ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

(Методические указания к практическим занятиям по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов III курса физического

факультета)

Челябинск 1996

Одобрено учебно - методической

комиссией физического факультета

Настоящая разработка является методическими указаниями к практическим занятиям

по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика”, изучаемому студентами -

физиками. В ней содержатся задания по шести темам: “Алгебра событий и классическое

определение вероятности”, “Основные формулы классической теории вероятностей”,

“Испытания Бернулли и геометрическая вероятность”, “Распределения дискретных

случайных величин”, “Распределения непрерывных случайных величин”, “Математическое

ожидание и дисперсия”. Вместе с задачами даются методические указания и пояснения,

облегчающие усвоение теоретического материала и решение задач.

Составители: д-р. физ.- мат. наук Лаппа А.В.,

канд. физ.- мат. наук Еретнова О.В.

Рецензент: д-р. физ.- мат. наук, проф. кафедры

теоретической физики ЧелГУ Яловец А.П.

ТЕМА 1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Для решения задач по этой теме необходимо помнить, что:

1. События, как правило, обозначают заглавными буквами латинского алфавита:

, ,A B C . Невозможное событие обозначают символом ∅ , достоверное – Ω .

2. Если осуществление события A влечет осуществление события B , то это

записывается так: A B⊂ или B A⊃ .

3. Основными операциями над событиями являются объединение (символ U ),

пересечение (I ), разность ( \ ).

A BU – событие состоит в том, что осуществляется либо A , либо B ;

A BI – событие состоит в том, что осуществляется A и B ;

\A B – событие состоит в том, что событие A происходит, а B – не происходит.

Обратите внимание на то, что читается как «или», а – как «и» (а не наоборот).

Заметим, что событие \ AΩ , состоящее в том, что не происходит событие A ,

называется противоположным A , и обозначается A .

События A и B , для которых A B =∅I , называются несовместными. Такие события

не могут произойти одновременно в одном испытании. Для них вместо символа «U»

рекомендуется использовать «+».

4. При описании операций над событиями желательно пользоваться диаграммой

Вьена, т.е. графическим изображением событий как множеств внутри прямоугольника на

плоскости. Весь прямоугольник обозначает достоверное событие. Операции , , \U I над

событиями соответствуют операции объединения, пересечения и разности множеств.

А В

Ω

5. Одно из основных понятий теории вероятностей есть элементарное событие – это

событие, которое не представимо в виде объединения других несовместных событий.

Совокупность всех элементарных событий в данном испытании называется пространством

элементарных событий этого испытания. Иногда элементарное событие называют

элементарным исходом испытания.

6. Если все элементарные события равновероятны, то можно определить вероятность

любого события A по знаменитой формуле классической вероятности, предложенной

Лапласом:

( )( ) n AAn

=P ,

где n – общее число элементарных событий.

7. Решение любой задачи на классическую вероятность необходимо начинать с

указания равновероятных элементарных событий в эксперименте, то есть с построения

пространства элементарных событий.

8. Число возможных способов выбора m объектов из n исходных объектов есть число

сочетаний

! ( 1)...( 1)!( )! !

mn

n n n n mCm n m m

− − += =

−

если не придавать значение порядку объектов в выборках (неупорядоченные выборки), то

вместо числа сочетаний имеем число размещений:

! ( 1)...( 1( )!

mn

nA n n nn m

= = − −−

)m +

ЗАДАЧИ

1.1. Бросаются две игральные кости. Пусть A – событие, состоящее в том, что сумма

очков нечетная; B – событие, заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала

единица. Описать события , ,A B A B A BI U I .

1.2. Из множества супружеских пар наугад выбирается одна пара. Событие A : «мужу

больше 30 лет», событие B : «муж старше жены», событие C : «жене больше 30 лет».

а) выяснить смысл событий , \ ,A B C A A B A B CI I I I I ;

б) проверить, что A C B⊂I .

1.3. Пусть , ,A B C – три произвольных события. Найти выражения для событий,

состоящих в том , что из , ,A B C :

а) произошло только A ;

б) произошло только A и B ;

в) все три события произошли;

г) произошло по крайней мере одно из событий;

д) произошли по крайней мере два события;

е) произошло одно и только одно событие;

ж) произошли два и только два события;

з) ни одно событие не произошло;

и) произошло не более двух событий.

1.4. Пусть , ,A B C – случайные события. Выяснить смысл равенств:

а) A B C A=I I ;

б) A B C A=U U .

1.5. Пусть , ,A B C – случайные события. Упростить следующие выражения для

событий:

а) ( ) ( )A B B CU U U ;

б) ( ) ( )A B A BU I U ;

в) ( ) ( ) ( )A B A B A BU I U I U .

1.6. Равносильны ли события A и B , если

а) A B= ;

б) A C B C=U U ;

в) A C B C=I I .

1.7. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что

а) выпадает одинаковое число очков на обеих костях;

б) выпадает различное число очков.

1.8. Из ящика, содержащего три билета с номерами 1, 2, 3 вынимают по одному все

билеты. Предполагается, что все последовательности номеров билетов имеют одинаковые

вероятности. Найти вероятность того, что хотя бы у одного билета порядковый номер

совпадает с собственным.

1.9. В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при

бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности:

а) выбросить 11 и 12 очков;

б) выигрыша.

1.10. Найти вероятность выигрыша в «Спортлото» по одной карточке. Участник

лотереи отмечает 6 из 49 номеров. Выигрышем считается угадывание больше двух номеров.

ТЕМА 2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для решения задач по данной теме необходимо помнить, что:

1. Самыми главными формулами классической теории вероятностей являются:

формула сложения (только для несовместных событий!)

(A+B)= (A)+ (B);P P P

формула умножения вероятностей

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )A B A B A B A B= =P P P P PI

2. Факт независимости событий всегда устанавливается из физических соображений, а

не по определению независимости:

( | ) ( )A B A=P P .

Эта формула используется уже после установления независимости событий для

упрощения задачи.

3. Независимость событий отличается от несовместимости!

4. Формула полной вероятности является одной из любимых формул у физиков.

Обратите внимание, что она чаще всего используется, когда эксперимент можно разделить

на два этапа, и на первом этапе можно выделить полную систему попарно несовместных

событий . Тогда вероятность любого события А, связанного со всем

экспериментом, есть

A An1,...,

1

( ) ( ) ( | )n

i ii

A A A A=

=∑P P P .

5. Формула Байеса имеет большое практическое применение. Она позволяет уточнить

значение вероятности события (гипотезы) после завершения эксперимента, когда

событие А произошло

Ai

1

( ) ( | )( | )( ) ( | )

i ii n

i ii

A A AA AA A A

=

=

∑P PP

P P.

Так же как и в пункте 4

1

n

ii

A=

= ΩU и для любых i jA A =∅I i j≠ .

6. Прежде чем вычислять вероятность какого-либо события А, прикиньте: не проще ли

вычислить вероятность противоположного события A? Искомая вероятность тогда

( ) 1 ( )A A= −P P .

ЗАДАЧИ

2.1. Из урны, содержащей белых и черных шаров, наудачу извлекается два шара.

Найти вероятность того, что оба шара белые. Решить задачу двумя способами: с помощью

формулы умножения вероятностей и используя только классическое определение

вероятности.

a b

2.2. Из урны, содержащей белых и черных шаров, последовательно вынимают два

шара, но после первого вынимания шар возвращают в урну, и шары в урне перемешивают.

Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

a b

2.3. Теорема сложения. Показать, что вероятность объединения двух произвольных

событий дается формулой

( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B= + −P P P PU I

2.4. Два игрока по очереди бросают игральную кость, каждый по одному разу.

Выигравшим считается тот, кто получит большее число очков. Найти вероятность выигрыша

первого игрока.

2.5. По железнодорожному мосту. независимо один от другого, производят серийное

бомбометание три самолета. Каждый самолет сбрасывает одну серию бомб. Вероятность

попадания хотя бы одной бомбы из серии для первого самолета равна 0.2, для второго – 0.3,

для третьего – 0.4. Найти вероятность того, что мост будет разрушен.

2.6. Дана электрическая цепь. Вероятность выхода из строя за время T -го элемента

есть . Какова вероятность прохождения тока по цепи спустя время T ?

i

ip

1

2

3

5

4

2.7. В результате большого числа наблюдений было установлено, что 5% всех

самолеты, высланных на определенную операцию, не возвращаются. Иногда считают, что

этот результат означает отсутствие у самолета шансов уцелеть при 20 вылетах. Вера ли эта

интерпретация?

а) Вычислить вероятность того, что самолет будет сбит при последовательных

вылетах.

N

б) Какова вероятность того, что самолет уцелеет при вылетах? Вычислить для

.

N20N = p – вероятность того, что самолет не будет сбит в единственном вылете.

2.8. В эксперименте с уничтожением комаров обнаружено, что 80% из них погибает

при первом применении средства, но оставшиеся в живых развивают сильное сопротивление.

Среди оставшихся в живых процент погибающих при каком-либо повторном применении

средства равен половине процента погибших при предыдущем применении, т.е. 40% из

оставшихся в живых после первого применения должны умереть при втором применении,

тогда как только 20% из оставшихся в живых после двух применений должны умереть после

третьего применения и так далее. Найти вероятность того,

а) что комар останется живым после пяти применений;

б) что он останется в живых после пяти применений средства, если дано, что он остался

в живых после первых двух.

2.9. В трех урнах имеются белые и черные шары. В первой урне – 8 белых и один

черный шар, во второй – 6 белых и 4 черных, в третьей – 9 белых и один черный. Из наугад

выбранной урны случайным образом вынимается шар. Найти вероятность того, что он

белый.

2.10. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0.2% брака,

второй – 0.1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого

автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 3000.

2.11. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено 2 шара в урну,

содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после этого из второй

урны белый шар.

2.12. По линии связи передается цифровой текст. В силу характера передаваемой

информации и свойств языка, с которого эта информация кодируется цифрами, вероятности

ip появления в принимаемом тексте отдельных цифр 0,1,...,9i = различны. Искажения

отдельных цифр в канале связи под действием помех являются независимыми событиями.

Их вероятности iq неодинаковы. Найти вероятность неискаженного приема «слова» из n

цифр.

2.13. Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом, который может

применять и не применять помехи. Если объект не применяет помехи, то за один цикл обзора

станция обнаруживает его с вероятностью 0p , если применяет – с вероятностью 1 0p p< .

Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи, равна p и не зависит от

того, как и когда применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что

объект будет обнаружен хотя бы один раз за N циклов обзора.

2.14. Группа студентов состоит из отличников, хорошо успевающих и слабо

успевающих. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки.

Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные

оценки. слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие,

удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад

один студент. Найти вероятность события A={студент получит хорошую или отличную

оценку}.

2.15. Имеется n экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса.

Экзаменующийся знает ответ не на все 2n вопросов, а только на 2k n< . Определить

вероятность p того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба

вопроса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один (по выбору

преподавателя) вопрос из дополнительного билета.

2.16. При обследовании больного имеется подозрение на одно из двух заболеваний 1H

и 2H . Их вероятности в данных условиях: 1( ) 0.6H =P , 4= . Для уточнения

диагноза назначается анализ, результатом которого является положительная или

отрицательная реакция. В случае болезни 1

2( ) 0.HP

H вероятность положительной реакции равна 0.9,

отрицательной – 0.1; в случае 2H положительная и отрицательная реакции равновероятны.

Анализ произвели дважды, и оба раза реакция оказалась отрицательной (событие A ).

Требуется найти вероятность каждого заболевания после проделанных анализов.

2.17. Предположим, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин дальтоники. Наугад

выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? (Считать,

что мужчин и женщин одинаковое число)

ТЕМА 3. ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Для решения задач по данной теме необходимо помнить, что

1. Последовательность независимых испытаний только тогда называется испытаниями

Бернулли, когда

а) в каждом испытании рассматриваются 2 противоположных события: успех и

неудача;

б) вероятность успеха р во всех испытаниях одинакова.

2. Вероятность иметь k успехов в n испытаниях дается формулой Бернулли:

( ) (1 )k k n kn nP k C p p −= − .

3. Когда n >>1, p<<1, k<< n, вместо формулы Бернулли лучше использовать более

простую приближенную формулу

( ) ,!

k

P k e npk

λλ λ−= = ,

называемую формулой Пуассона.

4. Задачи на испытания Бернулли обычно имеют физическую или техническую

постановку. Самое главное при решении таких задач - усмотреть испытания Бернулли, что

часто нелегко сделать. Придерживайтесь следующей последовательности решения:

а) определите, что является отдельным испытанием Бернулли;

б) назначьте “успех” и “неудачу”;

в) подсчитайте общее количество испытаний n;

г) вычислите вероятность успеха р;

д) свяжите искомые вероятности с вероятностью иметь k успехов в n испытаниях,

найдите значение k;

е) воспользуйтесь формулой Бернулли или, если это допустимо, формулой Пуассона.

5. Если условие задачи удается сформулировать как бросание наудачу точки в

некоторую область Ω n-мерного пространства, а вопрос задачи - как вычисление

вероятности ее попадания в область А⊂ Ω, то решение такой задачи дается формулой

геометрической вероятности:

P =V AV

( )( )Ω

,

где V A V( ), ( )Ω - объемы областей А и Ω.

Напомним, что при произвольном n ≥ 1

V A dx dxA

n( ) ......= ∫ ∫ 1 .

6. Бросание наудачу означает, что попадания в различные непересекающиеся

подмножества области Ω , имеющие одинаковый объем, равновероятны.

ЗАДАЧИ

3.1. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0.1. Каковы

вероятности того, что сообщение из 10 знаков:

а) не будет искажено;

б) содержит ровно 3 искажения;

в) содержит не более 3-ч искажений.

3.2. Вероятность попадания в цель 0.25p = . Сбрасывается одиночно 8 бомб. Найти

вероятность того, что будет:

а) не менее 7 попаданий;

б) не менее одного попадания.

3.3. В некотором обществе имеется 1% дальтоников. Каков должен быть объем

случайной выборки (с возвращением), чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одного

дальтоника была не мене 0.95?

3.4. Что вероятнее: выиграть в шахматы по крайней мере три партии из четырех или

пять из восьми без ничьих (у равносильного противника)?

3.5. Прибор имеет шесть ламп, вероятность каждой из которых перегореть при данном

повышении напряжения в цепи равна 0.3. При перегорании трех или менее ламп прибор из

строя не выходит. при сгорании четырех ламп вероятность выхода прибора из строя равна

0.3, при сгорании пяти ламп – 0.7, при сгорании шести ламп – 1. Определить вероятность

выхода прибора из строя при повышении напряжения.

3.6. Задача об изюминках. В тесто объемом бросают изюминок. Тесто

перемешивают и разрезают на отдельные булочки объемом

V nυ . Найти вероятность того, что в

булочке будет изюминок, если , k 1n >> Vυ << .

3.7. Сколько изюма должны содержать в среднем сдобные булочки для того, чтобы

вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булочке была не менее 0.99?

3.8. Простейшей радиобиологической моделью поражения клеток является модель

попадания, согласно которой клетка гибнет, если в ее ядро попадет хотя бы одна

ионизирующая частица. Какой вид имеет кривая выживаемости, то есть зависимость

вероятности непоражения какой-либо клетки от числа упавших на популяцию частиц ?

– очень велико, размер ядра очень мал.

NN

3.9. Закон радиоактивного распада. Имеется большое число атомов ( в

единице объема) радиоактивного элемента. Все ядра одинаковы и распад ядер происходит

независимо. Рассматриваются такие времена , для которых вероятность распада одного

ядра мала и справедливо приближение

2410N ≈

t( )P t ( )P t at= . Каков закон радиоактивного

распада, то есть вероятность того, что за время произойдет распад определенного числа

ядер?

t

3.10. На отрезке ведется радиопередача и прием сигнала радиоприемником.

Включение передатчика и приемника может происходить в любой момент времени с равной

вероятностью. Пусть:

[0, ]T

u – момент появления сигнала (начало работы радиоприемника);

Δ – длительность сигнала;

ν – момент включения приемника;

t –продолжительность работы приемника.

Найти вероятность приема сигнала радиоприемником. При каком условии сигнал будет

принят?

3.11. Игла Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими

друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу бросается игла длиной 2L 2 ( )L<l l .

Найти вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую.

3.12. В квадрат со стороной бросается наудачу независимо 2 квадрата со стороной L/ 2L<l . Стороны всех квадратов параллельны. Найти вероятность перекрытия.

ТЕМА 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Для решения задач по данной теме необходимо помнить, что:

1. Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или счетное

число возможных значений. Напомним, что счетным называется множество, элементы

которого можно “пересчитать”, то есть каждому элементу поставить в соответствие

натуральное число.

2. Наиболее полной вероятностной характеристикой дискретной случайной величины

является “закон распределения” или просто “распределение” этой величины. Считается, что

распределение случайной величины ξ задано, если указаны все возможные ее значения

и вероятности появления этих значений a a1 2, ,... {ip }iaξ= =P . Способ представления

этой информации может быть табличным, графическим или аналитическим (в виде

формулы).

3. Дискретную случайную величину можно характеризовать также с помощью функции

распределения , которая равна вероятности того, что случайная величина ξ примет

значения, меньшие x:

F xξ ( )

:( ) { }

i

ii a x

F x x pξ ξ<

= < = ∑P .

4. Самыми распространенными распределениями дискретных случайных величин

являются: равномерное, биномиальное, пуассоновское и геометрическое.

5. Примером вероятностной модели, в которой появляется равномерно распределенная

случайная величина, является случайный выбор шара из урны, в которой находятся

одинаковые шары с номерами . В этом случае ξ - номер выбранного шара. a a an1 2, ,...,

Равномерное распределение имеет вид:

1 2, ,...,1{ }

n

i i

a a a

p an

.

ξ

ξ

=

= = =P

6. Примером вероятностной модели, в которой появляется биномиальное

распределение, является последовательность испытаний Бернулли с вероятностью успеха в

одном испытании p. В этом случае ξ - число успехов в n испытаниях.

Биномиальное распределение имеет вид:

0,1,2,...,{ } ( ) (1 )i i n i

i n n

np i P i C p p .ξ

ξ −

=

= = = = −P

7. Пуассоновское распределение наиболее часто появляется в двух моделях:

а) пуассоновский поток событий - в этом случае ξ - число событий,

происходящих за время t;

б) испытания Бернулли - в этом случае ξ - число успехов в n испытаниях.

Помните, что в испытаниях Бернулли пуассоновское распределение является

приближенным. Оно применимо, если число испытаний n очень велико, а вероятность

успеха p очень мала (точнее: ). 2 21, , 1np i n ip

Пуассоновское распределение имеет вид:

0,1,...

{ } ( )!

i

i .p P i P i ei

λλ

ξ

λξ −

=

= = = =

Смысл параметра λ :

а) в случае пуассоновского потока событий atλ = , где - интенсивность

потока (среднее число событий в единицу времени);

a

б) в случае испытаний Бернулли npλ = .

8. Примером вероятностной модели для геометрического распределения также могут

служить испытания Бернулли. Здесь случайная величина ξ - число успехов до первой

неудачи.

Геометрическое распределение имеет вид:

0,1,...{ } (1i

ip P i p p),ξ

ξ

=

= = = −

где p- вероятность успеха в одном испытании.

9. Пуассоновский поток событий - это поток событий, обладающий тремя хорошими

свойствами: стационарностью, марковостью, ординарностью.

ЗАДАЧИ

4.1. Пусть ξ – число очков, выпавших на игральной кости при однократном бросании:

а) записать закон распределения ξ ;

б) найти и построить функцию распределения . ( )F xξ

4.2. Случайная величина ξ имеет следующее распределение вероятностей:

ξ -2 -1 0 1 2 p 0.1 0.2 0.2 0.4 0.1

Найти:

а) функцию распределения и изобразить ее графически; ( )F xξ

б) вероятность {| | 1}ξ ≤P .

4.3. Вычислить вероятность всех возможных появлений герба при пяти бросаниях

монеты. Построить график этого распределения. Как оно называется?

4.5. Найти, чему равно наивероятнейшее значение в распределении Пуассона.

Рассмотреть отдельно случаи: 1, 1npλ λ= > < .

4.6. Производят десять независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в

которую при одном выстреле равна 0.2. Найти:

а) наиболее вероятное число попаданий;

б) вероятность того, что число попаданий будет меньше двух и не больше четырех.

4.7. В замкнутом сосуде объема находится молекул идеального газа в

равновесии. В сосуде выделен малый объем

V NVυ << . Найти распределение числа молекул в

этом объеме.

4.8. Известно, что некоторое насекомое откладывает случайное число яиц,

распределенное по пуассоновскому закону с параметром λ . Вероятность развития

насекомого из яйца равна p . Показать, что общее количество потомков также распределено

по закону Пуассона. Каков параметр этого распределения?

4.9. Снайпер стреляет по замаскированному противнику до первого попадания.

Вероятность промаха при отдельном выстреле равна p . Найти функцию распределения

числа промахов.

4.10. Найти распределение числа рассеяний теплового нейтрона в бесконечном

замедлителе. Вероятность рассеяния 1sp < , вероятность поглощения – , ,

не зависят от номера столкновения.

1ap < 1a sp p+ =

,ap ps

4.11. Электронная лампа работает исправно в течение случайного времени τ ; после

отказа ее немедленно заменяют новой. Поток отказов – пуассоновский, с интенсивностью μ .

Найти вероятность следующих событий:

A={за время τ лампу не придется заменять},

B ={лампу придется заменить ровно три раза},

C ={лампу придется заменить не менее трех раз}.

4.12. При работе ЭВМ время от времени возникают неисправности (сбои). Поток сбоев

можно считать пуассоновским. Среднее число сбоев за сутки равно 1.5. Найти вероятность

следующих событий:

A={за двое суток не будет ни одного сбоя},

B ={в течение суток произойдет хотя бы один сбой},

C ={за неделю работы машины произойдет не менее трех сбоев}.

4.13. Охотники, собравшиеся для охоты на волка, выстраиваются в цепь случайным

образом так, что образуют на оси ОХ простейший поток точек с интенсивностью λ (λ –

охотников на единицу длины (см. рис.)). Волк бежит перпендикулярно цепи. Любой охотник

стреляет по волку только в случае, если волк пробегает от него не дальше, чем на расстоянии

и, выстрелив, убивает его с вероятностью 0R p . Определить вероятность того, что волк

будет убит, если он не знает, где расположены охотники, и цепь достаточно длинна для того,

чтобы волк с достаточной вероятностью не пробегал за пределами цепи. 2R0

4.14. В n ящиков бросают дробинок. Найти распределение числа пустых ящиков. N

ТЕМА 5.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Универсальной вероятностной характеристикой, исчерпывающим образом

описывающей одномерную действительную величину ξ (дискретную, непрерывную),

является функция распределения вероятностей

( ) { }, ( , )F x x xξ ξ= < ∈ −∞ ∞P .

2. Случайная величина ξ называется непрерывной ( иногда абсолютно непрерывной ),

если возможно представление

( ) ( )x

F x f x dxξ ξ−∞

= ∫ ,

где ( )f xξ - неотрицательная интегрируемая функция, называемая плотностью

распределения вероятностей случайной величины ξ. Помните, что непрерывная случайная

величина, в отличие от дискретной, принимает значения из несчетного множества

возможных значений; ее функция распределения непрерывна. Ясно, что

( )( ) ( )

dF xf x F x

dxξ

ξ ξ′= ≡

для точек x, в которых Fξ′ непрерывна.

3. Вероятность попадания ξ в интервал выражается через функцию

распределения и плотность распределения

[ , )a b

( )F xξ fξ следующим образом:

{ } ( ) ( ) (b

a

a b F b F a f xξ ξ ξξ≤ < = − = ∫P )dx

В частности: ( ) { }f x dx x x dxξ ξ= ≤ < +P .

4. Термин “распределение” для непрерывных случайных величин означает либо

функцию распределения, либо плотность распределения вероятностей. Самыми

распространенными распределениями непрерывных случайных величин являются

равномерное, экспоненциальное и нормальное.

5. Примером вероятностной модели, в которой появляется равномерное

распределение, является бросание точки наудачу на отрезок [а,b]. Равномерно

распределенной в этом случае оказывается координата ξ точки попадания. Плотность

равномерного распределения имеет вид:

1( ) , [ , ],

( ) 0, [ , ].

f x xb a

a b

f x x

ξ

ξ

= ∈−

= ∉ a b

6. Примером вероятностной модели, в которой появляется экспоненциальное

распределение, является пуассоновский поток событий. Экспоненциально распределенным в

этом случае оказывается время ожидания ξ очередного события.

Плотность экспоненциального распределения имеет вид:

( ) , 0,

( ) 0, 0.

axf x ae x

f x xξ

ξ

−= ≥

= <

Здесь имеет смысл интенсивности потока (среднее число событий в единицу

времени). Важным частным примером экспоненциальной случайной величины является

длина свободного пробега ионизирующей частицы в однородном веществе. В этом случае

- макроскопическое сечение взаимодействия (вероятность взаимодействия частицы на

единице длины пути).

a

a

7. Нормальное распределение - самое распространенное в приложениях.

Нормальное распределение, как правило, имеют случайные величины, складывающиеся из

большого числа слабо связанных малых случайных величин.

Плотность нормального распределения имеет колоколообразный вид: 2

2( )

22

1( )2

x a

f x e σξ

πσ

−−

= ,

где a - положение максимума колокола, a σ± - точки перегиба.

8. Наиболее употребительной полной характеристикой непрерывной многомерной

случайной величины 1( ,..., )nξ ξ ξ=r

является совместная плотность распределения

1( ,..., )nf x xξr , вероятностный смысл которой дается формулой:

1{ } ( ) ... ,... nn

AA f x dx dx Aξξ ∈ = ⊂∫ ∫P r

r

или

1,..., 1 1 1 1( ,..., ) ... { ,..., }n n n n nf x x dx dx dx dxξ ξ ξ ξ= ∈ ∈P .

9. Плотность распределения одномерной случайной величины ( )gη ξ=r

,

являющейся детерминированной (неслучайной) функцией многомерной случайной величины

1( ,..., )nξ ξ ξ=r

с известным распределением 1( ,..., )nf x xξr , лучше всего находить по

формуле:

( )1 1( ) ... ( ,.., ) ( ,..., ) ...n n 1 nf y f x x y g x x dx dxη ξ δ= −∫ ∫ r ,

где δ - дельта-функция.

ЗАДАЧИ

5.1. Дана плотность вероятности: 3 / 2 , 1

( )0, 1cx x

f xxξ

−⎧ ≥= ⎨

<⎩

Найти:

а) постоянную c ;

б) ( )f xη , где 1/η ξ= ;

в) вероятность {0.1 0.2}η< <P .

5.2. В круг радиуса R наудачу бросается точка. Найти функцию распределения и

плотность распределения расстояния этой точки от центра круга.

5.3. В круг единичного радиуса наудачу бросается точка. Найти функцию

распределения проекции этой точки на фиксированную ось, проходящую через центр круга.

5.4. Точка 1 2( , )ξ ξ имеет равномерное распределение в квадрате

{( , ) : 0 , 0 }x y x a y≤ ≤ ≤ ≤ a . Показать, что распределение случайных величин: 1 2ξ ξ− и

1 2min( , )ξ ξ совпадают.

5.5. Ошибка ξ распределена по нормальному закону с параметрами 2(0, )σ . Найти:

а) вероятность того, что ошибка не превышает Δ , то есть {| | }ξ < ΔP ;

б) значения , при которых Δ {| | } 0.683; 0.9545; 0.997ξ < Δ =P .

5.6. Найти начальные моменты

( ) , 1,2,3ii f x x dx iμ

∞

−∞

= =∫

нормального распределения, имеющего плотность вероятности 2

22

1 (( ) exp22

x af xσπσ

⎛ ⎞−= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

).

5.7. В газе, в классическом приближении, проекции импульса , ,x yP P Pz любой

молекулы на декартовы оси координат независимы и распределены по нормальному закону с

одинаковыми параметрами и 0a = 2 2mkTσ = ( m – масса молекулы, – постоянная k

Больцмана, – температура). Записать плотность распределения для импульса T

( , , )x y zP P P=P , кинетической энергии 2 / 2E P m= и модуля скорости /P mυ =

молекулы.

5.8. Пусть – моменты наступления событий в пуассоновском потоке событий.

Найти распределение величины .

1 2, ,...t t

1 1i it t+ −−

5.9. Момент наступления какого-то события T A есть случайная величина,

распределенная по показательному закону: ( ) exp( ), ( 0)f t t tλ λ= − > . В момент τ стало

известно, что событие A еще не произошло. Найти условную плотность ( )tϕ времени Θ ,

которое осталось до наступления события.

5.10. Время между двумя сбоями ЭВМ распределено по показательному закону с

параметром

Tλ : ( ) exp( ), ( 0)f t t tλ λ= − > . Решение определенной задачи требует

безотказной работы машины в течение времени τ . Если за время τ произошел сбой, то

задачу приходится решать заново. сбой обнаруживается только через время τ после начала

решения задачи. Рассматривается случайная величина Θ – время, за которое задача будет

решена. Найти ее распределение.

5.11. На плоскости из точки (0 в случайном направлении вылетает частица. Угол ,0) ϕ

этого направления распределен в интервале [0, ]π . Найти функцию распределения и

плотность распределения абсциссы ξ точки пересечения частицы с прямой . y a=

а

0

y

х

ϕ

ТЕМА 6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ

При решении задач по данной теме следует помнить, что:

1. Математическое ожидание (м.о.) одномерной случайной величины есть число ξM ,

определяемое как

i ii

p aξ =∑M ,

для дискретной случайной величины, принимающей значения с вероятностями

и как

1 2, ,...a a

1 2, ,...,p p

( )xf x dxξξ∞

−∞

= ∫M

для непрерывной случайной величины с плотностью распределения ( )f xξ .

Запомните! м.о. существует только в том случае, если указанные сумма или интеграл

сходятся абсолютно.

2. Математическое ожидание имеет следующие свойства:

1) ; c c=M2) c cξ ξ=M M ;

3) 1 1

n n

i ii i

ξ ξ= =

=∑ ∑M M ;

4) ( )ξ η ξ ηM⋅ = ⋅M M , (ξ η - независимы);

здесь , , iξ η ξ – случайные величины, имеющие м.о., с – постоянная.

3. Очень важным свойством является следующее: если ξr

– векторная случайная

величина размерности n, а – функция, заданная в пространстве 1 2( , ,..., )ng x x x nR , то для

дискретной ξr

, принимающей значения 1 2, ,...a ar r с вероятностями 1 2, ,...p p

( ) ( )i ii

g g aξ = p∑Mr r

,

а для непрерывной ξr

с плотностью вероятности 1( ,..., )nf x xξr

1 1 1( ) ( ,..., ) ( ,..., ) ......n

n ng f x x g x x dxξξ = ∫ ∫M rr

ndx ,

если ряд и интеграл сходятся абсолютно.

4. Дисперсия случайной величины есть м.о. квадрата уклонения этой величины от ее

м.о., то есть 2( )ξ ξ ξ= −D M M .

Иногда удобнее рассчитывать дисперсию по формуле 2 2( )ξ ξ ξ= −D M M .

Используя свойство 3, имеем 2

2 2( )i i i i i ii i

p a a p a pξ ξ ⎛ ⎞= − = − ⎜

⎝ ⎠∑ ∑ ∑D M

i⎟ – дискретный случай;

( )2

2 2( ) ( ) ( )f x x dx x f x dx xf x dxξ ξξ ξ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

⎛ ⎞= − = − ⎜

⎝ ⎠∫ ∫ ∫D M ξ ⎟ - непрерывный случай.

5. Дисперсия имеет следующие свойства:

1) ; 0c =D

2) 2c cξ ξ=D D ;

3) i iξi i

ξ=∑ ∑D iD ( ξ - независимы в совокупности ).

Следствие из свойств 2 и 3: ( )ξ η ξ η− = +D D D .

Здесь ξ ξ ηi , , - случайные величины, имеющие дисперсию, с - постоянная.

6. Всякому образованному физику необходимо помнить м.о. наиболее

распространенных распределений: биномиального, пуассоновского, экспоненциального и

нормального.

ЗАДАЧИ

6.1. Вычислить математическое ожидание и дисперсию следующих распределений:

1) равномерного дискретного;

2) биномиального;

3) пуассоновского;

4) геометрического;

5) равномерного непрерывного;

6) экспоненциального;

7) нормального.

6.2. Дискретная случайная величина ξ имеет следующий закон распределения

ξ -1 0 1 p 0.2 0.3 0.5

Найти м.о. и дисперсию ξ .

6.3. Найти ξM и ξD в задаче 5.2:

а) исходя из определения этих величин;

б) исходя из свойства 3 математического ожидания, вводя двумерный случайный

вектор, компоненты которого есть декартовы координаты бросаемой точки.

6.4. Найти ξM и ξD проекции точки в задаче 5.3.

6.5. Найти ξM и ξD для компонент импульса ( , , )x y zP P P=P , кинетической

энергии 2 / 2E P= m и модуля скорости /P mυ = молекулы в задаче 5.7.

6.6. Найти ξM и ξD для числа рассеяний теплового нейтрона в бесконечной среде в

задаче 4.10.

6.7. Пусть ξ – длина свободного пробега ионизирующей частицы в веществе, σ –

макроскопическое сечение взаимодействия частицы. Найти вероятность { }ξ ξ>P M .

6.8. Сложное испытание Бернулли. Пусть производится независимых испытаний, в

каждом из которых возможны два исхода: «успех» и «неудача». Вероятность успеха

зависит от номера испытания . Найти

n

ip

i ξM и ξD , где ξ – число успехов в n испытаниях.

6.9. Круг . В круг радиуса N R бросается точек наудачу. Найти распределение

случайной величины

Nξ – расстояния от ближайшей точки до центра круга. (найти

вероятность того, что расстояние от ближайшей точки до центра будет больше заданного

значения x R≤ ). Вычислить ξM и ξD .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969.

2. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982.

3. Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей. М.: Наука,

1983.

4. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математическая

статистика для физиков. М.: Изд-во МГУ, 1983.