Работу выполнили

ученики 9 класса

Сорокин Сергей,

Зайниева Гузель,

Зайниев Рафис.

С помощью цифр доказать можно все что угодно

Томас Карлейль

1132=12769   96721=3112

1122=12544    44521=2112

1222=14884    48841=2212

12122=1468944    4498641=21212

11122=1236544    4456321=21112

abc cabОбозначим их

и , соответственно и найдём их квадраты:

abc

cab

2=(100a+10b+c)2=10000a2+1000·2cb+100(2ac+b)+10·2cb+c2

2=(100c+10b+a)2=10000c2+1000·2cb+100(2ac+b)+10·2cb+a2

Анализируя эти числа, разложенные в разрядные суммы, приходим к системе неравенств:

92

4

3,1

bac

ab

ca

Решением данной задачи будут ещё пары чисел: 1022=10404 и 2012=404011032=10609 и 3012=90601

2abcd

2dcba =(1000а+100b+10c+d)2=1000000a2+100000·2ab+10000(b2+2ac)+

+1000·2(ad+bc)+100(c2+bd)+10·cd+d2

=(1000d+100c+10b+a)2=1000000d2+100000·2dc+10000(c2+2db)++1000·2(ad+bc)+100(b2+ac)+10ab+a2

Соответствующая система неравенств:

9)2(),2(

4

4,

3,1

22 bdcacb

bcad

dcab

da

10022=1004004 и 20012=400400110032=1006009 и 30012=900600110112=1022121 и 11012=121220110122=1024144 и 21012=441420110132=1026169 и 31012=961620110212=1042441 и 12012=144240110222=1044484 и 22012=484440111022=1214404 и 20112=404412111032=1216609 и 30112=906612111132=1238769 и 31112=967832111212=1256641 и 12112=146652111222=1258884 и 22112=4888521

92=81992=9801

9992=99800199992=99980001

999992=99998000019999992=999998000001

99999992=99999980000001999999992=9999999800000001

9999999992=99999999800000000199999999992=99999999980000000001

Эта закономерность бесконечна.

42=16342=11563342=11155633342=11115556333342=11111555563333342=11111155555633333342=11111115555556333333342=11111111555555563333333342=11111111155555555633333333342=11111111115555555556

72=49672=44896672=44488966672=44448889666672=44444888896666672=44444488888966666672=44444448888889666666672=44444444888888896666666672=44444444488888888966666666672=44444444448888888889

9.7=6399.77=7623999.777=7762239999.7777=7776222399999.77777=7777622223999999.777777=7777762222239999999.7777777=7777776222222399999999.77777777=7777777622222223999999999.777777777=7777777762222222239999999999.7777777777=77777777762222222223

А вот возведение в квадрат репьюнитов даёт другой результат – палиндромы: 12=1 112=1211112=1232111112=1234321…………………1111111112=12345678987654321На этом закономерность заканчивается, и уже десять единиц в квадрате будет 1234567900987654321. Но зато есть другие: 11.111 =122111.11111=122221111.1111111=1233333211111.111111111=12344444432111111.11111111111=123455555554321111111.1111111111111=1234566666666543211111111.111111111111111=12345677777777765432111111111.11111111111111111=123456788888888887654321111111111.1111111111111111111=1234567899999999999876543211111111111.111111111111111111111=123456790111111111110987654321Это числа-перевёртыши, они одинаково читаются, как слева направо, так и наоборот.

112=121113=1331114=14641115=161051116=177161117=19487171118=21435881

Палиндромичность этих пирамид конечна, но последняя вызывает интерес тем, что её начало совпадает с пирамидой Паскаля. Первым закономерность степени числа 11 заметил марокканец Ибн-аль-Банна и опубликовал в книге «Аналитический сборник задач на счисление». Он заметил, что на последнем месте всегда стоит единица, десятки каждой последующей степени равны сумме десятков и единиц предыдущей, сотни – сумме сотен и десятков предыдущей, и т. д. Но этот алгоритм выполняется только до пятой степени включительно

А вот следующее свойство второй степени можно доказать для любого n:

12 =1+0=122=1+3=432=4+5=942=9+7=1652=16+9=2562=25+11=3672=36+13=4982=49+15=6492=64+17=81102=81+19=100112=100+21=121122=121=23=144(n-1)2+2(n-1)+1=n2-2n+1+2n-2+1=n2

Итак, с помощью различных математических методов, мы смогли объяснить все «удивительные» примеры со второй степенью.