本 章 总 结
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本 章 总 结. 一 、主要内容. 平面点集 和区域. 多元函数概念. 多元函数 的极限. 极 限 运 算. 多元连续函数 的性质. 多元函数 连续的概念. 全微分 概念. 方向导数. 全微分 的应用. 复合函数 求导法则. 高阶偏导数. 偏导数 概念. 全微分形式 的不变性. 隐函数 求导法则. 多元函数的极值. 微分法在 几何上的应用. 1 、区域. ( 1 )邻域. ( 2 )区域. 连通的开集称为区域或开区域.. ( 3 )聚点. ( 4 ) n 维空间. 2 、多元函数概念. 定义. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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本 章 总 结
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平面点集和区域
平面点集和区域
多元函数的极限
多元函数的极限
多元函数连续的概念多元函数
连续的概念
极 限 运 算极 限 运 算
多元连续函数的性质
多元连续函数的性质
多元函数概念多元函数概念
一、主要内容
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全微分的应用全微分的应用
高阶偏导数高阶偏导数
隐函数求导法则隐函数求导法则
复合函数求导法则复合函数求导法则
全微分形式的不变性
全微分形式的不变性
微分法在几何上的应用微分法在
几何上的应用
方向导数方向导数
多元函数的极值多元函数的极值
全微分概念
全微分概念
偏导数概念
偏导数概念
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1 、区域
设 ),( 000 yxP 是xoy平面上的一个点,是某一正数,与点 ),( 000 yxP 距离小于的点 ),( yxP的全体,称为点 0P的邻域,记为 ),( 0 PU ,
( 1 )邻域
),( 0 PU || 0PPP
.)()(|),( 20
20 yyxxyx
0P
连通的开集称为区域或开区域.( 2 )区域
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( 3 )聚点 设 E是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点,如果点 P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集 E,则称 P为 E 的聚点.
( 4 ) n 维空间 设n为取定的一个自然数,我们称n元数组
),,,(21 nxxx的全体为n维空间,而每个n元数组),,,(21 nxxx称为n维空间中的一个点,数ix称为该点的第i个坐标.
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设 D是平面上的一个点集,如果对于每个点 DyxP ).( ,变量 z按照一定的法则总有确定的值和它对应,则称 z是变量 yx , 的二元函数,记为 ),( yxfz (或记为 )(Pfz ) .
2 、多元函数概念
定义
当2n时,n元函数统称为多元函数.
类似地可定义三元及三元以上函数.
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定 义 设 函 数 ),( yxfz 的 定 义 域 为 ,D ),( 000 yxP
是 其 聚 点 , 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 , 总 存 在正 数 , 使 得 对 于 适 合 不 等 式
20
200 )()(||0 yyxxPP 的 一 切
点 , 都 有 |),(| Ayxf 成 立 , 则 称 A 为 函 数),( yxfz 当 0xx , 0yy 时 的 极 限 ,
记 为 Ayxfyyxx
),(lim0
0
( 或 )0(),( Ayxf 这 里 || 0PP ) .
3 、多元函数的极限
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说明:( 1 )定义中 的方式是任意的;0PP
( 2 )二元函数的极限也叫二重极限 );,(lim0
0
yxfyyxx
( 3 )二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
4 、极限的运算
).0()()().3(
;)()().2(;)()().1(
,)(,)(0
BBAPgPf
BAPgPfBAPgPf
BPfAPfPP 则时,设
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5 、多元函数的连续性
定义 设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是
其聚点且DP0,如果 )()(lim00
PfPfPP
则称n
元函数)(Pf在点0P处连续.
设0P是函数 )(Pf 的定义域的聚点,如果)(Pf 在点0P处不连续,则称0P是函数 )(Pf 的间断点.
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在有界闭区域 D 上的多元连续函数,在 D上至少取得它的最大值和最小值各一次.
在有界闭区域 D 上的多元连续函数,如果在 D 上取得两个不同的函数值,则它在 D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次.
( 1 )最大值和最小值定理
( 2 )介值定理
6 、多元连续函数的性质
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定义 设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某一邻域内有定义,当y固定在0y而x在0x处有增量x时,相应地函数有增量
),(),( 0000 yxfyxxf ,
如果x
yxfyxxfx
),(),(lim 0000
0存在,则称
此极限为函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 处对x的偏导数,记为
7 、偏导数概念
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同理可定义函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 处对 y的偏导数, 为
yyxfyyxf
y
),(),(lim 0000
0
记为0
0yyxxy
z
,
0
0yyxxy
f
,
0
0yyxxyz
或 ),( 00 yxf y .
0
0yyxxx
z
,
0
0yyxxx
f
,
0
0yyxxxz
或 ),( 00 yxfx .
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如果函数 ),( yxfz 在区域D内任一点),( yx 处对 x的偏导数都存在,那么这个偏导数
就是 x、 y的函数,它就称为函数 ),( yxfz 对自变量 x的偏导数,
记作xz
,
xf
, xz 或 ),( yxf x .
同理可以定义函数 ),( yxfz 对自变量y的偏导
数,记作yz
,
yf, yz或 ),( yxfy .
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8、高阶偏导数
),,(2
2
yxfxz
xz
x xx
),,(2
2
yxfyz
yz
y yy
),,(2
yxfyxz
xz
y xy
).,(2
yxfxyz
yz
x yx
函数 ),( yxfz 的二阶偏导数为
纯偏导
混合偏导定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 .
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如 果 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 的 全 增 量),(),( yxfyyxxfz 可 以 表 示 为
)( oyBxAz , 其 中 A , B 不 依 赖 于yx , 而 仅 与 yx , 有 关 , 22 )()( yx ,
则 称 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 可 微 分 ,yBxA 称 为 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 的
全 微 分 , 记 为 dz , 即 dz = yBxA .
9、全微分概念
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函数可微
函数连续
偏导数连续
函数可导
多元函数连续、可导、可微的关系
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10 、全微分的应用
,),(),( yyxfxyxfdzZ yx
.),(),(),(
),(
yyxfxyxfyxf
yyxxf
yx
有很小时当 ,, yx
主要方面 : 近似计算与误差估计 .
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11 、复合函数求导法则
定理 如果函数 )( tu 及 )( tv 都在点 t 可导,函数 ),( vufz 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数,则复合函数 )](),([ ttfz 在对应点 t 可导,且其导数可用下列公式计算:
dtdv
vz
dtdu
uz
dtdz
.
以上公式中的导数 称为全导数全导数 ..dtdz
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如 果 ),( yxu 及 ),( yxv 都 在 点 ),( yx
具 有 对 x 和 y 的 偏 导 数 , 且 函 数 ),( vufz 在 对 应
点 ),( vu 具 有 连 续 偏 导 数 , 则 复 合 函 数
)],(),,([ yxyxfz 在 对 应 点 ),( yx 的 两 个 偏
导 数 存 在 , 且 可 用 下 列 公 式 计 算
xv
vz
xu
uz
xz
,
yv
vz
yu
uz
yz
.
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12 、全微分形式不变性
无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数,它的全微分形式是一样的 .
z vu、 vu、
dvvz
duuz
dz
.
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0),()1( yxF
隐函数存在定理1 设函数 ),( yxF 在点 ),( 00 yxP 的某一邻域内具有连续的偏导数,且 0),( 00 yxF ,
0),( 00 yxFy ,则方程 0),( yxF 在点 ),( 00 yxP 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 )(xfy ,它满足条件 )( 00 xfy ,并
有 y
x
FF
dxdy
.隐函数的求导公式
13 、隐函数的求导法则
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隐函数存在定理2 设函数 ),,( zyxF 在点 ,( 0xP), 00 zy 的某一邻域内有连续的偏导数,且 ,( 0xF
0), 00 zy , 0),,( 000 zyxFz ,则方程 ,,( yxF0) z 在点 ),,( 000 zyxP 的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),( yxfz ,它满足条件 ),( 000 yxfz ,
并有 z
x
FF
xz
, z
y
F
F
yz
.
0),,()2( zyxF
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0),,,(
0),,,()3(
vuyxG
vuyxF
隐函数存在定理 3 设 ),,,( vuyxF 、 ),,,( vuyxG 在点 ),,,( 0000 vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数,且 0),,,( 0000 vuyxF , ),,,( 0000 vuyxG
0 ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比式)
vG
uG
vF
uF
vuGF
J
),(),(
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在点 ),,,( 0000 vuyxP 不等于零,则方程组 0),,,( vuyxF 、 0),,,( vuyxG在点 ),,,( 0000 vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu ,
),( yxvv ,它们满足条件 ),( 000 yxuu , vv 0
),( 00 yx ,并有
,),(),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FFGG
FF
vxGF
Jxu
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vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xuGF
Jxv
),(),(1
,),(),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vyGF
Jyu
.),(),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yuGF
Jyv
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14 、微分法在几何上的应用
切线方程为 .)()()( 0
0
0
0
0
0
tzz
tyy
txx
法平面方程为
.0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
(1) 空间曲线的切线与法平面
).(),(),(: tztytx
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( 2 ) 曲面的切平面与法线
.0),,(: zyxF
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
法线方程为
.),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxFzz
zyxFyy
zyxFxx
zyx
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15 、方向导数
.),(),(
lim0
yxfyyxxflf
的方向导数.沿方向则称这极限为函数在点在,时,如果此比的极限存趋于沿着当
之比值,两点间的距离
与函数的增量定义
lP
PlP
yxPP
yxfyyxxf
22 )()(
),(),(
记为
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定理如果函数 ),( yxfz 在点 ),( yxP 是可微分的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都
存在,且有 sincosyf
xf
lf
,
其中为x轴到方向L的转角.
.),,(),,(
lim0
zyxfzzyyxxflf
三元函数方向导数的定义
( 其中 222 )()()( zyx )
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定义 设函数 ),( yxfz 在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点 DyxP ),( ,
都可定出一个向量 jyf
ixf
,这向量称为函数
),( yxfz 在点 ),( yxP 的梯度,记为
),( yxgradf jyf
ixf
.
梯度的概念
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函 数 在 某 点 的 梯 度 是 这 样 一 个 向 量 , 它 的 方向 与 取 得 最 大 方 向 导 数 的 方 向 一 致 ,而 它 的 模 为 方向 导 数 的 最 大 值 . 梯 度 的 模 为
22
|),(|
yf
xf
yxgradf .
梯度与方向导数的关系
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16 、多元函数的极值
设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某邻域内有定义,对于该邻域内异于 ),( 00 yx 的点 ),( yx :若满足不等式 ),(),( 00 yxfyxf ,则称函数在 ),( 00 yx 有 极 大 值 ; 若 满 足 不 等 式
),(),( 00 yxfyxf ,则称函数在 ),( 00 yx 有极小值;
定义
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
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定 理 1( 必 要 条 件 )
设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 具 有 偏 导 数 , 且
在 点 ),( 00 yx 处 有 极 值 , 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必
然 为 零 : 0),( 00 yxf x , 0),( 00 yxf y .
多元函数取得极值的条件
定义 一阶偏导数同时为零的点,均称为多元函数的驻点 .
极值点注意 驻点
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定理2(充分条件)设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又 0),( 00 yxfx , 0),( 00 yxfy , 令
Ayxfxx ),( 00 , Byxfxy ),( 00 , Cyxfyy ),( 00 ,
则 ),( yxf 在 点 ),( 00 yx 处 是 否 取 得 极 值 的 条 件 如 下 :
( 1) 02 BAC 时 有 极 值 ,
当 0A 时 有 极 大 值 , 当 0A 时 有 极 小 值 ;
( 2) 02 BAC 时 没 有 极 值 ;
( 3) 02 BAC 时 可 能 有 极 值 .
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求函数 ),( yxfz 极值的一般步骤:
第一步 解方程组 ,0),( yxf x 0),( yxf y
求出实数解,得驻点.
第二步 对于每一个驻点),( 00yx,
求出二阶偏导数的值 CBA 、、 .
第三步 定出 2BAC 的符号,再判定是否是极值.
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拉格朗日乘数法 要找函数 ),( yxfz 在条件 0),( yx 下的可能极值点,先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF ,其中为某一常数,可由
.0),(
,0),(),(
,0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
解出 ,, yx ,其中 yx , 就是可能的极值点的坐标 .
条件极值:对自变量有附加条件的极值.
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三、典型例题例 1 [ 解 ].
)(lim
22
00 yx
xxy
yx
求极限
例 2
.,,
)(),,(
2
2
2
3
yxz
yz
yz
fxy
xyfxz
求
,具有二阶连续偏导数设
[ 解 ]
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例 2
解
.,,
)(),,(
2
2
2
3
yxz
yz
yz
fxy
xyfxz
求
,具有二阶连续偏导数设
)1
( 21
3
xfxfx
yz
,2
2
1
4 fxfx
)1
()1
( 2221
2
1211
4
2
2
xfxfx
xfxfx
yz
,2 2212
3
11
5 fxfxfx
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xyz
yxz
22
)]([
2)]([4
22221
2
221211
4
1
3
xy
fyfx
xfxy
fyfxfx
)( 2
2
1
4 fxfxx
.24 2211
4
21
3 fyfyxfxfx
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例 3
解
.,0),(
,sin,0),,(),,,( 2
dxdu
zf
xyzexzyxfu y
求且,具有一阶连续偏导数
设
,dxdz
zf
dxdy
yf
xf
dxdu
,cos xdxdy
显然
,dxdz求 得的导数两边求对 ,0),,( 2 xzex y
,02 321 dxdz
dxdy
ex y
![Page 41: 本 章 总 结](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061418/56812d15550346895d91fc8b/html5/thumbnails/41.jpg)
于是可得 , ),cos2(1
2
sin
1
3
xexdxdz x
.)cos2(1
cos 2
sin
1
3 zf
xexyf
xxf
dxdu x
故
例 4
解
.,0,0,
.0),(
,0),,(
),,(
)(
dxdu
zh
yg
zxh
zyxg
yxfu
xu
试求且所确定
由方程组设函数
的函数.都看成是以及将方程组的变元 xzyu ,
![Page 42: 本 章 总 结](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061418/56812d15550346895d91fc8b/html5/thumbnails/42.jpg)
得求导方程组各方程两边对 ,x
)3(.0
)2(,0
)1(,
dxdz
hh
dxdz
gdxdy
gg
dxdy
ffdxdu
zx
zyx
yx
,)3(z
x
hh
dxdz
得由 ,)2(y
x
zy
xz
gg
hg
hg
dxdy
得代入
.)1(zy
xzy
y
xy
x hg
hgf
g
gff
dxdu
得代入
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解?
,,
),,(
0
0002
2
2
2
2
2
模此方向导数等于梯度的
具有什么关系时的方向导数,问的向径
处沿点在点求
cbar
zyxMcz
by
ax
u 例 5
,,,, 2
0
2
0
2
00000 0 zyxrzyxr
.cos,cos,cos0
0
0
0
0
0
rz
ry
rx
处的方向导数为在点M
coscoscos0
MMMM zu
yu
xu
ru
![Page 44: 本 章 总 结](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061418/56812d15550346895d91fc8b/html5/thumbnails/44.jpg)
0
020
0
02
0
0
02
0 222rz
cz
ry
by
rx
ax
)(2
2
2
2
2
2
2
0
000
c
z
b
y
a
x
r
.),,(22
0
2
0
2000
0 zyx
zyxu
处的梯度为在点M
kzu
jyu
ixu
gradu MMMM
,222
20
20
20 k
cz
jby
iax
![Page 45: 本 章 总 结](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061418/56812d15550346895d91fc8b/html5/thumbnails/45.jpg)
,24
2
4
2
4
2
000
c
z
b
y
a
xgradu
M
,时当 cba ,2 222
2 000zyx
agradu
M
,2)(
22
0
2
0
2
22
0
2
0
2
222
2
0
0
0
000
zyxazyx
zyxa
ru
M
,0
MM graduru
.,,, 模此方向导数等于梯度的相等时故当 cba
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之间的最短距离.与平面求旋转抛物面 2222 zyxyxz例 6
解
.226
1
,022
,),,( 22
zyxd
dzyxP
yxzzyxP
的距离为到平面则上任一点为抛物面设
分析 :
最小.即
且使满足
,使得本题变为求一点
))22(61
(
226
10
,,),,(
22
22
zyxd
zyxdzyx
zyxzyxP
![Page 47: 本 章 总 结](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061418/56812d15550346895d91fc8b/html5/thumbnails/47.jpg)
),()22(61
),,( 222 yxzzyxzyxF 令
)4(,
)3(,0)2)(22(31
)2(,02)22(31
)1(,02)22(31
22 yxz
zzyxF
yzyxF
xzyxF
z
y
x
.81
,41
,41
zyx解此方程组得
得
![Page 48: 本 章 总 结](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061418/56812d15550346895d91fc8b/html5/thumbnails/48.jpg)
.64
72
41
41
41
61
min d
),81
,41
,41
(即得唯一驻点
处取得最小值.驻点,故必在
一定存在,且有唯一根据题意距离的最小值
)81
,41
,41
(