zuzana berová peter bero 5 - · pdf filedo číselného oboru nad 10 000,...
TRANSCRIPT
5O P Irbis ictus stropolitana
Bratislava
z matematiky
Zošitpre učiteľa
Zuzana Berová Peter Bero
pre 5. roèník ZŠ
Pomocník
5 404 555 (k 31. 3. 2012)235 000
5 240 000700 000
55 – 400 miliónov299 792 458
426 603(2012)
21. zošit
Žiaci by mali zvládnuť prechoddo číselného oboru nad 10 000,pretože sa v bežnom životestretávajú aj s veľkými číslami.Mali by sme počítať aj s výsky-tom chýb.
Údaje, ktoré sme uviedli do od-povedí, pochádzajú z internetua v súčasnosti už môžu byťneaktuálne.
Aké veľké čísla dokážu nájsťvaši žiaci? A budú ich vedieťsprávne prečítať?
Úloha 1
Úloha 2
426
31. zošit
Tematicky je strana venovanáúzemnosprávnemu rozdeleniuSlovenska.
Čísla, ktoré sme použili ako počtyobyvateľov jednotlivých krajov,sú zaokrúhlené pre naše potrebyznázorňovania na grafe. Budúsa líšiť od tých, ktoré žiaci nájdua zapíšu do úlohy 4. Diskutujteo tom so žiakmi.
Úloha 3Úloha 4
10 50011 00011 50012 00012 50013 00013 50014 00014 50015 00015 50016 00016 50017 00017 50018 00018 50019 00019 500
2 0003 0004 0005 0006 0007 0008 0009 000
10 00011 00012 00013 00014 00015 00016 00017 00018 00019 00020 000
248
163264
128256512
1 0242 0484 0968 192
16 38432 76865 536
131 072262 144524 288
15 10015 20015 30015 40015 50015 60015 70015 80015 90016 00016 10016 20016 30016 40016 50016 60016 70016 80016 900
41. zošit
Úloha 6Zvážte podľa reakcií žiakov,či budete pokračovať v riešeníjednotlivých častí úlohy až ponajnižšie poschodia. Môžetesa zastaviť pri prvom zaváhanížiakov a oznámiť im, že teraz bymalo nasledovať číslo, s akým sadoteraz na hodinách matematikynestretli. Práve v kapitole, ktoránasleduje, sa o takýchto číslachdozvedia všetko, čo potrebujúna vyriešenie tejto a podobnýchúloh.Zaujímavé bude sledovať, akéodhady urobia žiaci na začiatku.
Ak majú žiaci problém vypočítaťpríklady, počítajte ich na kalku-lačke. V tejto chvíli nie je našímhlavným cieľom numerické po-čítanie, ale prechod do veľkýchčísel a orientácia v nich.
Námety
3, 9, 766, 74, 28800, 352, 6043 725, 5 071, 8 00550 883, 45 671, 42 605704 921, 357 842, 370 0288 940 302, 6 438 905, 2 001 521
08
31
298
51. zošit
Úloha 7
Úloha 9
Rády číslic napísané na tabuli slúžiaako pomôcka pri čítaní čísel. Odpo-rúčame, aby ste si najprv všetky čís-la správne prečítali a až potom rie-šili úlohu. Zopakujte
Na rozdiel od týchto pravidielpri vypisovaní poštovej poukážkypíšeme celú číslovku spolu,bez medzier.Diskutujte so žiakmio tom, prečo je potreb-né písať čísla aj slovom(napr. kúpne zmluvy).
si pojmy(desať znakov, pomocou ktorých sadá zapísať v pozičnej desiatkovejsústave ľubovoľné číslo),(poloha číslice v čísle, ktorá určuje,či ide o desiatky, jednotky...) a .Overte si, či žiaci rozumejú týmtopojmom a rozdielom medzi nimi(nie len formou poučky).
Ak budú mať žiaci záujem, môžetepokračovať ďalej (ako zaujímavosť):miliarda...10 , bilión... ...10 ,biliarda...10 , trilión...10 .
Pripomíname pravidlá pre písaniečísloviek.V základnom tvare sa píšu číslovkydovedna, napr.
. V zložitýchprípadoch možno na zvýšenieprehľadnosti oddeľovať tisícky,stovky a desiatky s jednotkami:
.Číslovky označujúce početstoviek a tisícok sa píšu spolu:
.V číslovkách označujúcich milióny,miliardy, bilióny, biliardy atď.sa výrazy milión, miliarda, bilión,biliarda atď. píšu oddelene:
.
číslica
rád číslice
číslo
dvadsaťsedem,sedemstodvadsať
sedemtisíc dvesto osemdesiattri
sedemtisíc, stosedemdesiatdvatisíc
štyri milióny, dvadsaťpäť biliónov
Námety
9 12
15 18
5 349 702249 076
4 57832 851
4 008 460356
540 091
3 457 325
3 . 10 000 + 5 . 1 000 + 8 . 100 + 4 . 10 + 2 . 1
7 . 100 000 + 2 . 10 000 + 8 . 1 000 + 9 . 100 + 4 . 10 + 3 . 1
9 . 1 000 000 + 4 . 100 000 + 3 . 1 000 + 5 . 100 + 4 . 10 + 6 . 1
2 . 100 000 + 8 . 10 000 + 5 . 100 + 4 . 1
32 924368 005
6 008 5265 440 932
85 736964 207
8 005 749
61. zošit
Úloha 1
Úloha 2Úloha 3
Pri riešení úlohy opakujte so žiak-mi pojmy (poloha čís-lice v čísle, ktorá určuje, či ideo jednotky, desiatky a pod.),
(desať znakov, pomocouktorých vieme v pozičnej desiat-kovej sústave zapísať akékoľvekčíslo) a .
Ak majú menej šikovní žiaciproblémy s rozkladom,pomôžte si „rečou peňazí“.
rád číslice
číslica
číslo
358 925358 92394 319
2 503 728
40 837
8 006 501
401 309
94 3212 503 730
139
7
84555
5768
4
99
35
9
2
127
71. zošit
Úloha 5
Úloha 6
Úloha 7
Úloha 8
Úloha 9
Žiaci hľadajú odpoveď na otázku,či existuje iba jediné číslo, ktorévyhovuje daným podmienkam.
Rozpísanie sumy 1 200 659 môžežiakom spôsobovať ťažkosti,pretože žiaci nemajú k dispozíciimiliónové poukážky, iba poukážkys hodnotou 100 000.
Pripomíname pojmyo a .
Aj tieto pojmy sa dobre precvičujúvo forme matematickej rozcvičky.
Ak žiaci nájdu dve (tri...) ďalšieriešenia, skúste zistiť, koľko riešenímá každý príklad.
Žiaci môžu skúmať počet riešení.Spolu s predchádzajúcou úlohoutvoria dvojicu, ktorá vám umožnídiferencovať prácu so žiakmi(šikovnejší hľadajú počet riešení,menej šikovní si precvičujú základ-né zručnosti numerácie, pojmyčíslo, číslica, rád číslice a pod.).
predchádza-júce čísl nasledujúce číslo
párne èísla alebo párny poèet nepárnych èíselnepárny poèet nepárnych èísel
odèítam párne od párneho alebonepárne od nepárneho
odèítam nepárne od párneho alebopárne od nepárneho
81. zošit
Táto strana je prvým hĺbkovýmponorom žiakov do problematikypárnych a nepárnych čísel.
Matematici, ja a ty
Cieľom úlohy je, aby žiaci pátralipo výsledku súčtu párneho alebonepárneho počtu párnych činepárnych čísel. Na začiatkunechajte žiakov vysloviť hypoté-zy, ktoré budú overovať rôznymipríkladmi. So šikovnejšími žiakmisa môžete pustiť aj do overova-nia a dokazovania.Inšpiratívny návod ponúka PeterBero spracovaním myšlienokPytagora o pséfofórii vo svojejknihe .
Cieľom tejto úlohy je skúmaťsúčet rôzneho počtu párnycha nepárnych čísel (úloha 2) a zo-všeobecniť tento súčet do správ-neho matematického tvrdenia(úloha 3).
Cieľom tejto úlohy je skúmaťrozdiel rôzneho počtu párnycha nepárnych čísel (úloha 4) a zo-všeobecniť tento rozdiel do správ-neho matematického tvrdenia(úloha 5).
Úloha 1
Úloha 2Úloha 3
Úloha 4Úloha 5
40 000
10 060, 10 070, 10 080, 10 090, 10 100
35 640, 35 740, 35 840, 35 940, 36 040
77 300, 78 300, 79 300, 80 300, 81 300
436 798, 436 808, 436 818, 436 828
704 042, 704 142, 704 242, 704 342
208 007, 209 007, 210 007, 211 007
3 000 202, 3 000 212, 3 000 222...
7 430 966, 7 431 066, 7 431 166...
6 007 080, 6 008 080, 6 009 080...
400 0004 000 000
500 0005 000 000
600 0006 000 000
50 000 60 000
91. zošit
V tejto časti upevňujeme pred-stavu o množine prirodzenýchčísel a zlepšujeme orientáciužiakov medzi veľkými číslami.Tento cieľ dosahujeme dopĺňanímčíselných postupností (úloha 1),počítaním po 10 (úloha 2), počí-taním po 100 (úloha 3), počítanímpo 1 000 (úloha 4) a písanímrôznych prirodzených čísel,ktoré spĺňajú dané podmienky(úlohy 5 a 6).
Myslíme si, že napísať dveza sebou idúce prirodzené číslanebude žiaden problém.Pozor však na dve za sebouidúce párne (či nepárne) čísla.Žiaci si musia uvedomiť, že jemedzi nimi rozdiel 2.
Úloha 6
1 001101112
1 000 001100 00110 001
29361424
20323113
101. zošit
Úloha 7
Úloha 10
Úloha 11
Nezabudnite na nulu.
Pojem nemusí byťžiakom jasný. Odporúčamena začiatku zopakovať,ako ho počítame.
Otázka pre šikovnejších:Má každý príklad iba jednoriešenie?
ciferný súčet
6370
17 8034 731 839
946 031
307 65812 463 874
8372
17 8054 731 841
966 033
307 66012 463 876
<>
><
64 223 < 64 232 < 64 32275 999 < 659 804 < 1 007 648789 437 < 879 437 < 987 7439 234 < 9 342 < 9 423508 < 580 < 80523 826 < 238 264 < 2 382 643
>>
111. zošit
Úloha 1
Úloha 2Úloha 3
Úloha 5
Číslo daným číslom ale-bo číslo ako danéčíslo, resp. číslo danýmčíslom alebo číslo– obe slovné spojenia používajteako rovnocenné.
Na rozdiel od predchádzajúcejúlohy, v ktorej sa dalo nájsť iba jed-no najbližšie menšie (väčšie) čísloako dané číslo, v tejto úlohe viemenájsť viac menších (väčších) číselako dané číslo. Niekedy vieme po-vedať presne, koľko takých čísel je.Pýtajte sa na to, aj keď ich je neko-nečne veľa, a postupne tak buduj-te správnu predstavu o množineprirodzených čísel.
Usporiadať čísla od najmenšiehopo najväčšie a usporiadať ichvzostupne (úloha 7). Upozornitežiakov, že je to to isté.
hneď prednajbližšie menšie
hneď zanajbližšie väčšie
69 001
184 000
732 516
28 643
18 400
632 632
28 634
1 840
538 903
6 901
184
479 999
300 005
690 000 000
452
300 050
609 000 000
300 500
600 900 000
305 000
600 090 000
350 000
600 000 900
484 492 509 828
ICC Hong KongPetronas TowerShanghai WFCTaipei 101
Hong KongKuala LumpurŠanghaiTchaj-pejDubaj
ÈínaMalajziaÈínaTaiwanSpojené Arab. emiráty
484452492509828
121. zošit
Úloha 6Úloha 8
Úloha 7
Úloha 10
Usporiadať čísla od najväčšiehopo najmenšie a usporiadať ichzostupne. Upozornite žiakov,že je to to isté.
Usporiadať čísla od najmenšiehopo najväčšie (úloha 5) a usporia-dať ich vzostupne. Upozornitežiakov, že je to to isté.
Naučiť sa efektívne vyhľadávaťúdaje na internete je zručnosť,ktorá sa vašim žiakom zíde nielenpri ďalšom štúdiu, ale aj v bežnomživote, ktorý bude viac a viacspojený s novými technológiami.
Sutong BridgeTatara BridgePont de NormandieThird Nanjing JangtzeSecond Nanjing Jangtze
1 088890856648628
1 088
1 000 000
Venuša – 108 000 000 kmZem – 150 000 000 kmMars – 228 000 000 kmJupiter – 779 000 000 kmSaturn – 1 427 000 000 kmUrán – 2 570 000 000 kmNeptún – 4 497 000 000 km
Saturn – 120 536 kmUrán – 51 118 kmNeptún – 49 532 kmZem – 12 756 kmVenuša – 12 104 kmMars – 6 794 kmMerkúr – 4 880 km
99 999 999 999 999 998 10 001
890 856 648 628
Su-èouSeto Inla Sea
Le HavreNanjing, JiangsuNanjing, Jiangsu
ÈínaJaponsko
FrancúzskoÈínaÈína
131. zošit
Úloha 11Úloha 12Úloha 14Ak máte možnosť byť so žiakmiv počítačovej miestnosti na hodinematematiky (alebo spolupracujetes učiteľom informatiky), vyhlástepre žiakov súťaž, kto nájde naj-rýchlejšie a najpresnejšie danéúdaje a pracuje ich do pripravenejtabuľky.
Mosty, ktoré uvádzame v riešení,sú v skutočnosti najdlhšie zavese-né mosty na svete. Pokiaľ vaši žiacizadajú do vyhľadávača najdlhšiemosty, práve tieto im „vybehnú“na prvom mieste.No môže sa stať,že niektorý zo žiakov nájde aj dlhšímost ako tie, ktoré uvádzame v ta-buľke – a to je pre vás skvelý ná-met na diskusiu so žiakmi (čo toje most, ktorý most je zavesenýa ktorý nie, aký je medzi nimirozdiel...).
Poznámka k úlohe 11
33 300, 33 030, 33 003, 30 303, 30 033, 30 330
najväèšie 9 875 310 najmenšie 1 035 789
348 0924 3082 625
50 8323 721 036
4 508
33 7503 206 451
9 814
743 8847 739
63 754
1 000 000 000 000
1996, 200120001996 a 2001
5 378 000, 5 387 000, 5 393 000, 5 398 000, 5 402 000, 5 378 000,5 379 000, 5 380 000, 5 384 000, 5 389 000
141. zošit
Úloha 17Úloha 18Úlohy poukazujú na skutočnéporozumenie numerácii. Žiaciich môžu spočiatku riešiť skúša-ním a vzájomným porovnávanímvýsledkov. Postupne objavia, žekeď chcú dostať čo najmenšiečíslo, musia vyškrtnúť číslicu tak,aby na mieste najvyššieho ráduostala čo najmenšia číslica, a na-opak, keď chcú dostať čo najväč-šie číslo, musia vyškrtnúť číslicutak, aby na mieste najvyššiehorádu ostala čo najväčšia číslica.Takú formuláciu nepoužijú prav-depodobne ani tí najlepší (budúpostupovať intuitívne a nebudú tovedieť vysvetliť). To však nebránitomu, aby ste sa o to nepokúšali.
9 999
650 000
110 000
17 500
1 900 000
245 000
22 000
2 000 100
280 000
34 00024 000 26 000 28 000 30 000 32 000
33 00025 000 27 000 29 000 31 00023 000 31 70029 500
1 300 000 1 500 000 1 700 0001 400 000
1 600 000 1 800 0001 200 000 1 430 000 1 680 000
550 000
630 000 840 000
400 000 500 000 600 000 700 000 800 000 900 000
151. zošit
Práca s číselnou osou je dôležitáz hľadiska riešenia lineárnych nerov-níc v budúcnosti. Vytvorenie správ-nej predstavy číselnej osi ako priam-ky, na ktorej každý bod je obrazompráve jedného reálneho čísla, jeproces, ktorý trvá niekoľko rokov.Žiaci sú na jeho začiatku.
V prípade veľkých čísel stačí,ak žiaci určia približnú polohudaného čísla na číselnej osi(medzi ktorými dvoma číslamisa nachádza).
Úloha 1Úloha 2Úloha 3
9 994, 9 995, 9 996, 9 997, 9 998, 9 999
10 009, 10 008, 10 007, 10 006, 10 005,10 004, 10 003, 10 002, 10 001, 10 000
KV triede je 28 detí.
1217
161. zošit
Všetky úlohy sú propedeutikouriešenia nerovníc.
Nezabúdajme, že sme stálev obore prirodzených čísel. Čiara,ktorá je riešením v časti a ,predstavuje všetky reálne čísla,ktoré vyhovujú danej nerovnici.
Od tejto úlohy už nie je ďalekok nerovnici s neznámou.
c) d)
Úloha 4
Úloha 7
Smerom hore.
171. zošit
V súčasnosti sme zo všetkýchstrán zahŕňaní množstvom infor-mácií, najmä číselných. Častoto vedie k tomu, že strácame citpre číselné údaje. Prestávame sazamýšľať nad tým, čo počujeme.
Politik vyhlási, že vláda dala100 miliónov pre školy.Je to veľa alebo málo?Krajina má rozlohu 9 800 km .Je to veľká alebo malá krajina?Medveď váži 160 kg. Je to medve-die mláďa alebo dospelý jedinec?
Odhad je vždy prvotnou kontro-lou pri riešení úloh a stane saveľmi dôležitým napr. pri riešenífyzikálnych úloh. Téma súvisí sozaokrúhľovaním, pričom zaokrúh-lené číslo je vlastne „veľmi dob-rým odhadom“ pôvodného čísla.
2
601080100
1000100100
0000
0000
0000
340610130860
300600100900
01 00001 000
0000
0000
6 8902 5505 3804 540
6 9002 5005 4004 500
7 0003 0005 0005 000
10 000010 0000
0000
12 91053 76040 97073 820
12 90053 80041 00073 800
13 00054 00041 00074 000
10 00050 00040 00070 000
0100 0000100 000
181. zošit
Riešením príkladov v úloháchžiaci sledujú, ako sa mení výsle-dok zaokrúhľovania v závislostiod rádu, na ktorý zaokrúhľujeme.Zaradili sme aj také príklady,s ktorými sa žiaci nestretávajúštandardne – napr. zaokrúhliťčíslo 12 na stotisícky.
457 440315 750664 870782 950
457 400315 800664 900783 000
6 000 0004 300 0003 000 000
625 463 =. 625 500
(4 305 661 – 4 532) ++ (702 885 – 73 815) =4 301 129 + 629 070 == 4 930 199 =. 4 930 200
5 772 482 – 4 513 807 == 1 258 675 =. 1 260 000
83 405 =. 83 40026 731 =. 26 700515 327 =. 515 300
4 513 807 =. 4 510 0005 772 482 =. 5 770 0005 770 000 – 4 510 000 = 1 260 000
A B=. 4 530, =. 73 820,C D=. 702 890, =. 4 305 660(4 305 660 – 4 530) + (702 890 – 73 820) == 4 301 130 + 629 070 = 4 930 200
a > b
a = b
a = b
625 400
8 004 0005 670 0009 538 7707 832 541
457 000316 000665 000783 000
460 000320 000660 000780 000
500 000300 000700 000800 000
191. zošit
Úloha 8Úloha 9Úloha 10Cieľom pri riešení úloh nie jesčítanie či odčítanie, preto žiacimôžu používať kalkulačky. Ichpozornosť sa má sústrediť na to,či záleží na poradí v prípade, žepočítam a potom zaokrúhľujemalebo zaokrúhľujem a potompočítam. Diskutujte so žiakmio výsledkoch ich prieskumu.
6 944 194
400 200 000
2 630 9 000
7 734 6971 893 090
799 265800 000
7 734 700
530, 531, 532, 533, 534, 525, 526, 527, 528, 529
7 150 < <7 249a
201. zošit
Úloha 15Nejde o triviálnu úlohu!Rozdeľte žiakov do skupína nechajte ich spoločne bádať.
909070
100
240460500350
5 3105 4501 9105 250
1 800800900
1 200
7 0002 9008 3007 600
3 6006 4005 2001 900
3 700700
1 2005 400
5 9706 3505 2508 380
91896596
236457
503345
5 3065 447
1 9145 246
1 7567859291 221
6 9812 8658 2667 600
3 5566 4235 1751 851
3 7087451 204
5 411
5 9656 351
5 2458 381
211. zošit
Úloha 17Každý žiak môže prísť s inou cenou– nájde iného predajcu, auto s inouvýbavou, motorom… Keď si kupuje-me auto, musíme si ujasniť, aké mábyť veľké, aký má mať silný motor,akú má mať výbavu, do akej mierymá byť ekologické a v neposled-nom rade koľko sme ochotní zaňzaplatiť. Žiaci nebudú mať rovnakéceny. Stačí, že ich správne usporia-dajú.
Je to typicky chlapčenská úloha.Žiačky nechajte hľadať najdrahšiešperky alebo šaty...
Námety
VIII
VII, XV, XXI, XXXVIILXIII, LXXXVII
12. 4. 1961
IV, XIX, XL, XC, XXXXII, LXIX, IC
XXILXIV
XXVIII
LXV
XIIXV
LXVI
XIVXII
LXVII
XVIIX
LXVIII
221. zošit
Používanie rímskych číslic v ma-tematike bolo zastarané už predviac ako 1 100 rokmi. Napriektomu sa rímske číslice používajúpri rôznych príležitostiach dodnes.Používajú sa na označenie hodno-ty na hodinovom ciferníku, číslujúsa nimi kapitoly v knihách a pod.Spôsob zapisovania rímskychčíslic je odvodený zo spôsobu,akým zapisovali hodnoty staríRimania, ale obsahuje aj niektorévylepšenia.
Spájaním a opakovaním základ-ných symbolov možno zapisovaťaj väčšie čísla. Väčšie číslicevždy predchádzajú menším.Napríklad VI je 6, je 173a je 1 822.Rimania obvykle písali hodnotučísla 4 ako , čísla 40 akoa čísla 999 ako .Pravidlo na odčítanie umožňujepoužitie len šiestich zloženýchsymbolov, v ktorých menšia číslicapredchádza väčšej:
Pri použití tohto pravidla možnočíslo 999 zapísať úspornejšímspôsobom .Používanie iných symbolovnie je povolené (napr. ).Na druhej strane však používanietohto pravidla nie je povinné.
I = 1V = 5X = 10L = 50C = 100D = 500M = 1 000
CLXXIIIMDCCCXXII
IIII XXXXDCCCCLXXXXVIIII
IV = 4IX = 9XL = 40 CM = 900
CMXCIX
IM
XC = 90CD = 400
MMCDXVIII
MMCMLXXXIV
X
XXVIII XL LC
XXX XL IX
VIII VI VIII
V XXV XXIV
XIII LIV C
CDIV
CMXXVII
MCLXV410 + 2008 = 2 418
3 050 – 66 = 2 984
29 – 19 = 10
7 . 4 = 28 80 : 2 = 40 4 . 15 = 60
90 : 3 = 30 2 . 20 = 40 99 : 11 = 9
72 : 9 = 8 36 : 6 = 6 64 : 8 = 8
50 : 10 = 5 5 . 5 = 25 3 . 8 = 24
1 . 13 = 13
MDCXXVII MDCCCXCI MCMXIV MDCCLXXI
9 . 6 = 54 5 . 20 = 100
VIII
1 912 – 1 508 = 404
16 + 911 = 927
760 + 405 = 1 165
231. zošit
Rimania nemali žiadne slovo premilión a také veľké čísla používalizriedkavo. Až neskôr, najmäv stredoveku, bolo nutné zapiso-vať aj väčšie čísla. Preto znakzačal označovať číslo 10 000,
číslo 100 000 a číslo 1 000 000.Tieto symboly sa dnes praktickynevyskytujú.
Číslica nula nemá svoj symbol, hociRimania hodnotu nula a jej význam
dobre poznali. Pre nulu po-užívali výraz – nič. Symbol pre číslicui číslo nula má veľkú úlohu v pozič-ných systémoch zapisovania čísel(používame ho dnes). Práve absen-cia tohto symbolu zabránila postup-nej premene rímskeho zápisu na po-zičný systém, preto ho v 11. storočív praktickom živote nahradili arab-ské číslice.
Zdroj: www.wikipedia.sk
X
C M
nullae
64 98057 53055 68050 93057 26057 06060 30061 23059 99062 040
20021997
472 viac806 menej
65 00057 50055 70050 90057 30057 10060 30061 20060 00062 000
65 00058 00056 00051 00057 00057 00060 00061 00060 00062 000
241. zošit
Tento projekt do seba integrujeniekoľko zložiek: prierezovútému dopravná výchova, prácas tabuľkou a stĺpcovým diagra-mom a vyhľadávanie údajov nainternete. Debatujte o cyklistoch(akú časť nehôd zapríčinili cyklisti,ako sa žiaci správajú ako cyklisti,či používajú ochranné prvkypodľa zákona, či poznajú pred-pisy týkajúce sa cyklistov).
251. zošit
B
D
BA
A
C
A
p
pm
p
B
K
M
L
pLKA
261. zošit
V úvode geometrickej častipracovného zošita sa venujemezákladným pojmom geometrie –
, a . Žiacinevedia a nemajú vedieť povedaťpresnú definíciu týchto pojmov,ale vedia a majú vedieť– nakresliť a pomenovať bod,
úsečku a priamku,– rozoznať a ukázať bod, úsečku
a priamku.Každá z úloh na tejto strane pre-cvičuje základné geometrickévzťahy a zručnosti nevyhnutné priďalšom budovaní geometrickéhoučiva v 5. ročníku. Ak zistíte, ženiektorú z týchto oblastí vaši žiacinezvládajú dostatočne, venujteviac priestoru jej pripomenutiua precvičeniu.
V koľkých bodoch sapretínajú úsečka a priamka (dveúsečky, dve priamky)?
bod úsečka priamka
Úloha precvičuje vzťahy „bodleží/neleží na úsečke/priamke“,„bod je bodom/nie je bodomúsečky/priamky“.
Cieľom je pripomenúť pojmy„čiary sa pretínajú/nepretínajú“.
Môžete rysovať ďalšie obrázky –dve úsečky sa pretínajú/nepretí-najú, dve priamky sa pretínajú/nepretínajú. Hľadajte odpoveďna otázku:
Okrem toho, že si žiaci precvičujúrysovanie čiar, buduje táto úlohaschopnosť pochopiť podstatu
systému a pokračovaťv ňom.
Námety
Úloha 2
Úloha 3
Úloha 4
271. zošit
Cieľom tejto časti je venovaťsa základným telesám (kocka,kváder, ihlan, kužeľ, valec a guľa)a ich vlastnostiam (početvrcholov, hrán, stien).
Spájame obrázok telesas jeho názvom.
Úlohy pomáhajú pochopiť pod-statu zobrazovania telies vo voľ-nom rovnobežnom premietaní.
Okrem vyznačenia vrcholov,ktoré vidieť, môžete diskutovaťaj o tých, ktoré nevidieť, o počtevrcholov každého z telies a o tom,ktoré telesá nejaké vrcholy majúa ktoré nie.
Okrem vyznačenia hrán, ktorésú viditeľné, sa môžete rozprávaťaj o tých, ktoré nevidieť, o počtehrán každého z telies a o tom,ktoré telesá nejaké hrany majúa ktoré nie.
Okrem vyznačenia stien, ktorésú viditeľné, sa môžete rozprávaťaj o tých, ktoré nevidieť, o počtestien každého z telies, o tom, ktorételesá nejaké steny majú a ktorénie a aký tvar majú tieto steny –aké sú to geometrické útvary.
Úloha 1
Úloha 2Úloha 3Úloha 4
Úloha 2
Úloha 3
Úloha 4
7
7
1
1
9
9
3
3
12
12
3
3
3
3
6
6
štvorce
M M
MM
M M
8
8
M
M
M
M
Z
Z Z
Z
Z
ZZ
281. zošit
Úloha 5Úloha 6V týchto úlohách sa podrobnej-šie venujeme analýze kockya kvádra.
Podobnú analýzu môžete urobiťdo zošita aj pre ostatné telesá.
Námet
3 3 4 4
M
K
L A B
D C
291. zošit
Táto časť geometrie sa venujevlastnostiam trojuholníkaa štvoruholníka, bližšie štvorcaa obdĺžnika.
Začíname pomenovaním vrchola strana. Skúmame počet vrcholova strán trojuholníka a štvoruholní-ka ako jedných zo základných cha-rakteristík týchto geometrickýchútvarov.
Cieľom úlohy nie je narysovaťtrojuholník alebo štvoruholníks danými dĺžkami strán. Cieľomje narysovať trojuholník a využiťpritom fakt, že trojuholník má tristrany, ktoré sa dotýkajú v trochvrcholoch (prípadne narysovaťštvoruholník a využiť fakt, že štvor-uholník má štyri strany, ktoré sadotýkajú v štyroch vrcholoch).Vzájomným porovnaním naryso-vaných mnohouholníkov mátemožnosť zistiť, že každý žiak v trie-de narysoval iný mnohouholník(všetko sú to trojuholníky/štvor-uholníky, ale každý z nich má inúdĺžku strán). Potvrdíte si to záve-rečnou časťou úlohy. Poslednáúloha je propedeutikou obvodumnohouholníka.
Úloha 1
Úloha 2
bod Atrojuholník EFG
úseèka KL
štvoruholník OPRS
štvorec ABCD
301. zošit
Úloha 3Úloha 4Trojuholník a štvoruholník(všeobecne mnohouholník)žiaci často vnímajú iba pros-tredníctvom ich strán (pretožetakto ich kreslíme aj rysujeme).Nevnímajú ich ako časti roviny.Na upevnenie tejto predstavyslúži najmä úloha 4. Je vhodné,aby si žiaci vystrihli ľubovoľnýtrojuholník a štvoruholník z pa-piera, posúvali ich a menili ichvzájomnú polohu. Takto naj-ľahšie prídu na riešenie.
majú 4 strany a 4 vrcholy,majú 2 uhloprieèky (rovnako dlhé)
štvorec má všetky strany rovnako
D
D
K
Q
Y
C P O
L K
I J
M N
A B
H G
E F
311. zošit
Začíname sa viac venovaťštvorcu a obdĺžnikua ich vlastnostiam.
vrchol stranauhlopriečka
susedné/ protiľahlé strany
K pojmom a pridáva-me aj pojem . Z vlast-ností štvorca a obdĺžnika si všíma-me najmä počet vrcholov, strána uhlopriečok, dĺžku strán a dĺžkuuhlopriečok. Kolmosť strán alebouhlopriečok si zatiaľ nevšímame,žiaci ešte tento pojem nepoznajú.
Štvorcová sieť pomáha narysovaťštvorec a obdĺžnik bez toho, abyžiaci museli merať dĺžky ich strán.
Štvorcová sieť pomáha narysovaťštvorec a obdĺžnik bez toho, abyžiaci museli merať dĺžky ich strán.Učíme sa ďalšie pojmy:
štvorca a obdĺžnika.
Úloha 6
Úloha 7
Úloha 8
polomerpriemerstred
polomerstredpriemer
321. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Cieľom tejto úlohy je ukázaťžiakom základný rozdiel medzikružnicou – miestom, kam saDunčo najďalej dostane – a kru-hom – miestom, kam všade saDunčo dostane.
Pomenujte útvary na základediskusie z predchádzajúcej úlohya spoločne pomenujte aj stred,polomer, priemer. Dôraz klaďtena rozlíšenie kružnice ako čiarya kruhu ako plochy (časti roviny)
Diskutujte so žiakmi o tom, či sadá jedno nakresliť/narysovaťbez druhého.
Námet
S1
S1
S2
S2
S3
S3
S4
S4
S5
S5
r
r
r
dd
d
S1 S2 S3 S4 S5 d5
r5
d4
r4
d3d2d1
r3r2
r1
d5
r5
d4
r4
d3
d2d1
r3
r2
r1
331. zošit
Cieľom úloh na tejto strane je na-učiť žiakov, čo je polomer, ako sarysuje, čo je priemer, ako sa rysujea aký je vzťah medzi týmito dvomaúsečkami a ich dĺžkami.NámetyMôžete sa so žiakmi rozprávaťo tom, koľko polomerov a prie-merov vieme narysovať pre jednukružnicu/jeden kruh a aká je ichveľkosť.Diskutujte, či aj vo vyfarbenýchkruhoch treba podľa zadanianarysovať polomer.
S2
k2
S1
k1
S3
k3
S2
k2S1
k1
S3
k3
341. zošit
Úloha 6
Úlohy 8
Úloha 7
Úloha 9
Stále upevňujeme vizuálnupredstavu kružnice ako čiarya kruhu ako plochy.
Zadajte žiakom úlohu vyznačiťvšetky body, ktoré ležia na kruž-nici a patria kruhu. Môžetezačať tak, že každý žiak prídek tabuli a vyznačí desať bodovs touto vlastnosťou. Keď ich užbude veľa, spýtate sa, či sa eštenejaké dajú vyznačiť. Taktopostupne by ste sa mali dostaťaž k predstave nekonečnéhopočtu bodov (a teda vyznačiťfarebne celú čiaru ako kružnicu,a vyfarbiť celú plochu ako kruh).
Precvičujeme rysovanie kružníc.Priestor v pracovnom zošitenám neumožnil zaradiť viac úlohna rysovanie kružníc, preto byste sa tejto zručnosti mali veno-vať ďalej v zošite – napríkladrysovaním obrázkov, ktoré saskladajú zo samých kružníc,z trojuholníkov a kružníc,zo štvorcov a kružníc a pod.
Námety
351. zošit
Vedieť narysovať vodorovnúpriamku pomocou dvoch pravítokalebo ako dve kolmice a vedieť na-rysovať kolmú priamku pomocoutrojuholníka s ryskou, to sú dvezo základných geometrickýchzručností.
Narysovať štvorcovú sieť tak,aby všetky priamky, ktoré majúbyť rovnobežné, boli rovnobežnéa všetky priamky, ktoré majú byťkolmé, boli kolmé, vyžadujeobrovskú presnosť a veľkú dávkutrpezlivosti. Oceňte každýúspech svojich žiakov.
Úloha 3
zvislávodorovná
kolmé
k
l
r
361. zošit
Úloha 4
Úloha 6
Zvislá čiara, vodorovná čiaraa kolmosť sú pojmy, ktoré spoluúzko súvisia. Tak ich žiakom ajprezentujeme. Nezabudnitena pojem pravý uhol.
Už nerysujeme len nejaké kol-mice a rovnobežky. Rysujemepriamky, ktoré majú presneurčenú svoju polohu dvomavlastnosťami.
2
6
4
1
2
1
3
3
22
3
1
211
2
2
2
1
1
32
2 333
1
5 4 3
1
4
1
2
2
1
32
1
3
1
2
1
1
1
2
11
31
221
1
1 2 3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
12
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1 1 1
1
1 1 1 321
371. zošit
Vhodnou pomôckou v tejto častiby mohol byť pre vašich žiakovsúbor kociek, ktorý býval bežnousúčasťou výbavy matematickýchkabinetov. Jeho výhodou je, žejedna škatuľa obsahuje cca 100kociek, drobnou nevýhodou je,že tieto kocky strááášne buchocú.O to viac sa však budú páčiťvašim žiakom.Veríme, že jednoduchšie z úlohsa dajú vypracovať aj bez kociek.S pomocou kociek má šancu kaž-dý žiak, aby našiel správne rieše-nia, bez kociek sa niektorí z nichdo cieľa nedostanú. Spojeniemodelu, voľného rovnobežnéhopremietania a „plánov stavieb“vytvára veľmi dobrý predpokladna budovanie dobrej priestorovejpredstavivosti.
Stavba, ktorá vznikne otočenímokolo zvislej osi, je pre nás tá istástavba. Napríklad 5 1 a 1 5 .
Úloha 3
22 2
2 3 3
3 4 44 44 4
5 5 55 5 555
55
55
3 3
3
3 33 3
3
3 3
3
3 33 33 33 3
223
2 3 3
34
2 345
381. zošit
Úloha 4Úloha 5
Úloha 6Úloha 7
Ako budú vyzerať plány žiakov,ak sa jeden bude pozerať nastavbu spredu a druhý zozadu?Budú sa líšiť alebo nie?Môžu dvaja žiaci k jednej stavbenakresliť dva rôzne plány?
Je naše riešenie jediné možné?
391. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Nakresliť/narysovať dvakrát väč-ší obrázok znamená, že každáčiara bude dvakrát dlhšia akona pôvodnom obrázku. Úlohaje súčasne propedeutikoupomeru a mierky.Dá sa slovné spojenie dvakrátväčší obrázok vysvetliť aj inak,ako sme to urobili my?
Nakresliť/narysovať trikrát men-ší obrázok znamená, že každáčiara bude trikrát kratšia akona pôvodnom obrázku. Úlohaje súčasne propedeutikoupomeru a mierky.
401. zošit
Úloha 3Úloha 4So štvorcom a obdĺžnikomby žiaci nemali mať problém.Triviálne asi nebude, že pri kruž-nici je to polomer, ktorý určujejej dĺžku. Preto musíme meniťjeho veľkosť, ak chceme meniťveľkosť kružnice. Ďalším proble-matickým miestom môže byť troj-uholník. Ako zmeniť jeho dĺžku,keď nepoznáme dĺžku jeho strán?Ukážte si to na úsečke – ako me-níme jej dĺžku doplnením úsečkyna pravouhlý trojuholník a násled-nou zmenou dĺžok strán tohtotrojuholníka (tých strán, ktoré súodvesnami tohto trojuholníka).Nezabudnite, že to, ako chápe-me „trikrát väčšie“, sme defino-vali v úlohe 1.
Poèet priamok
Poèet èastí12
23
24
34
36
37
45
48
49
410
411
12
24
37
411
1
2
a) b)1
4
2
3
c)d)
1
27
6
5
43
1
2
3
4
5
6
8
9
7 10
11
411. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Úloha je propedeutikou častí rovi-ny. Nevadí, ak toto slovo budetepoužívať, žiaci mu intuitívne rozu-mejú. Nepodceňujte túto úlohu.Pojem sa nám dospe-lým zdá taký jasný, že nám častounikne, že žiaci ho používajúnesprávne. Hovorte o tom, zistite,čo si žiaci predstavujú pod časťoustrany (roviny).
časť roviny
Aký vplyv majú na výsledokrovnobežné priamky? Pridávajúalebo znižujú počet častí?
Ideu projektu môžete využiťaj pre iné geometrické útvary.Nahraďte priamky napríkladkružnicami, štvorcami...Nezabudnite – nejde námo dokonalé, presné odpovede,ale o to, aby žiaci pracovali,experimentovali, samostatnesi kládli otázky. Aj také,na ktoré nenájdu odpoveď.
sèítanec sèítanec súèetmenšenec menšite¾ rozdiel
500 000 + 30 000 000 = 30 500 000
200 000 + 700 000 = 900 000
80 000 + 50 000 + 6 000 = 136 000
400 000 + 700 000 = 1 100 000
5 000 000 – 2 000 000 = 3 000 000
800 000 – 60 000 = 740 000
555 000 – 55 000 = 500 000
600 000 – 100 000 = 500 000
600 000 – 200 000 = 400 000
3 000 000 + 7 000 000 = 10 000 000
500 000 – 470 000 = 30 000
30 000 + 60 000 = 90 000
421. zošit
Úloha 1
Úloha 2Úloha 3Úloha 4
Opakujeme pojmy
a .
Úlohy učiteľovi pomôžu overiť,či žiaci porozumeli pojmom
a či správne chápuvzťahy medzi nimi. Úlohy smezostavili s jednoduchými číslami,aby sa žiaci mohli sústrediťna podstatu operácií.
sčítanec,súčet, menšenec, menšiteľ
rozdiel
sčítanec, súčet, menšenec, men-šiteľ, rozdiel
10 070 000 10 003 000
9 500 000 9 940 000
9 995 000 9 995 500
10 005 000
10 460 000
8 000 000 7 500 000
7 999 000 7 600 000
1 600 000
1 000 000
2 000 000
553 000 543 000 550 000
480 0001 180 000
1 020 000 3 020 000 2 120 000
2 160 000
450 000
431. zošit
Úloha 5Úloha 6Úloha 7Precvičujeme sčítanie a odčítanieveľkých čísel spamäti. Žiaci by malivedieť spamäti spočítať iba jedno-duché čísla s veľkým počtom núl.Podobné diagramy sú vhodnoupropedeutikou riešenia lineárnychrovníc.
10 400 000 + 40 700 000 = 51 100 000
V roku 1986 pribudlo 51 100 000 obyvate¾ov.
7 700 000 + 14 100 000 = 21 800 000
Rumunsko má 21 800 000 obyvate¾ov.
15 500 000 – 10 000 000 = 5 500 000
82 600 000 – 23 000 000 = 59 600 000
Francúzov je 59 600 000.
5 400 000 + 4 000 000 + 59 300 000 = 68 700 000
V roku 1973 sa EÚ rozšírila o 68 700 000 obyvate¾ov.
441. zošit
Dvojstrana je venovaná témeEurópska únia. Nezaradili smeju náhodou. Iba spoznávanie jejčlenov a svojej vlastnej identitymedzi nimi je cestou k samostat-nému sebavedomému národu.Súčasťou tohto procesu je výcho-va samostatných sebavedomýchľudí, ktorí si vážia predovšetkýmsamých seba, a preto si dokážuvážiť aj ostatných.
Tému Európska únia môžete po-užiť a spracovať so žiakmi a kole-gami ako projekt, ktorý nebudeúzko viazaný iba na matematiku,ale integruje do seba viaceré pred-mety: geografiu (poloha, rozloha,geografické charakteristiky krajín),históriu (najvýznamnejšie histo-rické udalosti krajín podstatnépre ich vývoj a pre vývoj celejEurópy), cudzie jazyky (jazyky,ktorými sa hovorí v krajinách EÚ– spolu s ukážkami), hudobnú vý-chovu (typická národná hudobnákultúra – ľudová i súčasná), teles-nú výchovu (významní športovci),literatúru…Môže vzniknúť tematicky zame-raná práca na jeden polrok i celýškolský rok ukončená prezentá-ciou pred rodičmi a celou školou.
Číselné údaje, ktoré sme použiliv zadaní úloh sme čerpali z ofi-ciálnych stránok Európskej úniea zaokrúhlili sme ich pre svojepotreby.
Námety
500 000 – 400 000 = 100 000
63 900 000 – (10 300 000 + 5 400 000 + 10 100 000) == 63 900 000 – 25 800 000 = 38 100 000
Luxembursko Belgicko Holandsko Taliansko Francúzsko Nemecko
451. zošit
989
65558
68706110843
6541901384198
54300806807648
51614122554
2483728563
434982602673
38091283823
312008512925522
5678432973160
1599471
7453
149579
5919645
1614 5385
483771
3751473
8634
677632
744473
5974
764361
7439176
napíšemostala3
12139
239
111
1
461. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 3
Opakujeme sčítanie čísel v oboredo 10 000, ktoré žiaci poznajúzo 4. ročníka a ktorému sme savenovali na začiatku školskéhoroka.
Algoritmus písomného sčítaniarozširujeme na čísla z celej mno-žiny prirodzených čísel. Ilustráciav úlohe „našepkáva“ postup.
Na začiatku používame obdĺž-ničkovú sieť, aby si žiaci zvyklina správne podpisovanie.
545
62383 206376 830991 4860 726292
33076 5779520 104911 4157950 585917
1517 425 3938 4901 4397
–2267150374
–283993146723
–62715542237689
–3825128246
–327540323544
–21537487488289
– 38246211569
– 424794485156
– 99240753786
napíšem5
53
83
11
0 5
471. zošit
Úloha 4
Úloha 5
Úloha 6
Opakujeme odčítanie čísel v oboredo 10 000, ktoré žiaci poznajúzo 4. ročníka a ktorému sme savenovali na začiatku školskéhoroka.
Algoritmus písomného odčítaniarozširujeme na čísla z celej mno-žiny prirodzených čísel. Ilustráciav úlohe „našepkáva“ postup.
Používame obdĺžničkovú sieť,aby si žiaci zvykli na správnepodpisovanie.
3 0 5 7 7
42 5 1811
124
5 01 5 90
3 3
964 85
2
4 62 9 2 61
54
5631152
3580016
5443451
4 150 758
211
3
5 631 150
5 443 000
3 580 000
4 200 000
481. zošit
Úloha 7Úloha 8Náročné úlohy pomôžu rýchlediferencovať žiakov z hľadiskaúrovne osvojenia si zručnostiv písomnom sčítavanía odčitovaní.
1 075 228 – 350 849 = 724 379
29 437 + 283 750 = 313 187
236 782 – 100 000 = 136 7821 000 000 – 136 782 = 863 218
107 35192 649
100 000 + 35 940 = 135 940
999 999 + 218 944 = 1 218 943
4 058b
a 318 726 + 4 508 = 323 234323 234 : 2 = 161 617161 617 – 4 508 = 157 109 Sú to èísla 161 617 a 157 109.
491. zošit
Všetky úlohy sú propedeutikouriešenia lineárnych rovníc. Na ichriešenie môžete použiť diagram
alebo zápis pomocou„čísla ukrytého pod kartičkou“
Zatiaľ neodporúčame používaťneznámu. Niežeby to žiaci nebolischopní pomocou neznámej zapí-sať a vypočítať (Veď generáciežiakov pred nimi to zvládali!), aleviedlo by to k formálnemu výpočtubez porozumenia.
Ak k číslu a pridám 4 508, dosta-nem rovnako veľké číslo ako b.Ak súčet čísel a + b je 318 726,tak 318 726 + 4 508 je dvojná-sobkom čísla b.
.
Náš výpočet je založený na úvahe:
Pozor! Úloha nie je ľahká.
+350 849 1 075 228
+ 350 849 = 1 075 228
Úloha 7
92
78
1 2772 7254 346
17012078
5501 1992 6474 268
720
628550
6492 097
1 3691 3191 277
649
1 4483 069
2 7672 7252 6472 0971 448
1 621
4 4384 3884 3464 2683 718
1 621
42120670
1 319
4 388
5092
7201 3692 8174 438
NeptúnUrán
Saturn
1 199 miliónov2 725 miliónov
628 miliónov
S–M = 58 miliónov kmM–V–Z–M–J–S–U–N = 4 438 miliónov km
nie
JupiterMars Zem
Venuša
Merkúr
501. zošit
Potrebujete úlohy s veľkými čís-lami? Stačí sa pozrieť na oblohu…a využiť internet. Úlohy na nasle-dujúcich dvoch stranách majú vási žiakov inšpirovať k tvorbe ďalších.
Úloha je náročná v tom, že si vy-žaduje zápis údajov do tabuľkyv miliónoch kilometrov. Overtesi, či všetci žiaci rozumejú tejtopožiadavke.
Pomenujte si planéty na obrázku.Námet
Úloha 1
Zem – Jupiternalietané
683 488 932–504 772 660178 716 272
Je to menej o 178 716 272 km.
50 000 – 33 662 = 16 338
Raketoplány obleteli Zem 16 338-krát.
1 391 980 – 12 756 = 1 379 224
Priemer Slnka je o 1 379 224 km väèší ako priemer Zeme.
..... 628 miliónov km
..... 683 488 932 km
511. zošit
100 293359 544615 000
4 314 191786 745868 739
5 668 7729 932 027
6 008 839
7 960 76068 123 956
28 795 764
40 835488 290
4 456
58 434319 01924 258
102 5072 488 752
931 750859 173
3 533 02110 068 705
232 294170 025
2 878 173389 028
352 7865 767 819
61 409 323142 743
3 724 881
5 754 745731 146
9 604 774
521. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 3
Sčítame na kalkulačke.
Odčítame na kalkulačke.
Príklady s viacerými počtovýmioperáciami, kombinujemesčítanie a odčítanie.
533 291 =. 533 3003 309 568 =. 3 310 000
814 784 =. 810 0006 555 850 =. 6 600 000
9 901 240 =. 10 000 000
7 974 =. 7 970
30 700 + 65 000 = 95 700
5 km = 5 000 m 10 km = 10 000 m 42 km 195 m = 42 195 m5 000 + 10 000 + 42 195 = 57 195Spolu prebehol 57 195 metrov.
Súèet: 37 365
5 �
2 �
1 �
300
221
213
205
150
142
134
126
118
1010
071
063
055
047
039
0211
0113
0015
Súèet: 1 075 920
12 452
12 45712 453 358 638 358 640
358 644
358 634 358 63612 456
531. zošit
Úloha 4
Úloha 6
Úloha 7
Úloha 8
K sčítaniu a odčítanie pridávamezátvorky a opakujeme zaokrúhľo-vanie.
Opakujeme premenu jednotiekdĺžky.
Sčítanie a odčítanie na kalkulačke,no v inom kontexte ako doteraz– žiaci musia sami určiť, akú poč-tovú operáciu je potrebné zvoliť.Okrem toho výpočet jedného číslamagického štvorca obyčajne obsa-huje niekoľko medzivýpočtov,na zapísanie ktorých nie je miestov pracovnom zošite. To bude žia-kov nútiť počítať všetko postupnena kalkulačke a použiť napríkladaj funkciu vkladania do pamätekalkulačky.
Spôsobov na nájdenie riešenia jeniekoľko. Nám sa zdá tabuľkaveľmi prehľadná, akceptujte všakkaždý spôsob, ktorý je logický,prehľadný a zabezpečuje, že žiakpomocou neho nájde všetkyriešenia.
3,50 �
2,30 �
5,70 �
1,40 �
+ 8 245 + 9 256naj
+ 4 592
0,99 �
541. zošit
V tejto kapitole predstavujemežiakom čísla iné ako prirodzené,s ktorými sa však stretávajúv každodennom živote, aktívneich používajú a pracujú s nimiintuitívne.
Jedným z klasických modelovpre predstavenie si celých číselje teplomer. Ten už žiaci videlia preto pre nich nebude prob-lém zaznamenať aj „mínusové“teploty.
Typický príklad, ktorý môžežiakom spôsobiť terminologicképroblémy. V bežnej komunikáciihovoríme o hĺbke a používamepri tom kladné čísla, spojenie„väčšia hĺbka“, „menšia hĺbka“,ale keď sa o to isté pokúsimev reči celých čísel, tak sa
zrazu stáva menším číslom.Preto je dobré učiť žiakov, abypracovali s obrázkom – náznakčíselnej osi, ktorý im pomôžepri riešení takýchto úloh.
Cieľom je ukázať žiakom, že sas desatinnými číslami stretávajúv každodennom živote, naprí-klad pri práci s peniazmi.
väčšiahĺbka
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 3Úloha 4
výdaje: 8,20 �
príjmy �: 6,70menej
pondelok: èajkáva s cukromkapuèínoèajkáva
utorok:streda:štvrtok:piatok:
467
320
755
600
1280
3799
551. zošit
Úloha 5Úloha 6Úloha 7Úloha 8Cieľom je ukázať žiakom, že sas desatinnými číslami stretávajúv každodennom živote, naprí-klad pri práci s peniazmi.
129
16184
181818
12—
— —
—
23
76
13
—13
561. zošit
Na tejto strane delíme celokna časti. Považujeme za dôležitépriblížiť žiakom geometrickúinterpretáciu zlomkov.
300 50 400
150
450 180
300
480100 240
3 307846
2 4321 041
24 852914
5241 565
28 904
540
120
2 3567193 075
4 592 3 539
20 484 493 113223 076 1 060 103
432657
1 089
3 466 41 557
571. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 3
Úloha 4
Bobor pri úlohe už nepripomína,aké vlastnosti má magický štvorec.Je to jasné všetkým vašim žiakom?
Pozornosť žiakov má byť zame-raná na stratégiu riešenia úlohy.Aký je optimálny postup riešenia?
Aj táto úloha je propedeutikouriešenia rovníc.
Špekulácia, dobrý odhad, trpezli-vosť a skúška správnosti – to súštyri predpoklady dosiahnutiasprávneho riešenia úlohy.
54 32198 76510 045
356 789519 900
20 8262 059
7458 200
31 830
13 1304 788
11 614
7 096
31 52635 350
260 580268 811
811
316 242
316 624324 855
154
8 81
929
989
68
5
36
3
A = 78 860 – 26 300 = 52 560B = 26 300 – 15 620 = 10 680C = 15 620D = 193 500 – 146 800 = 46 700
E = 193 500 – 133 700 = 59 800F = 193 500 – 46 700 – 59 800 =
= 87 000
581. zošit
Úloha 5V tejto úlohe pracujeme s pre-mennou v trochu inom kontexteako v predchádzajúcich úlohách– tu vystupuje premennáako súčasť záhlavia tabuľky.Je to ďalší kamienok do mozaiky,ktorá bude komplexným obra-zom premennej v hlave žiaka.
tam tam tamotec + mama otec Jarko + Ela mama otec + mama
2 min + ++ + =1 min 5 min 2 min 2 min 12 min
1 4 2 8
7
13
100
= 700
)
7 1 9 1 5
591. zošit
Úloha 10
Úloha 12
Nechajte si žiakmi vysvetliť, akopostupovať, aby súčet získali čonajrýchlejšie. „Finta“ kalkulačkaje v tomto prípade zakázaná.
Úloha nemá jediné možné rie-šenie; vracajú sa mama a otec,pretože im to trvá najkratšie.
4 626 331 + 537 946 + 215 178 = 5 379 455
Slovensko malo 5 379 455 obyvate¾ov.
13 000 + (13 000 + 27 000) = 53 000
Pán Novák zaplatil 53 000 eur.
27 800 + (27 800 – 6 324) = 49 276
Novákovci najazdili 49 276 km.
371 + 264 + 563 = 1 198
Do školy chodí 1 198 obyvate¾ov.
601. zošit
7 800 – 1 000 – 750 = 6 050
Lietadlo letelo vo výške 6 050 metrov.
56 427 + 359 062 = 415 489 6 328 093 – 12 707 = 6 315 386
+ 12 816 – 7 442 + 75 427 – 45919 244 932 060 924 618 1 000 045 1 000 000
sud10 m
1,5
m
a) (10 + 5 . 1,5) . 2 + (10 + 11 . 1,5) . 2 + (10 + 14 . 1,5) . 2 = 150
b) (10 + 2 . 1,5) . 2 + (10 + 5 . 1,5) . 2 + (10 + 8 . 1,5) . 2 ++ (10 + 11 . 1,5) . 2 + (10 + 14 . 1,5) . 2 = 220 220 – 150 = 70
611. zošit
Úloha 20Kreslite, znázorňujte pomocouobrázkovej schémy. To je naj-jednoduchšia cesta k výsledku.Podobné úlohy skrývajú v sebeproblém v rozdielnom počtestromov a medzier medzi nimi.Žiaci si nie vždy uvedomia, žeak je 9 stromov, je medzi nimi8 medzier.
79 okresov
621. zošit
Tento projekt vám umožňujebližšie zoznámenie sa so Sloven-skou republikou a jej územno--správnym usporiadaním pro-stredníctvom čísel, grafova tabuliek. Okrem vyriešeniazadaných úloh môžu žiacivymýšľať svoje vlastné.
NámetyMy sme potrebné údaje našlina stránkach Štatistického úraduSlovenskej republiky. Nechajtežiakov, aby overili ich správnosť.Nájdu iné čísla? Prečo? Disku-tujte.Spoločnosť očakáva, že škola vy-chová ľudí schopných argumen-tovať a obhajovať vlastný názor(to neznamená, že nebudúschopní počúvať a kriticky zva-žovať názor iných). Učme žiakovpýtať sa, počúvať, zvažovaťa argumentovať.
73/7251/16276/18354/15315/18516/24666/23440/17
606 753
1 862 227
Bratislavský krajTrnavský krajTrenèiansky krajNitriansky kraj
Banskobystrický krajPrešovský krajKošický kraj
610 000560 000600 000710 000700 000660 000800 000770 000
1 351 088 1 573 569
631. zošit
641. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Začíname intuitívnym kreslenímobrázkov.
Typické „časopisové“ úlohy smeskomplikovali tým, že obrázkysú zobrazené v posunutí,
v osovej súmernosti,v stredovej súmernosti.
Pri rozhodovaní, o ktoré zobra-zenie ide, pomôže farebný pásikna rukáve trička. Na začiatku rie-šenia každej úlohy by bolo dobrépriradiť k sebe dvojice tváričiek,ktoré porovnávate (ako sme na-značili v .Jednotlivé rozdiely sme označilikrúžkom.
a)b)c)
b)
651. zošit
Úloha 3
Úloha 4
Úloha 5
a)b)c)d)
e)
f)
g)
h)
sú zhodné v osovej súmernosti,nie sú zhodné (iná farba),sú zhodné v posunutí,sú zhodné v stredovej súmer-nosti,nie sú zhodné (každý z nichunožuje na inú stranu),sú zhodné v stredovej súmer-nosti,sú zhodné v posunutí ajv osovej súmernosti,nie sú zhodné (iná farba).
Každá polička tvorí samostatnézadanie, môžete však hľadaťvzory a obrazy aj v rámci obrázkaako celku.
Ďalšou výzvou by mohlo byť vy-tvorenie loga triedy, školy, vlastnejfirmy... tak, aby logo bolo stredovosúmerné, osovo súmerné atď.
� Bb � Ab
Ba Aa
Bc
AcAd
Bd
� C´A´
B´
661. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Riešenie ponúka „pohľad“do žiakovho zošita (aj s po-mocnými čiarami).
V našom riešení vám ponú-kame iba obrazy úsečkyv danom zobrazení.
B2
C2
A2
B1
C1
� A1
B3
A3
C3
� A1
B1
�
� D1
� C1C
2D
2
A2
B2
B3 C
3
D3
A3
B4
A4
D4
C4
671. zošit
Úloha 3Že sa bod zobrazí v osovejsúmernosti podľa osi do boduzapíšeme: : .Porovnajte vzniknuté trojuhol-níky. Sú zhodné? Je osovásúmernosť zhodnýmzobrazením?
AA'
(o) A A'�
pravouhlý rovnoramenný
rovnoramenný
tupouhlý rôznostranný
rovnostranný
rôznostranný
tupouhlý rovnoramenný
o1
o1o1
o2
o3
o1
681. zošit
Na tejto a na nasledujúcichstranách potrebujú žiaci k svojejpráci malé (najlepšie obdĺžniko-vé) zrkadielko. Keď žiaci nájdupomocou zrkadielka jednotlivéosi súmernosti, nech si ich dokaždého útvaru narysujú.Napriek tomu, že žiaci eštenepoznajú typy trojuholníkov.každý trojuholník pomenujte.A možno to zvládnu aj sami žiaci.
štvorec
kosoštvorec
lichobe�ník
obdå�nik
kosodå�nik
rovnoramenný lichobe�ník
o1
o2
o3
o4
4
2
2
0
0
1
o1
o2
o1
o1
o2
691. zošit
Keď žiaci nájdu pomocou zrkadiel-ka jednotlivé osi súmernosti, nechsi ich do každého útvaru narysujú.Štvoruholníky môžete pomenovať.Je to pravdepodobne prvé stret-nutie žiakov s kosoštvorcom,kosodĺžnikom, či lichobežníkom.
ABCPQR
XYZ, KLM
310
� � �= =<) <)RPQ PQR�
—
a = b = c|PR|=|RQ|
—
701. zošit
Úloha 8Skúste si to! Nie je to takéjednoduché, ako sa zdána prvý pohľad.O akú súmernosť vlastne ide?
o
o
o
o
o 711. zošit
Úloha 9Overte si, že os tetivy vždyprechádza stredom kružnicea je kolmá na tetivu. Môžeterysovať aj ďalšie spojnicea ich osi.
721. zošit
Úloha 10Úloha 11
Úloha 12
Tieto dve úlohy zaujmú možnoviac dievčatá ako chlapcov.Vyfarbovať ju v stredovej súmer-nosti by mohlo byť náročnejšie– možno to by mohla byť výzvapre chlapcov.
My vidíme napríklad tietomožnosti. Čo sa podarilonájsť vašim žiakom?
A1
B1 C
1
C3
A3
B3
B2
C2
A2
R´B´
A´� S´D´ C´
731. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Riešenie ponúka „pohľad“do žiakovho zošita (aj s pomoc-nými čiarami).
Zaradili sme označovanie súmer-ností pomocou geometrickýchznačiek, aj keď sa v učebniciachnevyskytuje.Že sa bod zobrazí v stredovejsúmernosti podľa bodu do bo-du zapíšeme: :
AS
A (S)' A A'.�
� A1 2� C
� D1� C1
� B1
A2
D2
B2
B3
B4
C3
C4
B5
C5
A5
D5
A3
A4
D3
D4
S
741. zošit
Úloha 3Tým, že sme zadali päť bodov,ktoré sú stredom súmerností,sme vám chceli dať možnosťrozhodnúť sa, koľko obrazovštvorca budú žiaci rysovať.Porovnajte štvorce a vyslovtetvrdenie o tom, či je stredovásúmernosť zhodným zobra-zením alebo nie.
751. zošit
Úloha 7Pre každý z útvarov samozrejmeexistuje veľa rôznych riešení.
Snemá
o
S
o
761. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Kačky sú osovo súmerné.Os súmernosti nájdeme tak,že spojíme úsečkou ten istý vý-razný prvok na vzore aj obraze(napr. oko) a zostrojíme kolmicuna túto úsečku prechádzajúcujej stredom.
Nezabudnite ani na tie osi sú-mernosti, ktoré pre žiakov nie súcelkom prirodzené: pre úsečku
priamka pre polpriamkupriamka pre priamku
priamka
AB AB,CD CD, p
p.
S
V
X
X'
Y
Y' V'
o
S
–5 0 5
771. zošit
Úloha 4
Úloha 6
Vezmite si aj iné dvojice číselna číselnej osi a hľadajte ich
alebo
Vyjde vždy štvorec?
os súmernosti stredsúmernosti.
C1 D1
F3 E3
E A1 3�
� A1
� F1� B3
B1
C3
B2 A2
E2 F2
� C2
D2
D3
781. zošit
Úloha 7Kreslite, posúvajte, preklápajte,otáčajte...
791. zošit
Kapitolu končíme tak, ako smeju začali – kreslením.
21455416
30123512
36203625
24561832
49272472
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
78111
7276
4589
9394
2 . 10 + 2 3 = 20 + 6 = 26.4 10 + 4 9 = 40 + 36 = 76. .3 10 + 3 4 = 30 + 12 = 42. .364890709648600
22. zošit
Cieľom tejto časti je naučiťžiakov násobiť dvojciferné číslojednociferným v obore do 100spamäti. Postupujeme pomocouvhodného rozkladu dvojcifernéhočísla na desiatky a jednotky.Nemožno stanoviť, že žiaci majútakéto násobenie vedieť spamäti.Odporúčame diferencovaný prí-stup. Vynásobiť 12 · 3 je užitočnévedieť aj spamäti, ale 17 · 4 je užkomplikovanejšie (i menej frekven-tované). V takom prípade bežneradšej siahneme po kalkulačke.Pristupujte k žiakom diferencova-ne, ich schopnosť násobiť spamä-ti je rôzna. Niektorí budú fascino-vaní počítaním spamäti a budúsa pretekať, kto z nich vypočítazložitejší príklad. Budú však aj takí,ktorí budú každý príklad počítaťpísomne alebo na kalkulačke.Prínosom tejto časti by malo byť,aby žiak vedel, ako má konkrétnedve čísla vynásobiť, ak chce do-stať správny výsledok. Realizáciasamotného násobenia je a vždybude na ňom.
(pokračovanie na s. 3)
Aby žiak dokázal násobiť dvoj-ciferné číslo jednociferným spa-mäti, musí mať zvládnuté tri zá-kladné činnosti: malú násobilku(úloha 1), násobenie desiatimi(úloha 2) a sčítanie dvojcifer-ných čísel spamäti (úloha 3).Ak žiaci nedokážu pohotovozvládnuť všetky tieto zručnosti,nebudú ani vedieť násobiť dvoj-ciferné číslo jednociferným.
Úloha 1Úloha 2Úloha 3
57 eur 60 eur
91 eur 52 eur
50 55 60 65 70 75
56 60 64 68 72 76
66 84 96 72 90 78
42 51 45
907284
42 72 30
51 78 60
70 84 22
85 91 44
36 57 39
15 6 = 90.12 . 6 = 7214 . 6 = 84
32. zošit
Tieto úlohy vám slúžia na odhalenienedostatkov trochzručnostiach. Ak zbadáte nejakénedostatky, nepostupujte ďalej,kým ich nenapravíte, alebo sa imvenujte na začiatku každej hodinyvo forme matematickej rozcvičky.
vo všetkých
Úloha žiakom predstavuje, akonásobíme dvojciferné číslo jedno-ciferným. Najprv urobíme rozkladdvojciferného čísla na desiatkya jednotky, potom vynásobímejednociferným číslom samostatnedesiatky a samostatne jednotkya na záver obidva súčiny sčítame.Precvičeniu tohto algoritmu sabudeme venovať v celej kapitole.Násobenie sme kvôli zjednoduše-niu rozdelili na dve časti: najprvnásobíme dvojciferné čísla menšieako 20 a potom čísla väčšie ako 20.
Ak niektorí žiaci majú problémypri počítaní spamäti, odporučte im,aby si urobili rozklad a vypočítalikaždý príklad písomne. Dajte impriestor, aby každý svojím tempomzvládol túto zručnosť a tešil sa z to-ho, ako sa zlepšuje. Každý príkladje zadaný v rovine najjednoduch-šieho riešenia priamej úmernosti –daná je cena za jeden kilogram.Najmä šikovnejším žiakom môžetezadávať úlohy, v ktorých bude vý-chodiskom cena za viac kilogramov(vypočítajú cenu za jeden kilo-gram) alebo v ktorých budú počí-tať aj cenu za iné množstvo tovaru,ako je dané.
(pokračovanie na s. 4)
Úloha 4
Úloha 5
8060
9080
6040
100100
400
3 . 20 + 3 . 6 = 60 + 18 = 78969696668693817042
25 4 = 100.33 . 3 = 9927 . 2 = 5419 . 5 = 9511 . 9 = 99
776
515
nemá riešenie
516
03
6
42. zošit
Úloha 6
Úloha 8
Úloha 9
Úloha 10
Úloha 11
Žiaci násobia spamäti a výsledkyvpisujú priamo do tabuľky.
Stále platí, že žiaci počítajú spa-mäti. Ak s tým majú problémy,môžu si písať rozklad a počítaťpríklad písomne. Ak budete žiakanútiť počítať spamäti, môže sastať, že nebude reagovať. Ani uči-teľ v tom prípade nevie identifiko-vať problematické miesto v celomprocese výpočtu, príp. psychickýpôvod problémov. Ak žiak začnena tabuľu (na papieri) riešiť prí-klad pomocou rozkladu, učiteľmu vie promptne poradiť.
Opakujeme, ako sa násobia de-siatky jednociferným číslom. To jezručnosť, ktorá pribudla oprotipredchádzajúcemu násobeniu.
Vzorovo vyriešený príklad ukazu-je, ako rozložiť dvojciferné číslona desiatky a jednotky a potomho vynásobiť jednocifernýmčíslom.
Spájame pojem číslas príslušnou počtovou operáciou.
Prechádzame do druhej etapynásobenia dvojciferného číslajednociferným – násobímedvojciferné čísla väčšie ako 20.
n-násobok
(pokračovanie na s. 5)
100 – 65 = 35
98 + 72 = 170
72 – 66 = 6
382 + 96 = 478
2 . 31 = 62 28 + 34 = 623 . 28 = 84 99 – 15 = 84
5 . 17 = 85 40 + 45 = 856 . 8 = 48 72 – 24 = 48
3 .29 = 874 .6 = 242 .46 = 925 .5 = 25
6063
33 .3 = 9929 .3 = 8727 .3 = 81
Cesta je dlhá 267 m.
998781
267
54 + 33 = 8792 – 68 = 2454 + 38 = 92100 – 75 = 25
52. zošit
Úloha 12
Úloha 14Úloha 13
Úloha 15
Úloha 16
Úloha 17
Vyriešiť príklady môže byť pre nie-ktorých žiakov opäť problematické– ešte stále nemusia mať potrebnézručnosti, aby si neznáme číslozapísali pomocou premenneja vypočítali ho ako rovnicu.Odporúčame, aby si žiaci pomo-cou kalkulačky skúšali dosadzovaťrôzne čísla. Ak chcete, aby si pre-cvičili násobenie, nechajte ich po-čítať bez kalkulačky.Príklad 25 + · 21 = 112 nemáriešenie (v množine prirodzenýchčísel). Je potrebné, aby sa žiacistretávali aj s takou možnosťou.
�
Jednou zo zručností, ktoré majúžiaci zvládnuť v piatom ročníku,je poradie počtových operáciía počítanie so zátvorkami.My sa im venujeme na niekoľkýchmiestach pracovných zošitov.
Príklady ukazujú žiakom distribu-tívnosť násobenia.
Jupiter má viac mesiacov akoich má 5 rokov. Podľa stránky
ich má 63.
Propedeutika pomeru a mierky.
sk.wikipedia.org/wiki/Jupiter
6558
6646
21 3 4 5 6 7 8 9 10
7465
7479
9979
1010
1010
1010
1010
1010
3 13
40 : 4 + 8 : 4 = 10 + 2 = 12 14
12 12
14 15
11 13
12 16
40 + 8
62. zošit
Úloha 1
Úloha 4
Úloha 2Úloha 3Aby žiak dokázal správne deliťdvojciferné číslo jednocifernýmspamäti, musí mať zvládnuté trizákladné činnosti: malú násobil-ku (úloha 1), delenie desiatimi(úloha 2) a sčítanie dvojcifernýcha jednociferných čísel spamäti(úloha 3).
Vzorový príklad predstavujepostup pri delení dvojcifernéhočísla jednociferným v obore veľ-kej násobilky. Najprv sa rozložídvojciferné číslo na desiatkya jednotky, potom sa vydeliadesiatky jednociferným číslom,jednotky jednociferným čísloma na záver sa obidva podielysčítajú.Do prvej etapy sme zaradili jed-noduché príklady, v ktorých ne-treba rozmýšľať nad rozkladom,desiatka je v nich vždy deliteľnájednociferným deliteľom.
Ak vaši žiaci nedokážu pohotovozvládnuť všetky tieto zručnosti,nebudú vedieť deliť dvojcifernéčíslo jednociferným. Úlohy slúžiana odhalenie úrovne ovládaniavšetkých troch zručností. Ak zba-dáte nejaké nedostatky, nepostu-pujte ďalej, kým ich neodstránite,alebo sa im venujte na začiatkukaždej vyučovacej hodiny voforme matematickej rozcvičky.
121113
10 5 15
36 : 3 = 1233 : 3 = 1139 : 3 = 13
50 : 5 + 15 : 5 = 10 + 3 = 13
12
13
19 13
17
17
50 + 15
80 + 16
40 + 12
30 + 27 60 + 18
50 + 35
40 + 28
11 16 15 14
12 12 15 13
6 543 500 9 242 822
72. zošit
Úloha 5
Úloha 6
Stále platí, že žiaci počítajú spamä-ti. Ak s tým žiaci majú problémy,môžu si písať rozklad a počítaťpríklad písomne.Ak budete žiaka nútiť počítaťspamäti, môže sa stať, že nebudereagovať. Ani učiteľ v tom prípadenevie identifikovať problematickémiesto v celom procese výpočtu,príp. psychický pôvod problémov.Ak žiak začne na tabuľu (na papie-ri) riešiť príklad pomocou rozkladu,učiteľ mu vie promptne poradiť.
Pri delení 75 : 5 nerozkladáme čísla75 na 70 a 5, pretože 70 : 5 nie jepre žiakov jednoduché delenie.Nájdeme také desiatky, ktoré sú ná-sobkom piatich a dobre sa žiakomdelia (vhodným číslom je desaťná-sobok jednociferného deliteľa).Príklad na tabuli ukazuje logikucelého postupu delenia.
kúskov
celé prázdninytretina
63 : 3 = 21
Tretina prázdnin trvá 21 dní.
nôhoviec52 : 4 = 13
Baèa má 13 oviec.
trénovanýnetrénovanýnetrénovaný
50 : 2 = 25Netrénovaný cyklista prejde za hodinu 25 km.
..... 60 cm
..... 5
..... 4
..... 3
..... 2
..... 63 dní
..... ?
..... 52
..... ?
..... 50 km
..... 2-krát menej
..... ?
60 : 5 = 12 cm60 : 4 = 15 cm60 : 3 = 20 cm60 : 2 = 30 cm
82. zošit
Úloha 9Úloha 10Kým v úlohe 9 delíme na danýpočet častí, v úlohe 10 delímena dané diely. Z pohľadu použitejmatematickej operácie ide o toisté, ale každá úloha opisuje inýprincíp delenia.
137121227
11 + 36 = 47
142 – 32 = 110 21 – 15 = 6
515 + 11 = 52617 + 164 = 181
517 – 26 = 491 34 – 27 = 7
274 + 22 = 29619 + 218 = 237
605 – 11 = 594 13 – 8 = 5
315 + 15 = 33024 + 72 = 96
290 – 13 = 277 31 – 28 = 3
307 + 22 = 329
151415141
1314121611
1219181712
10 94
738
21 12 11
65
1M
2O
3D
4R
5É
6P
7L
8I
9E
10S
11K
12O
52 : 2 = 2651 : 4 = 13
Áno, ak je 1. januáraa narodeniny má 31. decembra.
30. 12. 31. 12. 1. 1. 2. 1.
N
92. zošit
Úloha 14
Úloha 15
Úloha 17
Úloha sa venuje poradiu počto-vých operácií. Menej šikovnýmžiakom môže pomôcť, ak si predpočítaním vyznačia zátvorkou túpočtovú operáciu, ktorú majúpočítať ako prvú.
Riešením je Modré pliesko. Je todruhé najvyššie položené plesovo Vysokých Tatrách, no na roz-diel od najvyššieho – Baraniehoplieska (2 207 m n. m.) – je stále,preto sa niekedy považuje za naj-vyššie. Leží v Dolinke pod Sediel-kom, medzi stenami MaléhoĽadového štítu a Širokej veže.Má rozlohu 0,4 ha a hĺbku 4,5 m.
Žiaci možno budú potrebovať po-moc. Naznačte im, aby si všímaliprelom roka.
85 46 74 75
9 19 17
23 15 7
13 11 21
43 31
12 18
obidvajasúèet 45súèet 180
20 1959
22 12
525 4
1
32
617
33
00
1213
2426
3639
4852
6065
7278
8491
96104
108117
54
67
1216
102. zošit
Úloha 18
Úloha 19
Úloha 20
Úloha 21Úloha 22
Cieľom úlohy je násobiť a deliťdvojciferné číslo jednociferným,a zopakovať porovnávanie priro-dzených čísel.
Pripomeňte si, že magický štvo-rec je taký štvorec, v ktorom sú-čet čísel v každom riadku, v kaž-dom stĺpci a v každej uhlopriečkeje rovnaký.
Pre magické štvorce platí, že pri-počítanie toho istého čísla kukaždému číslu štvorca, odčítanietoho istého čísla od každého číslaštvorca, vynásobenie/vydeleniekaždého čísla štvorca tým istýmnenulovým číslom nemení vlast-nosť štvorca, ktorú nazývame„magickosť“.Táto úloha môže byť pre vás od-razom pre skúmanie tejto vlast-nosti magického štvorca a jejpostupné odhaľovanie žiakmi.
V treťom riadku zadaniasú ešte možnosti 5 · 11 = 55a 5 · 15 = 75.
Tabuľky v úlohe 21 pomáhajúnájsť riešenia jednotlivých prí-kladov úlohy 22. Môžete postu-povať tak, že pomocou tabuľkynájdete niekoľko vhodných rie-šení a potom z nich vyberieteto najväčšie.Číslo do poslednej nerovniceúlohy 22 v tabuľke nenájdete.
Námety
d)
4, 3, 2, ..., 0 6, 5, 4, ..., 0 5, 4 , 3, ..., 0 5, 4 , 3, ..., 0
100
68
12
13
30
58
12
12
66
68
15
15
54
99
15
25
65
85
12
19
4 2 3 7 5
651 677
1 – 2 – 3 – 41 – 2 – 4 – 31 – 3 – 2 – 41 – 3 – 4 – 21 – 4 – 2 – 31 – 4 – 3 – 2
3 – 1 – 2 – 43 – 1 – 4 – 23 – 2 – 1 – 43 – 2 – 4 – 13 – 4 – 1 – 23 – 4 – 2 – 1
2 – 1 – 3 – 42 – 1 – 4 – 32 – 3 – 1 – 42 – 3 – 4 – 12 – 4 – 1 – 32 – 4 – 3 – 1
4 – 1 – 2 – 34 – 1 – 3 – 2
4 – 3 – 1 – 24 – 3 – 2 – 1
4 – 2 – 1 – 34 – 2 – 3 – 1
112. zošit
Úloha 23
Úloha 27
Keď nájdete tri riešenia, skústenájsť všetky. Viete to pre všetkynerovnice? Ak áno, vymysliteso žiakmi takú, ktorá nemákonečný počet riešení.
V úlohe nie sú podstatné ani forma,ani spôsob zápisu riešenia. Dôleži-té je vytvoriť si systém, pomocouktorého nájdeme všetky riešeniaa ktorý je pre mňa zrozumiteľný.Túto zručnosť by mali vaši žiacizískať riešením podobnýchkombinatorických úloh.
3 dni1 deò
42 : 3 = 14
nohavicetrièkospolu
84 : 6 = 14 84 + 14 = 98Mama spotrebovala 98 cm nite.
..... 42 korálikov
..... ?
..... 84 cm
..... 6-krát menej
..... ?
105 42 14 126 147 63 154 49 1351193
189 133 98 231
cena ( )� 12
1
24 36
2
48 60
3
72
321 12
12
12
12
84
4
96
122. zošit
Úloha 28
Úloha 31
NámetyAk žiaci vyplnia tabuľku spamäti,máte priestor na vytvorenie ďal-šej, do ktorej každý žiak vymyslívstupné údaje, a tú nechá vy-riešiť susedovi.
Propedeutika priamej úmernosti.Úlohu sme skomplikovali tým,že sme zaradili aj polkilogramy.Šikovnejším žiakom by to všaknemalo robiť problémy.
sèítanínásobení
(6 + 7) + (7 + 6) = 26(2 + 9) + (9 + 2) = 22(1 + 7) + (7 + 1) = 16(2 + 5) + (5 + 2) = 14
4 © 6 = (4 + 6) + (6 + 4) = 206 © 4 = (6 + 4) + (4 + 6) = 20
132. zošit
Úloha 1
Úloha 3
Úloha 2Identifikujeme operácie, ktoré súkomutatívne (nezáleží na poradí,v akom ich počítame).
Úloha ukazuje žiakom inú počtovúoperáciu, než na akú sú zvyknutí.Táto počtová operácia je tiežkomutatívna. Nechajte žiakovvytvoriť operáciu, ktorá nebudekomutatívna.
= 300 000= 200 000
= 400 000= 100 000
= 900 000
78
4
65
55
DOBR E
++..––+–.
+ .
(
(
)
)
–.–.+.+–+
+ – – –
142. zošit
Úloha 4
Úloha 5
Úloha 6
Výsledok tajničky: DOBRE.
V triede sa nájdu žiaci, ktorí bu-dú fascinovaní podobnými prí-kladmi a budú od učiteľa žiadaťďalšie a náročnejšie. Takých žia-kov poverte tvorbou podobnýchúloh. Neuspokojte sa však ibas tvorbou zadania bez riešenia.To žiakov zbavuje zodpovednostia vedie k nedôslednosti. Učiteľby mal žiadať aj riešenie – získakvalitnú zbierku niekedy veľmikomplikovaných príkladov.Menej motivovaných žiakov sapokúste aktivizovať zaujímavýmipríkladmi.
Ako riešiť podobnú úlohu?Žiaci môžu dosadzovať rôzneznamienka a sledovať, ako samení výsledok. Takto najlepšiezískajú cit a odhad, ktoré pri rie-šení podobných úloh potrebujú.
210
101
101
202
151
180
100
102
201
290
70
51
41
33
30
25
23
21
16, 20
20, 25
36, 42
16
20
36
152. zošit
Úloha 1
Úloha 3
Úloha 2
Úloha 4Úloha 5
Cieľom úloh je upozorniť žiakovna to, že delenie nevychádza vždypresne – naučiť ich deliť so zvyš-kom. Tejto činnosti venujte maxi-málnu pozornosť, pretože je jed-ným z kľúčových predpokladovna zvládnutie algoritmu písom-ného delenia.V úlohe 1 delíme na daný početčastí – deti rozdeľujeme do nie-koľkých rovnako veľkých skupín.K pojmu sa približujeme ajlingvisticky, keď určujeme početzvyšných detí.V úlohe 2 sme sa zamerali na de-lenie na určené diely – staviametrojguľové snehuliaky.
Ak by niektorým žiakom spôso-bovalo riešenie úlohy problémy,modelujte situáciu, či už pomocoužiakov v triede, alebo pomocoumodelov (paličky, kocky a pod.).
Venujeme sa dôležitému pojmuz hľadiska algoritmu písomnéhodelenia – najbližšiemu menšiemunásobku. Predstavu žiakov budu-jeme pomocou číselnej osi v nie-koľkých krokoch. Najprv nájdemedva najbližšie násobky čísla a po-tom z nich vyberieme ten menší.
zvyšok
Námety
2736
7788
4387
2840
5 7 1
5 8 11
7 15 6
3 15 5
11 4 74
4
10
01 1 2
4 1 1
2 0 3
0 0 2
2 1 13
2
1
6
246
5137
1F
2R
3E
4G
5A
6T
7A
162. zošit
Úloha 7
Úloha 8
Úloha 9
V tejto úlohe už používame ter-minológiu, ktorá je charakteris-tická pre algoritmus písomnéhodelenia. Pýtame sa: Koľkokrátsa číslo nachádza v...?
Aj na ďalších hodinách odporú-čame riešiť podobné úlohy, na-príklad vo forme matematickýchrozcvičiek.
Dbajte na správne podpisovaniezvyšku pri delení.
Riešením tajničky je FREGATA.Fregata bolarýchla vojenská plachetnicas tromi sťažňami. Bola menšiaa rýchlejšia ako radová loď.Používala sa najmä na hliadko-vanie a prepravu, menej užv námorných bitkách.
nNámety
v 17. a 18. storočí
4, zv. 55, zv. 2
2, zv. 13, zv. 24, zv. 55, zv. 38, zv. 45, zv. 07, zv. 18, zv. 13, zv. 8
4 . 8 + 5 = 32 + 5 = 375 . 10 + 2 = 50 + 2 = 522 . 7 + 1 = 14 + 1 = 153 . 4 + 2 = 12 + 2 = 144 . 6 + 5 = 24 + 5 = 295 . 4 + 3 = 20 + 3 = 238 . 5 + 4 = 40 + 4 = 445 . 7 + 0 = 357 . 3 + 1 = 21 + 1 = 228 . 3 + 1 = 24 + 1 = 253 . 9 + 8 = 27 + 8 = 35
112
11, 2
1, 2, 31, 2, 3, 4
1, 2, 3, 4, 51, 2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4, 5, 6, 71, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
521
141
232
172. zošit
Úloha 10
Úloha 12
Pripomíname aj spôsob, akým sarobí skúška správnosti pri deleníso zvyškom.
Žiaci asi nedokážu hneď napísaťsprávnu odpoveď, najmä pri vyš-ších deliteľoch. Nechajte ich skúšať– deliť rôzne čísla – a takto nájsťsprávne riešenia.
Rozdeľte žiakov do skupín, pričomkaždá skupina bude hľadať všetkyzvyšky pre jedno číslo. Pre žiakovje dôležité zvyknúť si aj na prácuv skupinách – nielenže to oživívyučovanie a spraví ho príťažli-vejším, ale v priamom kontaktes druhými sa budujú sociálnekontakty a vhodné sociálnesprávanie sa.
Námety
38 : 7 = 5, zv. 3
Babièke ostali 3 jablká.
100 : 9 = 11, zv. 1
31 : 7 = 4, zv. 3
5 . 7 = 3540 – 35 = 5
Jurkovi zvýši 5 bonbónov.
182. zošit
6 hráèov
70 : 9 = 7, zv. 7
28 : 6 = 4, zv. 4
Skrinka mala 5 polièiek.Na poslednej polièke boli 4 knihy.
37 : 5 = 7, zv. 2
Zvýšili 2 m látky.
6 hráèov 11 hráèov 7 hráèov
192. zošit
Úloha 18Ak nemáte na hodine matematikyk dispozícii počítač s pripojenímna internet, je táto úloha vhodnáskôr na domácu úlohu.
601 200
2102 4000
601 2002 100
4 0009 000
2002 0003 000
02 100
20020 00010 000
56010 000
000
000
00
00 0000 00
00 00
60
2 100
34
6556
10 000
00
0 00
11135 000
2
202. zošit
Náš postoj k násobeniu spamätije jednoznačný – pre žiakov jezmysluplné, aby násobili spamäti„čísla s veľa nulami“. Táto zruč-nosť sa im zíde napríklad vtedy,keď budú robiť odhady svojichvýpočtov.
činiteľsúčin
Postavička ukazuje žiakom natabuli trik s nulou: koľko núl majúspolu činitele, toľko núl bude ajv súčine. Upozornite žiakov napríklady typu 5 · 600, kde súčin5 · 6 prináša ešte jednu nulunavyše.
Ak žiaci dokážu vymyslieť správ-ny príklad, porozumeli princípu,ktorý sme predstavili v predchá-dzajúcej úlohe.
Opakujeme pojmya a vzťahy medzi nimi.
Schopnosť určiť počet núlvo výsledku je dôležitá priodhade veľkosti výsledku.
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 4
Úloha 5
2 rámiky ..... 12 �
1 rámik ....... 6 �12 �
Jeden rámik stojí 6 .�
400 cm
Z
M
M
Z
M
�
M
Z
Z
280 cm1 100 cm
910 cm54 cm
510 cm
200 cm210 cm880 cm780 cm48 cm
340 cm
NT
OT
A
EV
UROBROZKLAD
LISEIS
RENV
A
ED
E
ÁNÁE
7 . 100 + 8 . 10 + 4 . 13 . 1 000 + 8 . 100 + 2 . 10 + 6 . 17 . 10 + 6 . 14 . 10002 . 1 000 + 1 . 87 . 1 000 + 2 . 100 + 9 . 103 . 1 000 + 9 . 100 + 3 . 10 + 1 . 19 . 100 + 8 . 105 . 100 + 6 . 10 + 3 . 17 . 10 + 2 . 17 . 100 + 3 . 1
M
M
TOS
R
DD
Z
�
�
Z
Z
M
M
� Z
M �
Z
212. zošit
Úloha 6
Úloha 7
Úloha 8
Úloha 9
Cieľom úlohy nie je samotnénásobenie, ale tréning odhaduveľkosti výsledku. Verifikovať hožiaci môžu výpočtom (spamätialebo na kalkulačke).
Táto úloha nielenže precvičuje ná-sobenie jednociferným činiteľom,vzťahy „ -krát viac“ a „o viac“,ale poskytuje aj zaujímavé informá-cie o zvieratách. Ponúkajú sa takďalšie námety na prácu so žiakmi.
Voľné riadky môžete využiťna samostatnú prácu žiakov.Žiaci nájdu na internete podobnéúdaje o iných zvieratách.
Opakujeme názvy rádov číslicv čísle a rozklad čísla v desiatkovejsústave.
Dobre nakreslený obrázok je viacako polovica riešenia!
n n
Námety
426 484 663
868 800 848
999
2184
2891
1290 2784
808
1568
2520
1946 1920
264
1645
4333
372 0
8448 9999 0
biele kvety
222. zošit
Na prvých stranách tejto kapi-toly žiaci počítajú v obdĺžničko-vej sieti, aby sa naučili správneodpisovať čísla pri písomnomnásobení. Neskôr už počítajúdo riadkov ako v zošite.
V prvej úlohe násobíme bez pre-chodu cez desiatku. Pozornosťžiakov je sústredená na to, čos čím násobíme a kam zapisu-jeme výsledok.
Pribudol aj prechod cez desiat-ku. Princíp pripočítavania „toho,čo mi ostalo“ žiaci poznajú užz algoritmu písomného sčítaniaa odčítania.
Úloha 1
Úloha 2
1960 60 5652 6000 78
9540
2
2
2
6
5
3
9
9
1
9
216
4
8
325 262 927
657 4506 1161 418
8 3 5 6 1 3 97
60, 78
5 652, 6 000, 9 540
1 960, 4 506, 1 161
657, 418
9K
2A
7T
2A
6M
2A
3R
2A
5N
232. zošit
Úloha 4
Úloha 5
Úloha 6
Náročná úloha. Ak bude spôso-bovať vašim žiakom ťažkosti,preskočte ju a vráťte sa k nejaž na záver kapitoly (spolus úlohou 7).
Okrem precvičovania algoritmupísomného násobenia opakujemeporovnávanie prirodzených čísel.
Riešením tajničky je KATAMARAN.Katamaran je plavidlo obyvateľovtichomorských ostrovov s dvomatrupmi alebo postrannýmiplavákmi.
8552 6261 21048 4826 8322 16263
3176 8028 42231 7452 36112 12815
8 46814 2956 324
18 62548 414
17 47252 254
52 672
743208550951
1 3152 0584 9993 105
242. zošit
Od násobenia jedno-, dvoj-a trojciferných čísiel jednocifer-ným číslom prechádzame k ná-sobeniu štvor- a viaccifernýchčísiel jednociferným číslom.
n
n
Pripomeňte si, že to, čo je v zá-tvorkách, počítame ako prvé.
Cieľom úlohy je, aby si žiacivšimli, že keď od -násobkudaného čísla odčítame jeho( – 1)-násobok, dostanemedané číslo. Neočakávame, žežiaci budú vedieť sformulovaťsvoje zistenia takýmto všeobec-ným spôsobom. Najskôr hobudú formulovať na konkrétnychčíslach. Akceptujeme to.Proces zovšeobecňovania jedlhý a netreba ho uponáhľať.
Úloha 9
Úloha 10
8588 900 15582 269399 15614194
235756990 876848 1203673 37741 12744
9045 533701
2969403192105
70
99495 5641982
0 972259
1612 1624018513617732
241395 23333310 109631668 807058629
286141880523
98419211810304
20058912
6
6
3000740
4020184556204
57014060
066
3
252. zošit
Úloha 11Úloha 12Úloha 13Precvičujeme písomné násobenie.
8 11111
1 11111 111
12 345 . 9 + 6 = 111 111123 456 . 9 + 7= 1 111 1111 234 567 . 9 + 8 = 11 111 111
1882 888
38 88854 321 . 9 – 1 = 488 888654 321 . 9 – 1 = 5 888 8887 654 321 . 9 – 1 = 68 888 888
286 400 226 800 554 874 12
262. zošit
103 404 3 519 719 8 524 686
21 032 12 168 33 228 227 556
1 375 896 4 188 800 26 411 765 33 581 366
448 617 838 170 408 31 186 725 686 940
37 128 5 127 732 1 608 828 12 488 3 752 096
272. zošit
Úloha 16Pripomíname spojenie pojmu
s počtovou operáciousúčin.n-krát viac
100 000 . 9 = 900 000
Nazeleno je zafarbených 900 000 štvorcov.
59 000 . 9 = 531 000
35 728 . 12 = 428 736
Spotrebuje sa 428 736 drôtov.
12 736 . 15 = 191 040
Cyklisti prešli 191 040 metrov.
282. zošit
60 . 100 = 6 000
170 . 3 = 510
1 877 . 11 = 20 647
Nové auto stojí 20 647 eur.
15 824 . 8 = 126 592
292. zošit
2 752 845 . 3 = 8 258 5358 258 535 + 2 752 845 = 11 011 380
Za polrok prepojili 11 011 380 hovorov.
25 000 . 3 = 75 00075 000 . 39 = 2 925 000
Na koncertoch bolo 75 000 divákov.
tri splátkydevä� splátok
jedna splátkasedem splátok
..... 30 000
..... 30 000 . 3 = 90 000
..... 30 000 : 3 = 10 000
..... 10 000 . 7 = 70 000
. 3
6 . 37 829 + 7 . (37 829 + 1 500) = 502 277
302. zošit
Úloha 30Neočakávame, že všetci vaši žiacizapíšu riešenie jedným číselnýmvýrazom a hneď ho aj vypočítajútak, ako sme to naznačili vo svo-jom riešení my. Je dobré, akžiakov trpezlivo vediete týmtosmerom. Podstatné je, aby žiacipri riešení vychádzali z kontextuúlohy – riešili ju krok za krokom.
87 848448 404
28 060
2 465 888596 294630 315372 198553 784
226 44042 292420 7721 624 0503 041 184
12 44443 746
126 054
53 75031 185
690 943
5 346 5 796 5 796 5 346
19 635336 00023 559124 68318 952503 592
2 5978 721133 152347 452
4466
312. zošit
Úloha 3
Úloha 4
Obidva činitele spolu so súčinomobsahujú číslice 1 až 9, a to každúiba raz.
Návrat do histórie. Môžete tipovať,ktorá mena patrila ktorému štátu.Žiaci si môžu doma zaspomínaťspolu s rodičmi alebo starýmirodičmi.
Námety
9 504157 122
447 0755 517 210
20 755107 445
1 273 27235 570 315
41 911 26325 163 446 =. 25 163 00048 636 210 =. 48 636 000
16 704 240 =. 16 700 00052 405 872 =. 52 410 000154 693 =. 150 000
49 317 840 =. 49 300 00025 539 310 =. 25 500 0001 601 646 =. 1 600 000
Ondrej4
Juraj3
Karol2
Peter1
26 432482 942
919 4854 304 222
30 155255 744
5 220 65927 894 672
41 911 000
322. zošit
Úloha 6
Úloha 7
Odhadnúť, koľkociferný budesúčet alebo rozdiel dvoch čísel,nebude robiť problémy. Horšieto bude pri súčine. Myslíme si,že sa so žiakmi dobre pobavíte.
Opakujeme zaokrúhľovanie.
83 540
1 424
13 581
37 935
521 465
874 824
1 390 404
332. zošit
Na tejto strane ponúkame„zrýchlenú verziu“ slovných úloh,ktorá sa často vyskytuje v rôznychtestoch. Nie je podstatné urobiťzápis slovnej úlohy, dôležité jevyriešiť ju a na správne miestovpísať správne číslo.
88 320618 240
6874 330
10 75230 66760 142
700306
662 400 + 14 720 + 5 888 == 683 008
900630 00027 0005 400
2014 000
600120
85 600
24048
928.7365568
27846496683008
342. zošit
Úloha 16
Úloha 17
Úloha 18
Spomenú si vaši žiaci na priestup-né roky? Navrhujeme, aby ste sas nimi dohodli, že v tejto úlohenebudete brať priestupné rokydo úvahy (pre zjednodušenie vý-počtu). Ak sa však medzi niminájdu takí, ktorých by zaujímaloako priestupné roky zmenia vý-sledok, nechajte ich to vypočítať.
Na ktorej planéte by sme sanedožili jedného obehu?
Táto úloha je určená skôr ako za-ujímavosť pre šikovnejších žiakov.Opäť vám umožní diferencovať.Nepočítajte ju so žiakmi, ktorímajú problém s algoritmompísomného násobenia.Poplietla by ich.
Námet
18013 700
300 000
90 400520
712 000
Eva: 555 . 40 . 7 . 89 = 13 830 600 – 3 830 600Jakub: 555 . 9 . 66 . 23 = 7 582 410 + 2 417 590 Jakub
500 0001 000 000
200 0001 000 000
125 0001 000 000
333 333999 999
166 666999 996
111 111999 999
250 0001 000 000
142 857999 999
100 0001 000 000
352. zošit
Úloha 22Toto je náročná úloha, pretožepracuje s presne neurčeným poč-tom činiteľov. Začnite tým, že bu-dete počítať súčiny pre konkrétnečísla. Toto umožní žiakom zorien-tovať sa. Úloha je vhodná na prácuv skupinách. Na záver každá sku-pina odprezentuje svoj postup ajsvoje riešenie.
3303003 000
3303003 000
2202002 000
770
700
400100
500
7003 0005 000
1 0001 000
50090060
60060020050
8008007090
880
800
990
900
362. zošit
Žiaci by mali vedieť deliť spa-mäti čísla s väčším počtom núl.Platí to isté ako pri násobení –uľahčenie práce pomocou mobil-ného telefónu, kalkulačky, počí-tača nemá v tomto procese vý-znam, pretože delenie spamätije jedným z kamienkov mozaikypochopenia a zvládnutia algo-ritmu písomného delenia.
Používame princíp „pyramído-vých príkladov“, ktoré sú vhod-né vtedy, keď chceme ukázaťanalógiu medzi počítaníms malými a veľkými číslami.
Úloha 1
50900
90
5108700
15501
842
54240
1
11
0
111
Karol + 36 + 16 + 9
18
nedá sa
4590100
84610
153
531
280
203895
679
70090
900
200800
80
+ 2
372. zošit
Úloha 5
Úloha 9
Úloha 6Úloha 7Možno bude potrebné pripome-núť, že keď chcem zistiť desatinu(stotinu…) z niečoho, musím torozdeliť na desať (sto…) častí. Ideo operáciu „delené desať (sto…)“.
Môžete si urobiť aj tabuľku.
DetiNa začiatku 36 0Zmena –20 – 7 7Na konci 9 7
Použili sme trik – určili sme si, koľ-ko čerešní mali chlapci na začiatku.Ak si každý žiak v triede určí inýpočiatočný stav čerešní, na konciaj tak zistí (porovnaním si svojhovýsledku so spolužiakmi), že roz-diel sú stále dve čerešne – na po-čiatočnom počte teda nezáleží.Ďalej sa dá pracovať napr. s ob-rázkami tak, ako sme to naznačiliv riešení. Ide o propedeutiku rie-šenia lineárnych rovníc.
Karol Maťo
1 00010 000
100100 000
40020
800900
3005 000
8060 000
560
400
9 00070 000
300 000
723801 200
370600
4 00050 000
63
2503 800
47 000
460200
9 00015230
6 500274
3 820
5 000 2 00050 100 100
4 20 25
5 000 0005 000 400
10 100 201 20 5
25 2 5
51050
382. zošit
Náš postoj k deleniu spamätije stále rovnaký - pre žiakov jezmysluplné, aby delili spamäti„čísla s veľa nulami“. Táto zruč-nosť sa im zíde napríklad vtedy,keď budú robiť odhady svojichvýpočtov.
Séria úloh orientuje pozornosťžiakov na skutočnosť, že pri de-lení 10 bude mať podiel o 1 nulumenej ako delenec, pri delení100 bude mať podiel o 2 nulymenej ako delenec a pri delení1 000 bude mať podiel o 3 nulymenej ako delenec.
Úloha 11Úloha 12Úloha 13
78 . 100 = 7 800
8 . 100 = 800
150 . 100 = 15 000
15 . 300 = 4 500
40 . 1 750 = 70 000
100 . 30 = 3 000
7 800
800
15
4 500
70 000
3 000
392. zošit
Dobrým námetom na diskusiuje „rozumné“ zaokrúhľovanie.Na objasnenie problematiky vámposlúžia úlohy na tejto strane.Často kontext či daná situáciarozhodujú o tom, ako je vhodnéčíslo zaokrúhliť a s akou presnos-ťou potrebujeme odhad urobiť.
100
100
100
100
100
100
100
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
1 2
1
5
2
125
120
1010
1010
120
120
1 2
1
0
2
402. zošit
Delenie peňazí je materializo-vaný algoritmus delenia. Robí saprostredníctvom modelu, ktorýje žiakom blízky a „uchopiteľný“rukami. Je to jedna z najdôležitej-ších častí pri zvládnutí algoritmupísomného delenia.Postupujeme tak, že začíname de-liť od najvyššieho rádu a to, čo sanám nepodarí rozdeliť bez zvyšku,premeníme na nižší rád (v prípadepeňazí rozmieňame na drobné).Peniazmi veľmi dobre modeluje-me rozklad čísla v desiatkovej sú-stave. 365 sú 3 stovky (3 stoeurovébankovky), 6 desiatok (6 desať-eurových bankoviek) a 5 jedno-tiek (5 jednoeurových mincí).Odporúčame, aby ste každémužiakovi rozmnožili jednoduchémodely peňazí.
V tejto úlohe je model deleniabez zvyšku. Najprv rozdelímestovky, potom desiatky.V časti ukážeme ako na to,v časti si postup môžu žiacivyskúšať sami. Odporúčame hoprecvičiť v zošite alebo manipu-láciou s modelmi peňazí na ďal-ších príkladoch.
Modelujeme delenie so zvyškom.Päť stoviek sa nedá rozdeliť na šty-ri časti bez zvyšku. Jednu stovku,ktorá nám ostala, premeníme nadesiatky a tie rozdelíme na štyričasti. Dve desiatky, ktoré
a)b)
námostali, premeníme na jednotkya tie rozdelíme opäť na štyri časti.Nemodelujte iba kreslením v zoši-
te. Použite modely peňazía nechajte žiakov „deliť“pomocou nich.
Úloha 1
Úloha 2
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
1
1
1
24
23
4
250240
321231
3 412
50
11
1
2
32
3 2
412. zošit
Úloha 4
Úloha 5
Pokračujeme v delení. Sedem sto-viek sa nedá rozdeliť na tri rovnakéčasti bez zvyšku. Jednu stovku,ktorá nám ostala, rozmenímena desiatky a tie pridáme k piatimdesiatkam, ktoré sme už mali.Spolu je to 15 desiatok, ktoré sadajú rozdeliť na tri časti bez zvyšku.
Delíme trojciferné čísla jednoci-ferným – všetky čiastkové deleniasú bez zvyšku.
1000
1000
1000
10
10
10
10
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
1
26
1 046
1 3
ostalo:
04
2
10
10
10
01
1 037 1
422. zošit
Úloha 6Utvrdzujeme činnosť a postupnezväčšujeme čísla, ktoré delíme.Pomocou tohto algoritmu dele-nia peňazí už žiaci vedia vydeliťakékoľvek číslo jednocifernýmdeliteľom. Vyskúšajte si to!
Začíname delením, pre ktoréplatí, že všetky číslice delencasú deliteľné deliteľom (v priebe-hu delenia nám ani jeden podielnevyjde so zvyškom). Opakuje-me tú istú činnosť ako v úlohe 1na strane 40: delenca rozložímena stovky, desiatky a jednotky;postupne vydelíme stovky,desiatky a jednotky deliteľom;výsledky delenia sčítame.
Pokračujeme delením, v priebe-hu ktorého nedostaneme zvyšok.Ukazujeme žiakom, že deliteľanetreba stále opisovať – pamä-táme si ho.
Zjednodušujeme zápis delenia.Ukazujeme, ako správne podpi-sovať číslice. Nepíšeme ani nuly.Poloha určuje rád každej podpí-sanej číslice.
Strana 43
Príklady na tabuliach pripomí-najú činnosť pri delení peňazí.Teraz sú však jednotlivé kroky for-málne zapísané – spočiatku veľmikostrbato, ale postupným zjedno-dušovaním zápisu sa približujemek algoritmu písomného deleniavo formálnej podobe.Tabuľa 1
Tabuľa 2
Tabuľa 3
432. zošit
Tabuľa 4
Tabuľa 5
Tabuľa 6
Tabuľa 7
Zápis algoritmu sa dostáva dodefinitívnej podoby, keď medzi-výsledky delenia píšeme hneďza znamienko rovnosti.
Na tomto príklade ukazujemežiakom, ako postupovať, keďv priebehu delenia vyjde zvyšok.Robíme presne to isté, čo pri de-lení peňazí. Zvyšnú desiatku roz-mieňame na jednotky a pridávameju k tým jednotkám, ktoré mámeod začiatku. Odporúčame, abyste od začiatku podobné príkladyriešili pomocou modelov peňazísúčasne s formalizovaným zápisom.
Tu sa venujeme príkladom, v kto-rých je prvá číslica delenca menšiaako deliteľ. Postupne sme prešliod najjednoduchších príkladovk najzložitejším. Môžete si pomôcťdelením peňazí. Ak bude pre žia-kov záhadou, prečo pridáme 3,keď je 1 menšie ako 5, pripomeň-te im, že „pridať tri“ znamená, žetisícku rozmeníme na 10 stoviek,ktoré spolu s 3, ktoré mámeod začiatku, vytvoria 13 stoviek,ktoré už vieme rozdeliť na 5 častí.
Na záver úplne posledný krok– písomné delenie so zvyškoma skúška správnosti.Na nasledujúcich stranách je veľapríkladov, pomocou ktorých môžužiaci trénovať algoritmus písom-ného delenia jednocifernýmdeliteľom. Niektoré z úloh odka-zujú na jednotlivé tabule, pretožeprecvičujú analogickú situáciu.
421
212
2102
215
1265
32
33
1001
118
1143
101
110
2014
131
1121
110
111
1010
14
102
442. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Úloha 3
Delíme také čísla, pre ktoré platí,že všetky číslice delenca súdeliteľné deliteľom.
V priebehu delenia týchtopríkladov sa objaví zvyšok.
Koľkokrát sa deliteľ nachádzav danom čísle? Túto úvahu opa-kujú žiaci pri delení neustále.Venujme sa jej aj počas krátkychmatematických rozcvičiek nazačiatku hodiny.
643
687
254 1723
60 1427
34 1337
199 1206
727
979
452. zošit
Úloha 4
Úloha 5
Úloha 6
Delíme čísla, v ktorých je prváčíslica delenca menšia ako deliteľ.
Aj takýmto výpočtom venujteneustále pozornosť. Bez ich zvlád-nutia nebude písomné deleniedokonalé.
Delíme a robíme skúšku správnosti.
5 107 8 925 54 697
1 538 13 727 250 054
29 856 : 2 = 14 928227 736 : 9 = 25 304720 850 : 10 = 72 085
2 636 130 : 35 = 75 31838 224 : 16 = 2 38924 528 : 7 = 3 504
13 202 : 23 = 5747 236 : 36 = 201168 123 : 3 = 56 041
462. zošit
Úloha 7
Úloha 8
Delenie jednociferným deliteľomrozširujeme na celú množinuprirodzených čísel. Podľa reakciížiakov zvažujte, aké veľké číslabudú deliť jednociferným delite-ľom. Určite nájdete žiakov, ktorísa budú predbiehať v tom, ktoz nich dokáže vydeliť čo najväč-šie číslo. Ale na druhej stranenájdete aj takých, pre ktorýchbude maximom deliť šesťcifernéčíslo. Diferencujte, motivujtesvojich žiakov k takým výkonom,ktoré ich posúvajú vpred, aleneničia ich sebavedomie.
Pripomíname spojenie medzipojmom a operá-ciou podiel.
n-krát menší
11 400 79 800 39 900
957 600478 800 119 700 13 300
22 995 : 15 = 1 53322 995 . 15 = 344 925
4 605 : 15 = 3074 605 . 15 = 69 075
6 105 : 15 = 4076 105 . 15 = 91 575
12 240 : 15 = 81612 240 . 15 = 183 600
1 2278931 392
205243174
472. zošit
Úloha 9
Úloha 10
Úloha 11
Podobné reťazovky sú vhodnoupropedeutikou riešenia lineárnychrovníc.Okrem toho je to pre žiakov dobrýnámet na vymýšľanie úloh – aj tínajslabší budú mať pocit, že do-kážu vymyslieť podobnú úlohu,a to je dôležité pre udržanie ichzáujmu o matematiku.
Opäť pripomíname: -krát zväčšiznamená, že budeme násobiť;
-krát zmenši znamená, že bu-deme deliť.
Pozor na zátvorky.
n
n
542214
5761 950
34
1 0755
482. zošit
Úloha 12
Úloha 14
Návrat k hierarchii počtovýchoperácií. Pripomeňte si so žiak-mi, ktoré počtové operácierobíme ako prvé.
Úloha ponúka tréning ďalšíchmatematických zručností –hľadanie potrebných údajovv tabuľke, zostavenie príkladu,ktorý zodpovedá otázke,a jeho vypočítanie.
32 940 : 45 = 732
V jednom balení je 732 klincov.
445 : 5 = 8989 + 98 = 187
Piatakov a šiestakov je 187.
1 120 : 4 = 280280 . 5 = 1 400
150 : 6 = 25
Mesaène vymeškal 25 hodín.
492. zošit
21
15
335
56
696 638 + 638 : 11
20 35 – (225 : 15)
Beta
Beta má6 sliepoka 3 prasiatka.
Kata
Kata má 17 sliepok a 5 prasiatok.
sliepkyH9876
N18161412
prasiatkaN
0
4
8
12
H0123
sliepkyH201817
N403634
prasiatkaN81620
H245
502. zošit
Na tejto strane ponúkame„zrýchlenú verziu“ slovných úloh,ktorá sa často vyskytuje v rôznychtestoch. Nie je podstatné urobiťzápis slovnej úlohy, dôležité jevyriešiť ju a na správne miestovpísať správne číslo.
Dobre usporiadaná tabuľka námumožnila sledovať počet nôha hláv na každom dvore a rozum-ným odhadovaním nájsť správneriešenie. Náš spôsob nemusí byťprehľadný pre vás alebo vašichžiakov. Oceňte každý iný postupa nechajte konkrétneho žiaka,aby ho ukázal ostatným a obhájiljeho správnosť.
Úloha 25
892699315888
888209459999
371 024777408
465424637798
931239105
5496 4478 1067 728
7 876
257 250735
219
30015
5
28816
8
4 22412
6
35035 10
218
888 11
204 7
512. zošit
72-krát 104-krát
13 20068033640
709 + 212 784 : 403 = 1 237
13 650 : (13 . 25) = 42
49 2 744 2 800 40 11 000 10 925
25218
2 88615
20 68612
Braòo = Karol – 16Edo = Karol – 5
Braòo + Edo = 17Karol – 16 + Karol – 5 = 17Karol = 19, Braòo = 3, Edo = 14Adam = 26, Dušan = 8, spolu = 70
522. zošit
Úloha 3
Úloha 7
Úloha 8
Skúste pred samotným počítanímodhadnúť, ktorý výsledok budenajmenší/najväčší:keď krát zmenšíme/zväčšímedané číslo, alebo keď ho ozmenšíme/zväčšíme?
S podobnou tabuľkou ste sauž stretli. K pojmom
pribudol aj .Práve zvyšok môže vašim žiakomskomplikovať riešenie úlohy.Odporúčame preto pred rieše-ním vydeliť niekoľko takých prí-kladov, v ktorých vyjde aj zvyšok,a najmä urobiť skúšku správnostidelenia. Možno bude výhodnézapísať si príklad, ktorý je opísa-ný stĺpcom tabuľky, pomocoudiagramu alebo „čísla ukrytéhopod kartičkou“.Posledný stĺpec má viac riešení.Nájdu vaši žiaci všetkých 15?Úloha je vhodná na prácu v sku-pinách.
Úloha sa dá, samozrejme, riešiťpomocou rovníc. Odporúčamevšak, aby ju žiaci riešili skúšaním.Pri dosadzovaní rôznych hodnôtmajú možnosť zistiť vzťahy me-dzi počtom gólov jednotlivýchchlapcov, čo urýchli „tipovanie“a priblíži ich k výsledku.
n-n
delenec,deliteľ, podiel zvyšok
12125
2550
75491315
161 700 3 719 100 52 067 400 31 240 440 4 462 920 99 176 4 508
5 1512 7148 775
345
87246 163
2 449 44846 269
313136 344
59 773 297137 218
A = 210B = 81
210 – 81 = 129
A = 2 . 3 . 5 . 7C = 3 . 5 . 7
2-krát väèšie
532. zošit
Všetky úlohy precvičujú náso-benie a delenie prirodzených číselna kalkulačke, upevňujú u žiakovvnímanie vzájomného vzťahu ná-sobenia a delenia ako inverznýchpočtových operácií a sú propedeu-tikou riešenia lineárnych rovníc.
Námetyb)Ak si v zadaní necháme čísla
v tvare súčinu, vidíme hneď rieše-nie. Neočakávajte však, že tentonápad ocenia všetci vaši žiaci.Pre mnohých bude jednoduchšiea „pohodlnejšie“ vypočítať všetkona kalkulačke (pretože pri tomnemusia premýšľať).Výhodu takéhoto „rozumnéhopohľadu na vec“ ocenia až vtedy,ak im zadáte také čísla A a C, kto-rých súčin sa nezmestí na displejkalkulačky. Skúste to!
Úloha 13
4
64
512
2 048
16
256
1 024
8
12832
542. zošit
Úloha 1Úvodné príklady nemusia žiacipočítať, stačí hľadaný početurčovať kreslením. Nech začnúhľadať spôsob výpočtu, až keďich kreslenie prestane baviť.
4 0968 192
16 38432 76865 536
131 072262 144524 288
1 048 5762 097 1524 194 3048 388 608
16 777 21633 554 432
67 108 864134 217 728268 435 456536 870 912
1 073 741 8242 147 483 6484 294 967 2968 589 934 592
17 179 869 18434 359 738 36868 719 476 736
137 438 953 472274 877 806 944549 755 613 888
19 sekúnd
po 38 sekundách po 11 sekundách
552. zošit
Úloha 2
Úloha 3
Žiaci sa oboznamujú s mocnina-mi dvojky. Môžete v tabuľkáchhľadať rôzne zaujímavosti. Napr.:Aký výsledok dostanem, ak vyná-sobím čísla v riadkoch 12 s a 13 s?Kde v tabuľke je tento výsledok?Aké výsledky dostávame delenímčísel v tabuľke?
Diskutujte o tom, či je lepšia odpo-veď 19 s alebo 20 s.
Vymýšľajte si vlastné pravidlá prevlastné baktérie. Nech sa delia zarôzny čas, na rôzny počet baktérií,nech sa niekedy, naopak, zlučujú...Nechajte fantázii voľný priebeh.
Námety
6118679
6312483637694
1256752
3PR
6PQ
7QR
7SU
5ST
2TU
27UV
83UX
118UY
56VX
90VY
35XY
562. zošit
Úloha 1Použitie centimetrového a mili-metrového pravítka umožní žia-kom porovnať presnosť meraníkaždým z týchto meradiel a uka-zuje opodstatnenie zavedeniajednotky dĺžky milimeter:Ak budeme centimetrovým pra-vítkom merať rôzne dlhé úsečky(napr. 51 mm a 54 mm), odme-riame rovnakú dĺžku 5 cm, hocina prvý pohľad vidieť, že úsečkynie sú rovnako dlhé. Potrebujemeteda iné pravítko s presnejšoumierkou, ktorá dokáže zachytiťaj tieto rozdiely. Preto sa 1 cmrozdelil na desať rovnakých dieli-kov a jeden takýto dielik sa volámilimeter.
mm mmmmcm
cmmmmm
52 mm67 mm78 mm76 mm81 mm
7 cm 3 mm7 cm 2 mm10 cm9 cm 8 mm9 cm 2 mm
cm
>>=<
<<>=
cmmm mmmm
572. zošit
Úloha 5Vieme, že pri takejto úlohe je ná-ročné skoordinovať prácu žiakov,napriek tomu odporúčame, abyvzťah medzi jednotkami dĺžky(m — dm — cm — mm) mohli žiacipochopiť pri priamej činnostis predmetmi. Čím viac zmyslovzapoja do objavovania novýchvzťahov a poznatkov, tým ľahšieto pochopia, a najmä sú tieto po-znatky trvanlivé. Robte meradlá,a ak už je to nevyhnutné, dajtežiakom túto úlohu na doma.
10
50
800
3 000
800100 cm7 000
1 km = 1 000 m400
1 dm = 100 mm
4 00023068
Syse¾ 500 m, mravec 5 m, leopard 5 000 m.
leopard
10
100
300
60
500
4010 dm
501 dm = 10 cm
801 cm = 10 mm
503
90053
10100
1 0001 000
40
2 000
70
3010 mm900
1 dm = 100 cm5 000
1 m = 1 000 mm
72084
800
582. zošit
Úloha 6
Úloha 7
Úloha 10
Úloha 8Úloha 9
Pri dopĺňaní vzťahov medzi jed-notkami dĺžky si môžete pomôcťmeradlom, ktoré si žiaci vyrobiliv predchádzajúcej úlohe.Pravdaže, okrem vzťahu medzikilometrom a metrom.
Možno bude pre niektorýchzaujímavé a podnetné rozprá-vanie o metrickom systémea o tom, aký význam majújednotlivé predpony, ktorépoužívame.kilo- … tisícnásobokhekto- … stonásobokdeka- … desaťnásobokdeci- … desatinacenti- … stotinamili- … tisícina
V úlohe 7 sme „šepkára“ žiakomprezradili, v úlohe 8 si ho musiadoplniť sami, a začínajúc úlohou9, už premieňajú bez „šepkára“.Aj keď, aby sme boli úprimní,„šepkár“ tam kdesi (v hlave)vždy je. Lenže kým na začiatkusi ho musíme uvedomiť aj tým,že si ho napíšeme alebo povieme,na konci nabieha automaticky.
Úloha učí žiakov, že ak chcemeporovnávať vzdialenosti, musímeich mať v rovnakých jednotkáchdĺžky.
Námety
1 000 m10 dm
1 000 mm10 cm100 mm10 mm
5 000680420
40074036
570 dm
7 m80 cm9 m
8 dm
73767168
Mišo
3002
7 0009
700
7
7668
Mišov 4 dm
592. zošit
Úloha 11
Úloha 14
V prípade nesprávnych tvrdenínechajte žiakov sformulovaťsprávne tvrdenia.
Úloha učí žiakov, že ak chcemeporovnávať vzdialenosti, musímeich mať v rovnakých jednotkáchdĺžky. Okrem toho ukazuje, žena meranie vzdialenosti môžemepoužiť aj iné jednotky dĺžky akov sústave SI.
Diskutujte so žiakmi o tom, či me-rať vzdialenosť krokmi je presné,ktoré iné jednotky dĺžky poznajúalebo o ktorých čítali. Prípadne imzadajte domácu úlohu, aby zistiličo najviac o iných jednotkách dĺž-ky a názorne spracovali rozdielymedzi nimi a jednotkami dĺžky,ktoré používame my.Takto zadaná úloha je vhodnána skupinovú prácu.
Námety
| | = 80 mmKL
| | = 60 mmLM
| | = 99 mmKM
o = 80 + 60 + 99o = 239 mm
= 14 cmo
o = 167 mm
o = 16 cm 4 mm
56
13
56
14
56
15
56
16
56
17
56
18
56
19
56
20
56
21
602. zošit
Úlohy na tejto strane sú zosta-vené v nasledujúcej postupnosti:– meranie dĺžok strán daného
trojuholníka a výpočet jehoobvodu (úloha 1),
– narysovanie ľubovoľného troj-uholníka, odmeranie dĺžokjeho strán a výpočet obvodu(úloha 2),
– výpočet obvodu trojuholníka,ktorého dĺžky strán sú dané(úloha 3).
Prostredníctvom tabuľky sledu-jeme, ako sa mení obvod troj-uholníka, ak sa dĺžky dvoch stránnemenia a mení sa iba dĺžka tretejstrany. Žiaci by mali sformulovaťzáver: o koľko sa zmení dĺžkatretej strany, o toľko sa zmeníobvod trojuholníka.
Môžete žiakom zadávaťaj iné úlohy:Ako sa zmení obvod trojuholníka,ak všetky tri strany zväčšímeo 1 cm?Ako sa zmení obvod trojuholníka,ak jednu stranu zväčšíme o 2 cma zvyšné strany zmenšímeo 1 cm?...
Námety
Úloha 4
= 24 cmo
o = 292 mm
o = 19 cm 6 mm
8 12 16 20 24 28 32 36 40
= 3 cma
o = 4 . 3o = 12 cm
612. zošit
Úlohy na strane sú zostavenév nasledujúcej postupnosti:– meranie dĺžok strán daného
štvorca a výpočet jeho obvodu(úloha 5),
– narysovanie ľubovoľného štvorca,odmeranie dĺžok jeho strána výpočet obvodu (úloha 6),
– výpočet obvodu štvorca, ktoréhodĺžky strán sú dané (úloha 7).
nn
Prostredníctvom tabuľky sledu-jeme, ako sa mení obvod štvorcav závislosti od zmeny dĺžky jehostrany. Žiaci by mali sformulovaťzáver: ak sa dĺžka strany štvorcazmení o cm, jeho obvod sazmení o 4 cm.Predpokladáme, že žiaci nebudúvedieť sformulovať svoj záverv takejto všeobecnej rovine, aleskôr prostredníctvom konkrét-nych čísel: ak sa strana štvorcazmenší o 3 cm, jeho obvod sazmenší o 12 cm a pod.
Úloha 8
4
= 6 cma
b = 3 cm
o = 2 . (6 + 3)o = 18 cm
= 26 cmo
o = 222 mm
o = 27 cm 2 mm
12
4 4 4 4 4 4 4 4 4
14 16 18 20 22 24 26 28
a
b
622. zošit
Úlohy na strane sú zostavenév tejto postupnosti:– meranie dĺžok strán daného
obdĺžnika a výpočet jehoobvodu (úloha 9),
– narysovanie ľubovoľnéhoobdĺžnika, odmeranie dĺžokjeho strán a výpočet obvodu(úloha 10),
– výpočet obvodu obdĺžnika,ktorého dĺžky strán sú dané(úloha 11).
nn
Prostredníctvom tabuľky sledu-jeme, ako sa mení obvod obdĺž-nika v závislosti od zmeny dĺžkyjednej strany. Žiaci by mali sfor-mulovať záver: ak sa jedna stranaobdĺžnika zmení o cm, jehoobvod sa zmení o 2 cm.Predpokladáme, že žiaci nebu-dú vedieť sformulovať svoj záverv takejto všeobecnej rovine, aleskôr prostredníctvom konkrét-nych čísel: ak sa jedna stranaobdĺžnika zväčší o 2 cm, jehoobvod sa zväčší o 4 cm a pod.
Neskôr môžete úlohu kompliko-vať tým, že budete meniť dĺžkyoboch strán obdĺžnika.
Námet
Úloha 12
36 + (36 – 3) + 2 . 12 = 9393 > 90
90 m pletiva nestaèí na oplotenie.
36 : 4 = 9
Na jednu stranu sa spotrebuje9 m lemovky.
o = 2 . (7 + 12) = 38
Plot je dlhý 38 metrov.
90 – 2 = 88 obvod štvorca88 : 4 = 22
Jedna strana ihriska je dlhá 22 m.
36 m
3 m
12 m
12 m
7 m
2 m
}
}
632. zošit
o = 2 . (100 + 60) = 320320 . 3 = 960
Chlapci prebehli 960 metrov.
400 : 4 = 100100 : 2 = 50
5 dm = 50 cm800 mm = 80 cm
o = 50 + 60 + 80 = 19015 . 190 = 2 850
Dievèatá obšili 2 850 cm.
197 – 58 – 66 = 73
100 m
a
60 m
5 dm
60 cm
800 mm
66 mm
58 mm
c
642. zošit
4 .23 = 92
3 .22 = 66
7 .12 = 84
5 .13 = 65
49
24
1 cm2
1 cm2
49 cm2
24 cm2
36 45
652. zošit
Okrem toho, že precvičujemenásobenie jednociferného a dvoj-ciferného čísla jednociferným,podstatným spôsobom budujemeu žiakov pojem „obsah geometric-kého útvaru“.
10
24 cm2
16 cm2
18cm
2
4cm
225 cm221 cm2 36 cm2 64 cm2
109
16
184
2528
21 + 24 + 25 + 16 + 4 + 18 + 36 + 64 = 208 cm2
100
662. zošit
Úloha 6
Úloha 7
Zvládnutie výpočtu obsahuštvorca a obdĺžnika v štvorcovejsieti dáva predpoklad k zautoma-tizovaniu a zovšeobecneniu tejtočinnosti pre ľubovoľný štvorec(obdĺžnik).
Objavili vaši žiaci sami vzťahpre výpočet obsahu štvorcaa obdĺžnika?
futbal:
futbal:
346 m
tenis:
tenis:
64 m
hádzaná:
hádzaná:
120 m
basketbal:
basketbal:
86 m
volejbal:
volejbal:
54 m
2 . (105 + 68) = 346
105 . 68 = 7 140 m2
2 . (23 m 77 cm + 8 m 23 cm) = 64 m
23 m 77 cm . 8 m 23 cm = 1 956 271 cm2
2 . (40 + 20) = 120
40 . 20 = 800 m2
2 . (28 + 15) = 86
28 . 15 = 420 m2
2 . (18 + 9) = 54
18 . 9 = 162 m2
672. zošit
NámetyPre šikovnejších môže byť zaujíma-vé zistiť aj ostatné čiary, ktoré súna tom-ktorom ihrisku, a vypočítaťich dĺžku. Všetky potrebné údajenájdu na internete – stačí hľadaťpravidlá jednotlivých športov.
682. zošit
Úloha 1
Úloha 2
Pozor, 50 hodov je v skutočnostiveľmi malý počet. Všetci vieme,že obe strany majú padať„rovnako často“, ale platí topre naozaj veľké čísla.
Platí to isté, čo v predchádzajú-cej úlohe. Nemôžete očakávať,že pri takomto počte dostaneteideálne výsledky. Ak by deťompadali čísla príliš nerovnomerne,radšej zvýšte počet hodov.
692. zošit
Úloha 3
Úloha 4Úloha 5Úloha 6
Cieľom je získať zručnosť v evido-vaní elementárnych náhodnýchjavov a pritom si žiaci aj uvedomu-jú základné pravdepodobnostnézákonitosti.
Znovu je hlavným cieľom nácvikzručnosti – zaznamenávanie šta-tistických údajov. Urobia si žiacitabuľky alebo si záznamy budúviesť chaoticky? Nech diskutujúo význame systému. Spracovanieúdajov za triedu v úlohe 5 dávamnožstvo možností. Nech si ichnavzájom porovnajú, vyhodnotia,čo je dobré a čo sa neosvedčilo.
3656
spol
uhlá
sky
sam
ohlá
sky
702. zošit
Stĺpcový diagram je elementárnyprostriedok na porovnávanie dát.Znalosť stĺpcových diagramovje jedna z najužitočnejších vecí,ktoré sa deti majú v škole naučiť.Je to vec, ktorá im bude v živote
pomáhať.naozaj
Úlohy sú naozaj elementárne.Môžete hovoriť o možnostiachna odlíšenie stĺpcov – farebne,textom...
Úloha 2Úloha 3Úloha 4Úloha 5
1995 1994 1993 1992 19911 200
1 300
1 400
1 500
1 600
1 700
712. zošit
biela modrá
detí
èervená
biela modrá
èervenábiela
modrá èervená
èervená modrá èervená modrá
722. zošit
Pre kruhový diagram platí to istéčo pre stĺpcový. Stretávame sas nimi v médiách a ich pochope-nie dnes naozaj patrí k „dobrejvýchove“.
Príklady ukazujú genézu kruho-vého diagramu a veľmi dobreilustrujú, že dáta sú vyjadrovanéplochou. Na rozdiel od stĺpco-vého diagramu, kde sa dátavyjadrujú výškou stĺpca.
Úloha 1Úloha 2
732. zošit
Úloha 3Úloha 4Úloha 5Úlohy vyžadujú dva kroky:1. zber údajov,2. zachytenie údajov kruhovým
diagramom.Môžete sa vrátiť k stĺpcovým dia-gramom a diskutovať, ktorý typznázornenia komu viac vyhovujea prečo.
742. zošit
Hry patria neodmysliteľnek matematike. Tieto úlohy všaknie sú typické matematické hry,skôr ide o oboznamovanie sas matematickými myšlienkamiprostredníctvom hernýchprostriedkov: figúrka, minca,kocka, hrací plán...
Bolo by dobré, keby žiaci intuitív-ne vnímali, že ku krúžkom ozna-čeným 1, resp. 2 vedie najviacciest – najviac možností, ako sak nim dostať. A práve to ovplyv-ňuje výsledok.
Chceme, aby si žiaci uvedomili,že aj matematika môže byťexperimentálna veda. Na druhejstrane, učíme ich koordinácii– činnosti s predmetmi, z týchtočinností vyplývajúcej akcie pod-mienenej danými podmienkamia následne záznamu výsledkov.V skutočnosti celkom náročnáúloha.
Úloha 1
Úloha 2Úloha 3
96
95+ 48+ 24+ 12+ 6+ 3
5– 5– 4– 3– 2– 1
192
191+ 96
22+6+ 5+ 4+ 3+ 2
–1– 6
384
383+ 192
29+ 7
768
767+ 384
38+ 8
1536
1535+ 768
3072
3071+ 1536
48+ 9
6144
59+ 10
12288
71+ 11
84+ 12
98+ 13+ 1
Adam, Betka, Cyril, alebo Betka, Adam, Cyril
nie
opakuje sa
opakuje sa
opakuje sa
niè
752. zošit
Úloha 1
Úloha 3
Úloha 4
Klasické doplňovanie čísel v po-stupnosti, ale nie veľmi ľahké.Všimnite si súvis zadania a .Upozornenie naň môže deťompomôcť.
Krásna úloha. Áno aj nie sú správ-ne, ale aj nesprávne odpovede.Veríme, že sa na nej dobre zaba-víte. Podstata je v tom, že z otázkynie je jasné, či sa pýtame na „ob-sah“ slova – vtedy je naozaj žlté –,alebo na jeho „formu“ – vtedy nieje žlté.
Pod dotykom krúžkov rozumieme,ak štvorčeky, v ktorých ležia, majúspoločnú stranu. Úloha vyžadujepozornosť, sústredenie, trpezlivosť.Aj jej pochopenie chvíľku trvá.Najlepšia je konkrétna ukážka,ako to celé funguje.
a) b)
570, 752
4 861, 3 755
762. zošit
Úloha 1
Úloha 3
Úloha je ťažká. Žiaci by mali po-stupovať podľa návo-du. Buďte však pripravení aj natakých, ktorí sa „pozrú a povediavýsledok“. Je to v poriadku, boloby však vhodné, aby si postup ajtak prešli. V žiadnom prípadevšak nenaliehajte.
Kritériá môžu byť ľubovoľné,nechajte pracovať fantáziu detí.
dôsledne
772. zošit
Úloha 4Úloha 5Úlohy sa zaujímavé ako dvojica.Diskutujte o tom, či sa môže stať,že nedostanete rovnaké skupiny.
10
10
10
5
5
5
38
38
6
6
61
49
49
7
7
7
38
49
10
10
10
10
100
1 000
999
2525
625625
782. zošit
Deti postupne vediemek výpočtu počtu usporiadanýchn-tíc s použitím k-prvkov,ktoré sa môžu opakovať.(Ale toto im, prosím, nehovorte.)
999999
624 375
625625
písmenáèíslicespolu
písmenáèíslicespolu
písmenáèíslicespolu
písmenáèíslicespolu
6259 999
6 249 375
15 625999
15 609 375
15 6259 999
156 234 375
15 62599 999
1 562 484 375
792. zošit
Úloha 4Úloha ukazuje, ako sa menípočet možností v závislostiod toho, koľko použijemepísmen a koľko číslic.