UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

VIBRACIONES LIBRES

INTRODUCCION

MOVIMIENTO VIBRATORIO

Al haber analizado los diferentes tipos de movimiento en la Dinámica nos vamos a encontrar con el llamado “MOVIMIENTO VIBRATORIO “el cual es uno de los más importantes para el Ingeniero Civil. El estudio de las vibraciones se

refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos.Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio.

Cuando aplicamos una fuerza adicional, se desplaza un punto material o un cuerpo rígido que estaba en equilibrio estable entonces aparece una vibración mecánica.

ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO

El movimiento vibratorio de partículas o de sólidos rígidos que permiten solucionar una serie de problemas que se presentan tales como la respuesta de una estructura sometida a la acción del viento, de sismos o de ondas explosivas; las vibraciones que produce un motor en un edificio.

Sismos

Viento

Olas y corrientes de agua

Explosiones e impactos

Cargas móviles (vehículos, personas,

etc.)

FU

EN

TE

S IM

PO

RTA

NT

ES

DE

V

IBR

AC

ION

ES

EN

UN

A E

ST

RU

CT

UR

A

CONCEPTOS BASICOSVIBRACION.

Se denomina vibración a la propagación de ondas elásticas produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio continuo. Afecta a materiales sólidos, líquidos y gaseosos. La vibración es la causa de generación de todo tipo de ondas. Toda fuerza que se aplique sobre un objeto genera perturbación.

DIFERENCIAS ENTRE

VIBRACION Y OSCILACION

OSCILACION VIBRACION

-Movimiento externo de los cuerpos de gran magnitud.-En las oscilaciones hay conversión de energías cinética en potencial gravitatoria y viceversa.-Movimientos que generan pequeñas frecuencias.

-Movimiento interno de los cuerpos de menor magnitud.-En las vibraciones hay intercambio entre energía cinética y energía potencial elástica. Debida a la pequeñez relativa de las deformaciones locales respecto a los desplazamientos del cuerpo.-Además las vibraciones al ser de movimientos periódicos de mayor frecuencia.

PERIODO (t).Es el tiempo que ha de transcurrir para que se repita el movimiento. Al movimiento que se completa durante un periodo se le denomina ciclo. El periodo se expresa en segundos por ciclo o simplemente en segundos.

FRECUENCIA (f).Es la inversa del periodo o sea es el numero de ciclos por unidad de tiempo. La unidad de la frecuencia, el ciclo por segundo (cps) recibe también el nombre de hertz (Hz).f = 1/t

CICLO.Movimiento que se completa durante un periodo.

•AMPLITUD(A).La amplitud de una oscilación, es el desplazamiento máximo que sufre el cuerpo respecto a su posición de equilibrio.

•ELONGACION ():Es el desplazamiento en cualquier punto que sufre el cuerpo respecto a su posición de equilibrio.Para entender mejor estos conceptos veremos el grafico siguiente:

•CONSTANTE DE ELASTICIDAD DE

RESORTE (K).Necesaria para alargar o comprimir el resorte una unidad de longitud (En el S.I. Newton/metro).

TIPOS DE FUERZAS QUE INTERVIENEN EN UN MOVIMIENTO VIBRATORIO

ESQUEMA DE FUERZAS:

Fuerza Inercial (Fi): dada por la masa m del sistemaFuerza Restauradora (Fs): es la fuerza que ejerce el resorte

sobre la masa en su posición originalFuerza Amortiguadora (Fd): es la fuerza que ofrece resistencia

al movimiento.

v

FUERZA EXCITADORA (Ft): fuerza aplicada extremadamente que ocasiona el movimiento del sistema.

FUERZA RESTAURADORA (Fs): es la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa en su posición original

FUERZA AMORTIGUADORA (Fd): es la fuerza que ofrece resistencia, se opone al movimiento se produce liberación de energía.

Haciendo sumatoria de fuerzas se obtiene:

FURZAS QUE INTERVIENEN EN UN SISTEMA VIBRATORIO

A partir del análisis de las fuerzas que intervienen en un movimiento vibratorio se podrá deducir la Ecuación general del movimiento vibratorio es:

Consideraremos un sistema en el que exista una fuerza restauradora lineal, una fuerza amortiguada viscosa y una fuerza excitadora sinusoidal:

Sustituyendo términos en la ecuación de movimiento dada se tendrá:

ECUACION GENERAL DIFERENCIAL DEL PROBLEMA

DE LA VIBRACION

Haciendo un cambio de variable

= Frecuencia circular natural,

´´c´´ es una constante

Dividimos la ecuación entre ´´m´´, luego reemplazamos:

VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS

El análisis de las vibraciones libres no amortiguadas hecho anteriormente solo es una idealización de sistemas reales, ya que no tiene en cuenta las pérdidas de energía en los rozamientos. Una vez en movimiento, esos sistemas idealizados vibrarían indefinidamente con amplitud constante. Sin embargo, los sistemas reales pierden energía en los rozamientos y llegan a pararse a menos que exista una fuente de energía que los mantenga en marcha. Cuando la energía que pierda el sistema sea pequeña, los resultados serán a menudo de acuerdo con los sistemas ideales, al menos durante intervalos de tiempo cortos. Para intervalos de tiempo más prolongados y cuando las pérdidas de energía no sean pequeñas, habrá que incluir los efectos de las fuerzas de rozamiento.

Entre las fuerzas de rozamiento más comunes, podemos citar:

•rozamiento fluido (también llamado fuerza de amortiguamiento viscoso), que aparece cuando los cuerpos se mueven a través de fluidos viscosos

•rozamiento seco(también llamado rozamiento de coulomb), que aparece cuando un cuerpo se desliza a través de una superficie seca

•rozamiento interno, que aparece cuando se deforma un cuerpo sólido.

AMORTIGUADOR VISCOSO LINEAL El amortiguamiento viscoso tiene lugar de manera natural cuando sistemas

mecánicos tales como un péndulo oscilan en el aire o en el agua. También presentan amortiguamiento viscoso los amortiguadores del tipo representado simbólicamente en la figura, que se añaden a propósito a los sistemas mecánicos para limitar o regular la vibración. Consiste este tipo de amortiguador en un embolo que se mueve en el interior de un cilindro lleno de un fluido viscoso.

Los amortiguadores viscosos que vamos a considerar son lineales, es decir, el módulo de la fuerza de amortiguamiento viscoso es directamente proporcional a la celeridad con que se extiende o comprime el amortiguador.

La constante de proporcionalidad recibe el nombre de coeficiente de amortiguamiento viscoso .su unidad en el sistema SI es el y en el sistema ingles es la .el sentido de la fuerza de amortiguamiento viscoso siempre es opuesto a la velocidad.

ANÁLISIS DE FUERZAS QUE INTERVIENEN:

• Fuerzas de Inercia: la gravedad• Fuerza Restauradora (kx): Fuerza elástica del resorte• Fuerza Amortiguadora ( )

Luego la ecuación del movimiento de la masa es:

Dividiendo (1) entre la masa se tiene:

Luego definimos

realizamos el cambio de variable en (2) y tenemos:

ò

Donde

Esta ecuación describe las variaciones de muchos sistemas amortiguados de un grado de libertad. La forma de solución, y en consecuencia el carácter del comportamiento predicho del sistema depende de si n es menor, igual o mayor que. Según estos se ven los siguientes casos:

1. Amortiguamiento sobre amortiguado2. Amortiguamiento críticamente amortiguado3. Amortiguamiento subamortiguado.

Retomando la ecuación general para una vibración libre amortiguada, se tiene:

Esta es una ecuación lineal homogénea de segundo orden, de coeficientes constantes. Estas ecuaciones tienen importantes propiedades, tales como:

Si x1(t) es solución de (3), C1x1 (t) también lo será.

Si x1(t) y x2(t) son soluciones, x1(t) + x2(t) también lo será (principio de superposición)

Si x1(t) y x2(t) son soluciones linealmente independientes, la integral general de la ecuación vendrá dada por C1x1 (t) + C2x2 (t). (La integral contiene 2 constantes arbitrarias).

Las funciones x1(t) y x2(t) son linealmente independientes si y solo si la igualdad:

x1(t) + x2(t) 0… (4)

Se satisface únicamente cuando = = 0.

Cuando se cumpla (4), siendo y distintos de cero, diremos que x1(t) y x2(t) son linealmente dependientes.La condición general (es decir, la condición necesaria y suficiente) para que un conjunto de funciones x1, x2, x3,…, xn sean linealmente dependientes es que el determinante wronskiano de las mismas sea idénticamente nulo

0

112

12

11

""3

"2

"1

''3

'2

'1

321

nn

nnn

n

n

n

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

W

Donde x(n) es la n-ésima derivada de x respecto de tLa teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias nos dice que la solución de toda ecuación diferencial ordinaria con coeficientes constantes tiene siempre la forma:

Entonces estas ecuaciones de la forma (3), pueden reducirse mediante la sustitución:

Entonces:

Sustituyendo (6) y (7) en (3); donde (3):

Se tiene:

, dividiéndolo entre tenemos:

A la ecuación (8) es una ecuación algebraica que recibe el nombre de ecuación característica de segundo grado en λ, cuya solución es:

Donde:

CASOS PARTICULARES DE VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS.

a) CASO SOBRE AMORTIGUADO O SUPERCRÍTICO

En estas condiciones es evidente

que no habrán oscilaciones, y la

partícula regresará a la posición de

equilibrio sin rebasarla o

rebasándola una vez a lo sumo. Para

unas condiciones iniciales dadas

(xo,vo), cuanto mayor sea el

amortiguamiento más tiempo

empleará el sistema en quedar en

reposo en la posición de equilibrio.

En este caso particular se va a cumplir en la ecuación característica que: Si la raíz cuadrada es un número real. No obstante, debido a que tenemos un número negativo n fuera del radical y el valor de la raíz es menor que n se deduce que λ1 y λ2 serán números negativos.Donde λ1 y λ2 serán números reales negativos. El movimiento no es una vibración, sino que Y decrece con el tiempo y tiende a cero cuando t → α. Este tipo movimiento frecuentemente se llama movimiento aperiódico y podría burdamente caracterizarse por un amortiguador para el cierre de una puerta.En este caso las raíces dadas por la ecuación característica son ambas reales y negativas pues .La solución general para este caso:

−𝑪 �̇�−𝒌𝒙=𝒎�̈�

𝝀𝟐+𝟐𝒏𝝀+𝝆𝟐=𝟎

Entonces reemplazando

Donde C1 y C2 son constantes que se determinan de las condiciones iníciales.

b) CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO

Para el caso críticamente amortiguado se cumple h = 0 Entonces la ecuación , tiene una raíz repetida, En este caso podrá comprobarse por sustitución directa que , es también solución y como , y, son linealmente independientes (ya que el determinante wronskiano de no se anula), la solución general de la ecuación (8) para el caso críticamente amortiguado vendrá dada por:

𝒙 (𝒕)=𝑪𝟏𝒆𝝀𝒕+𝑪𝟐𝒕 𝒆

𝝀𝒕

llllllllllllllkkkkk

Las ecuaciones indican que el movimiento del sistema no es oscilatorio cuando n≥. Ellas están expresadas en términos de funciones exponenciales y no contienen senos ni cosenos. La condición n = define la cantidad mínima de amortiguamiento necesaria evitar un comportamiento oscilatorio debido a lo cual se le llama caso críticamente amortiguado.El concepto de amortiguamiento crítico tiene importantes implicaciones en el diseño de muchos sistemas. Por ejemplo, es deseable introducir suficiente amortiguamiento en la suspensión de un auto para que su movimiento no sea oscilatorio, aunque demasiado amortiguamiento haría muy rígida la suspensión.

−𝑪 �̇�−𝒌𝒙=𝒎�̈�

=

Donde: En este caso es decir son soluciones reales e iguales. Entonces Por lo tanto reemplazamos en la ecuación:

𝒙 (𝒕)=𝑪𝟏𝒆−𝝆 𝒕+𝑪𝟐 𝒕𝒆

−𝝆 𝒕

Una masa de 2 kg pende, en un plano vertical, de dos resortes y un amortiguador, según se indica en la figura. Si se desplaza la masa 5 mm por debajo de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad hacia arriba de 250 mm/s cuando t = 0, determinar:

a) La ecuación diferencial que rige el movimiento.b) El periodo de la vibración resultante.C) La posición de la masa en función del tiempo.d) El primer instante t1>0 en que la masa pasa por su posición de equilibrio.

2 kN/m

4 kN/m

50 N. s/m

2 kg

1 2

50 . /

2

1 1 1 1 1 3 4000/

2000 4000 4000 3EE

C N s m

m kg

K N mK K K

SOLUCIÓN:Como sabemos que:

(a)

0

40002 50 0

3

EmY CY K Y

Y Y Y

200025 0

3Y Y Y

2

22

2

2 2 2

2000*

3

* 2 25

25

2

15

64

2:

w

bw

bw

b

como Tw b w

(b)

0.278T seg

(c) Resolviendo la ecuación diferencial de la parte (a), se tiene:

2

12.5

12.5 12.5

200025 0

3

12.5 22.593

( ) 22.593 cos 22.593

( ) 12.5 22.593 cos 22.593 22.593 cos 22.593 22.593 22.593

t

t t

i

Y t e Asen t B t

Y t e Asen t B t e A t Bsen t

Usando las condiciones iniciales:

(0) 0.005 ; (0) 0.250 /Y m Y m s

* (0) 1 (0) cos(0)

0.005

* (0) 12.5 (0) cos(0) 1 22.593 cos(0) 22.593 (0)

0.250 12.5 22.593

0.250 12.5(0.005) 22.593

0.0083

Y Asen B

B

Y Asen B A B sen

B A

A

A

Usando las condiciones iniciales: (0) 0.005 ; (0) 0.250 /Y m Y m s

12.5( ) 0.0083 22.593 0.005cos 22.593tY t e sen t t

(d) Hacemos ( ) 0Y t entonces tenemos:

0.0083 22.593 0.005cos22.593 0

tan 22.593 0.6024096386

sen t t

t

0.024t seg