КонспектлекцийпоКонспект лекций по...
TRANSCRIPT
Конспект лекций поКонспект лекций по дисциплине
«Матричная оптика»
Курс лекций ориентирован на магистров обучающихся по направлению 03.04.02 «Физика», обучающихся по направлению 03.04.0 Физика ,профиль «Физика оптических и лазерных явлений».
Также данный курс лекций может быть полезен бакалаврам обучающимся по направлению
12.03.04 "Биотехнические системы и технологии", профиль «Медицинская фотоника» (курс лекций попрофиль «Медицинская фотоника» (курс лекций по дисциплине «Основы поляризационной оптики»).
Лектор – профессор Г В СимоненкоЛектор профессор Г.В. Симоненко
Целями освоения дисциплины являются углубление и расширение знаний в области новейших перспективныхрасширение знаний в области новейших перспективных направлений в оптических технологиях, современных методов моделирования оптических систем.В результате освоения дисциплины обучающийся должен:•знать: основные матричные методы расчета современных оптических систем основные программные средства для моделирования оптических систем; средстваосновные программные средства для моделирования оптических систем; средства изучения библиографии и средства ориентации в профессиональных источниках информации (журналы, монографии, сайты и т.д. );•уметь: самостоятельно выбрать и аргументировано обосновать применения того или у р р у р риного матричного метода для реализации решения конкретной физической или технической задачи; использовать основные программные средства для моделирования оптических систем; использовать научную аргументацию собственных прогнозов и предпочтений в путях реализации технических решений; использовать библиографию и ориентироваться в профессиональных источниках информации (журналы, монографии, сайты и т.д.); • владеть: навыками использования основных матричных методов для моделирования оптических систем; навыками научной аргументации собственных прогнозов и предпочтений в путях реализации технических решений; навыками
б б ф физучения библиографии, навыками ориентации в профессиональных источниках информации (журналы, монографии, сайты и т.д.).
Рекомендуемая литератураРекомендуемая литература•Аззам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет. -М.: Мир, 1981. –584 С.•ЯривА., Юх П. Оптические волны в кристаллах. – М.: Мир, 1987. –616 С.•Yakovlev Dmitry A., Chigrinov Vladimir G., Kwok Hoi-SingYakovlev Dmitry A., Chigrinov Vladimir G., Kwok Hoi SingModeling and optimization of LCD optical performance.- John Wiley & Sons, Ltd. 2015. 554 p.
Содержание учебной дисциплины Раздел 1. Введение. Понятие модели и моделирования. Типы моделей. Методы моделирования. Основные методы о е рова я в о емоделирования в оптике.
Раздел 2. Матричные методы расчета в геометрической оптике. Раздел 3.Матричный формализм Джонса для расчета оптическихРаздел 3. Матричный формализм Джонса для расчета оптических систем. Распространение света в слоистых анизотропных средах. Матрицы Абелеса для расчета оптических характеристик слоистых планарных изотропных структур. Раздел 4. Метод матриц Мюллера и векторов Стокса для расчета оптических системоптических систем.Раздел 5. Расчет оптических характеристик слоистых планарных анизотропных структур с помощью комплексных матриц 4*4.анизотропных структур с помощью комплексных матриц 4 4.Раздел 6. Матричные методы описания оптических явлений в жидких кристаллах и биологических средах.
МОДЕЛЬ В ФИЗИКЕМОДЕЛЬ В ФИЗИКЕФранцузское слово "modele" происходит от латинского "modulus" что означает "мералатинского modulus , что означает мера, образец". Содержание понятий "модель", "моделирование" в различных сферах знания и
й йчеловеческой деятельности чрезвычайно разнообразно. Общее состоит в том, что модель в том или ином смысле более илимодель в том или ином смысле, более или менее полно имитирует объект. Различают модели исследовательские (о них, собственно,
) бидет речь в данном случае) и модели рабочие(автопилот, протез, кукла, деньги и т. п.).
. Исследовательские модели можно достаточно условно разделить на две группы: экспериментальные(предметные) и теоретические (умозрительные). Экспериментальные модели представляют собойЭкспериментальные модели представляют собой реально осуществляемые устройства двух основных типов. Модели первого типа имеют ту же природу, что д р у р р ду,моделируемый объект, однако воспроизводят его упрощенно и, как правило, в измененном масштабе. Эти модели создаются на основе теории подобия и именуются обычно "физическими" (нам представляется разумным избегать употребления этогопредставляется разумным избегать употребления этого термина). Экспериментальные модели второго типа ‐это аналоговые модели. Они основаны на совпадении д дматематического описания различных явлений.
. В настоящее время существенно соответствие между физической точностью модели или теории и точностью математических расчетов. Нарушение такой уравновешенности можетНарушение такой уравновешенности может привести к неправильной оценке всей работы. Именно оценка этого соответствия и являетсяИменно оценка этого соответствия и является важнейшим элементом современной физической работы, опирающейся на ф р , р щчисленные расчеты или вычислительный эксперимент. Следует отметить, что одной и той же физической теории может соответствовать различные математические
баппараты, которые следует выбирать для оптимального решения поставленной задачи.
ЭТАПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯЭТАПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
• Постановка задачи• Постановка задачи• Построение математической модели• Реализация математической модели• Разработка алгоритма решенияРазработка алгоритма решения• Программирование• Отладка программы• Проведение расчетовр д р• Анализ результатов
ОШИБКИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
1 б й ф1. ошибки в исходной информации;
2. ошибки ограничения;р ;
3. ошибки округления
Матричные методы вМатричные методы в параксиальной оптике р
Основные приближенияОсновные приближения
П б й• Первое из них представляет собой основное допущение всей геометрической оптики и состоит в том что длина волны света считаетсятом, что длина волны света считается пренебрежимо малой и что распространение света можно описывать с помощью отдельных лучей, а не щ д у ,на языке волновых фронтов
• Второе наше приближение состоит в том, что мы р рбудем рассматривать лишь параксиальные лучи, —лучи, которые при своем прохождении через
боптическую систему остаются близкими к ее оси симметрии и почти параллельными ей.
Матрицы преобразования лучейМатрицы преобразования лучейВведем общепринятую в современной оптике систему декартовых координат:Введем общепринятую в современной оптике систему декартовых координат:
ось Оz, совпадающую с оптической осью системы, а также с главным направлением, вдоль которого распространяются лучи света, направим слева направо; ось Оy будем считать расположенной в плоскости страницы и
й О й йнаправленной вверх, а ось Ох перпендикулярной этой плоскости и направленной от читателя. Траектории луча, поскольку он проходит через различные преломляющие поверхности системы, будет состоять изпоследовательности прямых линий. Каждая из этих прямых определяется
й й й йкоординатами одной принадлежащей ей точки и углом, который составляет данная прямая линия с осью Оz. Выберем заранее любую плоскость z = const, перпендикулярную оси Oz и назовем ее опорной плоскостью (ОП). Тогда луч можно определить по отношению к опорной плоскости двумя параметрами: высотой, на которой этот луч пересекает опорную плоскость, и углом, который он составляет с осью Oz. Угол v измеряется в радианах и считается положительным, если он соответствует вращению против часовой стрелки от положительного направления оси z к направлению, в котором свет распространяется
V = nv – удобно использовать, т.к. по закону Снелеуса V – инвариант у р
Поскольку луч проходит через систему преломляющих линз, то для исследования его бповедения необходимо рассмотреть только два основных процесса:
1) Перемещение между двумя преломляющими поверхностями— оптический промежуток. На таком участке пути луч, предоставленный самому себе, просто
й й й й Обпроходит по прямой линии от одной преломляющей поверхности к другой. Область между поверхностями характеризуется ее толщиной t и показателем преломления nсреды, через которую проходит луч. 2) Преломление на граничной поверхности между двумя областями с различными2) Преломление на граничной поверхности между двумя областями с различными показателями преломления.
Рассмотрим процесс распространения луча от одной опорной поверхности ОП1и р р ц р р р у д р р 1
второй ОП2. Вначале луч пересекает ОП1 и имеет на ней значения параметров у1 и V1, затем он проходит через оптический элемент и, наконец, достигает ОП2, на которой он характеризуется высотой у2 и углом V2.
Причем (AD – BC) = 1 – матрица, описывающая оптическую систему унитарная.
Матрица перемещенияМатрица перемещения
у2 = RP = RQ + QP = TS + SQ tg (∠ PSQ) = у1 +t tg (v1) = у1 +tv1
Матрица преломленияМатрица преломления
оптическая сила поверхности
Тонкая линзаТонкая линза
Матрица преобразования для оптической системы
Матричное описание свойств оптической системы
Если D = О, то уравнение для V2 принимает вид V2 = Су1 + OV1 = Су1 Это значит, что все лучи, выходящие из одной и той же точки у1 входной опорной плоскости, выйдут из выходной опорной плоскости под одним и тем же углом V = Cy к оси системыиз выходной опорной плоскости под одним и тем же углом V2 = Cy1 к оси системы независимо от того, под каким углом V1 эти лучи входили в систему. Отсюдаследует, что входная плоскость OП1 должна быть первой фокальной плоскостью системы Е B 0системы. Если B = 0, то уравнение для у2 записывается следующим
образом: у2 = Ay1+0V1= Ay1. Это значит, что все лучи, покидающие точку О с координатой у1 на плоскости ОП1рой ерез о е о I с оор а ой а ос оспройдут через одну и ту же точку I с координатой у2 на плоскости
ОП2. Следовательно, точки О и I являются соответственно точкой‐объектом и точкой‐ изображением, а плоскости OП1 и ОП2—сопряженными плоскостями Кроме того в данных условияхсопряженными плоскостями. Кроме того, в данных условиях величина A = y2/у1 дает увеличение системы.
Пусть С = 0, тогда y2 = DV1. Это означает, что все лучи, которые (входят в систему параллельно друг другу (например, под углом
V1 к оптической оси), на выходе оптической системы дадут также параллельный пучок лучей, но относительно оси его угол
Траспространения изменится и станет равным y2. Такая система линз, которая преобразует параллельный пучок лучей в параллельный же, но распространяющийся под другим углом, называется афокальной или телескопической системой В этомназывается афокальной или телескопической системой. В этом случае величина (n1D/n2) = (V2/V1) представляет собой угловое увеличение оптической системы.
В А 0 BVВ случае А = 0 уравнение для у2 записывается в виде y2 = BV1.Это значит, что лучи, входящие в систему под одним и тем же углом V1, пройдут через одну и ту же точку (с координатой у2) на выходной плоскости ОП Таким образом системана выходной плоскости ОП2. Таким образом, система собирает пучок параллельных лучей в фокус в точках, расположенных на плоскости ОП2, т. е. ОП2 является второй фокальной плоскостью оптической системыфокальной плоскостью оптической системы.
Наконец, нужно помнить, что если какая‐либо из величин А или D в матрице преобразования лучей обращается в нуль, то условие AD — ВС = 1 требует, чтобы р р у р щ у , у р у ,выполнялось равенство ВС = —1. Аналогично если в нуль обращается В или С, то Адолжно быть величиной, обратной D.
Расположение кардинальных точек системы
Матричные способы описанияМатричные способы описания состояния световой волны
Плоская монохроматическая волнаПлоская монохроматическая волна
Вектор Джонса
Пусть световая волна распространяется вдольПусть световая волна распространяется вдоль оси Oz прямоугольной системы координат XYZXYZ
+= ),(),(),( yx tzEjtzEgtzErrr
+=+−=+−−
..),(),2cos(),(
),(),(),(
)2(
,,,,0,,zti
yxyxyxyxyx
yx
СКeEtzEztEtzE
jg
yxδλπω
δλπω
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
11
,10
,01
,x
yyyyy
EE
E
λ
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣ 110yE
−′′→ уголZYXXYZ θ,
⎥⎤
⎢⎡⎥⎤
⎢⎡
=⎥⎤
⎢⎡ ′ XX EE
уθθ sincos
,
⎥⎦
⎢⎣⎥⎦
⎢⎣−
⎥⎦
⎢⎣ ′ YY EE θθ cossin
Квазимонохроматическая волна и частично – поляризованный светр
Матрица когерентности** ⎤⎡⎤⎡ JJEEEE
,**,, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
><><><><
>=×=< ⊕
yyyx
xyxx
yyxy
yxxxyxyx JJ
JJEEEEEEEE
EEJ⎦⎣⎦⎣ yyyyyy
где «×» означает произведение вектора Джонса Ex,y на й E ⊕эрмитово сопряженный вектор Ex,y
⊕. Скобки < > означают усреднение по времени.
Элементы матрицы когерентности полностью определяют состояние световой квазимонохроматической волны: ее интенсивность и состояние поляризации. Диагональные элементы матрицы Jxx и Jyy являются действительными и определяют интенсивности линейно поляризованных в X- и Y- направлениях компонент волны, а элементы Jxy и Jyx – корреляцию между этими компонентами.
Полная интенсивность I волны является следом матрицы когерентности J:I = Jxx + Jyy = Sp(J).
а характеристики эллипса поляризации (азимут χ и эллиптичность ε) соответственно равны:
))/()(( JJJJarctg +=χ
)./)/()(arcsin(
)),/()((
OJJJJi
JJJJarctg
yxxyyxxy
yxxyyxxy
+−−=
−+=
ε
χ
O – степень поляризации световой волны, которая определяется следующим образом:
O = (1-det(J)/Sp(J))1/2,
Вектор СтоксаВектор Стокса⎤⎡⎤⎡⎤⎡ JS 10010
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
−=
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
xy
xx
JJ
SS
10011001
1
0
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣ −⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣ yy
yx
JJ
iiSS
000110
3
2
⎥⎦⎢⎣⎦⎣⎦⎣ yyiiS 003
S полная интенсивность; S разница интенсивностей компонент поляS0 – полная интенсивность; S1 – разница интенсивностей компонент поля поляризованных в направлении и x и y; S2 – разница интенсивностей компонент поля поляризованных в направлении 450 и -450 к оси x; S3 –
йразница интенсивностей компонент поля поляризованных по правому и левому кругу.
Характеристики эллипса поляризации
⎞⎜⎜⎛
= 2 ,1 Sarctgθ 222 SSS ++
⎞⎜⎛
⎠⎜⎜⎝ 1
1
,2
S
Sarctgθ
0
321
SSSS
O++
=
⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=
23
22
21
3arcsin21
SSSSε
0
⎠⎝
Преобразование вектора при переходе к другой системе координат
0001
;)(
⎤⎡
= α SRS стараяновая
,02cos2sin002sin2cos00001
)(⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
=αααα
αR
100002cos2sin0⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣
− αα
Вектор Джонса – описание монохроматической волны
Матрица когерентности – описание йквазимонохроматической волны
Вектор Стокса – описание квазимонохроматической волныквазимонохроматической волны
Матричный формализм ДжонсаМатричный формализм Джонса
⎤⎡⎤⎡⎤⎡ EE⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
iny
inx
outy
outx
EE
TTTT
EE
2221
1211inout TEE =
⎦⎣⎦⎣⎦⎣ inyouty 2221
TTTTT = 121NN TTTTT ...−=sys
Матрицы Джонса основных оптических элементов
⎥⎤
⎢⎡ − 0/2e dni λπ
Изотропный
⎤⎡⎤⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−
−
00
0/)(/2
/2
ee
ednnidni
dni
oee λπλπ
λπИзотропный слой
Ф
⎤⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−− 00
,0
0
/)(2(
/)(
)(
/2 ee
ee
dk
dnnidni eo
oe
o
e
λ
λπλπ
Фазовая пластинка
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−
00
/)(2
/)(2(
ee
dikni
dikni
oo
ee
λπ
λπФазовая пластинка с поглощением
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− )cos()sin(
)sin()cos(dddd
αααα
Изотропный слой с ⎦⎣оптической активностью
Преобразование матрицы Джонса при смене базиса
⎤⎡⎤⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡TTTT
TTTT
yyyx
xyxx
yyxy
yxxx
cossinsincos
cossinsincos
''''
''''
ξξξξ
ξξξξ
⎥⎤
⎢⎡⎥⎤
⎢⎡⎥⎤
⎢⎡
=⎥⎤
⎢⎡
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣TTiTT xyxx
кругкруг
yyyxyyxy
1111
cossincossin
1211
'''' ξξξξ
⎥⎦
⎢⎣−⎥⎦
⎢⎣⎥⎦
⎢⎣ −
=⎥⎦
⎢⎣ iiTTiTT yyyx
кругкруг 122221
Преобразование матрицы когерентности
+TTJJ += TTJJ inout
Метод 2×2 матриц для изученияМетод 2×2 матриц для изучения отражения и пропускания света многослойными изотропными
структурамиструктурами
Рассмотрим слоистую структуру, состоящую из набора 1,2,…, m параллельных слоев, помещенных между двумя полубесконечными средами с индексами 0 и (m+1), щ ду д у у р д д ( )соответственно. Пусть все среды линейны, однородны и изотропны. Каждый слой с номером j описывается показателем преломления Nj и толщиной dj Полное поле внутри каждого слоя складывается из двух волн, распространяющихся вперед (индекс «+») и назад (индекс «‐»). Волновые вектора всех плоских волн лежат в одной плоскости и образуют некоторые углы с ось Z прямоугольной системы координат. Если падающая волна линейно‐поляризована, то все плоские волны, распространяющиеся в системе также линейно‐поляризованы. В дальнейшем будем считать, что все волны обладают либо p‐ либо s‐ поляризацией. Пусть E+(z) и E-(z) обозначают комплексные амплитуды плоских волн,
б йраспространяющихся в прямом и обратном направлении в произвольной плоскости z.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
+
)()(
)(zEzE
zE⎦⎣ )(zE
Рассмотрим поля в двух разных плоскостях z’ и z”, параллельных границам слоя, то
)''()'( ESSE ⎤⎡⎤⎡⎤⎡ ++,
)''()'()''()''(
)'()'(
2221
1211
zEzE
SSSS
zEzE
SEE
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+
−
+
).''()'( zz SEE =
Для границы раздела между слоями (j-1) и j
)0()0( )1( +=− − jjjj zz EIE
z’ и z’’ – внутри слоя j
)0()0( −+=+ dzz jjj ELE )()( jjj
Очевидно, что общая матрица, связывающая вектора полных полей на входе и выходе системы связаны простым соотношением
)0()0( +SEE
)1()(
11
......)0()0(
+−
+
=+=−
mmmjj1j212101 ILLILILISSEE mzz
Найдем матрицу границы разделаПусть есть граница раздела ab и свет падает из a в b
aabb
ErE
EtE
=
=+−
++
Пусть есть граница раздела ab и свет падает из a в b.
a
a
a
aaba
EIIII
EE
ErE
02221
1211⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
=−
−
+
ab
a
trI
tI
/
/10
11
2221
=⎦⎣⎦⎣⎦⎣
abab trI /21 =
Пусть есть граница раздела ab и свет падает из b в a.
EE ++
bbaa
bbab
EII
EtE
ErE
0 ⎤⎡⎤⎡⎤⎡
=
=
+
+−
++
b
b
a
trIEE
IIII
E
/
0
2221
1211
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+
−
abbaabbaab
abba
trrttI
trI
/)(
/
22
12
−=
=
/)1(, 2−=−= ababbabaab trtrr
.1
11
)(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ab
ab
ababbabaab
rr
tI
1 ⎦⎣ abab rt
Френелевские коэффициенты отражения и пропускания для границы раздела должны быть рассчитаны, исходя из значений комплексных показателей преломления рассматриваемых сред и значений угла падения в данной точке.р р р р у
Очевидно, что матрицу преобразования для однородного слоя L можно записать в видезаписать в виде
ϕπββ
β
cos2,0 dNe
i
i
=⎥⎤
⎢⎡
=L ϕλ
ββ
,0 e i ⎥
⎦⎢⎣
−
Матрицу S называют матрицей рассеяния слоистой структуры. Эта матрица должна быть рассчитана для каждой из двух поляризаций s- и p – отдельно. Тогда коэффициенты отражения и пропускания для этих типов поляризаций принимают вид:
sp SS 2121
s
ss
p
pp S
rS
r11
21
11
21
11
, ==
ss
pp S
tS
t1111
1,1==
Пример двух пленок 1 и 2 между полубесконечной средой (0) и полубесконечной подложкой (3).
⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡
=ii ββ
ILILIS 23212101
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−− 11
00
11
00
111
23
23
12
12
01
01
2312012
2
1
1
rr
ee
rr
ee
rr
ttt i
i
i
i
β
β
β
β
S
211 223
21201
21201 )()( βββ iii ererrerrr
−−− +++=
21
211
)(
223
20112
21201 )()1(
ββ
βββ
i
iii
ttt
ererrerrr
+−
−−− +++=
211
21
223
20112
21201
)(231201
)()1( βββ
ββ
iii
i
ererrerretttt −−−
+
+++=
2301121201
Коэффициенты отражения и пропускания вычисляются для каждой из поляризаций s или p отдельнополяризаций s или p отдельно.
Матричный формализмМатричный формализм Мюллерар
Для случая линейной оптической системы вектор Стокса световой волны Д у рпреобразуется с помощью действительной матрицы 4×4, которая называется матрицей Мюллера.
i ⎤⎡⎤⎡⎤⎡
SS
mmmmmmmm
SS
itin
in
out
out
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
1
0
24232221
14131211
1
0
SS
mmmmmmmm
SS inout
inout =
⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢=
⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢ ,
2
1
34333231
24232221
2
1 MSS
входнойinвыходнойoutSmmmmS inout
−−⎥⎥⎦⎢
⎢⎣⎥⎦
⎢⎣⎥
⎥⎦⎢
⎢⎣ 3444342413
входнойinвыходнойout ,Формализм векторов Стокса, преобразуемых с помощью матриц Мюллера пригоден для описания распространения света как для не деполяризующих р д д р р р д д р у щоптических систем, так и для деполяризующих. Деполяризующая оптическая система характеризуется тем, что свет вышедший из нее имеет степень поляризации меньшую, чем падающий на нее. Деполяризующая оптическая система – более общий случай оптических систем.
Для не деполяризующей оптической системы матрицы Джонса и Мюллера связаны между собой следующими соотношениями:связаны между собой следующими соотношениями:
,)( * 1ATTAM −×=
Матрица А – это комплексная матрица связывающая между собой вектор когерентности и вектор Стокса В явном виде это матричное соотношениекогерентности и вектор Стокса. В явном виде это матричное соотношение можно записать следующим образом:
⎤⎡
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡ −−++−−+++ 4213421343214321 )()( GGFFEEEEEEEE
1121
21
⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢
+−+−+
+−−−−+−+−=
3412341232143214
4213421343214321 )()(
GGFFFFFF
GGFFEEEEEEEE21
21
M
⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣ −+−+ 3412341232143214
3412341232143214
FFGGGGGG
* 4,3,2,1, iTTE iii ==
*
*
4,3,2,1,),Im(
4,3,2,1,),Re(
jiTTGG
jiTTFF
jijiij
jijiij
==−=
===
214123222111 ,,,
4,3,2,1,),Im(
tTtTtTtT
jiTTGG jijiij
====
tij – элементы матрицы Джонса оптической системы.
При преобразовании системы координат матрица МюллераПри преобразовании системы координат матрица Мюллера преобразуется по следующему правилу:
= − )()( αα RMRM 1
⎥⎤
⎢⎡
=
02i200001
),()(''' αα RMRM xyzzyx
⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢
−=
02cos2sin002sin2cos0
)(αααα
αR
⎥⎦
⎢⎣ 1000
Матрицы Мюллера некоторых оптических элементов
Идеальный линейный ⎤⎡ θθ 02sin2cos1Идеальный линейный поляризатор, ориентированный под углом θ
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθθθθθθθ
θθ
000002sin2sin2cos2sin02sin2cos2cos2cos02sin2cos1
21
2
2
θ
Фазовая пластинка с разностью фаз δ, быстрая ось
⎦⎣
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
δθδθθδθθδθ−δ−θθδθ+θ
i2)1(22i)1(2i20sin2sin)cos1(2sin2coscos2sin2cos0
0001
22
22
которой ориентирована под углом θ
⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣ δδθ−δθδθδ−θ+θδ−θθ
cossin2cossin2sin0sin2cos)cos1(2cos2sin)cos1(2sin2cos0 22
⎤⎡ 0001
Ротатор на угол α ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
αα−αα
100002cos2sin002sin2cos00001
⎦⎣ 1000
Матрица Мюллера оптической системы состоящейМатрица Мюллера оптической системы, состоящей из различных оптических элементов
Пусть оптическая система состоит из n оптических элементов. Каждый i –оптический элемент характеризуется своей матрицей Мюллера Mi. Тогда вся оптическая система в целом описывается следующей матрицей Мюллера:
121ii1nn MMMMMMM ...... −−=
Порядок прохождения оптических элементов следующий: 1-ый элемент-2-ой элемент-…-(i – 1)- й элемент- i-й элемент-…(n-1)-й элемент- n – й элемент. Если переставляются местами оптические элементы, то меняется порядок перемножения соответствующих матриц Мюллера.
Описание распространения света через деполяризующую систему
В качестве примера рассмотрим отражение света от деполяризующей поверхности. Если зеркало не деполяризует падающее на него излучение, то этот оптический элемент описывается следующей матрицей Мюллера:этот оптический элемент описывается следующей матрицей Мюллера:
×= −ФренФренФрен )( * АrrAR 1
⎥⎤
⎢⎡
= sФрен
ФренФренФрен
r0
0
)(
r ⎥⎦
⎢⎣ p
Френ r0
rs,rp – френелевские амплитудные коэффициенты отражения. Если поверхность s, p фр уд фф ц р ротражает свет так, что степень деполяризации излучения увеличивается, то для такого случая введем следующую модель для вычисления матрицы Мюллера деполяризующего зеркала:
[ ] Френдеп RIR ΣΦ+Σ−= )1(
Σ - степень деполяризации зеркала, I – единичная матрица, Φ -матрица идеального деполяризатора р ц д д р р
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
00000001
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣
=Φ
000000000000
⎦⎣
ААлгоритм расчета для оптических систем с деполяризацией
1) Разделить оптическую систему на отдельные деполяризующие и ) д у у д д р у щне деполяризующие элементы;
2) Для не деполяризующих элементов рассчитать соответствующие матрицы Мюллера, используя основные оптические элементы или матрицы Джонса;
3) Рассчитать матрицы Мюллера для деполяризующих элементов;4) Рассчитать матрицу Мюллера всей оптической системы:5) Рассчитать выходной вектор Стокса, через входной.
Метод комплексныхМетод комплексных матриц 4×4р ц
Монохроматическая волнаМонохроматическая волна
временная зависимость имеет вид еiωt
-rotE = iωB rotH = iωD-rotE = iωB, rotH = iωD,
Выберем декартовую систему координат так, чтобы ось z этойбсистемы была параллельна границе раздела двух среда,
а оси х и у были параллельны этой границе.
OG i / COG=iω/cC ,
⎡ ⎤0 ⎡ ⎤0 ∂ ∂ ∂ ∂/ /O
rotrot
=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
00
, rotz y
z x=−
−⎡⎢⎢⎢
⎤⎥⎥⎥
00∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂/ /
/ /rot−⎣ ⎦0 y x−⎣⎢ ⎦⎥0∂ ∂ ∂ ∂/ /
Через G обозначен 6×1 вектор-столбец, элементыЧерез G обозначен 6 1 вектор столбец, элементыКоторого представляют собой компоненты электрического поля Е и магнитного поля Н вэлектрического поля Е и магнитного поля Н в декартовой системе координат, а С представляет собой 6×1 вектор-столбец, элементами которогособой 6 1 вектор столбец, элементами которого являются компоненты вектора электрического индукции D и вектора магнитной индукции В виндукции D и вектора магнитной индукции В в Декартовой системе координат.
⎡ ⎤ε ρC = MG M =
′⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
ε ρρ µ
OG = iω/cMG.
z−⎡ ⎤0 0∂ ∂/rot
zz i
i= −⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
00 0∂ ∂ ζ
ζ/ .
ζ = ω/с N0 sinϕ0 , i−⎣⎢ ⎦⎥0 0ζ
E E⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤∆ ∆ ∆ ∆
∂ ω
EH
i
EH
x
y
x
y
⎡⎢⎢⎢
⎤⎥⎥⎥= −
⎡⎢⎢⎢
⎤⎥⎥⎥
⎡⎢⎢⎢
⎤⎥⎥⎥
∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆
11 12 13 14
21 22 23 24
∂z EH
EH
y
x
y
x−⎣
⎢⎢
⎦
⎥⎥
⎣
⎢⎢
⎦
⎥⎥ −⎣
⎢⎢
⎦
⎥⎥
∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆
31 32 33 34
41 42 43 44⎡ ⎤E
∂ψ∂
ω ψi c= − / ∆⎡⎢⎢
⎤⎥⎥
EH
x
y∂z ψ = ⎢⎢⎢
⎥⎥⎥
Ey
y
−⎣⎢
⎦⎥Hx
∆
∆11 51 53 1 56 5
12 55 53 4 56 8
= + + +
= + + +
M M A M AM M A M A
( )( )
ηη
A M M M M D1 61 36 31 66= −( ) /∆
∆
∆
12 55 53 4 56 8
13 52 53 2 46 6
14 54 53 3 56 7
+ + +
= + + +
− = + + +
M M A M AM M A M A
M M A M A
( )( )
( )
ηηη
A M M M M DA M M M M D
2 62 36 32 66
3 64 36 34 66
= − −
= −
[( ) ] /( ) /
η
∆
∆
14 54 53 3 56 7
21 11 13 1 16 5
22 15 13 4 16 8
= + +
= + +
M M A M AM M A M A
( )ηA M M M M DA M M M M D
4 65 36 35 66
5 63 31 33 61
= − +
= −
[ ( ) ] /( ) /
η
∆
∆
22 15 13 4 16 8
23 12 13 2 16 6
24 114 13 3 16 7
= + +
− = + +
M M A M AM M A M A
A M M M M DA M M M M D
6 63 32 62 33
7 63 34 33 64
= − −
= −
[ ( ) ] /( ) /
η
∆
∆31 41 43 11 46 5
32 45 43 4 46 8
− = + +
− = + +
M M A M AM M A M A
A M M M M DD M M M M
8 35 63 33 65
33 66 36 63
= + −
= −
[( ) ] /η
∆ 33 42− = +M M A M AM M A M A
43 2 46 6
34 44 43 3 46 7
+
= + +∆
N c0 0= =/ sin /η ς ω ϕ
M M A M AM M A M A
41 21 23 1 26 5
42 25 23 14 26 8
= + + −
= + + −
∆
∆
( )( )
ηη
M M A M AM M A M A
43 22 23 2 26 6
44 24 23 3 26 7
= + + −
− = + + −
∆
∆
( )( )
ηη
Вычисление матрицы слояВычисление матрицы слоя
L (h) = е-iωh∆ = [I - iωh∆ - (ωh)2∆2 /2! - i(ωh)3∆3 +...)
L(h) = ΨK(h)Ψ-1,
( d) L( d) ( )ψ(z+d) = L(z,d)ψ(z),
L(z d) = L(z+d-h h ) L(z+h +h h )L(z+h h )L(z,d) = L(z+d-hm,hm)...L(z+h1+h2,h2)L(z+h1,h1), d = h1+h2+...+hm
∂∂
ωL z dz
ic
z L z d( , ) ( ) ( , )= ∆∂z c
Полубесконечная среда-анизотропная среда –полубесконечная средаполубесконечная среда
N2 sinϕ2 = N0 sinϕ0 ψ(d) = Lψ(0) ψ(0+) = ψi(0-) +ψr(0-), ψ(d - 0) = ψ(d + 0),
Hp/Es = Hs/ Ep = N.
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
i
ip
ip
rp
rp
tp
tp
EN E
EN E
EN E
=
⎡⎢⎢⎢
⎤⎥⎥⎥
=
−⎡⎢⎢⎢
⎤⎥⎥⎥
=
⎡⎢⎢⎢
⎤⎥⎥⎥
cos cos cos0
0
0
0
2
2ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
iis
is
rrs
rs
tts
ts
EN E
EN E
EN E⎣
⎢⎢
⎦
⎥⎥ −⎣
⎢⎢
⎦
⎥⎥
⎣
⎢⎢
⎦
⎥⎥cos
,
cos
,
cos
.
0 0 0 0 2 2
EN E
l l l ll l l l
E EN E E
tp ip rpcos ( ) cos( )
ϕ ϕ2 11 12 13 14 20⎡⎢
⎤⎥
⎡⎢
⎤⎥
−⎡⎢
⎤⎥N E
EN E
l l l ll l l ll l l l
N E EE E
N E E
tp
ts
t
ip rp
is rs
icos
( )( )
( ) cosϕ ϕ
2
2 2
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
0
0 0⎣
⎢⎢⎢⎢
⎦
⎥⎥⎥⎥
=
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎦
⎥⎥⎥⎥
++
−⎣
⎢⎢⎢⎢
⎦
⎥⎥⎥⎥N E l l l l N E Ets is rscos ( ) cosϕ ϕ2 2 41 42 43 44 0 0⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
a E + a E + a E + a E = 0aipEip + aisEis + arpErp + arsErs = 0 bipEip + bisEis + brpErp + brsErs = 0,
a l N l N l N la l N l N l N l
ip
rp
= − + −= − − + −
cos ( cos ) ( cos )cos ( cos ) ( cos )ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
0 11 2 21 2 0 12 2 22 2
0 11 2 21 2 0 12 2 22 2
a N l N l l N la N l N l l N l
rp
is
rs
= − + −
= − − + −
( ) ( )
cos ( cos ) ( cos )cos ( cos ) ( cos )
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
0 11 2 21 2 0 12 2 22 2
0 0 14 2 24 2 13 2 23 2
0 0 14 2 24 2 13 2 23 2
b l N l N l N l
b lip
rp
= − + −
= −
cos ( cos ) ( cos )
cos (
ϕ ϕ ϕ
ϕ0 31 2 2 41 0 32 2 2 42
0 31 2 2 41 0 32 2 2 42N l N l N lcos ) ( cos )ϕ ϕ− + −
0 0 34 2 2 44 33 2 2 43
0 0 34 2 2 44 33 2 2 43
b N l N l l N lb N l N l l N l
is
rs
cos ( cos ) ( cos )cos ( cos ) ( cos )ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
= − + −
= − − + −
EE
R RR R
EE
rp pp ps
sp ss
ip
i
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥E Ers sp ss is⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
=E REr i
R = −− −− −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−( )( ) ( )( ) (
a b a ba b a b a b a ba b a b a b a brs rp rp rs
ip rs rs rp is rs rs is
rp ip ip rp rp is is rp
1
Et = TEi , T =⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
T TT T
pp ps
sp pp⎣ ⎦sp pp
Tpp=[(l21cosϕ0 + l22N0) + Rpp(-l21cosϕ0 + l22N0) + Rsp(l23 - l24N0cosϕ0)]/N2Tps=[(l23 + l24N0cosϕ0) + Rps(-l21 cosϕ0 + l22N0) + Rss(l23 - l24N0cosϕ0)]/N2p pTsp=(l31cosϕ0 + l32N0) + Rpp(-l31cosϕ0 + l32N0) + Rsp(l33 -l34N0cosϕ0)Tss=(l33 + l34N0cosϕ0) + Rps(-l31cosϕ0 + l32N0) + Rss(l33 - l34N0cosϕ0)
Примеры использования матричных методов для
расчета оптическихрасчета оптических характеристик системр р
Устройство ЖК индикатораУстройство ЖК ‐ индикатора
Характеристики ЖК индикатораХарактеристики ЖК ‐ индикатораСветимость или яркостьрЦветКонтраст и градация (контраст р р д ц ( ропределяется как
К=(L—Lфон)/ L, где L, Lфон — яркости ( фон) д фон ристочника и фона)Диаграмма направленностир рМощность управленияБыстродействиеДеградацияРазрешение и размерСпособы адресации
Метод ДжонсаМетод Джонса,
n
iM M=∏1
,ин ii
M M=∏
1) в однородном слое ЖК распространяются обыкновенная и необыкновенная волны в одном направлении но для них различны показатели преломления и коэффициентыв одном направлении, но для них различны показатели преломления и коэффициенты поглощения; угол распространения α световых волн в слое ЖК определяется соотношением
где α1 ‐ угол распространения света в воздухе; n, nо ‐ показатели преломления для необыкновенной и обыкновенной волн соответственно;2) поляризации необыкновенной и обыкновенной волн ортогональны друг другу;2) поляризации необыкновенной и обыкновенной волн ортогональны друг другу;3) в прямоугольной системе координат XYZ, связанной с фронтом падающей волны, направление распространения в которой совпадает с осью Z, матрицу Джонса ЖК Mжкможно записать в видеможно записать в виде
где GKXYZ ‐ матрица Джонса K ‐ го однородного субслоя ЖК; ρK,K+1 ‐ матрица, учитывающая различие в направлениях распространения света в K и (K+1) ‐ м у щ р р р р р ( )однородных субслоях и различие их показателей преломления; N ‐ число однородных субслоев ЖК.
J = M J M +Jвых = Mин Jвх Mин ,
Матричный метод БерреманаМатричный метод Берремана( ) ( ,0)( (0) (0)),t i rd P dζ ζ ζ= +t i r
2 2 2 2 1 2 1 1( ,0) ,пол ст эл ор жк ор эл ст полP d P Р Р Р Р Р Р Р Р=
1−= XKXPi
x
dnXaX 111
==
x
dXaX 221 = 2
111 )(1/][ Mnnarrrrr
⋅−Μ×=
y
yo
dnXaXdnX
141
131
121
−===
y
yo
dnXaXdnX
242
232
222
−=== 111
2222 )(1/][ Mnnarrrrr
⋅−Μ×=xodnX 141 xodnX 242
где ‐ единичный вектор обыкновенной волны, распространяющейся в 2,1ar2,1M
rд д р , р р р щнаправлении в подслое с директором ; ; индекс 1 относится к прямой обыкновенной волне, а индекс 2 к обратной обыкновенной волне.
2,1
nr ][ 2,12,12,1 aMd rrr×=
x
anXtgdX 333113 sin
=+= αζ 44414 sin
XtgdX x += αζ
x
y
y
anXdX
anX
3343
333
3323
==−=
2444
2333
4444
434
4424 )(1/][,)(1/][, MnnaMnna
anXdX
anX
x
y
y rrrrrrrrrr⋅−Μ×=⋅−Μ×=
==−=
( )( )
,)())(1(/)(1))((222
23
23
2333 MnMnMnMntg oeoe
rrrr
rrrrrrrr⋅+⋅−−⋅−⋅−= εεεεζ ][ 4,34,34,3 aMd rrr
×=( ),)())(1(/)(1))(( 2
42
42
444 MnMnMnMntg oeoerrrr⋅+⋅−−⋅−⋅−= εεεεζ
ω
000
0002
1
cos
cos
dzc
i
dzc
i
e
e
Kαω
αω
.
000
000
000
4
3
cos
cos
dzc
i
dzc
ie
eK
αω
αω=
000 ce
∏=N
PP ∏=
=i
iLC PP1
ω
000
000222
111
cos
cos
dzadzc
i
dzadzc
i
e
e
K−
−
αω
αω
.000
000
444
333
cos
cos
dzadzi
dzadzc
ie
eK
−
−=
αω
αω
000 44ce
Практические задания к курсу «Основы поляризационной оптики»
Задание 1.
Использование матричного формализма для расчета характеристик линзовых систем
Центрированная оптическая система состоит из двух толстых двояко выпуклых линз. Радиусы кривизны первый линзы соответственно равны 25 и 30 см, а толщина линзы 5 см. Радиусы кривизны второй линзы равны соответственно 40 и 60 см, а толщина линзы 4 см. На расстоянии l = 12 см от поверхности первой линзы находится объект. Расстояние между первой и второй линзами d.
А) Разработать алгоритм и программу для расчета положения объекта при заданном расстоянии между линзами. В качестве входных параметров являются параметры оптической системы.
Б) Построить зависимость положения изображения, поучаемого с помощью этой системы, от расстояния между линзами. Представить результат в графическом и табличном виде.
Задание 2.
Изучение оптических характеристик фильтров Шольца Скрещенный фильтр Шольца работает между двумя скрещенными поляризаторами. Геометрия из четырех фазовых пластинок изображена на рис. 1., а в табл. 1 приведены азимутальные углы ориентации отдельных фазовых пластинок. Согласно табл.1, пропускающая ось переднего поляризатора параллельна оси X, а ось заднего поляризатора параллельна оси Y прямоугольной системы координатXYZ. Свет в этой оптической системе распространяется вдоль ось Z. В такой геометрии количество пластин N должно всегда быть четным. В этом случае полная матрица Джонса M равна:
,2/N
DCBA
M ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
где ),2/(sin)2(sin))2/sin()2cos()2/(cos( 222 Γ+Γ−Γ= ρρiA
,/)(2),2/(sin)2(sin))2/sin()2cos()2/(cos(
,),2/(sin)4sin(
222
2
λπρρ
ρ
dnniD
BCB
oe −=ΓΓ+Γ+Γ=
−=Γ=
λ - длина волны света.
Рис. 1 Скрещенный фильтр Шольца
Веерный фильтр Шольца также представляет собой стопу одинаковых двулучепреломляющих пластин, каждая из которых ориентирована под определенным азимутальным углом друг к другу, а вся стопка пластин помещена между параллельными поляризаторами. В табл. 2 приведена краткая характеристика типичного веерного фильтра Шольца, а на рис. 2 показано геометрическое расположение его элементов. Согласно методу матриц Джонса полная матрица стопки из N дается следующим выражением:
[ ] ),()2()2/(
)()()3()3()5()5()...2/()2/(
0
0000
ρρρπ
ρρρρρρρπρπ
RRWR
RWRRWRRWRRWRMN+−=
=−−−−+−=
где R – матрица поворота;
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−=
)/)(exp(00)/)(exp(
0
00 λπ
λπdnni
dnniW
e
e
Таблица 1.
Скрещенный фильтр Шольца Оптический элемент Азимутальный угол ориентации
оптического элемента, градусы Передний поляризатор 0
Первая пластина ρ Вторая пластина -ρ Третья платина ρ
…. …. N – ая пластина (-1)N-1ρ
Задний поляризатор 90
Таким образом, матрицы Джонса для всех оптических элементов скрещенного или веерного фильтров Шольца определены. Тогда падающая и выходящая из системы волны связаны между собой соотношением
,int
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡iny
xinoutout
y
outx
EE
MPPEE
где матрицы Pout и Pin являются матрицами выходного и входного поляризаторов. Если на систему падает свет единичной интенсивности, то пропускание такого фильтра Шольца T будет выражаться следующим образом:
,2/)( *2222
*2121
*1212
*1111 AAAAAAAAT +++=
где A – матрица всего фильтра Шольца A = PoutMPin. Задание
1. Разработать алгоритм и программу для расчета пропускания скрещенного (веерного) фильтра Шольца. Входными параметрами должны являтся толщина одной фазовой платины d и азимутальный угол ρ.
2. Исследовать оптические характеристики фильтра Шольца с идеальными поляризаторами (t1 = 1, t2 = 0). Получить максимум пропускания фильтра на длине волны света 550 нм. Найти при каком значении толщины пластины и каких значениях азимутального угла выполняется это условие. Представить спектр пропускания фильтра в графическом виде.
3. Исследовать оптические характеристики фильтра Шольца с неидеальными поляризаторами (t1 = 0.91, t2 = 0.01) максимум пропускания фильтра находится в
области 550 нм. Найти при каком значении толщины пластины и каком значении азимутального угла выполняется это условие. Спектр пропускания фильтра представить в графическом виде.
Таблица 2.
Веерный фильтр Шольца Оптический элемент Азимутальный угол ориентации
оптического элемента, градусы Передний поляризатор 0
Первая пластина ρ Вторая пластина 3ρ Третья платина 5ρ
…. …. N – ая пластина π/2 - ρ
Задний поляризатор 0
Рис. 2 Веерный фильтр Шольца
Указания - Все матрицы Джонса оптических элементов должны быть вычислены в одной системе
координат. - Выражение для матрицы Джонса стопки пластин M и входного поляризатора Pin
записаны в одной системе координат. - Выходной поляризатор в скрещенном фильтре Шольца повернут относительно
входного (и соответственно всей системы координат) на 90 градусов. - При моделировании характеристик фильтра Шольца для пластины считать, что ne =
1.507; no = 1.500 во всем видимом диапазоне; число пластин в фильтре считать равным 10; длины волн изменять от 400 нм до 700 нм.
Задание 3
Метод расчета оптических характеристик ЖК устройств отображения информации
Для теоретического исследования оптических характеристик электрооптических эффектов в ЖК - ячейках обычно используются различные методы матричной оптики. Широко для этой цели применяется матричный метод Джонса, который был рассмотрен для описания оптических характеристик фильтров Щольца (лабораторная работа №3).
В матричном формализме Джонса ЖК – ячейка характеризуется некоторой комплексной матрицей 2×2 MLCD, которая имеет вид
∏=
=n
iiLCD MM
1 (1)
где Mi – матрица Джонса i – го оптического элемента ЖК – ячейки; n – количество элементов.
Основная трудность в вычислении MLCD связана с нахождением матрицы Джонса слоя ЖК MLC. Для определения этой матрицы предположим, что в слое ЖК отсутствует многолучевая интерференция, а поглощение в рабочем веществе ЖК - ячейки слабое. Для вычисления MLC разобьем неоднородный слой ЖК на гомогенные субслои, в каждом из которых ориентация директора ЖК одинакова. Задача о нахождении ориентации директора ЖК решалась в предыдущей лабораторной работе. Считая, что ЖК является положительным одноосным кристаллом и оси эллписоида поглощения совпадают с осями эллипсода показателей преломления, предположим, что:
1) в однородном слое ЖК распространяются обыкновенная и необыкновенная волны в одном направлении, но для них различны покзатели преломления и коэффициенты поглощения;
2) поляризации необыкновенной и обыкновенной волн ортогональны друг другу; 3) в прямоугольной системе координат XYZ такой, что, направление распространения в
волны совпадает с осью Z, а ось X совпадает с направлением ориентации ЖК на первой подложке, матрицу ЖК MLC можно записать в виде
,...... 12,11,1,2 XYZKXYZKKNNNXYZLC GGGM ρρρ +−−=
где GKXYZ - матрица Джонса K-го однородного слоя ЖК; ρK,K+1 – матрица, учитывающая различие в направлениях распространения света в K и (K+1) –м однородных субслоях и различие их показателей преломления; N – число однородных субслоев.
При большом числе субслоев ЖК (N ≥ 100) и при нормальном падении света на ЖК - ячейку, можно считать матрицы ρK,K+1 единичными. Тогда матрицу MLC можно записать следующим образом:
∏=
=N
KKXYZLC GM
1
. (2)
Таким образом, нахождение матрицы MLC сводится к отысканию вида матрицы GKXYZ, которую с учетом сделанных приближений для однородного нематического слоя ЖК можно записать в виде:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=)2exp(0
0)2exp(
0
NLnj
NLnj
G
K
KXYZ
λπ
λπ
, (3)
где ,sincos120
2
2
2
2 nnnK
e
K
K
θθ+= nK – показатель преломления для необыкновенной волны в K –
ом однородном слое нематического ЖК, ne, n0 – главные показатели преломления для нематического ЖК; θK – угол ориентации директора ЖК в K-ом однородном слое (вычисляется на первом этапе моделирования характеристик ЖК устройств отображения информации, предыдущая лабораторная работа); λ - длина волны падающего на ЖК - ячейку света; j – мнимая единица.
Тогда матрица Джонса для всей ЖК – ячейки MLCD будет иметь вид:
)()()()( inininLCoutoutoutLCD RPRMRPRM χχχχ −−= , (4)
где Pin, Pout – матрицы Джонса для входного выходного поляризаторов соответственно;
R(χ) – матрицы поворота на угол χ;
χin – угол ориентации входного поляризатора относительно системы координат XYZ;
χout - угол ориентации выходного поляризатора относительно системы координат XYZ;
,cossinsincos
)(,cossinsincos
)(,0
0
,2
,1, ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
χχχχ
χχχχχ
χ RRt
tP
outin
outinoutin
t1in,out – максимальный коэффициент пропускания для входного или выходного поляризатора соответственно;
t2in,out – минимальный коэффициент пропускания для входного или выходного поляризатора соответственно.
Таким образом, матрица Джонса всей ЖК – ячейки полностью определена выражениями (1) – (4) и оптические характеристики электрооптического эффекта двойного лучепреломления в ЖК, управляемого электрическим полем, определяются в этом случае по выходной матрице когерентности Jout:
Jout = MLCDJinM+LCD, (5)
где Jin – матрица когерентности для света, падающего на ЖК – ячейку; M+LCD – матрица,
эрмитово сопряженная к MLCD.
В этом случае пропускание T ЖК – ячейки определяется следующим образом:
.2211
2211
inin
outout
JJJJT
++
= (6)
Степень поляризации ∆ и характеристики эллипса поляризации (азимут ψ и эллиптичность ε) для света, вышедшего из ЖК – ячейки, соответственно равны:
.)(arcsin
,
,41
2211
2112
2211
2112
1122
21122211
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=
+−
−=∆
outout
outout
outout
outout
outout
outoutoutout
JJJJj
JJJJarctg
JJJJJJ
ε
ψ (7)
Таким образом, использую матрицу когерентности, преобразуемую с помощью соответствующих комплексных матриц Джонса, можно простым и эффективным способом теоретически исследовать характеристики электрооптических эффектов в ЖК – ячейках.
Рис. 1 Геометрия ЖК – ячейки
О1О2 – направление ориентации ЖК – молекул нематика;
1 и 2 –ориентирующие поверхности ЖК – ячейки;
XYZ – базовая система координат, связанная с ориентирующей поверхностью ЖК
Задание.
1) Используя выражения (1) – (6) разработать алгоритм и составить программу для вычисления коэффициента пропускания света системы: поляризатор – ячейка с нематическим ЖК – поляризатор. На рис. 1 представлена геометрия ЖК – ячейки в базовой системе координат XYZ. В качестве входных параметров использовать следующие: i) углы ориентации входного и выходного поляризаторов χin и χout относительно
оси X базовой системы координат, которая связана с ориентацией директора ЖК на поверхностях ЖК –ячейки;
ii) главные показатели преломления ЖК n0 = 1.5, ne = 1.64; iii) L толщина ЖК – слоя, которая находится в диапазоне 2 – 10 мкм для
промышленно выпускаемых ячеек; iv) распределение углов ориентации директора ЖК (см. предыдущую
лабораторную работу); длина волны света видимого диапазона. 2) Исследовать зависимость пропускания ЖК – ячейки на определенной длине волны от
управляющего напряжения для различных длин волн видимого диапазона и различных толщин ЖК - слоя.
3) Исследовать зависимость характеристик эллипса поляризации для света, прошедшего через систему поляризатор – ЖК- слой от управляющего напряжения.
Все данные результатов расчета представить в табличном и графическом виде.
Задание 4.
Использование матричного формализма Мюллера для расчета характеристик оптических систем
Исследовать спектр пропускания света, прошедшего через оптическую систему, которая описывается выражением (10) и показана на рис. 1, при различных значениях степени деполяризации деполяризующей пластины.
Рис.1 Оптическая система с деполяризующим элементом.
1 1 - ось поляризации поляризатора, 2 2 - оптическая ось фазового компенсатора; 3 3 – ось поляризации анализатора
Для этого следует:
1. Разработать алгоритм и вычислительную программу для расчета спектра пропускания оптической системы. В качестве поляризатора выбрать идеальные поляризатор и анализатор, фазовый компенсатор должен иметь произвольную фазовую задержку и угол ориентации его оптической оси относительно направления поляризации поляризатора. В программе рассмотреть два варианта системы: поляризатор и анализатор скрещены; поляризатор и анализатор параллельны.
2. Исследовать спектры пропускания оптической системы в зависимости от степени деполяризации деполяризующей пластины для следующих значений dep = 0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1. Для фазового компенсатора взять следующие параметры n0 = 1.5, ne = 1.6, толщину пластины взять равной 688 нм, угол ориентации оптической оси относительно направления поляризации поляризатора взять равным 450.
3. Полученные результаты представить в графическом и табличном виде. Таблица 2.
Матрицы Мюллера некоторых оптических элементов
Оптический элемент Матрица Мюллера в собственной системе координат
Линейный фазовый компенсатор с фазовой
задержкой λπδ /)(2 lnn oe −= , где no,ne – главные показатели
преломления фазового компенсатора, l – толщина фазового компенсатора, λ -
длина волны света
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
− δδδδ
cossin00sincos00
00100001
Линейный частичный поляризатор с максимальным
Tmax и минимальным Tmin пропускание ⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡+−−+
minmax
minmax
minmaxminmax
minmaxminmax
000000002/)(2/)(002/)(2/)(
TTTT
TTTTTTTT
Вращатель плоскости поляризации света на угол α
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−100002cos2sin002sin2cos00001
αααα
Идеальный деполяризатор
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0000000000000001
Примечание В таблице приведены матрицы в собственной системе координат. Для нахождения матрицы Мюллера в произвольной системе координат необходимо
использовать выражение (7).
Задание 5.
Использование формализма матриц Берремана для расчета характеристик оптических систем.
Ярким примером использования матричного формализма расчета оптических характеристик сложных анизотропных систем является использование комплексных матриц 4×4 для вычисления пропускания и отражения света ориентированным слоем жидкого кристалла. Жидкие кристаллы обладают уникальными оптическими свойствами, особенно холестерическая фазы ЖК, которая была обнаружена Леманом в ранних работах (до 1900 г.). Когда белый свет падает на образец с планарной структурой (его оптическая ось перпендикулярна поверхностям стекол), происходит селективное отражение света, причем максимум длины волны отражения изменяется в зависимости от угла падения по закону Брэгга. При нормальном падении отраженный свет в значительной степени поляризован по кругу. Одна поляризованная по кругу компонента почти полностью отражается в некотором спектральном интервале, тогда как другая проходит практически без изменений. Более того, в отличие от обычных случаев, отраженная волна имеет тот же знак круговой поляризации, что и падающая. В направлении вдоль оптической оси среда обладает очень большим оптическим вращением, обычно порядка нескольких тысяч градусов на миллиметр. Вблизи области отражения дисперсия оптического вращения аномальна, и знаки вращения по разные стороны от полосы отражения противоположны. Такое поведение сходно с поведением оптически активной молекулы в окрестности полосы поглощения.
Для описания оптических свойств ЖК рассмотрим сначала его модельное представление. Холестерические жидкие кристаллы (ХЖК) образованы оптически активными молекулами (до недавнего времени почти исключительно эфирами холестерина) и отличаются тем, что направление длинных осей молекул в каждом последующем слое, состоящем из параллельно ориентированных и свободно перемещающихся в двух направлениях молекул, составляет с направлением осей молекул предыдущего слоя некоторый угол. При этом образуется спираль, шаг которой р зависит от природы молекул и внешних воздействий. Шагу р соответствует поворот оси ориентации молекул (директора) на угол 2 л, хотя период изменения оптических свойств равен p/2, вследствие не полярности молекул образующих структуру ХЖК). В качестве примера ХЖК, бесцветного в кристаллическом и жидком изотропном состоянии и меняющего окраску (селективное отражение) по мере изменения температуры в ЖК- состоянии, можно привести холестерилэрукат. К ХЖК относятся также так называемые «хиральные» (chiral) нематики обладают оптической активностью.
При таком рассмотрении ХЖК, для света падающего на него нормально (вдоль оси ХЖК), характеризуется следующей дифференциальной матрицей распространения ∆:
∆ =+
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
0 1 0 02 0 2 0
0 0 0 12 0 2 0
ε δ β δ β
δ β ε δ β
cos sin
sin cos
z z
z
,
где ε + δ = ne2, ε - δ = no
2, no, ne - показатели преломления ЖК перпендикулярно и вдоль оптической оси ХЖК соответственно, β = 2π/р, р - шаг спирали ХЖК.
Длина волны λmax максимума полосы селективного отражения ХЖК удовлетворяет следующему равенству:
(ne + no)p/2 = λmax.
Задание
1. Разработать алгоритм и вычислительную программу для расчета отражения и пропускания слоем холестерического ЖК световой волны. В качестве входных параметров использовать следующие величины: показатели преломления ЖК no = 1.5, ne = 1.7; шаг спирали р= 0.34 мкм; толщина слоя ЖК 15 мкм; слой ЖК помещен между двумя стеклянными подложками с показателями преломления n = 1.5. Считать, что свет на ЖК падает нормально (φ0 = 00).
2. Исследовать зависимость пропускания и отражения света слоем ЖК в зависимости от длины волны падающего на него света. Убедиться, что величина длины волны максимума селективного отражения λmax подчиняется уравнению (42). Убедится, что в этом случае свет отраженный и пропущенный слоем ХЖК является поляризованным по кругу.
3. Изменяя шаг спирали ХЖК и оставляя постоянными показатели преломления ЖК no и ne и его толщину, проследите как изменяется λmax. Шаг спирали ХЖК при этом изменяйте в пределах от 0.3 мкм до 0.4 мкм.
Результаты исследований представить в графическом и табличном виде
Литература.
1. Аззам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет. - М.: Мир, 1981. –584 С. 2. ЯривА., Юх П. Оптические волны в кристаллах. – М.: Мир, 1987. –616 С. 3. Блинов Л.М. Электро- и магнитооптика жидких кристаллов // М.: Наука. 1978. 484 С. 4. Сонин А.С. Введение в физику жидких кристаллов // М.: Наука. 1983. 384 С. 5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных сотрудников и инженеров //
М.: Наука. 1984. 812 С. 6. Дьяконов В. П. Сборник алгоритмов и программ на языке бэйсик для персональных
ЭВМ // М.: Наука. 1987. 400 С. 7. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике // М.:
Наука. 1994. 534 С.