i 目 次 第1章 梁の横振動解析法 1 1.1...
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流 力 弾 性 学
2020 年度講義資料
（ 令和 2 年 10 月 7 日版 ）
大阪大学工学部地球総合工学科
船舶海洋工学科目
海洋空間開発工学領域
柏 木 正
i
目 次
第 1章 梁の横振動解析法 1
1.1 梁に働く荷重，せん断力，曲げモーメントの関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 曲げモーメントと曲げの曲率の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 梁の横振動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 振動方程式の固有値，固有解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 固有関数系の直交性，規格化積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 梁の横振動におけるせん断力，慣性モーメントの影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 モード関数展開法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
第 2章 薄板の弾性振動解析法 16
2.1 応力，歪，変位の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 板の曲げの基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 断面内での力・モーメントの釣合い，周辺境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 板の振動方程式の解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
第 3章 自由表面波の理論 30
3.1 水波および弾性波の境界値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 微小振幅波の理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 弾性波の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 群速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 表面張力波と弾性波の類似性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 圧力分布法による浅喫水弾性浮体の振動計算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1大阪大学工学部船舶海洋工学科 流力弾性学
第 1章 梁の横振動解析法
流力弾性学は，文字どおり流体力学と弾性振動学の両方の知識を必要とし，流体力によって励起され
る弾性変形・振動が重要となる工学的諸問題を研究するための解析法を提供する学問である．船舶海洋
工学分野での応用例としては，海上空港などの超大型浮体構造物や石油掘削などに用いられる長大な
ライザー管の動的挙動の解析などであり，それらにおいて流力弾性学の知識は不可欠である．まずは一
様断面梁の横振動方程式を例にとり，解析法の基本概念について説明することにしよう．
1.1 梁に働く荷重，せん断力，曲げモーメントの関係
この講義では，材料力学に関する基本的な知識があることを前提としているが，最初に，釣合い状
態にある梁に働く分布荷重 w(x)，せん断力 Q，曲げモーメント M との間に成り立つ関係式の復習から
始めよう．
Fig. 1.1 の右下に示したような梁の微小長さ dx の部分を考え，その左側断面に働くせん断力を Q，曲
げモーメントを M とする．このとき dx だけ離れた右側断面でのせん断力は Q+(dQ/dx) dx，曲げモー
メントは M + (dM/dx) dx となる．（曲げモーメントは梁の曲がりが下側に凸になるような場合を正方
向として考える．）
x
+1−1x
y
O
dx
w(x)dxQ
M
dxQ+dQdx
dxM+ dMdx
Fig. 1.1 梁のたわみに関する座標系と記号
この微小長さ dx の部分に働く上下方向の力の釣合いを考えると，次式を得る．
−Q+
(Q+
dQ
dxdx
)+ w(x) dx = 0
よって dQ
dx= −w(x) (1.1)
の関係式が得られる．次にモーメントの釣合いについて考えよう．左側断面上の重心点まわりのモーメ
ントを考えると
M −(M +
dM
dxdx
)+
(Q+
dQ
dxdx
)dx+ w(x) dx
dx
2= 0
となる．ここで(dx
)2の高次項を微小量として無視すると
dM
dx= Q (1.2)
が得られる．(1.1) および (1.2) が，梁における分布荷重，せん断力および曲げモーメントの間に成り
立つ関係式である．
2 流力弾性学
1.2 曲げモーメントと曲げの曲率の関係
梁の断面にせん断力 Q および曲げモーメント M が働くと，梁はたわんで歪 ε を生じる．また梁の
断面には垂直応力 σ およびせん断応力 τ が生じる．ここでは Fig. 1.2(b) に示すように，左右対称断面
をもつ梁が純粋曲げを受ける場合を考える．その対称軸を y 軸とし，曲げモーメント M は y 軸を含み
紙面に垂直な面内で働くものとする．Fig. 1.2(a) に示すように，梁の長さ方向に dx だけ離れた二つの
横断面 mn および m ′n ′ を考えると，曲げモーメント M によって Fig. 1.2(c) のように変形する．元の
長さ dx が変化しない面（CD）を中性面 (neutral surface) といい，この中性面と梁の横断面との交線
（ Fig. 1.2(b) の z 軸 ）を中性軸 (neutral axis) という．中性面より内側では圧縮を受けて縮み，外側では
引張りを受けて伸びることになる．
y
m
n
m'
n'
'
'A 'B''B
C
dx
y
y
zy
x
m
n n
m'
'
A
C
B
D
D
O
ρM M
O
(a)
(b)
(c)
Fig. 1.2 梁の曲げによる歪と曲率の関係
Fig. 1.2(a) に示した中性面から y だけ下方の縦方向長さ AB = dx について考えると，変形後は
Fig. 1.2(c) に示すように A ′B ′ となる．D 点を通って mn に平行な直線 DB ′′ を引き，A ′B ′ 線との交点
を B ′′ とすると，A ′B ′′ = dx であるから AB の伸びは B ′B ′′ である．中性面 CD の曲率半径を O ′C = ρ
とすれば，∆O ′CD と ∆DB ′′B ′ の相似より
B ′B ′′
CD=y
ρ
である．AB の歪は ε = B ′B ′′/dx であり，CD = dx であるから，上式より
ε =y
ρ(1.3)
が得られる．垂直応力 σ と歪 ε の関係は，弾性率（ヤング率）(Young’s modulus) を E として σ = E ε
で与えられるから，応力 σ の分布は (1.3) を用いて
σ = E ε = Ey
ρ(1.4)
第 1章 梁の横振動解析法 3
のように求められる．これは y に関して線形（直線分布）である．
次に，この応力 σ と梁の断面に働く曲げモーメント M との関係について考えよう．垂直応力 σ によ
るモーメントは曲げモーメント M と釣合うものでなければならないから，断面を S と表すと，(1.4)
を用いて
M =
∫S
σy dS =
∫S
Ey2
ρdS =
E
ρ
∫S
y2 dS (1.5)
を得る．ここでI ≡
∫S
y2 dS (1.6)
は，中性軸（ z 軸）に関する断面の慣性モーメント (moment of inertia) あるいは断面二次モーメントと
呼ばれるものである．これを用いると，(1.5) (1.6) から
M
EI=
1
ρ
(≡ κ
)(1.7)
という関係が求められる．曲率半径 ρ の逆数は曲率 κ と言われ，これは曲げモーメント M に比例し，
梁の曲げ剛性 (flexural rigidity) EI に逆比例するということが分かる．
[ Note - 1.1 ]
梁あるいは板のたわみを考える際，曲線
の曲率 κ（その逆数は曲率半径 ρ）の知識
が必要になる．これに関して，Fig. 1.3 に示
す一般的な曲線 y = f(x) について解説をし
ておこう．
曲線が y = f(x) で与えられているとす
る．このとき，Fig. 1.3 において点 P での接
線が x 軸となす角を θ とすると
tan θ =dy
dx= f ′(x) (1.8)
である．点 P から曲線に沿って ds だけ離れ
た点 Q を考え，そこでの接線ならびに法線
を考えると，図に示すように，点 Q におけ
る接線と x 軸とのなす角は θ + dθ となり，
点 P, Q での法線がなす角は dθ，交点まで
の距離が曲率半径 ρ である．このとき
P
Qds
ns
θ θ+dθ
dθ
x
y
y=f(x)
ρ
Fig. 1.3 曲率の説明における座標系と記号
ρdθ = ds , ds =√dx2 + dy2 = dx
√1 + (f ′)2 (1.9)
であるから，これらを考慮すれば，以下のように 1/ρ を f ′(x) および f ′′(x) を用いて表すことができる．
tan θ = f ′ −→ dθ
cos2 θ= f ′′ dx
よって 1
ρ=dθ
ds=
cos2 θ f ′′ dx
dx√1 + (f ′)2
=cos2 θ f ′′√1 + (f ′)2
(1.10)
cos2 θ の計算は
cos2 θ + sin2 θ = 1 −→ 1
cos2 θ= 1 + tan2 θ = 1 + (f ′)2
であるから 1
ρ=
f ′′{1 + (f ′)2
}3/2(1.11)
4 流力弾性学
を得る．Fig. 1.3 では f ′′ > 0 の場合を考えたが，曲率 κ = 1/ρ は正の値であるから，曲線の曲がりが反
対の場合（すなわち f ′′ < 0 の場合）には負符号を付けて定義される．
1.3 梁の横振動方程式
Note -1.1 によれば，梁のたわみ曲線 y = f(x) の曲率 κ は，一般に次式で与えられる．
κ =1
ρ=
±f ′′{1 + (f ′)2
}3/2≃ ± d2y
dx2(1.12)
ただし，たわみ量は小さいと仮定し，分母は
1 + (f ′)2 ≃ 1 と近似している．また複号 ± はy ′′ の値に符合し，y ′′ > 0 のときは + ，y ′′ < 0
のときは − をとる．y 軸を下向き正として考えている場合（ Fig. 1.4 参照）には，梁の曲が
りが上に凸のとき y ′′ > 0 であり，下に凸のと
きには y ′′ < 0 である．
一方 Fig. 1.4 に示しているように，曲げモー
メント M は梁の曲がりが下に凸になるときを
正方向と定義したので，これらを考え合わせ
れば，(1.12) の負符号の場合を (1.7) に代入す
ればよいことになる．よって
y
xO
M > 0
> 0d y2
dx2
Fig. 1.4 y ′′ の値と曲げモーメント M > 0 の定義
M
EI= − d2y
dx2−→ EI
d2y
dx2= −M (1.13)
が得られる．これは，曲げモーメント分布から梁の静的なたわみ形状を求めるための微分方程式である．
(1.13) をさらに x について微分し，曲げモーメント M，せん断力 Q，分布荷重 w の間に成り立つ
(1.2) および (1.1) の関係を考慮すると，以下の式が得られる．
d
dx
(EI
d2y
dx2
)= − dM
dx= −Q (1.14)
d2
dx2
(EI
d2y
dx2
)= − dQ
dx= w(x) (1.15)
(1.15) は静的な力の釣合いを表している式と考えることができる．すなわち，右辺の分布荷重 w(x) と
静的に釣合っている左辺の力は梁の剛性に基づく復原力とみなすことができる．
梁の動的な横振動を考えるには，ダランベールの原理によって，単位長さ当たりの慣性力を (1.15) の
w(x) の一部として加えればよい．そこで単位長さ当たりの梁の質量を m とすれば，梁に働く慣性力は
−m ∂2y
∂t2
であり，それ以外の外力を f(x, t) と表すと，ダランベールの原理に基づく梁の動的な横振動における
力の釣合い式は
0 = −m ∂2y
∂t2− ∂2
∂x2
(EI
∂2y
∂x2
)+ f(x, t)
すなわち
m∂2y
∂t2+
∂2
∂x2
(EI
∂2y
∂x2
)= f(x, t) (1.16)
第 1章 梁の横振動解析法 5
となる．上式では梁のたわみも x と t の関数と考えているので，微分記号は偏微分としていることに
注意されたい．梁が一様断面であり，曲げ剛性が長さ方向に一定値であれば，(1.16) は次のように表す
ことができる．� �m∂2y
∂t2+ EI
∂4y
∂x4= f(x, t) (1.17)� �
(1.17) を浮体の運動方程式と比べてみると，左辺第 2 項は復原力に相当する項であり，これは既に
述べたように，梁の剛性に基づく復原力とみなすことができる．また，右辺の f(x, t) を梁に働く流体
力と考えるなら，この流体力は圧力の y 方向成分を梁の断面内の没水部分にわたって積分することに
よって求められ，それは，加速度に比例する慣性力，速度に比例する減衰力，変位に比例する静水圧の
変化による復原力，および運動には関係しない強制外力から構成されることになる．すなわち
f(x, t) = −∫s(x)
p(x, y, t)ny dℓ
= −A ∂2y
∂t2− B
∂y
∂t− C y + F (x, t) (1.18)
と表される．ここで p(x, y, t) は流体による圧力を表し（ny は法線の y 方向成分，s(x) は梁の断面にお
ける没水境界線），Aは付加質量，B は流体力学的な減衰力係数，C は流体力学的な復原力係数，F (x, t)
は強制外力である．
このとき (1.17)，(1.18) をまとめると
(m+A
)∂2y∂t2
+B∂y
∂t+
(C + EI
∂4
∂x4
)y = F (x, t) (1.19)
のような梁の振動方程式となる．これらのうち，流体力（特に A，B，F の値）は，もちろん流体力学
的な境界値問題を解いて求めなければならない．
このように，流体力学的な境界値問題を梁の振動方程式と連成させて解く（考える）問題を流力弾
性問題，あるいは流体・構造連成問題という．
1.4 振動方程式の固有値，固有解
まず (1.17) の右辺をゼロとした同次方程式の解（これを振動の固有解あるいは固有モードという）
について考えよう．これは流体の影響を全く考えない場合のモードであるから，特にドライモードとい
われることがある．
f(x, t) = 0 とおき，さらに m で割って次のように表す．
∂2y
∂t2+ α2 ∂
4y
∂x4= 0 , α2 ≡ EI
m(1.20)
この解を y(x, t) = X(x)T (t) のように変数分離して考えよう．(1.20) に代入して両辺を X(x)T (t) で割
り算すると
− 1
T
d2T
dt2= α2 1
X
d4X
dx4(≡ ω2
0
)(1.21)
が得られる．左辺は t だけの関数，右辺は x だけの関数であり，これらが等しいためには定数でなけれ
ばならない．それを ω20 とおくと
d2T
dt2+ ω2
0T = 0 (1.22)
d4X
dx4=ω20
α2X ≡ k4X
(k4 =
mω20
EI
)(1.23)
6 流力弾性学
が得られる．(1.22) の一般解は
T (t) = A cosω0t+B sinω0t (A, B は定数 ) (1.24)
のようになり，角周波数（円周波数ともいう）ω0（周期 T0 = 2π/ω0）で自由振動する同次解を考えて
いることになる．（実はそうなるように (1.21) の定数を ω20 と選んだのであり，この ω0 をドライモード
における固有周波数という．）
次に (1.23) の解 X(x) について考えよう．
d4X
dx4− k4X =
(d2
dx2+ k2
)(d2
dx2− k2
)X = 0 (1.25)
は 4 階の微分方程式であるから，その一般解は 4 つの基本解を用いて次のように与えられる．
X(x) = C1 cos kx+ C2 cosh kx+ C3 sin kx+ C4 sinh kx (1.26)
ここで C1 ∼ C4 は定数である．
座標として，Fig. 1.1 に示すように，梁の中央に x 軸の原点をとることにすれば，(1.26) 右辺の第 1
項，第 2 項（ cos kx，cosh kx）は，x に関して偶関数すなわち左右対称モードであり，第 3 項，第 4 項
（ sin kx，sinh kx）は，x に関して奇関数すなわち左右反対称モードであることに注意しておこう．
4 つの定数を決めるためには，4 つの境界条件が必要であるが，それを具体的に考えるために，ここ
では両端自由の梁，すなわち梁が水面に浮かんでいる状況を想定して，梁の両端で曲げモーメント，せ
ん断力がともにゼロの場合を考えよう．これは (1.13)，(1.14) から次のように表される．
d2X
dx2= 0 ,
d3X
dx3= 0 at x = ±1 (1.27)
(1.26) より
d2X
dx2= k2
{− C1 cos kx+ C2 cosh kx− C3 sin kx+ C4 sinh kx
}(1.28)
d3X
dx3= k3
{C1 sin kx+ C2 sinh kx− C3 cos kx+ C4 cosh kx
}(1.29)
であるから (1.28) に対して (1.27) の最初の条件（曲げモーメント = 0）を適用すると
−C1 cos k + C2 cosh k − C3 sin k + C4 sinh k = 0
−C1 cos k + C2 cosh k + C3 sin k − C4 sinh k = 0
}(1.30)
よってC1 cos k = C2 cosh k
C3 sin k = C4 sinh k
}(1.31)
なる関係が得られた．
同様にして，(1.29) に対して (1.27) のせん断力 = 0 の条件を適用すると
C1 sin k + C2 sinh k − C3 cos k + C4 cosh k = 0
−C1 sin k − C2 sinh k − C3 cos k + C4 cosh k = 0
}(1.32)
よってC1 sin k = −C2 sinh k
C3 cos k = C4 cosh k
}(1.33)
なる関係が得られた．
第 1章 梁の横振動解析法 7
(1.31) (1.33) から C1 ∼ C4 を決定したいのであるが，(1.31) (1.33) はすべて同次方程式であるので完
全に決定することはできない．例えば，(1.31) (1.33) それぞれの第 1 行目の式を使うと，対称モードの
係数 C1，C2 に関する連立方程式として，∣∣∣∣∣ cos k − cosh k
sin k sinh k
∣∣∣∣∣{
C1
C2
}=
{0
0
}(1.34)
が得られる．これらから C1 と C2 の関係を知ることができるものの，C1，C2 の両方を具体的には決め
ることができない．C1 = C2 = 0 という自明で意味のない解以外に解をもつための必要十分条件は，係
数行列式の値（ D と表す）がゼロになっていることである．すなわち
D = cos k sinh k + sin k cosh k = 0 (1.35)
であり，これから左右対称モードの固有値 k の値を決める方程式（固有値 k は (1.23) によってドライ
モードでの固有周波数 ω0 を決めることに等価なので，これを frequency equation といっている）と
して次式が得られる．
tan k + tanh k = 0 (1.36)
0k
−1
−
π π
π 4π 4 π 2
2 π3
y=−tanh k y=tan k
2k 4k 6k
k
y
Fig. 1.5 左右対称モードの固有値
この値は y1 = tan k と y2 = − tanh k の曲線の交点として与えられ，Fig. 1.5 に示すように無限個存在
する．それらを左右対称モードの固有値ということを考慮して k2n (n = 0, 1, 2, · · ·) と表すことにする．Fig. 1.5 から明らかなように，n がある程度大きくなると tanh k2n ≃ 1 となるので k2n ≃ (n − 1/4)π で
与えられる．
さて，これらの固有値に対応する固有関数を求めておこう．(1.34) より
C2 =cos k
cosh kC1
であるから，これを (1.26) の左右対称モードに代入すると
X = C1 cos kx+ C2 cosh kx = C1
{cos kx+
cos k
cosh kcosh kx
}= C1 cos k
{cos kx
cos k+
cosh kx
cosh k
}(1.37)
8 流力弾性学
が得られる．固有関数は同次解であるので，これ以上 C1 の値を唯一に決めることはできない．後で
述べられるように，与えられた荷重分布に対する梁の変位を固有関数展開法によって求める際，各固
有関数の振幅は未知数としておき，その未知数に関する連立方程式を解いて決定することになるので，
(1.37) における係数は任意に選んでおいても構わないのである．例えば x = ±1 で∣∣X ∣∣ = 1 となるよう
に選んでおくことにすれば C1 cos k = 1/2 となり，固有値 k = k2n に対応する左右対称モードの固有関
数は
X2n(x) =1
2
{cos k2nx
cos k2n+
cosh k2nx
cosh k2n
}(1.38)
として与えられることになる．k0 = 0 (n = 0) に対応する固有関数（モード）は (1.38) より
X0(x) = 1 (1.39)
であり，これは梁がたわむことなく，剛体として単に上下するだけのモードであるから，浮体の動揺に
おける上下揺（ heave ）に対応している．
両端自由梁の左右対称モードに対する正確な固有値，それに対応する固有関数形はコンピュータを
使った数値計算によって求められるが，それらの結果を以下に示しておくことにする．
Table 1.1 両端自由梁の左右対称モードの固有値
2n k2n 2n k2n
0 0.000000E+00 10 0.149226E+02
2 0.236502E+01 12 0.180642E+02
4 0.549780E+01 14 0.212058E+02
6 0.863938E+01 16 0.243473E+02
8 0.117810E+02 18 0.274889E+02
n=0
n=1n=4n=2
n=3
x
Fig. 1.6 両端自由梁の左右対称モード関数の形
第 1章 梁の横振動解析法 9
[ Note - 1.2 ]
同次解である各固有関数の係数は，ここでは x = ±1 で∣∣X ∣∣ = 1 となるように決めたが，このように
しなければならない理由は特になく，言わば自由に選んでよい．実際には後述する規格化積分の値が分
かり易くコンパクトな形で求まっていれば，固有関数展開法などにおける解析でも式表示が簡易にな
るというメリットがある．そこで，規格化積分の値から計算に便利なように固有関数の係数を決めるこ
とが多い．（ (1.60) 式を参照のこと）
次に，残りの C3，C4 について考えよう．これらは x に関して奇関数，すなわち反対称モードである．
C3，C4 について解くために，(1.31) (1.33) それぞれの第 2 行目の式を使うと∣∣∣∣∣ sin k − sinh k
cos k − cosh k
∣∣∣∣∣{
C3
C4
}=
{0
0
}(1.40)
と表され，C3 = C4 = 0 の自明な解以外に解をもつためには，係数行列式の値がゼロになっていなけれ
ばならない．よって左右反対称モードの固有値を決める方程式として次式が得られる．
D = − sin k cosh k + cos k sinh k = 0 (1.41)
すなわち − tan k + tanh k = 0 (1.42)
のように表すことができる．
+1
−
π ππ 4
π 4
π 2 2 π3
y=tanh k
y=tan k
3k 5k 7k
k
y
1k
Fig. 1.7 左右反対称モードの固有値
この値は y1 = tan k と y2 = tanh k の曲線の交点として与えられ，これも k = 0 から始まって無限個
存在する．それらを k1 = 0 として k2n+1 (n = 0, 1, 2, · · ·) と表す．n が大きくなると tanh k2n+1 ≃ 1 であ
るから k2n+1 ≃ (n+ 1/4)π と近似的に与えられる．
次にこれらの固有値に対応する固有関数を求めておく．(1.40) より
C4 =sin k
sinh kC3
であるから，これを (1.26) の左右反対称モードに代入すると
X = C3 sin kx+ C4 sinh kx = C3
{sin kx+
sin k
sinh ksinh kx
}= C3 sin k
{sin kx
sin k+
sinh kx
sinh k
}(1.43)
10 流力弾性学
が得られる．ここでもこれ以上 C3 の値を決めることができないが，対称モードと同様に x = ±1 で∣∣X ∣∣ = 1 となるように選んでおくと，C3 sin k = 1/2 となり，固有値 k = k2n+1 に対応する左右反対称
モードの固有関数は
X2n+1(x) =1
2
{sin k2n+1x
sin k2n+1+
sinh k2n+1x
sinh k2n+1
}(1.44)
として与えられることになる．k1 = 0 (n = 0) に対応する固有関数は，(1.44) で k1 → 0 の極限値を考え
ることによって
X1(x) = x (1.45)
となることが分かるが，これも梁がたわむことなく，剛体として単に回転するだけのモードであり，浮
体の動揺における縦揺（ pitch ）に対応している．
参考のために，両端自由梁の左右反対称モードに対する正確な固有値，それに対応する固有関数形
の計算結果を以下に示しておくことにする．
Table 1.2 両端自由梁の左右反対称モードの固有値
2n+ 1 k2n+1 2n+ 1 k2n+1
1 0.000000E+00 11 0.164934E+02
3 0.392660E+01 13 0.196350E+02
5 0.706858E+01 15 0.227765E+02
7 0.102102E+02 17 0.259181E+02
9 0.133518E+02 19 0.290597E+02
n=1
n=2n=3
n=4
n=0
x
Fig. 1.8 両端自由梁の左右反対称モード関数の形
[ Note - 1.3 ]
これまでの説明では，左右対称モードと左右反対称モードの解析を別々に行ったので，どうしてその
ように分離して考えて良いのか疑問に思うかもしれない．そこで，ここでは少し異なった説明方法を
第 1章 梁の横振動解析法 11
試みることにしよう．(1.31) によって C2 を C1 で，C4 を C3 で表し，(1.26) および (1.32) に代入する
と，それぞれ次のように表される．
X(x) = C1 cos k
{cos kx
cos k+
cosh kx
cosh k
}+ C3 sin k
{sin kx
sin k+
sinh kx
sinh k
}(1.46)
C1
{sin k +
cos k
cosh ksinh k
}− C3
{cos k − sin k
sinh kcosh k
}= 0
C1
{sin k +
cos k
cosh ksinh k
}+ C3
{cos k − sin k
sinh kcosh k
}= 0
(1.47)
(1.47) の連立方程式は，(1.33) を (1.30) に代入しても結局は同じ結果が得られる．
(1.47) において，C1 = C3 = 0 以外の有意な解をもつための条件は
[ 1 ] C3 = 0 かつ sin k cosh k + cos k sinh k = 0
[ 2 ] C1 = 0 かつ cos k sinh k − sin k cosh k = 0
の 2 つの場合が考えられる．このうち，[ 1 ] の場合は，(1.46) から左右対称モードとなり，k を決める
固有値方程式は (1.35) と同じである．また [ 2 ] の場合は，(1.46) から左右反対称モードとなり，その
ときの k を決める固有値方程式は (1.41) と同じである．
以上の説明で既に明らかであるが，左右対称モードの固有値と左右反対称モードの固有値は異なる
ので，それぞれ独立のモードとして取り扱ってもよいのである．ただ，偶関数と奇関数を別々に扱える
のは，梁の両端で同じ境界条件が課されている場合だけであって，梁の両端で境界条件が異なる場合の
固有関数では，偶関数と奇関数が混在することになる（演習 1.1 の (2) 参照）．
演習 1.1� � これまでの解析では，梁は水面に浮かんでいることを想定し，梁の両端での境界条件として両
端自由の条件すなわち (1.27) 式を考えてきた．これ以外にもいろいろな場合が想定される．例え
ば，単純支持（ヒンジによる拘束）ならば変位と曲げモーメントがゼロだから
X = 0 ,d2X
dx2= 0
となり，固定端ならば変位と傾きがゼロだから
X = 0 ,dX
dx= 0
とすればよい．これらの組み合わせ，すなわち梁の左右の端で拘束状態が異なる場合も考えられる．
それらのうち，以下の 2 つの場合について，固有値を与える方程式，それに対応する固有関数がど
のようになるかについて調べなさい．
(1) x = ±1 ともに固定端の場合
(2) x = −1 は固定端，x = +1 は自由端の場合� �1.5 固有関数系の直交性，規格化積分
これまで考えてきた梁の横振動の固有関数 Xn(x), n = 0, 1, 2, · · · の集合は直交関数系を成しているが，その直交性ならびに規格化積分について説明しておこう．
まず固有値 km，kn に対応する固有関数を（振動モード）を Xm(x)，Xn(x) と表すと，これらは (1.23)
によってd4Xm
dx4= k4mXm ,
d4Xn
dx4= k4nXn (1.48)
12 流力弾性学
を満たしている．これらの最初の式に Xn および 2 番目の式に Xm を掛けて辺々引き算をし，さらに x
に関して積分すると
(k4m − k4n
) ∫ 1
−1
XmXn dx =
∫ 1
−1
(Xn
d4Xm
dx4−Xm
d4Xn
dx4
)dx (1.49)
を得る．この右辺に部分積分を適用すると，
(k4m − k4n
) ∫ 1
−1
XmXn dx =
[Xn
d3Xm
dx3−Xm
d3Xn
dx3− dXn
dx
d2Xm
dx2+dXm
dx
d2Xn
dx2
]1−1
(1.50)
を得ることができる．ここで梁の両端での境界条件式（梁の両端が自由の場合は (1.27) 式）を考慮す
ると， ∫ 1
−1
XmXn dx = 0 for m =/ n (1.51)
を示すことができたことになる．これは固有関数の集合が直交関数系であることを示している．
ここでの直交性の証明は，梁の両端が自由という境界条件の場合に限らず，どのような境界条件の
組み合わせでも必ず成り立つということに注意しておこう．具体的に固有関数 Xm(x), Xn(x) を求めて
いなくても，証明に必要なことは (1.48) の微分方程式を満たすこと，境界条件によって (1.50) の右辺
がゼロになることのみである．
次に m = n の場合の積分，すなわち∫ 1
−1
X2n dx あるいは
∫ 1
−1
(d2Xn
dx2
)2
dx
について考える．（これらの最初の積分は特に規格化積分といわれる．）
m = n のとき (1.49) の両辺はともにゼロであるので，そのままでは規格化積分の値を求めることが
できない．そこで km = kn + δk とおいて δk → 0 の極限における O(δk) の項を取り出すことにしよう．
このとき
k4m =(kn + δk
)4= k4n + 4k3nδk + · · ·
のように展開し，kn を簡単のために k と表すことにすると，次のような関係式を得る．
k4m − k4n = 4k3δk ( kn ≡ k )
Xm = Xn +dXn
dkδk
(1.52)
(1.52) を (1.50) に代入し，δk に比例する項だけを残すと次式を得る．
4k3∫ 1
−1
X2n dx =
[Xn
d
dk
(d3Xn
dx3
)− dXn
dk
d3Xn
dx3− dXn
dx
d
dk
(d2Xn
dx2
)+
d
dk
(dXn
dx
)d2Xn
dx2
]1−1
(1.53)
ここで，固有関数では kx が一まとまりの変数であることから，kx に関する微分を ′ で表すことにすると
dXn
dx= kX ′
n ,dXn
dk= xX ′
n (1.54)
であり，したがって d
dk
(dXn
dx
)=
d
dk
(kX ′
n
)= X ′
n + kxX ′ ′n
d
dk
(d2Xn
dx2
)=
d
dk
(k2X ′ ′
n
)= 2kX ′ ′
n + k2xX ′ ′ ′n
d
dk
(d3Xn
dx3
)=
d
dk
(k3X ′ ′ ′
n
)= 3k2X ′ ′ ′
n + k3xX ′ ′ ′ ′n
(1.55)
第 1章 梁の横振動解析法 13
となる．また (1.48) の微分方程式は
X ′ ′ ′ ′n = Xn (1.56)
と表すことができる．これらを用いると (1.53) は以下のように変形できる．
4k3∫ 1
−1
X2n dx =
[{Xn3k
2X ′ ′ ′n + k3xX2
n
}− xX ′
n k3X ′ ′ ′
n
−kX ′n
{2kX ′ ′
n + k2xX ′ ′ ′n
}+ k2X ′ ′
n
{X ′
n + kxX ′ ′n
}]1−1
よって4k
∫ 1
−1
X2n dx =
[3XnX
′ ′ ′n + kxX2
n −X ′nX
′ ′n − 2kxX ′
nX′ ′ ′n + kx
(X ′ ′
n
)2 ]1−1
(1.57)
を得る．ここで境界条件から X ′ ′n = X ′ ′ ′
n = 0 であるから∫ 1
−1
X2n dx =
1
4
[xX2
n
]1−1
=1
4
{X2
n
∣∣∣x=1
+X2n
∣∣∣x=−1
}(1.58)
となる．(1.38) (1.44) で示したように，固有関数は x = ±1 で∣∣Xn
∣∣ = 1 となるように係数を決めていた
ので，(1.58) より規格化積分の値は ∫ 1
−1
X2n dx =
1
2(1.59)
のように求めることができたことになる．(1.51) と (1.59) をまとめて表すために，クロネッカー (Kro-
necker) のデルタ記号
δmn =
{1 for m = n
0 for m =/ n
を用いると ∫ 1
−1
XmXn dx =1
2δmn (1.60)
と表すことができる．
ところが，ここで注意すべきことがある．(1.39) および (1.45) で表される剛体としての固有モードは
固有値 k = 0 のいわば特別な場合である．このときの規格化積分の値は∫ 1
−1
X20 dx =
∫ 1
−1
dx = 2 ,
∫ 1
−1
X21 dx =
∫ 1
−1
x2 dx =2
3(1.61)
であり，(1.60) とは別に考える必要がある．それに注意すれば X0 = 1，X1 = x としておいても間違い
ではないが，X0，X1 を含むすべての固有モードに対して (1.60) が成り立つとしておいた方が便利なこ
とが多い．そこで X0，X1 の係数を少し変更して
X0 =1
2, X1 =
√3
2x (1.62)
と定義しておけば (1.60) となることが分かる．
さて (1.48) を用いると
k4∫ 1
−1
X2n dx =
∫ 1
−1
d4Xn
dx4Xn dx =
∫ 1
−1
(d2Xn
dx2
)2
dx
と変形できるから，(1.59) を用いることによって次式が示されたことになる．∫ 1
−1
(d2Xn
dx2
)2
dx = k4∫ 1
−1
X2n dx =
1
2k4 (1.63)
14 流力弾性学
演習 1.2� � 左右対称モードの固有関数と固有値方程式 X2n(x) =
1
2
{cos k2nx
cos k2n+
cosh k2nx
cosh k2n
}tan k2n + tanh k2n = 0
を用いた直接積分による計算によって∫ 1
−1
X2m(x)X2n(x) dx =1
2δmn
の関係式が満たされていることを確かめなさい．� �1.6 梁の横振動におけるせん断力，慣性モーメントの影響
これまで考えてきた梁の横振動では，せん断力によるたわみの影響や梁の微小要素（長さ dx，Fig. 1.1
参照）の回転運動による慣性モーメントの影響を無視してきた．比較的細長い梁では，それらの影響は
小さいので無視しても実用的には問題ないが，それらを考慮するとき，梁の振動方程式 (1.17) がどの
ようになるのかについて考えておく．
そのために，せん断力 Q による梁の回転角を γ とし，これまで考えてきたようにせん断力によるた
わみを無視したときの梁の傾きを ψ とすると
dy
dx= ψ + γ (1.64)
と与えられる．この ψ，γ と曲げモーメント M，せん断力 Q の関係は
M = −EI dψdx
(1.65)
Q = k ′γ GA = k ′(dy
dx− ψ
)GA (1.66)
と与えられる．ここで G はせん断弾性係数，A は梁の断面積である．また k ′ は断面形状に依存する修
正係数である．梁の単位長さ当たりの密度を ρs と表すと，単位長さ当たりの質量は m = ρsA と与え
られ，また回転運動での慣性モーメントは，梁の断面二次モーメント I を用いて
MI = ρsI∂2ψ
∂t2(1.67)
と与えられることに注意しておく．
これらの準備のもとに，Fig. 1.1 で示した長さ dx の梁の微小要素に対するモーメントの釣り合いを
考えると
− ∂M
∂xdx+Qdx = ρsI
∂2ψ
∂t2dx (1.68)
が得られる．(1.68) に (1.65)，(1.66) を代入すると次式となる．
EI∂2ψ
∂x2+ k ′
(∂y
∂x− ψ
)GA− ρsI
∂2ψ
∂t2= 0 (1.69)
また長さ dx の梁の微小要素に対する y 方向の力の釣り合いを考えると
∂Q
∂xdx+ w dx = m
∂2y
∂t2dx (1.70)
第 1章 梁の横振動解析法 15
よってm∂2y
∂t2− k ′
(∂2y
∂x2− ∂ψ
∂x
)GA = w (1.71)
が得られる．(1.69) と (1.71) から ψ を消去すると，y に関する微分方程式，すなわち梁の横振動方程式
が得られる．それには (1.69) を x についてさらに微分し，それに (1.71) から得られる関係式
∂ψ
∂x=∂2y
∂x2− m
k ′GA
∂2y
∂t2+
w
k ′GA
を代入する．そうすると
EI∂2
∂x2
(∂2y
∂x2− m
k ′GA
∂2y
∂t2+
w
k ′GA
)+ k ′
(∂2y
∂x2− ∂2y
∂x2+
m
k ′GA
∂2y
∂t2− w
k ′GA
)GA
− ρsI∂2
∂t2
(∂2y
∂x2− m
k ′GA
∂2y
∂t2+
w
k ′GA
)= 0
となるが，これを整理すると次式が得られる．
m∂2y
∂t2+ EI
∂4y
∂x4−
(ρsI +
mEI
k ′GA
)∂4y
∂x2∂t2+ ρsI
m
k ′GA
∂4y
∂t4
= w − EI
k ′GA
∂2w
∂x2+
ρsI
k ′GA
∂2w
∂t2(1.72)
ここで，回転による慣性モーメントの影響を無視する ( ρsI = 0 ) と次式
m∂2y
∂t2+ EI
∂4y
∂x4− mEI
k ′GA
∂4y
∂x2∂t2= w − EI
k ′GA
∂2w
∂x2(1.73)
となり，またせん断力によるたわみの影響を無視すると
m∂2y
∂t2+ EI
∂4y
∂x4− ρsI
∂4y
∂x2∂t2= w (1.74)
となることが分かる．
1.7 モード関数展開法
これまでに説明してきた両端自由梁の横振動の固有関数（モード関数ともいう）を用いて，流体力
による梁の振動問題を解く方法について解説する．そのために，まず左右対称モードおよび左右反対
称モードの固有関数および固有値を以下のようにまとめた形で表しておこう．
u0(x) =1
2, u1(x) =
√3
2x
u2n(x) =1
2
{cos k2nx
cos k2n+
cosh k2nx
cosh k2n
}n ≥ 1
u2n+1(x) =1
2
{sin k2n+1x
sin k2n+1+
sinh k2n+1x
sinh k2n+1
}n ≥ 1
(1.75)
(− 1
)ntan kn + tanh kn = 0 (n = 2, 3, · · · ) (1.76)
これらを簡略化のために uj(x), j = 0, 1, 2, · · · と表すことにする．ここでは，円周波数 ω（これは固有値から求まる固有円周波数 ω0 とは異なる）で周期的に変動する
外力に対する応答を考えることにしよう．線形理論では，外力の時間項を eiωt で表すと，それに対す
る応答（梁の変位）の時間項も eiωt と表すことができる．すなわち，運動基礎論で習ったように，
f(x, t) = Re[F (x) eiωt
]−→ y(x, t) = Re
[Y (x) eiωt
]
16 流力弾性学
のようになる．ここで Re[· · ·
]は，最終的に実数部分のみをとるということを意味する．
外力は，梁のたわみに関係なく働く（固定している梁に働く）強制外力と，梁のたわみによる速度や
加速度に比例する流体力から構成される．つまり，強制外力によって梁は変位し，梁が変位すればそれ
によってまた新たな流体力が梁に働く．それが流体・構造連成と言われる所以であるが，強制外力を
fD(x, t) = Re[FD(x) eiωt
](1.77)
と表すことにし，梁の変位は，モード関数 uj(x) を用いた重ね合わせとして
y(x, t) = Re
[ ∞∑j=0
qj uj(x) eiωt
](1.78)
と表す．ここで，各モード関数の振幅 qj は未知数であり，これをどのように決定するかが流力弾性問
題の重要なポイントである．(1.78) のように表す場合，qj は一般に複素数であり，絶対値 |qj | と位相差arg(qj) の両方を含んだものであることに注意しよう．
次に梁が変位することによる流体力であるが，各モード関数 uj(x) は既知であるから，それによる流
体力を Fj(x), j = 0, 1, 2, · · · と表すことにすれば，線形理論では
fR(x, t) = Re
[ ∞∑j=0
qj Fj(x) eiωt
](1.79)
のように表すことができる．つまり，各モードの変位が qj 倍になれば，各モードの変位による流体力
も qj 倍になるという前提である．
以上のことをまとめると，梁に働く流体力は，(1.77) と (1.79) の和として
f(x, t) = fD(x, t) + fR(x, t) = Re
[{FD(x) +
∞∑j=0
qj Fj(x)}eiωt
](1.80)
であり，梁の変位は (1.78) として与えられる．
もう一度整理すると，(1.80) で FD(x) は梁の変位（振動モード）には関係しない成分（波浪による強
制外力など）であり，Fj(x) は梁がモード関数 uj(x) で表される変位をしたとき（すなわち qj = 1 の j
モードの振動をしたとき）に梁の断面に働く流体力を表している．これらも一般的にはすべて複素数
であると考えている．
さて，これらを (1.17) に代入すると，時間項 eiωt を除いて複素振幅の部分だけを書くと
−ω2m∞∑j=0
qj uj(x) + EI∞∑j=0
qjd4uj(x)
dx4= FD(x) +
∞∑j=0
qj Fj(x) (1.81)
が得られる．これを qj に関する連立方程式として解くのであるが，それを精度良く解くために，固有関
数（モード関数）の直交性の関係 (1.60) を用いる．すなわち (1.81) の両辺に ui(x) を掛けて −1 ≤ x ≤ 1
で積分すると
−ω2m∞∑j=0
qj
∫ 1
−1
uj(x)ui(x) dx+ EI∞∑j=0
qj
∫ 1
−1
d4uj(x)
dx4ui(x) dx
=
∫ 1
−1
FD(x)ui(x) dx+∞∑j=0
qj
∫ 1
−1
Fj(x)ui(x) dx (1.82)
となる．ここで ∫ 1
−1
ui(x)uj(x) dx =1
2δij∫ 1
−1
d4uj(x)
dx4ui(x) dx = k4j
∫ 1
−1
ui(x)uj(x) dx = k4j1
2δij
(1.83)
第 1章 梁の横振動解析法 17
であり，また (1.82) の右辺は次のように表すことにする．∫ 1
−1
FD(x)ui(x) dx ≡ FDi∫ 1
−1
Fj(x)ui(x) dx ≡ −(iω)2Aij − iωBij − Cij
(1.84)
ここで FDi は i モード方向の強制外力，Aij，Bij，Cij はそれぞれ梁の j モードの振動によって i モー
ド方向に働く流体力のうちの付加質量，減衰力係数，復原力係数である．これらを総合すると，
∞∑j=0
[− ω2
( 1
2mδij +Aij
)+ iωBij +
(Cij+
1
2EIk4j δij
)]qj = FDi (1.85)
for i = 0, 1, 2, · · ·
を得ることができる．この式は無限級数となっているが，実際の数値計算では有限項で打ち切り，qj に
関する連立方程式として解けば，j モードの複素振幅 qj を求めることができる．このようにして流力
弾性問題を解く方法をモード関数展開法という．
以上の説明では，まだ (1.79) の圧力分布 pD(x, y)，pj(x, y) をどのように求めるかが明らかでないが，
それを示すためには流体力学分野での境界値問題を解く方法について解説する必要がある．
演習 1.3� � 簡単のために流体の影響を考えないで梁の振動方程式 (1.17)
m∂2y
∂t2+ EI
∂4y
∂x4= f(x, t)
を考えてみることにしよう．境界条件は，これまで考えてきた両端自由とする．
このとき，右辺の外力分布として
f(x, t) = x2 cosωt = Re[x2 eiωt
]が与えられたとき，梁の振動方程式 (1.17) の特解をモード関数展開法によって求めなさい．� �
18 流力弾性学
第 2章 薄板の弾性振動解析法
海上空港のように平面寸法が喫水に比べて非常に大きい超大型浮体構造物は水面に浮かぶ薄板と見
なすことができる．その弾性振動の解析法を考えるのが本章の目的である．まずは板の振動を記述す
る基礎方程式を導出し，前章で学んだ梁の横振動方程式との類似性に着目する．その類似性を基に，梁
の弾性振動の固有関数（ドライモード）を使った薄板の振動解析法について解説する．
2.1 応力，歪，変位の関係
Fig. 2.1 のように直角座標軸 x, y, z をとり，それぞれの軸に平行な側面をもつ微小直方体を考える．
この微小直方体の各側面に作用する応力は，垂直応力 (normal stress) σ とせん断応力 (shearing stress)
τ に分解され，さらにせん断応力 τ は座標軸方向の二つの成分に分解して考えることができる．x, y, z
軸方向に作用する垂直応力をそれぞれ σx, σy, σz と表し，せん断応力を τyx, τzx, τxy のように表す．（最
初の添字が作用面，後の添字が作用方向を示している．）
微小直方体の各座標軸方向の長さを dx, dy, dz とし，まず各座標軸方向の力の釣合いを考える．微小
直方体に作用する単位体積当たりの物体力も作用しているとして，その各座標軸方向成分を X, Y , Z
とすると，∂σx∂x
+∂τyx∂y
+∂τzx∂z
+X = 0
∂τxy∂x
+∂σy∂y
+∂τzy∂z
+ Y = 0
∂τxz∂x
+∂τyz∂y
+∂σz∂z
+ Z = 0
(2.1)
が得られる．同様にして各座標軸まわりのモーメントの釣合いを考えると，高次の微小量を無視すれ
ば，せん断応力に関する以下の関係式が得られる．
τyz = τzy , τzx = τxz , τxy = τyx (2.2)
x
y
z
dz
dy
dxτxy
τzx
τzy
τyz
τxz
τyx
σz
σy
σx
Fig. 2.1 微小直方体に働く応力
dz
dy
y
z
v
w
P B
C
P1
B1
C1
yw@@
zv@@
π
2yz B1P1C1γ =
Fig. 2.2 yz 面におけるせん断歪
第 2章 薄板の弾性振動解析法 19
次に応力と歪の関係は次のように表される．
εx =1
E
{σx − ν
(σy + σz
)}, εy =
1
E
{σy − ν
(σz + σx
)}, εz =
1
E
{σz − ν
(σx + σy
)}γyz =
1
Gτyz, γzx =
1
Gτzx, γxy =
1
Gτxy
(2.3)
ここで εx, εy, εz は各座標軸方向の直歪 (normal strain) であり，γyz, γzx, γxy は各座標軸に垂直な面
内で起こる角の変化量であり，せん断歪 (shearing strain) と呼ばれる．また E は弾性係数 (modulus
of elasticity)，ν はポアソン比 (Poisson’s ratio)，G はせん断弾性係数 (shear modulus) あるいは剛性率
(modulus of rigidity) という．G は E，ν を使って
G =E
2(1 + ν)(2.4)
のように表せることが知られている．
(2.3) (2.4) を応力について解き，次式のように表すこともできる．
σx =E
1 + ν
(εx +
ν
1− 2νe), σy =
E
1 + ν
(εy +
ν
1− 2νe), σz =
E
1 + ν
(εz +
ν
1− 2νe)
τyz = Gγyz, τzx = Gγzx, τxy = Gγxy
(2.5)
ここで e = εx + εy + εz であり，体積歪 (volume expansion) と呼ばれる．
各座標軸方向の変位 (displacement) を u, v, w と表すことにし，それらと歪の関係を求めると，
εx =∂u
∂x, εy =
∂v
∂y, εz =
∂w
∂z
γyz =∂w
∂y+∂v
∂z, γzx =
∂u
∂z+∂w
∂x, γxy =
∂v
∂x+∂u
∂y
(2.6)
で与えられる（γyz については Fig. 2.2 参照）．以上によって 6 個の応力成分 σx, σy, σz, τyz, τzx, τxy，6
個の歪成分 εx, εy, εz, γyz, γzx, γxy および 3 個の変位成分 u, v, w の合計 15 個に対して，(2.1), (2.5),
(2.6) によって 15 個の方程式が与えられている．
演習 2.1� � (2.4) 式の導出方法の詳細を示しなさい．� �
2.2 板の曲げの基礎方程式
本節では，超大型浮体を念頭におき，x, y 軸方向の長さ（平面寸法）に比べて z 軸方向の厚さが相対
的に薄い板の曲げについて考える．板の厚さを t とし，板の厚さを二等分する面（これを板の中央面
(middle plane) という）内に x 軸および y 軸をとり，これに垂直に z 軸をとる．板の中央面の z 方向の
変位を w(x, y) と表すと，これは板のたわみ曲面 (deflection surface) を表し，各点 (x, y) の変位 w をた
わみ (deflection) という．
以下の解析では，梁のたわみに対応した式を求めるために，z 軸の正方向を鉛直下向きにとった座標
系を考えることにし，たわみを引き起こす荷重としては，板の面に垂直に作用する表面力（分布荷重）
がある場合のみを取り扱う．薄い板の曲げ理論では次の二つの仮定が成り立つとする．
(1) 変形前に板の中央面に垂直であった直線上の点は，変形後も板の中央面（たわみ面）に垂直な直
線上にある．
(2) 板は中央面に平行な多数の極めて薄い水平な層から成ると考え，これらの水平層の相互間の引張
または圧縮によって生じる z 方向の垂直応力 σz は無視できる．
20 流力弾性学
w
@
@
w
x
@
@
w
x
A
A0
A0'
A'
z
z
z
x
x
O
u
middle plane
Fig. 2.3 板の内部の点の変位
これらの仮定は，梁の曲げ理論における基礎仮定と同等のものと考えることができる．なお，仮定
(2) によって σz は理論を展開する過程においては無視されるが，他の応力成分がすべて定められたら，
それらを用いて (2.1) の釣合い式から改めて求めることができる．すなわち σz に関しては二次応力的
な取り扱いがなされる．
さて，2.1 節で示した変位と歪，応力の関係から，薄板の仮定を使いながら板のたわみ w(x, y) に関
する微分方程式を導いてみよう．中央面のすべての点は，仮定 (1) によって z 方向の変位 w のみをもつ
が，中央面を除いた板の内部の各点では，中央面の傾斜 ∂w/∂x および ∂w/∂y のために水平方向に変位
が生じる．例えば Fig. 2.3 に示すような xz 断面を考えてみよう．中央面上の点 A0(x, y, 0) およびこれよ
り z なる距離にある点 A(x, y, z) を考えると，変位 w による変形後，点 A0 は点 A ′0 に，点 A は点 A ′ に
移動する．この図より明らかなように，点 A ′ は z 軸方向の変位 z と同時に x 軸方向に u = −z∂w/∂xの変位が生じている．y 方向も同様に考えれば
u = −z ∂w∂x
, v = −z ∂w∂y
(2.7)
を得る．これらを (2.6) に代入すると
εx =∂u
∂x= −z ∂
2w
∂x2, εy =
∂v
∂y= −z ∂
2w
∂y2
γxy =∂v
∂x+∂u
∂y= −2z ∂
2w
∂x∂y
(2.8)
が得られる．次に応力と歪の関係を考えて，(2.8) によってたわみ w と応力の関係を求めよう．仮定 (2)
によって (2.3) での σz の寄与は小さいとして無視すると
εx =1
E
(σx − νσy
), εy =
1
E
(σy − νσx
)γxy =
1
Gτxy =
2(1 + ν)
Eτxy
(2.9)
となるが，これらから σx, σy, τxy に関する式に書き直して (2.8) を代入すると
σx =E
1− ν2(εx + νεy
)= − E
1− ν2z
(∂2w
∂x2+ ν
∂2w
∂y2
)σy =
E
1− ν2(εy + νεx
)= − E
1− ν2z
(∂2w
∂y2+ ν
∂2w
∂x2
)τxy = τyx =
E
2(1 + ν)γxy = − E
1 + νz∂2w
∂x∂y
(2.10)
第 2章 薄板の弾性振動解析法 21
が得られる．これから応力成分 σx, σy, τxy はすべて中央面からの距離 z に比例することが分かる．
次に σz を二次的に求めて，板の上下方向に働く分布荷重との釣合いを考えることにしよう．そのた
めには (2.1) から分かるように τxz = τzx, τyz = τzy の算定が必要である．(2.1) より
∂τzx∂z
= −(∂σx∂x
+∂τyx∂y
)=
Ez
1− ν2∂
∂x
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
)∂τzy∂z
= −(∂σy∂y
+∂τxy∂x
)=
Ez
1− ν2∂
∂y
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
)
となるから，z について積分すると次式を得る．
τzx = τxz =Ez2
2(1− ν2)∂
∂x
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
)+ C1(x, y)
τzy = τyz =Ez2
2(1− ν2)∂
∂y
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
)+ C2(x, y)
(2.11)
ここで積分定数 C1, C2 を決めるために，板の上下面(z = ∓ t
2
)でせん断力 = 0 の境界条件を用いる．
すなわち
τzx = τxy = 0 , τzy = τyz = 0 at z = ∓ t2
によって C1, C2 を決定した後，(2.11) に代入して整理すると次式を得ることができる．
τzx = τxz = −E (t2 − 4z2)
8(1− ν2)∂
∂x
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
)τzy = τyz = −E (t2 − 4z2)
8(1− ν2)∂
∂y
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
) (2.12)
これらを応力の釣合い式 (2.1) の z 方向成分に代入すると
∂σz∂z
= −(∂τxz∂x
+∂τyz∂y
)=E (t2 − 4z2)
8(1− ν2)
(∂2
∂x2+
∂2
∂y2
)(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
)となり，これを z について積分すると次式を得る．
σz =E(t2 − 4
3z2)z
8(1− ν2)
(∂2
∂x2+
∂2
∂y2
)(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
)+ C(x, y) (2.13)
この積分定数 C(x, y) を決めるために，板が水面に浮かんでいる場合の分布荷重を念頭におき，[σz
]z=− t
2
= 0 ,[σz
]z= t
2
= p(x, y) (2.14)
z
O
t2
p
2
t2
p(x,y)
p
zσ
Fig. 2.4 z 軸方向の垂直応力と境界条件
22 流力弾性学
の境界条件を考える．ここで Fig. 2.4 に示すように，p(x, y) は圧力による板の下面での分布荷重であり，
鉛直下向き（ z 軸の正方向）に働くと仮定している．
(2.13) を (2.14) に適用すると
− E t3
24(1− ν2)
(∂2
∂x2+
∂2
∂y2
)(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
)+ C(x, y) = 0
E t3
24(1− ν2)
(∂2
∂x2+
∂2
∂y2
)(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
)+ C(x, y) = p(x, y)
(2.15)
が得られ，これらの和を考えることによって
C(x, y) =1
2p(x, y) (2.16)
のように決定することができる．これを (2.13) に代入すれば σz の分布を求めることができたことにな
るが，その分布形状は Fig. 2.4 に示している．
さて，(2.16) を (2.15) に代入すれば，板のたわみ w(x, y) と圧力分布（分布荷重）との関係を表す微
分方程式が得られたことになるが，それは次のように書くことができる．� �D
{∂4w
∂x4+ 2
∂4w
∂x2∂y2+∂4w
∂y4
}= p(x, y) (2.17)
ここでD =
E t3
12(1− ν2)(2.18)� �
である．この D は梁の曲げ剛性 EI に相当するもので板の曲げ剛性 (flexural rigidity) と呼ばれる．
2.3 断面内での力・モーメントの釣合い，周辺境界条件
前節で述べたように，また Fig. 2.5 に示すように，曲げを受ける薄板を x 軸に垂直な yz 面に平行
な平面で切った断面には応力成分 σx, τxy, τxz が作用し，y 軸に垂直な xz 面に平行な平面で切った断
面には応力成分 σy, τyx, τyz が作用する．いま切口の断面の単位長さ部分を考え，板厚全体にわたって
(−t/2 ≤ z ≤ t/2) これらの応力の合力，合モーメントを考えてみよう．まず yz 面に平行な断面での応力の合力は，(2.10) の σx, τxy, (2.12) の τxz を z について積分するこ
t2
t2
TxyTxy
y
y
Tyx
xz
Tyx
Q
yQ
xQ
xQ
xM
xM
yM
yMx
yz
σ
xσ
τxyτ
yxτ
yzτ
dx
dz
dzdy
Fig. 2.5 断面内での応力の合力，合モーメント
第 2章 薄板の弾性振動解析法 23
とによって次の結果を得る．
Nx =
∫ t/2
−t/2
σx dz = 0 , Sxy =
∫ t/2
−t/2
τxy dz = 0
Qx =
∫ t/2
−t/2
τxz dz = −D∂
∂x
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
) (2.19)
ここで N は断面に垂直に働く軸力，S は断面において水平方向に働くせん断力，Q は垂直方向に働く
せん断力を表している．
続いて yz 面内での応力の合モーメントを計算してみると，(2.10) より
Mx =
∫ t/2
−t/2
σxz dz = −D(∂2w
∂x2+ ν
∂2w
∂y2
)Txy =
∫ t/2
−t/2
τxy z dz = −D(1− ν
) ∂2w∂x∂y
(2.20)
を得ることができる．ここで M は曲げモーメント，T は捩りモーメントを表し，Mx, Txy の正方向は
Fig. 2.5 に示している．
同様にして y 軸に垂直な xz 面に平行な断面での応力の合力，ならびに合モーメントを (2.10), (2.12)
の結果を使って計算すると，(2.19), (2.20) に対応して次の結果が得られる．
Ny =
∫ t/2
−t/2
σy dz = 0 , Syx =
∫ t/2
−t/2
τyx dz = 0
Qy =
∫ t/2
−t/2
τyz dz = −D∂
∂y
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2
) (2.21)
My =
∫ t/2
−t/2
σy z dz = −D(∂2w
∂y2+ ν
∂2w
∂x2
)Tyx =
∫ t/2
−t/2
τyxz dz = −D(1− ν
) ∂2w∂x∂y
= Txy
(2.22)
これらの結果から，断面内での応力の合力（これを断面力という）としては Qx, Qy で表される垂直せ
ん断力，応力の合モーメント（これを断面モーメントという）としては，曲げモーメント Mx, My およ
び捩りモーメント Txy = Tyx を考えればよいことが分かる．
次にこれらの断面力および断面モーメントの釣合い条件を考えることによって板のたわみ w(x, y) に
関する微分方程式 (2.17) が求められることを示しておこう．まず板の中央面上の微小長さ dx, dy と板
厚 t によって作られる微小直方体 tdxdy を考える．dx, dy による断面力，断面モーメントの変化分を考
慮に入れると，z 軸方向の力の釣合いより次式を得る．
∂Qx
∂x+∂Qy
∂y+ p(x, y) = 0 (2.23)
ここで p(x, y) は (2.14) で考えた圧力による分布荷重である．
同様に x 軸まわりのモーメントの釣合い，y 軸まわりのモーメントの釣合いを考えると，次に示す
関係式が得られる．∂Txy∂x
+∂My
∂y−Qy = 0
∂Tyx∂y
+∂Mx
∂x−Qx = 0
(2.24)
(2.24) から得られる Qx, Qy を (2.23) に代入し，Txy = Tyx を考慮すると
∂2Mx
∂x2+∂2My
∂y2+ 2
∂2Txy∂x∂y
= −p(x, y) (2.25)
24 流力弾性学
が得られる．この式に (2.20), (2.22) の結果を代入すれば
D
{∂4w
∂x4+ 2
∂4w
∂x2∂y2+∂4w
∂y4
}= p(x, y)
すなわち D∇4w(x, y) = p(x, y) (2.26)
となるが，これは既に求めた板の曲げの基礎方程式 (2.17) である．
このことから，板の曲げの問題においては，その内力を板の内部の各点における応力で考える代わ
りに，板厚全体についての応力の合力および合モーメント，すなわち断面力と断面モーメントで考えて
もよいことが分かる．そこで，板の周辺境界条件についても断面力および断面モーメントの形で表す
ことを考えよう．
板の周辺の端面に作用する外力は，実際には応力の形で分布するであろうが，それを板厚全体にわ
たって積分した断面力（垂直せん断力）および断面モーメント（曲げモーメント，捩りモーメント）の
形で表し，周辺の曲線に沿う単位長さにつき，これらを Qn, Mn, Tns と表す．ここで n は周辺におけ
る法線方向，s は接線方向を表すとする．一方，同じ断面における内力としての垂直せん断力 Qn，曲
げモーメント Mn，捩りモーメント Tns は (2.19) ∼ (2.22) を参照することによって
Qn = −D ∂
∂n
(∂2w
∂n2+∂2w
∂s2
)Mn = −D
(∂2w
∂n2+ ν
∂2w
∂s2
)Tns = −D
(1− ν
) ∂2w∂n∂s
(2.27)
のように与えられるから，端面における内力と外力の釣合いより
Qn = Qn , Mn =Mn , Tns = Tns (2.28)
でなければならない．ところが，(2.28) では基礎方程式 (2.26) の一般解に含まれる未定係数を定めるに
は条件が多すぎる．例えば一次元梁の場合を思い出してみよう．微分方程式の同次解には 4 個の未定
係数があり，それを定めるには梁の両端における 2 個ずつの境界条件式で十分であった．そこで境界条
z
s
ds ds ds
TnssdsTns
Tns+@@
s
Tns@
@ s
Tns@
@ s
Tns@
@ s
Tns@
@
sdsTns
Tns@
@
nsτ
z
s
(a)
(b)
Fig. 2.6 断面内での捩りモーメントと等価なせん断力
第 2章 薄板の弾性振動解析法 25
件式の数を減らすために，(2.28) における捩りモーメントを静力学的に等価な垂直せん断力で置き換
えることを考えよう．
Fig. 2.6 (a) に示すように断面を微小間隔 ds ごとのセグメントに分割し，各セグメントでの捩りモー
メントと等価になるよう，対応するセグメントの両端に大きさが等しく方向が反対の垂直せん断力に
よる偶力を考える．そうすると，これらの偶力はセグメントの境界の両側において互いに反対方向に
作用するから，その差をとると Fig. 2.6 (b) に示すように，s 方向に分布する単位長さ当り ∂Tns/∂s な
る垂直せん断力を考えればよいことになる．これは既に存在している垂直せん断力 Qn と同じ性質の
断面力であるから，両者の和を等価せん断力として Vn と表すと
Vn = Qn +∂Tns∂s
= −D ∂
∂n
{∂2w
∂n2+
(2− ν
)∂2w∂s2
}(2.29)
と与えられる．このように捩りモーメントを等価な垂直せん断力で置き換えることができれば，周辺
境界条件 (2.28) は次のように書き直すことができる．
Mn =Mn , V n = Vn (2.30)
板の曲げを考えるときの実際の周辺境界条件は板周辺の状況によって異なる．例えば周辺固定の場
合は，板のたわみがゼロおよびたわみ曲面の法線 n 方向の傾斜がゼロでなければならないから
w = 0 ,∂w
∂n= 0 (2.31)
となるし，周辺支持の場合は，板のたわみと曲げモーメント Mn がゼロであるから，(2.27) より
w = 0 ,∂2w
∂n2+ ν
∂2w
∂s2= 0 (2.32)
という周辺境界条件になる．
板が水面に浮かんでいるような場合すなわち周辺自由の場合は，曲げモーメントと等価せん断力が
ともにゼロでなければならないから，Mn = 0, V n = 0 であり，これを板のたわみ w で表すと，(2.27),
(2.29) によって次式となる．
∂2w
∂n2+ ν
∂2w
∂s2= 0 ,
∂3w
∂n3+(2− ν
) ∂3w
∂n∂s2= 0 (2.33)
したがって，水面に浮かんでいる薄板の上下変位（たわみ）の問題は，(2.33) のような周辺境界条件式
を満足するように変位 w(x, y) に関する微分方程式 (2.26) の解を求めることに帰着される．
ここで，さきに導入した等価せん断力 Vn に関して，特に矩形平板に対して注意すべきことを述べて
おこう．捩りモーメント Tns と等価なものとして置き換えられる垂直せん断力 ∂Tns/∂s は板の周辺に
dxdy
TyxTxy
dxdy
Txy2 = R
Fig. 2.7 矩形平板の角における集中力
26 流力弾性学
沿って連続的に分布するが，矩形板の角では Fig. 2.7 に示すように，捩りモーメント Txy から変換され
たせん断力と捩りモーメント Tyx から変換されたせん断力が同じ方向で同じ大きさとなるため，角の
点には 2Txy なる集中力が現れる．この集中力を R と表し，下向きに働く場合を正とすれば
R = −2Txy = 2D(1− ν
) ∂2w∂x∂y
(2.34)
が矩形平板の四隅の点に働くことになる．板が水平に浮かんでいるような周辺自由の場合には，この
集中力もゼロとなっているはずだから
∂2w
∂x∂y= 0 at sharp corners (2.35)
も周辺境界条件の一部として考えなければならない．
静的な変位だけでなく板の上下方向の振動を考えるならば，1.1 節での梁の横振動方程式を導いたと
きと同様に，ダランベールの原理によって単位面積当たりの慣性力を (2.26) の分布荷重 p(x, y) の一部
として加えればよい．そこで，単位面積当たりの板の質量を m とし，板の変位も場所と時間の関数と
して w(x, y, t) と表すと，流体力など板に働く外力を f(x, y, t) と表して
D∇4w = −m∂2w
∂t2+ f(x, y, t)
すなわちm∂2w
∂t2+D∇4w = f(x, y, t) (2.36)
を得ることができる．これが一次元の梁の振動方程式 (1.17) に対応する平板の振動方程式である．し
たがって，右辺の外力 f(x, y, t) として，平板の加速度，速度に比例する動的な流体力および変位に比例
する静的な復原力などを考えることになる．それらを求めるには，w(x, y, t) を未知数としたままで圧
力に関する流体力学的な境界値問題を解かなければならないこと，したがって流力弾性問題としての
解法が必要になることなどは，梁の横振動方程式の解析方法とまったく同じ状況である．
2.4 板の振動方程式の解法
板の振動方程式 (2.36) を 1 次元梁の場合と同様な方法で解くならば，まず板の周辺境界条件を満た
す (2.36) の同次解，すなわち固有関数（ドライモード）を求めなければならない．板が水面に浮かんで
いる状態では，周辺境界条件として (2.33) および (2.35) を満たさなければならないが，この周辺自由
の場合の固有関数を解析的に求めることは容易ではない．そこで 2 次元の板の振動問題では，x 軸方
向，y 軸方向のそれぞれにおいて 1.2 節で求めた両端自由の梁の固有解を用い，それらの掛け算として
与えられる関数を上下変位 w(x, y, t) のモード関数として採用する．すなわち
w(x, y, t) = Re
[ ∞∑m=0
∞∑n=0
Xmnum(x)vn(y) eiωt
]
≡ Re
[ ∞∑j=1
Xjwj(x, y) eiωt
](2.37)
とし，um(x), vn(y) はそれぞれ x 軸方向，y 軸方向の 1 次元梁の固有解であり，(1.75) のように与えら
れ，m, n の適当な組み合わせから 2 次元の連続モード番号 j が与えられるようにしておく．
ところで (1.75) は −1 ≤ x ≤ 1 のように規格化されているので，長さの無次元化に少し注意が必要で
ある．いま考えている板は矩形とし，長さが L (−L/2 ≤ x ≤ L/2)，幅が B (−B/2 ≤ y ≤ B/2) としよ
う．このとき L/2 を代表長さとして
x ′ =x
L/2, y ′ =
y
L/2(2.38)
第 2章 薄板の弾性振動解析法 27
b
1
1+
b+
O
yz
x
Fig. 2.8 座標系と無次元座標
のように無次元化すると，板の存在する範囲は
−1 ≤ x ′ ≤ 1 , −b ≤ y ′ ≤ b (2.39)
となる．ただし b = B/L である．以後，無次元
値を意味するダッシュ記号（ ′ ）は除き，x, y が
無次元値であると理解する．
このとき，以後の便宜のために，(1.75) で与
えられるべき um(x), vn(y) をここで具体的に書
き表しておこう．
um(x) :
u0(x) =1
2, u1(x) =
√3
2x
u2r(x) =1
2
[cos k2rx
cos k2r+
cosh k2rx
cosh k2r
]r ≥ 1
u2r+1(x) =1
2
[sin k2r+1x
sin k2r+1+
sinh k2r+1x
sinh k2r+1
]r ≥ 1
(2.40)
ただし (−1)r tan kr + tanh kr = 0 (2.41)
vn(y) :
v0(y) =1
2, v1(y) =
√3
2
y
b
v2s(y) =1
2
[cos k2s(y/b)
cos k2s+
cosh k2s(y/b)
cosh k2s
]s ≥ 1
v2s+1(y) =1
2
[sin k2s+1(y/b)
sin k2s+1+
sinh k2s+1(y/b)
sinh k2s+1
]s ≥ 1
(2.42)
ただし (−1)s tan ks + tanh ks = 0 (2.43)
これらの積で与えられるモード関数 wj(x, y) = um(x)vn(y)は周辺自由の境界条件 (2.33)および (2.35)
を厳密には満たしていないことに注意すべきである．しかしそのような場合でも，振動方程式の両辺
に重み関数（ 1.5 節ではそれが直交関数系をなす固有関数であった）を掛けて積分を行う手法（これを
重み付き残差法という）において，部分積分による式変形の過程で周辺境界条件を「自然境界条件」と
して考慮することにより，空間的に平均的な意味で周辺境界条件を満たしている解を数値的に得るこ
とができるのである．すなわち，各モード関数単独では周辺境界条件を満足していなくとも，それらの
重ね合わせによる和として与えられる変位は，周辺境界条件式を近似的に（といっても高精度に）満た
す振動方程式の数値解になっているのである．1.5 節で示したモード関数展開法では，積分における重
み関数が直交関数系をなす固有関数であったので，級数の収束も早く，少ない項数で高精度の解が得ら
れるが，ここでの解析のように重み関数が固有関数でない場合でも，十分な項数をとって周辺境界条件
を「自然境界条件」として考慮すれば，十分な精度の解を得ることができる．以下では具体的な式変形
によって，自然境界条件（周辺境界条件）の取り込み方を示すことにする．
そのためにまず，流体力として与えられるべき (2.36) の右辺 f(x, y, t) を次のように表しておく．
f(x, y, t) = Re
[{fD(x, y) +
∞∑j=1
Xj fj(x, y)
}eiωt
](2.44)
ここで fD(x, y) は板の変位には関係しない強制外力の分布を表し，fj(x, y) は板が wj(x, y) で表される
変位をしたとき（すなわち Xj = 1 の j モードの振動をしたとき）に働く流体力の分布を表している．
(2.44) のように表す場合には，fD(x, y), fj(x, y) ともに一般的には複素数である．
28 流力弾性学
(2.37), (2.44) を (2.36) に代入すると次式を得る．
−ω2m
∞∑j=1
Xjwj(x, y) +D
∞∑j=1
Xj∇4wj(x, y) = fD(x, y) +
∞∑j=1
Xj fj(x, y) (2.45)
次に wi(x, y) を重み関数として (2.45) の両辺に掛けて板の面上 (−1 ≤ x ≤ 1, −b ≤ y ≤ b) で積分す
ると，未知数である j モードの振幅 Xj に関する連立方程式を得ることができる．
−ω2m∞∑j=1
Xj
∫∫S
wi(x, y)wj(x, y) dS +D∞∑j=1
Xj
∫∫S
wi(x, y)∇4wj(x, y) dS
=
∫∫S
fD(x, y)wi(x, y) dS +
∞∑j=1
Xj
∫∫S
fj(x, y)wi(x, y) dS (2.46)
ここで wi(x, y) は，(2.37) のように両端自由の 1 次元梁における固有モードの掛け算として
wi(x, y) = uk(x)vℓ(y) (2.47)
で与えられるとしており，k, ℓ と連続のモード番号 i との関係は，m, n から j を計算する関係と全く
同じである．このとき，(2.46) 左辺の第 1 項の計算および右辺の計算は 1 次元梁の場合と殆ど同様に
計算することができる．左辺の第 1 項の積分に対しては∫∫S
wi(x, y)wj(x, y) dS =
∫ 1
−1
uk(x)um(x) dx
∫ b
−b
vℓ(y)vn(y) dy =1
2δkm
b
2δℓn =
b
4δij (2.48)
のように解析的に求めることができる．また右辺の計算に対しては∫∫S
fD(x, y)wi(x, y) dS ≡ FDi∫∫S
fj(x, y)wi(x, y) dS ≡ −(iω)2Aij − iωBij − Cij
(2.49)
と表しておくことにする．fD(x, y), fj(x, y) は流体力学における境界値問題を解いて初めて得られるの
で，実際の計算は簡単ではないが，ここでは fD(x, y), fj(x, y) が求まったものとして考えよう．
以上のことから，(2.46) の左辺第 2 項をどのように式変形するか，その過程で周辺境界条件をどのよ
うに考慮するかが残された問題である．そこで
Dij ≡∫∫
S
wi(x, y)∇4wj(x, y) dS (2.50)
とおいて，この計算法について説明する．ちなみに，この Dij は板の曲げ剛性による復原力係数を表す
項であり，連立方程式における行列要素を表しているので，剛性マトリックス (stiffness matrix) と呼ば
れている．
S
sn
C
Fig. 2.9 ガウスの定理
(2.50) の式変形には 2 次元におけるガウスの定理∫∫S
∇ ·A dS =
∫C
n ·A ds (2.51)
を用いるのが便利である．ここで n は，Fig. 2.9 に示すように積分
の境界線 (C ) における外向き法線ベクトルであり，A は任意のベ
クトルである．
これを用いると，いま考えている板が矩形平板であるかどうか
には関係なく (2.50) は次のように式変形することができる．
第 2章 薄板の弾性振動解析法 29
演習 2.2� � 2 次元のガウスの定理 (2.51) 式の証明を示しなさい．� �
Dij =
∫∫S
{∇ ·
(wi∇3wj
)−∇wi · ∇3wj
}dS
=
∫C
wi∂
∂n
(∇2wj
)ds−
∫∫S
∇wi · ∇3wj dS ←− n · ∇ =∂
∂n
= −∫∫
S
{∇ ·
(∇wi∇2wj
)−∇2wi∇2wj
}dS +
∫C
wi∂
∂n
(∇2wj
)ds
=
∫∫S
∇2wi∇2wj dS +
∫C
{− ∂wi
∂n∇2wj + wi
∂
∂n
(∇2wj
)}ds (2.52)
ここで，積分の境界線 (C ) 上での被積分関数に対して，周辺境界条件 (2.33) を考慮すると，次のよう
に式変形できることが分かる．
∇2wj =∂2wj
∂n2+∂2wj
∂s2=
(1− ν
) ∂2wj
∂s2(2.53)
∂
∂n
(∇2wj
)=
∂
∂n
(∂2wj
∂n2+∂2wj
∂s2
)= −
(1− ν
) ∂3wj
∂n∂s2(2.54)
これらを (2.52) に代入した後，矩形平板について考えると次式を得る．
Dij =
∫∫S
∇2wi∇2wj dS −(1− ν
) ∫C
{∂wi
∂n
∂2wj
∂s2+ wi
∂3wj
∂n∂s2
}ds
=
∫∫S
∇2wi(x, y)∇2wj(x, y) dxdy
−(1− ν
) ∫ 1
−1
[∂wi
∂y
∂2wj
∂x2+ wi
∂3wj
∂y∂x2
]b−b
dx
−(1− ν
) ∫ b
−b
[∂wi
∂x
∂2wj
∂y2+ wi
∂3wj
∂x∂y2
]1−1
dy (2.55)
さらに 3 階微分の項に対しては
wi∂3wj
∂y∂x2=
∂
∂x
[wi
∂2wj
∂x∂y
]− ∂wi
∂x
∂2wj
∂x∂y
wi∂3wj
∂x∂y2=
∂
∂y
[wi
∂2wj
∂x∂y
]− ∂wi
∂y
∂2wj
∂x∂y
(2.56)
とでき，x, y それぞれに関する積分の結果得られる矩形平板の四隅での∂2wj
∂x∂yの値に対しては，(2.35)
を自然境界条件として考慮すればゼロとすることができるから
Dij =
∫∫S
∇2wi(x, y)∇2wj(x, y) dxdy
−(1− ν
) ∫ 1
−1
[∂wi
∂y
∂2wj
∂x2− ∂wi
∂x
∂2wj
∂x∂y
]b−b
dx
−(1− ν
) ∫ b
−b
[∂wi
∂x
∂2wj
∂y2− ∂wi
∂y
∂2wj
∂x∂y
]1−1
dy (2.57)
となる．以上のようにして，部分積分の結果得られる境界での計算に対して周辺境界条件を適切に考
慮すれば，各モード関数自体が周辺境界条件を満たしていなくても，空間的に平均的な意味で周辺境
界条件を満足させることができる．
30 流力弾性学
(2.57) を数値計算するには，右辺第 2，3 行目をそれぞれ y, x について微分して面積分に直し，第 1
行目と同様の形にしておいた方が，x, y に関する積分を解析的に考える際に便利であろう．そこで，そ
の計算を実行して結果をまとめると，結局剛性マトリックスの計算式として次式を得ることができた
ことになる．
Dij =
∫∫S
(∂2wi
∂x2+∂2wi
∂y2
)(∂2wj
∂x2+∂2wj
∂y2
)dxdy
−(1− ν
) ∫∫S
{∂2wi
∂x2∂2wj
∂y2+∂2wi
∂y2∂2wj
∂x2− 2
∂2wi
∂x∂y
∂2wj
∂x∂y
}dxdy (2.58)
この式に
wi(x, y) = uk(x)vℓ(y) , wj(x, y) = um(x)vn(y)
を代入して x, y に関する積分を実行すればよい．その際，次に示す積分を行う必要がある．
Ekm ≡∫ 1
−1
d2ukdx2
d2umdx2
dx , Fkm ≡∫ 1
−1
d2ukdx2
um dx
Gkm ≡∫ 1
−1
dukdx
dumdx
dx , Hkm ≡∫ 1
−1
ukum dx =1
2δkm
(2.59)
Eℓn ≡∫ b
−b
d2vℓdy2
d2vndy2
dy , Fℓn ≡∫ b
−b
d2vℓdy2
vn dy
Gℓn ≡∫ b
−b
dvℓdy
dvndy
dy , Hℓn ≡∫ b
−b
vℓvn dy =b
2δℓn
(2.60)
これらの計算の詳細は省略するが，結果は次のようにまとめることができる．
Ekm =
∫ 1
−1
k2kukk2mum dx = k2k k
2mHkm =
1
2k4m δkm (2.61)
Eℓn =
∫ b
−b
(kℓb
)2
vℓ
(knb
)2
vn dy =
(kℓb
)2(knb
)2
Hℓn =b
2
(knb
)4
δℓn (2.62)
(i) k, m がともに偶数の場合
Fkm =
−kk tan kk for k ≥ 2,m = 0
− 2k4kk4k − k4m
(kk tan kk − km tan km
)for k =/ m
− 1
2
[km tan km +
(km tan km
)2]for k = m
(2.63)
Gkm =
0 for k = 0 or m = 0
− 2kkkmk4k − k4m
(k3k tan km − k3m tan kk
)for k =/ m
1
2
[− 3km tan km +
(km tan km
)2]for k = m
(2.64)
(ii) k, m がともに奇数の場合
Fkm =
√3(kk cot kk − 1
)for k ≥ 3,m = 1
2k4kk4k − k4m
(kk cot kk − km cot km
)for k =/ m
1
2
[km cot km −
(km cot km
)2]for k = m
(2.65)
第 2章 薄板の弾性振動解析法 31
Gkm =
3
2for k = m = 1
√3 for k ≥ 3,m = 1 or k = 1,m ≥ 3
2kkkmk4k − k4m
(k3k cot km − k3m cot kk
)for k =/ m
1
2
[3km cot km +
(km cot km
)2]for k = m
(2.66)
y に関する積分は，y = bη と変数変換して考えれば明らかなように，Fℓn, Gℓn ともに上記の Fkm,
Gkm の結果において 1/b 倍すればよいだけである．（もちろんモード番号の記号を k → ℓ, m → n と置
き換える必要はある．）
説明が冗長になったが，以上の結果を使うと，(2.58) の剛性マトリックスは
Dij = EkmHℓn +Hkm Eℓn + Fkm Fnℓ + Fmk Fℓn −(1− ν
){Fkm Fnℓ + Fmk Fℓn − 2Gkm Gℓn
}=b
4δij
{k4m +
(knb
)4}+ ν
{Fkm Fnℓ + Fmk Fℓn
}+ 2
(1− ν
)Gkm Gℓn (2.67)
のように解析的に計算できたことになる．
これを (2.46) に代入し，(2.48), (2.49) を考慮すると，j 番目モード関数の複素振幅 Xj に関する連立
方程式
∞∑j=1
[− ω2
(mb
4δij +Aij
)+ iωBij +
(Cij +DDij
)]Xj = FDi (2.68)
for i = 1, 2, 3, · · ·
を得ることができる．
1 次元梁の場合のモード関数展開法と比べると，剛性マトリックスの計算が (2.67) のように非対角項
（ i = j 以外の項）が残って少し複雑になっている．これは，本節で考えたモード関数すなわち (2.37) の
wj(x, y) = um(x)vn(y) が，単独では周辺自由の境界条件を満足していなかったためであるが，それを除
けば，形式的には 1 次元梁に対する解析法と同じであることが理解できるであろう．
32 流力弾性学
第 3章 自由表面波の理論
水面上の浮体に波が入射すると，浮体は波を散乱するとともに波による力を受けて動揺し，動揺す
ることによって浮体は新たに波を発生する．そのような波と浮体の相互作用を理解するためには，まず
は水面上に見られる波の性質およびそれを記述する理論を理解することが必要である．本章では，重
力の影響によって水面上に発生する水波について理解を深めた後，超大型浮体のような水面に浮かぶ
弾性膜（薄板）上に発生する弾性波の特徴についても解説する．
3.1 水波および弾性波の境界値問題
本章で解析対象とする波は，波長で言うならば数十 cm ∼ 数百 m のオーダーまでの波であり，我々
の身の回りや一般の海面上に見られる，いわゆる自由表面波 (free surface wave) であるとする．
このような自由表面波では粘性の影響は無視し得るほどに小さいので，非圧縮性完全流体としての
取扱いが可能である．また流体運動が静止状態から始まるとすると，ラグランジュの渦定理によって以
後の流体運動も渦なし（非回転）でなければならない．
渦度 ω は流体の速度 u を用いて ω = ∇× u と与えられるから，渦なし流れとは ∇× u = 0 が成り
立つということである．ベクトル解析における恒等式の一つとして，任意のスカラー関数 Φ に対して
∇×∇Φ = 0 が常に成り立つことが知られている．ということは，渦なし流れでは
u = ∇Φ (3.1)
となるスカラー関数 Φ が定義できるということである．(3.1) によれば，この関数の勾配が速度である
ので，Φ を速度ポテンシャル (velocity potential) と呼ぶ．一般に，速度ポテンシャルによって記述でき
る流れをポテンシャル流れ (potential flow) というが，渦なし流れは常にポテンシャル流れである．
速度ポテンシャル Φ に関する境界値問題を考えるために，非圧縮性完全流体に対する支配方程式，す
なわち質量保存則から得られる連続の方程式 (continuity equation)
∇ · u = 0 (3.2)
と運動量保存則から得られるオイラー方程式 (Euler’s equation)
∂u
∂t+ u · ∇u = − 1
ρ∇p+K (3.3)
を見直してみよう．ここで (3.3) の右辺の K は単位質量当たりの流体に働く外力を表すが，ここで
は重力のみを考えることにする．このとき，重力加速度を g，鉛直下向きを z 軸の正方向とすると，
K = (0, 0, g) と表すことができる．
まず (3.1) を (3.2) に代入すると，
∇ · ∇Φ = ∇2Φ = 0 (3.4)
が得られる．すなわち連続の方程式はラプラス方程式 (Laplace’s equation) となり，これが Φ に対する
支配方程式である．
次に (3.3) について考える．ベクトルの式変形によって
u · ∇u = −u×(∇× u
)+
1
2∇(u · u
)(3.5)
第 3章 自由表面波の理論 33
とできるから，非圧縮性流体の渦なし流れに対するオイラー方程式は，速度ポテンシャル Φ，圧力 p，
流体の密度 ρ を用いて
∇[∂Φ
∂t+
1
2∇Φ · ∇Φ+
p
ρ− gz
]= 0 (3.6)
すなわち p
ρ+∂Φ
∂t+
1
2∇Φ · ∇Φ− gz = f(t) (3.7)
と表すことができる．これはベルヌーイの圧力方程式 (Bernoulli’s pressure equation) として知られてい
る．(3.7) 右辺の f(t) は時間 t だけの任意関数である．これらから，まず (3.4) のラプラス方程式の解，
すなわち速度ポテンシャル Φ を指定された境界条件を満足するように求め，それを (3.7) に代入するこ
とによって流体による圧力 p を求めるということになる．
そこで次に境界条件について考えよう．静止水面上に
直角座標 r = (x, y, z)の x軸と y 軸をとり，鉛直下向きに
z 軸をとる．この空間固定座標で境界面が F (x, y, z, t) = 0
という関数形で与えられている場合には，そこでの境界
条件式は，必ず境界面の実質微分（物質微分ともいう）
DF/Dt = 0 を計算することによって求められる．なぜな
ら境界面での流体粒子は，時々刻々必ず境界面と同じ動
きをするからである．すなわち
x
y
z
O
z=ζ (x, y, t)
Fig. 3.1 自由表面波の座標系
DF
Dt=∂F
∂t+∇Φ · ∇F = 0 on F = 0 (3.8)
が成り立つ．ここで関数 F が陽に与えられているなら，境界面上での法線ベクトルが n = ∇F/|∇F |で計算できるので，(3.8) を |∇F | で割ると，
n · ∇Φ =∂Φ
∂n= − 1
|∇F |∂F
∂t
(≡ Vn
)on F = 0 (3.9)
が得られる．これは Φ に関する境界条件式を与え，しかも原理的にはどんな境界面に対しても適用で
きる．(3.8) によって得られる境界条件を運動学的条件 (kinematic condition) という．
水波の問題では自由表面が境界の一つである．それが z = ζ(x, y, t) と表されるならば，(3.8) の F は
F (x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0 (3.10)
で与えられる．よって (3.8) の運動学的条件によって Φ に関する境界条件式が与えられるはずである．
具体的に代入すると∂Φ
∂z=∂ζ
∂t+∂Φ
∂x
∂ζ
∂x+∂Φ
∂y
∂ζ
∂yon z = ζ (3.11)
のように計算することができる．ところが自由表面の変位 ζ(x, y, t) は，解が確定するまで与えられず，
これも求めるべき未知数である．すなわち自由表面上ではもう一つ条件式が必要である．
そこで，水面上では圧力 p が大気圧 pa に等しいとする，いわゆる力学的条件 (dynamic condition) を
付け加える．これは (3.7) のベルヌーイの圧力方程式において，右辺の任意関数を f(t) = pa/ρ と選び，
z = ζ では p = pa とすればよい．そうすると次式が得られる．
ζ =1
g
(∂Φ
∂t+
1
2∇Φ · ∇Φ
)on z = ζ (3.12)
(3.11), (3.12) から ζ を消去すれば原理的には Φ に関する境界条件式が得られるが，その条件式は非線
形であり，しかも境界条件式を適用すべき位置も z = ζ であり未知数のままである．そこで解析的な取
扱いを容易にするためには，波の振幅が小さいという仮定の下での線形化が必要である．
34 流力弾性学
ところで水面に浮かぶ弾性膜（薄板）では，自由表面の変位 ζ(x, y, t) として膜の変位（たわみ）
z = w(x, y, t) を考えればよいが，これも未知数である．そこで (3.12) に対応する式を考えなければなら
ない．弾性膜の下面に働く圧力は単位面積当たりの流体力であり，鉛直上向きすなわち z 軸の負方向
に働く．大気圧を基準とした値として p(x, y, t) と表すと，これは前章の解析で示した (2.36) により
m∂2w
∂t2+D∇4
hw = −p(x, y, t) (3.13)
のように与えられる．ただし m は単位面積当たりの質量，D は弾性膜の曲げ剛性を表す．また ∇h は
x-y 平面内での微分記号であり，∇h =(
∂∂x ,
∂∂y
)である．
すなわち，弾性膜が存在するところでは (3.7) において z = w, p− pa = p とおくことができ，(3.12)
に対応する式は次のようになる．
w =1
g
(∂Φ
∂t+
1
2∇Φ · ∇Φ
)+
1
ρgp on z = w (3.14)
以後の式変形では (3.12) と (3.14) をまとめて書き表すために，弾性膜の存在するところでは ζ = w,
p = p，水面部分では p = 0 と理解することとし，ζ, p を用いて次のように表しておこう．
ζ =1
g
(∂Φ
∂t+
1
2∇Φ · ∇Φ
)+
1
ρgp on z = ζ (3.15)
次に境界条件式の線形化を行う．自由表面の変位 (ζ ) が小さいと仮定すると，(3.12) によって Φ も
ζ も同じオーダーと考えられるので，Φ および ζ に関する 2 次以上の項を省略する．このとき (3.11),
(3.15) は次のようになる．
∂Φ
∂z=∂ζ
∂t+O(ζΦ) (3.16)
ζ =1
g
∂Φ
∂t+
1
ρgp+O(Φ2) (3.17)
両式より ζ を消去すると次式を得る．
∂2Φ
∂t2− g ∂Φ
∂z= − 1
ρ
∂p
∂t+O(Φ2) on z = ζ (3.18)
しかし，この条件式はまだ z = ζ において満足すべき式になっている．そこで ζ が微小量であるから，
z = 0 の静止水面まわりにテイラー展開して
Φ(x, y, z, t) = Φ(x, y, 0, t) + ζ
(∂Φ
∂z
)z=0
+ · · · (3.19)
とする．このとき，(3.18) の境界条件式を z = ζ ではなく z = 0 の面で適用することによって生じる誤
差は，O(Φ2) 以上の高次となることが分かる．このことから
∂2Φ
∂t2− g ∂Φ
∂z+
1
ρ
∂p
∂t= 0 on z = 0 (3.20)
と近似することができる．これが線形自由表面条件式 (linearized free-surface condition) であり，水波に
対する自由表面条件式は，(3.20) で p = 0 とした式である．
速度ポテンシャル Φ が確定すれば，自由表面の変位 ζ は (3.17) より
ζ =1
g
∂Φ
∂t+
1
ρgp on z = 0 (3.21)
で求めることができる．水波の場合は，もちろん p = 0 とする．弾性波の場合は，本章の最後で示すよ
うに，圧力分布 p と弾性変位 w を流体力学的に関係づける式を導き，それを弾性膜の振動方程式 (3.13)
と連成させて解くことになる．
第 3章 自由表面波の理論 35
弾性膜が存在する場合に速度ポテンシャル Φだけで表した線形境界条件を求めることもできる．z = 0
における圧力は (3.13) に示した p = p であるから，(3.13) をさらに t について微分し，(3.16) より得ら
れる関係 ∂w/∂t = ∂Φ/∂z を代入する．それを (3.20) の ∂p/∂t として代入すれば
∂2Φ
∂t2− g ∂Φ
∂z− 1
ρ
∂
∂z
(m∂2Φ
∂t2+D∇4
hΦ
)= 0 on z = 0 (3.22)
を得ることができる．
3.2 微小振幅波の理論
この節では水波の理論として最も基本的な微小振幅の進行波について述べる．簡単のため水深は一
定 ( z = h ) とし，波の進行方向は x 軸の正方向とする（Fig. 3.2 参照）と，流体運動は x-z 面内の 2 次
元運動となるが，波は x 軸方向にのみ伝播するので，これを 1 次元波という．進行波の振幅を a，円周
波数を ω（ T = 2π/ω は周期 ）とすると，水面での波形は正弦波で表せるから
x
z
cO
S 1 S1
h
SF
SB
a
Fig. 3.2 微小振幅波の解析における座標系
z = ζ(x, t) = a cos(ωt− kx) (3.23)
と書ける．ここで k は波数 (wavenumber) と呼
ばれ，進行波の波長 (wave length) を λ とすれ
ば k = 2π/λ で与えられる．
(3.23) は位相関数として ωt − kx をもつ正弦関数で表されており，これが x 軸の正方向
へ進行する波を表すことに留意されたい．そ
れを確かめるために微小時間後 t + δt を考え
る．この時，x 軸方向に進行するから x+ δx の
位置で同じ波形となっているはずである．した
がって
ωt− kx = ω(t+ δt)− k(x+ δx)
すなわち δx
δt=ω
k≡ c > 0 (3.24)
となり，進行速度が正となっていることが分かる．(3.24) の c を位相速度 (phase velocity) という．x 軸
の負方向に進行する波の位相関数は，もちろん ωt + kx となる．これらのことを f(ωt − kx) の一般形に対して表すならば，
∂f
∂t+ c
∂f
∂x=
(ω − c k
)f ′ = 0 (3.25)
となっていることに注意しよう．
次に，1 次元進行波を表す速度ポテンシャル Φ を求めよう．Φ の支配方程式は 2 次元ラプラス方程式
である．流体領域を取り囲む境界面として，Fig. 3.2 に示すように，自由表面 SF，水底 SB，ならびに
x→ ±∞ での仮想境界面 S±∞ を考え，そこでの境界条件式を満たすように Φ を決定すればよい．
連続の方程式 [L]∂2Φ
∂x2+∂2Φ
∂z2= 0 for z ≥ 0 (3.26)
自由表面条件 [F ]∂2Φ
∂t2− g ∂Φ
∂z= 0 on z = 0 (3.27)
水底条件 [B]∂Φ
∂z= 0 on z = h (3.28)
36 流力弾性学
S±∞ での境界条件は明示されていないが，ここは仮想面であるから，物理的にもっともらしい解を
与えるような条件としておこう．今の問題では，x 軸の正方向に波が伝播していくというのがその条件
である．これは既に述べたように，位相関数が f(ωt− kx) の形となっていれば満足される．そこで速度ポテンシャルの x 方向の変化は，位相関数 ωt− kx を変数とする三角関数を用いて次の形で考えよう．
Φ(x, z, t) = Re[Z(z) ei(ωt−kx)
](3.29)
ここで複素数表示を用いるということは，z 方向の関数 Z(z) が複素数の係数を含む可能性があるとい
うことを示唆している．
これを (3.26) に代入すると，Z(z) に関する微分方程式が
d2Z
dz2− k2Z = 0 (3.30)
となる．この一般解はZ(z) = C1 e
−kz + C2 ekz (3.31)
で与えられる．ただし C1，C2 は任意定数である．
これらを決定するために，自由表面条件 [F ] と水底条件 [B ] に代入すると，次式が得られる．
C1(ω2 − gk) + C2(ω
2 + gk) = 0
C1 e−kh − C2 e
kh = 0
}(3.32)
ここで C1 = C2 = 0 以外の解を持つためには∣∣∣∣∣ ω2 − gk ω2 + gk
e−kh − ekh
∣∣∣∣∣ = 0 (3.33)
すなわちk tanh kh =
ω2
g≡ K (3.34)
が条件となる．これは，k と ω, g の間に成り立つべき関係式を与える固有値方程式である．この時の
固有解は
C1 e−kh = C2 e
kh ≡ 1
2C (3.35)
とおけば，未知数を 1 個含んだ形として
Φ(x, z, t) = Re[C cosh k(z − h) ei(ωt−kx)
](3.36)
と表すことができる．[F ], [B ] ともに同次の境界条件式であったから，C は未知数のままである．こ
れを決定するために自由表面上の波形を求めてみよう．波形は (3.23) であるから，(3.21) を用いて
ζ =1
g
(∂Φ∂t
)z=0
= Re[Ciω
gcosh(kh) ei(ωt−kx)
]= a cos(ωt− kx) = Re
[a ei(ωt−kx)
](3.37)
したがってC =
ga
iω
1
cosh kh(3.38)
と決定することができた．
結局，求めるべき速度ポテンシャルは次のように表すことができる．
Φ = Re
[ga
iω
cosh k(z − h)cosh kh
ei(ωt−kx)
]=ga
ω
cosh k(z − h)cosh kh
sin(ωt− kx) (3.39)
第 3章 自由表面波の理論 37
この式を，時間項と空間座標に関する項を分離して
Φ(x, z, t) = Re[ϕ(x, z) eiωt
], (3.40)
ϕ(x, z) =ga
iω
cosh k(z − h)cosh kh
e−ikx (3.41)
と表すことが多い．すなわち，時間項は eiωt と分離して表しておき，最終的には (3.40) のように実数
部分だけをとると約束して，複素数で表された速度ポテンシャル ϕ(x, z) を考えることにする．（複素数
表示は後の計算が便利なように導入したものであり，2 次元流体力学で用いる複素速度ポテンシャルと
は全く異なることに注意しよう．）
(3.34) の意味についてもう少し考えてみる．(3.24) と (3.34) から，位相速度 c は
c =ω
k=
√g
ktanh kh =
√gλ
2πtanh
2πh
λ(3.42)
で与えられる．この式より，位相速度が波長 λ とともに変化することが分かる．
一般に任意波形の波は，無数の異なった波長の正弦波の
重ね合わせであると考えられるので，(3.42) より，無数の
正弦波から構成される波形は時々刻々に変化することにな
る．このことを波の分散といい，波長と位相速度の関係
を表した (3.42)，あるいは (3.34) を分散関係 (dispersion
relation) という．(3.34) から k を陽な形で求めることは
一般にはできないが，y = tanh kh は単純増加の関数であ
るので，(3.34) を満たす k は，Fig. 3.3 のように必ず 1 点
求まる．（これを k = k0 と表す．）水深が無限大 (kh→∞)
の時には tanh kh → 1 となるので k0 = K である．すな
わち有限水深の波では必ず K < k0 であるから，水深が
浅くなれば，波長は無限水深での値よりもだんだん短く
なることが分かる．
1
Ok
K
K
k tanh kh
k0
Fig. 3.3 有限水深での波数 k0 は無限水深の値 K よりも大きい．
(3.42) で水深が無限大の場合 (kh→∞)，および浅い場合 (kh→ 0) の極限を考えると
c =
√g
K=
√gλ
2π( kh→∞ ) (3.43)
c =√gh ( kh→ 0 ) (3.44)
となる．したがって，浅水波（あるいは h/λ → 0 の場合であるから長波ともいう）の場合には，位相
速度は波長に関係しなくなるので，波はもはや分散性ではないことが分かる．また (3.43) が正しいの
は，十分な精度で tanh kh ∼ 1 と近似できる場合であるが，これは kh = 2πh/λ ≥ π，すなわち λ ≤ 2h
で 0.4% 以内の誤差で成り立っている．したがって，h ≥ λ/2 = 0.5λ すなわち水深が半波長以上あれば，
実質的に水深無限大として取り扱っても大きな誤差は生じないことになる．
このことから海洋工学では，水深を無限大として取り扱うことが多いので，その場合の式を以下に
まとめておく．
k = K =ω2
g, T =
2π
ω=
√2πλ
g≃ 0.8
√λ
(λ ≃ 1.56T 2
)(3.45)
Φ(x, z, t) = Re[ϕ(x, z) eiωt
], ϕ(x, z) =
ga
iωe−Kz−iKx (3.46)
38 流力弾性学
3.3 弾性波の性質
前節で考えた z = 0 での自由表面がすべて弾性膜面である場合の波動（弾性波）について考えてみ
る．ここでも x 軸の正方向に伝播する 1 次元進行波（ 2 次元問題）を考えることにし，求める速度ポ
テンシャルを次の形に仮定する．
Φ(x, z, t) = Re[Z(z) ei(ωt−kx)
](3.47)
弾性膜が存在する z = 0 で満足すべき境界条件式は (3.22) であるが，1 次元波を考えているので，弾性
膜の変位は y 方向には変化せず 1 次元梁の変位と同じである．したがって (3.22) は次のようになる．
[F ]∂2Φ
∂t2− g ∂Φ
∂z− 1
ρ
∂
∂z
(m∂2Φ
∂t2+D
∂4Φ
∂x4
)= 0 on z = 0 (3.48)
解の求め方は 3.2 節で示した水波の場合と同じであるが，(3.48) のために分散関係式だけが異なる．こ
れは次のように考えればよい．
まず，(3.47) における Z(z) の一般解は (3.31) と同じである．水底条件 [B ] を満たすようにすれば未
知数を 1 個減らすことができ，
Φ(x, z, t) = Re[C cosh k(z − h) ei(ωt−kx)
](3.49)
と表すことができる．残りの未知数 C は，水波の場合と同様に弾性膜面の変位を指定すれば決定する
ことができ，したがって得られる結果は，見掛け上水波に対する式と全く同じである．ただ水波の場合
と異なるのは，(3.49) を自由表面条件 [F ] に代入することによって得られる ω と k の関係，すなわち
分散関係式だけである．その分散関係式を求めてみよう．(3.49) を (3.48) に代入すると，
ω2
(1 +
m
ρk tanh kh
)= gk tanh kh
(1 +
D
ρgk4
)(3.50)
を得る．ここで m は単位面積当たりの質量であるから，膜（薄板）の喫水を d とすれば，アルキメデ
スの原理によって m = ρd と表すことができる．これを (3.50) に代入すると
ω2
g≡ K = k tanh kh
1 +D
ρgk4
1 + kd tanh kh(3.51)
が得られる．この式で D = 0, d = 0 とすれば，水波に対する分散関係式 (3.34) となっていることは当
然である．(3.50) 式はω2
g= k tanh kh
{1−
( ω
ωh
)2
+( kkp
)4}
(3.52)
ただしω2h =
ρg
m=g
d, k4p =
ρg
D=mω2
h
D
と表すこともできる．ここで ωh は浮体の上下揺れの固有円周波数であり，kp は板の曲げ剛性 D（梁の
曲げ剛性 EI に相当）で決まる特性波数を表す．
一般的に弾性膜の振動では，喫水 d は相対的に非常に小さいので，慣性力は剛性による復原力より十
分に小さいと考えることができ，(3.51) の分散関係式においても分母にある kd の項を省略して考える
ことが多いし，そうしても以下に述べる弾性波の特性は本質的に変わらない．このときには，(3.51) は
K = k tanh kh(1 + βk4
), β ≡ D
ρg
(=
1
k4p
)(3.53)
となる．これを満たす弾性波の波数 k を水波の波数（ kw と表す）と区別するために ks と表すことに
すれば，同じ周波数 ω（すなわち K ）に対しては，β = D/ρg > 0 であるから (3.53) より
ks < kw (3.54)
第 3章 自由表面波の理論 39
となっていなければならないことが分かる．すなわち波長の大小で言えば，
λs > λw (3.55)
であり，弾性膜面上を伝播する弾性波の波長の方が水波の波長より長くなることが分かる．
また分散関係から位相速度 c = ω/k を求めてみると，(3.53) より次式を得る．
c =ω
k=
√g
k
(1 + βk4
)tanh kh (3.56)
水深が浅い場合（長波近似, kh≪ 1）を考えると tanh kh ≃ kh と近似でき，
c =√gh
(1 + βk4
)≃
√gh as k −→ 0 (3.57)
となるから，k が小さい極限では位相速度に弾性影響は表れず，水波の場合と同じであることが分かる．
一方，水深が相対的に深い場合（短波近似, kh≫ 1）には tanh kh→ 1 とできるから
c =
√g
k
(1 + βk4
)(3.58)
となる．この式を k について微分すれば分かるように，位相速度が最小となる波数（それを kc と表す）
が存在し，それに対応する波長 λc は
k4c =1
3β−→ λc = 2π
(3β
)1/4 ≃ 8.27
(D
ρg
)1/4
(3.59)
で与えられる．このときの位相速度の最小値（それを cmin と表す）は，(3.59) を (3.58) に代入するこ
とによって
cmin = 2
√g
3kc= 2
(g4
33β
)1/8
≃ 1.325
(g3D
ρ
)1/8
(3.60)
となることが分かる．
以上のことから，k > kc（すなわち λ < λc ）では弾性膜の剛性の影響が顕著であり，位相速度 c は k
が大きくなるほど（波長が短くなるほど）増加する．これに対して，k < kc（すなわち λ > λc ）であ
θwθw
θssλ wλ>
cwcs >
kw cw,
ks cs,
Fig. 3.4 媒質の違う界面での波の反射と屈折
る場合には弾性膜の剛性の影響は相対的に小さ
くなり，水波の場合と同様に，位相速度 c は k が
小さくなるほど（波長が長くなるほど）増加する
ことが分かる．
実際に λc, cmin がどのくらいの値かを (3.59),
(3.60) によって算定してみよう．海上空港のよう
な超大型浮体での曲げ剛性 D に対する妥当な
値として D = 1.96 × 1011 N-m を考えてみると，
λc ≃ 553.0 m，cmin ≃ 33.9 m/s になる．と言うこ
とは，超大型浮体上での弾性波動では，現実的な
殆どの波長において剛性の影響が顕著に表れる
ということである．
(3.58) からも明らかなように，有限な波数 k
に対して水波の位相速度 cw =√g/k は弾性波
の位相速度 cs =√g(1 + βk4)/k より小さい．
すなわち cw < cs である．周波数 ω の進行波が二つの異なる媒質中を伝播するとき，位相速度と入射角・
屈折角の間にはスネルの法則 (Snell’s law) として知られている関係が成り立つ．Fig. 3.4 を参照して，
40 流力弾性学
入射角を θw，屈折角を θs と表すと，反射する境界面に沿った方向の波数は同じであるから kw sin θw =
ks sin θs であり，また波数と位相速度の関係は k = ω/c で与えられるから
sin θwsin θs
=kskw
=cwcs
(3.61)
が成り立つ．cs > cw (ks < kw) であるから，この関係から θs > θw となることが分かる．このような特
性は，ポテンシャル理論の枠内で厳密に計算した結果 †である Fig. 3.5 から見て取ることができる．こ
の計算例では，入射波は浮体の長手方法に対して 30◦ で入射しているが，弾性浮体上での弾性波は，ほ
ぼ長手方法に沿って伝播しており，その波長も水波の波長より長くなっている．また右に示した剛体浮
体周りの波振幅分布と比べると，反射波が小さく弾性浮体の底面を透過している様子が伺える．
Fig. 3.5 弾性浮体（左）と剛体浮体（右）周りの波の反射・透過の違い，ならびに弾性浮体上での弾性波の特性に関する計算結果の一例
3.4 群速度
3.2 節の説明では，単一の円周波数 ω，波数 k を有する波は，(3.24) で与えられる位相速度 c = ω/k
で伝播することが分かった．次に ω, k ともに少しだけ異なる波の “群”について考えよう．すなわち
δω = ω2 − ω1 , δk = k2 − k1 (3.62)
として 2 つの波の重ね合わせを考えると
ζ = Re[A1 e
i(ω1t−k1x) +A2 ei(ω2t−k2x)
]= Re
[A1
{1 +
A2
A1ei(δω·t−δk·x)
}ei(ω1t−k1x)
](3.63)
と表すことができる．(3.63) の{· · ·
}は振幅変調を表す項であり，δk, δω ともに小さいので，振幅は
ゆっくり変化することになる（ Fig. 3.4 参照）．実際に (3.63) の実数部分をとる計算をし，高次の微小
量を無視することによって ζ の第 1 近似式を求めると
ζ = 2A1 cos
[1
2
(δω ·t− δk ·x
)]cos
(ω1t− k1x
)(3.64)
† Kashiwagi, M.: A B-Spline Galerkin Scheme for Calculating the Hydroelastic Response of a Very Large FloatingStructure in Waves, Journal of Marine Science and Technology, Vol. 3, No. 1, pp. 37–49 (1998)
第 3章 自由表面波の理論 41
2π
2π
δk
cg
k
c=ω
k
Fig. 3.6 振幅変調を表す部分は，基礎となる正弦波（搬送波）の振幅の包絡線となっており、その進行速度（群速度）は δω/δk である．
を得る．よって振幅変調を表す包絡線は，波長 4π/δk，周期 4π/δω をもつ正弦進行波であり，波群の長
さは 2π/δk である．この波群の進行速度すなわち群速度 (group velocity) は，(3.24) と同様の考え方に
よれば次式で与えられる．
cg =δω
δk(3.65)
ここで，δω → 0, δk → 0 の極限を考えるが，δω · t および δk · x が有限となるほどに t, x が大きい場合
を考えると，(3.63) の振幅変調は存続することになる．そのような場合には，群速度 cg は次のような
有限な極限値を有する．
cg =dω
dk=d(kc)
dk= c+ k
dc
dk= c− λ dc
dλ(3.66)
(3.53) の分散関係式を用いて (3.66) の計算を行うと
cg =1
2c
{1 +
2kh
sinh 2kh+
4βk4
1 + βk4
}(3.67)
となる．ただし c = ω/k は位相速度である．
これから，まず水波の場合（ β = 0 ）を考えてみると
cg =1
2c
{1 +
2kh
sinh 2kh
}(3.68)
であり，さらに浅水波（ kh→ 0 ）と深水波（ kh→∞ ）の極限を考えると
cg = c ( kh −→ 0 ) (3.69)
cg =1
2c ( kh −→ ∞ ) (3.70)
となることが分かる．すなわち，水深無限大と見なせる場合（ h > λ/2 ）には，群速度は位相速度の半
分であり，非分散である浅水波では群速度は位相速度に等しい．
次に弾性波の群速度について考えてみる．位相速度 c として (3.56) を代入すると，
cg =1
2
√g
k
(1 + βk4
)tanh kh
{1 + 5βk4
1 + βk4+
2kh
sinh 2kh
}(3.71)
となり，さらに浅水波（ kh→ 0 ）と深水波（ kh→∞ ）の極限を考えると
cg =√gh
1 + 3βk4√1 + βk4
( kh −→ 0 ) (3.72)
cg =1
2
√g
k
1 + 5βk4√1 + βk4
( kh −→ ∞ ) (3.73)
42 流力弾性学
となる．深水波の場合（短波近似）には，位相速度と同様に，群速度が最小となる波数（それを kgc と
表す）が存在する．それは (3.73) を k について微分すれば分かるように，
k4gc =1
3β
(4
√3
5− 3
)−→ λgc ≃ 14.76
(D
ρg
)1/4
≃ 1.78λc (3.74)
であるから，λgc は λc の約 1.8 倍であることが分かる．またこのときの群速度の最小値は
cgmin = cmin1
4
(33
ϵ
)1/81 + 5ϵ√1 + ϵ
, ϵ =1
3
(4
√3
5− 3
)≃ 0.663 cmin (3.75)
であり，cgmin は cmin の約 0.66 倍である．
位相速度が最小となる波数 kc = 1/ 4√3β では，群速度は (3.73) より
cg =1
2
√g
kc
4√3= 2
√g
3kc(3.76)
となり，これは (3.60) で与えられる位相速度の最小値 cmin と等しいことが分かる．さらに cg − c を考えてみると
cg − c =1
2
√g
k
3βk4 − 1√1 + βk4
(3.77)
であるから，k > kc では cg > c であるこ
とも分かる．
以上のことをまとめると次のようなこと
が言える．まず，群速度が最小となる波長
λgc は位相速度が最小となる波長 λc より約
1.8 倍くらい長い（したがって kgc < kc ）．
k > kgc （すなわち λ < λgc ）では，k が大
きくなるほど群速度は増加し，kgc < k < kc
では cg < cであるが，位相速度が最小とな
る波数 k = kc では cg = c となり，それよ
り大きい波数（ k > kc ）では cg > c とな
る．一方，k < kgc （すなわち λ > λgc）の
非常に長い波長域では，水波の場合と同様
に，k が小さくなるほど群速度は増加し，
常に cg < c である．これらの関係を図に
示したのが Fig. 3.7 である．
cc
O
c
g
g
kk cgc
min
c min
wavenumber
velocity
Fig. 3.7 弾性膜の剛性を考慮したときの位相速度，群速度の関係
3.5 表面張力波と弾性波の類似性
波動のスケール（波長のオーダー）が随分と異なるが，本節では水波における表面張力の影響につ
いて調べ，その特性が 3.3 節で述べた弾性波のそれと類似していることを見ておこう．そもそも水面に
浮かんでいる弾性膜は，剛性が大きく異なるものの表面張力のような役割を果たしていると考えれば，
両者に類似点があるのは当然のことではある．
さて，表面張力が働いているときは，流体による圧力 p と大気圧 pa とに圧力差が生じ，それを
p− pa = δp と表せば，弾性膜があるときの (3.15) と同様に力学的条件による境界条件式は
ζ =1
g
(∂Φ
∂t+
1
2∇Φ · ∇Φ
)+
1
ρgδp on z = ζ (3.78)
第 3章 自由表面波の理論 43
で与えられる．この圧力差 δp は，Note - 3.1 を参照すると，表面張力が働いている水面の平均曲率に
比例し，
δp = γ
(1
R1+
1
R2
)(3.79)
のように与えられる．ここで γ は曲面に働く単位長さ当りの表面張力であり，R1, R2 は曲面の曲率半
径 R のそれぞれ極大値，極小値とすると，1/R1 + 1/R2 は平均曲率である．
[ Note - 3.1 ]
表面張力を考えない場合には，流体による圧力 p と大気圧 pa は水面において等しいとして良いが，
表面張力を考慮する場合には，水面における圧力差 p − pa と表面張力による力とが釣り合う．そのことをもう少し詳しく考えてみる．
p
pa
R1R1
R2
C1C1
C2
T1T1
dθdθ
dS
dφ
γ
γ
γ
γ
dθ2
Fig. 3.8 表面張力と水面での圧力差との関係
まず自由表面上に Fig. 3.8 のような微小曲面 dS を考える．曲面をその法線を含む平面で切るとき，
切り口の曲線の曲率半径は平面の方向によって異なる．（ここで曲率半径とは，切り口の曲線を円弧の
一部と見なした場合の半径に相当する幾何学量である．）切り口面の方向を変えたときの曲率半径 R の
極大値を R1，極小値を R2 とするとき，それぞれを与える面は直角をなすことが証明でき，これらの
2 方向を主方向と呼ぶ．また 1/R1，1/R2 を主曲率，1/R1 + 1/R2 は平均曲率と呼ぶ．
切り口の曲線は，Fig. 3.8 に示しているように，点 C1，C2 において微小角 dθ，dϕ を張るものとす
る．（Fig. 3.8 では，分かりやすいように角度を大きく図示しているが，実際には微小角である．）まず，
微小曲面の面積 dS を求めると，これは各辺の線素 R1dθ と R2dϕ の積で表されるから，
dS = R1dθ R2dϕ = R1R2 dθdϕ (3.80)
となる．ここで曲面に働く単位長さ当りの表面張力を γ と表すと，これによる力は曲線の接線方向に働
く．Fig. 3.8 の線素 R2dϕ に働く表面張力の合力である張力 T1 は T1 = γR2dϕ と与えられ，同様にもう
一方の面から見た張力 T2 は T2 = γR1dθ と与えられる．これらの張力による下向きに働く力の成分は
F1 = 2T1 sin( 1
2dθ
)≃ T1dθ = γR2dϕdθ
F2 = 2T2 sin( 1
2dϕ
)≃ T2dϕ = γR1dθdϕ
(3.81)
となる．これらと膜面の上下に働く圧力による力の釣り合いを考えると(p− pa
)dS = F1 + F2 (3.82)
であり，この式に (3.80)，(3.81) を代入すると
p− pa = γ
(1
R1+
1
R2
)(3.83)
44 流力弾性学
が得られる．これが水面における圧力差と表面張力の関係式であり，圧力差は表面張力が働いている水
面の平均曲率に比例することが分かる．
この平均曲率は，水面変位 z = ζ が微小量であるとして線形化すると，
1
R1+
1
R2=
∂2ζ
∂x2+∂2ζ
∂y2(3.84)
のように与えられる．したがって (3.79), (3.84) によって
δp = γ
(∂2ζ
∂x2+∂2ζ
∂y2
)= γ∇2
hζ (3.85)
が得られる．これを基に，弾性波の場合の線形自由表面条件式 (3.22) を導いた手順に従うと，
∂ζ
∂t=∂Φ
∂z
ζ =1
g
∂Φ
∂t+
1
ρg
(γ∇2
hζ) (3.86)
から ζ を消去することによって，次式を得ることができる．
∂2Φ
∂t2− g ∂Φ
∂z+
1
ρ
∂
∂z
(γ∇2
hΦ)= 0 on z = 0 (3.87)
3.3 節の弾性波に対する解析と同様に，x 軸の正方向に伝播する 1 次元進行波を考えると，(3.87) は次
のように書ける．
[F ]∂2Φ
∂t2− g ∂Φ
∂z+
1
ρ
∂
∂z
(γ∂2Φ
∂x2
)= 0 on z = 0 (3.88)
以前と同様に，解の形は見掛け上，表面張力のない水波に対する式と同じであるが，(3.88) によって
分散関係式が異なる．そこで (3.49) を (3.88) に代入することによって，表面張力が働いているときの分
散関係式としてω2
g≡ K = k tanh kh
(1 + αk2
), α ≡ γ
ρg(3.89)
を得る．これは弾性波に対する (3.53) と比べると，よく似ていることが分かる．すなわち，曲げ剛性 D
を γ に置き換え，k4 を k2 とすれば同じである．そこで弾性波の場合と同様の解析をしてみよう．
まず位相速度 c および群速度 cg は
c =ω
k=
√g
k
(1 + αk2
)tanh kh (3.90)
cg =dω
dk=
1
2
√g
k
(1 + αk2
)tanh kh
{1 + 3αk2
1 + αk2+
2kh
sinh 2kh
}(3.91)
となる．これらに対する深水波近似 ( kh→∞ ) を考えると次式が得られる．
c =
√g
k
(1 + αk2
)( kh −→∞ ) (3.92)
cg =1
2
√g
k
1 + 3αk2√1 + αk2
( kh −→∞ ) (3.93)
(3.92) より，位相速度が最小となる波数 kc，そのときの波長 λc は
k2c =1
α−→ λc = 2π
√α = 2π
√γ
ρg(3.94)
第 3章 自由表面波の理論 45
である．そのときの位相速度の最小値 cmin は次のように与えられる．
cmin =
√2g
k=
(4g2α
)1/4=
(4gγ
ρ
)1/4
(3.95)
また k = kc での群速度を (3.93) で計算すると
cg =1
2
√g
k
4√2=
√2g
k= cmin (3.96)
となっており，(3.92), (3.93) より
cg − c =1
2
√g
k
αk2 − 1√1 + αk2
(3.97)
であるから，k = kc を境に cg と c の大小関係が逆転するが，このことも弾性波の性質と同じである．
(3.93) から群速度の最小値を計算してみよう．まずそのときの波数 kgc および波長 λgc は
k2gc =ε
α,
(ε =
2√3− 3
3≃ 0.1547
)−→ λgc =
2π√α√ε≃ 2.54λc (3.98)
であり，そのときの群速度の最小値は
cgmin = cmin1
2(4ε)1/41 + 3ε√1 + ε
∼ 0.768 cmin (3.99)
と求まる．すなわち，弾性波と定性的には同じであるが，λgc は λc の約 2.54 倍，cgmin は cmin の約 0.77
倍という倍数の値が少し異なっている．
以上のことから，位相速度・群速度と波数 k の定性的な関係は Fig. 3.5 と同じであると言える．ただ，
海上空港のような超大型浮体の曲げ剛性 D の値（すなわち β の値）と表面張力の γ の値（すなわち α
の値）がオーダー的に大きく異なるので，予想されることではあるが，kc, cmin の値は超大型浮体に対
して試算した値と全く異なっている．表面張力波の場合には，水の表面張力 γ の値として 73.0×10−3
N/m を用いると，(3.94), (3.95) から計算される値は
λc ≃ 0.0171 m = 1.71 cm , cmin ≃ 0.231 m/s = 23.1 cm/s
である．これより短い波長（ λ < λc すなわち k > kc ）の波では表面張力の影響が顕著に表れるという
ことになり，このような表面張力波では Fig. 3.5 に示すように（あるいは (3.97) で分かるように），群
速度の方が位相速度より速い．
3.6 圧力分布法による浅喫水弾性浮体の振動計算法
浮体式海上空港のような水面に浮かぶ浅喫水の超大型弾性浮体の運動を計算する際に，浮体に働く
流体力をどのように考慮するかについて考えよう．第 2 章では，弾性膜の下面に働く圧力分布 p(x, y, t)
が分かっているものとして，振動方程式をモード関数展開法によって解く方法を述べた．ここでは水面
上で弾性膜の変位 w(x, y, t) が指定されている（分かっている）ものとして，水面上の圧力分布 p(x, y, t)
を求める方法について述べる．それら 2 つの方法を連立させて考えれば，流体力を考慮した弾性浮体
の運動の計算が可能になる．
2.4 節での解析と同様に，弾性浮体の変位や流体運動など，時間的に変動する物理量はすべて円周波
数 ω で周期的な変動をしているという前提で考える．すなわち，変位 w，速度ポテンシャル Φ，圧力 p
を次のように表す．
w(x, y, t) = Re[w(x, y) eiωt
]Φ(x, y, z, t) = Re
[ϕ(x, y, z) eiωt
]p(x, y, t) = Re
[p(x, y) eiωt
] (3.100)
46 流力弾性学
このようにすれば，時間に関する微分は iω を掛ければよいだけになるので，以下の解析では時間項
eiωt を分離することができ，空間座標 (x, y, z) に関する物理量に対しての境界値問題を考えることにな
る．このような問題設定を周波数領域での問題という．
(3.100) を 3.1 節で求めた（線形化された）式に代入すると，(3.13), (3.16), (3.20), (3.21) は次のように
表すことができる． (− mω2 +D∇4
h
)w(x, y) = −p(x, y) (3.101)
∂ϕ
∂z= iωw(x, y) on z = 0 (3.102)
∂ϕ
∂z+Kϕ =
iω
ρgp(x, y) on z = 0 (3.103)
p(x, y) = −ρiωϕ(x, y, 0) + ρgw(x, y) (3.104)
(3.104)は (3.102), (3.103)から ∂ϕ/∂z を消去すれば得られる．いずれにしても，水面上の圧力分布 p(x, y)
が与えられたときの速度ポテンシャル ϕ(x, y, z) の表示式が必要である．そうすれば (3.104) によって
p(x, y) と w(x, y) の関係式が得られる．
しかしながらこの解析は，いくつかの方法があるものの，実は簡単ではない．自由表面上の圧力分
布 p(x, y) とそれによる撹乱流場を表す速度ポテンシャル ϕ(x, y, z) の関係式はフーリエ変換法を用いて
も導くことができるが，ここではグリーンの公式を用いた説明 † を示しておく．
まず z = 0 の水面上の点 (ξ, η) にある単位強さのわき出しによる速度ポテンシャル G(x− ξ, y − η, z)を導入する．これは自由表面グリーン関数 (free-surface Green function) と呼ばれているもので，
[L] ∇2G = 0 for z > 0 (3.105)
[F ]∂G
∂z+KG = δ(x− ξ)δ(y − η) on z = 0 (3.106)
を満たし，さらに z = 0 の自由表面 SF 以外の境界面では，求めるべき速度ポテンシャル ϕ と同じ境界
条件を満たしているものとする．ここで (3.106) 右辺の δ(x− ξ) および δ(y − η) はディラックのデルタ関数である．自由表面グリーン関数の具体的な式は，例えば一定水深 (z = h) の場合，次のように与え
られることが知られている．
G(x− ξ, y − η, z) = 1
π
∞∑n=1
Cncos kn(z − h)
cos knhK0(knR) +
i
2C0
cosh k0(z − h)cosh k0h
H(2)0 (k0R) (3.107)
ただしCn =
k2nK − h(k2n +K2)
, C0 =k20
K + h(k20 −K2)
K = k0 tanh k0h = −kn tan knh , R =√
(x− ξ)2 + (y − η)2
(3.108)
であり，K0(knR)は第 2種変形ベッセル関数，H(2)0 (k0R)は第 2種ハンケル関数である．また k0 は (3.34)
で示した進行波の波数，kn はわき出し点からある程度離れる (R→∞)と減衰する局所波の波数を表す．
以上のような自由表面グリーン関数 G と速度ポテンシャル ϕ に対して，次に示すグリーンの公式∫∫SF
{ϕ∂G
∂n− ∂ϕ
∂nG}dξdη = 0 (3.109)
が成り立つ（積分変数を副変数 (ξ, η) としていることに注意のこと）．この式の ∂G/∂n として (3.106)，
∂ϕ/∂n として (3.103) を代入すると，デルタ関数の性質によって次式が得られる．
ϕ(x, y, z) =iω
ρg
∫∫SF
p(ξ, η)G(x− ξ, y − η, z) dξdη (3.110)
† Kashiwagi, M.: Research on Hydroelastic Responses of VLFS: Recent Progress and Future Work, InternationalJournal of Offshore and Polar Engineering, Vol. 10, No. 2, pp. 81–90 (2000)
第 3章 自由表面波の理論 47
これが水面上の圧力分布 p(x, y) とそれによる速度ポテンシャル ϕ(x, y, z) の関係式である．弾性浮体
が存在する自由表面上の領域を特に SH と表すならば，SH 以外の水面上では p = 0であるから，(3.110)
の積分範囲 SF は SH とすることができる．そこで，その式を (3.104) に代入すると，圧力分布 p(x, y)
と弾性浮体の変位 w(x, y) を関係づける式として次式を得ることができる．
p(x, y)−K∫∫
SH
p(ξ, η)G(x− ξ, y − η, 0) dξdη = ρgw(x, y) (3.111)
この式は，変位 w(x, y)が与えられたとすると，圧力分布 p(x, y)に関する積分方程式 (integral equation)で
ある．この積分方程式を解き，(3.110)によって流場の計算をする方法を圧力分布法 (pressure distribution
method) と呼んでいる．(3.111) の積分方程式を高周波数（すなわち短波長）の場合に対しても，高精
度にしかも高速に解くことが超大型浮体の流力弾性問題における数値計算では重要なポイントであり，
その目的を達成できる方法として B スプライン・ガラーキン法（ p. 39 の脚注参照）という方法が知
られている．
入射波中での弾性浮体の動揺を考えるならば，水面変位として，まず入射波（これを ζ = ζI(x, y) と
表す）を考えなければならない．したがって弾性浮体が存在する領域では，まず入射波の変位をゼロに
する圧力分布（浮体が完全に固定されているときの圧力分布）が必要であり，さらに指定された弾性変
位 w(x, y) に対応する圧力分布を求める必要がある．そこで浮体の弾性変位を次のように表すことにし
よう．
w(x, y) = ζI(x, y) + wS(x, y) +∞∑j=1
Xjwj(x, y)
ここで wS(x, y) = −ζI(x, y) = −a e−ik0x
(3.112)
この式における wj(x, y) は， 2.4 節で示したモード関数であるとし，その振幅 Xj はここでは未知数で
ある．これに対応して圧力分布も次のように表すことにする．
p(x, y) = pD(x, y) +∞∑j=1
Xj pj(x, y) (3.113)
これらを (3.111) に代入すると，実際に解くべき積分方程式は次のように与えることができる．
pj(x, y)−K∫∫
SH
pj(ξ, η)G(x− ξ, y − η, 0) dξdη
=
{−ρgζI(x, y) for j = D
ρgwj(x, y) for j = 1, 2, · · ·(3.114)
これによって (3.113) における圧力分布の各成分 pD(x, y), pj(x, y) が求まったならば，後は 2.4 節で示
したようなモード関数展開法を用いて，各モードの複素振幅 Xj を求めることができる．すなわち，
(3.112)，(3.113) を (3.101) に代入し，
−ω2m
∞∑j=1
Xjwj(x, y) +D
∞∑j=1
Xj∇4hwj(x, y) = fD(x, y) +
∞∑j=1
Xjfj(x, y) (3.115)
を得る．ここで fD(x, y) は波浪強制力，fj(x, y) は wj(x, y) の変位で動揺するときに働く radiation 流体
力であり，この式は (2.45) と同じ式である．したがって以降の式変形は 2.4 節を参照されたい．