УНИВЕРЗИТЕТ “Гоце Делчев”Факлутет за Информатика – Кавадарци

Семинарска работа по Математика

Тема:Матрици и операции со матрици

1

Содржина:

Матрици и операции со матрици

Краток Извадок : Во оваа семинарска работа разгледуваме матрици, видови на матрици и операции со матрици. Во математиката под поимот матрица се подразбира правоаголна шема составена од m x n елементи. Хоризонталните низи се нарекуваат редици на матрицата, а вертикалните – колони. Над Матриците се извршуваат операциите собирање и одземање и под одредени услови множење. Делење на матрици не се извршува.

Клучни зборови: правоаголна шема, збир и разлика, собирање, инверзна .

Тематски поглавја и потпоглавја:

1. Матрици- Поим за матрица

2. Операции со матрици- Еднаквост на матрици- Збир и разлика на матрици- Производ на матрица со скалар- Производ на матрици- Транспонирање на матрица- Инверзна матрица

Користена литература

2

1.Матрици

▪ Поим за матрица

Правоаголна шема m x n од реални броеви а11, а12, a1n, a21, a22, ….a2n, am1, …. amn се вика правоаголна матрица и се означува со:

Броевите aik ( i=1,….m, k=1,….n) се викаат елементи на матрицита. За матрицата А велиме дека има димензија m x n и пишуваме А(m x n).

a11=-1, a12=0, a21=-0,5, a34=0

Елементите ai1,…ain ја образуваат i- тата редица на матрицата A, а елементите: a1k,…amk

ја образуваат к- тата колона во матрицата A. Во погорниот пример, елементите {1,0,1,0} ја образуваат 3-тата редица, а {0,0,0} ја образуваат 2-та колона.Матрицата А(1,n) се вика ред матрица, а матрицата A(m,1) се вика колона матрица. Нулта матрица O(m,n) е матрицата чии елементи се нулти.

3

Ако m=n , тогаш A е квадратна матрица од ред n.

Елементите: a11, a22,…anm ја формираат дијагоналата на квадратната матрица

А елементите (-1; 14,9; -0,3) ја формираат дијагоналата.Единична матрица од n-ти ред, означена со In е квадратна матрица од n-ти ред со елементи:

aij 1кога i j и aij 0 кога i j

(единици на дијагоналата, сите други нули).

4

Матрицата од облик n x n , т.е матрица што има ист број на редици и колони, се нарекува квадратна матрица од n-ти ред. Ако A=[aij]nxn е квадратна матрица од n-ти ред, елементите а11, а22, ann ја образуваат главната дијагонала на матрицата, а елементите a1n, a2,n-1,…, an1 ја образуваат споредната дијагонала на матрицата.Квадратна матрица од n-ти ред кај која сите елементи “под” дијагоналата се еднакви на 0, т.е матрицата од облик:

се нарекува горнотриаголна матрица, а онаа кај која сите елементи “над” дијагоналата се еднакви на нула, т.е матрица од облик:

се нарекува долнотријаголна матрица.

2. Операции со матрици

▪ Еднаквост на матрици

5

Две матрици A(m,n) и B(k,l) велиме дека се еднакви и означуваме A=B ако имаат еднакви димензии (m=k, n=l) и ако им се еднакви соодветните елементи: aij bij (i=1,2,…m, j=1,….n).

▪ Збир и разлика на матрици

За дадени две матрици A и B збир A+B, односно разлика A-B=A+(-B) може да се дефинираат само во случај кога матриците се од ист облик, односно имаат ист број редици и ист број колони. Притоа, ако:

тогаш

и

Пример: Да се најди A+B, A-B, A+C, A-C, B+C и B-C.

6

Решение:

Но збировите A+C и B+C и разликите A-C и B-C не се дефинирани бидејќи матрицата C не е од истиот облик како матриците A и B.

Бидејќи за операцијата собирање на реални броеви важат асоцијативниот и комутативниот закон, и дополнително важи дистрибутивниот закон за множењето во однос на собирањето, за погоре дефинираните операции собирање на матрици и множење на матрица со број точно е следното:

Својство: Ако A, B и C се матрици од облик m x n, Omxn е нултата матрица од облик m x n, а α и β се реални броеви, тогаш

1◦ A+B=B+A, ( комутативен закон за операцијата збир на матрици)2◦ (A+B)+C=A+(B+C), ( асоцијативниот закон за операцијата збир на матрици)3◦ α(A+B)= αA+ αB, ( дистрибутивниот закон за множење на матрица со број во однос на собирање на матрици)4◦ (α+β)А= αА+ βА, ( дистрибутивниот закон за множење на матрица со број во однос на собирање на реални броеви)5◦ A+0mxn=0mxn+A=A, ( нултата матрица е неутрален елемент за операцијата збир на матрици )6◦ A+(-A)=0mxn=(-A)+A, ( спротивен елемент во однос на операцијата збир на матрици )

При пресметување на изрази во кои се појавува и множење на матрица со број и собирање ( односно одземање ) на матрици, слично како кај операциите множење и собирање на реални броеви, прво се пресметуваат деловите од изразите кои се однесуваат на множење на матрица со број, а потоа операциите собирање ( односно одземање ) на матрици. Се разбира, доколку во дадениот израз има загради, прво се пресметуваат деловите од изразот во заградите.

7

▪ Производ на матрица со скалар

Производ на матрицата A(m,n) со скалар е матрица B(m,n) што ја означуваме со B=A чии елементи се:

bijaij , i=1,…,m; j=1,…,n

Нека A(m,n).

Тогаш -А = (-1)А е спротивен елемент на А за собирање, т.е. А+(-А)=О.

Одземање: За А(m,n) и В(m,n), дефинираме

A-B = A + (-B)

Јасно е дека (A+B)=A+B и (+)A=A+A каде што и се призволни броеви , а A и B се матрици со иста димензија, т.е. важи дистрибутивен закон.

▪ Производ на матрици

За две матрици

производ AB е дефиниран само во случај кога бројот на колоните на матрицата A е еднаков на бројот на редиците на матрицата B (т.е. n=p) и притоа производот е нова матрица

од облик m x q ( т.е. матрица која има ист број на редици со првата матрица во производот и ист број на колони со втората матрица), чии елементи се пресметуваат со изразите

8

i=1,2,...,m и j=1,2,...,q

Пример 1:За матриците:

дефиниран е само производ AB и притоа

Производот BA не е дефиниран бидејќи во овој производ бројот на колони на првата матрица е 3 додека бројот на редици на втората матрица е 2.

Пример 2:

За матриците A и B се дефинирани и двата производи

9

Решение:

Производот од Пример 2 покажува дека комутативниот закон за операцијата производ на матрици во случај кога и двата производи AB и BA се дефинирани, во опѓт случај не важи, т.е. AB ≠ BA

Ако a и b се реални броеви, тогаш од равенството ab=0, следи дека a=0 или b=0. Но ова не важи за операцијата производ на матрици.AB=03x3, но A≠03x3 и B≠03x3.

Ако за матриците A, B и C е дефиниран производот (AB)C=A(BC). т.е. за множење на матрици важи асоцијативниот закон.

10

Заради претходното својство обично во записот на производот на производот се испуштаат заградите и означуваме ABC.Ако A е квадратна матрица, тогаш за било кој природен број n се дефинирани производи од облик (AA..A) n пати.Ова дозволува да се дефинира т.н n-степен на матрицата A со An=AA.....A

▪ Транспонирање на матрица

Ако

е дадена матрица A, тогаш транспонирана матрица на матрицата A е нова матрица од облик n x m која се означува со B=AT и чии елементи се дефинирани со bkl=alk, k=1,2,...,n, l=1,2,...,m, т.е.

Пример. За матрицата A

соодветна транспонирана матрица е:

11

Својство. Ако A и B се матрици и α е произволен реален број, тогаш1▫ (AT)T=A2▫ (αA)T= αAT

3▫ ако збирот A+B ( односно разликата A-B ) е дефиниран/а, тогаш (A+B)T=AT+BT ( односно (A-B)T=AT-BT)4▫ ако производот AB е дефиниран, тогаш е дефиниран и производот BTAT и важи (AB)T=BTAT.

Во изрази со матрици што вклучуваат некои од претходно дефинираните операции и/или операцијата "инверзна матрица", во случај на отсуство на загради, операциите се со следниот приоритет:1. Транспонирање на матрици и инверзија на матрица (овие две операции се со ист приоритет а, во случај кога врз дадена матрица треба една по друга да се изведат овие две операции, редоследот се определнува со соодветно поставени загради).2. Множење на матрици3. Множење на матрици со скалар4. Збир ( односно разлика ) на матрици

▪ Инверзна матрица

Ако A е квадратна матрица од n-ти ред и постои матрица B така што AB=In, тогаш за A се вели дека е инверзибилна матрица, а за матрицата B дека е инверзна матрица на A и се означува со A-1.Во случај кога оваа матрица постои таа комутира со A, т.е. A-1A=In=AA-1.

Теорема. Ако А=[aij]nxn е квадратна матрица од n-ти ред, тогаш инверзната матрица A-1 постои ако и само ако detA ≠ 0 и притоа

каде матрицата Ã=[Aij]nxn е квадратна матрица од n-ти ред чии елементи се соодветните алгебарски комплементи на елементите на A=[aij]nxn.

За матрицата A за која det ≠ 0, се вели дека е несингуларна матрица. Во спротивно, т.е. ако detA=0, за A се вели дека е сингуларна матрица.

12

Пример. Ќе ја определиме инверзната матрица на матрицата

Прво проверуваме дали detA≠ 0. За дадената матрица

па постои нејзина инверзна матрица.

Преминуваме на пресметување на алгебарските комплименти на елементите на дадената матрица според формулата Aij=(-1)i+jMij.Бидејќи матрицата е од втор ред, треба да пресметаме вкупно 22=4 алгебарски комплименти.

A11=(-1)1+1M11=M11=1A12=(-1)1+2M12=-M12=-1A21=(-1)2+1M21=-M21=-3A22=(-1)2+2M22=M22=2

Од тука следи дека матрицата од алгебарските комплименти на дадената матрица е

а бараната матрица е

Ќе провериме дали за оваа матрица важи A-1A=In=AA-1.

13

и

Користена литература

1. Векторска и линеарна алгебра (2007) - Ристо Малчески

2. Математика 1 – Соња Манчевска

3. Интернет

14

15

16

17