrodinger independente do tempo,com as condicoes de contorno apropriadas (a funcao de onda tem nos nas paredesda caixa), pode-se mostrar que a energia do estado fundamental e dada por

E(a,b,c) = h2

8m

1

a2+

1

b2+

1

c2

. (72)

14

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15/30

Desejamos encontrar os valores de a, b e c que minimizam a energia do

eletron, sujeito ao vnculo de que o volume V0 da caixa seja dado:

V(a,b,c) =abc = V0, (73)

de modo que a equacao de vnculo e

(a,b,c) =abc V0= 0 (74)

correspondente a um multiplicador de Lagrange .As condicoes de mnimo para a energia sao, portanto

E

a +

a = h

2

4ma3 +bc= 0, (75)

E

b +

b = h2

4mb3 +ac= 0, (76)

E

c +

c = h

2

4mc3 +ab= 0. (77)

Multiplicando (75) por a, (76) por b, e (77) por c, chegamos a seguinterelacao

abc= h2

4ma2 =

h2

4mb2 =

h2

4mc2,

que e identicamente satisfeita se a = b = c, ou seja, o paraleleppedo reduz-se aum cubo de aresta a. O multiplicador de Lagrange e = h2/4ma5.

5.3 Equacoes de Euler com vnculos

Vamos retornar a equacao de Euler (56) para varias variaveis dependentes eindependentes, no caso em que haja m vnculos expresos pela forma geral

k(y1, y2, . . . yn; x1, x2, . . . xn) = 0, (k= 1, 2, . . . m) (78)

de sorte que yi e xi nao sao mais mutuamente independentes, como presu-mimos ate agora. Assim como no caso dos problemas de extremos no calculousual, para cada equacao de vnculo introduzimos um multiplicador de Lagrangek(x1, . . . xn).

Multiplicando (78) pelos multiplicadores de Lagrange e integrando entre ospontos fixos 1 e 2 temos

21

k(xj)k(yi, xj)dxj = 0, (79)

tal que a variacao correspondente seja tambem identicamente nula para cadavnculo

21

k(xj)k(yi, xj)dxj = 0, (k= 1, 2, . . . m). (80)

Por outro lado, sabemos que tambem e nula a variacao do funcional (55)

21

f(yi, yij , xj)dxj = 0. (81)

15

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16/30

x

y

0a a

y(x)

Figura 4: O problema isoperimetrico.

Somando (81) e (80) para todos os m vnculos temos que

21

f(yi, yij , xj) +

mk=1

k(xj)k(yi, xj)

g(yi,yij ,xj)

dxj = 0, (82)

onde definimos

g(yi, yij , xj) =f(yi, yij , xj) +

m

k=1 k(xj)k(yi, xj). (83)

Portanto, na presenca dos vnculos, (82) implica em que precisamos satisfazern equacoes de Euler do tipo (56) para a nova funcao (83):

g

yi

nj=1

xj

g

yij

= 0. (i= 1, 2, . . . n) (84)

5.3.1 O problema isoperimetrico

Um dos mais famosos problemas variacionais com vnculo e o isoperimetrico,tambem chamado problema de Dido: dentre todas as curvas de um dado

comprimento no semi-plano superior, ligando dois pontos fixos 1 : (a, 0) e2 : (a, 0), encontrar a curva que, juntamente com o intevalo [a, a], envolve amaior area possvel [Figura 4].

A area sob a curva y(x)

A(y, x) =

aa

ydx, (85)

e o funcional que se quer maximizar, entre os pontos fixos, sujeito a condicaode que o comprimento seja constante: 2

1

ds=

aa

1 +y2xdx= (86)

16

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17/30

onde usamos (16).

Este vnculo leva-nos a introduzir um unico (m = 1) multiplicador de La-grange, de modo que a condicao de vnculo pode ser escrita na forma padrao(79) desde que definamos

(yx) =

1 +y2x

2a, (87)

assim como a funcao (83) e dada por

g= f+ = y +

1 +y2x

2a

, (88)

que satisfaz a equacao de Euler (84):

gy d

dx

gyx

= 0

1 ddx

yx

1 +y2x

=

d

dx

x yx

1 +y2x

= 0

yx1 +y2x

x = C= constante.

Isolando a derivada yx chegamos a seguinte equacao diferencial

dy

dx =

C+ x

2 (C+ x)2

, (89)

que pode ser integrada fornecendo

(x+C)2 + (y+C1)2 =2 (90)

onde C1 e uma constante de integracao. Essa e a equacao de um crculo deraio e com centro no ponto de coordenadas (C, C1). Os pontos fixos (a, 0)e (a, 0) devem pertencer a esse crculo. Como, por simetria, o centro do crculodeve estar na origem (veja a Fig. 4), temos que C=C1= 0 e o raio do crculoe = a, tal que a equacao do crculo seja simplesmente

x2 +y2 =a2. (91)

O problema isoperimetrico tem uma historia curiosa, remontando a Greciaantiga, quando a Rainha Dido fundou a cidade de Cartago. Por motivos belico-sos, Dido fez uma barganha com o senhor local, que concordou (ingenuamente)em dar a ela tanta terra quanto ela pudesse envolver com um pelego de boi. Aesperta Rainha instruiu seus seguidores a cortar o pelego em fitas muito finase ata-las uma a outra, de modo que ela pode envolver uma area muito grandede terra em frente ao Mar Mediterraneo, que tornou-se a cidade de Cartago.Os gregos antigos ja sabiam que o arco de crculo era a solucao do problemaisoperimetrico.

17

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18/30

x

y

0L

a

b

Figura 5: Catenaria.

5.3.2 A catenaria

Uma corrente ou cabo pesado de comprimento C esta suspenso num planovertical entre os pontos de coordenadas 1: (0, a) e 2: (L, b) [Fig. 5], tal que suaforma seja descrita pela funcao y (x), escolhida de forma a minimizar a energiapotencial. Seja= dm/ds a densidade de massa do cabo. A energia potencialdo cabo sera

V(y, yx) = 2

1

dV = 2

1

dmgy= g 2

1

yds, (92)

onde usamos (15), e usamos o smbolo g para representar a aceleracao da gra-vidade, a fim de que nao haja confusao notacional. Assim, o funcional quedesejamos minimizar e

J= V

g=

L0

dxy

1 +y2x, (93)

cujo integrando ef=y

1 +y2x.O vnculo nesse problema e que a corda e suposta inextensvel, de modo que

o seu comprimento seja constante 2:

= 2

1

ds= L

0

dx1 +y2x, (94)que pode ser colocada na forma (79) desde que

(yx) =

1 +y2x

L (95)

tal que, introduzindo o multiplicador de Lagrange, a expressao (83) fica

g = f+ = (y+)

1 +y2x

L. (96)

2Supondo que a densidade de massa seja constante ao longo do cabo, = M/ , onde M ea sua massa total.

18

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19/30

Como a funcao g nao depende explicitamente da variavel independente x

podemos, ao inves da equacao de Euler (84), empregar a identidade de Beltrami(19):

g yx gy

= C= constante

(y+)

1 +y2x

L yx(y+) yx

1 +y2x=

Fazendok CL + , um pouco de algebra mostra que a expressao anteriorreduz-se a equacao diferencial

dy

dx=

1

kL2(y+)2 k2 (97)

que tem como solucao a equacao da catenaria 3

y(x) = k

Lcosh

L(x+K)

k

(98)

onde K e uma nova constante de integracao. O nome catenariavem do latimcatena, que significa cadeia, ou corrente. Galileo, erroneamente, consideravaque a solucao do problema seria uma parabola. Curiosamente, se uma parabolarolar por uma reta, o foco da parabola descrevera uma catenaria. Em 1691 aequacao da catenaria foi obtida independentemente por Leibniz, Huyghens eJohann Bernoulli, em resposta a um desafio (sempre ele!) de Jakob Bernoulli.Vimos, anteriormente, que a catenaria tambem e a solucao do problema de

superfcies de revolucao de mnima area.Na solucao (98) temos, ao todo, tres constantes indeterminadas: C, K, e omultiplicador de Lagrange (observe que nao foi necessario determinar o valorde para resolver o problema!). Para determinar essas constantes, aplicamos(98) aos pontos fixos:

y(0) =a a+= kL

cosh

LK

k

, (99)

y(L) =b b+= kL

cosh

L(L+K)

k

, (100)

alem de usarmos novamente a condicao de vnculo (94):

= L0

dx

1 +y2x = L0

dx coshL(x+K)

k

,

L

k = sinh

L(L+K)

k

sinh

LK

k

. (101)

O conjunto de equacoes (99)-(101) determina implicitamente as constantes pro-curadas (lembrando quek = C L+).

3Podemos fazer a integracao por meio da substituicao de variaveisL(y+) = k cosh.

19

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20/30

5.4 Problemas mecanicos com vnculos

O formalismo anteriormente descrito pode ser aplicado imediatamente a siste-mas mecanicos onde hamvnculos holonomicos, ou seja, vnculos cujas equacoespodem ser escritos como

k(q1, q2, . . . q n, t) = 0, (k= 1, 2, . . . m), (102)

onde qi sao as coordenadas generalizadas. Por exemplo, o movimento plano deuma partcula cuja trajetoria e restrita a um crculo de centro na origem e raioR e caracterizado pelo seguinte vnculo holonomico:

x2 +y2 =R2 = q21+ q22 R2 = 0. (103)Para cada equacao de vnculo associamos um multiplicador de Lagrange

k(t), com os quais formamos o equivalente mecanico da funcao (83), que e

g(qi, qi, t) =L(qi, qi, t) +mk=1

k(t)k(qi, t), (104)

que satisfaz a equacao de Euler-Lagrange na forma (84):

g

qi d

dt

g

qi

= 0

L

qi

mk=1

k(t)kqi

ddt

L

qi

= 0

que podemos reescrever, definindoki = k/qi, como

d

dt

L

qi

L

qi=

mk=1

kik. (105)

Por curiosidade, se a coordenada generalizadaqitiver dimensao de comprimento,entao o produtokki representa a componente ao longo da direcaoqi da forcado reacao correspondendo ao k -esimo vnculo.

5.4.1 Aro rolando num plano inclinado

Um problema classico de vnculo holonomico em dinamica lagrangeana e o de

um aro de massa M e raio r rolando sem deslizar sobre um plano inclinadode em relacao a horizontal. Podemos usar, como coordenadas generalizadas,q1 = x: distancia percorrida pelo aro sobre o plano inclinado, e q2 =: angulode rotacao do aro em relacao ao eixo que passa pelo seu centro de massa [Fig.6]. A condicao de vnculo impoe que o elemento de arco percorrido pelo aro e omesmo elemento de distancia ao longo do plano, ou seja rd = dx, que podemosescrever como

(x, ) =r x= 0, (106)Tiramos, entao, os coeficientes de vnculo:

x =

x = 1, =

=r, (107)

20

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21/30

r

x

lxh

Figura 6: Aro rolando num plano inclinado.

ambos associados ao mesmo multiplicador de Lagrange.A energia cinetica do aro e igual a energia de translacao do centro de massa

mais a energia cinetica de rotacao em torno do eixo que passa pelo centro demassa

K(x, ) = 1

2Mx2 1

2I2, (108)

onde o momento de inercia do aro eI=M r2. A energia potencial gravitacional

do centro de massa do aro eU(x) =M gh = M g[( x)sin +r cos ], (109)

onde e o comprimento total do plano inclinado [Fig. 6]. Como o termoM gr cos e uma constante, ele pode ser ignorado, pois representa apenas umfator constante aditivo na energia potencial (que, lembramos, e sempre definidaa menos de uma constante aditiva). Logo, a Lagrangeana e

L= K U= 12

Mx2 12

Mr22 Mg( x)sin . (110)

Ha duas equacoes de Euler-Lagrange da forma (105):

d

dtL

x Lx x = = ddt (Mx) Mg sin += 0,

d

dt

L

L

= = d

dt(Mr2) r = 0.

Comor e constante, entao ha duas equacoes diferenciais a serem resolvidas

Mx Mg sin = , (111)M r2 = r. (112)

Da equacao de vnculo (106) x = r que, substituido em (112), forneceMx= . Pondo esse resultado em (111) temos que o multiplicador de Lagrange

21

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22/30

e

=

1

2 Mg sin , (113)

tal que a equacao do movimento sejam simplesmente

x = g sin

2 K1

= g sin

2r =

K1r

Supondo que, em t = 0, tenhamos as condicoes iniciais x(0) = 0, x(0) = 0(aro no alto do plano inclinado em repouso) e (0) = 0, (0) = 0 as equacoesacima tem solucoes triviais

x(t) = 1

2K1t

2, (t) = 1

2

K1

r t2. (114)

Observe que o aro desce o plano inclindado rolando sem deslizar com aceleracaoK1, que e a metade da aceleracao que ele teria se deslizasse em rolar por umplano sem atrito (como uma partcula, portanto). Logo, o atrito e responsavelpelo rolamento do aro, e o multiplicador de Lagrange, que e a forca de vnculoe, na verdade, a forca de atrito de rolamento.

6 A equacao de Sturm-Liouville como um pro-

blema variacional

Vimos, no Captulo referente as funcoes de Green, que a equacao de Sturm-

Liouville representa uma generalizacao de uma classe ampla de equacoes dife-renciais ordinarias de segunda ordem, muitas das quais de interesse na FsicaMatematica. Vamos abordar, agora, essa equacao do ponto de vista de um pro-blema variacional com vnculos, o que nos permitira, posteriormente, empregarum metodo para obter solucoes

6.1 Propriedades das solucoes da equacao de Sturm-Liouville

Nesta secao vamos recordar algumas propriedades das solucoes da equacao deSturm-Liouville que foram vistas anteriormente em nosso estudo das funcoes deGreen. A equacao de Sturm-Liouville tem a forma

d

dxp(x) dydx s(x)y= r(x)y, (115)

onde y R, a x b, e as funcoesp(x), s(x) e r (x) (esta ultima denominadafuncao peso) assumem valores nao-negativos. Definindo o operador de Sturm-Liouville

L ddx

p(x)

d

dx

s(x), (116)

reescrevemos a equacao (115) na forma compacta

L[y] = r(x)y. (117)

22

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23/30

Recordamos a definicao de produto interno

< y1, y2> ba

y1(x)y2(x)dx, (118)

de modo que y1 e y2 sao ortogonais se o produto interno entre elas for nulo:< y1, y2>= 0. A norma de uma solucaoy (x) e definida como

||y(x)|| = < y,y >. (119)tal quey e normalizada se < y,y >= 1.

Para a discussao atual basta considerarmos condicoes de contorno de Diri-chlet homogeneas:

y(a) =y(b) = 0 (120)

para as quais a equacao de Sturm-Liouville so apresenta solucoes aceitaveis para

determinados valores de = n, denominados autovalores do operador (116).A cada autovalor corresponde um e somente uma solucao correspondente, ditaautofuncaon(x), e que satisfaz a equacao

L[n(x)] = nr(x)n(x). (121)Os autovalores {n}n=1do operador de Sturm-Liouville sao reais, e as auto-

funcoes{n(x)}n=1 correspondentes a autovalores distintos sao ortogonais emrelacao a funcao peso: < n, r(x)j >= 0 se i= j. Se supusermos, adiciona-mente, que as autofuncoes sao normalizadas (norma igual a um) entao temos achamada condicao de ortonormalidade (em relacao a funcao peso r(x)):

b

a

i(x)j(x)r(x)dx= ij . (122)

Esta propriedade das autofuncoes permite-nos encara-las como funcoes debase, ou seja,y(x) possa ser expressa como uma superposicao linear das funcoesde base

y(x) =n=1

cnn(x). (123)

ondecn =< y(x), n(x)> sao os coeficientes de Fourier generalizados. Quandoisso ocorre dizemos que o conjunto de autofuncoes{n(x)}n=1 e completo. Apropriedade de completeza significa, que a serie infinita acima converge no sen-tido de media quadratica, ou seja,

limN ba

y(x)Nn=1

cnn(x)2

dx= 0. (124)

7 A equacao de Sturm-Liouville como uma equacao

de Euler com vnculos

Vamos mostrar que, sey(x) e uma solucao da equacao de Sturm-Liouville (115),entao o funcional

K[y] =

ba

p(x)y2x+s(x)y

2 r(x)y2 dx (125)23

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24/30

e estacionario. Logo, a equacao de Sturm-Liouville pode ser encarada como uma

equacao de Euler para a funcao

f(y, yx, x) p(x)y2x+s(x)y2 r(x)y2 (126)

De fato, abrindo o lado esquerdo da equacao de Euler (14):

f

y d

dx

f

yx

= 0

2sy 2ry ddx

(2pyx) = 0

que, dividindo por2, resulta na equacao de Sturm-Liouville (115), comoqueramos demonstrar.

Integrando por partes a primeira parcela do integrando do funcional K,temos que ba

py2xdx=

ba

pyx=u

dy

dxdx

=dv

= pyxy|ba ba

y=v

d

dx(pyx)dx =du

(127)

Pelas condicoes de contorno (120) o primeiro termo do lado direito e nulo, pois

p(b)yx(b)y(b)p(a)yx(a)y(a) = 0 (128)

Logo, o funcional (125) fica

K[y] = ba

ddx (p(x)yx) sy

=L[y]

y+y(r(x)y) (129)

que, usando a notacao do produto interno (118), resulta em

K[y] = < y,L[y]> < y,r(x)y >= < y ,L[y]> ||y||2 (130)

Essa forma para o funcional permite-nos encarar o problema de Sturm-Liouville tambem sob a forma de um problema variacional com vnculos: achara funcao y (x) que torna estacionario o funcional K[y] (sem restricoes) equivalea tornar estacionario o funcional

J[y] = < y,L[y]> (131)

sujeito a condicao de vnculo

N[y] =< y, r(x)y >= ||y||2 = constante, (132)

ondepassa a ser, aqui, um multiplicador de Lagrange, desde que N/y= 0 ouN/x = 0. Pode-se, ainda, mostrar que, se y (x) satisfaz a equacao de Sturm-Liouville sem o termo em , entao o funcional (131) nao so e um extremo, comotambem e um mnimo.

24

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25/30

8 O metodo de Rayleigh-Ritz

O metodo variacional de Rayleigh-Ritz permite-nos obter informacoes relevantessobre o problema de Sturm-Liouville sem precisar resolve-lo diretamente, forne-cendo solucoes aproximadas para o problema, cuja exatidao pode ser refinadade forma a termos respostas tao precisas quanto se queira. Por esse motivo, essemetodo e bastante usado em varias areas como acustica, mecaniica quantica,vibracoes mecanicas, analise numerica, entre outras.

Nos partimos de um conjunto deNfuncoes linearmente independentes {n(x)}Nn=1que satisfazem as condicoes de contorno do problema de Sturm-Liouville masnao saoautofuncoes de L, de modo que o que procuramos e uma solucao apro-ximada na forma de uma combinacao linear dessas funcoes

y(x) =

Nn=1

cnn(x) (133)

onde os coeficientes cn sao, ainda, indeterminados (nao sao coeficientes deFourier generalizados!)

Substituindo (133) em (125) teremos

K[y] =

ba

dxp(x)y2x+s(x)y

2 r(x)y2

, (134)

onde e o valor aproximado de obtido com a funcao tentativa (133)

Como{n(x)}Nn=1 nao sao autofuncoes do operador de Sturm-Liouville,entao y(x) nao e solucao da equacao de Sturm-Liouville e, consequentemente,

o funcional K[y] tambem nao e um extremo (na verdade, um mnimo). Noentanto, se escolhermos apropriadamente os coeficientes cn podemos fazer comque y seja uma aproximacao para a solucao verdadeira y(x). Isto se consegueimpondo condicoes variacionais sobre os coeficientes:

K[y]

cj= 0, (j = 1, 2, . . . N ) (135)

Os valores dos coeficientes obtidos dessa forma podem ser substituidos nova-mente na combinacao linear (133) de modo a obtermos uma solucao aproximaday(x). Uma vez queK[y] e um mnimo para a solucao exatay(x), a solucao apro-ximada y(x) da um valor maior para o funcional, ou seja, K[y] =K[y].

Com frequencia o metodo de Rayleigh-Ritz objetiva a determinacao de umvalor aproximado para o autovalor mais baixo da equacao de Sturm-Liouvillecorrespondente, a partir das condicoes variacionais (135). Em geral teremos

, onde e o autovalor exato [1]; de modo que o metodo de Rayleigh-Ritznos fornece um valor aproximado que e sempre maior do que o valor exato,nunca menor do ele (sera igual apenas se y(x) = y(x)). Essa propriedade fazcom que o metodo de Rayleigh-Ritz seja bastante usado na Mecanica Quantica,onde e um autovalor de energia, usualmente o estado fundamental de umsistema quantico dado [4].

25

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8.1 Exemplos de aplicacao do metodo

8.1.1 Equacao de Helmholtz unidimensional

A equacao de Helmholtz em uma dimensao

yxx+y = 0, (1 x 1) (136)e um caso particular da equacao de Sturm-Liouville para p(x) = 1, s(x) = 0 er(x) = 1, com a =1 e b = 1. Supomos condicoes de contorno de Dirichlethomogeneas y (1) =y(1) = 0.

Vamos inicialmente escolher uma unica funcao (N= 1):

1(x) = 1 x2 (137)que satisfaz as condicoes de contorno 1(1) = 0, de modo que a solucao apro-ximada e y(x) = c11(x) = c(1 x2). (138)

O funcional (134) sera

K[y] =

11

y2x y2

dx

=

11

4cx2 c2(1 x2)2

dx

= c2

8

3 16

15

(139)

Aplicando a condicao variacional (135)

K[y]c

= 2c8

3 16

15

= 0, (140)

temos que o multiplicador de Lagrange associado e

= 5

2= 2, 5

Observe que neste exemplo nao precisamos, de fato, obter o valor de c, ja que oresultado e independente dele.

Naturalmente esse problema tem uma solucao exata, que e

y(x) = cosx

2

,

que, derivada duas vezes, fornece

yxx =

2

2cos

x2

= y= cos

x2

,

que fornece o autovalor exato:

= 2

4 = 2, 467...

que resulta num erro relativo de apenas 1, 3%, um resultado surpreendente tendoem vista que estamos aproximando a solucao com apenas uma funcao. Natu-ralmente isso ocorre pois a funcao que chutamos e, de fato, muito proxima asolucao exata [Fig. 7].

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27/30

-1 -0,5 0 0,5 1

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

y(x)

exataaproximada

Figura 7: Solucoes exata e aproximada da equacao (136).

8.1.2 Menor raiz da funcao de Bessel com m= 3

Vamos considerar a equacao de Bessel com m= 3

yxx+ 1x

yx+

k2 32x2

y= 0, (0 x 1) (141)

com a condicao de contorno que y(0)

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28/30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

J3

(x)

Figura 8: Funcao de Bessel de ordem m= 3.

y = cx3(1 x) e montamos o funcional (134):

K[y] =

10

p(x)y2x+s(x)y

2 k2r(x)y2

dx

=

10

xy2x+

9

xy2 k2r(x)y2

dx

= c2 10

x

9x4(1 x)2 6x5(1 x) +x6 +9x

[x6(1 x)2 k2x7(1 x)2 dx= c2

1

8 1

360k2

Aplicando a condicao variacionalK/c= 0 chegamos ao autovalor aproximado

k =

45 = 6, 708.... Comparando esse resultado com a menor raiz da funcaode Bessel, que e 6, 380..., vemos que o erro cometido e de 5, 14%.

9 Problemas

1. Encontre a funcaoy(x) que torna a integral

J=

1

0

(2x+ 3y+y2x

)dx

um extremo, com y(0) =y(1) = 1.

2. Ache a curva no plano y(x) para a qual e um extremo o seguinte funcionalintegral

J=

2

1

dx

1 +y2

x

x ,

com y(1) = 0 e y(2) = 1.

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3. Mostre que o caminho no espaco tridimensional que fornece a menor distancia

entre dois p ontos quaisquer e um segmento de reta unindo estes dois pontos.4. Considere o problema da braquistocrona, mas ao inves de uma partcula consi-

dere uma esfera de mesma massa e raio a rolando sem deslizar (mas com atritodesprezvel). Ache a forma da trajetoria que minimiza o tempo de percurso.

5. Mostre que a superf cie mnima de revolucao tambem e uma catenoide mesmoquando o eixo de rotacao e y ao inves de x.

6. Considere uma partcula de massa m sob a acao de um potencial V(,,z)em coordenadas cilndricas. Obtenha a Lagrangeana da partcula e escreva asequacoes de Lagrange.

7. O pendulo esferico consiste de uma massa m pendurada por um fio de compri-mento. A massame livre para mover-se no espaco, cuja posicao e determinada

pelos seus angulos e (em coordenadas esfericas).(a) Obtenha a Lagrangeana da partcula e escreva as equacoes de Lagrange.

(b) Considere o caso particular em que o fio do pendulo descreve um cone depequena abertura 0. Mostre que =

g/d, onde d = cos 0 e a distancia

vertical do plano de rotacao abaixo do ponto de suspensao.

8. Na teoria dos reatores de fissao nuclear um problema consiste em minimizaro volume de um reator cilndrico de raio R e altura H sujeito a um vnculodeterminado pela teoria da difusao de neutrons:

01R

2

+H

2

=C= constante,

onde 01 = 2, 4048... e a menor raiz da funcao de Bessel J0(R). (a) Ache

a relacao entre R e H; (b) Ache o valor do multiplicador de Lagrange; (c)Determine o mnimo volume do reator

9. Considere uma elipse de semi-eixosa e b, cuja equacao cartesiana e

xa

2

+yb

2

= 1.

(a) Obtenha o retangulo inscrito nessa elipse cuja area seja a maior possvel; (b)Ache o valor do multiplicador de Lagrange; (c) Mostre que, para esse ret angulomaximo, a area e 64% da area da elipse.

10. Uma partcula de massa m move-se, sem atrito, sob a acao da gravidade, sobrea sup erfcie interna de um paraboloide de revolucao cuja equacao cartesiana e

x2

+y2

=az,

ondeae uma constante. (a) Obtenha a Lagrangeana em coordenadas cilndricas;(b) Escreva as equacoes de Euler-Lagrange; (c) Supondo que a partcula descrevaum crculo horizontal no plano z = h = const. com velocidade angular ,determine o valor do multiplicador de Lagrange.

11. Um pendulo smples consiste de uma partcula de massa m suspensa por umfio leve e inextensvel de comprimento . Ache a Lagrangeana, a condicao devnculo, e as equacoes de Euler-Lagrange. Resolva essas equacoes para o casode pequenas oscilacoes, e encontre a forca de tensao no fio via multiplicadoresde Lagrange.

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12. Uma partcula de massa m esta constrangida a mover-se ao longo de uma haste

sem atrito que gira com velocidade angular constante sobre um plano horizon-tal. Ache a Lagrangeana, condicao de vnculo, as equacoes de Euler-Lagrange.Obtenha a posicao radial em funcao do tempo para as condicoes iniciaisr(0) =r0e r(0) = 0. Ache a forca de vnculo exercida sobre a partcula pela haste.

13. Considere uma calota hemisferica de raioR com centro na origem e uma contade massa m que desliza sobre a calota sem atrito, de modo que sua posicaopode ser especificada pelas coordenadas polares (r, ). Obtenha a Lagrangeana,as equacoes de Euler-Lagrange e o multiplicador de Lagrange. Interprete fisi-camente o multiplicador de Lagrange e use seu resultado para prever o angulopara o qual a conta deixa a superfcie da calota.

14. Seja a equacaoyxx+y = 0, (1 x 1)

com y(1) =y(1) = 0. Use a funcao tentativa

y(x) = cx(1 x)

para, com o metodo de Rayleigh-Ritz, estimar o valor de .

15. Considere a equacao de Bessel de ordem zero

yxx+1

xyx+y = 0, (0 x 1),

e as condicoes de contorno: y(0) < e y(1) = 0. Estime o menor valor doautovalor pelo metodo de Rayleigh-Ritz, usando a seguinte funcao tentativa

y(x) =a+bx2 +cx4,

onde a, b e c sao parametros variacionais. Compare seu resultado com o valorexato 5, 7832. Dica: nao esqueca que a funcao tentativa deve satisfazer ascondicoes de contorno.

Referencias

[1] E. Butkov,Fsica Matem atica(Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1978).

[2] H. Goldstein, C. Poole, e J. Safko,Classical Mechanics, 3rd. Ed. (AddisonWesley, San Francisco, 2000).

[3] G. B. Arfken e H. J. Weber,Mathematical Methods for Physicists, 5a. Ed.(Harcourt, San Diego, 2001).

[4] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantum Mechanics (Wiley, NewYork, 1992)

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