И С АстаховаВ К Кошмак

А В Лисенков

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ПсковПсковский государственный университет

2016

Министерство образования и науки Российской Федерации Псковский государственный университет

И С Астахова В К Кошмак А В Лисенков

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Псковского государственного университета

Псков Псковский государственный университет

2016

2

УДК 51921 ББК 22171

А91

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Псковского государственного университета

Рецензенты mdash В Г Дегтярев д-р техн наук профессор Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения mdash В Н Мельник канд физ-мат наук доцент Псковский государственный университет

Астахова И С Кошмак В К Лисенков А В А91 Теория вероятностей и математическая статистика

Учебно-методическое пособие mdash Псков Псковский государственный университет 2016 mdash 40 с

ISBN 978-5-91116-445-4 Пособие содержит 10 контрольных заданий по теории

вероятностей и математической статистике В каждом задании 20 различных вариантов одинакового уровня сложности Контрольные задания сопровождаются методическими указаниями по их выполнению В данном пособии приводятся краткие сведения по теории пример решения задачи по данной теме указана литература по теме для самостоятельного изучения Приведенные примеры задач имеют экономическое содержание Пособие включает требования государственного стандарта по теории вероятностей и математической статистике программу курса вопросы для самопроверки таблицы функции Лапласа критических точек распределения χ2 и Стьюдента

Учебное пособие адресовано студентам экономических специальностей вузов различных форм обучения Контрольные задания пособия могут использоваться для составления контрольных работ и типовых расчетов по теории вероятностей и математической статистике

УДК 51921 ББК 22171

ISBN 978-5-91116-445-4

Астахова И С 2016 Кошмак В К 2016

Лисенков А В 2016 Псковский государственный университет 2016

3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4 1 Требования по оформлению контрольной работы Выбор варианта 4 2 Контрольные задания 5

Задание 1 Классическое определение вероятности 5 Задание 2 Геометрическая вероятность 6 Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей 7 Задание 4 Формула полной вероятности Формула Байеса 9 Задание 5 Дискретные случайные величины 12 Задание 6 Непрерывные случайные величины 12 Задание 7 Функция распределения случайной величины 13 Задание 8 Числовые характеристики случайных величин 14 Задание 9 Распределение функции от случайной величины 14 Задание 10 Математическая статистика 15

3 Методические указания 17 31 Классическое определение вероятности 17 32 Геометрическая вероятность 18 33 Теоремы сложения и умножения вероятностей 19 34 Формула полной вероятности Формула Байеса 19 35 Дискретные случайные величины 21 36 Непрерывные случайные величины 22 37 Функция распределения случайной величины 22 38 Числовые характеристики случайных величин 25 39 Распределение функции от случайной величины 26 310 Математическая статистика 28

4 Государственный стандарт 31 5 Программа курса 31 6 Вопросы для самопроверки 33 Заключение 34 Литература 35 Приложение 1 Таблица значений функции Лапласа 36 Приложение 2 Критические точки распределения χ2 37 Приложение 3 Критические точки распределения Стьюдента 38

4

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей и математическая статистика продолжают цикл математических дисциплин которые предлагаются студентам изучающим экономику в высшей школе В результате изучения курса должно сформироваться умение читать специальную литературу понимать существующие и строить собственные вероятностные модели реальной действительности Для этой цели в пособии собраны примеры задач с экономическим содержанием Изучение дисциплины необходимо для понимания природы и количественного описания случайных процессов которые сопровождают любую экономическую деятельность

В предлагаемом пособии представлены десять контрольных заданий по основным темам соответствующим стандарту по теории вероятностей и математической статистике По каждому из десяти заданий предлагаются методические указания которые включают теоретические выкладки и пример решения задачи Приводятся ссылки на литературу и рекомендуются дополнительные задачи для самостоятельного изучения соответствующей темы Приложения пособия содержат таблицы значений функции Лапласа критических точек распределения χ2 и Стьюдента

Выполнение работы следует начинать с проработки методических указаний по теме данного задания В соответствии с методическими указаниями необходимо изучить теорию и разобрать примеры решения задач Затем выполнить задания своего варианта При подготовке к экзамену рекомендуется письменно ответить на вопросы для самопроверки

1 ТРЕБОВАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ВЫБОР ВАРИАНТА

Контрольная работа может выполняться в письменном или печатном

виде Оформление работы должно соответствовать ГОСТ 732-81 laquoОтчет о научно-исследовательской работеraquo Титульный лист включает название института название кафедры название контрольной работы фамилию имя отчество и личный шифр студента Задания могут выполняться с применением компьютера

Номер варианта N определяется по двум последним цифрам nn Вашей зачетной книжки по правилу N = 20 если nn = 00 N = nn если 00 lt nn le 20 N = nn ndash 20 если 20 lt nn le 40 N = nn ndash 40 если 40 lt nn le 60 и т д Например если две последние цифры 36 то это 16-ый вариант если 82 то 2-ой вариант

5

2 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1 Классическое определение вероятности

1 Подбрасываются две игральные кости Подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 9 очков 2 В столе лежат 10 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом 3 В урне 4 красных и 6 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 4 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 9 очков 5 В цехе работают восемь мужчин и три женщины По табельным номе-рам наугад отобраны семь человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 6 В урне 11 шаров среди которых 3 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 7 Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 8 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 7 очков 9 В урне 5 черных и 5 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из трех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 10 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен минимальный выигрыш (угадано 3 из 36) 11 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 10 очков 12 В столе лежат 8 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом

6

13 В урне 6 красных и 4 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 14 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 8 очков 15 В цехе работают восемь мужчин и четыре женщины По табельным номерам наугад отобраны пять человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 16 В урне 10 шаров среди которых 4 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 17 Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 18 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 5 очков 19 В урне 4 черных и 4 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из четырех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 20 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен средний выигрыш (угадано 4 номера из 36)

Задание 2

Геометрическая вероятность

Выручка предприятия с равной вероятностью принимает значения на отрезке [a b] Издержки предприятия независимо от выручки с равной ве-роятностью принимают значения на отрезке [c d] С какой вероятностью прибыль предприятия будет неотрицательной

1 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25 2 а = 30 b = 40 c = 30 d = 35

3 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30 4 а = 40 b = 70 c = 30 d = 50

5 а = 10 b = 30 c = 5 d = 20 6 а = 60 b = 100 c = 50 d = 70

7 а =20 b = 30 c = 5 d = 25 8 а = 10 b = 20 c = 10 d = 15

9 а = 40 b = 80 c = 30 d = 50 10 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25

11 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55 12 а = 30 b = 50 c = 30 d = 40

13 а = 20 b = 50 c = 10 d = 30 14 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30

7

15 а = 30 b = 40 c = 20 d = 35 16 а = 60 b = 90 c = 50 d = 70

17 а = 40 b = 60 c = 40 d = 50 18 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55

19 а = 50 b = 80 c = 40 d = 60 20 а = 80 b = 100 c = 70 d = 85

Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 09 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 2 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 08 Найдите вероятность что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 3 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 05 06 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 4 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 005 и 008 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 5 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 09 095 085 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сработает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 6 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 7 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 075 Найдите вероятность того что из трех накладных а) толь-ко две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 8 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 06 07 09 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

8

9 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 015 и 01 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 10 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 07 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 11 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 12 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 13 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 07 06 05 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 14 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 004 и 002 соответственно Найдите веро-ятность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух элементов 15 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 09 07 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 16 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 095 Какова веро-ятность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартны-ми б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 17 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 18 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 08 09 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

9

19 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 01 и 02 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 20 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 05 04 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство

Задание 4

Формула полной вероятности Формула Байеса

1 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 45 второй mdash 30 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 8 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 2 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 02 брака второй mdash 03 и третий mdash 04 C первого авто-мата поступило 500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 1500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом 3 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 10 на втором mdash 30 на третьем mdash 60 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 4 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 50 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 4 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 5 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 2500 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

Министерство образования и науки Российской Федерации Псковский государственный университет

И С Астахова В К Кошмак А В Лисенков

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Псковского государственного университета

Псков Псковский государственный университет

2016

2

УДК 51921 ББК 22171

А91

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Псковского государственного университета

Рецензенты mdash В Г Дегтярев д-р техн наук профессор Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения mdash В Н Мельник канд физ-мат наук доцент Псковский государственный университет

Астахова И С Кошмак В К Лисенков А В А91 Теория вероятностей и математическая статистика

Учебно-методическое пособие mdash Псков Псковский государственный университет 2016 mdash 40 с

ISBN 978-5-91116-445-4 Пособие содержит 10 контрольных заданий по теории

вероятностей и математической статистике В каждом задании 20 различных вариантов одинакового уровня сложности Контрольные задания сопровождаются методическими указаниями по их выполнению В данном пособии приводятся краткие сведения по теории пример решения задачи по данной теме указана литература по теме для самостоятельного изучения Приведенные примеры задач имеют экономическое содержание Пособие включает требования государственного стандарта по теории вероятностей и математической статистике программу курса вопросы для самопроверки таблицы функции Лапласа критических точек распределения χ2 и Стьюдента

Учебное пособие адресовано студентам экономических специальностей вузов различных форм обучения Контрольные задания пособия могут использоваться для составления контрольных работ и типовых расчетов по теории вероятностей и математической статистике

УДК 51921 ББК 22171

ISBN 978-5-91116-445-4

Астахова И С 2016 Кошмак В К 2016

Лисенков А В 2016 Псковский государственный университет 2016

3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4 1 Требования по оформлению контрольной работы Выбор варианта 4 2 Контрольные задания 5

Задание 1 Классическое определение вероятности 5 Задание 2 Геометрическая вероятность 6 Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей 7 Задание 4 Формула полной вероятности Формула Байеса 9 Задание 5 Дискретные случайные величины 12 Задание 6 Непрерывные случайные величины 12 Задание 7 Функция распределения случайной величины 13 Задание 8 Числовые характеристики случайных величин 14 Задание 9 Распределение функции от случайной величины 14 Задание 10 Математическая статистика 15

3 Методические указания 17 31 Классическое определение вероятности 17 32 Геометрическая вероятность 18 33 Теоремы сложения и умножения вероятностей 19 34 Формула полной вероятности Формула Байеса 19 35 Дискретные случайные величины 21 36 Непрерывные случайные величины 22 37 Функция распределения случайной величины 22 38 Числовые характеристики случайных величин 25 39 Распределение функции от случайной величины 26 310 Математическая статистика 28

4 Государственный стандарт 31 5 Программа курса 31 6 Вопросы для самопроверки 33 Заключение 34 Литература 35 Приложение 1 Таблица значений функции Лапласа 36 Приложение 2 Критические точки распределения χ2 37 Приложение 3 Критические точки распределения Стьюдента 38

4

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей и математическая статистика продолжают цикл математических дисциплин которые предлагаются студентам изучающим экономику в высшей школе В результате изучения курса должно сформироваться умение читать специальную литературу понимать существующие и строить собственные вероятностные модели реальной действительности Для этой цели в пособии собраны примеры задач с экономическим содержанием Изучение дисциплины необходимо для понимания природы и количественного описания случайных процессов которые сопровождают любую экономическую деятельность

В предлагаемом пособии представлены десять контрольных заданий по основным темам соответствующим стандарту по теории вероятностей и математической статистике По каждому из десяти заданий предлагаются методические указания которые включают теоретические выкладки и пример решения задачи Приводятся ссылки на литературу и рекомендуются дополнительные задачи для самостоятельного изучения соответствующей темы Приложения пособия содержат таблицы значений функции Лапласа критических точек распределения χ2 и Стьюдента

Выполнение работы следует начинать с проработки методических указаний по теме данного задания В соответствии с методическими указаниями необходимо изучить теорию и разобрать примеры решения задач Затем выполнить задания своего варианта При подготовке к экзамену рекомендуется письменно ответить на вопросы для самопроверки

1 ТРЕБОВАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ВЫБОР ВАРИАНТА

Контрольная работа может выполняться в письменном или печатном

виде Оформление работы должно соответствовать ГОСТ 732-81 laquoОтчет о научно-исследовательской работеraquo Титульный лист включает название института название кафедры название контрольной работы фамилию имя отчество и личный шифр студента Задания могут выполняться с применением компьютера

Номер варианта N определяется по двум последним цифрам nn Вашей зачетной книжки по правилу N = 20 если nn = 00 N = nn если 00 lt nn le 20 N = nn ndash 20 если 20 lt nn le 40 N = nn ndash 40 если 40 lt nn le 60 и т д Например если две последние цифры 36 то это 16-ый вариант если 82 то 2-ой вариант

5

2 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1 Классическое определение вероятности

1 Подбрасываются две игральные кости Подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 9 очков 2 В столе лежат 10 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом 3 В урне 4 красных и 6 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 4 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 9 очков 5 В цехе работают восемь мужчин и три женщины По табельным номе-рам наугад отобраны семь человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 6 В урне 11 шаров среди которых 3 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 7 Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 8 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 7 очков 9 В урне 5 черных и 5 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из трех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 10 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен минимальный выигрыш (угадано 3 из 36) 11 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 10 очков 12 В столе лежат 8 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом

6

13 В урне 6 красных и 4 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 14 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 8 очков 15 В цехе работают восемь мужчин и четыре женщины По табельным номерам наугад отобраны пять человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 16 В урне 10 шаров среди которых 4 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 17 Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 18 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 5 очков 19 В урне 4 черных и 4 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из четырех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 20 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен средний выигрыш (угадано 4 номера из 36)

Задание 2

Геометрическая вероятность

Выручка предприятия с равной вероятностью принимает значения на отрезке [a b] Издержки предприятия независимо от выручки с равной ве-роятностью принимают значения на отрезке [c d] С какой вероятностью прибыль предприятия будет неотрицательной

1 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25 2 а = 30 b = 40 c = 30 d = 35

3 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30 4 а = 40 b = 70 c = 30 d = 50

5 а = 10 b = 30 c = 5 d = 20 6 а = 60 b = 100 c = 50 d = 70

7 а =20 b = 30 c = 5 d = 25 8 а = 10 b = 20 c = 10 d = 15

9 а = 40 b = 80 c = 30 d = 50 10 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25

11 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55 12 а = 30 b = 50 c = 30 d = 40

13 а = 20 b = 50 c = 10 d = 30 14 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30

7

15 а = 30 b = 40 c = 20 d = 35 16 а = 60 b = 90 c = 50 d = 70

17 а = 40 b = 60 c = 40 d = 50 18 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55

19 а = 50 b = 80 c = 40 d = 60 20 а = 80 b = 100 c = 70 d = 85

Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 09 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 2 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 08 Найдите вероятность что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 3 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 05 06 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 4 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 005 и 008 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 5 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 09 095 085 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сработает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 6 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 7 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 075 Найдите вероятность того что из трех накладных а) толь-ко две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 8 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 06 07 09 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

8

9 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 015 и 01 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 10 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 07 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 11 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 12 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 13 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 07 06 05 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 14 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 004 и 002 соответственно Найдите веро-ятность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух элементов 15 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 09 07 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 16 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 095 Какова веро-ятность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартны-ми б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 17 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 18 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 08 09 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

9

19 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 01 и 02 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 20 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 05 04 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство

Задание 4

Формула полной вероятности Формула Байеса

1 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 45 второй mdash 30 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 8 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 2 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 02 брака второй mdash 03 и третий mdash 04 C первого авто-мата поступило 500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 1500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом 3 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 10 на втором mdash 30 на третьем mdash 60 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 4 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 50 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 4 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 5 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 2500 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

2

УДК 51921 ББК 22171

А91

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Псковского государственного университета

Рецензенты mdash В Г Дегтярев д-р техн наук профессор Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения mdash В Н Мельник канд физ-мат наук доцент Псковский государственный университет

Астахова И С Кошмак В К Лисенков А В А91 Теория вероятностей и математическая статистика

Учебно-методическое пособие mdash Псков Псковский государственный университет 2016 mdash 40 с

ISBN 978-5-91116-445-4 Пособие содержит 10 контрольных заданий по теории

вероятностей и математической статистике В каждом задании 20 различных вариантов одинакового уровня сложности Контрольные задания сопровождаются методическими указаниями по их выполнению В данном пособии приводятся краткие сведения по теории пример решения задачи по данной теме указана литература по теме для самостоятельного изучения Приведенные примеры задач имеют экономическое содержание Пособие включает требования государственного стандарта по теории вероятностей и математической статистике программу курса вопросы для самопроверки таблицы функции Лапласа критических точек распределения χ2 и Стьюдента

Учебное пособие адресовано студентам экономических специальностей вузов различных форм обучения Контрольные задания пособия могут использоваться для составления контрольных работ и типовых расчетов по теории вероятностей и математической статистике

УДК 51921 ББК 22171

ISBN 978-5-91116-445-4

Астахова И С 2016 Кошмак В К 2016

Лисенков А В 2016 Псковский государственный университет 2016

3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4 1 Требования по оформлению контрольной работы Выбор варианта 4 2 Контрольные задания 5

Задание 1 Классическое определение вероятности 5 Задание 2 Геометрическая вероятность 6 Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей 7 Задание 4 Формула полной вероятности Формула Байеса 9 Задание 5 Дискретные случайные величины 12 Задание 6 Непрерывные случайные величины 12 Задание 7 Функция распределения случайной величины 13 Задание 8 Числовые характеристики случайных величин 14 Задание 9 Распределение функции от случайной величины 14 Задание 10 Математическая статистика 15

3 Методические указания 17 31 Классическое определение вероятности 17 32 Геометрическая вероятность 18 33 Теоремы сложения и умножения вероятностей 19 34 Формула полной вероятности Формула Байеса 19 35 Дискретные случайные величины 21 36 Непрерывные случайные величины 22 37 Функция распределения случайной величины 22 38 Числовые характеристики случайных величин 25 39 Распределение функции от случайной величины 26 310 Математическая статистика 28

4 Государственный стандарт 31 5 Программа курса 31 6 Вопросы для самопроверки 33 Заключение 34 Литература 35 Приложение 1 Таблица значений функции Лапласа 36 Приложение 2 Критические точки распределения χ2 37 Приложение 3 Критические точки распределения Стьюдента 38

4

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей и математическая статистика продолжают цикл математических дисциплин которые предлагаются студентам изучающим экономику в высшей школе В результате изучения курса должно сформироваться умение читать специальную литературу понимать существующие и строить собственные вероятностные модели реальной действительности Для этой цели в пособии собраны примеры задач с экономическим содержанием Изучение дисциплины необходимо для понимания природы и количественного описания случайных процессов которые сопровождают любую экономическую деятельность

В предлагаемом пособии представлены десять контрольных заданий по основным темам соответствующим стандарту по теории вероятностей и математической статистике По каждому из десяти заданий предлагаются методические указания которые включают теоретические выкладки и пример решения задачи Приводятся ссылки на литературу и рекомендуются дополнительные задачи для самостоятельного изучения соответствующей темы Приложения пособия содержат таблицы значений функции Лапласа критических точек распределения χ2 и Стьюдента

Выполнение работы следует начинать с проработки методических указаний по теме данного задания В соответствии с методическими указаниями необходимо изучить теорию и разобрать примеры решения задач Затем выполнить задания своего варианта При подготовке к экзамену рекомендуется письменно ответить на вопросы для самопроверки

1 ТРЕБОВАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ВЫБОР ВАРИАНТА

Контрольная работа может выполняться в письменном или печатном

виде Оформление работы должно соответствовать ГОСТ 732-81 laquoОтчет о научно-исследовательской работеraquo Титульный лист включает название института название кафедры название контрольной работы фамилию имя отчество и личный шифр студента Задания могут выполняться с применением компьютера

Номер варианта N определяется по двум последним цифрам nn Вашей зачетной книжки по правилу N = 20 если nn = 00 N = nn если 00 lt nn le 20 N = nn ndash 20 если 20 lt nn le 40 N = nn ndash 40 если 40 lt nn le 60 и т д Например если две последние цифры 36 то это 16-ый вариант если 82 то 2-ой вариант

5

2 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1 Классическое определение вероятности

1 Подбрасываются две игральные кости Подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 9 очков 2 В столе лежат 10 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом 3 В урне 4 красных и 6 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 4 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 9 очков 5 В цехе работают восемь мужчин и три женщины По табельным номе-рам наугад отобраны семь человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 6 В урне 11 шаров среди которых 3 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 7 Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 8 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 7 очков 9 В урне 5 черных и 5 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из трех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 10 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен минимальный выигрыш (угадано 3 из 36) 11 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 10 очков 12 В столе лежат 8 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом

6

13 В урне 6 красных и 4 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 14 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 8 очков 15 В цехе работают восемь мужчин и четыре женщины По табельным номерам наугад отобраны пять человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 16 В урне 10 шаров среди которых 4 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 17 Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 18 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 5 очков 19 В урне 4 черных и 4 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из четырех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 20 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен средний выигрыш (угадано 4 номера из 36)

Задание 2

Геометрическая вероятность

Выручка предприятия с равной вероятностью принимает значения на отрезке [a b] Издержки предприятия независимо от выручки с равной ве-роятностью принимают значения на отрезке [c d] С какой вероятностью прибыль предприятия будет неотрицательной

1 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25 2 а = 30 b = 40 c = 30 d = 35

3 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30 4 а = 40 b = 70 c = 30 d = 50

5 а = 10 b = 30 c = 5 d = 20 6 а = 60 b = 100 c = 50 d = 70

7 а =20 b = 30 c = 5 d = 25 8 а = 10 b = 20 c = 10 d = 15

9 а = 40 b = 80 c = 30 d = 50 10 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25

11 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55 12 а = 30 b = 50 c = 30 d = 40

13 а = 20 b = 50 c = 10 d = 30 14 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30

7

15 а = 30 b = 40 c = 20 d = 35 16 а = 60 b = 90 c = 50 d = 70

17 а = 40 b = 60 c = 40 d = 50 18 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55

19 а = 50 b = 80 c = 40 d = 60 20 а = 80 b = 100 c = 70 d = 85

Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 09 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 2 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 08 Найдите вероятность что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 3 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 05 06 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 4 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 005 и 008 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 5 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 09 095 085 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сработает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 6 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 7 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 075 Найдите вероятность того что из трех накладных а) толь-ко две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 8 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 06 07 09 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

8

9 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 015 и 01 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 10 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 07 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 11 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 12 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 13 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 07 06 05 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 14 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 004 и 002 соответственно Найдите веро-ятность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух элементов 15 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 09 07 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 16 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 095 Какова веро-ятность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартны-ми б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 17 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 18 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 08 09 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

9

19 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 01 и 02 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 20 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 05 04 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство

Задание 4

Формула полной вероятности Формула Байеса

1 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 45 второй mdash 30 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 8 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 2 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 02 брака второй mdash 03 и третий mdash 04 C первого авто-мата поступило 500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 1500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом 3 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 10 на втором mdash 30 на третьем mdash 60 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 4 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 50 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 4 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 5 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 2500 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4 1 Требования по оформлению контрольной работы Выбор варианта 4 2 Контрольные задания 5

Задание 1 Классическое определение вероятности 5 Задание 2 Геометрическая вероятность 6 Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей 7 Задание 4 Формула полной вероятности Формула Байеса 9 Задание 5 Дискретные случайные величины 12 Задание 6 Непрерывные случайные величины 12 Задание 7 Функция распределения случайной величины 13 Задание 8 Числовые характеристики случайных величин 14 Задание 9 Распределение функции от случайной величины 14 Задание 10 Математическая статистика 15

3 Методические указания 17 31 Классическое определение вероятности 17 32 Геометрическая вероятность 18 33 Теоремы сложения и умножения вероятностей 19 34 Формула полной вероятности Формула Байеса 19 35 Дискретные случайные величины 21 36 Непрерывные случайные величины 22 37 Функция распределения случайной величины 22 38 Числовые характеристики случайных величин 25 39 Распределение функции от случайной величины 26 310 Математическая статистика 28

4 Государственный стандарт 31 5 Программа курса 31 6 Вопросы для самопроверки 33 Заключение 34 Литература 35 Приложение 1 Таблица значений функции Лапласа 36 Приложение 2 Критические точки распределения χ2 37 Приложение 3 Критические точки распределения Стьюдента 38

4

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей и математическая статистика продолжают цикл математических дисциплин которые предлагаются студентам изучающим экономику в высшей школе В результате изучения курса должно сформироваться умение читать специальную литературу понимать существующие и строить собственные вероятностные модели реальной действительности Для этой цели в пособии собраны примеры задач с экономическим содержанием Изучение дисциплины необходимо для понимания природы и количественного описания случайных процессов которые сопровождают любую экономическую деятельность

В предлагаемом пособии представлены десять контрольных заданий по основным темам соответствующим стандарту по теории вероятностей и математической статистике По каждому из десяти заданий предлагаются методические указания которые включают теоретические выкладки и пример решения задачи Приводятся ссылки на литературу и рекомендуются дополнительные задачи для самостоятельного изучения соответствующей темы Приложения пособия содержат таблицы значений функции Лапласа критических точек распределения χ2 и Стьюдента

Выполнение работы следует начинать с проработки методических указаний по теме данного задания В соответствии с методическими указаниями необходимо изучить теорию и разобрать примеры решения задач Затем выполнить задания своего варианта При подготовке к экзамену рекомендуется письменно ответить на вопросы для самопроверки

1 ТРЕБОВАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ВЫБОР ВАРИАНТА

Контрольная работа может выполняться в письменном или печатном

виде Оформление работы должно соответствовать ГОСТ 732-81 laquoОтчет о научно-исследовательской работеraquo Титульный лист включает название института название кафедры название контрольной работы фамилию имя отчество и личный шифр студента Задания могут выполняться с применением компьютера

Номер варианта N определяется по двум последним цифрам nn Вашей зачетной книжки по правилу N = 20 если nn = 00 N = nn если 00 lt nn le 20 N = nn ndash 20 если 20 lt nn le 40 N = nn ndash 40 если 40 lt nn le 60 и т д Например если две последние цифры 36 то это 16-ый вариант если 82 то 2-ой вариант

5

2 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1 Классическое определение вероятности

1 Подбрасываются две игральные кости Подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 9 очков 2 В столе лежат 10 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом 3 В урне 4 красных и 6 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 4 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 9 очков 5 В цехе работают восемь мужчин и три женщины По табельным номе-рам наугад отобраны семь человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 6 В урне 11 шаров среди которых 3 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 7 Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 8 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 7 очков 9 В урне 5 черных и 5 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из трех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 10 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен минимальный выигрыш (угадано 3 из 36) 11 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 10 очков 12 В столе лежат 8 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом

6

13 В урне 6 красных и 4 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 14 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 8 очков 15 В цехе работают восемь мужчин и четыре женщины По табельным номерам наугад отобраны пять человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 16 В урне 10 шаров среди которых 4 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 17 Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 18 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 5 очков 19 В урне 4 черных и 4 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из четырех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 20 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен средний выигрыш (угадано 4 номера из 36)

Задание 2

Геометрическая вероятность

Выручка предприятия с равной вероятностью принимает значения на отрезке [a b] Издержки предприятия независимо от выручки с равной ве-роятностью принимают значения на отрезке [c d] С какой вероятностью прибыль предприятия будет неотрицательной

1 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25 2 а = 30 b = 40 c = 30 d = 35

3 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30 4 а = 40 b = 70 c = 30 d = 50

5 а = 10 b = 30 c = 5 d = 20 6 а = 60 b = 100 c = 50 d = 70

7 а =20 b = 30 c = 5 d = 25 8 а = 10 b = 20 c = 10 d = 15

9 а = 40 b = 80 c = 30 d = 50 10 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25

11 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55 12 а = 30 b = 50 c = 30 d = 40

13 а = 20 b = 50 c = 10 d = 30 14 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30

7

15 а = 30 b = 40 c = 20 d = 35 16 а = 60 b = 90 c = 50 d = 70

17 а = 40 b = 60 c = 40 d = 50 18 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55

19 а = 50 b = 80 c = 40 d = 60 20 а = 80 b = 100 c = 70 d = 85

Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 09 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 2 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 08 Найдите вероятность что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 3 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 05 06 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 4 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 005 и 008 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 5 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 09 095 085 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сработает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 6 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 7 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 075 Найдите вероятность того что из трех накладных а) толь-ко две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 8 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 06 07 09 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

8

9 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 015 и 01 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 10 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 07 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 11 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 12 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 13 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 07 06 05 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 14 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 004 и 002 соответственно Найдите веро-ятность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух элементов 15 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 09 07 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 16 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 095 Какова веро-ятность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартны-ми б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 17 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 18 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 08 09 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

9

19 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 01 и 02 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 20 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 05 04 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство

Задание 4

Формула полной вероятности Формула Байеса

1 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 45 второй mdash 30 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 8 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 2 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 02 брака второй mdash 03 и третий mdash 04 C первого авто-мата поступило 500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 1500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом 3 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 10 на втором mdash 30 на третьем mdash 60 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 4 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 50 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 4 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 5 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 2500 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

4

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей и математическая статистика продолжают цикл математических дисциплин которые предлагаются студентам изучающим экономику в высшей школе В результате изучения курса должно сформироваться умение читать специальную литературу понимать существующие и строить собственные вероятностные модели реальной действительности Для этой цели в пособии собраны примеры задач с экономическим содержанием Изучение дисциплины необходимо для понимания природы и количественного описания случайных процессов которые сопровождают любую экономическую деятельность

В предлагаемом пособии представлены десять контрольных заданий по основным темам соответствующим стандарту по теории вероятностей и математической статистике По каждому из десяти заданий предлагаются методические указания которые включают теоретические выкладки и пример решения задачи Приводятся ссылки на литературу и рекомендуются дополнительные задачи для самостоятельного изучения соответствующей темы Приложения пособия содержат таблицы значений функции Лапласа критических точек распределения χ2 и Стьюдента

Выполнение работы следует начинать с проработки методических указаний по теме данного задания В соответствии с методическими указаниями необходимо изучить теорию и разобрать примеры решения задач Затем выполнить задания своего варианта При подготовке к экзамену рекомендуется письменно ответить на вопросы для самопроверки

1 ТРЕБОВАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ВЫБОР ВАРИАНТА

Контрольная работа может выполняться в письменном или печатном

виде Оформление работы должно соответствовать ГОСТ 732-81 laquoОтчет о научно-исследовательской работеraquo Титульный лист включает название института название кафедры название контрольной работы фамилию имя отчество и личный шифр студента Задания могут выполняться с применением компьютера

Номер варианта N определяется по двум последним цифрам nn Вашей зачетной книжки по правилу N = 20 если nn = 00 N = nn если 00 lt nn le 20 N = nn ndash 20 если 20 lt nn le 40 N = nn ndash 40 если 40 lt nn le 60 и т д Например если две последние цифры 36 то это 16-ый вариант если 82 то 2-ой вариант

5

2 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1 Классическое определение вероятности

1 Подбрасываются две игральные кости Подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 9 очков 2 В столе лежат 10 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом 3 В урне 4 красных и 6 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 4 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 9 очков 5 В цехе работают восемь мужчин и три женщины По табельным номе-рам наугад отобраны семь человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 6 В урне 11 шаров среди которых 3 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 7 Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 8 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 7 очков 9 В урне 5 черных и 5 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из трех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 10 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен минимальный выигрыш (угадано 3 из 36) 11 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 10 очков 12 В столе лежат 8 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом

6

13 В урне 6 красных и 4 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 14 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 8 очков 15 В цехе работают восемь мужчин и четыре женщины По табельным номерам наугад отобраны пять человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 16 В урне 10 шаров среди которых 4 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 17 Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 18 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 5 очков 19 В урне 4 черных и 4 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из четырех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 20 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен средний выигрыш (угадано 4 номера из 36)

Задание 2

Геометрическая вероятность

Выручка предприятия с равной вероятностью принимает значения на отрезке [a b] Издержки предприятия независимо от выручки с равной ве-роятностью принимают значения на отрезке [c d] С какой вероятностью прибыль предприятия будет неотрицательной

1 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25 2 а = 30 b = 40 c = 30 d = 35

3 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30 4 а = 40 b = 70 c = 30 d = 50

5 а = 10 b = 30 c = 5 d = 20 6 а = 60 b = 100 c = 50 d = 70

7 а =20 b = 30 c = 5 d = 25 8 а = 10 b = 20 c = 10 d = 15

9 а = 40 b = 80 c = 30 d = 50 10 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25

11 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55 12 а = 30 b = 50 c = 30 d = 40

13 а = 20 b = 50 c = 10 d = 30 14 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30

7

15 а = 30 b = 40 c = 20 d = 35 16 а = 60 b = 90 c = 50 d = 70

17 а = 40 b = 60 c = 40 d = 50 18 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55

19 а = 50 b = 80 c = 40 d = 60 20 а = 80 b = 100 c = 70 d = 85

Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 09 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 2 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 08 Найдите вероятность что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 3 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 05 06 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 4 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 005 и 008 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 5 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 09 095 085 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сработает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 6 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 7 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 075 Найдите вероятность того что из трех накладных а) толь-ко две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 8 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 06 07 09 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

8

9 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 015 и 01 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 10 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 07 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 11 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 12 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 13 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 07 06 05 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 14 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 004 и 002 соответственно Найдите веро-ятность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух элементов 15 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 09 07 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 16 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 095 Какова веро-ятность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартны-ми б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 17 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 18 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 08 09 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

9

19 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 01 и 02 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 20 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 05 04 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство

Задание 4

Формула полной вероятности Формула Байеса

1 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 45 второй mdash 30 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 8 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 2 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 02 брака второй mdash 03 и третий mdash 04 C первого авто-мата поступило 500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 1500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом 3 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 10 на втором mdash 30 на третьем mdash 60 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 4 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 50 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 4 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 5 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 2500 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

5

2 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1 Классическое определение вероятности

1 Подбрасываются две игральные кости Подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 9 очков 2 В столе лежат 10 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом 3 В урне 4 красных и 6 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 4 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 9 очков 5 В цехе работают восемь мужчин и три женщины По табельным номе-рам наугад отобраны семь человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 6 В урне 11 шаров среди которых 3 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 7 Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 8 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 7 очков 9 В урне 5 черных и 5 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из трех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 10 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен минимальный выигрыш (угадано 3 из 36) 11 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет 10 очков 12 В столе лежат 8 предметов С целью отыскать два определенных все предметы случайным образом вынимают раскладывая в один ряд Найди-те вероятность того что отыскиваемые предметы окажутся рядом

6

13 В урне 6 красных и 4 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 14 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 8 очков 15 В цехе работают восемь мужчин и четыре женщины По табельным номерам наугад отобраны пять человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 16 В урне 10 шаров среди которых 4 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 17 Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 18 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 5 очков 19 В урне 4 черных и 4 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из четырех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 20 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен средний выигрыш (угадано 4 номера из 36)

Задание 2

Геометрическая вероятность

Выручка предприятия с равной вероятностью принимает значения на отрезке [a b] Издержки предприятия независимо от выручки с равной ве-роятностью принимают значения на отрезке [c d] С какой вероятностью прибыль предприятия будет неотрицательной

1 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25 2 а = 30 b = 40 c = 30 d = 35

3 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30 4 а = 40 b = 70 c = 30 d = 50

5 а = 10 b = 30 c = 5 d = 20 6 а = 60 b = 100 c = 50 d = 70

7 а =20 b = 30 c = 5 d = 25 8 а = 10 b = 20 c = 10 d = 15

9 а = 40 b = 80 c = 30 d = 50 10 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25

11 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55 12 а = 30 b = 50 c = 30 d = 40

13 а = 20 b = 50 c = 10 d = 30 14 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30

7

15 а = 30 b = 40 c = 20 d = 35 16 а = 60 b = 90 c = 50 d = 70

17 а = 40 b = 60 c = 40 d = 50 18 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55

19 а = 50 b = 80 c = 40 d = 60 20 а = 80 b = 100 c = 70 d = 85

Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 09 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 2 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 08 Найдите вероятность что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 3 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 05 06 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 4 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 005 и 008 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 5 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 09 095 085 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сработает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 6 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 7 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 075 Найдите вероятность того что из трех накладных а) толь-ко две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 8 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 06 07 09 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

8

9 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 015 и 01 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 10 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 07 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 11 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 12 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 13 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 07 06 05 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 14 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 004 и 002 соответственно Найдите веро-ятность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух элементов 15 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 09 07 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 16 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 095 Какова веро-ятность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартны-ми б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 17 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 18 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 08 09 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

9

19 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 01 и 02 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 20 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 05 04 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство

Задание 4

Формула полной вероятности Формула Байеса

1 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 45 второй mdash 30 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 8 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 2 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 02 брака второй mdash 03 и третий mdash 04 C первого авто-мата поступило 500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 1500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом 3 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 10 на втором mdash 30 на третьем mdash 60 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 4 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 50 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 4 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 5 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 2500 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

6

13 В урне 6 красных и 4 голубых шаров одинаковых по размерам и весу Чему равна вероятность того что 2 наудачу извлеченных шара из этой ур-ны окажутся голубыми 14 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не меньше 8 очков 15 В цехе работают восемь мужчин и четыре женщины По табельным номерам наугад отобраны пять человек Найдите вероятность того что среди отобранных окажется ровно две женщины 16 В урне 10 шаров среди которых 4 белых Три шара последовательно вынимают из урны Какова вероятность извлечь все 3 белых шара подряд 17 Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке Чему равна вероятность что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо 18 Подбрасываются две игральные кости подсчитывается сумма очков на верхних гранях Найдите вероятность события состоящего в том что на верхних гранях костей в сумме будет не больше 5 очков 19 В урне 4 черных и 4 белых шаров одинаковых по размерам и весу Че-му равна вероятность того что из четырех наудачу извлеченных шаров из этой урны ровно два окажутся черными 20 Найдите вероятность того что на карточку laquoСпортлотоraquo 6 из 36 будет получен средний выигрыш (угадано 4 номера из 36)

Задание 2

Геометрическая вероятность

Выручка предприятия с равной вероятностью принимает значения на отрезке [a b] Издержки предприятия независимо от выручки с равной ве-роятностью принимают значения на отрезке [c d] С какой вероятностью прибыль предприятия будет неотрицательной

1 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25 2 а = 30 b = 40 c = 30 d = 35

3 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30 4 а = 40 b = 70 c = 30 d = 50

5 а = 10 b = 30 c = 5 d = 20 6 а = 60 b = 100 c = 50 d = 70

7 а =20 b = 30 c = 5 d = 25 8 а = 10 b = 20 c = 10 d = 15

9 а = 40 b = 80 c = 30 d = 50 10 а = 20 b = 30 c = 10 d = 25

11 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55 12 а = 30 b = 50 c = 30 d = 40

13 а = 20 b = 50 c = 10 d = 30 14 а = 20 b = 40 c = 15 d = 30

7

15 а = 30 b = 40 c = 20 d = 35 16 а = 60 b = 90 c = 50 d = 70

17 а = 40 b = 60 c = 40 d = 50 18 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55

19 а = 50 b = 80 c = 40 d = 60 20 а = 80 b = 100 c = 70 d = 85

Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 09 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 2 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 08 Найдите вероятность что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 3 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 05 06 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 4 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 005 и 008 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 5 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 09 095 085 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сработает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 6 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 7 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 075 Найдите вероятность того что из трех накладных а) толь-ко две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 8 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 06 07 09 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

8

9 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 015 и 01 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 10 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 07 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 11 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 12 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 13 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 07 06 05 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 14 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 004 и 002 соответственно Найдите веро-ятность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух элементов 15 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 09 07 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 16 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 095 Какова веро-ятность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартны-ми б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 17 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 18 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 08 09 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

9

19 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 01 и 02 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 20 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 05 04 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство

Задание 4

Формула полной вероятности Формула Байеса

1 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 45 второй mdash 30 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 8 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 2 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 02 брака второй mdash 03 и третий mdash 04 C первого авто-мата поступило 500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 1500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом 3 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 10 на втором mdash 30 на третьем mdash 60 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 4 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 50 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 4 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 5 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 2500 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

7

15 а = 30 b = 40 c = 20 d = 35 16 а = 60 b = 90 c = 50 d = 70

17 а = 40 b = 60 c = 40 d = 50 18 а = 50 b = 60 c = 40 d = 55

19 а = 50 b = 80 c = 40 d = 60 20 а = 80 b = 100 c = 70 d = 85

Задание 3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 09 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 2 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 08 Найдите вероятность что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 3 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 05 06 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 4 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 005 и 008 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 5 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 09 095 085 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сработает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 6 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 7 Вероятность правильного оформления накладной при передаче продук-ции равна 075 Найдите вероятность того что из трех накладных а) толь-ко две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 8 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 06 07 09 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

8

9 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 015 и 01 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 10 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 07 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 11 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 12 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 13 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 07 06 05 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 14 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 004 и 002 соответственно Найдите веро-ятность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух элементов 15 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 09 07 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 16 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 095 Какова веро-ятность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартны-ми б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 17 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 18 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 08 09 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

9

19 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 01 и 02 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 20 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 05 04 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство

Задание 4

Формула полной вероятности Формула Байеса

1 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 45 второй mdash 30 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 8 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 2 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 02 брака второй mdash 03 и третий mdash 04 C первого авто-мата поступило 500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 1500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом 3 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 10 на втором mdash 30 на третьем mdash 60 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 4 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 50 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 4 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 5 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 2500 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

8

9 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероятно-сти отказов элементов равны 015 и 01 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 10 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 07 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 11 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 08 Какова вероят-ность что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартными б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 12 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 13 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 07 06 05 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием 14 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 004 и 002 соответственно Найдите веро-ятность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух элементов 15 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 08 09 07 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство 16 Контроллер проверяет изделия на соответствие стандарту Известно что вероятность соответствия стандарту изделий равна 095 Какова веро-ятность того что из двух проверенных изделий а) оба будут стандартны-ми б) ровно одно будет стандартным в) хотя бы одно будет стандартным 17 Вероятность правильного оформления накладной при передаче про-дукции равна 08 Найдите вероятность того что из трех накладных а) только две оформлены верно б) хотя бы одна оформлена верно 18 Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 08 09 07 Найдите вероятность своевременного выполнения задания а) ровно одним пред-приятием из трех б) хотя бы одним предприятием

9

19 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 01 и 02 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 20 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 05 04 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство

Задание 4

Формула полной вероятности Формула Байеса

1 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 45 второй mdash 30 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 8 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 2 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 02 брака второй mdash 03 и третий mdash 04 C первого авто-мата поступило 500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 1500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом 3 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 10 на втором mdash 30 на третьем mdash 60 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 4 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 50 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 4 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 5 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 2500 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

9

19 Устройство содержит два независимо работающих элемента Вероят-ности отказов элементов равны 01 и 02 соответственно Найдите вероят-ность а) отказа прибора если для этого достаточно чтобы отказал хотя бы один элемент б) отказа ровно одного элемента из двух в) отказа двух эле-ментов 20 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства Вероятности того что устройство сработает при аварии равны 05 04 06 соответственно Найдите вероятность что а) при аварии сра-ботает ровно два устройства б) сработает хотя бы одно устройство

Задание 4

Формула полной вероятности Формула Байеса

1 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 45 второй mdash 30 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 8 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 2 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 02 брака второй mdash 03 и третий mdash 04 C первого авто-мата поступило 500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 1500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом 3 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 10 на втором mdash 30 на третьем mdash 60 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 4 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 50 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 4 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 5 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 2500 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

10

6 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 45 на втором mdash 15 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 095 если она изготовлена на первом стан-ке 085 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 7 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 40 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 08 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 8 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 05 C первого автомата поступило 1000 со второго mdash 1500 и с третьего mdash 500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 9 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют-ся детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 35 на третьем mdash 40 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 099 если она изготовлена на первом стан-ке 095 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите вероятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке 10 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике 11 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 40 второй mdash 25 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 2 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике 12 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 01 брака второй mdash 02 и третий mdash 03 C первого авто-мата поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Най-дите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что по-павшая бракованная деталь изготовлена третьим автоматом

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

11

13 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 50 на втором mdash 30 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 07 если она изготовлена на первом станке 08 mdash если на втором станке и 09 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на втором станке 14 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 20 второй mdash 45 и третьей mdash 35 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 1 для второй mdash 2 для третьей mdash 3 Найдите вероятность а) выбрать брако-ванное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на второй фабрике 15 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 2 и третий mdash 15 C первого автомата поступило 1500 со второго mdash 2000 и с третьего mdash 1500 деталей Найдите вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попавшая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 16 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 55 на втором mdash 25 на третьем mdash 20 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 085 mdash если на втором станке и 07 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на первом станке 17 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 25 второй mdash 45 и третьей mdash 30 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 03 для третьей mdash 02 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на третьей фабрике 18 На сборку попадают детали с трех автоматов Известно что первый ав-томат дает 1 брака второй mdash 15 и третий mdash 05 C первого автома-та поступило 1500 со второго mdash 1000 и с третьего mdash 500 деталей Найди-те вероятность а) попадания на сборку бракованной детали б) что попав-шая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом 19 На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовля-ются детали одного наименования На первом станке изготовляют 25 на втором mdash 45 на третьем mdash 30 всех деталей Вероятность каждой де-тали быть бездефектной равна 09 если она изготовлена на первом станке 075 mdash если на втором станке и 08 mdash если на третьем станке Найдите ве-роятность что а) наугад взятая деталь окажется бездефектной б) наугад выбранная бездефектная деталь изготовлена на третьем станке

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

12

20 На склад поступает продукция трех фабрик причем продукция первой фабрики составляет 30 второй mdash 45 и третьей mdash 25 Известно что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 05 для второй mdash 02 для третьей mdash 08 Найдите вероятность а) выбрать бракованное изделие б) что наудачу взятое нестандартное изделие произ-ведено на первой фабрике

Задание 5

Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины Х1и Х2 имеют биномиальное и пу-ассоновское распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и дисперсия величины Х1 D[Х1] = b Для каждой из величин найдите вероятность что она попа-дет в отрезок [ ]

1 а = 2 b = 32 = 1 = 3 2 a = 3 b = 32 = 2 = 4

3 a = 4 b = 2 = 3 = 5 4 a = 2 b = 43 = 2 = 4

5 a = 4 b = 43 = 3 = 5 6 a = 6 b = 32 = 3 = 5

7 a = 2 b = 32 = 3 = 5 8 a = 3 b = 32 = 1 = 3

9 a = 4 b = 2 = 5 = 7 10 a = 2 b = 43 = 4 = 6

11 a = 2 b = 12 = 1 = 3 12 a = 3 b = 32 = 3 = 5

13 a = 4 b = 2 = 2 = 4 14 a = 2 b = 43 = 1 = 3

15 a = 4 b = 43 = 1 = 3 16 a = 6 b = 32 = 1 = 3

17 a = 2 b = 32 = 2 = 4 18 a = 3 b = 32 = 2 = 4

19 a = 4 b = 2 = 2 = 4 20 a = 2 b = 43 = 2 = 4

Задание 6 Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины Х1и Х2 имеют равномерное и нормальное распределение соответственно Известны математические ожидания каждой из величин М[Х1] = М[Х2] = а и их среднеквадратиче-ские отклонения [Х1] = [Х2] = Для каждой из величин найдите веро-ятность что она попадет в отрезок [ ] 1 a = 2 = 1 = 0 = 2 2 a = 3 = 2 = 3 = 6 3 a = 4 = 1 = 0 = 5 4 a = 5 = 2 = 2 = 4

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

13

5 a = 6 = 1 = 1 = 5 6 a = 2 = 2 = 3 = 7 7 a = 3 = 1 = 3 = 5 8 a = 4 = 2 = 0 = 3 9 a = 5 = 1 = 3 = 7 10 a = 6 = 2 = 4 = 8 11 a = 4 = 1 = 2 = 5 12 a = 5 = 2 = 5 = 8 13 a = 1 = 1 = 0 = 3 14 a = 2 = 2 = 1 = 5 15 a = 7 = 2 = 4 = 7 16 a = 8 = 2 = 5 = 9 17 a = 8 = 1 = 4 = 7 18 a = 6 = 2 = 0 = 5 19 a = 9 = 1 = 8 = 11 20 a = 9 = 2 = 6 = 9

Задание 7 Функция распределения случайной величины

Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x) Найдите плотность вероятности математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины Определите вероятность попадания в отрезок [a b]

1

50b1a

1x11x0x0x0

)x(F 2

2

3b51a

2x12x12xx

1x0)x(F 2

3

50211

1000

)( 3

bax

xxx

xF 4

2b250a

31x131x0x2x3

0x0)x(F 2

5

3b0a4x14x212x2x0

)x(F

6

2b0a

3x13x09x0x0

)x(F 2

7

3b1a

2x12x04x0x0

)x(F 2

8

b4

a

0x10x2xcos2x0

)x(F

9

8ba6x1

6x0xsin20x0

)x(F

10

65b0ax1x43x2cos

43x0)x(F

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

14

11

52b50a

2x1

2x04

x

0x0

)x(F2

12

51b51a

2x12x12)xx(

1x0

)x(F 2

13

525011

1000

)( 3

bax

xxx

xF 14

2505031131023

00)( 2

baxxxx

xxF

15

51021

21110

)(

bax

xxx

xF 16

143130900

)( 2

baxxxx

xF

17

5112120400

)( 2

baxxxx

xF 18

3

4

30102cos20

)(

ba

xxx

xxF

19

46120sin

00)(

baxxxx

xF 20

651

432cos430

)(

baxxx

xxF

Задание 8

Числовые характеристики случайных величин

Определите и постройте функцию распределения и плотность веро-ятности прибыли предприятия (задание 2) Вычислите коэффициент ва-риации прибыли предприятия

Задание 9

Распределение функции от случайной величины

Цена на продукцию предприятия Р равномерно распределена на ин-тервале (аb) Спрос на продукцию предприятия Q = A+B∙P Найдите плот-ность вероятности выручки R = PQ предприятия

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

15

1 a = 1 b = 6 A = 10 B = ndash1 2 a = 2 b = 6 A = 20 B = ndash2 3 a = 2 b = 3 A = 30 B = ndash3 4 a = 2 b = 4 A = 40 B = ndash4 5 a = 2 b = 5 A = 50 B = ndash5 6 a = 2 b = 6 A = 60 B = ndash6 7 a = 2 b = 7 A = 70 B = ndash7 8 a = 2 b = 8 A = 80 B = ndash8 9 a = 2 b = 9 A = 90 B = ndash9 10 a = 3 b = 7 A = 100 B = ndash10 11 a = 4 b = 6 A = 10 B = ndash1 12 a = 5 b = 2 A = 20 B = ndash2 13 a = 3 b = 7 A = 30 B = ndash3 14 a = 2 b = 2 A = 40 B = ndash4 15 a = 2 b = 7 A = 50 B = ndash5 16 a = 3 b = 6 A = 60 B = ndash6 17 a = 3 b = 7 A = 70 B = ndash7 18 a = 3 b = 8 A = 80 B = ndash8 19 a = 3 b = 9 A = 90 B = ndash9 20 a = 4 b = 8 A = 100 B = ndash10

Задание 10 Математическая статистика

В таблице представлены наблюдения случайной величины Х Для

данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х

Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 0 3 4 3 3 1 2 1 3 4 1 1 3 2 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 2 4 3 3 4 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 3 3 3 3 4 2 4 3 4 3 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 2 3 5 3 4 3 3 2 3 1 3 1 1 0 0 5 2 5 5 2 0 2 1 3 1 2 4 3 5 1 2 2 3 4 2 3 3 3 6 4 4 2 3 3 4 1 0 4 3 4 2 0 4 2 1 1 3 3 1 7 2 3 2 3 2 5 2 2 2 0 1 2 3 2 4 3 2 4 5 2 8 4 2 2 2 3 4 3 2 3 2 3 2 3 5 2 3 2 3 1 3 9 3 2 1 5 2 3 2 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 1 3 3

10 4 3 3 4 1 2 1 4 4 1 4 2 3 5 3 2 2 3 4 2 11 3 3 2 3 3 4 3 3 2 1 4 3 3 3 3 5 1 2 5 2 12 3 3 3 4 0 2 2 3 4 3 5 1 4 1 2 4 4 3 3 1 13 4 1 2 3 2 2 1 3 4 4 3 2 2 5 2 3 3 1 3 2 14 3 1 2 5 3 2 2 2 4 1 2 0 1 3 2 3 1 4 4 2 15 1 3 2 2 3 3 2 3 2 0 2 2 3 5 4 4 3 2 6 2 16 3 2 3 4 2 4 2 1 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 5 4 17 3 3 1 4 2 3 3 2 3 1 2 2 2 6 3 3 3 2 3 2 18 0 4 1 5 3 4 2 3 5 2 3 3 4 3 2 2 2 3 6 2 19 3 2 0 3 2 3 1 3 3 3 4 1 3 3 2 3 2 2 3 2

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

16

20 4 3 3 3 0 4 2 2 4 3 4 0 2 4 3 4 3 3 5 3 21 3 3 1 5 2 3 3 4 5 1 3 1 3 4 3 5 1 3 1 3 22 3 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 2 2 3 3 2 1 4 2 23 1 0 3 5 3 2 2 3 3 3 2 4 4 4 4 4 0 3 3 3 24 3 2 4 3 2 2 3 4 1 3 1 3 2 4 2 0 2 4 3 1 25 3 1 1 6 3 2 4 3 5 3 2 1 4 3 1 3 2 3 5 2 26 3 3 3 2 0 3 0 1 4 3 0 2 3 4 1 5 3 2 4 2 27 2 2 1 5 2 2 2 3 5 4 4 2 2 5 3 4 2 2 3 3 28 2 2 4 2 2 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 5 3 29 2 3 2 5 4 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 2 3 3 3 4 30 2 3 2 5 2 2 1 2 3 3 3 1 3 5 3 5 1 2 2 3 31 1 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 5 3 32 1 4 2 6 2 4 3 2 5 3 5 2 2 4 3 2 4 2 3 0 33 4 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 2 3 1 3 1 34 2 3 2 4 2 4 3 3 3 3 2 2 1 3 4 2 0 3 1 3 35 4 3 3 4 2 5 3 2 5 4 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 36 2 2 2 5 4 3 2 1 4 3 0 1 2 4 1 2 3 3 5 1 37 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 4 3 2 38 2 2 2 5 2 3 3 0 3 3 4 2 2 4 1 2 3 1 5 1 39 2 2 4 4 1 3 0 3 6 3 3 4 2 4 2 2 2 3 5 2 40 3 0 3 4 3 2 2 2 3 3 4 2 2 3 3 3 1 4 2 4 41 2 2 1 5 4 3 3 1 5 2 1 1 2 5 0 3 2 1 4 2 42 3 2 3 1 4 3 3 3 3 4 4 3 3 5 3 3 2 1 4 1 43 4 2 2 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 3 4 2 2 2 3 44 1 3 2 3 3 2 1 1 5 2 2 1 2 2 1 4 0 2 5 2 45 1 0 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 4 1 2 2 4 4 46 5 2 3 4 2 4 2 3 5 1 3 3 2 4 3 3 3 3 2 2 47 1 1 2 5 2 5 1 3 6 1 3 0 2 6 1 2 1 3 3 2 48 2 2 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 3 5 2 2 1 3 1 2 49 4 3 1 3 3 3 2 3 5 2 4 1 2 3 3 3 2 4 5 2 50 3 3 1 4 4 2 1 3 5 1 3 2 3 3 2 2 4 3 3 2

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

31 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт В результате опыта возможны с одинако-вой вероятностью n элементарных событий Если событию А соответству-ют m элементарных событий тогда вероятность что произойдет событие А равна

nm)A(P

Для решения задач на классическое определение вероятности приме-няют формулы комбинаторного анализа Наиболее широко распростране-ны формулы для числа размещений с повторениями mm

n nA

размещений (без повторений) )mn(

n)1mn)(1n(nAmn

перестановок mPm

сочетаний )mn(m

nCmn

где n=1∙2∙hellip∙n читается n факториал 0 = 1 Пример Из колоды 36 хорошо перемешанных карт достают три кар-ты Какова вероятность что это а) последовательно дама семерка туз б) дама семерка туз в любой последовательности Решение

а) Достать первую карту можно 36 способами вторую mdash 35 третью 34 способами Всего элементарных событий

42840343536 n Событию А mdash последовательно появляются дама семерка туз соот-

ветствуют 4 дамы 4 семерки и 4 туза всего 64444 m

элементарных события Вероятность что произойдет событие А равна

0015042840

64)A(P

б) Дама семерка туз в любой последовательности означает Р3 = 3 = 1∙2∙3 = 6 несовместных событий B1 дама семерка туз B2 дама туз семерка B3 семерка дама туз B4 семерка туз дама B5 туз дама семерка B6 туз семерка дама Событие B mdash дама семерка туз в любой последовательности равно объе-динению данных попарно несовместных шести событий

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

18

654321 BBBBBBB Вероятность события В равна

0090042840

646)A(P6)B(PBP)B(P6

1iii

6

1i

Подробнее начала вероятности можно изучить по [1] гл1 sectsect 1ndash7 и [4] 11ndash21 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 1ndash9 [3] 806ndash810

32 Геометрическая вероятность

Если элементы пространства элементарных событий Ω несчетны со-бытия имеющие одинаковую меру на Ω равновероятны тогда вероят-ность что произойдет событие А равна

)(meg)A(meg)A(P

где meg(A) mdash мера множества А meg(Ω) mdash мера множества Ω Пример Выручка за день с равной вероятностью принимает значе-

ния от 30 до 60 руб Найти вероятность что за два дня выручка будет не меньше 100 руб Предполагается независимость торговых дней

Решение Обозначим выручку в первый день через Х а во второй через Y Выручка за два дня равна X+Y Требуется найти вероятность что

100YX Пространство элементарных событий представлено на рисунке и представляет собой квадрат 30х30 Площадь квадрата

9003030)(meg Событию 100YX соответствует треугольник АВС

Его площадь 200202021)A(meg Вероятность события А равна

92

900200)A(P

Подробнее геометрическую вероятность можно изучить по [1] гл 1 sect 8 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 26ndash28 35 [3] 818

30

40

50

60

70

30 40 50 60 70

А В

С

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

19

33 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность что событие А не произойдет )A(P1)A(P

Вероятность что в результате опыта произойдут событие А или со-бытие В или события А и В одновременно равна

)BA(P)B(P)A(P)BA(P Вероятность что событие А произойдет при условии что произошло

событие В равна

)B(P)BA(P)B|A(P

Отсюда следует )B(P)B|A(P)BA(P

и )B|A(P1)B|A(P

Пример Покупатель может купить в магазине чай с вероятностью 03 конфеты с вероятностью 06 Если покупается чай то конфеты поку-паются с вероятностью 02 Найти вероятность что покупатель купит хотя бы один товар

Решение Обозначим событие А mdash покупатель купил чай событие В mdash покупатель купил конфеты Искомая вероятность равна

84030206030)A(P)A|B(P)B(P)A(P)AB(P)B(P)A(P)BA(P Подробнее теорему сложения условную вероятность и теорему умножения

можно изучить по [1] гл2 sect1 гл3 sect1 и [4] 22ndash24 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 46 49 56 [3] 822

34 Формула полной вероятности Формула Байеса

Если событие А пересекается с полной группой попарно несовмест-ных событий (их называют гипотезами) Н1 Н2hellip Нn тогда вероятность что событие А произойдет равна

n

1iii )H(P)H|A(P)A(P

Вероятность что подтвердится i-тая гипотеза при условии что про-изошло событие А равна

)A(P)H(P)H|A(P

)A|H(P iii

Пример Банк выдает потребительские кредиты клиентам причем 5 кредитов не возвращаются Решение о выдаче кредита принимается на основе оценки его платежеспособности Система оценки платежеспособ-ности клиента в 90 случаев принимает верное решение (клиент вернет кредит и система устанавливает что клиент платежеспособен) и ошибается в 15 случаев (клиент не вернет кредит а система устанавливает что клиент платежеспособен) Клиенту выдали кредит Определите вероят-

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

20

ность что он его не вернет С какой вероятностью банк не выдаст кредит добросовестному заемщику Решение 1 Обозначим гипотезы Н mdash клиент вернет кредит Н mdash клиент не вернет кредит Определим события А mdash клиенту выдали кре-дит А mdash клиенту не выдали кредит По условию задачи

150)H|A(P90)H|A(P По формуле полной вероятности определим ве-роятность что клиенту выдали кредит

8625005015095090)H(P)H|A(P)H(P)H|A(P)A(P Искомая вероятность что не платежеспособному клиенту выдали

кредит равна

0087086250

050150)A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Вероятность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

69090862501

950)901()A(P1

)H(P))H|A(P1()A(P

)H(P)H|A(P)A|H(P

Таким образом большая часть отказов в кредите (около 70 ) ло-жится на добросовестных заемщиков Решение 2 Рассчитаем матрицу распределения соответствующую данной задаче По условию задачи 5 кредитов не возвращаются ( 050)Н(Р ) и 5 кредитов возвращаются ( 9500501)Н(Р )

Матрица распределения Н Н Σ

А 0855 00075 08625 А 0095 00425 01375 Σ 095 005 1

Система оценки платежеспособности клиента в 90 случаев прини-

мает верное решение 90

)Н(Р)НА(Р)H|A(P

Находим 855095090)H(P)H|А(Р)НА(Р

Система ошибается в 15 случаев

150)Н(Р

)НА(Р)H|A(P

Находим 00750050150)H(P)H|А(Р)НА(Р

Находим вероятность что кредит выдадут Р(А) = 0855+00075 = 08625

и заполняем первую строку таблицы Вторую строку заполним вычитая из третьей строки первую С помощью построенной таблицы найдем вероят-ность что кредит не будет выдан добросовестному заемщику равна

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

21

69090137500950

)A(P)HA(P)A|H(P

Подробнее материал по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно изучить по [1] гл 4 sect 2 3 и [4] 25 26 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 89ndash94 97ndash106 [3] 855 856

35 Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина принимающая счетное множество значений Распределения вероятностей некоторых дискретных случайных величин

гипергеометрическое mn

mnmn

mm

1nmnCCC

)m(P111

1

биномиальное mnmmnn qpC)m(P

геометрическое pq)n(P 1n

Пуассона am

em

a)m(P

Пример Товар выставленный на продажу приобретают в среднем за три торговых дня Найдите вероятность что товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней если вероятность его продажи за день постоянна Решение Определим случайную величину Х mdash число дней продажи товара При постоянной вероятности продажи товара за день и независи-мости торговых дней случайная величина Х подчиняется геометрическому распределению Среднее число дней продажи или математическое ожида-ние случайной величины Х равно

p1

)q1(p

q1qpqqp

nqnpdqqnppnq]X[M

2

1n

1n

1n

n

1n

1n

1n

1n

где p mdash вероятность продажи товара за день q = 1 ndash p mdash вероятность что товар не будет продан По условию задачи М[Х] = 3 = 1р Находим веро-ятность продажи товара за день р = 13 Вероятность что товар будет про-даваться больше 3 рабочих дней

2960278

32q

pq1p1

q1q1p1)qq1(p1

pqqpp1)3(P)2(P)1(P1)3X(P1)3X(P3

333

2

2

Этот же результат можно было получить с помощью биномиального

распределения Товар будет продаваться больше 3-х рабочих дней означа-ет что 3 дня (3 опыта по схеме Бернулли) и 3 раза неуспех (товар не уда-лось продать) Вероятность данного события равна

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

22

278

278

303

32

31C)0(P

30033

Подробнее материал по дискретным случайным величинам а также их распре-делениям можно изучить по [1] гл 6 sect 1ndash8 и [4] 51ndash54 Рекомендуется разобрать ре-шение задач [2] 213 215 218 [3] 891 892

36 Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины F(x)=P(Xltx) Случай-ная величина имеющая непрерывную функцию распределения называется непрерывной Плотности вероятности некоторых непрерывных случайных величин равномерное ]ba[x

ab1)x(f

показательное )0()0[xe)x(f x

нормальное )0()(axe21)x(f 2

2

2)ax(

Пример Среднее время обслуживания покупателя 3 мин Найдите вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 мин если вре-мя обслуживания подчиняется показательному распределению Решение Определим случайную величину Х mdash время обслуживания покупателя Математическое ожидание этой случайной величины равно

1|e1

dxe|xeevdxedvdxduxu

частямпоdxex]X[M

0

x

0

x

0

x

xx0

x

По условию задачи среднее время обслуживания М[Х] = 3 = 1α На-ходим α = 13 Вероятность что покупатель будет обслуживаться больше 3 минут равна

3680e|edxe31)3X(P 1

3

x31

3

x31

Подробнее материал по непрерывным случайным величинам а также их рас-пределениям можно изучить по [1] гл 11 sect 1ndash6 гл 12 sect1ndash5 гл 13 sect 1ndash3 и [4] 61ndash63 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 307 308 322ndash324 328 331 [3] 904

37 Функция распределения случайной величины

Случайной величиной Х называется числовая функция определен-ная на пространстве элементарных событий Ω Функцией распределения случайной величины называется вероятность что случайная величина Х примет значение меньше х

)xX(P)x(F

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

23

Плотностью вероятности случайной величины называется производ-ная от функции распределения

)x(F)x(f Математическое ожидание случайной величины с плотностью веро-

ятности f(x) равно

dx)x(xf]X[M

Дисперсия случайной величины равна ]X[M]X[M]])X[MX[(M]X[D 222

Вероятность

b

a

dx)x(f)a(F)b(F)bXa(P

Пример Задана функция распределения случайной величины Х

50x1

50x0x2arcsin20x0

)x(F

Необходимо найти плотность вероятности математическое ожида-ние и дисперсию данной случайной величины Также требуется опреде-лить вероятность попадания в отрезок [025 1]

Решение Плотность вероятности равна производной от функции распределения Вычисляя производную находим

50x0

50x0x41

40x0

)x(F)x(f2

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

dx)x(xf]X[M

В поставленной задаче интегрируется кусочно-гладкая функция Пределы интегрирования сужаются до интервала в котором плотность ве-роятности не равна нулю Кроме этого в левой окрестности точки 05 плотность вероятности )x(f поэтому интеграл вычисляется как несоб-ственный второго рода Находим

11)50(41lim1|)x41(lim1

)x41(d)x41(lim21dx

x41

x4]X[M

21

20

50

021

20

50

0

221

20

50

02

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

24

Согласно определению дисперсия случайной величины Х равна ]])X[MX[(M]X[D 2

На практике для вычисления дисперсии используют ее свойство по которому

]X[M]X[M]X[D 22 Математическое ожидание квадрата случайной величины Х также

является несобственным интегралом второго рода

50

0

250

0

20

22

50

02

22

dxx41|x41xlim1

x4141v

x41

xdxdv

dxduxuчастямпомИнтегрируе

dxx41

x4]X[M

81|

8t2sin

4tdt)t2cos1(

41dttsin

21

01arccost2

0arccost

анияинтегрировпределыаемПересчитыв

tsintcos1x41x2arccosttdtsin21dxtcosx2

заменуПроизводим

dxx411

2

0

2

0

0

2

2

вн

2250

0

2

Вычислим дисперсию случайной величины Х используя представ-

ленную ранее формулу

02370181]X[M]X[M]X[D

222

Для произвольной случайной величины Х справедливо что вероят-

ность )a(F)b(F)bXa(P

Для непрерывной случайной величины неравенство может быть

строгим или нестрогим с обеих сторон В нашем случае вероятность

32

6212502arcsin21)250(F)1(F)1X250(P

Подробнее материал по функции распределения плотности вероятности слу-чайной величины можно изучить по [1] гл 10 sect 1ndash3 гл 11 sect 1ndash5 и [4] 31ndash42 Реко-мендуется разобрать решение задач [2] 252 297 [3] 861 872

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

25

38 Числовые характеристики случайных величин

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание

величиныслучайноййнепрерывнодляdx)x(xf

величиныслучайнойдискретнойдля)xX(Px

]X[Mi

ii

дисперсия ]])X[MX[(M]X[D 2 среднеквадратичное отклонение ]X[D]X[ )

коэффициент вариации ]X[M]X[]X[V

начальные моменты k-того порядка ]X[M kk

центральные моменты k-того порядка ]])X[MX[(M kk

асимметрия 33A

эксцесс 3E 44

мода mdash наивероятнейшее значение случайной величины медиана mdash значение случайной величины Ме для которого

)MeX(P)MeX(P и ряд других Пример Вычислите коэффициент вариации выручки предприятия за два торговых дня из примера 32 Решение Выручка предприятия за торговый день подчиняется рав-номерному распределению с плотностью вероятности

]ba[xab

1]ba[x0

)x(f

Математическое ожидание выручки за торговый день равно

452

60302

ba2

abab

1|2

xab

1dxab

1x]X[M22b

a

2b

a

Дисперсия выручки за день равна

7512

)3060(12

)ab(2

badxab

1x]X[M]X[M]X[D222b

a

222

Математическое ожидание выручки за два торговых дня равно 904545]Y[M]X[M]YX[M

Дисперсия выручки за два торговых дня при условии независимости случайных величин Х и Y равна

1507575]Y[D]X[D]YX[D Среднеквадратичное отклонение выручки за два торговых дня равно

2512150]YX[D]YX[

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

26

Коэффициент вариации выручки за два торговых дня равен 6131360

902512

][][][

YXMYXYXV

Подробнее материал по числовым характеристикам случайных величин можно изучить по [1] гл 7 sect 1 2 гл 12 sect 1 гл8 sect 1ndash10 и [4] 4142 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 320 321 [3] 876 877

39 Распределение функции от случайной величины

Если )X(Y и функция φ монотонна то плотность вероятности слу-чайной величины Y равна

))y(())y((f)y(f 11XY

где )x(fX mdash плотность вероятности случайной величины Х Пример Количественные продажи товара и соответственно объем его производства подчиняются равномерному распределению

)13090(x0)13090(x0250

)x(fX

Издержки зависят от объема производства товара и равны 300004002)( 2 xxxy

Найдите плотность вероятности издержек предприятия Решение Выделим полный квадрат функции издержек

10000)100x(23000020000)10000x1002x(2y 22 На интервале )13090(x функция издержек не является монотонной

На интервале )10090(x она монотонно убывает а на интервале )130100(x монотонно возрастает Вычислим значения функции издержек

на границах интервалов монотонности х = 90 y = 2∙(90 ndash 100)2 + 10000 = 10200 х = 100 у = 10000 х = 130 у = 13200 Для каждого интервала монотонности определим обратную функ-

цию которая связывает объем продаж с издержками

)1320010000(y2

10000y100

)1020010000(y2

10000y100)y(x 1

Определим модуль производной обратной функции

)1320010000(y)10000y(22

1

)1020010000(y)10000y(22

1

)y(x 1

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

27

Вычислим плотность вероятности издержек предприятия

)1320010000(y)10000y(22

10250

)1020010000(y)10000y(22

10250

))y(())y((f)y(f 11XY

Интервал )1020010000( пересекается с интервалом )1320010000( Объе-диним пересекающиеся части и сложим плотности вероятности на пересе-чении Получим

)1320010200(y

)10000y(2210250

]1020010000(y)10000y(2

10250

)y(fY

График плотности вероятности издержек fY(y)

0

00005

0001

00015

0002

00025

0003

10000 11000 12000 13000 14000

Подробнее материал по распределению функции от случайной величины можно изучить по [1] гл 12 sect 10 и [4] 91 92 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 375 376 377 380

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

28

310 Математическая статистика

Пример В таблице представлены наблюдения случайной величины Х

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 0 N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 1

Для данных наблюдений 1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и

постройте многоугольник ее распределения 2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случай-

ной величины Х Определите для них 95 доверительные интервалы 3) Считая что случайная величина Х подчиняется биномиальному

распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) рассчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения

4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 005 проверьте гипо-тезу о биномиальном распределении случайной величины Х Решение

1) Составим таблицу частот случайной величины Х Для этого опре-делим диапазон ее значений Наименьшее значение Х равно 0 наибольшее значение равно 3 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 0 полу-чим n1 = 11 Подсчитаем количество наблюдений Х равных 1 получим n2 = 22 Аналогично заполним остальные столбцы второй строки таблицы

Выборочное распределение хi 0 1 2 3 Σ ni 11 22 5 2 40

Nnp i

i 0275 055 0125 005 1

pi 0319 0444 0206 0032 1

i

2ii

p)pp( 00061 00255 00316 00105 00737

Рассчитаем частости (относительные частоты) случайной величины

Х Для этого разделим частоты на число наблюдений N Получим выбо-рочное распределение которое представлено в третьей строке таблицы В соответствии с полученным выборочным распределением построим мно-гоугольник распределения случайной величины Х

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

29

0

01

02

03

04

05

06

0 1 2 3 4

выборочное распределение теоретическое распределение

2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений

N

1iiX

N1х

С помощью таблицы частот можно ускорить вычисления и оценить математическое ожидание Х по формуле

9500)2352221110(401nx

N1х

n

1iii

где n mdash число столбцов в таблице частот Выборочную дисперсию слу-чайной величины Х также вычислим с помощью таблицы

598095051xnxN1)xx(

N1S 22

n

1ii

2i

n

1i

2i

2x

Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна

6130S1N

N 2x

2x

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид

tN

x]X[MtN

x xx

где t mdash критическая точка распределения Стьюдента По условию задачи до-верительная вероятность равна 095 уровень значимости равен 1 ndash 095 = 005 Число степеней свободы N ndash 1 = 39 По таблице критических точек распре-деления Стьюдента (Приложение 3) находим t = 2023 В результате по-лучим доверительный интервал

2001]X[M7000

02324061309500]X[M0232

4061309500

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

30

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х име-ет вид

2н

2x

2в

2x SN

]X[DSN

где 2н и 2

в соответственно нижняя и верхняя критические точки распреде-ления 2 При заданной доверительной вероятности 095 определяем ве-роятность 1 ndash 095 = 005 Делим ее пополам 0052 = 0025 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 0025 и числом степеней свободы 40 ndash 1 = 39 находим 2

в = 5812 Затем находим уровень значимости для нижнего критического значения 1 ndash 0025 = 0975 После этого определяем 2

н = 2365 Подставляем най-денные значения в формулу для доверительного интервала Получим

0111]X[D41206523598040]X[D

1258598040

3) Допускаем что случайная величина Х подчиняется биномиально-

му распределению Чтобы рассчитать теоретическое распределение необ-ходимо оценить его параметры По условию задачи число наблюдений равно наибольшему значению случайной величины Х В таблице исходных данных находим что наибольшее значение Х равно 3 Таким образом чис-ло наблюдений n = 3 Оценим вероятность успеха Математическое ожида-ние случайной величины которая подчиняется биномиальному распреде-лению равно

M[X] = np где р mdash вероятность успеха Оценка математического ожидания 9500х Оценка вероятности успеха равна

317039500

nxр

В соответствии с формулой биномиального распределения теорети-ческие значения вероятности равны

iii xnxxni )p1(pCp

Результаты расчетов показаны в 4-й строке таблицы выборочного распределения В соответствии с результатами расчетов на рисунке по-строен многоугольник теоретического распределения

4) Для проверки гипотезы о распределении случайной величины по критерию Пирсона необходимо рассчитать случайную величину

94820737040p

)pp(Nn

1i i

2ii2

По критерию Пирсона если выборочное (эмпирическое) распределе-ние соответствует теоретическому тогда данная случайная величина под-

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

31

чиняется распределению 2 с nndashkndash1 числом степеней свободы где n mdash число значений случайной величины а k mdash число параметров теоретиче-ского распределения которые определялись с помощью данных наблюде-ний В нашем случае n = 4 k = 1 так как с помощью данных наблюдений определялся один параметр распределения mdash вероятность успеха Таким образом число степеней свободы распределения 2 равно 4 ndash 1 ndash 1 = 2 По таблице критических точек распределения χ2 (Приложение 2) с уровнем значимости 005 и числом степеней свободы 2 находим 2

кр = 599 По-скольку 2948 lt 599 то с уровнем значимости 005 принимается гипотеза о биномиальном распределении случайной величины Х

Подробнее материал по математической статистике можно изучить по [1] гл 15 sect 1ndash8 гл 16 sect 2 8ndash10 13ndash16 гл 19 sect 1ndash6 23 24 и [4] 111ndash119 Рекомендуется разобрать решение задач [2] 457 321 509 636 [3] 948

4 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

ЕНФ01 Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность и условия применимости теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Вероятностное пространство Случайные величины и способы их описа-ния Модели законов распределения вероятностей наибо-лее употребляемые в социально-экономических приложе-ниях Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел и его следствие Особая роль нор-мального распределения центральная предельная теорема Цепи Маркова и их использование в моделировании соци-ально-экономических процессов Статистическое оценива-ние и проверка гипотез статистические методы обработки экспериментальных данных

5 ПРОГРАММА КУРСА

1 Опыт Пространство элементарных событий Случайные события Алгебра событий

2 Частота событий Статистическое определение вероятности Клас-сическое определение вероятности Геометрические вероятности Аксиомы вероятности Следствия аксиом Теорема сложения веро-ятностей

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

32

3 Условная вероятность Вероятность произведения событий Незави-симость событий Полная группа событий Формула полной веро-ятности Формула Байеса

4 Последовательность независимых испытаний Схема Бернулли Формула Бернулли Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуас-сона Полиномиальное распределение

5 Случайные величины Распределение вероятностей дискретной случайной величины Ряд распределения Многоугольник распреде-ления Функция распределения и ее свойства Плотность распреде-ления непрерывной случайной величины и ее свойства

6 Примеры распределений дискретных случайных величин гипер-геометрическое биномиальное геометрическое Пуассона Приме-ры распределений непрерывных случайных величин равномерное нормальное показательное

7 Многомерные случайные величины Функция распределения и плотность распределения многомерной случайной величины Ус-ловные распределения Независимость случайных величин Распре-деление суммы двух случайных величин

8 Распределение функций от случайных величин 9 Числовые характеристики случайных величин Математическое

ожидание и дисперсия случайной величины Свойства математиче-ского ожидания и дисперсии Начальные и центральные моменты случайной величины Ковариация двух случайных величин Коэф-фициент корреляции двух случайных величин и его свойства

10 Закон больших чисел Неравенство Чебышева Теорема Чебышева Теорема Бернулли Теорема Хинчина

11 Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 12 Предельные теоремы теории вероятностей Центральная предельная

теорема для сумм одинаково распределенных слагаемых Теорема Ляпунова

13 Предмет математической статистики Обработка данных наблюде-ний Первичная статистическая совокупность Статистический ряд Гистограмма Статистическая функция распределения Статистиче-ские начальные и центральные моменты

14 Точечные оценки неизвестных параметров распределений Состоя-тельность несмещенность и эффективность точечных оценок ме-тод моментов и метод наибольшего правдоподобия для получения точечных оценок

15 Интервальные оценки неизвестных параметров распределений 16 Статистическая проверка гипотез о параметрах распределений и о

распределениях Критерий согласия Пирсона

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

33

6 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1 Дайте определение вероятностного пространства 2 Сформулируйте аксиомы вероятности 3 Сформулируйте и докажите следствия аксиом вероятности Чему рав-

на вероятность объединения (суммы) событий 4 Дайте классическое определение вероятности 5 Дайте определение геометрической вероятности 6 Дайте определение условной вероятности Какие события называются

независимыми Чему равна вероятность пересечения (произведения) событий

7 Выведите формулу полной вероятности 8 Выведите формулу Байеса 9 Дайте определение последовательности независимых испытаний

опишите схему Бернулли и выведите формулу Бернулли 10 Сформулируйте локальную предельную теорему Муавра-Лапласа до-

кажите теорему Пуассона Когда применяются эти теоремы 11 Дайте определение случайной величины Приведите примеры 12 Что называется распределением вероятности случайной величины 13 Покажите ряд распределения и многоугольник распределения случай-

ной величины 14 Дайте определение функции распределения случайной величины и

докажите ее свойства 15 Дайте определение плотности вероятности случайной величины и до-

кажите ее свойства 16 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-

пределениям гипергеометрическому биномиальному геометриче-скому и распределению Пуассона

17 Приведите примеры случайных величин которые подчиняются рас-пределениям равномерному показательному и нормальному

18 Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал если она задана своей функцией распределения плотностью распределения

19 Как найти распределение функции от дискретной и непрерывной слу-чайной величины

20 Как найти вероятность попадания пары случайных величин в задан-ный прямоугольник

21 Какие две случайные величины называются независимыми Что пред-ставляет собой распределение суммы двух независимых случайных величин

22 Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства

23 Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства Что называется среднеквадратичным отклонением случай-ной величины

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

34

24 Что называется ковариацей двух случайных величин Что называется коэффициентом корреляции Докажите его свойства

25 Докажите неравенство и теорему Чебышева 26 Что называется характеристической функцией случайной величины

Докажите свойства характеристической функции 27 Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова 28 Как производится группировка случайной величины Что называется

гистограммой Как с помощью гистограммы построить статистиче-скую функцию распределения

29 Какие вы знаете точечные оценки неизвестных параметров распреде-лений Дайте определение несмещенной состоятельной и эффектив-ной оценки

30 Оцените параметры нормального и биномиального распределений ме-тодом наибольшего правдоподобия

31 Как найдите доверительный интервал для математического ожидания случайной величины если число наблюдений случайной величины считается большим

32 Как проверить гипотезу о теоретическом распределении случайной величины Как находится число степеней свободы распределения 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии приводятся контрольные задания и методические

указания к выполнению работ по теории вероятностей и математической статистике Опыт и традиции преподавания предмета на кафедре высшей математики определяют то что основное внимание и большая часть излагаемого материала посвящаются теории вероятностей По математической статистике предлагается только одно задание Отчасти это определяется отсутствием материальной базы Как правило занятия по предмету проводятся в обычной аудитории не оборудованной техническими средствами Для преподавания математической статистики в полном объеме требуется проведение занятий в компьютерном классе

Авторами данного пособия планируется выпуск методических указаний и заданий по математической статистике где предмет и основные задачи математической статистики будут представлены более полно

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

35

ЛИТЕРАТУРА

1 Гмурман В Е Теория вероятностей и математическая статистика М

Высшая школа 2003 479 с 2 Гмурман В Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике М Высшая школа 2008 416 с 3 Данко П Е Попов А Г Кожевникова Т Я Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах Учеб пособие для вузов Ч 2 М laquoОНИКС 21 векraquo Мир и образование 2003 416 с

4 Вентцель Е С Овчаров Л А Теория вероятностей и ее инженерные приложения М Высшая школа 2010 480 с

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

36

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

х

0

2t dte21)х(Ф

2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

000 0000 030 0118 060 0226 090 0316 120 0385 150 0433 180 0464 001 0004 031 0122 061 0229 091 0319 121 0387 151 0434 181 0465 002 0008 032 0126 062 0232 092 0321 122 0389 152 0436 182 0466 003 0012 033 0129 063 0236 093 0324 123 0391 153 0437 183 0466 004 0016 034 0133 064 0239 094 0326 124 0393 154 0438 184 0467 005 0020 035 0137 065 0242 095 0329 125 0394 155 0439 185 0468 006 0024 036 0141 066 0245 096 0331 126 0396 156 0441 186 0469 007 0028 037 0144 067 0249 097 0334 127 0398 157 0442 187 0469 008 0032 038 0148 068 0252 098 0336 128 0400 158 0443 188 0470 009 0036 039 0152 069 0255 099 0339 129 0401 159 0444 189 0471 010 0040 040 0155 070 0258 100 0341 130 0403 160 0445 190 0471 011 0044 041 0159 071 0261 101 0344 131 0405 161 0446 191 0472 012 0048 042 0163 072 0264 102 0346 132 0407 162 0447 192 0473 013 0052 043 0166 073 0267 103 0348 133 0408 163 0448 193 0473 014 0056 044 0170 074 0270 104 0351 134 0410 164 0449 194 0474 015 0060 045 0174 075 0273 105 0353 135 0411 165 0451 195 0474 016 0064 046 0177 076 0276 106 0355 136 0413 166 0452 196 0475 017 0067 047 0181 077 0279 107 0358 137 0415 167 0453 197 0476 018 0071 048 0184 078 0282 108 0360 138 0416 168 0454 198 0476 019 0075 049 0188 079 0285 109 0362 139 0418 169 0454 199 0477 020 0079 050 0191 080 0288 110 0364 140 0419 170 0455 200 0477 021 0083 051 0195 081 0291 111 0367 141 0421 171 0456 210 0482 022 0087 052 0198 082 0294 112 0369 142 0422 172 0457 220 0486 023 0091 053 0202 083 0297 113 0371 143 0424 173 0458 230 0489 024 0095 054 0205 084 0300 114 0373 144 0425 174 0459 240 0492 025 0099 055 0209 085 0302 115 0375 145 0426 175 0460 250 0494 026 0103 056 0212 086 0305 116 0377 146 0428 176 0461 260 0495 027 0106 057 0216 087 0308 117 0379 147 0429 177 0462 270 0497 028 0110 058 0219 088 0311 118 0381 148 0431 178 0462 280 0497 029 0114 059 0222 089 0313 119 0383 149 0432 179 0463 290 0498

Ф(ndashх) = ndash Ф(х) Ф( ) = 05

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

37

Приложение 2

Критические точки распределения 2

Уровень значимости Уровень значимости Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

Число степеней свободы

k 0025 005 095 0975

1 502 384 000 000 26 4192 3889 1538 1384 2 738 599 010 005 27 4319 4011 1615 1457 3 935 781 035 022 28 4446 4134 1693 1531 4 1114 949 071 048 29 4572 4256 1771 1605 5 1283 1107 115 083 30 4698 4377 1849 1679 6 1445 1259 164 124 31 4823 4499 1928 1754 7 1601 1407 217 169 32 4948 4619 2007 1829 8 1753 1551 273 218 33 5073 4740 2087 1905 9 1902 1692 333 270 34 5197 4860 2166 1981

10 2048 1831 394 325 35 5320 4980 2247 2057 11 2192 1968 457 382 36 5444 5100 2327 2134 12 2334 2103 523 440 37 5567 5219 2407 2211 13 2474 2236 589 501 38 5690 5338 2488 2288 14 2612 2368 657 563 39 5812 5457 2570 2365 15 2749 2500 726 626 40 5934 5576 2651 2443 16 2885 2630 796 691 41 6056 5694 2733 2521 17 3019 2759 867 756 42 6178 5812 2814 2600 18 3153 2887 939 823 43 6299 5930 2896 2679 19 3285 3014 1012 891 44 6420 6048 2979 2757 20 3417 3141 1085 959 45 6541 6166 3061 2837 21 3548 3267 1159 1028 46 6662 6283 3144 2916 22 3678 3392 1234 1098 47 6782 6400 3227 2996 23 3808 3517 1309 1169 48 6902 6517 3310 3075 24 3936 3642 1385 1240 49 7022 6634 3393 3155 25 4065 3765 1461 1312 50 7142 6750 3476 3236

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

38

Приложение 3

Критические точки распределения Стьюдента

Уровень значимости (двусторонний)

Уровень значимости (двусторонний)

Число степеней свободы

k 01 005 001

Число степеней свободы

k 01 005 001

1 6314 12706 63656 26 1706 2056 2779 2 2920 4303 9925 27 1703 2052 2771 3 2353 3182 5841 28 1701 2048 2763 4 2132 2776 4604 29 1699 2045 2756 5 2015 2571 4032 30 1697 2042 2750 6 1943 2447 3707 31 1696 2040 2744 7 1895 2365 3499 32 1694 2037 2738 8 1860 2306 3355 33 1692 2035 2733 9 1833 2262 3250 34 1691 2032 2728

10 1812 2228 3169 35 1690 2030 2724 11 1796 2201 3106 36 1688 2028 2719 12 1782 2179 3055 37 1687 2026 2715 13 1771 2160 3012 38 1686 2024 2712 14 1761 2145 2977 39 1685 2023 2708 15 1753 2131 2947 40 1684 2021 2704 16 1746 2120 2921 41 1683 2020 2701 17 1740 2110 2898 42 1682 2018 2698 18 1734 2101 2878 43 1681 2017 2695 19 1729 2093 2861 44 1680 2015 2692 20 1725 2086 2845 45 1679 2014 2690 21 1721 2080 2831 46 1679 2013 2687 22 1717 2074 2819 47 1678 2012 2685 23 1714 2069 2807 48 1677 2011 2682 24 1711 2064 2797 49 1677 2010 2680 25 1708 2060 2787 50 1676 2009 2678

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

39

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

40

Учебное издание

Астахова Ина Сергеевна Кошмак Виктор Константинович

Лисенков Андрей Викторович

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

Технический редактор В К Кошмак Компьютерная верстка В К Кошмак

Корректор С Н Емельянова _______________________________________________________

Подписано в печать 09032016 Формат 60times9016

Гарнитура Times New Roman Усл п л 25 Тираж 100 экз Заказ 5175

Изготовлено на Versant 2100

Адрес издательства

Россия 180000 Псков ул Л Толстого 4а корп 3а Издательство Псковского государственного университета

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница

9 785911 164454

ISBN 978-5-91116-445-4

• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница
• Пустая страница