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1

梁の曲げ

ここでは以下の事項を説明する。

１．外力としてのSFDとBMDおよびそれらの関係２．梁の曲げ応力

（外力により発生する内力）３．梁のたわみの求め方

（静定はりー曲率、微分方程式）４．力のかかり方による問題の解法の違い

（集中荷重、集中モーメント、切断法）５．力の釣り合いの他に、たわみの条件を必要とする解法（不静定問題）

基礎コース材料力学の基礎

2

１．梁の剪断力と曲げモーメント

X方向に伸びた長い棒状の構造物を梁とい

い、これに横方向の荷重が作用するとき、曲げ問題という。

力の釣り合い外力 P は A-A’ 面にはたらく剪断力 τの合計力 Q と釣り合う。

モーメントの釣り合いO点においてはモーメント Pa と A-A’ 面における引っ張り圧縮応力（これを曲げ応力）による曲げモーメント M と釣り合う。

PdAQA

A '

PadAzMA

A '

力のかかり方


3

剪断力とモーメントの符号の定義

0 Q Q

(+)

(-)

M M(+)(+)

x(+)

z(+)

面の法線が正（負）のほうを向いた面に

正（負）の方向を向いた剪断力が働くと正の剪断力と定義する。その反対だと負。

モーメントの場合正（負）の方向を向いた面に梁の中心をｚの正の方向に凸にするモーメントを正のモーメントと定義する。その反対だと負。


4

剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）

左の図のような片持ち梁にＰが作用すると、ｘの位置に置いて切り出した

仮想面には一定の剪断力Ｐが働き、その符号は正。

また同様にこのＰによりｘの位置ではモーメントＰ(ｌ-x)が働き、その符号は負である。

これをグラフに描いたものがＳＦＤとＢＭＤである。

これはｄｘと言う微小な部分を切り出して考えてもよい。


5

剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－等分布荷重の場合

)()( xlqxQ

xlxl xlq

dqdMxM0

2

0 2

)()(


6

剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持

左図の様な集中荷重が作用する回転自由な両端支持の場合を考える。Ａ，Ｂに反力ＲＡ、ＲＢがはたらく。

力の釣り合い BA RRP

モーメントの釣り合い

釣り合い式より Pl

aRP

l

bR BA ,

Ｃで分割して左と右に片持ち梁があると考えると考えやすい。すると

)(

)0()(

lxaPl

aR

axPl

bR

xQ

B

A

剪断力分布

BA bRaR


7

剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持

Pl

abMM

lxaxlPl

aRxl

axPxl

bxR

xM

ax

B

A

)(max

)()()(

)0()(

となり、絵で描くと


8

剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中モーメント両端支持

図のようにＣ点に集中モーメントが働く場合のＳＦＤとＢＭＤを求める。

力の釣り合い 0 BA RR

0 BA bRMaR

Ｃ点でのモーメントの釣り合い

この2式よりl

MB

l

M

ba

MA RR

,

この反力が働くのでｘでのモーメントは

)()(

)0()(

lxalxl

MMxR

axxl

MxR

xM

A

A


9

以上をまとめて、図に描くと左のようになる。


10

図の様な一様な荷重が作用する両端支持梁のＳＦＤとＢＭＤを求めよ。

演習1

略解

2

qlRR BA

よって、Ｘにおける剪断力は

qxql

RxlqxQ B 2

)()(

曲げモーメントも同様に考え

2

)(

2

)()()()(

xlqxxlxlqxlRxM B


11

はりの曲げ応力

θ

h

M

中立面R

A A'

z

σx(z)B B'

中立軸

b

条件：はりの断面は梁が曲がっても平面。

ひずみは中立軸に関し対称。（ひずみは z に関し一次的

＝直線変化、よって応力も）

微小な距離 AA’も BB’ もモーメントが働かないときは同一の長さ。今、モーメントM が作用。曲がってその小さなθの範囲での半径は Rと考える。中立面上の AA’ は伸び縮みせず。外は伸び内側は縮む。

zR

EEz

R

z

R

RzRz

)(

)()(ひずみは；

応力は；


12

h

中立軸

b

z

dA=bdz

中立軸から z 離れたところの応力は zR

EEz )(

そこの面積は dAよって、中立軸周りのモーメントは

dAzR

EdAzzdM 2)(

よって断面全体で合計したモーメントが外部モーメントと釣り合う

IR

EdAz

R

EdMM

h

h

h

h

2/

2/

22/

2/

ここで積分で表された Iのことを断面２次モーメント、EI を曲げ剛性と呼ぶ。Iは断面の形状から決まり、Eは材料のヤング率である。

（１）

（２）

（３）

（１）、（３）式より

I

M

z

z

)(よって z

EI

Mzz

I

Mz )(,)(

長方形断面の断面２次モーメント：Iは12

32/

2/

2 bhbdzzI

h

h


13

重要事項の取りまとめ

R

EIM

R

z

12

3bhI （長方形断面の場合）

1

11)(Z

Mh

I

Mh

さらに、最大の応力が発生するのは、ｚが最大つまり、はりの上下面。それぞれまでの最大値をｈ１、ｈ２とすると

zI

Mz )(

ここで、I/h1 を Z1 とする。 Z1 を形状係数と呼ぶ。

今、断面が長方形なら、h1=h/2より6)2/(

2

21bh

h

IZZ

材料から見ると歪は梁の上面か下面で最大となり、応力も最大となるので

1

max

Z

M となり、強度だけチェックするときは形状係数がわ

かっていればよい。


14

断面２次モーメント

中立軸からの距離の２次モーメントを断面全体で積分したもののこと。

（ねじり中心点からの距離の２次モーメント（断面極２次モーメント）と区別必要）h

中立軸

bz

dA=bdz 2/

2/

2h

hdAzI

θ

y

dz

CD

y

z

z

dA

左のような円形断面の断面２次モーメントは

dD

ydzdA

dD

dzD

zD

y

22

cos2

2

cos2

,sin2

,cos2


15

64

4sin4

1

64

2

4cos1

32

2sin32

cossin432

cos2

sin4

4

2/

2/

4

2/

2/

4

2/

2/

24

222/

2/

4

22

22/

2/

22

D

D

dD

dD

dD

dDD

dAzIA

円形断面の断面２次モーメント


16

断面２次モーメントの平行軸の定理

中立軸 y’から e離れた y軸を中立軸として曲げるとき断面２次モーメントは

A AA

AA

dAzzdAedAe

dAzezedAzeI

22

222

2

)2()(

図心（重心）は中立軸 y’上にあるので第２項はゼロ。

第１項の積分は単に面積、第３項は Iy’ 。

AeII 2' の関係がある。

同じ量（断面積が同じ）の材料を使っても曲げる中立軸から遠くに材料を集めると、元の固さより、分だけ固くなることを意味する。Ae2


17

たわみ＝＞（１）曲率とは

R

EIM 書き換えると

EI

M

R

1である。

実は、この１／R は曲率と呼ばれていて

z

x

dsdθ

dθ

θdz

dx

R

0 ds

d

Rd

d

R

1１ｍ進んだ時の向きの変化量：曲率

図より

tan/

)(1

1cos

)(11

)()()(

2

2

2

222

dxdz

zds

dx

zdx

dz

dx

ds

dzdxds


18

dx

d

dx

d

d

dz

dx

dz

dx

d

2cos

1)tan(

よって

2coszdx

d

さてここでds

d

Rd

d

R

1なので

2

32

2

12

2

1

1

1cos

1

z

z

z

zds

dx

dx

d

R

材力のたわみの問題の場合梁の傾き z’<<1 となるように座標を通常とるので、

zR

1

とみなせる。


19

たわみ＝＞（２）たわみを求める式は

以上の議論より、たわみを求めるには

EI

xM

dx

xzd

EI

xM

dx

xzd

xR

)()(,

)()(

)(

12

2

2

2

なる方程式を解くことに帰着する。１）BMDより、ｘの位置におけるモーメントがｘの関数として求まる。

２）曲げ剛性 EI を設計で決める。E は材料により決まるヤング率という剛性。

I は梁の断面形状により決まる剛性。３）上の微分方程式を解き変形曲線を求め、境界値を用い、たわみ曲線を決定することとなる。


20

梁の曲げたわみの求め方１（単純片持ち梁）

左のような片持ち梁を考える。

)()( xlPxM

これを曲げの方程式に代入EI

xlP

dx

zd )(2

2

)2

()( 1

2

Cx

lxEI

Pxz

)6

1

2()( 21

32 CxCxxl

EI

Pxz

境界条件は x=0 で z’=z=0. より C1=C2=0.

)3(6

)( 32 xlxEI

Pxz

よって、たわみを表す関数は


21

梁の曲げたわみの求め方２（等分布荷重両端単純支持）

)(2

)(22

)()(

2 lxxq

xlqlxl

xlqM

EI

CxClxxqz

EI

Clxxqz

EI

lxxq

EI

xMz

24

)2(

2

))2/1()3/1((

2

)()(

2134

123

2

境界条件は x=0 , x=lで z=0.

よって、3

12 ,0 lCC

たわみ曲線はEI

xllxxqz

24

)2( 334


22

梁の曲げたわみの求め方３（切断法）

（集中荷重や集中モーメント、部分荷重等ある位置でBMDが別の形になる場合）

x y

C で右と左のBMDが別の式となる。そこで別に考え、境界条件で左右を結合する。RA, RBは求められている。よって

)0(,)(

)0(,)(

byyl

PayM

axxl

PbxM

B

A

よって、たわみの方程式は

yEIl

Paz

xEIl

Pbz

B

A


23

)(6

)(6

433

213

CyCyEIl

Paz

CxCxEIl

Pbz

B

A

これらの２式をそれぞれ積分して

x=0, y=0 でたわみゼロより C2=C4=0

さらに、 x=a, y=b で zA=zB の条件と傾き角が等しい条件、 z’A=-z’Bより、

)3()3( 32

12

32

12

CbaCab

CbCa

)2(

)2(

23

21

babC

abaC

この連立方程式を解くと

ただし、向きの違いにより＋－逆にしている。


24

))2((6

))2((6

23

23

ybabyEIl

Paz

xabaxEIl

Pbz

B

A

よって、たわみの曲線を表す式は

最終的に、y=l-xと置き換え xで統一して説明する式とし、

)(,)2()()(6

)0(,)2(6

)(2

2

lxababxlxlEIl

Pa

axbaaxxEIl

Pb

xz


25

切断法の演習：集中モーメントの場合

左図に示したような集中モーメントがC点に作用する場合の梁のたわみを求めよ。


26

不静定はりのたわみ

静定問題とは、垂直力とモーメントのつり合いより、BMDが求められ、たわみの微分方程式が直接求められ、たわみ分布が求められる。

不静定問題とは力とモーメントのつり合いだけでは決まらない外力があり、それらを未知のまま問題を解き、最後に傾き角などの、幾何条件（境界条件）を含めて、

決まってない定数を決めてやるという方法を取らざるを得ない問題のこと。


27

不静定はりのたわみの例１

MA

l

a bP

CA B

RA RB

x

左の問題を解く。力のつり合いより

P=RA+RB

モーメントのつり合いよりMA=-Pa+RBl

力とモーメントのつり合いからでは反力とモーメントが３個あり決められない。よってこのまま変数として置いておいたまま、たわみの微分方程式を解く。たわみ角、たわみ量が、求まったのち、Aでのたわみ角、たわみ量ゼロ

Cでのたわみ量、たわみ角はともに分割した左右で同一、Bでのたわみ量ゼロと

いう５条件を加わえ、積分定数４個と上記の反力とモーメントの合計７個を決定し、問題を解く。

変形条件を入れないと解けない問題を不静定問題という。

説明ではわかりづらいので、この問題を解いてみる。


28

MA

l

a bP

CA B

RA RB

x

x y

A点から xを、B点から y座標を取りC点での切断法を考える。梁の垂直方向つり合い

BA RRP

梁のモーメントのつり合い（A点回り）

lRPaM BA

よって、 RA, RB をMAで表すと、l

MPaR

l

MPbR

AB

AA

,

C点より左のたわみの微分方程式は )(1

AA MxREI

z

)3(6

121

23 CxCxMxREI

z AA たわみは

0, zzoxat より

23 3

6

1xMx

l

MPb

EIz A

A


2929

C点より右のたわみの微分方程式は、B点から y軸を取り

yEIl

MPay

EI

Rz

AB

43

3

6

1CyCy

l

MPa

EIz

A

たわみは

0, zoyat より

yCy

l

MPa

EIz

A3

3

6

1

左右のはりそれぞれで、 x=a, y=b でたわみは等しいので

blCbMPalaMaMPb AAA 3323 )(3)( （１）


30

0,0,0 zyx 　で共にまた、同様により

322 363 Cb

l

MPaaMa

l

MPb AA

A

（２）

（１）、（２）式を連立させると

l

bPaCba

l

PabMA

2

3),2(

2

2

32

よってたわみは次の式で与えられる。

)0(,3)32(12

)(

)0(,)2(3)243(12

)(

232

3

2322

3

byyablyabaEIl

Payz

axxbaalxbabaEIl

Pbxz


31

これらの２式を yを (l-x) で置き換え zを x軸で統一して表現すると、

)(,)(3))(32(12

)0(,)2(3)243(12

)(232

3

2322

3

lxaxlablxlabaEIl

Pa

axxbaalxbabaEIl

Pb

xz

という答えにたどり着く。


32

不静定はりのたわみの例２（重ね合わせの原理）

材料力学の問題は応力とひずみ、荷重と変形の関係が比例します。つまり線形問題で、二つの力が作用するとき影響を分離・重ね合わせできます。

M0

l

q

A B

R0 R0

xM0

l

q

A B

R0R0

x

M0l

A B

xM0

=

+

左上図の梁のたわみは、した二つの計算の合計である。

境界条件は二つのたわみの式の合計で与えられた式が x=0 で傾かず、かつたわまないと考えたものである。

（１）

（２）

（１）の条件のたわみはスライド２１で

EI

xllxxqz

24

)2( 334

1


33

M0l

A B

xM0

（２）に関しては梁全体がM0の同一モーメント。よって

たわみの微分方程式は

)(2

2120

2

0

CxCxEI

Mz

EI

Mz

境界条件は x=0, l で z=0 である。よって )(2

202 lxx

EI

Mz

)(2

)2(24

033421 xlx

EI

Mxllxx

EI

qzzz

重ね合わせのたわみは

重ね合わせたたわみの境界条件は（１）、（２）ともにたわみはすでにゼロであるが、 x=0で z’=0 が必要である。


34


よって、

0

224

2)64(

24)0(

03

00323

EI

lM

EI

ql

EI

lMx

EI

Mllxx

EI

qz

これより12

2

0ql

M

結果として、たわみ曲線は

)2(24

)( 2234 xllxxEI

qxz

たわみ曲線の形状の力を借りないと力やモーメントが決められない問題が不静定問題である。

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