Základy teorie řízení Základy teorie řízení

Frekvenční charakteristikaFrekvenční charakteristika

2010

Opakování – přechodová a Opakování – přechodová a impulsní charakteristikaimpulsní charakteristika

a) Vykreslete přechodovou a impulsní charakteristiku následujících dvou přenosů:

b) Všechny čtyři charakteristiky zobrazte v jednom okně

)15)(13(

)12()(

153

2)(

2

231

ss

ssG

sss

ssG

Řešení – m-fileŘešení – m-file

% Definování přenosu systémuG1=tf([2 0],[3 5 1 1]);G2=zpk([-0.5],[-1/3 -1/5],2/3*5);

% Hodnoty přechodové a impulsní charakteristiky[y1,t1]=step(G1,1,120,1000);[y2,t2]=step(G2,1,30,100);[y3,t3]=impulse(G1,1,120,1000);[y4,t4]=impulse(G2,1,30,100);

%Vykreslení charakteristiksubplot(2,2,1)plot(t1,y1)grid("on")title("Prechodova charakteristika G1(S)")xlabel("Cas [s]")ylabel("Napětí [V]")

subplot(2,2,3)plot(t2,y2,"r")grid("on")title("Prechodova charakteristika G2(S)")xlabel("Cas [s]")ylabel("Napětí [V]")

subplot(2,2,2)plot(t3,y3)grid("on")title("Impulsni charakteristika G1(S)")xlabel("Cas [s]")ylabel("Napětí [V]")

subplot(2,2,4)plot(t4,y4,"r")grid("on")title("Impulsní charakteristika G2(S)")xlabel("Cas [s]")ylabel("Napětí [V]")

Řešení příkladu - grafyŘešení příkladu - grafy

Frekvenční přenos

Frekvenční přenos získáme tak, že na vstup systému přivedeme harmonický signál. Typickým harmonickým signálem je sinusový průběh. Na výstupu systému dostaneme podle obr. (po odeznění přechodového jevu) opět sinusový signál ovšem s jinou amplitudou, stejnou úhlovou frekvencí a fázově proti vstupnímu signálu posunutý. tutu sin0

tsinyty 0

V komplexním tvaru

u

y

j t0

j ωt0

t u e

t y e

Frek. přenos je roven poměru vektorů rotujících v komplexní rovině

Pomocí koeficientů dif. rovnice

Frekvenční přenos systému je roven podílu Fourierova obrazu výstupního signálu a Fourierova obrazu vstupního signálu při nulových počátečních podmínkách.

je

0

0tj

0

ωtj0

u

y

eu

ey

t

tjωG

u

y

01n

n

01m

m

ajωa...jωa

bjωb...jωbjωG

tj

tj

eu

ey

0

0

Y jG j

U j

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině Frekvenční charakteristika je grafické vyjádření

frekvenčního přenosu G(j) v komplexní rovině, když za úhlovou frekvenci dosazujeme hodnoty 0 až .

Re

Im

G(j)

G(j)pro

G(j)pro 0,5

Re

Im

A

a=A cos

b=A sin

a+jb

Re ImG j G j j G j

2 2cos .sin . , kde a j ba jb A j A e A a b arctg

a

Frekvenční charakteristikaFrekvenční charakteristikav komplexní roviněv komplexní roviněFunkce nyquist [REALP, IMAGP, W] = nyquist (SYS, W, OUT_IDX, IN_IDX,

ATOL)

sys - zadaný systém, ostní parametry nejsou povinné W - hodnoty úhlové rychlosti (vektor hodnot pro které je

charakteristika počítána) např.: w=(0.01:0.1:10); OUT_IDX -v případě MIMO(multiple input-multiple

output) je to index řádku IN_IDX -to stejné, index sloupce, rovněž nevyužijeme u

SISO(single I-single O) ATOL - umožňuje interaktivní zobrazení výsledku,

zobrazení grafu dle potřebyje-li ATOL zadáno jiné než 0 a existují asymptoty

grafu, pak je uživatel dotázán zdali požaduje přiblížení grafu

REALP, IMAGP - hodnoty reálné a imaginární části frekvenční charakteristiky

Frekvenční charakteristika - Frekvenční charakteristika - příkladpříkladPro následující přenos zobrazte

frekvenční charakteristiku

s=tf([1.5],[2 3 1]) % zadani soustavy pomoci prenosu nyquist(s)

132

5,1)(

21

sssG

Frekvenční charakteristikaFrekvenční charakteristikaFunkce

◦ linspace() % funkce pro generování hodnot s lineárním rozložením

◦ logspace() % funkce pro generování hodnot s logaritmickým rozložením

w=linspace(0.02,10,100) w=logspace(log10(1.1),log10(100),100)

s=tf([1.5],[2 3 1]) % zadani soustavy pomoci prenosu

w=linspace(0.02,10,100);nyquist(s,w)

Amplitudo-fázová frekvenční charakteristikaFrekvenční charakteristiku v komplexní

rovině můžeme převést na amplitudo-fázovou frekvenční charakteristiku. Pro konkrétní bod charakteristiky (jistá úhlová frekvence) v komplexní rovině můžeme odečíst příslušnou amplitudu A i fázi .

Tím pádem je možno tuto charakteristiku rozdělit na dvě charakteristiky amplitudovou A=A() a fázovou =().

jeAjG .

Lineárních souřadnic se používá velmi zřídka, neboť mají omezené úzké frekvenční pásmo. Pokud bychom toto pásmo rozšířili, pak by nejdůležitější část charakteristiky s podstatnou změnou amplitudy byla nahuštěna v úzkém rozsahu frekvencí. Proto se s výhodou používají charakteristiky v logaritmických souřadnicích.

U amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích je na svislou osu vynášena amplituda frekvenčního přenosu v decibelech [dB].

U fázových frekvenčních logaritmických charakteristik je fáze vynášena na svislou osu v lineárním měřítku (ve stupních nebo v radiánech).

0

0

u

ylog20Alog20dBA

0

0j

0

0

u

ye

u

yjωGωA

z = 1; p = [-1, -2]; k = 0.5sys = zpk(z, p, k)bode(sys , 'r')

Frekvenční charakteristika Frekvenční charakteristika příkladypříklady

23

22

1

16,01,01

8)(

)16,01,01(

8)(

)8,01(

8)(

ss

ssG

ssssG

sssG

Frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristiky členůčlenů – proporcion – proporcionálníální

Frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristiky členůčlenů – – integračníintegrační

Příklad – mechanická soustava

Chování mechanické soustavy je popsáno rovnicí

Vyšetřete chování soustavy a sestavte frekvenční charakteristiky.

Vlastní frekvence soustavy je

mx t bx t kx t F t

10, 10, 1000m b k

2 FmX s s bX s s kX s s

2

1X sG s

F s ms bs k

0

k

m

m = 10;b = 10;k = 1000; sys = tf (1, [m, b, k])zpk(sys)pole(sys)frek_vl = sqrt(k/m) %Skokove buzenifigure(1)step(sys)figure(2)nyquist(sys)figure(3)bode(sys)

%Harmonicke buzeniT_sim = 40;amp = 1;omega = 10;t = 0:0.01:T_sim;buzeni = amp*sin(omega*t);% Simulace[Y,T]=lsim(sys,buzeni,t); figure(5);%Y = Y *10;plot(t,buzeni,t,Y)