Gazdálkodási menedzser-asszisztens képzés

Kürthy Gábor – Tulassay Zsolt – Zsembery Levente

Vállalati Pénzügyek

jegyzet

© Kürthy – Tulassay – Zsembery

Az alábbi tananyag csak a gazdálkodási menedzser-asszisztens képzés során használható fel. A jegyzet csak a szerzők engedélye esetén másolható vagy sokszorosítható, mind elektronikus, mind nyomtatott formában. A jegyzet részleteinek vagy egészének más célú felhasználásához szükség van a szerzők írásbeli engedélyére.

1 / 131

Bevezető

A vállalati pénzügy fókuszában a vállalat pénzügyi folyamatai állnak: honnan jön és hová megy a pénz. Mivel a modern piacgazdaságban a vállalat szinte mindegyik tranzakciója pénzmozgással jár, a vállalati pénzügyesnek a vállalati működés szinte minden lépésére rálátása van.A vállalati pénzügy feladata azonban nem pusztán a folyamatok figyelése. Képesnek kell lennie előteremteni a működéshez szükséges forrásokat, a folyamatok elemzésére, a tervek teljesülésének követésére, az egyes projekteket pénzügyi/jövedelmezőségi szempontból történő értékelésére a fellépő pénzügyi kockázatok kezelésére.Gondoljunk mondjuk egy pékségre! A vállalati pénzügyes az az ember, aki tárgyal a bankokkal, ha a bővítéshez hitelre van szükség. Ő az, aki értékeli., hogy érdemes-e a szomszéd városban egy új pékséget építeni, vagy inkább a meglévő gyártósoron előállított termékeket szállítsuk oda és a szállítókapacitásunkat fejlesszük. Mivel a pénzügyi részlegen futnak át a bérfizetési kimutatások, a kamatfizetések, a liszt és az élesztő beszerzések, de még a benzin és villanyszámlák is, a pénzügyes valóban minden folyamatra rálát. A feladata az, hogy ebben az „összevisszaságban” rendet teremtsen. Mindig legyen elég pénz a számlán a beszerzések finanszírozására, mindig ki tudják fizetni a kamatokat, és az értékesítés árbevétele is időben beérkezzen.

Látható tehát, hogy a vállalati pénzügy igen szerteágazó, sok tevékenységet felölelő terület. Természetesen minden vállalatnál más a fenti feladatok súlya, egészen más pénzügyi problémákkal néz szembe a családi kisvállalkozás, mint a sokmilliárdos forgalmú tőzsdei cégek. A vállalati pénzügy tárgy vállalatokról beszél. Eközben sok tankönyv alapvetően angolszász típusú módon, tőzsdéről finanszírozott, részvénytársasági formában működő vállalatra gondol.1 Sok tekintetben ezzel a definícióval foglalkozunk mi is, hiszen részvények és hitelek értékeléséről fogunk beszélni. A pénzügyről ilyen keretek között elmondottak azonban egyrészről természetesen a kisebb vállalkozásoknál is jól alkalmazhatóak, másrészről többször érinteni fogjuk a hazai tőkepiaci sajátosságokat. Mindeközben ha külön nem kerül kihangsúlyozásra, a vállalat alatt alapvetően részvénytársaságot értünk.Az igen szerteágazó pénzügyi folyamatok nyilvántartására a számvitel hivatott. Ezért a pénzügyek tárgyalása során is a vállalat számviteli nyilvántartásainak átismétlésével kell kezdenünk. Előtte azonban tenni kell egy pontosító megjegyzést. Vállalati pénzügyek alatt Magyarországon sokan a mai napig a számvitelt, az adózást és a bérszámfejtést értik. A helyzet az utóbbi években azonban drámaian megváltozott.

A pénzügyi rendszer megváltozásával, a bankok nyújtotta hitellehetőségek átalakulásával, a tőzsde kialakulásával, de főleg a kereskedelem és tőkepiacok nemzetközivé válásával a vállalatok pénzügyi osztálya átalakult. Sok vállalat jelent meg a tőzsdén, többen kötvényeket bocsátottak ki, megjelentek a kockázati tőke társaságok, és külön osztályként kerültek kialakításra a kockázatkezelési részlegek.2

A pénzügynek önálló nyelvezete és eljárásrendszere alakult ki itthon is. Szinte külön „tudományágként” jelent meg a vállalatértékelés, a vállalatfinanszírozás és a pénzügyi kockázatkezelés. Ebben a tárgyban igyekszünk minden területet – legalább érintőlegesen – bemutatni. A pénzügyes munka egyszerre előre és visszatekintő. Ez a pénzügyes szakmában is specializációhoz vezetett. A visszatekintő szakember a kontroller (számvitel, kontrolling). Ő alapvetően a már megtörtént folyamatokat követi nyomon. A treasurer (kincstárnok) előteremti a

1 A fenti fogalmak a félév során tisztázásra kerülnek, ezért itt nem definiáljuk külön sem a tőkepiaci finanszírozást, sem a részvényeket és kötvényeket.

2 Ezek a fogalmak is definiálásra kerülnek még a félév során. Látató, hogy nem lesz egy egyszerű félév!

2 / 131

szükséges forrásokat (vállalatfinanszírozás), illetve kezeli a pénzügyi folyamatok eredményeképpen fellépő kockázatokat (kockázatkezelés). A két tevékenység kisebb vállalatok esetén nem különül el egymástól, nagyvállalatok esetén a pénzügyi vezető (chief financial officer - CFO) fogja össze a két elkülönült területet.

3 / 131

1. A számviteli kimutatások és a pénzügyek

Mint az a bevezetőből is látható volt, a vállalati pénzügy ugyan támaszkodik a számviteli kimutatásokra, de nem azonos a számvitellel. Emiatt sokszor nagyvonalúbban, elnagyoltabban kezeljük majd a számviteli fogalmakat, a mérleg és eredménykimutatás sematikusabb lesz. A cél ugyanis a mögöttes pénzügyi tartalom kidomborítása.Ismételjük át, milyen pénzügyi kimutatásokkal találkozhatunk, illetve milyen szempontból lesznek ezek fontosak számunkra.A vállalat mérlege adott időpontra vonatkozóan tartalmazza a vállalat eszközeit eredet és forrás szerint. Eszerint a mérlegből kiolvasható, hogy milyen eszközökkel rendelkezik a vállalat (eszköz oldal), és az is, hogy miből finanszírozza ezeket (forrás oldal).A vállalati pénzügy tárgyban – ahogyan már szó volt róla – kissé elnagyoltan tekintünk a mérlegre. Eszerint az eszközoldalon beszélni fogunk befektetett eszközökről és forgóeszközökről. Az előbbiek tartósan, egynél több cikluson keresztül szolgálják a vállalat gazdálkodását. Ennek megfelelően beszerzési értéküket több lépésben az amortizáció által számoljuk el költségként. Ezzel szemben a forgóeszközök csak egyetlen termelési folyamatban vesznek részt, illetve a vállalat gazdálkodását egy évnél rövidebb ideig szolgálják. A forgóeszközök között meg fogunk különböztetni készleteket, követeléseket (azaz a vevőállományt), valamint pénzeszközöket.Forrásoldalon a saját és az idegen tőkét fogjuk definiálni. A saját tőkét a vállalat az alapítóktól kapta, illetve a korábbi években nyereséges gazdálkodásából származott. A saját tőke részeként beszélni fogunk jegyzett tőkéről, tőketartalékról, eredménytartalékról és mérleg szerinti eredményről. Az idegen tőke csak átmenetileg áll a vállalat rendelkezésére, azt előbb vagy utóbb vissza kell fizetnie a cég hitelezőinek. Ezen belül három csoportot fogunk megkülönböztetni: a szállítóállományt (ami olyan, mint a negatív vevőállomány, itt nekünk szállítottak, és még mi nem fizettünk), a rövid lejáratú hiteleket, valamint a hosszú lejáratú hiteleket. A két utóbbi tétel között az elhatárolás tipikusan az egy év, azaz az éven belül esedékes (kamatozó) tartozásokat a rövid, az egy évnél hosszabbakat a hosszú lejáratú hitelek közé soroljuk.

1. ábra – A tárgy során használt mérlegstruktúra

Hogyan néz ki a mérlege az előző példában is szereplő pékségnek? A befektetett eszközök között szerepel az ingatlan, amiben a pékség működik, a kemence és a tészta dagasztásához használt gépek. De ide tartoznak a szállító járművek és a vezérigazgató személygépkocsija is. Ezeket ugyanis nem egy termelési folyamat alatt használják fel, a kemence sok évig sütheti a kenyeret, és a kisbuszokat sem havonta kell cserélgetni.A forgóeszközök viszont csak egyszer kerülnek felhasználásra. Ide tartoznak a készletek között például a liszt és az élesztő készletek. A követelésállományba tartoznak például azok a boltokkal szemben fennálló követelések, akiknek már megtörtént a szállítás, de nem készpoénben, hanem – mondjuk – egy hónapos határidővel, átutalással rendezik tartozásukat. A pénzeszközök között szerepelnek a pékség bankszámláin szereplő összegek.Saját tőke a pékség tulajdonosának kezdeti befizetése, amivel megalapította a céget, de itt szerepelnek az előző évek osztalékként ki nem fizetett nyereségei is. A szállító állományba tartozik például az a molnár, aki nekünk már szállított lisztet, de akinek mi nem készpénzben, hanem – mondjuk – egy hónapos határidővel, átutalással fizetünk. Rövid lejáratú hitel a korábban felvett, de egy éven belül fizetendő, mondjuk alapanyag vásárlásra felvett hiteltartozásunk, míg hosszú lejáratú hitel lehet a gépvásárlásra felvett hitelek állománya.

A pénzügyi kimutatások másik fontos eleme az eredménykimutatás. Az eredménykimutatás adott

4 / 131

időszakra vonatkozóan tartalmazza a cég bevételeit, illetve az adott időszakban a bevétel eléréséhez szükséges költségeket, illetve a nyereség után fizetendő adót.A mérleghez hasonlóan az eredménykimutatás is elnagyolt lesz. Nem foglalkozunk részletesen az eredménykimutatás egyes részeivel.3 Az általunk használt eredménykimutatás a következő lesz:

2. ábra – A tárgy során használt eredménykimutatás struktúra

A bevezetőt azzal kezdtük, hogy a vállalati pénzügyes az az ember, aki látja azt is, hogy honnan jön a pénz, és azt is, hogy mire költik. Ennek a szempontnak azonban az eredménykimutatás nem felel meg. Abban ugyanis olyan tételek is szerepelnek, amelyek nem járnak valós pénzmozgással. Ilyen például az amortizáció vagy az értékesítésnek az a része, ami a mérlegben még követelésként szerepel. Ugyanígy a beruházás nem jelenik meg az eredménykimutatásban csak a későbbi évek amortizációjának részeként. Ezeken a ponton tehát a számvitel és a pénzügy elválnak egymástól. A pénzügyesnek nem az a kérdés, hogy egy költséget mikor számolhatunk el és mikor nem. Ez legfeljebb az adófizetés szempontjából fontos. A kérdés az, mikor van átmenetileg felesleges pénzeszközünk, és mikor vannak olyan időpontok, mikor át kell hidalni az átmenetileg fellépő forráshiányt. Ennek megfelelően a félév során többször foglalkozni fogunk a vállalat cash flowjával, más néven pénzáramlásával, ami adott időszakra vonatkozóan a valós pénzmozgásokat veszi számba.4 Ha azonban a vállalati eszközök esetén a cash flow lesz a fő kérdés, ugyanez vonatkozik majd a forrás oldalra. Ahogyan az egyik vállalatértékelés könyv találóan megjegyzi: „The cash flow is the king”. Azaz minden esetben pénzügyesként minket a pénzügyi folyamatok fognak érdekelni, az azok mögött megbúvó okokat fogjuk vizsgálni, azok értékét igyekszünk meghatározni.Mivel a cash flow kimutatással később még részletesen foglalkozunk, most csak egy rövid áttekintés álljon itt. Honnan jön a pénz? Több helyről. Alapvetően termékeink (szolgáltatásunk) értékesítésből, a befektetett eszközök értékesítésből, hitelből vagy tőkeemelésből. Az első kettő belső forrás, az utolsó kettő a vállalat szemszögéből külső, hiszen a cégen kívülről érkezik. Hová megy a pénz? Hasonlóan a bevételekhez ez is mehet folyó kiadásokra, befektetett eszközök beszerzésre, adósságszolgálatra (kamat és tőketörlesztésre), osztalékra, valamint részvény visszavásárlásra.A későbbiekben majd megismerkedünk ennél pontosabb definíciókkal, és megvizsgáljuk, ezek milyen aránya kívánatos a vállalatok különböző típusainál, illetve hogyan oldható meg a be- és kiáramló tételek összehangolása.

A legfontosabb gondolat azonban mindenképpen az kell, hogy legyen, hogy pénzügyi szempontból a kulcs a pénzáramlás (cash flow) és nem a számviteli nyereség. Ez a szemlélet fog végigvonulni

3 Természetesen egy pontosabb vállalati érték meghatározáshoz mind a mérleg, mind az eredménykimutatás tekintetében részletesebb kimutatásokra van szükségünk. A tárgy célja azonban az alapismeretek elsajátítása, így a bonyolultabb változatoktól eltekintünk.4 A pénzáramlás a cash flow angol kifejezés magyar fordítása. A pénzáramlás gyakorlatilag pénzmozgások sorozata.

-Mivel a hazai szaknyelvben – sajnos – elég sok angol kifejezést használunk, a cash flow kifejezés is polgárjogot nyert. A későbbiekben a két fogalmat szinonimaként kezeljük, és gyakran elváltva használjuk.

5 / 131

az egész féléves tananyagon, és ennek kell érvényesülnie a gyakorlatban is.

6 / 131

2. A jelenérték

„Jobb ma egy veréb, mint holnap egy túzok.” - mondják. Az állítás meglehet, hogy túloz, de mindenképpen arra utal, hogy néha érdemes megelégedni a – látszólagos - mai kevesebbel, mint a holnapi többel. Miért?

1. Amit most megkaphatunk, az biztos, hogy a mienk, míg a holnapi „túzokkal” még bármi történhet, éppúgy, mint velünk. A mához való viszonya az alanynak sokkal biztosabban meghatározott, hiszen arról, ami ma van, legalább annyit biztosan elmondhatunk, hogy van. Meg lehet fogni.

2. Amivel ma szabadon rendelkezünk, azzal holnap is pont azt csinálunk, amit akarunk. És ha szerencsénk van, akkor a mai veréb holnapra csipeget annyit, hogy kicsit nagyobbra növekedjen - ha nem is éppen túzok méretűvé.

3. Az előző pontból az következik, hogy a helyes állítás a „Jobb ma egy veréb, mint holnap ugyanez veréb.” lenne, hiszen a mai veréb holnapra már nagyobb lesz.

4. Igaz ugyanakkor az is – és mivel ezt senki nem vitatja, nem is részletezzük, hogy „Jobb ma egy túzok, mint ma egy veréb”, másképpen „Jobb ma egy nagyobb veréb, mint egy kisebb veréb.”

A fenti eszmefuttatást bátran lefordíthatjuk a pénzügy-tudomány nyelvére. Itt mindenekelőtt azt tételezzük fel, hogy bármiről is beszéljünk, annak értékét pénzben ki tudjuk fejezni. Ha ezt elfogadjuk, akkor már is két dolgot rögzíthetünk, az elsőből következik a második:

1. Az emberek jobban szeretik az értékesebb dolgot az értéktelennél.2. Az emberek pénzértékük alapján egyértelműen rangsorolni tudják a dolgokat.

Az ember hajlamaiból, és abból, hogy a törvények mit engednek meg neki, következik a közgazdaságtanból jól ismert haszonmaximáló viselkedés. Csak míg a közgazdaságtanban az egyén hasznosságérzete a saját magánügye volt, és így nem volt szükségünk és lehetőségünk arra, hogy a körte és az alma hasznosságát összehasonlítsuk, most a pénzügyek terén szükségünk van rá, hogy különböző eszközök pénzértékét összehasonlítsuk. És meg is tudjuk tenni!

Miben különböznek az eszközök? Azt, hogy adott pillanatban különböző eszközök pénzértékét össze tudjuk hasonlítani, már megszoktuk. Tudhatjuk mennyi az asztal ára, mennyi a kenyéré, mennyi az urándiffúziós centrifugáé. 100 Forint 100 Forintot ér, 110 Forint pedig éppen 110 Forintot. Ma, adott pillanatban. Amire nagy figyelmet kell fordítanunk az, hogy a mai 100 Forint hány darab holnapi Forintosnak feleltethető meg. Vagy másik oldalról: mennyit adnánk azért, hogy ma, holnap vagy egy év múlva 100 Forinthoz jussunk?

Jól jegyezzük meg: különböző időpontbeli pénznagyságok egymással egyszerűen nem hasonlíthatók össze. Az összehasonlítás csak azonos időpontban végezhető el. Jelenérték számításnak hívják azt a módszert, amely segítségével jövőbeli pénzértéket mai pénzértékké változtatunk.

Gondoljunk csak a törtekre! Ahhoz, hogy két törtet össze tudjak hasonlítani, érdemes őket közös nevezőre hozni. A 3/5 nem kisebb a 4/9-ednél csak azért, mert a 3 kisebb a 4-nél. Sőt: mivel 3/5 = 27/45 és 4/9 = 20/45, így látszik, hogy 3/5 > 4/9.

Mi a csudáért jó nekünk az, ha meg tudjuk mondani a jövőbeli 100 Forint mai értékét? Hát például azért, mert így a jövőbeli 100 Forinttal akármikor kereskedni tudunk! Jól jegyezzük meg: a jövőbeli pénz éppolyan áru, mint a kenyér, a tej vagy a szobafestő pemzli. A tárgyalt diszkonttényező nem más, mint adott időpontbeli 1 pénzegységnek az ára. Adott időpontbeli

7 / 131

pénzegységeknek éppen annyi áruk van, ahány különböző kockázatú forrásból származnak, hiszen éppen annyiféle áruról beszélhetünk.

Megtanultuk, hogy a jövőbeli pénzekre, mint közönséges árukra tekinthetünk. Ez azt jelenti, hogy például azzal, hogy berakunk 50 000 Forintot a bankba azért, hogy három hónap múlva 52 000 Forintot vegyünk ki onnan, nem teszünk mást, mint a mai 50 000 Forintért megvásároljuk a három hónap múlva esedékes 52 000 Forintot. A feladatunk az, hogy nevet adjunk annak a többletpénznek, amit egy ilyen művelet során realizálunk, és megvilágítsuk azokat a fogalmakat, amelyekkel megtakarítási és befektetési akcióink során találkozhatunk.

Mindenekelőtt szögezzük le, hogy az alapvető időperiódus, amiben gondolkodunk, az 1 év. Ha a későbbiekben a kamat és a hozam kifejezések körül nincs idő-megjelölés, akkor az automatikusan 1 évre vonatkozik.

A mai modern világban vannak olyan személyek, intézmények, akikre nyugodtan rábízhatom a 100 Forintomat, ők azt „kamatoztatni” fogják. Mondjuk, beteszek 100 000 Forintot ma a bankba, és egy év múlva tuti biztosan 125 000 Forintot kiveszek onnan. Másképpen: beteszek 80 000 Forintot, akkor az száz, hogy egy év múlva 100 000 Forinthoz jutok.

Mi következik ebből? Ha van ma 100-nál valamivel kevesebb Forintom, akkor találok olyan valakit, aki ezért cserébe holnap éppen 100 Forintot ad. Ha van ma éppen 100 Forintom, és azt odaadom ennek az illetőnek, akkor ő holnap 100 Forintnál többet ad érte.

A jövőbeli 100 Forint mai értékének és a jövőbeli 100 Forintnak az arányát diszkonttényezőnek hívjuk. A diszkonttényező tehát az a szám, amivel a jövőbeli pénzt be kell szorozni, hogy mai értékét megkapjuk.

Példa: 1 év múlva kapok 15 000 Forintot. Ma a kishúgom ezt megvenné tőlem 12 000 Forintért. Milyen diszkonttényezőt használt?

Válasz: 12 000/15 000 = 0,8. Tehát kishúgom 0,8-del szorozta meg a 15 000 Forintot.

Hihetetlen mennyi lehetőséget rejt magában ez a példa: ezeket használjuk ki a következőkben.

Mert mit is csinált kishúgom? Befektetett 12 000 Forintot ma, az 1 év múlva esedékes 15 000 Forint reményében. Mivel 15 000 = 12 000 x 15 000 / 12 000 = 12 000 x 1,25, ez azt jelenti, hogy a befektetés után 25%-os hozamot ér el. A hozam fogalmát később részletesebben körüljárjuk, de előre kell bocsátanunk, mert érintőleges ismerete nélkül a jelenérték nem járható finomabban körül.

1. A 12 000 Forint a 15 000 Forintnak a befektetéstől elvárt 25%-os hozam melletti jelenértéke.

2. A 15 000 Forint a 12 000 Forintnak a befektetéstől elvárt 25%-os hozam melletti jövőértéke.

8 / 131

JelölésekPV (Present Value) - jelenérték FV (Future Value) - jövőérték r (return) - hozamt (time) - idő

A fenti 2 mondat röviden a következőképpen írható:

1. PV(15 000 Forint, 1 év, 25%) = 15 000 / (1+0,25)1 = 15 000 / 1,25 = 12 000 Forint2. FV(12 000 Forint, 1 év, 25%) = 12 000 x (1+0,25)1= 12 000 x 1,25 = 15 000 Forint

Látható, hogy a jelenérték és a jövőérték számítás két egymással „ellentétes” művelet. A két fogalmat a hozam és a diszkont kapcsolja össze, mint az a fentiekből a következőképen levezethető:

PV(15 000) = FV(12 000) / (1+r)1

FV(12 000) = PV(15 000) x (1+r)1

A kitevőkben az 1 feleslegesnek tűnik, azért van ott, mert arra utal, hogy annak nem feltétlen kell egynek lennie. Csak akkor egy, ha a befektetés időtartama éppen 1 év. Tegyük föl például, hogy húgom a jövő évi 15 000 Forintján egy olyan befektetést eszközöl, ami újból 25%-os hozamot biztosít számára 1 év alatt. Ez azt jelenti , hogy további 1 év múlva hozzájut 15 000 x 1,25 = 18 750 Forinthoz. Ehhez a pénzhez úgy jut tehát hozzá, hogy ma vesz 12 000 Forintért 1 év múlva esedékes 15 000 Forintot, azt akkor megkapja, majd rögtön elkölti egy újabb év múlva esedékes 18 750 Forintra. Így ez a középső műveletet akár meg se ejtse! Vegyen ma 12 000 Forintért 2 év múlva esedékes 18 750 Forintot, ugyanúgy jár vele.

Újra ugyanazt a kérdést tehetjük fel mint korábban. Mit csinált kishúgom?Befektetett 12 000 Forintot ma, a 2 év múlva esedékes 18 750 Forint reményében. Mivel 18 750 = 12 000 x (15 000 / 12 000) x (18 750 / 15 000) = 12 000 x 1,252, ez azt jelenti, hogy a befektetés után 25%-os éves hozamot ér el.

1. A 12 000 Forint a 18 750 Forintnak a befektetéstől elvárt 25%-os éves hozam melletti jelenértéke.

2. A 18 750 Forint a 12 000 Forintnak a befektetéstől elvárt 25%-os éves hozam melletti jövőértéke.

Ekkor a fenti 2 mondat röviden a következőképpen írható:

1. PV(18 750 Forint, 2 év, 25%) = 18 750 / (1+0,25)2 = 18 750 / 1,252 = 12 000 Forint2. FV(12 000 Forint, 2 év, 25%) = 12 000 x (1+0,25)2= 12 000 x 1,252 = 18 750 Forint

A kettő összekapcsolása pedig:

PV(18 750) = FV(12 000) / (1+r)2

FV(12 000) = PV(18 750) x (1+r)2

9 / 131

Megsejthetjük a következő általánosabb formulát: a t idő múlva esedékes C nagyságú pénz (Cash) r éves hozam melletti jelenértéke:

PV(C) = C/(1+r)t

És logikus, hogy az így kapott jelenértéknek a C összeg a jövőértéke, azaz:

PV(C) = FV(C) / (1+r)t

A pénzösszeg kihagyásával (de ez csak játék a jelekkel):

PV = FV / (1+r)t

És

FV = PV x (1+r)t

Jegyezzük meg: az 1 / (1+r)t kifejezést nevezzük diszkonttényezőnek vagy diszkontfaktornak. Azt előre bocsátjuk, hogy minél kockázatosabb a befektetés, annál nagyobb r. Nos így már látszik, hogy minél kockázatosabb a befektetés, annál kisebb a diszkontfaktor, hiszen a nevezőben (1+r) szerepel, és minél később jelentkezik a pénzösszeg, annál kisebb a diszkontfaktor, hiszen a nevezőt annál nagyobb hatványra emeljük.

Mivel a kockázattal csak a félév második felében foglalkozunk részletesen, ezért apró betűvel jelöljük a következő részt.Az a kérdés, hogy miért annyi a diszkonttényező amennyi. Kishúgom miért éppen 0,8-et használt? Először fejtsük meg azt, hogy mi lehet a diszkonttényező maximuma! Azok a személyek, akik 1 év múlva 100 százalék bizonyossággal 15 000 Forintot adnak nekem, mindannyian ugyanannyi pénzt kérnek ezért. Ilyen személy például az állam. Az államnak adok ma 13 800 Forintot, és 1 év múlva éppen 15 000 Forintot kapok. Ekkor egyértelmű, hogy nincs olyan személy, akinek 13 800 Forintnál többet adnék ezért a jövőre esedékes 15 000-ért!!! Mert 100 százaléknál nagyobb bizonyossággal senki nem garantálhatja nekem ezt a pénzt. És innentől kezdve az is nyilvánvaló, ha valaki 100-nál kevesebb százalék biztossággal adja a 15 000 Forintot, annak 13 800 Forintnál kevesebbet adok érte.

Nos tehát: hogy mennyit ér nekem ma a 15 000 Forint egy év múlva az attól függ, hogy mi annak a forrása. Hogy milyen bizonyossággal lesz az enyém. Így a diszkonttényező nagysága a bizonytalansággal, biztossággal, kockázattal hozható összefüggésbe. Minden más változatlansága mellett minél biztosabban jutok a pénzhez, annál nagyobb a diszkonttényező. Minél bizonytalanabb a pénzforrás, annál kisebb a diszkonttényező.

Az ugyanolyan biztonságú pénzt kisebb számmal kell diszkontálni, ha csak később kapjuk meg. Ez közvetlen következik abból, hogy a mai 100-as többet ér, mint a holnapi.

Összefoglalva:- a jövőbeli pénzt jelenbelire úgy számítjuk, hogy megszorozzuk a

diszkonttényezővel- ezt a műveletet jelenérték számításnak vagy diszkontálásnak hívjuk- a diszkonttényező 0-nál nagyobb, 1-nél kisebb- a diszkonttényező annál kisebb, minél bizonytalanabb a jövőbeli pénz- a diszkonttényező annál kisebb, minél távolabbi a jövő.

10 / 131

3. A hozam és a jelenérték.

Egy befektetésnek – legyen az részvényvásárlás, pénz elhelyezése a bankban vagy a kispárnánk alatt - a befektető szempontjából nézve mindig a hozama számít. Mindig arra vagyunk kíváncsiak, hogy vagyonunk mennyivel lett több. Vagy mennyivel lett kevesebb. Hogy még precízebbek legyünk, vagyonunknak nem az abszolút megváltozása érdekel bennünket, hanem a százalékos megváltozása.

Nem mindegy ugyanis, hogy a befektetett 100 000 Forint után kapunk-e 10 000 Forint növekményt, vagy a befektetett 1 000 000 Forint után kapjuk ugyanezt a pénzt. Abszolút értékben mindkét esetben 10 000 Forintot „nyertünk”, de míg az első esetben ez a 10 000 Forint kezdő befektetésünknek 10% volt, addig a második esetben csupán 1%-a.

Amikor egy befektetés (éves) hozamára vagyunk kíváncsiak, akkor azt nézzük meg, hogy befektetett pénzünk 1 év alatt átlagosan hány százalékkal változik meg.

Példa (éves hozam):Megtakarított 40 000 Forintunkat 1 évre lekötjük X Banknál, és 1 év múlva 43 500 Forintot kapunk. Mekkora a befektetés éves hozama?

Megoldás:Hozam = 43 500 / 40 000 - 1 = 0,0875 = 8,75%És hogyan lesz a 40 000 Forintból 43 500 Forint? Hát így:40 000 x (1 + Hozam) = 40 000 x (1 + 0,0875) = 43 500

Nem feltétlenül evidens, hogy a pénzünket éppen egy évre helyezzük el valahol. Mégis azt szeretnénk tudni, az éves hozam mekkora. Emlékszünk még kishúgomra, aki 12 000 Forintért vett ma előbb jövő évi 15 000 Forintot, később pedig két év múlva esedékes 18 750 Forintot. Már ott megjegyeztük,, hogy ez két éves befektetésnek számít, és ekvivalens azzal, mintha kétszer egymás után ugyanolyan hozam mellett fektette volna be a pénzét. Itt csak arra kell kitérnünk, hogy megmutassuk, hogy nem csupán a befektetésből és a hozamból tudunk befektetés végi összeget számolni, hanem a két összegből is következtetni tudunk az éves hozamra. Hiszen az egész csak elemi matematika!

Ha A összeget befektetek T évre, és a végén B összeget kapok, akkor a befektetés éves hozama: r = (B/A)1/T – 1.

Tehát, ha 100 000 Forintot 2 évre befektettem, a végén 121 000 Forintot kaptam, így az éves hozam:(121 000 / 100 000)1/2 – 1 = 0,1 = 10 %

Megjegyzés: ugye nem zavar minket, ha más betűket használunk mint korábban. A keretes állítás így is írható lett volna: ha PV összeget befektetek t évre, és a végén FV összeget kapok, akkor a befektetés éves hozama: r = (FV/PV)1/t – 1.

Nem szabad megijedni attól az esettől sem, ha a befektetési periódus 1 évnél kevesebb, a fenti szabály és formula ugyanígy működik.

11 / 131

Példa: Három hónapra fektetek be 50 000 Forintot és a végén 52 000 Forintot kapok. Mennyi az éves hozam?

Megoldás:Itt arra kell csak figyelni, hogy a hónapokban megadott periódust évekre írjuk át: 3 hónap = ¼ év. ÍgyHozam = (52 000 / 50 000)1/(1/4) – 1 = (52 000 / 50 000)4 – 1 = 0,1699 = 16,99 %

Ez utóbbi példában egyébként jól látható, hogy a hozam arra utal, hogy egy befektetés megújítható, a harmadik havi 52 000 Forintot újra befektethetjük ugyanekkora hozam mellett. Nézzük csak:

50 000 Forint 50 000 x (52 000/50 000) = 52 000 Forint

ha újra befektetjük 3 hónapra, aztán megint és megint:

52 000 Forint 52 000 x (52 000/50 000) [52 000 x (52 000/50 000)] x (52 000 / 50 000) {[52 000 x (52 000/50 000)] x (52 000 / 50 000)} x (52 000 / 50 000)

azaz:

50 000 Forint 50 000 x (52 000/50 000)4 = 50 000 x 1,1699 = 58 492,928 Forint

A négyszer egymás után való befektetés ugyanazt eredményezte, mintha az 50 000 Forintot egyszer fektettük volna be 1 évre, 16,99%-os éves hozam mellett.

Egy befektetés hozamának nagysága a befektetés kockázatosságától függ. Minél kockázatosabb egy befektetés, annál nagyobb hozamot várhatunk el tőle. Vannak úgynevezett kockázatmentes befektetések – ilyen például egy államkötvény megvásárlása – amelyek hozama alapul szolgálhat egyéb befektetések hozamának vizsgálatakor. Elöljáróban szögezzünk le csak annyit, hogy a kockázatos befektetés hozama és a kockázatmentes befektetés hozama közti különbséget kockázati prémiumnak fogjuk nevezni. Ez az a díj, amelyet a kockázat vállalásáért kapunk. Például: Az állam által kibocsátott kincstárjegy hozama 7%, a Holdutazást Szervező Részvénytársaság (HSz Rt) papírjának hozama pedig 29%. Ekkor a HSz Rt részvényének kockázati prémiuma 29% - 7% = 22%.

Figyelem: ha egy ingatlanszövetkezet 30%-os hozamot ígér befektetésünkre, miközben a banki kamatláb 8 és 11% között mozog, akkor legyük vele nagyon óvatosak: lehet, hogy minden pénzünk odavész.

Ugye amikor a bankba rakjuk pénzünket, nem a hozam, hanem a kamat nagysága érdekel bennünket elsősorban? Nos, a következőkben rávilágítunk arra, hogy ez igencsak helytelen érdeklődés részünkről. Amikor a bankban azt mondják, hogy 10% az éves kamat, akkor túl keveset mondtak ahhoz, hogy tudjuk, érdemes-e oda rakni a pénzünket. Feljebb már utaltunk rá,

12 / 131

hogy a pénzünk éves lekötése, és éven belüli folyamatos növekedése nem jelenti azt, hogy a futamidő lejárta előtti kivételkor a növekményt is meg fogjuk kapni. Lehet, hogy semmit nem kapunk, lehet, hogy annak csak egy részét kapjuk meg. Mindez attól függ, hogy a bank a futamidőn belül hányszor tőkésíti befektetésünket. A tőkésítés a befektető szempontjából egyszerűen azt jelenti, hogy vagyonának nagyságát a bank ténylegesen megnöveli. Tőkésítés után már biztos, hogy több pénzt vehet ki (mondjuk a bankból), mint amennyit betett. Példán keresztül világítjuk meg:

Van 100 000 Forintunk. Három banktól kapunk ajánlatot, mindegyik 10% kamatot ígér, de A bank éves, B bank féléves, C bank negyedéves tőkésítés mellett. Hová tegyük a pénzünket?

A. Az A bank ígérete nem más, mint hogy 1 év alatt 10%-al növeli meg a befektetett összeget, azaz 1 év múltán 100 000 x 1,1 = 110 000 Forintot kapunk.

B. A B bank ígérete más: ő azt mondja, hogy már fél év múlva tőkésít. Mivel az éves kamatláb 10%, így fél év múltán 10/2 = 5%-al növeli a pénzünk nagyságát. Így fél év múlva lesz 100 000 x 1,05 = 105 00 Forintunk. Nekünk a következő fél évben már ez az összeg fog 5%-al kamatozni, azaz 1 év múlva 105 000 x 1,05 = 110 250 Forintot kapunk.

C. A C bank pedig azt ígéri a negyedéves tőkésítéssel, hogy negyedévente a már bennlevő tőkénkre 2,5%-ot „rárak”, azaz:¼ év után lesz 100 000 x 1,025 = 102 500 Forintunk½ év után lesz 102 500 x 1,025 = 106 062,5 Forintunk¾ év után lesz 106 062,5 x 1,025 = 107 689,06 Forintunk1 év után lesz 108 689,06 x 1,025 = 110 381,29 Forintunk.

Látható, hogy adott éves kamatláb mellett minél gyakrabban van tőkésítés, végül annál több pénzhez jutunk hozzá. Más kifejezéssel élve, adott éves kamatláb mellett minél gyakrabban tőkésítenek, annál nagyobb a befektetés (éves) hozama.

Mennyi is a A, B, C bankokba való befektetés éves hozama a fentiek alapján?A. az A bank esetén 110 000 / 100 000 -1 = 0,1 = 10%B. a B bank esetén 110 250 / 100 000 -1 = 0,1025 = 10,25%C. a C bank esetén 110 381,29 / 100 000 -1 = 0,1038 = 10,38%

Tanulság: egy befektetés jövedelmezőségének megítélésében a hozam az igazán effektív, hatékony kategória, a kamatígéret önmagában kevés.

Számszerű összefüggés is vonható a névleges kamat és az effektív hozam köré:Ehhez először is vezessük be a következő jelöléseketk – éves kamatlábr – éves hozamm – a tőkésítések száma

ekkor r = (1 + k/m)m - 1

Nézzük csak meg hogyan működik a képlet a C bank esetében! Itt k=10%, m=4, r=? r = (1 + 0,1/4)4 -1 = 0,1038 = 10,38%

13 / 131

Persze a képlet át is írható, az éves hozam és a tőkésítések számának ismeretében a következőképpen számítunk éves névleges kamatlábat:

k = ((1 + r)m – 1) x m

Vegyük észre azt is, ha t év a két tőkésítés között eltelt időtartam, akkor m = 1/t, illetve t = 1/m.

A hozam- és a jelenérték számítás összekapcsolása

Eddigi fő állításaink:1. A különböző időpontbeli pénzek különböző áruknak tekinthetők: mai árukat a

jelenértéküknek nevezzük.2. A befektetés nagyságának százalékos megváltozása számít, ezt hozamnak hívjuk.3. Mind a diszkontáláshoz használatos szorzószám (diszkonttényező), mind a befektetés

hozama a kockázattól függ. A szorzószám a kockázat növekedésével csökken, a hozam a kockázat növekedésével nő.

Fel tudunk-e állítani vajon további összefüggést? Fel bizony!

Nos igen: befektetésből. Ahhoz, hogy egy év múlva 110 000 Forintunk legyen, időközben, mondjuk éppen ma, tennünk is kell valamit. Azaz a kérdés: mennyit kell befektetnünk ahhoz, hogy 1 év múlva éppen 110 000 Forintunk legyen? A válasz: a 110 000 Forint jelenértékét. Jelöljük ezt az összeget PV-vel (Present Value = Jelenérték). Ha befektetünk PV nagyságot, és a befektetésre jellemző hozam 10%, akkor nagyon jól tudjuk, hogy miként lesz PV-ből 110 000 Forint:

PV x 1,1 = 110 000.

Ebből:PV = 110 000 / 1,1 = 100 000

Azaz 100 000 Forintot kell befektetnünk ahhoz, hogy abból 10%-os, a befektetésre jellemző hozam mellett, egy év múlva 110 000 Forinthoz jussunk. Megfordítva, az egy év múlva esedékes 110 000 Forint jelenértéke 100 000 Forint.

Írjuk is át a legutóbbi egyenletet:

PV = 110 000 x (1/1,1) = 100 000

Erről már beszéltünk: a jelenérték számítás választ ad arra a kérdésre, hogy mekkora összeget kell befektetnünk ahhoz, hogy bizonyos idő elteltével adott pénzösszeghez jussunk.

Megvitatni azt a kérdést, hogy mekkora a jelenértéke egy olyan pénzösszegnek, amelyik nem pontosan egy év múlva, hanem éven túl, vagy éven belül jelentkezik, korábbi ismereteink birtokában gyerekjáték.

Volt korábban egy befektetésünk, amely két év elteltével 121 000 Forintot fialt. Tegyük fel, hogy most a befektetésre jellemző 10%-os hozamot ismerjük. Mennyi pénzre is van szükségünk ma,

14 / 131

hogy ezt az összeget elérjük? A válasz: a 121 000 Forint jelenértékére. Jelöljük ezt ismét PV-vel. Hogyan lesz PV-ből 121 000 Forint? A következőképpen:

1 év múlva lesz: PV x 1,1. Föl is tehetjük, hogy ezt 10% hozam mellett újra befektetjük, így pedig:2 év múlva lesz (PV x 1,1) x 1,1 = PV x 1,12 = PV x 1,21

Ezt pedig tudjuk mennyi: PV x 1,21 = 121 000Ebből PV = 121 000 x (1/1,21) = 100 000 Forint.

Példa (összefoglaló):Csirkefarm vásárlásán törjük fejünket. Akad egy alkalmasnak ítélt telep, amely a következő három évben a következő pénzek kifizetését ígéri: első évben 136 Millió Forintot, a második évben 141 Millió Forintot, a harmadik évben 179 Millió Forintot. A harmadik év végén a tevékenységünket felszámoljuk, a csirkéket szélnek eresztjük. A csirke üzletágra 23%-os elvárt hozam jellemző.

a. A farmot 300 Millió Forintért „vesztegetik”. Belevágunk?b. Mekkora az a maximális összeg, amit odaadnánk a farmért?Megoldás:Először is gyűjtsük össze az adatokat:C1 = 136 C2 = 141C3 = 179r = 23 %

a – b. Hogy válaszolni tudjunk a kérdésekre meg kell mondanunk, hogy mennyit is ér a farm. Annyit ér, mint amennyi a működtetéséből származó pénzek jelenértékének az összessége, azaz:PV = 136 / 1,23 + 141 / 1,232 + 179 / 1,233 = 299,96 Millió Forint.Tehát 300 Millió Forintért semmiképpen vesszük meg, hiszen akkor bukunk 0,04 Millió Forintot! A maximális összeg, amelyet a farmért adunk 299,96 Millió Forint. Ha ez alatt kínálják örömmel vágunk bele, hisz akkor nyerünk rajta. Ha éppen 299,96 Millió Forintot kérnek a farmért, akkor azt mondjuk, hogy fair árról van szó. Hiszen a befektetés kockázatosságát, a belőle származó pénzeket figyelembe véve éppen ennyit ér!

15 / 131

7. Idegen tőkés finanszírozás I. – hitelek pénzáramlása

A kötvények pénzáramlása

Mikor egy vállalat hitelt vesz fel, vagy ami ezzel egyenértékű, kötvény bocsát ki, arra vállal kötelezettséget, hogy a felvett hitel után kamatot fizet, majd annak lejáratáig (egy vagy több részletben) a kötvény névértékét törleszti a hitelezőknek. A hitelek természetesen különböznek futamidejükben, kamatozásukban és törlesztésükben is, azaz szinte minden hitelnek más a pénzáramlása.A hitelről történő megállapodás egyik lényegi eleme a hitel pénzáramlásának meghatározása. Ahhoz, hogy egy hitel pénzáramlását fel tudjuk írni, négy feltétel ismeretére van szükségünk. Így ismernünk kell a hitel

a) futamidejét,b) névértékétc) törlesztési feltételeitd) kamatozását.

A kamatozás tulajdonképpen két dolog egyidejű meghatározását jelenti: egyrészt a névleges kamat nagyságát, másrészt a kamatfizetés gyakoriságát (félévente, évente, stb.). Nézzünk egy egyszerű példát!

Az ABC Rt. és a Világraszóló Bank Rt. hitelmegállapodást kötöttek. Eszerint a bank 100 millió forint hároméves fix kamatozású hitelt nyújt a cégnek. A vállalat a hitelt az utolsó évben egy összegben törleszti. A hitel kamata évi 12%, a kamatfizetés évente egyszer esedékes. Írja fel a hitel pénzáramlását!

Kezdjük a hitel törlesztésével! Írjuk fel a táblázat első oszlopába a mai naptól a kifizetésig hátralévő évek számát. A törlesztés ütemezése a következő:

1. 0

2. 0

3. 100

A kamat évente egyszer fizetendő, nagysága a tartozás értékének 12%-a, azaz évente egyszer 12 millió forint. Mivel a hitelt a cég ma veszi fel, az első fizetés egy év múlva esedékes. A kamatok sorozata a következő:

1. 12

2. 12

3. 12

A hitel teljes pénzáramlása a kettő összege:

1. 12

2. 12

3. 112

Természetesen előfordulhat, hogy a felek abban állapodnak meg, hogy a hitelfelvevő több részletben törleszt. Az ilyen kötvényeket résztörlesztéses kötvényeknek nevezzük. Természetesen a

16 / 131

törlesztéssel a tartozás értéke csökken, így a kamatláb állandósága mellett is csökken a forintban kifejezett kamatfizetések nagysága.

Hogyan nézne ki az ABC Rt. hitelének pénzáramlása, ha a törlesztésre a második és a harmadik év végén két egyenlő részletben kerülne sor?

Kezdjük ismét a törlesztések felírásával! Ez az új feltételek mellett a következőképpen fog kinézni:

1. 0

2. 50

3. 50

A fizetett kamat a fennálló tartozás csökkenése miatt más lesz, mint az előző esetben. Mivel az első és a második év során még 100 millió a tartozás, a fizetendő kamat 12 millió Ft. A harmadik év során azonban már csak az 50 millió után kell a kamatot kifizetni, ami csak 6 millió forint. Azaz a kamatok:

1. 12

2. 12

3. 6

A hitel teljes pénzáramlása:

1. 12

2. 62

3. 56

Más esetekben a kötvények kamata egy évnél gyakrabban – mondjuk félévente – fizetendő. Figyelni kell arra, hogy ebben az esetben a tört időszakra jutó kamatot kell elszámolni. Azaz ha egy év alatt 12% kamat halmozódik fel, akkor fél év alatt annak éppen a fele, 6%.

Az ABC Rt. vezetőségét az is érdekelné, hogyan nézne ki a fizetendő összegek sorozata, ha az utolsó évben egy összegben törlesztene a cég, de kamatot évente kétszer, félévente fizetne.

Hogy egyetlen pénzáramlást se hagyjunk ki, most féléves lépésközökben készítsük el táblázatunkat! Először –ezúttal az első sorba – ismét a mai naptól a kifizetésig hátralévő évek számát írjuk fel. A pénzáramlást kezdjük ismét a törlesztésekkel!

0,5 1 1,5 2 2,5 3

0 0 0 0 0 100

A kamat félévente fizetendő, félévente a fennálló tartozás 6%-a. Azaz

0,5 1 1,5 2 2,5 3

6 6 6 6 6 6

17 / 131

A teljes pénzáramlás:

0,5 1 1,5 2 2,5 3

6 6 6 6 6 106

AZ ABC Rt. vezetése már csak azt szeretné tudni, hogy nézne ki a pénzáramlás, ha a törlesztés a második és a harmadik év végén történne meg, de a kamatfizetési periódus fél év maradna!

A törlesztés ebben az esetben:

0,5 1 1,5 2 2,5 3

0 0 0 50 0 50

A fizetendő kamat kiszámításánál figyeljünk arra, hogy az utolsó évben, azaz az utolsó két alkalommal már csak 50 millió forint tartozás után kell kamatot fizetni. Ennek 6%-a 3 millió forint. Azaz a kamatok sorozata a következő lesz:

0,5 1 1,5 2 2,5 3

6 6 6 6 3 3

A hitel teljes pénzáramlása:

0,5 1 1,5 2 2,5 3

6 6 6 56 3 53

Nagyon fontos, hogy a hitelek pénzáramlása a lejárathoz közeledve „elfogy”. A korábban még hároméves kötvény idővel kétévesség, majd egyévessé válik, végül törlesztésre kerül.

Az ABC Rt az első feladatban megállapodott hitelét felvette. Hogyan néz ki a hitel pénzáramlása fél évvel a hitelfelvétel után?

A pénzáramlás még sehogy sem változott, csak egyszerűen közelebb kerültek a kifizetések. Azaz a hitel pénzáramlása fél évvel a felvétel után:

0.5 12

1.5 12

2.5 112

És egy évvel a hitelfelvétel után a kamatfizetést követően?

A kötvény futamideje ekkor már csak két év, de természetesen a többi feltétel nem változott. Az első kifizetésen túlestünk. Tulajdonképpen „lefűrészeljük” a korábbi megoldás egy részét.

1. 12

2. 112

18 / 131

A kötvények és a hitelek

A kötvények a hitelek értékpapírosodott változatai. Ebben az esetben is arról van szó, hogy a vállalat egy jövőben pontosan meghatározott pénzáramlást fizet a hitelezőknek, azonban a hitelező személye a hitel futamideje alatt akár többször is változhat. A hitel, mint láttuk, egyfajta pénzáramlás. Aki a hitelt fizeti, az az adós. Az ő szempontjából pénzkiáramlásról (cash outflow) beszélünk. Aki a kamatokat és a törlesztést kapja, az a hitelező. Ő korábban nyilvánvalóan adott valami pénzt a hitelfelvevőnek, különben az nem fizetne számára kamatokat és nem akarna törleszteni sem. A hitelező szempontjából ez a pénzáramlás pénzbeáramlásnak (cash inflow) minősül.

A kötvény abból a szempontból jelent könnyebbséget a hitel nyújtójának, hogy a hitelt – hogy milyen áron, azt a következő órán megvizsgáljuk – egyszerűen továbbadja. A kötvény megvásárlója átvállalja a hitelező szerepét.

Magyarországon a legnagyobb hitelfelvevő az állam. A Magyar Állam éppen ilyen kötvények kibocsátásával keres hitelezőket. Aki Magyar Államkötvényt vásárol, így válik az állam hitelezőjévé. Természetesen, ha a kötvényét eladja, átadja a hitelezői szerepet a kötvény megvásárlójának. Így onnan kezdve ő jogosult a kamatok és a törlesztések beszedésére.

A hitelek és a kötvények elkülönítése tehát jogi szempontból igen tiszta. Tisztán cash flow alapon azonban nem lehetséges. A fent kiszámolt pénzáramlások akár az ABC Rt. által kibocsátott vállalati kötvény pénzáramlásai is lehetnének. Ezért a továbbiakban – hacsak nem pontosítjuk – a kötvényt és a hitelt szinonimaként kezeljük, az egyikről megtanultak – hacsak külön nem hangsúlyozzuk – a másikra is érvényesek lesznek.

A különböző pénzáramlás fajtákról

A hitelek pénzáramlása alapján többféle csoportba sorolhatóak. A legegyszerűbbnek a most bemutatott hitelek tűnnek, amelyek kamatot fizetnek, valamint egy vagy több részletben törlesztenek. Az ilyen kötvényeket kamatszelvényes kötvényeknek nevezzük.

Vannak azonban ennél egyszerűbb kötvények, illetve pénzáramlások is. Ismert az ún. elemi (vagy az angol megfelelő egyszerű átvételével zéró kupon) kötvény is. Ennek a kötvénynek az a sajátossága, hogy formálisan nem fizet kamatot, csak a névértéket törleszti. A befektetők névértéknél olcsóbban veszik meg, így nem kamatot, hanem árfolyamnyereséget kapnak. A kötvény ezen tulajdonságára utal az angol elnevezés, mely szerint a kötvénynek nincs kamata, nincsen rajta kupon. A legismertebb magyar elemi kötvényfajta a diszkont-kincstárjegy.

Vannak olyan kötvények, amelyeknek bár van kamata, csak egyetlen időpontban fizetnek. Ezek az ún. kamatos kamatozású kötvények. Sok szempontból ezek kamatozásuk ellenére az elemi kötvényekkel rokonok.

Írja fel annak a kétéves futamidejű, 100 forint névértékű kamatos kamatozású, egy összegben törlesztő kötvénynek a pénzáramlását, amelynek névleges kamata évi 12%.

A törlesztés pénzáramlása egyszerű:

1 0

19 / 131

2 100

A kamatok újrabefektetésre kerülnek, hiszen a konstrukció kamatos kamattal számol. Így a kamat az első év végén járó 12 forint után is jár:

1 0

2 25,44

A teljes cash flow:

1 0

2 125,44

Vegyük észre, hogy amennyiben a hitelek pénzáramlása biztosnak tekinthető – azaz a vállalat nemfizetésének valószínűsége nulla – minden pénzáramlás „szétszedhető” elemi kötvényekre. Az ABC Rt. által az első példában ígért fizetés tulajdonképpen három elemi kötvény összege!

Milyen elemi kötvényekre tudná felbontani az ABC Rt. hitelének alábbi pénzáramlását?

1. 12

2. 12

3. 112

Három elemi kötvényre. Egy egy év múlva 12 forintot fizetőre, egy két év múlva 12 forintot fizetőre és egy három év múlva 112 forintot fizetőre.

Természetesen ha egy pénzáramlás elemi kötvényekre bontható, akkor abból fel is építhető.

A piacon három fajta elemi kötvénnyel kereskednek: egyéves, kétéves és hároméves elemi kötvényekkel. Mindhárom kötvény 1 forintot fizet lejáratkor. Hogyan tudna ebből az ABC RT. hiteléhez hasonló pénzáramlást előállítani?

Írjuk fel a három elemi kötvény és az ABC Rt. kötvényének pénzáramlását egymás mellé!

Elemi 1 Elemi 2 Elemei 3 ABC Rt. kötvénye

1 1 0 0 12

2 1 0 12

3 1 112

A megoldás adja magát. Ha az egy- és kétéves elemi kötvényekből egyaránt 12 darabot veszünk, míg a háromévesből 112-t, ugyanazt a pénzáramlást kapjuk, mint amit az ABC Rt. kötvénye ígér!

20 / 131

8. Idegen tőkés finanszírozás II. – Hitelek értékelése

Ahogyan arról szó volt, a kötvények eladásával gyakorlatilag a hitelezői szerepet adjuk tovább. Ezzel gyakorlatilag az általunk birtokolt jövőbeli cash flowt ruházzuk át. A nagy kérdés, hogy milyen árfolyamon tegyük ezt. A kérdés a hitelekre is megfogalmazható: mennyit ér egy korábban nyújtott, vagy éppen felvett hitel? Van annak egyáltalán értéke?

Természetesen, ha van pénzáramlása – márpedig az van, sőt bizonyos tulajdonságok ismeretében fel is tudjuk írni – akkor azt a jelenérték-számítás módszerével be is tudjuk árazni. A hitel vagy kötvény értéke az általa ígért pénzáramlás jelenre diszkontált értékével lesz egyenlő.

Ahhoz tehát, hogy árazni tudjunk, ismernünk kell a kötvénytől elvárt hozamot! Hogy egy vállalat kötvényétől mekkora hozamot várunk el, az attól függ, hogy mennyire tartjuk kockázatosnak az adott befektetést. Természetesen, ha a hitel visszafizetése miatt – ha csak kicsit is – aggódnunk kell, magasabb hozamot várunk el. Magasabb elvárt hozam alacsonyabb jelenértéket jelent. Azaz a kockázatos kötvényekért kevesebbet fizetünk, mint egy hasonló pénzáramlású, de kockázatmentes papírért. A helyes megoldás az értékelendő kötvénnyel azonos kockázatú befektetések hozamának felhasználása. Ekkor az elvárt hozam arányban van a vállalt kockázattal.

Egy évvel ezelőtt, kibocsátáskor megvettük az ABC Rt. kötvényét. A kötvény pénzáramlása ma, egy nappal azt első kamatfizetés előtt a következő:

0 12

1 12

2 112

(Az első kifizetéshez azért írunk nullát, mert egy nap évben kifejezve lényegében nulla). Ön ma szeretné ezt a kötvényt eladni. A hasonló kockázatú befektetésektől ma 13%-os hozamot várnak el a befektetők. Mekkora árat kap várhatóan a fenti kötvényért?

Annyit, amekkora a kötvény pénzáramlásának a jelenértéke (már ha a partner is tud kötvény árazni). Ez a 13%-os elvárt hozam mellett a következő:

5

Ennyit fizetnének ma a kötvényért a piacon.

Mekkora lenne ez az ár két nappal később, ha az elvárt hozam nem változik? Hát az első 12 forintot már zsebre vágtuk, azaz csak a két másik cash flow elem kerül értékesítésre. Ennek ára:

Természetesen a vagyonunk ekkor is 110,33 forint lenne, mivel 12 forintot nem a kötvény vevőjétől, hanem a vállalattól kapnánk meg kamat formájában.

5 A későbbiekben a kötvények árfolyamát nem a PV (present value – jelenérték), hanem a P (árfolyam – price) betűvel jelöljük.

21 / 131

Meg tudnánk határozni, hogy a fenti kötvényt milyen árfolyamon bocsátotta ki a cég? Hát persze, ha ismernénk a kötvénytől a kibocsátás napján elvárt hozamot.

Tegyük fel, hogy a kötvény kibocsátásának napján a hasonló kockázatú befektetésektől a piacon 12%-os hozamot vártak el. Milyen árfolyamon került kibocsátásra a kötvény?

A válasz most is hasonló, csak a számok mások:

És mennyit adtak volna, ha az elvárt hozam 13% lett volna márt akkor is?

A probléma most sem bonyolult, csak számolni kell tudni:

Mivel az elvárt hozam magasabb, egyértelmű, hogy az árfolyamnak alacsonyabbnak kell lennie.

A fenti eredményből egy nagyon fontos következtetést kell levonni! Az ABC Rt. kötvényének névértéke 100 forint. A 13%-os elvárt hozam mellett kibocsátáskor azonban csak 97,64 forintot kap érte. Azaz a cég csak 97,64 forint hitelt vesz fel, mégis 100 forint tartozása lesz. Ez azért van, mert kisebb névleges kamatot ígér, mint amekkora hozamot a befektetők elvárnak. Ez egy egyszerű matematikai összefüggés. A pénzügyi tartalom is megtalálható azonban mögötte. Ha a kötvény által elvárt kamat egyenlő a tőle elvárt hozammal – ahogyan az az előző példa első részében látható, mikor az elvárt hozam is 12% – éppen akkora hitelt kap a cég, mint amekkora a nyilvántartott tartozása: 100 forintot.

Itt kell tehát kiemelni a hitelek és a kötvények egy nagyon jelentős különbségét. A hitelek esetében a bank és a vállalat alkuja folyamán a bank pont akkora kamatot állapít meg, mint amekkora hozamot a hasonló kockázatú cégektől elvárt. Ezért kapunk 1 millió forint hitelt, és ezért lesz a tartozásunk névértéke is 1 millió forint. A kötvényeknél a hitel névleges kamatát, azaz a kötvény pénzáramlását – tanácsadók segítségével – a vállalat állapítja meg. Ott tehát előbb a pénzáramlás kerül definiálásra, és erre mond egy árajánlatot a piac: a bankok, a befektetési alapok, a biztosítók, stb. Az, hogy a vállalat éppen akkor névleges kamatot állapít meg, mint amekkora kamatot – egy-két hónappal később – a piac elvár tőle, nem túl valószínű esemény. De ez nem is fontos. Ha kisebb kamatot ígér, kevesebbet kell később fizetnie, ezt a piac is kevesebbre értékeli. Ha magasabbat, ugyan többet kap most, de cserébe később többet kell visszafizetnie. Ahogyan az amerikai brókerek mondják: „Ingyen ebédek nincsenek”. A lényeg, hogy a hitelek, illetve a kötvények fair módon legyenek árazva. Ekkor mindenki azt kapja, ami neki jár, amit megfizet.

Egy másik fontos momentumra is fel kell hívni a figyelmet. Mikor a vállalat kibocsátja a kötvényt, azaz megtörténik a kötvények elsődleges forgalomba hozatala, a kötvény ellenértékét a vállalat kapja. Ekkor kapja meg a hitelt, és ekkor ígéri cserébe a jövőbeli fizetéseket. A kötvény későbbi élete során – mikor ’A’ befektető eladja ’B’ befektetőnek – a vállalatot nem érinti az ügylet. Ő adott egy fizetési ígéretet, amit ezek után úgy adnak-vesznek a piaci szereplők, ahogyan

22 / 131

kedvük diktálja. A kötvény ellenértékét ilyenkor természetesen az azt értékesítő befektető fogja megkapni.

Térjünk vissza egy kicsit az előző órán felírt kamatszelvényes kötvények pénzáramlásához. Van-e hatása a kötvény kibocsátáskori árfolyamára annak, hogy a kötvény évente egyszer vagy kétszer fizet kamatot? Vegyük azt az esetet, mikor a kibocsátandó kötvény három éves, névleges kamat elvárt hozamával megegyezik, évi 12%.

Forintban kifejezve – a pénz időértékét figyelmen kívül hagyva – mindkét kötvény esetében a cég évi 12 millió forintot fizet ki kamatként. A pénz időértékét azonban nem lehet figyelmen kívül hagyni. Évente kétszeri kamatfizetés esetén ugyanis a 12 millió felét fél évvel korábban kell kifizetni. A korábban megkapott pénz pedig – emlékezzünk a korábban tanultakra – többet ér.6 Azaz a több részletben kamatot fizető kötvény pénzáramlását a piac többre értékeli!

Számítsa ki, milyen árfolyamon lehetne az ABC Rt hároméves kötvényét kibocsátani, ha egy kötvény névértéke 100 forint, névleges kamata a kötvénytől elvárt hozammal megegyező, évi 12%!

4. Évente egyszeri kamatfizetés mellett:

5. Évente kétszeri kamatfizetés mellett figyelembe kell venni, hogy a kifizetés év közben történik meg. Ekkor természetesen a diszkontálást tört évre hajtjuk végre tört kitevőn szerepeltetve a hozamot:

Vegyük észre, hogy a korábban kimondott szabályt piacit módosítani kell: akkor lesz a kötvény árfolyama és névértéke azonos a kötvény névleges kamatának és elvárt hozamának egyezése esetén, ha a kötvény évente egyszer fizet kamatot.7

A kötvények a piacon sokféle névértékkel kerülnek kibocsátásra, így az árfolyamból nem feltétlenül tudható, hogy a kötvény névérték feletti vagy alatti árfolyamon forog-e a piacon. Hogy az egyes papírok esetében ne kelljen a kötvény árfolyama mellett a névértéket is közölni, a piaci gyakorlatban a kötvény árfolyamát a névérték százalékában kifejezve jegyzik. Ha például a kötvény árfolyama 10 200 Ft, és a kötvény névértéke 10 000 forint, azt mondjuk, hogy a papír 102%-os árfolyamon forog a piacon.

6 Jobb ma egy veréb…7 A tananyagnak nem része, de a pontosság kedvéért meg kell jegyezni, hogy évente többszöri kamatfizetés esetén is

meghatározható az az elvárt hozam, ami mellett a kötvény éppen névértéken lesz megvehető. Általánosan elmondható, hogy a kötvény akkor kapható névértéken, ha a névleges kamatból számított hozam és a kötvény elvárt

hozama megegyeznek. Azaz ha k=12% és évente kétszer van kamatfizetés, azaz m=2, akkor az

egyenlet alapján a névleges kamatból számított hozam r=1,062-1=12,36%. Ha ezzel

diszkontáljuk a kötvény pénzáramlását, az árfolyam éppen 100 lesz.

23 / 131

Természetesen visszafelé is könnyű számolni. Ha azt tudjuk, hogy egy államkötvény 96,5%-os áron vehető meg, míg névértéke 100 000 forint, akkor azt is tudjuk, hogy a papírért 96 500 forintot kell fizetni. Abból, hogy az árfolyam kisebb, mint 100%, azaz az adósság kevesebbet ér, mint amennyit a végén törleszteni fog (azaz az ár kisebb, mint a névérték), arra következtethetünk, hogy a befektetők magasabb hozamot várnak el, mint amekkora kamatot az adott államkötvény ígér.

Természetesen a jelenérték számítás a minden kötvény esetében megfelelő eljárás az árfolyam meghatározására, akár elemi, akár kamatszelvényes, akár kamatos kamatozású kötvényről van szó. Összefoglalásként álljanak itt az általános formában felírt képletek.

Az elemi kötvény árfolyama:

, ahol Ct az elemi kötvény egyetlen jövőbeli kifizetése, t az elemi kötvény futamideje,

míg az r az elemi kötvénytől elvárt hozam.

A kamatszelvényes kötvény árfolyama:

, ahol Ct a kötvény t-edik időszaki kifizetése, n a

kötvény futamideje, r pedig a kötvénytől elvárt hozam.

A figyelmes olvasónak bizonyára feltűnt, hogy a kamatszelvényes kötvény árfolyamképlete is azt sugallja, hogy a kötvény tulajdonképpen elemi kötvények összege, hiszen értéke is elemi kötvények értékének összegeként adódik.

24 / 131

9.-10. Idegen tőkés finanszírozás III – IV.

A szabályos pénzáramlásokra az jellemző, hogy rendszeres időközönként jelentkeznek, nagyságuk azonos, vagy pedig az egymást követő kifizetések azonos ütemben növekszenek. A való életben ugyan hol találkozunk ilyen szép egyenletes bevétel vagy kiadássorozattal? Elképzelhető, hogy egy üzlet ilyen szabályosan teljesítsen?

Nos ezekre a kérdésekre a válasz kettős. Egyrészt vannak olyan konstrukciók, amelyek nagyon is szabályos pénzáramlás sorozatot eredményeznek. Gondoljunk csak a részletre vásárlásra, vagy egy olyan hitel fölvételére, amelyet valahány éven keresztül egyenletes nagyságokban törlesztünk. De gondolhatunk a már megismert kamatszelvényes kötvényekre, amelyek évente vagy félévente fizetnek kamatot, és a végén egyszerre törlesztenek: ezeknek a kamatfizetése szabályos pénzáramlás, később megtudjuk, hogy annuitásnak nevezzük.Másrészt az igaz, hogy egy vállalkozásra igen ritkán jellemző egyenletes pénzáramlás sorozat. De egy már beérett üzlet esetében sokszor jól lehet közelíteni egy ilyennel: nem túlzott azt állítani mondjuk egy régóta üzemelő pékségre, hogy az elkövetkezendő tíz évben várhatóan évente 15 Millió Forint bevételt eredményez.A szabályos pénzáramlásokat sokszor járadékoknak is nevezik. Ez talán kialakulásuk eredetével van összefüggésben. Mindenki hallott már olyan történetet, hogy valaki tékozló örökösét vagyon helyett valamilyen évjáradékban részesítette, esetleg ez a járadék rászállt annak örököseire és így tovább.

Örökjáradéknak hívjuk azt a pénzáramlást, amelynek kifizetései azonos nagyságúak, és azonos időközönként jelentkeznek, és a kifizetés örökké (az idők végezetéig) tart. Mennyit ér ez a pénzáramlás sorozat? Nos először is lássuk, hogyan néz ki egy ilyen:

C1, C2, C3, …., Ct, Ct+1, …….

ahol C1 = C2 = C3 = …. = Ct = Ct+1 = ….

Jelöljük tehát a kifizetett összeget C-vel.Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy az első fizetés az első év végén a későbbi kifizetések pedig évente jelentkeznek, és az örökjáradékra jellemző éves hozam r nagyságú.Ekkor a jelenérték:

Az egyenlőség jobb oldalán egy végtelen mértani sor látható, amelynek a kvóciense 1 / (1+r), első tagja pedig C / (1+r). Ekkor a sorösszeg: C / r, azaz a tárgyalt örökjáradék jelenértéke

Örökjáradékot alapvetően így kell árazni, de néhány dolgot általánosíthatunk:1. Az első kifizetés a T-edik időpontban jelentkezik, innentől kezdve évente kapjuk a C

összeget.

Ebben az esetben a érték az örökjáradéknak a (T-1) –edik időpontban vett értéke,

25 / 131

úgyhogy ezt még vissza kell diszkontálnunk a mai időpontra. Miért is? Vegyük újra lépésenként!A kifizetések:

C1+(T-1), C2+(T-1), C3+(T-1), …., Ct+(T-1), Ct+1+(T-1), …….

ahol C1+(T-1) = C2+(T-1), C3+(T-1) = …. = Ct+(T-1) = Ct+1+(T-1) = …….

Jelöljük ismét a kifizetett összeget C-vel.Ekkor a jelenérték:

Végezzük el az tag kiemelését:

A zárójelben lévő összeg pedig nem más, mint a fent tárgyalt örökjáradék (jelen)értéke, azaz

. Így:

Matematikailag tehát láttuk az állítás helyességé, lássuk be intuitíven is. A T-edik évben kapjuk először a C összeget. Tegyük föl, hogy már a (T-1)-edik évben vagyunk, tehát egy évvel az első kifizetés előtt. Ekkor tudjuk nagyon jól, hogy az előttünk álló örökjáradék

jelenértéke , azaz nyugodtan elcserélnénk egy azonnal esedékes összegre. Azaz:

A T-edik évtől kezdve jelentkező, évente esedékes C összeg ekvivalens értékű a (T-1) –

edik évben esedékes egyszeri összeggel. De akkor a 0-adik időpontra vetített

értékük, azaz a jelenértékük is megegyezik! Azt pedig nagyon jól tudjuk, hogy a (T-1)-

edik időpontbeli összeg jelenértéke:

2. A kifizetések nem évente, hanem t évente jelentkeznek, ahol t-ről azt tudjuk, hogy pozitív szám (tehát lehet 1-nél kisebb és 1-nél nagyobb is). Ekkor az árazás sikeres elvégzéséhez az adott éves hozamot kell t évesre konvertálnunk, jelöljük ezt rt-vel. A korábban tanultakból jól tudjuk, hogy r ismeretében:

rt = (1+r)t – 1

Így amennyiben az első kifizetés éppen t év múlva jelentkezik, és a többi ezután t évente,

26 / 131

úgy az örökjáradék jelenértéke:

A Darabolós Rt. kötvényből is finanszírozza működését. Olyan örökjáradék kötvényt bocsát ki, amelyik 16% éves kamatot ígér, és félévente fizet kamatot. A darabolástól elvárt hozam 16,64%. Mennyit adnánk a kötvényért, ha névértéke 100?

A kötvény pénzáramlása a következő: Időpont 1/2 év 1 év 3/2 év 2 év …pénzáramlás 8 8 8 8 …

Ekkor a féléves hozam:

Így a kötvény árfolyama:

Az örökjáradéknak egy speciális esete a növekvő tagú örökjáradék. Ebben az esetekben a kifizetések azonos időközönként esedékesek az idők végezetéig és a kifizetések nagysága g ütemben állandóan nő.Azaz a kifizetés-sorozat a következő lesz:C, C x (1+g), C x (1+g)2, C x (1+g)3, … , C x (1+g)t, C x (1+g)t+1, …

Ennek a növekvő tagú örökjáradéknak az értéke, amennyiben az első kifizetés az első év végén, a többi ezután évente jelentkezik, és az elvárt hozam r:

Jól látszik, hogy itt is egy mértani sorról van szó, ahol az első tag , a növekmény pedig .

Erről pedig tudjuk, hogy a sorösszege: , azaz a fenti növekvő tagú örökjáradék jelenértéke:

Azt azért még jegyezzük meg, hogy a fenti képlet csak akkor működik, ha r > g, ellenkező esetben a jelenérték végtelen nagyságúvá válik.

Az általánosítások ugyanúgy működnek, mint a fenti, nem növekedő tagú esetben.3. Amennyiben az első kifizetés a T-edik évben esedékes, a többi ezután évente jelentkezik,

akkor a jelenérték:

4. Amennyiben a kifizetések t évente jelentkeznek, az első kifizetés pedig éppen t év múlva, úgy a jelenérték:

27 / 131

Még néhány további megjegyzés az örökjáradékkal kapcsolatban: Meglehetősen elképzelhetetlen, hogy a gyakorlatban egy, az idők végezetéig tartó

pénzáramlással találkozzunk, de tudunk rá néhány példát.1. Vannak olyan államkötvények, amelyeknek a kifizetése örökjáradék. Ez tipikusan lehet

az a befektetési forma, amikor nagyapó a vagyonán egy ilyen kötvényt vesz, és akkor még az ük-ükunokájának is biztosít vele bizonyos megélhetést. A brit államkötvény piacon talál magának jellemzően ilyen lehetőséget.

Az öreg Bornemissza eladja birtokát, mert nem akarja dőre fiára hagyományozni. A befolyt pénzt – 240 Millió Forintot – olyan örökjáradék kötvénybe fekteti, amelyik évente fizet, és a kifizetések 5%-os ütemben növekszenek. A kötvénytől elvárt hozam 11%. Mekkora az első kifizetés, ha az

1. az egy év múlva jelentkezik2. 25 év múlva jelentkezik

Válasz:Amennyiben egy év múlva fizet először a kötvény C összeget, úgy a jelenértéke:

Helyettesítsünk be:

240 Millió =

ebből:C = 14,4 Millió ForintAmennyiben 25 év múlva fizet először a kötvény C összeget, úgy a jelenértéke:

Helyettesítsünk be:

240 Millió =

ebből:C = 195,63 Millió Forint

2. Meglehet, hogy egy pénzáramlás nem örökjáradék, hanem csak bizonyos ideig tart, de jól közelíthető örökjáradékkal.

Tekintsünk példának okán egy olyan pénzáramlást, amelyik 30 évig évente fizet 100 000 Forintot. A pénzáramlásra jellemző hozam 25 %. Az értékét szeretnénk megtudni, de csak az örökjáradék képletét ismerjük. Ez alapján a jelenérték:

PV (örökjáradék) = Forint. Nagyot tévedtünk vajon? Úgy tűnhet,

hiszen beleszámoltuk a 31-edik évtől jelentkező, az idők végezetéig tartó örökjáradék

28 / 131

értékét is. Hoppá!!! Hiszen azt be tudjuk árazni, ismerjük az idevonatkozó képletet:

PV (31-edik évtől) = 495,18 Forint.

Node, ha ennyi a harmincegyedik évtől esedékes pénzek jelenértéke, akkor mennyi az első harminc év pénzáramlásaié?PV(első 30 év) = PV(örökjáradék) – PV(31-edik évtől) = 400 000 – 495,18 = 399 504,82 Forint.Nem is tévedtünk olyan nagyot.(Sőt fölfedeztünk egy fontos dolgot, de erre még visszatérünk.)

3. Később látni fogjuk, hogy a részvényárazás egyik modelljében az örökjáradék nagyon fontos szerephez jut.

Az örökjáradék árazását elég részletesen bemutattuk. Érdemes nagyon jól áttanulmányozni a különböző levezetéseket, mert mint később látni fogjuk sok minden visszavezethető erre az árazási módszerre.

Az annuitás olyan pénzáramlás sorozat, amelyik azonos összeget biztosít, azonos időközönként egy bizonyos időpontig. Az annuitás árazásához azt kell észrevennünk, hogy mindig felírható két örökjáradék különbségeként. Ez volt az a fölfedezés, amelyet fentebb tettünk, amikor rájöttünk arra, hogy a 30 éven keresztül járó 100 000 Forint értéke meghatározható úgy, mint két örökjáradék különbségének értéke.

Annuitás származtatása két örökjáradék különbségekéntévek 1 2 3 … T T+1 T+2 T+3 …Örökjáradék 1 C C C … C C C C …Örökjáradék 2 0 0 0 … 0 C C C …Annuitás (Öj1 –Öj2)

C C C … C 0 0 0 …

A fenti táblázatban a T éves annuitást úgy is megkaphatjuk, hogy az első évtől esedékes örökjáradékból levonjuk a (T+1)-edik évtől esedékes örökjáradékot. Node, ha egy pénzáramlás felírható két másik különbségeként, akkor annak jelenértéke is meg fog egyezni a másik két pénzáramlás jelenértékének különbségével:

PV(annuitás) = PV(Öj1) – PV(Öj2)

Azt viszont már nagyon jól tudjuk, hogy mekkora az egyes örökjáradékok jelenértéke:

PV(Öj1) = , PV(Öj2) =

Így PV(annuitás) = .

29 / 131

Növekvő tagú annuitásról akkor beszélünk, ha a kifizetések egy bizonyos időpontig azonos időközönként jelentkeznek, és a járadéktag azonos ütemben növekszik. Nyilván a növekvő tagú annuitás felírható két növekvő tagú örökjáradék különbségeként, így jelenértéke egy mértani sorösszeg lesz.8

Az annuitásra is elvégezhetőek azok az általánosítások, amelyeket az örökjáradékok esetén vizsgáltunk. Csak egyetlen dologra kell figyelemmel lenni: az annuitás mindig felírható két örökjáradék különbségeként, így jelenértéke is ezen két örökjáradék jelenértékének a különbségeként adódik.

Az annuitás jelenértékének egyszerű képletében megjelenő szorzótényezőt

annuitás-faktornak nevezzük, és a következőképp jelöljük:

AF(r,T) = .

Vegyük észre, hogy az annuitásfaktor nem más, mint T éven keresztül jelentkező, évi 1 pénzegység (Forint, Dollár, Euró stb.) jelenértéke.Az annuitásfaktorok értékét táblázatba szoktál foglalni azért, hogy ne kelljen a jelenérték számításnál sokat a számológéppel bajlódni. Íme egy részlet az annuitástáblázatból:

Évek számaÉves hozam1% 2% 3% 4% 5%

1 0,990 0,980 0,971 0,962 0,9522 1,970 1,942 1,913 1,886 1,8333 2,941 2,884 2,829 2,775 2,6734 3,902 3,808 3,717 3,630 3,5465 4,853 4,713 4,580 4,452 4,329 Ha például jövő évtől kezdve 4 éven át évi 120 000 Forintot kapunk, és a pénzáramlásra jellemző hozam 3%, akkor a jelenértéke:

PV = 120 000 x AF(3% , 4 év) = 120 000 x 3,717 = 446 040 Forint.

Az annuitás-faktort úgy kaptuk, hogy a táblázatban megkerestük a 4 év sorának és a 3% oszlopának kereszteződéséből adódó cellában levő számot. Annuitással talán legjellemzőbben (bank)hitelek visszafizetésekor találkozhatunk.

Felveszünk 1 000 000 Forint hitelt és jövő évtől kezdve 10 éven keresztül 250 000 Forintot fizetünk vissza évente. Ekkor azt mondjuk, hogy a felvett hitel annuitásos törlesztésű volt.

8 PV(növekvő tagú annuitás) = .

30 / 131

Ám jó, ha megjegyezzük, hogy ilyenkor minden egyes visszafizetés két részre osztható: tőketörlesztésre, és kamatfizetésre.Nézzünk egy egyszerű példát9 az annuitásos hitelre!

A Nyeretlen Hároméves Rt. sorsjegyekkel üzletel. Működésének finanszírozásához felvett 1 952 000 Forint hitelt három évre, 25 százalék kamat mellett. A hitelt annuitásosan törleszti, és most tudni szeretné, hogy mennyi lesz az egyes években a kamatfizetési kötelezettsége.

Először is nézzük meg, hogy összesen mennyit kell évente visszafizetnie: jelöljük ezt C-vel.Ekkor az igaz, hogy:

1 952 000 = C * AF(25%, 3, év) = = C * 1,952

Ebből C = 1 000 000 Forint.

Tehát minden évben 1 000 000 Forintot fizet vissza.Az első év végén fizetés előtt 1 952 000 Forinttal tartozik, így a kamatfizetés: 0,25 x 1 952 000 = 488 000 Forint. Így a törlesztés az első évben 1 000 000 – 488 000 = 512 000 Forint.

Így a második év végén a 1 952 000 – 512 000 = 1 440 000 Forinttal tartozik, így a kamatfizetés:0,25 x 1 440 000 = 360 000 Forint.Így a törlesztés a második évben 1 000 000 – 360 000 = 640 000 Forint.

Így a harmadik év végén 1 440 000 – 640 000 = 800 000 Forinttal tartozik, így a kamatfizetés:0,25 x 800 000 = 200 000 Forint.Így a törlesztés a harmadik év végén 1 000 000 – 200 000 = 800 000 Forint.

Táblázatba foglalva:év kamat tőketörlesztés tartozás

1 488 000 512 000 1 440 0002 360 000 640 000 800 0003 200 000 800 000 0

Figyeljünk meg jól két dolgot:1. Annuitásos hitel esetén az időszakonként fizetett összegben a kamatfizetés súlya egyre kisebb

lesz.2. Annuitásos hitel esetén az időszakonként fizetett összegben a tőke-visszafizetés súlya egyre

nagyobb lesz.Ez nyilván logikus: hiszen mindig ugyanakkora összeget fizetünk, de kamatot mindig kisebb összegre számíthatnak csak föl.

Ha egy autókereskedőnél választhatunk, hogy egyben kifizetjük a járgányért a 2 400 000 Forintot, vagy 60 hónapon keresztül fizetünk havi 40 000 Forintot, akkor ne habozzunk ez utóbbit elfogadni. Ugye, mindenki tudja miért?!

* * *

9 Majd a fejezet végén egy kicsit bonyolultabbat is mutatunk. Ez nem a tananyag része, de azért fontos ismereteket tartalmaz.

31 / 131

Egy tanulságos példa*

Felveszünk 1 000 000 Forint hitelt és jövő évtől kezdve 10 éven keresztül 250 000 Forintot fizetünk vissza évente. A bank azt hirdette meg, hogy 20%-os kamat mellett nyújtja nekünk a hitel. Volt ott még valami apró betű, de azt nem olvastuk el. Most kezdjünk el picit számolni:

Az első kifizetésig tartoztunk a banknak kerek 1 000 000 Forinttal. Így a fizetendő kamat az első év után 1 000 000 x 20% = 200 000 Forint. A maradék 50 000 Forint tőketörlesztésre ment.

Így a második kifizetéskor kamatot a bennmaradó 1 000 000 – 50 000 = 950 000 Forintra fizettünk, ennek nagysága 950 000 x 20% = 190 000 Forint. A második évben tehát 60 000 Forint volt a tőketörlesztés.

A harmadik évben fizetett kamat így 890 000 x 20% = 178 000 Forint, a tőketörlesztés pedig 72 000 Forint.

Írjuk föl az egészet:

kamat tőketörlesztés Tartozás1 200 000 50 000 950 0002 190 000 60 000 890 0003 178 000 72 000 818 0004 163 600 86 400 731 6005 146 320 103 680 627 9206 125 584 124 416 503 5047 100 701 149 299 354 2058 70 841 179 159 175 0469 35 009 214 991 - 39 94510 HOPPÁ HOPPÁ HOPPÁ

Bizony itt valami nem stimmel: 20%-os kamatozás mellett már a kilencedik évben visszafizettük az összes tartozásunkat. Átvert minket a bank? Nem. El kellett volna olvasni az apró betűt, ott bizonyára megtaláljuk, hogy a kamaton felül még milyen jogcímen kell fizetnünk valamilyen díjat a banknak.

Az általunk 10 éven át fizetendő évi 250 000 Forintnak (azaz annuitásnak) 21,41%-os hozammal számolt jelenértéke adja az 1 000 000 Forintot, úgyhogy olyan nagyon nem is lehetünk csalódottak.

Tanulság:bárhogyan is nevezzék, a tőketörlesztésen felül fizetett összeget egy ilyen annuitásos hitelnél tekintsük bátran kamatnak. Egyébként, ha tudni szeretnénk, hogy mennyibe is kerül nekünk a hitelfelvétel, keressük meg a THM-et, azaz a teljes hiteldíj mutatót, a bankok ebben kötelesek feltüntetni a felvett hitelösszegre vetített fizetendő díj teljes százalékos nagyságát.

* Az alábbi feladat nem képezi a tananyag részét, de egy felkészült szakembernek ilyen kérdésekkel is meg kel tudni birkózni a napi gyakorlatban.

32 / 131

11. Idegen tőkés finanszírozás V.

A hitelek értékét befolyásoló tényezők

A megelőző fejezetekben megtanultuk, hogy miként kell egy egyszerű hitel vagy kötvény pénzáramlását felírnunk, mi a különbség a névleges kamatláb és az elvárt hozam (a diszkontáláshoz használt „kamatláb”) között, hogyan történhet a hitel törlesztése, valamint – legfontosabbként – hogyan tudjuk egy hitel vagy egy kötvény értékét, azaz helyes piaci árát meghatározni. Ez utóbbi kiszámítása során adottnak vettük az elvárt hozamot, aminek segítségével ki tudtuk számítani a hitel vagy a kötvény jelenértékét.Vajon az az ár amit így kaptunk, végleges és örökérvényű? Tekintsünk például egy hároméves lejáratú, 20% névleges kamatozású, évente kétszer kamatot fizető kötvényt (a kötvény pénzáramlása alább a táblázatban látható). Gondoljunk csak bele, hogy mitől is függ az árfolyam, amiért hajlandók lennénk megvenni egy ilyen kötvényt (tegyük fel most, hogy a névérték mindvégig 100). Nyilvánvaló például, hogy minél nagyobb névleges kamatot fizet a kötvény, annál többet ér, hiszen ilyenkor minden jövőbeli időpontban több pénzt kapunk.Ha a kötvény pénzáramlását adottnak feltételezzük (azaz egyebek mellett a névleges kamat is rögzített), akkor két fontos tényező marad, aminek a változása alapvetően befolyásolja a kötvények (hitelek) értékét. Az egyik az elvárt hozam, ami ugyebár a konkrét kötvénytől függetlenül, a piacon határozódik meg. A 8. órán, a hitelek értékelésénél már láttunk erre példát, most azonban kicsit részletesebben is megvizsgáljuk ezt a kérdést. A másik tényező pedig az idő múlása: ahogy telik az idő, a kötvények értéke napról napra változni fog. Korábban, a 7. órán a kötvények pénzáramlásainak felírásánál már láttuk azt, hogy a pénzáramlás „előbbre tolódik” az idő múlásával. Most ezt is újra szemügyre vesszük és megnézzük, hogy mindez hogyan hat a kötvények árfolyamára.

Az elvárt hozam változásának hatása a hitelek értékére

Mi a helyzet akkor, ha az elvárt hozam változik? Az egyszerűség kedvéért először tekintsünk egy elemi kötvényt, ami egy év múlva pontosan 100 forintot fizet. Mennyit adnánk ma ezért a kötvényért? Legyen az elvárt hozam 8%. Az elemi kötvény jelenértéke ilyenkor 100 / 1,08 = 92,59 forint – pontosan ennyi lesz az árfolyama a piacon. Világos, hogy ha ennyiért megvesszük, akkor az egyéves, 92,59 Ft → 100 Ft befektetéssel pontosan 8% hozamra teszünk szert. Tegyük most fel, hogy az elvárt hozam 10%-ra nő. Fizetnénk-e most is ugyanannyit ezért az elemi kötvényért? Nyilván nem, hiszen a 92,59 Ft → 100 Ft befektetés csak 8% hozamot biztosítana, míg máshol akár 10%-os hozamot is kaphatnánk a pénzünkre (egyformán kockázatos befektetésre). Mi lesz tehát az elemi kötvény új ára? Az, amely mellett pontosan 10% hozamot biztosít, vagyis a 100 Ft-nak a 10%-os elvárt hozam melletti jelenértéke:

100 = 90,91 Ft

1,10Mit látunk? Minél magasabb az elvárt hozam, annál alacsonyabb lesz az egy év múlva esedékes 100 forint jelenértéke, azaz árfolyama is. Ha a bankban 10% hozamot adnak a pénzünkre, akkor az elemi kötvényt csak akkor akarja majd bárki is megvenni, ha az is legalább 10% hozamot biztosít. Ehhez viszont legfeljebb 90,91 forintba kerülhet. (Ha kevesebbe kerülne, akkor nagyobb hozamot biztosítana ugyan – ez az állapot azonban nem maradhatna fenn tartósan, hiszen a befektetők mind elkezdenének elemi kötvényt vásárolni, ami felhajtaná az árát).

33 / 131

Az elemi kötvény árfolyamának és hozamának kapcsolata

A tanulság a fentiekből az, hogy az árfolyam és a hozam ellentétesen változik. Ez nem csak elemi kötvényekre, hanem minden kötvényre igaz, amint arra alább egy másik példát is mutatunk majd. Ez a kapcsolat nyilvánvaló, ha arra gondolunk, hogy az elvárt hozammal osztani kell, ezért minél nagyobb az elvárt hozam, annál nagyobb számmal osztunk, vagyis annál kisebb lesz az árfolyam:

92,59 =100

90,91 =100

1,08 1,10

Jegyezzük meg jól a fenti összefüggést. Annál is inkább, mivel első pillantásra sokan gondolhatnák azt, hogy „ha egy kötvény hozama nő, akkor többet nyerek rajta, értékesebb lesz, ezért az ára is nőni fog”. Ez azonban helytelen következtetés! Mostanára már látnunk kell, hogy miért rossz ez a válasz. A kötvényeknél ugyanis a jövőbeli kapott pénzek nagysága, a kötvény pénzáramlása rögzített, ezért csak úgy érhetünk el magasabb hozamot, ha olcsóbban tudjuk megvenni.

Tekintsük most az eredeti hároméves, 20% névleges kamatozású, évente kétszer fizető kötvényt:

34 / 131

Időpont Pénzáramlás0,5 év 101 év 101,5 év 102 év 102,5 év 103 év 110

Az árfolyam különböző elvárt hozamok mellett:

5% 141,526% 138,217% 135,028% 131,949% 128,9610% 126,08

Az árfolyam és az elvárt hozam kapcsolata kamatozó kötvénynél

35 / 131

8%-os elvárt hozam mellett a kötvényünk árfolyama 131,94 Ft – ez voltaképpen azt jelenti, hogy ha ezen az áron vesszük meg a kötvényt, akkor összességében 8% hozamra teszünk szert ezzel a befektetéssel10. Adnánk-e érte ugyanennyit, ha az elvárt hozam 10%-ra nőne? Nyilván nem, hiszen továbbra is csupán 8% hozamhoz jutnánk így. Ahhoz, hogy összességében 10% hozamot realizáljunk rajta, olcsóbban, 126,08 forintért kell megvennünk – ennél többet senki sem fog adni ezért a kötvényért (kevesebbért viszont senki sem fogja eladásra kínálni).

Példa: A pékségünk 1 millió forint névértékű hitelt vesz fel egy banktól hároméves futamidőre, 15% kamat mellett. Az előző fejezetekben megtanultuk, hogy a hiteleknél a bank jellemzően pont akkora kamatot állapít meg, mint amekkora hozamot a pékségektől a piac általában elvár – pont azért, hogy a hitel jelenértéke éppen a névérték legyen, azaz hogy pontosan 1 millió forintot érjen a hitel (ennyi pénzt kap a pékségünk).Tegyük fel, hogy az emberek a reggeli kifli helyett hirtelen tömegesen átszoknak a müzlire, így a pékségek működése is kockázatosabbá válik, és ezért a tőlük elvárt hozam is 20%-ra emelkedik. Hogyan befolyásolja ez a változás a pékségünk hiteltartozásának értékét?

A pékségünk által fizetendő pénzáramlás változatlan:

1. év C1 = 150 000 Ft2. év C2 = 150 000 Ft3. év C3 = 1 150 000 Ft

A diszkontáláshoz használt elvárt hozam most r = 20%.A hiteltartozás jelenértéke tehát:

PV = 150 000

+150 000

+1 150 000

= 894 676 Ft 1,2 1,22 1,23

Ha tehát megnő a pékségektől elvárt hozam, akkor a hiteltartozás jelenértéke csökken. A hitelnyújtó bank számára ez persze rossz, hiszen számára bizonytalanabbá vált az, hogy a pékségünk vissza fogja-e tudni fizetni a hitelt.

A hitelek értékének időbeli változása

Eddig mindvégig egy időpontban vizsgáltuk a kötvények árfolyamára ható különböző tényezőket. Most azt fogjuk megnézni, hogy az idő előrehaladtával hogyan változik a kötvények árfolyama.

10 Ez kamatszelvényes kötvényeknél nem annyira nyilvánvaló, mint az elemi kötvények esetében, de nem is sokkal bonyolultabb megmutatni. Annyi a különbség, hogy figyelembe kell venni az időközben kapott kamatok újrabefektetésével szerzett jövedelmet is. Például ha egy kétéves, évente egyszer 10% kamatot fizető kötvényt tekintünk 8% elvárt hozam mellett, akkor ennek ára: 10 / (1,08) + 110 / (1,08)2 = 103,57. Szorozzuk most végig ezt az egyenletet (1,08)2-nel! Azt kapjuk, hogy

103,57 × (1,08)2 = 10 × (1,08) + 110 = 120,8A jobb oldalon az az összeg szerepel, amivel a második év végén rendelkezni fogunk: a 110 Ft, amit éppen ekkor kaptunk; továbbá az előző évben kapott 10 Ft kamat, amit előző évben újrabefektettünk, és így most már 10,8 Ft-ot ér. Befektetésünk összesen tehát 120,8 Ft-ot hoz a második év végére. Mivel 120,8 = 103,57 × (1,08)2, ezért látható, hogy a két éves 103,57 Ft → 120,8 Ft befektetés éves (!) hozama összességében pont 8%.

36 / 131

A példa kedvéért tegyük fel, hogy 2005. január elsején vásárolunk egy ötéves kötvényt, amely évente kétszer fizet évi 20% kamatot, és a lejáratkor a 100 Ft névértéket egy összegben törleszti. Ez a kötvény tehát félévente 10 Ft-ot biztosít számunkra, a legvégén pedig természetesen visszakapjuk a 100 Ft névértéket is. Az elvárt hozam 15%. A tanultak alapján ezekből az adatokból már könnyedén meg tudjuk határozni a kötvény árfolyamát (figyeljünk a félévenkénti kamatfizetésre!): az nem más, mint a pénzáramlás jelenértéke, azaz 119,19 Ft. Pontosan ennyit fizetünk érte 2004. január elsején.

A kötvény pénzáramlása2005. január 1. -119,19 Ft2005. július 1. 0,5 év 10 Ft2006. január 1. 1 év 10 Ft2006. július 1. 1,5 év 10 Ft2007. január 1. 2 év 10 Ft2007. július 1. 2,5 év 10 Ft2008. január 1. 3 év 10 Ft2008. július 1. 3,5 év 10 Ft2008. január 1. 4 év 10 Ft2009. július 1. 4,5 év 10 Ft2010. január 1. 5 év 110 Ft

Mennyi lesz a kötvény értéke mondjuk 2005. április elsején? Vajon ugyanannyi lesz-e, mint amennyiért újévkor11 megvettük? Bizony, hogy nem. A január elsejei és a április elsejei pénzáramlás ugyanis nem pontosan ugyanaz: noha a forintösszegek változatlanok maradtak, a kifizetésekig hátralévő idők megváltoztak, egészen pontosan mindegyik időpont előbbre tolódott: az első kamatfizetésig már csak három hónapot kell várnunk. Így abban már biztosak lehetünk, hogy április elsején ez a kötvény többet fog érni, mint január elsején, hiszen a hamarabb megkapott pénz értékesebb. Ha kiszámoljuk pontosan, látni fogjuk, hogy igazunk volt: április elsején a hátralévő pénzáramlások jelenértéke 123,43 Ft.Ahogy közelítünk tehát július elsejéhez, az első kamatfizetés időpontjához, úgy emelkedik a kötvény értéke: előző nap, június 30-án például már 127,82 Ft-ot ér. Másnap megkapjuk a 10 Ft kamatot, valamint miénk marad a kötvény is, a fennmaradó jövőbeli pénzáramlásokkal. Mennyit érhet vajon a kötvény közvetlenül kamatfizetés után, ha közvetlenül előtte 127,82 forintot ért? A kamatfizetés után maradó kötvény értéke plusz a kamat értéke nyilván meg kell egyezzen a kamatfizetés előtti kötvény értékével, különben nem lenne igazságos a dolog. Tehát:

A kötvény értéke=

A kötvény értéke– Kamat = 127,82 Ft – 10 Ft = 117,82 Ft

kamatfizetés után kamatfizetés előtt

A kötvény árfolyama tehát növekszik egészen a kamatfizetésig, akkor pedig a kamat nagyságával leesik. Ezt mutatja az alábbi ábra:

Kamatszelvényes kötvény árfolyamának időbeli alakulása (bruttó és nettó árfolyam)

11 A bankok és a tőzsdék persze zárva vannak újévkor, de ettől az apróságtól most tekintsünk el.

37 / 131

A vastag, fűrészfog-szerű vonal mutatja a kötvény tényleges piaci árfolyamát, más néven bruttó árfolyamát: ennyiért lehet adni-venni a piacon. Jól látható, hogy a kamatfizetések időpontjában a kamat nagyságával leesik az árfolyam.

A 10 forintnyi kamat, amit 2005. július elsején megkapunk, a pénzünknek egyfajta használati díja, amit az fizet nekünk, akinek kölcsönadtuk a pénzünket. Ez a 10 forint az egész első félévre vonatkozik, tehát értelmezhetjük időarányosan is: az első három hónapra már megilletne minket ennek a fele, vagyis 5 forintnyi „használati díj”. Noha kamatot csak félévente kapunk, a kamatfizetések között hasonló módon értelmezhetjük a kamatnak a (legutóbbi kamatfizetés óta eltelt időszakra vonatkozó) időarányos részét: ezt felhalmozott kamatnak nevezzük. 2005. április elsején tehát a felhalmozott kamat a 10 forintnak pont a fele, mivel a hat hónapnak pont a fele telt el. Május 15-én a felhalmozott kamat pedig már 7,5 forint lesz, mivel ekkorra már a hat hónap háromnegyede eltelt. A felhalmozott kamat a következő kamatfizetésig egyre csak növekszik (a kamatfizetés napján már pont 10 forint lesz), a kamatfizetést követően pedig leesik nullára – ez okozza a fűrészfogat a bruttó árfolyamban.

Tisztítsuk hát meg a bruttó árfolyamot a felhalmozott kamattól! Ha a bruttó árfolyamból kivonjuk a felhalmozódott időarányos kamatot, akkor az úgynevezett nettó árfolyamot kapjuk. Az előző ábrán ezt a nettó árfolyamot a fűrészfog alatt húzódó, folyamatosan csökkenő vonal ábrázolja, amely a kötvény névértékéhez (100 Ft) tart12. Jegyezzük meg jól ezt az összefüggést:

Bruttó árfolyam = Nettó árfolyam + Felhalmozódott időarányos kamat

Miért számoljuk ki vajon a nettó árfolyamot? Az biztos, hogy ez nem „igazi” ár, azaz ennyiért nem lehet a kötvényt megvenni, hiszen az igazi árat a bruttó árfolyam, a fűrészfog mutatja. (Vegyük észre ugyanakkor, hogy közvetlenül a kamatfizetések után a két árfolyam megegyezik!) Akkor hát mire jó ez az egész? A nettó árfolyamot a kötvényekkel foglalkozó befektetők leginkább eltérő kötvények összehasonlítására használják. A különböző kötvények ugyanis általában eltérő időpontokban fizetnek kamatot, ezért az eltérő fűrészfog-ábrákat nem nagyon lehet összevetni. A nettó árfolyam ugyanakkor már mentes az egyedi kamatfizetési jellemzőktől, ezért segítségével már össze lehet hasonlítani különböző kötvényeket abból a szempontból, hogy melyik olcsóbb vagy drágább (a nettó árfolyamot a kötvényárfolyamokhoz hasonlóan szintén a névérték százalékában szokták megadni, így a különböző névértékű kötvények is egyszerűen összehasonlíthatók). Ne felejtsük azonban el, hogy a nettó árfolyam nem valós ár, hanem csak jegyzési szokvány.

Példánkban a nettó árfolyam a kötvény futamideje alatt végig a névérték (100 Ft) felett volt, és folyamatosan csökkenve a névértékhez tartott. Ez azonban nem minden kötvény esetében van így, hanem csak az olyan kötvényeknél, ahol a névleges kamatláb (itt évi 20%) magasabb, mint az elvárt hozam (itt évi 15%). Ha az elvárt hozam a magasabb, akkor a nettó árfolyam végig 100 alatt lesz, és folyamatosan nő; ha pedig a kettő egyenlő, akkor a nettó árfolyam a kötvény teljes futamideje alatt (minimális különbségtől eltekintve) éppen 100 Ft, azaz a névérték lesz.

12 A bruttó árfolyam pedig a névérték és a lejáratkor esedékes utolsó kamat összegéhez (itt 110 Ft) tart.

38 / 131

árfolyam

idő

árfolyam

idő

Névleges kamatláb = elvárt hozam Névleges kamatláb < elvárt hozam

39 / 131

12. Idegen tőkés finanszírozás VI. – A kedvezményes hitelek értékelése

Ha a piaci szereplők mindegyike tud kötvényt árazni, a kötvény fair árfolyamon fog forogni abban az értelemben, hogy csak annyit kaphatunk érte, amennyit az ér. Azaz a vállalat, nem fogja tudni drágábban eladni a kötvényét, és nem fog tudni alacsonyabb kamatláb mellett hitelt felvenni, mint ami valójában jár neki. Ha ugyanis így lenne, akkor a vállalat nyerne, számára a kötvény kibocsátása, illetve a hitel felvétele pozitív nettó jelenértékű projekt lenne.

A játék azonban zérus összegű: csak azt nyeri meg az egyik, amit elbukik a másik. Azaz ha a vállalat nyer, akkor a hitelező bank, vagy a kötvény vásárlója veszít, többet ad, mint amennyit az valójában ér. Más szóval megfogalmazva, ha a piac jól működik, mindenki tud kötvényt/hitelt értékelni, a hitelfelvétel nem teremthet, de nem is rombol értéket, a hitelfelvétel nettó jelenértéke nem lehet sem pozitív, sem negatív, hanem nulla lesz.

Minden esetben ez a helyzet? Piaci körülmények között igen. Vannak azonban olyan esetek, mikor egyes cégeket kedvezményes kölcsönökkel segítenek, azaz a vállalat alacsonyabb kamat mellett juthat hitelhez, mint ami valójában indokolt lenne. Ezen persze valaki biztosan veszít. A legtöbbször az állam, aki bár tudatában van ennek a veszteségnek, az általa preferált célok elérése érdekében támogatja a projektet.

De hogyan értékeljük a kedvezményes hitelt? Mekkora összeget „veszít” a hitel támogatója, azaz mennyibe kerül neki ez az akció? Tulajdonképpen két érték különbségeként határozhatjuk meg a kedvezmény értékét. Ki kell számolnunk, hogy mekkora a támogatott hitel pénzáramlása. Ezt aztán a támogatott hitel felvevőjétől a piac által elvárt hozammal beárazzuk. A nyújtott hitel összege és a kedvezményes pénzáramlás értékének különbsége lesz a támogatás értéke. Nézzünk ismét egy példát!

Az ABC Rt. egy kiemelten fontos környezetvédelmi beruházásba kezd. A beruházást kedvezményes hitelből valósítja meg. Ha a vállalat piaci feltételek mellett venne fel hitelt, a hitel kamata 15% lenne. Ez megfelel a hasonló kockázatú vállalatoktól elvárt hozamnak. Az állam azonban támogatja a környezetvédelmet, így a cég 8%-os kamat mellett kapja meg a hitelt. A hitel összege 100 millió forint, futamideje 3 év, a tartozást a harmadik év végén egy összegben kell rendeznie a cégnek. Mekkora összegű támogatást kapott tulajdonképpen az ABC Rt.?

Írjuk fel, mekkora lesz valójában a cég által fizetett pénzáramlás!

1. 8

2. 8

3. 108

Mennyit adna egy piaci szereplő ezért a pénzáramlásért?

millió forintot.

Azaz az állam azáltal, hogy 100 millió hitelt nyújtott egy valójában 84,02 piaci értékkel rendelkező hitelért, tulajdonképpen 15,98 millió forintos támogatásban részesítette a

vállalatot.

A fenti módszer természetesen az élet más területeire is kiterjeszthető. Kiszámolhatjuk, mekkora kedvezményt kapott az a család, amelyik 16% helyett 6%-on vehet fel állam által támogatott, 20 éves futamidejű, havonta fizetendő annuitásos lakáshitelt. De természetesen ezzel az eljárással nemcsak hitel jellegű kedvezmények is beárazhatóak. Meghatározható például az EU által adott ártámogatások mértéke is. A piaci ár és a becsült felvásárlási ár különbsége lesz a pénzáramlást, ezt kell visszadiszkontálni.

Minden kedvezmény tehát ugyanúgy árazható: a kedvezmény nélküli és a kedvezményes pénzáramlások különbségének visszadiszkontálásával. A hitelek esetén ez a pénzáramlás két a kamat cash flow különbségeként adódik.

Milyen hitelt vegyen fel a vállalat?

Az idegen tőkés finanszírozásról szóló fejezet végén már csak a legalapvetőbb kérdés megválaszolása maradt hátra: Akkor milyen hitelt vegyen fel a vállalat?

Valószínűleg sejthető, hogy erre egyértelmű válasz nem adható. Persze ha van lehetőség kedvezményes hitelre, azt használjuk ki, hiszen ez tulajdonképpen egy egyösszegű támogatással egyenértékű. Ennél részletesebb válasz azonban aligha adható.

A vállalat által fizetett kamat minden esetben pénz kiáramlást jelent. Ezért ennek minimalizálása egyértelmű vállalati érdek. Ha azonban kevesebbet ígérünk, a cserébe kapott hitel is kevesebb lesz. A cél inkább az, hogy olyan pénzáramlást tervezzünk, ami a vállalat által elviselhető és fizethető. Ha a cég bevételei erősen függenek az árszínvonal ingadozásától, azaz az infláció változásától, célszerű lehet változó kamatozású hitelt felvenni. Ekkor ugyanis az infláció csökkenésével, mikor a bevételeink növekedési üteme is csökken, a fizetendő kamat mértéke is kisebb lesz. Ha viszont a bevétel gyorsabban nő, a kamat is nagyobb lesz. Fix bevételek mellett változó kamatozású hitelt felvenni veszélyes vállalkozás, nagy kamatemelkedés esetén komoly terhet jelenthet a vállalat számára.

Persze azon is gondolkodhatunk, hogy amennyiben a kamatok csökkenésére számítunk, változó kamatozású hiteleket veszünk fel. Így a későbbi kamatteher is csökken. Persze ha a várakozásaink nem igazolódnak, gondban lehetünk. A hosszabb futamidejű hitelekkel efféle spekulációba belemenni nem szerencsés. A kötvény futamideje alatt úgyis lesznek emelkedő és csökkenő periódusok. Ne emiatt válasszunk a fix vagy a változó kamatozás között.

A hitelek futamidejét – ahogyan arról már az 5. órán is szó volt – célszerű a finanszírozandó eszközök élettartamával összevetni, azaz megvizsgálni, mire is használjuk fel a elvett hitelt. Hosszú élettartamú eszközt rövid lejáratú hitelből finanszírozni gondot okozhat, túl gyakran kellhet a hitelt megújítani.

Ez pedig egy további kérdésre hívja fel a figyelmet. Nem elegendő önmagában a hitelek kamatozását vizsgálni. Nem egyszer olvasni efféle érvelést:

„A rövidebb futamidejű kamatok általában alacsonyabbak, mert a bankok a rövidebb futamidejű befektetéseket kevésbé tekintik kockázatosnak, így az elvárt hozam, azaz az általuk megkövetelt kamat is alacsonyabb. Ezért a vállalatvezetés akkor teszi jól, ha ilyen esetekben igyekszik minél inkább az olcsóbb rövid futamidejű hitelekre támaszkodni.”

Reméljük ezt a logikát már az olvasók többsége is sületlenségnek tartja. Ha ugyanis rövidebb futamidejű hiteleket veszünk fel, nagy az ún. megújítási kockázatunk. Ki tudja ugyanis, hogy a rövid futamidejű hitelek lejáratakor mekkora kamatláb mellett tudjuk az újabb hitelt felvenni? A hosszú futamidejű hitel esetén ez a kockázat nincs.

A futamidő növelése persze előnyös is lehet. Ha magánszemélyként annuitásos hitelt veszünk fel, a havonta fizetendő összeg a futamidő növekedésével csökken, azaz egyre kisebb havi terhet jelent számunkra. Ingyen ebédek persze ekkor sincsenek: a kisebb havi teher hosszabb ideig súlyt minket, minél hosszabb a futamidő, annál tovább fizetünk. De ingyen ebéd a hitelező számára sincs. Csak annyival fizetünk tovább, ami ellensúlyozza az alacsonyabb havi részleteket.

Összefoglalóan tehát megállapíthatjuk a következőket:

3. Ha a tőkepiac jól működik, pénzügyes szakszóval, ha a tőkepiac hatékony,13 a hitelfelvétel nettó jelenértéke nulla. Ebből a szempontból annak, hogy milyen hitelt veszünk fel, nincs jelentősége.

4. A hitelt mindig a vállalat által megtermelt pénzáramlásból kell visszafizetni. A hitel tehát akkor van jól megtervezve, ha illeszkedik a cég pénztermelő képességéhez mind kamatozásában, mind futamidejében.

5. A hitellehetőségek elemzésekor a kamat mellett a megújítás kockázatát és költségeit is figyelembe kell venni.

A kiindulópont tehát a vállalat teherbírása.

13 Ez a fogalom a félév során még előkerül. Akkor nevezünk egy piacot hatékonynak, ha a nyilvánosan hozzáférhető információk az árakba beépülnek, azaz a piac ezen információkat figyelembe veszi és jól áraz.

7. Idegen tőkés finanszírozás I. – hitelek pénzáramlása

A kötvények pénzáramlása

Mikor egy vállalat hitelt vesz fel, vagy ami ezzel egyenértékű, kötvény bocsát ki, arra vállal kötelezettséget, hogy a felvett hitel után kamatot fizet, majd annak lejáratáig (egy vagy több részletben) a kötvény névértékét törleszti a hitelezőknek. A hitelek természetesen különböznek futamidejükben, kamatozásukban és törlesztésükben is, azaz szinte minden hitelnek más a pénzáramlása.A hitelről történő megállapodás egyik lényegi eleme a hitel pénzáramlásának meghatározása. Ahhoz, hogy egy hitel pénzáramlását fel tudjuk írni, négy feltétel ismeretére van szükségünk. Így ismernünk kell a hitel

e) futamidejét,f) névértékétg) törlesztési feltételeith) kamatozását.

A kamatozás tulajdonképpen két dolog egyidejű meghatározását jelenti: egyrészt a névleges kamat nagyságát, másrészt a kamatfizetés gyakoriságát (félévente, évente, stb.). Nézzünk egy egyszerű példát!

Az ABC Rt. és a Világraszóló Bank Rt. hitelmegállapodást kötöttek. Eszerint a bank 100 millió forint hároméves fix kamatozású hitelt nyújt a cégnek. A vállalat a hitelt az utolsó évben egy összegben törleszti. A hitel kamata évi 12%, a kamatfizetés évente egyszer esedékes. Írja fel a hitel pénzáramlását!

Kezdjük a hitel törlesztésével! Írjuk fel a táblázat első oszlopába a mai naptól a kifizetésig hátralévő évek számát. A törlesztés ütemezése a következő:

1. 0

2. 0

3. 100

A kamat évente egyszer fizetendő, nagysága a tartozás értékének 12%-a, azaz évente egyszer 12 millió forint. Mivel a hitelt a cég ma veszi fel, az első fizetés egy év múlva esedékes. A kamatok sorozata a következő:

1. 12

2. 12

3. 12

A hitel teljes pénzáramlása a kettő összege:

1. 12

2. 12

3. 112

Természetesen előfordulhat, hogy a felek abban állapodnak meg, hogy a hitelfelvevő több részletben törleszt. Az ilyen kötvényeket résztörlesztéses kötvényeknek nevezzük. Természetesen a

törlesztéssel a tartozás értéke csökken, így a kamatláb állandósága mellett is csökken a forintban kifejezett kamatfizetések nagysága.

Hogyan nézne ki az ABC Rt. hitelének pénzáramlása, ha a törlesztésre a második és a harmadik év végén két egyenlő részletben kerülne sor?

Kezdjük ismét a törlesztések felírásával! Ez az új feltételek mellett a következőképpen fog kinézni:

1. 0

2. 50

3. 50

A fizetett kamat a fennálló tartozás csökkenése miatt más lesz, mint az előző esetben. Mivel az első és a második év során még 100 millió a tartozás, a fizetendő kamat 12 millió Ft. A harmadik év során azonban már csak az 50 millió után kell a kamatot kifizetni, ami csak 6 millió forint. Azaz a kamatok:

1. 12

2. 12

3. 6

A hitel teljes pénzáramlása:

1. 12

2. 62

3. 56

Más esetekben a kötvények kamata egy évnél gyakrabban – mondjuk félévente – fizetendő. Figyelni kell arra, hogy ebben az esetben a tört időszakra jutó kamatot kell elszámolni. Azaz ha egy év alatt 12% kamat halmozódik fel, akkor fél év alatt annak éppen a fele, 6%.

Az ABC Rt. vezetőségét az is érdekelné, hogyan nézne ki a fizetendő összegek sorozata, ha az utolsó évben egy összegben törlesztene a cég, de kamatot évente kétszer, félévente fizetne.

Hogy egyetlen pénzáramlást se hagyjunk ki, most féléves lépésközökben készítsük el táblázatunkat! Először –ezúttal az első sorba – ismét a mai naptól a kifizetésig hátralévő évek számát írjuk fel. A pénzáramlást kezdjük ismét a törlesztésekkel!

0,5 1 1,5 2 2,5 3

0 0 0 0 0 100

A kamat félévente fizetendő, félévente a fennálló tartozás 6%-a. Azaz

0,5 1 1,5 2 2,5 3

6 6 6 6 6 6

A teljes pénzáramlás:

0,5 1 1,5 2 2,5 3

6 6 6 6 6 106

AZ ABC Rt. vezetése már csak azt szeretné tudni, hogy nézne ki a pénzáramlás, ha a törlesztés a második és a harmadik év végén történne meg, de a kamatfizetési periódus fél év maradna!

A törlesztés ebben az esetben:

0,5 1 1,5 2 2,5 3

0 0 0 50 0 50

A fizetendő kamat kiszámításánál figyeljünk arra, hogy az utolsó évben, azaz az utolsó két alkalommal már csak 50 millió forint tartozás után kell kamatot fizetni. Ennek 6%-a 3 millió forint. Azaz a kamatok sorozata a következő lesz:

0,5 1 1,5 2 2,5 3

6 6 6 6 3 3

A hitel teljes pénzáramlása:

0,5 1 1,5 2 2,5 3

6 6 6 56 3 53

Nagyon fontos, hogy a hitelek pénzáramlása a lejárathoz közeledve „elfogy”. A korábban még hároméves kötvény idővel kétévesség, majd egyévessé válik, végül törlesztésre kerül.

Az ABC Rt az első feladatban megállapodott hitelét felvette. Hogyan néz ki a hitel pénzáramlása fél évvel a hitelfelvétel után?

A pénzáramlás még sehogy sem változott, csak egyszerűen közelebb kerültek a kifizetések. Azaz a hitel pénzáramlása fél évvel a felvétel után:

0.5 12

1.5 12

2.5 112

És egy évvel a hitelfelvétel után a kamatfizetést követően?

A kötvény futamideje ekkor már csak két év, de természetesen a többi feltétel nem változott. Az első kifizetésen túlestünk. Tulajdonképpen „lefűrészeljük” a korábbi megoldás egy részét.

1. 12

2. 112

A kötvények és a hitelek

A kötvények a hitelek értékpapírosodott változatai. Ebben az esetben is arról van szó, hogy a vállalat egy jövőben pontosan meghatározott pénzáramlást fizet a hitelezőknek, azonban a hitelező személye a hitel futamideje alatt akár többször is változhat. A hitel, mint láttuk, egyfajta pénzáramlás. Aki a hitelt fizeti, az az adós. Az ő szempontjából pénzkiáramlásról (cash outflow) beszélünk. Aki a kamatokat és a törlesztést kapja, az a hitelező. Ő korábban nyilvánvalóan adott valami pénzt a hitelfelvevőnek, különben az nem fizetne számára kamatokat és nem akarna törleszteni sem. A hitelező szempontjából ez a pénzáramlás pénzbeáramlásnak (cash inflow) minősül.

A kötvény abból a szempontból jelent könnyebbséget a hitel nyújtójának, hogy a hitelt – hogy milyen áron, azt a következő órán megvizsgáljuk – egyszerűen továbbadja. A kötvény megvásárlója átvállalja a hitelező szerepét.

Magyarországon a legnagyobb hitelfelvevő az állam. A Magyar Állam éppen ilyen kötvények kibocsátásával keres hitelezőket. Aki Magyar Államkötvényt vásárol, így válik az állam hitelezőjévé. Természetesen, ha a kötvényét eladja, átadja a hitelezői szerepet a kötvény megvásárlójának. Így onnan kezdve ő jogosult a kamatok és a törlesztések beszedésére.

A hitelek és a kötvények elkülönítése tehát jogi szempontból igen tiszta. Tisztán cash flow alapon azonban nem lehetséges. A fent kiszámolt pénzáramlások akár az ABC Rt. által kibocsátott vállalati kötvény pénzáramlásai is lehetnének. Ezért a továbbiakban – hacsak nem pontosítjuk – a kötvényt és a hitelt szinonimaként kezeljük, az egyikről megtanultak – hacsak külön nem hangsúlyozzuk – a másikra is érvényesek lesznek.

A különböző pénzáramlás fajtákról

A hitelek pénzáramlása alapján többféle csoportba sorolhatóak. A legegyszerűbbnek a most bemutatott hitelek tűnnek, amelyek kamatot fizetnek, valamint egy vagy több részletben törlesztenek. Az ilyen kötvényeket kamatszelvényes kötvényeknek nevezzük.

Vannak azonban ennél egyszerűbb kötvények, illetve pénzáramlások is. Ismert az ún. elemi (vagy az angol megfelelő egyszerű átvételével zéró kupon) kötvény is. Ennek a kötvénynek az a sajátossága, hogy formálisan nem fizet kamatot, csak a névértéket törleszti. A befektetők névértéknél olcsóbban veszik meg, így nem kamatot, hanem árfolyamnyereséget kapnak. A kötvény ezen tulajdonságára utal az angol elnevezés, mely szerint a kötvénynek nincs kamata, nincsen rajta kupon. A legismertebb magyar elemi kötvényfajta a diszkont-kincstárjegy.

Vannak olyan kötvények, amelyeknek bár van kamata, csak egyetlen időpontban fizetnek. Ezek az ún. kamatos kamatozású kötvények. Sok szempontból ezek kamatozásuk ellenére az elemi kötvényekkel rokonok.

Írja fel annak a kétéves futamidejű, 100 forint névértékű kamatos kamatozású, egy összegben törlesztő kötvénynek a pénzáramlását, amelynek névleges kamata évi 12%.

A törlesztés pénzáramlása egyszerű:

1 0

2 100

A kamatok újrabefektetésre kerülnek, hiszen a konstrukció kamatos kamattal számol. Így a kamat az első év végén járó 12 forint után is jár:

1 0

2 25,44

A teljes cash flow:

1 0

2 125,44

Vegyük észre, hogy amennyiben a hitelek pénzáramlása biztosnak tekinthető – azaz a vállalat nemfizetésének valószínűsége nulla – minden pénzáramlás „szétszedhető” elemi kötvényekre. Az ABC Rt. által az első példában ígért fizetés tulajdonképpen három elemi kötvény összege!

Milyen elemi kötvényekre tudná felbontani az ABC Rt. hitelének alábbi pénzáramlását?

1. 12

2. 12

3. 112

Három elemi kötvényre. Egy egy év múlva 12 forintot fizetőre, egy két év múlva 12 forintot fizetőre és egy három év múlva 112 forintot fizetőre.

Természetesen ha egy pénzáramlás elemi kötvényekre bontható, akkor abból fel is építhető.

A piacon három fajta elemi kötvénnyel kereskednek: egyéves, kétéves és hároméves elemi kötvényekkel. Mindhárom kötvény 1 forintot fizet lejáratkor. Hogyan tudna ebből az ABC RT. hiteléhez hasonló pénzáramlást előállítani?

Írjuk fel a három elemi kötvény és az ABC Rt. kötvényének pénzáramlását egymás mellé!

Elemi 1 Elemi 2 Elemei 3 ABC Rt. kötvénye

1 1 0 0 12

2 1 0 12

3 1 112

A megoldás adja magát. Ha az egy- és kétéves elemi kötvényekből egyaránt 12 darabot veszünk, míg a háromévesből 112-t, ugyanazt a pénzáramlást kapjuk, mint amit az ABC Rt. kötvénye ígér!

8. Idegen tőkés finanszírozás II. – Hitelek értékelése

Ahogyan arról szó volt, a kötvények eladásával gyakorlatilag a hitelezői szerepet adjuk tovább. Ezzel gyakorlatilag az általunk birtokolt jövőbeli cash flowt ruházzuk át. A nagy kérdés, hogy milyen árfolyamon tegyük ezt. A kérdés a hitelekre is megfogalmazható: mennyit ér egy korábban nyújtott, vagy éppen felvett hitel? Van annak egyáltalán értéke?

Természetesen, ha van pénzáramlása – márpedig az van, sőt bizonyos tulajdonságok ismeretében fel is tudjuk írni – akkor azt a jelenérték-számítás módszerével be is tudjuk árazni. A hitel vagy kötvény értéke az általa ígért pénzáramlás jelenre diszkontált értékével lesz egyenlő.

Ahhoz tehát, hogy árazni tudjunk, ismernünk kell a kötvénytől elvárt hozamot! Hogy egy vállalat kötvényétől mekkora hozamot várunk el, az attól függ, hogy mennyire tartjuk kockázatosnak az adott befektetést. Természetesen, ha a hitel visszafizetése miatt – ha csak kicsit is – aggódnunk kell, magasabb hozamot várunk el. Magasabb elvárt hozam alacsonyabb jelenértéket jelent. Azaz a kockázatos kötvényekért kevesebbet fizetünk, mint egy hasonló pénzáramlású, de kockázatmentes papírért. A helyes megoldás az értékelendő kötvénnyel azonos kockázatú befektetések hozamának felhasználása. Ekkor az elvárt hozam arányban van a vállalt kockázattal.

Egy évvel ezelőtt, kibocsátáskor megvettük az ABC Rt. kötvényét. A kötvény pénzáramlása ma, egy nappal azt első kamatfizetés előtt a következő:

0 12

1 12

2 112

(Az első kifizetéshez azért írunk nullát, mert egy nap évben kifejezve lényegében nulla). Ön ma szeretné ezt a kötvényt eladni. A hasonló kockázatú befektetésektől ma 13%-os hozamot várnak el a befektetők. Mekkora árat kap várhatóan a fenti kötvényért?

Annyit, amekkora a kötvény pénzáramlásának a jelenértéke (már ha a partner is tud kötvény árazni). Ez a 13%-os elvárt hozam mellett a következő:

14

Ennyit fizetnének ma a kötvényért a piacon.

Mekkora lenne ez az ár két nappal később, ha az elvárt hozam nem változik? Hát az első 12 forintot már zsebre vágtuk, azaz csak a két másik cash flow elem kerül értékesítésre. Ennek ára:

Természetesen a vagyonunk ekkor is 110,33 forint lenne, mivel 12 forintot nem a kötvény vevőjétől, hanem a vállalattól kapnánk meg kamat formájában.

14 A későbbiekben a kötvények árfolyamát nem a PV (present value – jelenérték), hanem a P (árfolyam – price) betűvel jelöljük.

Meg tudnánk határozni, hogy a fenti kötvényt milyen árfolyamon bocsátotta ki a cég? Hát persze, ha ismernénk a kötvénytől a kibocsátás napján elvárt hozamot.

Tegyük fel, hogy a kötvény kibocsátásának napján a hasonló kockázatú befektetésektől a piacon 12%-os hozamot vártak el. Milyen árfolyamon került kibocsátásra a kötvény?

A válasz most is hasonló, csak a számok mások:

És mennyit adtak volna, ha az elvárt hozam 13% lett volna márt akkor is?

A probléma most sem bonyolult, csak számolni kell tudni:

Mivel az elvárt hozam magasabb, egyértelmű, hogy az árfolyamnak alacsonyabbnak kell lennie.

A fenti eredményből egy nagyon fontos következtetést kell levonni! Az ABC Rt. kötvényének névértéke 100 forint. A 13%-os elvárt hozam mellett kibocsátáskor azonban csak 97,64 forintot kap érte. Azaz a cég csak 97,64 forint hitelt vesz fel, mégis 100 forint tartozása lesz. Ez azért van, mert kisebb névleges kamatot ígér, mint amekkora hozamot a befektetők elvárnak. Ez egy egyszerű matematikai összefüggés. A pénzügyi tartalom is megtalálható azonban mögötte. Ha a kötvény által elvárt kamat egyenlő a tőle elvárt hozammal – ahogyan az az előző példa első részében látható, mikor az elvárt hozam is 12% – éppen akkora hitelt kap a cég, mint amekkora a nyilvántartott tartozása: 100 forintot.

Itt kell tehát kiemelni a hitelek és a kötvények egy nagyon jelentős különbségét. A hitelek esetében a bank és a vállalat alkuja folyamán a bank pont akkora kamatot állapít meg, mint amekkora hozamot a hasonló kockázatú cégektől elvárt. Ezért kapunk 1 millió forint hitelt, és ezért lesz a tartozásunk névértéke is 1 millió forint. A kötvényeknél a hitel névleges kamatát, azaz a kötvény pénzáramlását – tanácsadók segítségével – a vállalat állapítja meg. Ott tehát előbb a pénzáramlás kerül definiálásra, és erre mond egy árajánlatot a piac: a bankok, a befektetési alapok, a biztosítók, stb. Az, hogy a vállalat éppen akkor névleges kamatot állapít meg, mint amekkora kamatot – egy-két hónappal később – a piac elvár tőle, nem túl valószínű esemény. De ez nem is fontos. Ha kisebb kamatot ígér, kevesebbet kell később fizetnie, ezt a piac is kevesebbre értékeli. Ha magasabbat, ugyan többet kap most, de cserébe később többet kell visszafizetnie. Ahogyan az amerikai brókerek mondják: „Ingyen ebédek nincsenek”. A lényeg, hogy a hitelek, illetve a kötvények fair módon legyenek árazva. Ekkor mindenki azt kapja, ami neki jár, amit megfizet.

Egy másik fontos momentumra is fel kell hívni a figyelmet. Mikor a vállalat kibocsátja a kötvényt, azaz megtörténik a kötvények elsődleges forgalomba hozatala, a kötvény ellenértékét a vállalat kapja. Ekkor kapja meg a hitelt, és ekkor ígéri cserébe a jövőbeli fizetéseket. A kötvény későbbi élete során – mikor ’A’ befektető eladja ’B’ befektetőnek – a vállalatot nem érinti az ügylet. Ő adott egy fizetési ígéretet, amit ezek után úgy adnak-vesznek a piaci szereplők, ahogyan

kedvük diktálja. A kötvény ellenértékét ilyenkor természetesen az azt értékesítő befektető fogja megkapni.

Térjünk vissza egy kicsit az előző órán felírt kamatszelvényes kötvények pénzáramlásához. Van-e hatása a kötvény kibocsátáskori árfolyamára annak, hogy a kötvény évente egyszer vagy kétszer fizet kamatot? Vegyük azt az esetet, mikor a kibocsátandó kötvény három éves, névleges kamat elvárt hozamával megegyezik, évi 12%.

Forintban kifejezve – a pénz időértékét figyelmen kívül hagyva – mindkét kötvény esetében a cég évi 12 millió forintot fizet ki kamatként. A pénz időértékét azonban nem lehet figyelmen kívül hagyni. Évente kétszeri kamatfizetés esetén ugyanis a 12 millió felét fél évvel korábban kell kifizetni. A korábban megkapott pénz pedig – emlékezzünk a korábban tanultakra – többet ér.15 Azaz a több részletben kamatot fizető kötvény pénzáramlását a piac többre értékeli!

Számítsa ki, milyen árfolyamon lehetne az ABC Rt hároméves kötvényét kibocsátani, ha egy kötvény névértéke 100 forint, névleges kamata a kötvénytől elvárt hozammal megegyező, évi 12%!

6. Évente egyszeri kamatfizetés mellett:

7. Évente kétszeri kamatfizetés mellett figyelembe kell venni, hogy a kifizetés év közben történik meg. Ekkor természetesen a diszkontálást tört évre hajtjuk végre tört kitevőn szerepeltetve a hozamot:

Vegyük észre, hogy a korábban kimondott szabályt piacit módosítani kell: akkor lesz a kötvény árfolyama és névértéke azonos a kötvény névleges kamatának és elvárt hozamának egyezése esetén, ha a kötvény évente egyszer fizet kamatot.16

A kötvények a piacon sokféle névértékkel kerülnek kibocsátásra, így az árfolyamból nem feltétlenül tudható, hogy a kötvény névérték feletti vagy alatti árfolyamon forog-e a piacon. Hogy az egyes papírok esetében ne kelljen a kötvény árfolyama mellett a névértéket is közölni, a piaci gyakorlatban a kötvény árfolyamát a névérték százalékában kifejezve jegyzik. Ha például a kötvény árfolyama 10 200 Ft, és a kötvény névértéke 10 000 forint, azt mondjuk, hogy a papír 102%-os árfolyamon forog a piacon.

15 Jobb ma egy veréb…16 A tananyagnak nem része, de a pontosság kedvéért meg kell jegyezni, hogy évente többszöri kamatfizetés esetén is

meghatározható az az elvárt hozam, ami mellett a kötvény éppen névértéken lesz megvehető. Általánosan elmondható, hogy a kötvény akkor kapható névértéken, ha a névleges kamatból számított hozam és a kötvény elvárt

hozama megegyeznek. Azaz ha k=12% és évente kétszer van kamatfizetés, azaz m=2, akkor az

egyenlet alapján a névleges kamatból számított hozam r=1,062-1=12,36%. Ha ezzel

diszkontáljuk a kötvény pénzáramlását, az árfolyam éppen 100 lesz.

Természetesen visszafelé is könnyű számolni. Ha azt tudjuk, hogy egy államkötvény 96,5%-os áron vehető meg, míg névértéke 100 000 forint, akkor azt is tudjuk, hogy a papírért 96 500 forintot kell fizetni. Abból, hogy az árfolyam kisebb, mint 100%, azaz az adósság kevesebbet ér, mint amennyit a végén törleszteni fog (azaz az ár kisebb, mint a névérték), arra következtethetünk, hogy a befektetők magasabb hozamot várnak el, mint amekkora kamatot az adott államkötvény ígér.

Természetesen a jelenérték számítás a minden kötvény esetében megfelelő eljárás az árfolyam meghatározására, akár elemi, akár kamatszelvényes, akár kamatos kamatozású kötvényről van szó. Összefoglalásként álljanak itt az általános formában felírt képletek.

Az elemi kötvény árfolyama:

, ahol Ct az elemi kötvény egyetlen jövőbeli kifizetése, t az elemi kötvény futamideje,

míg az r az elemi kötvénytől elvárt hozam.

A kamatszelvényes kötvény árfolyama:

, ahol Ct a kötvény t-edik időszaki kifizetése, n a

kötvény futamideje, r pedig a kötvénytől elvárt hozam.

A figyelmes olvasónak bizonyára feltűnt, hogy a kamatszelvényes kötvény árfolyamképlete is azt sugallja, hogy a kötvény tulajdonképpen elemi kötvények összege, hiszen értéke is elemi kötvények értékének összegeként adódik.

9.-10. Idegen tőkés finanszírozás III – IV.

A szabályos pénzáramlásokra az jellemző, hogy rendszeres időközönként jelentkeznek, nagyságuk azonos, vagy pedig az egymást követő kifizetések azonos ütemben növekszenek. A való életben ugyan hol találkozunk ilyen szép egyenletes bevétel vagy kiadássorozattal? Elképzelhető, hogy egy üzlet ilyen szabályosan teljesítsen?

Nos ezekre a kérdésekre a válasz kettős. Egyrészt vannak olyan konstrukciók, amelyek nagyon is szabályos pénzáramlás sorozatot eredményeznek. Gondoljunk csak a részletre vásárlásra, vagy egy olyan hitel fölvételére, amelyet valahány éven keresztül egyenletes nagyságokban törlesztünk. De gondolhatunk a már megismert kamatszelvényes kötvényekre, amelyek évente vagy félévente fizetnek kamatot, és a végén egyszerre törlesztenek: ezeknek a kamatfizetése szabályos pénzáramlás, később megtudjuk, hogy annuitásnak nevezzük.Másrészt az igaz, hogy egy vállalkozásra igen ritkán jellemző egyenletes pénzáramlás sorozat. De egy már beérett üzlet esetében sokszor jól lehet közelíteni egy ilyennel: nem túlzott azt állítani mondjuk egy régóta üzemelő pékségre, hogy az elkövetkezendő tíz évben várhatóan évente 15 Millió Forint bevételt eredményez.A szabályos pénzáramlásokat sokszor járadékoknak is nevezik. Ez talán kialakulásuk eredetével van összefüggésben. Mindenki hallott már olyan történetet, hogy valaki tékozló örökösét vagyon helyett valamilyen évjáradékban részesítette, esetleg ez a járadék rászállt annak örököseire és így tovább.

Örökjáradéknak hívjuk azt a pénzáramlást, amelynek kifizetései azonos nagyságúak, és azonos időközönként jelentkeznek, és a kifizetés örökké (az idők végezetéig) tart. Mennyit ér ez a pénzáramlás sorozat? Nos először is lássuk, hogyan néz ki egy ilyen:

C1, C2, C3, …., Ct, Ct+1, …….

ahol C1 = C2 = C3 = …. = Ct = Ct+1 = ….

Jelöljük tehát a kifizetett összeget C-vel.Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy az első fizetés az első év végén a későbbi kifizetések pedig évente jelentkeznek, és az örökjáradékra jellemző éves hozam r nagyságú.Ekkor a jelenérték:

Az egyenlőség jobb oldalán egy végtelen mértani sor látható, amelynek a kvóciense 1 / (1+r), első tagja pedig C / (1+r). Ekkor a sorösszeg: C / r, azaz a tárgyalt örökjáradék jelenértéke

Örökjáradékot alapvetően így kell árazni, de néhány dolgot általánosíthatunk:3. Az első kifizetés a T-edik időpontban jelentkezik, innentől kezdve évente kapjuk a C

összeget.

Ebben az esetben a érték az örökjáradéknak a (T-1) –edik időpontban vett értéke,

úgyhogy ezt még vissza kell diszkontálnunk a mai időpontra. Miért is? Vegyük újra lépésenként!A kifizetések:

C1+(T-1), C2+(T-1), C3+(T-1), …., Ct+(T-1), Ct+1+(T-1), …….

ahol C1+(T-1) = C2+(T-1), C3+(T-1) = …. = Ct+(T-1) = Ct+1+(T-1) = …….

Jelöljük ismét a kifizetett összeget C-vel.Ekkor a jelenérték:

Végezzük el az tag kiemelését:

A zárójelben lévő összeg pedig nem más, mint a fent tárgyalt örökjáradék (jelen)értéke, azaz

. Így:

Matematikailag tehát láttuk az állítás helyességé, lássuk be intuitíven is. A T-edik évben kapjuk először a C összeget. Tegyük föl, hogy már a (T-1)-edik évben vagyunk, tehát egy évvel az első kifizetés előtt. Ekkor tudjuk nagyon jól, hogy az előttünk álló örökjáradék

jelenértéke , azaz nyugodtan elcserélnénk egy azonnal esedékes összegre. Azaz:

A T-edik évtől kezdve jelentkező, évente esedékes C összeg ekvivalens értékű a (T-1) –

edik évben esedékes egyszeri összeggel. De akkor a 0-adik időpontra vetített

értékük, azaz a jelenértékük is megegyezik! Azt pedig nagyon jól tudjuk, hogy a (T-1)-

edik időpontbeli összeg jelenértéke:

4. A kifizetések nem évente, hanem t évente jelentkeznek, ahol t-ről azt tudjuk, hogy pozitív szám (tehát lehet 1-nél kisebb és 1-nél nagyobb is). Ekkor az árazás sikeres elvégzéséhez az adott éves hozamot kell t évesre konvertálnunk, jelöljük ezt rt-vel. A korábban tanultakból jól tudjuk, hogy r ismeretében:

rt = (1+r)t – 1

Így amennyiben az első kifizetés éppen t év múlva jelentkezik, és a többi ezután t évente,

úgy az örökjáradék jelenértéke:

A Darabolós Rt. kötvényből is finanszírozza működését. Olyan örökjáradék kötvényt bocsát ki, amelyik 16% éves kamatot ígér, és félévente fizet kamatot. A darabolástól elvárt hozam 16,64%. Mennyit adnánk a kötvényért, ha névértéke 100?

A kötvény pénzáramlása a következő: Időpont 1/2 év 1 év 3/2 év 2 év …pénzáramlás 8 8 8 8 …

Ekkor a féléves hozam:

Így a kötvény árfolyama:

Az örökjáradéknak egy speciális esete a növekvő tagú örökjáradék. Ebben az esetekben a kifizetések azonos időközönként esedékesek az idők végezetéig és a kifizetések nagysága g ütemben állandóan nő.Azaz a kifizetés-sorozat a következő lesz:C, C x (1+g), C x (1+g)2, C x (1+g)3, … , C x (1+g)t, C x (1+g)t+1, …

Ennek a növekvő tagú örökjáradéknak az értéke, amennyiben az első kifizetés az első év végén, a többi ezután évente jelentkezik, és az elvárt hozam r:

Jól látszik, hogy itt is egy mértani sorról van szó, ahol az első tag , a növekmény pedig .

Erről pedig tudjuk, hogy a sorösszege: , azaz a fenti növekvő tagú örökjáradék jelenértéke:

Azt azért még jegyezzük meg, hogy a fenti képlet csak akkor működik, ha r > g, ellenkező esetben a jelenérték végtelen nagyságúvá válik.

Az általánosítások ugyanúgy működnek, mint a fenti, nem növekedő tagú esetben.5. Amennyiben az első kifizetés a T-edik évben esedékes, a többi ezután évente jelentkezik,

akkor a jelenérték:

6. Amennyiben a kifizetések t évente jelentkeznek, az első kifizetés pedig éppen t év múlva, úgy a jelenérték:

Még néhány további megjegyzés az örökjáradékkal kapcsolatban: Meglehetősen elképzelhetetlen, hogy a gyakorlatban egy, az idők végezetéig tartó

pénzáramlással találkozzunk, de tudunk rá néhány példát.4. Vannak olyan államkötvények, amelyeknek a kifizetése örökjáradék. Ez tipikusan lehet

az a befektetési forma, amikor nagyapó a vagyonán egy ilyen kötvényt vesz, és akkor még az ük-ükunokájának is biztosít vele bizonyos megélhetést. A brit államkötvény piacon talál magának jellemzően ilyen lehetőséget.

Az öreg Bornemissza eladja birtokát, mert nem akarja dőre fiára hagyományozni. A befolyt pénzt – 240 Millió Forintot – olyan örökjáradék kötvénybe fekteti, amelyik évente fizet, és a kifizetések 5%-os ütemben növekszenek. A kötvénytől elvárt hozam 11%. Mekkora az első kifizetés, ha az

1. az egy év múlva jelentkezik2. 25 év múlva jelentkezik

Válasz:Amennyiben egy év múlva fizet először a kötvény C összeget, úgy a jelenértéke:

Helyettesítsünk be:

240 Millió =

ebből:C = 14,4 Millió ForintAmennyiben 25 év múlva fizet először a kötvény C összeget, úgy a jelenértéke:

Helyettesítsünk be:

240 Millió =

ebből:C = 195,63 Millió Forint

5. Meglehet, hogy egy pénzáramlás nem örökjáradék, hanem csak bizonyos ideig tart, de jól közelíthető örökjáradékkal.

Tekintsünk példának okán egy olyan pénzáramlást, amelyik 30 évig évente fizet 100 000 Forintot. A pénzáramlásra jellemző hozam 25 %. Az értékét szeretnénk megtudni, de csak az örökjáradék képletét ismerjük. Ez alapján a jelenérték:

PV (örökjáradék) = Forint. Nagyot tévedtünk vajon? Úgy tűnhet,

hiszen beleszámoltuk a 31-edik évtől jelentkező, az idők végezetéig tartó örökjáradék

értékét is. Hoppá!!! Hiszen azt be tudjuk árazni, ismerjük az idevonatkozó képletet:

PV (31-edik évtől) = 495,18 Forint.

Node, ha ennyi a harmincegyedik évtől esedékes pénzek jelenértéke, akkor mennyi az első harminc év pénzáramlásaié?PV(első 30 év) = PV(örökjáradék) – PV(31-edik évtől) = 400 000 – 495,18 = 399 504,82 Forint.Nem is tévedtünk olyan nagyot.(Sőt fölfedeztünk egy fontos dolgot, de erre még visszatérünk.)

6. Később látni fogjuk, hogy a részvényárazás egyik modelljében az örökjáradék nagyon fontos szerephez jut.

Az örökjáradék árazását elég részletesen bemutattuk. Érdemes nagyon jól áttanulmányozni a különböző levezetéseket, mert mint később látni fogjuk sok minden visszavezethető erre az árazási módszerre.

Az annuitás olyan pénzáramlás sorozat, amelyik azonos összeget biztosít, azonos időközönként egy bizonyos időpontig. Az annuitás árazásához azt kell észrevennünk, hogy mindig felírható két örökjáradék különbségeként. Ez volt az a fölfedezés, amelyet fentebb tettünk, amikor rájöttünk arra, hogy a 30 éven keresztül járó 100 000 Forint értéke meghatározható úgy, mint két örökjáradék különbségének értéke.

Annuitás származtatása két örökjáradék különbségekéntévek 1 2 3 … T T+1 T+2 T+3 …Örökjáradék 1 C C C … C C C C …Örökjáradék 2 0 0 0 … 0 C C C …Annuitás (Öj1 –Öj2)

C C C … C 0 0 0 …

A fenti táblázatban a T éves annuitást úgy is megkaphatjuk, hogy az első évtől esedékes örökjáradékból levonjuk a (T+1)-edik évtől esedékes örökjáradékot. Node, ha egy pénzáramlás felírható két másik különbségeként, akkor annak jelenértéke is meg fog egyezni a másik két pénzáramlás jelenértékének különbségével:

PV(annuitás) = PV(Öj1) – PV(Öj2)

Azt viszont már nagyon jól tudjuk, hogy mekkora az egyes örökjáradékok jelenértéke:

PV(Öj1) = , PV(Öj2) =

Így PV(annuitás) = .

Növekvő tagú annuitásról akkor beszélünk, ha a kifizetések egy bizonyos időpontig azonos időközönként jelentkeznek, és a járadéktag azonos ütemben növekszik. Nyilván a növekvő tagú annuitás felírható két növekvő tagú örökjáradék különbségeként, így jelenértéke egy mértani sorösszeg lesz.17

Az annuitásra is elvégezhetőek azok az általánosítások, amelyeket az örökjáradékok esetén vizsgáltunk. Csak egyetlen dologra kell figyelemmel lenni: az annuitás mindig felírható két örökjáradék különbségeként, így jelenértéke is ezen két örökjáradék jelenértékének a különbségeként adódik.

Az annuitás jelenértékének egyszerű képletében megjelenő szorzótényezőt

annuitás-faktornak nevezzük, és a következőképp jelöljük:

AF(r,T) = .

Vegyük észre, hogy az annuitásfaktor nem más, mint T éven keresztül jelentkező, évi 1 pénzegység (Forint, Dollár, Euró stb.) jelenértéke.Az annuitásfaktorok értékét táblázatba szoktál foglalni azért, hogy ne kelljen a jelenérték számításnál sokat a számológéppel bajlódni. Íme egy részlet az annuitástáblázatból:

Évek számaÉves hozam1% 2% 3% 4% 5%

1 0,990 0,980 0,971 0,962 0,9522 1,970 1,942 1,913 1,886 1,8333 2,941 2,884 2,829 2,775 2,6734 3,902 3,808 3,717 3,630 3,5465 4,853 4,713 4,580 4,452 4,329 Ha például jövő évtől kezdve 4 éven át évi 120 000 Forintot kapunk, és a pénzáramlásra jellemző hozam 3%, akkor a jelenértéke:

PV = 120 000 x AF(3% , 4 év) = 120 000 x 3,717 = 446 040 Forint.

Az annuitás-faktort úgy kaptuk, hogy a táblázatban megkerestük a 4 év sorának és a 3% oszlopának kereszteződéséből adódó cellában levő számot. Annuitással talán legjellemzőbben (bank)hitelek visszafizetésekor találkozhatunk.

Felveszünk 1 000 000 Forint hitelt és jövő évtől kezdve 10 éven keresztül 250 000 Forintot fizetünk vissza évente. Ekkor azt mondjuk, hogy a felvett hitel annuitásos törlesztésű volt.

17 PV(növekvő tagú annuitás) = .

Ám jó, ha megjegyezzük, hogy ilyenkor minden egyes visszafizetés két részre osztható: tőketörlesztésre, és kamatfizetésre.Nézzünk egy egyszerű példát18 az annuitásos hitelre!

A Nyeretlen Hároméves Rt. sorsjegyekkel üzletel. Működésének finanszírozásához felvett 1 952 000 Forint hitelt három évre, 25 százalék kamat mellett. A hitelt annuitásosan törleszti, és most tudni szeretné, hogy mennyi lesz az egyes években a kamatfizetési kötelezettsége.

Először is nézzük meg, hogy összesen mennyit kell évente visszafizetnie: jelöljük ezt C-vel.Ekkor az igaz, hogy:

1 952 000 = C * AF(25%, 3, év) = = C * 1,952

Ebből C = 1 000 000 Forint.

Tehát minden évben 1 000 000 Forintot fizet vissza.Az első év végén fizetés előtt 1 952 000 Forinttal tartozik, így a kamatfizetés: 0,25 x 1 952 000 = 488 000 Forint. Így a törlesztés az első évben 1 000 000 – 488 000 = 512 000 Forint.

Így a második év végén a 1 952 000 – 512 000 = 1 440 000 Forinttal tartozik, így a kamatfizetés:0,25 x 1 440 000 = 360 000 Forint.Így a törlesztés a második évben 1 000 000 – 360 000 = 640 000 Forint.

Így a harmadik év végén 1 440 000 – 640 000 = 800 000 Forinttal tartozik, így a kamatfizetés:0,25 x 800 000 = 200 000 Forint.Így a törlesztés a harmadik év végén 1 000 000 – 200 000 = 800 000 Forint.

Táblázatba foglalva:év kamat tőketörlesztés tartozás

1 488 000 512 000 1 440 0002 360 000 640 000 800 0003 200 000 800 000 0

Figyeljünk meg jól két dolgot:3. Annuitásos hitel esetén az időszakonként fizetett összegben a kamatfizetés súlya egyre kisebb

lesz.4. Annuitásos hitel esetén az időszakonként fizetett összegben a tőke-visszafizetés súlya egyre

nagyobb lesz.Ez nyilván logikus: hiszen mindig ugyanakkora összeget fizetünk, de kamatot mindig kisebb összegre számíthatnak csak föl.

Ha egy autókereskedőnél választhatunk, hogy egyben kifizetjük a járgányért a 2 400 000 Forintot, vagy 60 hónapon keresztül fizetünk havi 40 000 Forintot, akkor ne habozzunk ez utóbbit elfogadni. Ugye, mindenki tudja miért?!

* * *

18 Majd a fejezet végén egy kicsit bonyolultabbat is mutatunk. Ez nem a tananyag része, de azért fontos ismereteket tartalmaz.

Egy tanulságos példa*

Felveszünk 1 000 000 Forint hitelt és jövő évtől kezdve 10 éven keresztül 250 000 Forintot fizetünk vissza évente. A bank azt hirdette meg, hogy 20%-os kamat mellett nyújtja nekünk a hitel. Volt ott még valami apró betű, de azt nem olvastuk el. Most kezdjünk el picit számolni:

Az első kifizetésig tartoztunk a banknak kerek 1 000 000 Forinttal. Így a fizetendő kamat az első év után 1 000 000 x 20% = 200 000 Forint. A maradék 50 000 Forint tőketörlesztésre ment.

Így a második kifizetéskor kamatot a bennmaradó 1 000 000 – 50 000 = 950 000 Forintra fizettünk, ennek nagysága 950 000 x 20% = 190 000 Forint. A második évben tehát 60 000 Forint volt a tőketörlesztés.

A harmadik évben fizetett kamat így 890 000 x 20% = 178 000 Forint, a tőketörlesztés pedig 72 000 Forint.

Írjuk föl az egészet:

kamat tőketörlesztés Tartozás1 200 000 50 000 950 0002 190 000 60 000 890 0003 178 000 72 000 818 0004 163 600 86 400 731 6005 146 320 103 680 627 9206 125 584 124 416 503 5047 100 701 149 299 354 2058 70 841 179 159 175 0469 35 009 214 991 - 39 94510 HOPPÁ HOPPÁ HOPPÁ

Bizony itt valami nem stimmel: 20%-os kamatozás mellett már a kilencedik évben visszafizettük az összes tartozásunkat. Átvert minket a bank? Nem. El kellett volna olvasni az apró betűt, ott bizonyára megtaláljuk, hogy a kamaton felül még milyen jogcímen kell fizetnünk valamilyen díjat a banknak.

Az általunk 10 éven át fizetendő évi 250 000 Forintnak (azaz annuitásnak) 21,41%-os hozammal számolt jelenértéke adja az 1 000 000 Forintot, úgyhogy olyan nagyon nem is lehetünk csalódottak.

Tanulság:bárhogyan is nevezzék, a tőketörlesztésen felül fizetett összeget egy ilyen annuitásos hitelnél tekintsük bátran kamatnak. Egyébként, ha tudni szeretnénk, hogy mennyibe is kerül nekünk a hitelfelvétel, keressük meg a THM-et, azaz a teljes hiteldíj mutatót, a bankok ebben kötelesek feltüntetni a felvett hitelösszegre vetített fizetendő díj teljes százalékos nagyságát.

* Az alábbi feladat nem képezi a tananyag részét, de egy felkészült szakembernek ilyen kérdésekkel is meg kel tudni birkózni a napi gyakorlatban.

11. Idegen tőkés finanszírozás V.

A hitelek értékét befolyásoló tényezők

A megelőző fejezetekben megtanultuk, hogy miként kell egy egyszerű hitel vagy kötvény pénzáramlását felírnunk, mi a különbség a névleges kamatláb és az elvárt hozam (a diszkontáláshoz használt „kamatláb”) között, hogyan történhet a hitel törlesztése, valamint – legfontosabbként – hogyan tudjuk egy hitel vagy egy kötvény értékét, azaz helyes piaci árát meghatározni. Ez utóbbi kiszámítása során adottnak vettük az elvárt hozamot, aminek segítségével ki tudtuk számítani a hitel vagy a kötvény jelenértékét.Vajon az az ár amit így kaptunk, végleges és örökérvényű? Tekintsünk például egy hároméves lejáratú, 20% névleges kamatozású, évente kétszer kamatot fizető kötvényt (a kötvény pénzáramlása alább a táblázatban látható). Gondoljunk csak bele, hogy mitől is függ az árfolyam, amiért hajlandók lennénk megvenni egy ilyen kötvényt (tegyük fel most, hogy a névérték mindvégig 100). Nyilvánvaló például, hogy minél nagyobb névleges kamatot fizet a kötvény, annál többet ér, hiszen ilyenkor minden jövőbeli időpontban több pénzt kapunk.Ha a kötvény pénzáramlását adottnak feltételezzük (azaz egyebek mellett a névleges kamat is rögzített), akkor két fontos tényező marad, aminek a változása alapvetően befolyásolja a kötvények (hitelek) értékét. Az egyik az elvárt hozam, ami ugyebár a konkrét kötvénytől függetlenül, a piacon határozódik meg. A 8. órán, a hitelek értékelésénél már láttunk erre példát, most azonban kicsit részletesebben is megvizsgáljuk ezt a kérdést. A másik tényező pedig az idő múlása: ahogy telik az idő, a kötvények értéke napról napra változni fog. Korábban, a 7. órán a kötvények pénzáramlásainak felírásánál már láttuk azt, hogy a pénzáramlás „előbbre tolódik” az idő múlásával. Most ezt is újra szemügyre vesszük és megnézzük, hogy mindez hogyan hat a kötvények árfolyamára.

Az elvárt hozam változásának hatása a hitelek értékére

Mi a helyzet akkor, ha az elvárt hozam változik? Az egyszerűség kedvéért először tekintsünk egy elemi kötvényt, ami egy év múlva pontosan 100 forintot fizet. Mennyit adnánk ma ezért a kötvényért? Legyen az elvárt hozam 8%. Az elemi kötvény jelenértéke ilyenkor 100 / 1,08 = 92,59 forint – pontosan ennyi lesz az árfolyama a piacon. Világos, hogy ha ennyiért megvesszük, akkor az egyéves, 92,59 Ft → 100 Ft befektetéssel pontosan 8% hozamra teszünk szert. Tegyük most fel, hogy az elvárt hozam 10%-ra nő. Fizetnénk-e most is ugyanannyit ezért az elemi kötvényért? Nyilván nem, hiszen a 92,59 Ft → 100 Ft befektetés csak 8% hozamot biztosítana, míg máshol akár 10%-os hozamot is kaphatnánk a pénzünkre (egyformán kockázatos befektetésre). Mi lesz tehát az elemi kötvény új ára? Az, amely mellett pontosan 10% hozamot biztosít, vagyis a 100 Ft-nak a 10%-os elvárt hozam melletti jelenértéke:

100 = 90,91 Ft

1,10Mit látunk? Minél magasabb az elvárt hozam, annál alacsonyabb lesz az egy év múlva esedékes 100 forint jelenértéke, azaz árfolyama is. Ha a bankban 10% hozamot adnak a pénzünkre, akkor az elemi kötvényt csak akkor akarja majd bárki is megvenni, ha az is legalább 10% hozamot biztosít. Ehhez viszont legfeljebb 90,91 forintba kerülhet. (Ha kevesebbe kerülne, akkor nagyobb hozamot biztosítana ugyan – ez az állapot azonban nem maradhatna fenn tartósan, hiszen a befektetők mind elkezdenének elemi kötvényt vásárolni, ami felhajtaná az árát).

Az elemi kötvény árfolyamának és hozamának kapcsolata

A tanulság a fentiekből az, hogy az árfolyam és a hozam ellentétesen változik. Ez nem csak elemi kötvényekre, hanem minden kötvényre igaz, amint arra alább egy másik példát is mutatunk majd. Ez a kapcsolat nyilvánvaló, ha arra gondolunk, hogy az elvárt hozammal osztani kell, ezért minél nagyobb az elvárt hozam, annál nagyobb számmal osztunk, vagyis annál kisebb lesz az árfolyam:

92,59 =100

90,91 =100

1,08 1,10

Jegyezzük meg jól a fenti összefüggést. Annál is inkább, mivel első pillantásra sokan gondolhatnák azt, hogy „ha egy kötvény hozama nő, akkor többet nyerek rajta, értékesebb lesz, ezért az ára is nőni fog”. Ez azonban helytelen következtetés! Mostanára már látnunk kell, hogy miért rossz ez a válasz. A kötvényeknél ugyanis a jövőbeli kapott pénzek nagysága, a kötvény pénzáramlása rögzített, ezért csak úgy érhetünk el magasabb hozamot, ha olcsóbban tudjuk megvenni.

Tekintsük most az eredeti hároméves, 20% névleges kamatozású, évente kétszer fizető kötvényt:

Időpont Pénzáramlás0,5 év 101 év 101,5 év 102 év 102,5 év 103 év 110

Az árfolyam különböző elvárt hozamok mellett:

5% 141,526% 138,217% 135,028% 131,949% 128,9610% 126,08

Az árfolyam és az elvárt hozam kapcsolata kamatozó kötvénynél

8%-os elvárt hozam mellett a kötvényünk árfolyama 131,94 Ft – ez voltaképpen azt jelenti, hogy ha ezen az áron vesszük meg a kötvényt, akkor összességében 8% hozamra teszünk szert ezzel a befektetéssel19. Adnánk-e érte ugyanennyit, ha az elvárt hozam 10%-ra nőne? Nyilván nem, hiszen továbbra is csupán 8% hozamhoz jutnánk így. Ahhoz, hogy összességében 10% hozamot realizáljunk rajta, olcsóbban, 126,08 forintért kell megvennünk – ennél többet senki sem fog adni ezért a kötvényért (kevesebbért viszont senki sem fogja eladásra kínálni).

Példa: A pékségünk 1 millió forint névértékű hitelt vesz fel egy banktól hároméves futamidőre, 15% kamat mellett. Az előző fejezetekben megtanultuk, hogy a hiteleknél a bank jellemzően pont akkora kamatot állapít meg, mint amekkora hozamot a pékségektől a piac általában elvár – pont azért, hogy a hitel jelenértéke éppen a névérték legyen, azaz hogy pontosan 1 millió forintot érjen a hitel (ennyi pénzt kap a pékségünk).Tegyük fel, hogy az emberek a reggeli kifli helyett hirtelen tömegesen átszoknak a müzlire, így a pékségek működése is kockázatosabbá válik, és ezért a tőlük elvárt hozam is 20%-ra emelkedik. Hogyan befolyásolja ez a változás a pékségünk hiteltartozásának értékét?

A pékségünk által fizetendő pénzáramlás változatlan:

1. év C1 = 150 000 Ft2. év C2 = 150 000 Ft3. év C3 = 1 150 000 Ft

A diszkontáláshoz használt elvárt hozam most r = 20%.A hiteltartozás jelenértéke tehát:

PV = 150 000

+150 000

+1 150 000

= 894 676 Ft 1,2 1,22 1,23

Ha tehát megnő a pékségektől elvárt hozam, akkor a hiteltartozás jelenértéke csökken. A hitelnyújtó bank számára ez persze rossz, hiszen számára bizonytalanabbá vált az, hogy a pékségünk vissza fogja-e tudni fizetni a hitelt.

A hitelek értékének időbeli változása

Eddig mindvégig egy időpontban vizsgáltuk a kötvények árfolyamára ható különböző tényezőket. Most azt fogjuk megnézni, hogy az idő előrehaladtával hogyan változik a kötvények árfolyama.

19 Ez kamatszelvényes kötvényeknél nem annyira nyilvánvaló, mint az elemi kötvények esetében, de nem is sokkal bonyolultabb megmutatni. Annyi a különbség, hogy figyelembe kell venni az időközben kapott kamatok újrabefektetésével szerzett jövedelmet is. Például ha egy kétéves, évente egyszer 10% kamatot fizető kötvényt tekintünk 8% elvárt hozam mellett, akkor ennek ára: 10 / (1,08) + 110 / (1,08)2 = 103,57. Szorozzuk most végig ezt az egyenletet (1,08)2-nel! Azt kapjuk, hogy

103,57 × (1,08)2 = 10 × (1,08) + 110 = 120,8A jobb oldalon az az összeg szerepel, amivel a második év végén rendelkezni fogunk: a 110 Ft, amit éppen ekkor kaptunk; továbbá az előző évben kapott 10 Ft kamat, amit előző évben újrabefektettünk, és így most már 10,8 Ft-ot ér. Befektetésünk összesen tehát 120,8 Ft-ot hoz a második év végére. Mivel 120,8 = 103,57 × (1,08)2, ezért látható, hogy a két éves 103,57 Ft → 120,8 Ft befektetés éves (!) hozama összességében pont 8%.

A példa kedvéért tegyük fel, hogy 2005. január elsején vásárolunk egy ötéves kötvényt, amely évente kétszer fizet évi 20% kamatot, és a lejáratkor a 100 Ft névértéket egy összegben törleszti. Ez a kötvény tehát félévente 10 Ft-ot biztosít számunkra, a legvégén pedig természetesen visszakapjuk a 100 Ft névértéket is. Az elvárt hozam 15%. A tanultak alapján ezekből az adatokból már könnyedén meg tudjuk határozni a kötvény árfolyamát (figyeljünk a félévenkénti kamatfizetésre!): az nem más, mint a pénzáramlás jelenértéke, azaz 119,19 Ft. Pontosan ennyit fizetünk érte 2004. január elsején.

A kötvény pénzáramlása2005. január 1. -119,19 Ft2005. július 1. 0,5 év 10 Ft2006. január 1. 1 év 10 Ft2006. július 1. 1,5 év 10 Ft2007. január 1. 2 év 10 Ft2007. július 1. 2,5 év 10 Ft2008. január 1. 3 év 10 Ft2008. július 1. 3,5 év 10 Ft2008. január 1. 4 év 10 Ft2009. július 1. 4,5 év 10 Ft2010. január 1. 5 év 110 Ft

Mennyi lesz a kötvény értéke mondjuk 2005. április elsején? Vajon ugyanannyi lesz-e, mint amennyiért újévkor20 megvettük? Bizony, hogy nem. A január elsejei és a április elsejei pénzáramlás ugyanis nem pontosan ugyanaz: noha a forintösszegek változatlanok maradtak, a kifizetésekig hátralévő idők megváltoztak, egészen pontosan mindegyik időpont előbbre tolódott: az első kamatfizetésig már csak három hónapot kell várnunk. Így abban már biztosak lehetünk, hogy április elsején ez a kötvény többet fog érni, mint január elsején, hiszen a hamarabb megkapott pénz értékesebb. Ha kiszámoljuk pontosan, látni fogjuk, hogy igazunk volt: április elsején a hátralévő pénzáramlások jelenértéke 123,43 Ft.Ahogy közelítünk tehát július elsejéhez, az első kamatfizetés időpontjához, úgy emelkedik a kötvény értéke: előző nap, június 30-án például már 127,82 Ft-ot ér. Másnap megkapjuk a 10 Ft kamatot, valamint miénk marad a kötvény is, a fennmaradó jövőbeli pénzáramlásokkal. Mennyit érhet vajon a kötvény közvetlenül kamatfizetés után, ha közvetlenül előtte 127,82 forintot ért? A kamatfizetés után maradó kötvény értéke plusz a kamat értéke nyilván meg kell egyezzen a kamatfizetés előtti kötvény értékével, különben nem lenne igazságos a dolog. Tehát:

A kötvény értéke=

A kötvény értéke– Kamat = 127,82 Ft – 10 Ft = 117,82 Ft

kamatfizetés után kamatfizetés előtt

A kötvény árfolyama tehát növekszik egészen a kamatfizetésig, akkor pedig a kamat nagyságával leesik. Ezt mutatja az alábbi ábra:

Kamatszelvényes kötvény árfolyamának időbeli alakulása (bruttó és nettó árfolyam)

20 A bankok és a tőzsdék persze zárva vannak újévkor, de ettől az apróságtól most tekintsünk el.

A vastag, fűrészfog-szerű vonal mutatja a kötvény tényleges piaci árfolyamát, más néven bruttó árfolyamát: ennyiért lehet adni-venni a piacon. Jól látható, hogy a kamatfizetések időpontjában a kamat nagyságával leesik az árfolyam.

A 10 forintnyi kamat, amit 2005. július elsején megkapunk, a pénzünknek egyfajta használati díja, amit az fizet nekünk, akinek kölcsönadtuk a pénzünket. Ez a 10 forint az egész első félévre vonatkozik, tehát értelmezhetjük időarányosan is: az első három hónapra már megilletne minket ennek a fele, vagyis 5 forintnyi „használati díj”. Noha kamatot csak félévente kapunk, a kamatfizetések között hasonló módon értelmezhetjük a kamatnak a (legutóbbi kamatfizetés óta eltelt időszakra vonatkozó) időarányos részét: ezt felhalmozott kamatnak nevezzük. 2005. április elsején tehát a felhalmozott kamat a 10 forintnak pont a fele, mivel a hat hónapnak pont a fele telt el. Május 15-én a felhalmozott kamat pedig már 7,5 forint lesz, mivel ekkorra már a hat hónap háromnegyede eltelt. A felhalmozott kamat a következő kamatfizetésig egyre csak növekszik (a kamatfizetés napján már pont 10 forint lesz), a kamatfizetést követően pedig leesik nullára – ez okozza a fűrészfogat a bruttó árfolyamban.

Tisztítsuk hát meg a bruttó árfolyamot a felhalmozott kamattól! Ha a bruttó árfolyamból kivonjuk a felhalmozódott időarányos kamatot, akkor az úgynevezett nettó árfolyamot kapjuk. Az előző ábrán ezt a nettó árfolyamot a fűrészfog alatt húzódó, folyamatosan csökkenő vonal ábrázolja, amely a kötvény névértékéhez (100 Ft) tart21. Jegyezzük meg jól ezt az összefüggést:

Bruttó árfolyam = Nettó árfolyam + Felhalmozódott időarányos kamat

Miért számoljuk ki vajon a nettó árfolyamot? Az biztos, hogy ez nem „igazi” ár, azaz ennyiért nem lehet a kötvényt megvenni, hiszen az igazi árat a bruttó árfolyam, a fűrészfog mutatja. (Vegyük észre ugyanakkor, hogy közvetlenül a kamatfizetések után a két árfolyam megegyezik!) Akkor hát mire jó ez az egész? A nettó árfolyamot a kötvényekkel foglalkozó befektetők leginkább eltérő kötvények összehasonlítására használják. A különböző kötvények ugyanis általában eltérő időpontokban fizetnek kamatot, ezért az eltérő fűrészfog-ábrákat nem nagyon lehet összevetni. A nettó árfolyam ugyanakkor már mentes az egyedi kamatfizetési jellemzőktől, ezért segítségével már össze lehet hasonlítani különböző kötvényeket abból a szempontból, hogy melyik olcsóbb vagy drágább (a nettó árfolyamot a kötvényárfolyamokhoz hasonlóan szintén a névérték százalékában szokták megadni, így a különböző névértékű kötvények is egyszerűen összehasonlíthatók). Ne felejtsük azonban el, hogy a nettó árfolyam nem valós ár, hanem csak jegyzési szokvány.

Példánkban a nettó árfolyam a kötvény futamideje alatt végig a névérték (100 Ft) felett volt, és folyamatosan csökkenve a névértékhez tartott. Ez azonban nem minden kötvény esetében van így, hanem csak az olyan kötvényeknél, ahol a névleges kamatláb (itt évi 20%) magasabb, mint az elvárt hozam (itt évi 15%). Ha az elvárt hozam a magasabb, akkor a nettó árfolyam végig 100 alatt lesz, és folyamatosan nő; ha pedig a kettő egyenlő, akkor a nettó árfolyam a kötvény teljes futamideje alatt (minimális különbségtől eltekintve) éppen 100 Ft, azaz a névérték lesz.

21 A bruttó árfolyam pedig a névérték és a lejáratkor esedékes utolsó kamat összegéhez (itt 110 Ft) tart.

árfolyam

idő

árfolyam

idő

Névleges kamatláb = elvárt hozam Névleges kamatláb < elvárt hozam

12. Idegen tőkés finanszírozás VI. – A kedvezményes hitelek értékelése

Ha a piaci szereplők mindegyike tud kötvényt árazni, a kötvény fair árfolyamon fog forogni abban az értelemben, hogy csak annyit kaphatunk érte, amennyit az ér. Azaz a vállalat, nem fogja tudni drágábban eladni a kötvényét, és nem fog tudni alacsonyabb kamatláb mellett hitelt felvenni, mint ami valójában jár neki. Ha ugyanis így lenne, akkor a vállalat nyerne, számára a kötvény kibocsátása, illetve a hitel felvétele pozitív nettó jelenértékű projekt lenne.

A játék azonban zérus összegű: csak azt nyeri meg az egyik, amit elbukik a másik. Azaz ha a vállalat nyer, akkor a hitelező bank, vagy a kötvény vásárlója veszít, többet ad, mint amennyit az valójában ér. Más szóval megfogalmazva, ha a piac jól működik, mindenki tud kötvényt/hitelt értékelni, a hitelfelvétel nem teremthet, de nem is rombol értéket, a hitelfelvétel nettó jelenértéke nem lehet sem pozitív, sem negatív, hanem nulla lesz.

Minden esetben ez a helyzet? Piaci körülmények között igen. Vannak azonban olyan esetek, mikor egyes cégeket kedvezményes kölcsönökkel segítenek, azaz a vállalat alacsonyabb kamat mellett juthat hitelhez, mint ami valójában indokolt lenne. Ezen persze valaki biztosan veszít. A legtöbbször az állam, aki bár tudatában van ennek a veszteségnek, az általa preferált célok elérése érdekében támogatja a projektet.

De hogyan értékeljük a kedvezményes hitelt? Mekkora összeget „veszít” a hitel támogatója, azaz mennyibe kerül neki ez az akció? Tulajdonképpen két érték különbségeként határozhatjuk meg a kedvezmény értékét. Ki kell számolnunk, hogy mekkora a támogatott hitel pénzáramlása. Ezt aztán a támogatott hitel felvevőjétől a piac által elvárt hozammal beárazzuk. A nyújtott hitel összege és a kedvezményes pénzáramlás értékének különbsége lesz a támogatás értéke. Nézzünk ismét egy példát!

Az ABC Rt. egy kiemelten fontos környezetvédelmi beruházásba kezd. A beruházást kedvezményes hitelből valósítja meg. Ha a vállalat piaci feltételek mellett venne fel hitelt, a hitel kamata 15% lenne. Ez megfelel a hasonló kockázatú vállalatoktól elvárt hozamnak. Az állam azonban támogatja a környezetvédelmet, így a cég 8%-os kamat mellett kapja meg a hitelt. A hitel összege 100 millió forint, futamideje 3 év, a tartozást a harmadik év végén egy összegben kell rendeznie a cégnek. Mekkora összegű támogatást kapott tulajdonképpen az ABC Rt.?

Írjuk fel, mekkora lesz valójában a cég által fizetett pénzáramlás!

1. 8

2. 8

3. 108

Mennyit adna egy piaci szereplő ezért a pénzáramlásért?

millió forintot.

Azaz az állam azáltal, hogy 100 millió hitelt nyújtott egy valójában 84,02 piaci értékkel rendelkező hitelért, tulajdonképpen 15,98 millió forintos támogatásban részesítette a

vállalatot.

A fenti módszer természetesen az élet más területeire is kiterjeszthető. Kiszámolhatjuk, mekkora kedvezményt kapott az a család, amelyik 16% helyett 6%-on vehet fel állam által támogatott, 20 éves futamidejű, havonta fizetendő annuitásos lakáshitelt. De természetesen ezzel az eljárással nemcsak hitel jellegű kedvezmények is beárazhatóak. Meghatározható például az EU által adott ártámogatások mértéke is. A piaci ár és a becsült felvásárlási ár különbsége lesz a pénzáramlást, ezt kell visszadiszkontálni.

Minden kedvezmény tehát ugyanúgy árazható: a kedvezmény nélküli és a kedvezményes pénzáramlások különbségének visszadiszkontálásával. A hitelek esetén ez a pénzáramlás két a kamat cash flow különbségeként adódik.

Milyen hitelt vegyen fel a vállalat?

Az idegen tőkés finanszírozásról szóló fejezet végén már csak a legalapvetőbb kérdés megválaszolása maradt hátra: Akkor milyen hitelt vegyen fel a vállalat?

Valószínűleg sejthető, hogy erre egyértelmű válasz nem adható. Persze ha van lehetőség kedvezményes hitelre, azt használjuk ki, hiszen ez tulajdonképpen egy egyösszegű támogatással egyenértékű. Ennél részletesebb válasz azonban aligha adható.

A vállalat által fizetett kamat minden esetben pénz kiáramlást jelent. Ezért ennek minimalizálása egyértelmű vállalati érdek. Ha azonban kevesebbet ígérünk, a cserébe kapott hitel is kevesebb lesz. A cél inkább az, hogy olyan pénzáramlást tervezzünk, ami a vállalat által elviselhető és fizethető. Ha a cég bevételei erősen függenek az árszínvonal ingadozásától, azaz az infláció változásától, célszerű lehet változó kamatozású hitelt felvenni. Ekkor ugyanis az infláció csökkenésével, mikor a bevételeink növekedési üteme is csökken, a fizetendő kamat mértéke is kisebb lesz. Ha viszont a bevétel gyorsabban nő, a kamat is nagyobb lesz. Fix bevételek mellett változó kamatozású hitelt felvenni veszélyes vállalkozás, nagy kamatemelkedés esetén komoly terhet jelenthet a vállalat számára.

Persze azon is gondolkodhatunk, hogy amennyiben a kamatok csökkenésére számítunk, változó kamatozású hiteleket veszünk fel. Így a későbbi kamatteher is csökken. Persze ha a várakozásaink nem igazolódnak, gondban lehetünk. A hosszabb futamidejű hitelekkel efféle spekulációba belemenni nem szerencsés. A kötvény futamideje alatt úgyis lesznek emelkedő és csökkenő periódusok. Ne emiatt válasszunk a fix vagy a változó kamatozás között.

A hitelek futamidejét – ahogyan arról már az 5. órán is szó volt – célszerű a finanszírozandó eszközök élettartamával összevetni, azaz megvizsgálni, mire is használjuk fel a elvett hitelt. Hosszú élettartamú eszközt rövid lejáratú hitelből finanszírozni gondot okozhat, túl gyakran kellhet a hitelt megújítani.

Ez pedig egy további kérdésre hívja fel a figyelmet. Nem elegendő önmagában a hitelek kamatozását vizsgálni. Nem egyszer olvasni efféle érvelést:

„A rövidebb futamidejű kamatok általában alacsonyabbak, mert a bankok a rövidebb futamidejű befektetéseket kevésbé tekintik kockázatosnak, így az elvárt hozam, azaz az általuk megkövetelt kamat is alacsonyabb. Ezért a vállalatvezetés akkor teszi jól, ha ilyen esetekben igyekszik minél inkább az olcsóbb rövid futamidejű hitelekre támaszkodni.”

Reméljük ezt a logikát már az olvasók többsége is sületlenségnek tartja. Ha ugyanis rövidebb futamidejű hiteleket veszünk fel, nagy az ún. megújítási kockázatunk. Ki tudja ugyanis, hogy a rövid futamidejű hitelek lejáratakor mekkora kamatláb mellett tudjuk az újabb hitelt felvenni? A hosszú futamidejű hitel esetén ez a kockázat nincs.

A futamidő növelése persze előnyös is lehet. Ha magánszemélyként annuitásos hitelt veszünk fel, a havonta fizetendő összeg a futamidő növekedésével csökken, azaz egyre kisebb havi terhet jelent számunkra. Ingyen ebédek persze ekkor sincsenek: a kisebb havi teher hosszabb ideig súlyt minket, minél hosszabb a futamidő, annál tovább fizetünk. De ingyen ebéd a hitelező számára sincs. Csak annyival fizetünk tovább, ami ellensúlyozza az alacsonyabb havi részleteket.

Összefoglalóan tehát megállapíthatjuk a következőket:

6. Ha a tőkepiac jól működik, pénzügyes szakszóval, ha a tőkepiac hatékony,22 a hitelfelvétel nettó jelenértéke nulla. Ebből a szempontból annak, hogy milyen hitelt veszünk fel, nincs jelentősége.

7. A hitelt mindig a vállalat által megtermelt pénzáramlásból kell visszafizetni. A hitel tehát akkor van jól megtervezve, ha illeszkedik a cég pénztermelő képességéhez mind kamatozásában, mind futamidejében.

8. A hitellehetőségek elemzésekor a kamat mellett a megújítás kockázatát és költségeit is figyelembe kell venni.

A kiindulópont tehát a vállalat teherbírása.

22 Ez a fogalom a félév során még előkerül. Akkor nevezünk egy piacot hatékonynak, ha a nyilvánosan hozzáférhető információk az árakba beépülnek, azaz a piac ezen információkat figyelembe veszi és jól áraz.

17. Befektetések és beruházások – az eszközoldal

A vállalat mérlege a vállalat vagyonát tartalmazza összetétel és eredet szerint. A vállalatok mérlegükben az eszközoldalon tartják nyilván a vállalat gépeit, üzemeit, telephelyeit; a megtermelt, de még eladatlan termékeket, a szabad készpénzállományt, és minden egyéb, a vállalat birtokában lévő eszközt.23 Azaz a mérleg eszközoldala pontosan leírja, hogy a cég vagyona milyen elemekből tevődik össze. A mérleg forrásoldala pedig a vagyon megoszlását mutatja be a vállalat tulajdonosai és hitelezői között, mekkora rész illeti az egyik és mekkora a másik csoportot..

Ebben a fejezetben a vállalati eszközök típusait és azok működésbeli szerepét vesszük szemügyre, vállalati pénzügyi szemszögből.

A hosszú távú beruházások – a befektetett tárgyi eszközök

Nézzük meg egy példán keresztül, hogy mi alapján különböztetjük meg a vállalat különböző eszközeit. Legyen a példa ismét egy pékség. Ahhoz, hogy a pékség egyáltalán működni tudjon, szükség van egyrészt egy épületre, aztán kemencékre és sokféle egyéb berendezésre az asztaloktól kezdve a péklapátig, amelyek nélkülözhetetlenek a kenyérsütéshez; de szükség lehet akár egy kisteherautóra is, amivel a pékség kiszállítja a kenyeret a boltoknak. Ezeket az épületeket, gépeket stb. tartós használatra veszi a pékség: nem az a célja, hogy ezeket gyorsan eladja, hanem hogy felhasználja őket fő tevékenységéhez, a kenyérsütéshez. Az ilyen típusú eszközöket nevezzük befektetett tárgyi eszközöknek; jellemzően idetartoznak a vállalatok üzemei, gépei és berendezései, egyáltalán mindenféle, tartós használatra beszerzett eszköz.24 Ezekben tehát a pékség pénze (tőkéje) tartósan le van kötve. Az ilyen eszközöket elég ezeket a működés elején megvásárolni (ekkor kell kifizetni a nagyobb összeget), utána pedig viszonylag sokáig lehet őket használni. Persze a folyamatos használat következtében idővel a kemencék vagy a kisteherautók is elhasználódnak, elkopnak, elromolnak, amikor is újakkal kell pótolni őket. Ezek a kiadások azonban ritkán, néhány évente vagy akár még ritkábban jelentkeznek.

Amikor megvesszük a kenyeret a boltban, akkor a kenyér árában nemcsak a lisztet, az élesztőt, az egyéb hozzávalókat és a pék munkáját fizetjük meg, hanem a kemencét, a pékség épületét és a kisteherautót is, legalábbis szépen apránként. A befektetett tárgyi eszközök árának tehát a vállalat normális működése során termelt bevételeiből (a kenyéreladásból származó pénzből) kell megtérülnie. Bár egy tárgyi eszköz, mint például a kemence megvétele csak kezdetben jelent tényleges pénzbeli kifizetést, a kemence értéke a használat során fokozatosan csökken, ahogy elhasználódik, elavul, elkopik. Pontosabban fogalmazva: a kemence, a tárgyi eszköz értéke szépen lassan átkerül a termékek (a kemencében megsütött kenyerek) értékébe – ugyanúgy, ahogy a felhasznált liszt, élesztő stb. értéke átkerül a kenyér értékébe mint azonnali kiadás (bár ez utóbbi eset kétségtelenül látványosabb). Míg a kenyérsütéshez felhasznált alapanyagok megvásárlására kifizetett pénz tényleges, újra és újra felmerülő kiadás, addig a kemence elhasználódása, értékének csökkenése csak egy fiktív kiadás, hiszen a kemence teljes árát már a legelején kifizettük. Ezt a fiktív kiadást, vagyis a tárgyi eszközök értékének a használat során bekövetkező csökkenését nevezzük amortizációnak, vagy egyszerűen értékcsökkenésnek. Így az az érték is, amelyen a kérdéses tárgyi eszköz a vállalat mérlegében az eszközök között szerepel, az eszköz

23 Sőt, ide tartoznak még az olyan megfoghatatlan dolgok is, mint a vállalat jóhíre (a goodwill), a termékének ismertsége vagy a tulajdonában lévő szabadalmak. Ezeket is ugyanolyan eszközöknek tekinthetjük, mint a pénztárgépet.

24 Az ilyen jellegű eszközök vételét beruházásnak is szoktuk nevezni, azért, hogy megkülönböztessük a pénzügyi jellegű eszközökbe (például egy másik cég részvényeibe) történő befektetéstől – utóbbi ugyanis nyilván nem feltétlenül szükséges a vállalatunk működéséhez.

elhasználódásával folyamatosan csökken.

Azt, hogy a használat során egy gép (mondjuk a kemence) értéke pontosan milyen ütemben csökken, persze nem egyszerű megállapítani, hiszen nem tudjuk, hogy néhány kenyér megsütése pontosan mennyivel csökkenti a kemence értékét. Legfeljebb olyan megállapításokat tehetünk, hogy például „az ilyen típusú gépek rendes használat mellett átlagosan öt évig működnek” – vagyis átlagosan öt év alatt használódnak el, értéktelenednek el (amortizálódnak el) teljesen. Azt is fel szoktuk tenni, hogy ez az értékcsökkenés egyenletes, azaz ebben a példában a kemence értéke átlagosan kezdeti értékének egyötödével csökken évente. A fent emlegetett fiktív kiadás ebben a példában tehát minden évben a kezdeti értéknek (a kemence árának) egyötöde – de ne felejtsük el, hogy ez nem jelent tényleges pénzbeli kifizetést, hiszen a kemencét már a legelején teljesen kifizettük! Ennek a fiktív kiadásnak, amit értékcsökkenési leírásnak nevezünk, azért van jelentősége, mert csökkenti az adóalapot, vagyis ezután nem kell adót fizetnünk. A következő fejezetekben számos példát fogunk látni arra, hogy ez pontosan mit jelent és hogyan kell ezzel pontosan számolni.25

A forgóeszközök

Az épület, a kemencék, a péklapát és az egyéb tárgyi eszközök ugyan nélkülözhetetlenek a pékség működéséhez, de ezekből még nem lesz kenyér. A liszt, az élesztő, a só, a víz és az egyéb alapanyagok, amelyekből végül is készül a kenyér, viszont egyáltalán nem tartós használatúak, hiszen a sütés folyamán azonnal fel is használja őket a pék. Ezeket az anyagokat többé-kevésbé folyamatosan be kell szerezni, viszont relatíve olcsók (a tárgyi eszközökhöz, például a kisteherautóhoz képest). A késztermék, a kenyér árában továbbá benne van a készítéséhez felhasznált liszt, élesztő stb. költsége is, ezért például a liszt beszerzésének költsége a kenyér eladásakor azonnal meg is térül. Az a pénz tehát, amit a pék lisztbe, élesztőbe stb. (vagyis alapanyagokba) fektet, csak rövidtávra van lekötve, hiszen a kenyér eladásakor ezek a költségek azonnal megtérülnek.

A rövidtávra lekötött eszközöket összefoglaló néven forgóeszközöknek nevezzük. Így tehát a pékség esetében a liszt, élesztő stb. is forgóeszköznek minősül. A forgóeszközöket általában további csoportokra bontjuk, mint az az alábbi táblázatban is látható. A forgóeszközök első csoportjába soroljuk a kész termékekből álló készleteket (ez a pékség esetében az eladatlan kenyérnek felel meg), illetve a még fel nem használt alapanyagokat (tehát ide tartozik például a még fel nem használt liszt és cukor). Ezt az első csoportot általában egyszerűen csak készleteknek fogjuk nevezni, és az elmondottakon kívül ide sorolunk még minden olyan megfogható dolgot, amiben a vállalat pénze rövidtávra le van kötve. Azért mondjuk, hogy ezekben rövidtávra van lekötve a pénz, mert a vállalat normális működése során ez a pénz azonnal felszabadul, mihelyst eladjuk a terméket és megkapjuk az árát.26

Eszközök ForrásokForgóeszközök Saját tőke

7. készletek (alapanyagok stb.)8. vevőkkel szembeni

Idegen tőke9. hosszú lejáratú hitelek

25 Az értékcsökkenési leírás (az amortizáció) pontos üteme az elmondottak szerint általában nem esik egybe a kérdéses gép tényleges elhasználódásának ütemével, ezért könnyen előfordulhat, hogy noha „papíron” (a vállalat könyveiben) már teljesen elértéktelenedett, a „valóságban” még kaphatunk érte valamennyi pénzt, ha eladjuk. Ugyanígy előfordulhat a fordított eset is, azaz a gépnek papíron még van értéke, de valójában már ócskavas.

26 A befektetett tárgyi eszközök esetében viszont a (hosszú távra lekötött) pénz csak lassan „szabadul fel”, ahogy a termékeladásokból származó nyereség révén fokozatosan megtérül a kezdeti beruházás.

követelések9. készpénzállomány10. forgalomképes értékpapírok

10. rövid lejáratú hitelek11. szállítók felé való

tartozásokBefektetett tárgyi eszközök(gépek, berendezések, épületek stb.)

A vállalat egyszerűsített mérlege

A vállalatok forgóeszközei (azaz a rövid távra lekötött eszközök) ugyanakkor nem csak a készletekből állnak. A következő forgóeszköz-típus (a vevőkkel szembeni követelések) eltér a készletektől abban a tekintetben, hogy míg a készletek megfogható, fizikai javakból álltak, addig (mint azt látni fogjuk) ezek nem feltétlenül lesznek ilyenek.

Ahhoz, hogy megértsük a forgóeszközöknek ezt a csoportját, gondoljuk végig, hogyan fizetik ki a vállalat vevői a megvásárolt termékeket. A pékségnél vagy a közértben egyszerű a helyzet: ott ugyanis ha meg akarjuk vásárolni az árut, azonnal ki is kell azt fizetnünk. Más típusú termékeknél vagy szolgáltatásoknál viszont gyakori a halasztott fizetés: ez körülbelül olyan, mintha most elvinnénk a kiflit a közértből, de csak egy hét múlva fizetnénk ki. Noha a kifli esetében abszurdnak tűnik a példa, a valóságban nagyon sok termék és szolgáltatás halasztott fizetéssel cserél gazdát. Egyes nagy bevásárlóközpontok például úgy vásárolják meg mondjuk a kenyeret a beszállítóiktól, hogy csak 120 nap múlva fizetik ki a vételárat.27 Szolgáltatások esetén talán még gyakrabban fordul ez elő: a gázszámlát is csak azután fizetjük be, miután már elfűtöttük a gázt.

Tegyük fel tehát, hogy a pékségünk kenyeret szállít az egyik nagy bevásárlóközpontnak. Ez jó üzlet, mert a bevásárlóközpont sok kenyeret vesz át, ami sok bevételt és remélhetőleg sok nyereséget is jelent a pékségnek. Viszont az áruház csak azzal a feltétellel hajlandó szerződni, hogy minden leszállított árut 120 nappal később fizet ki. Ilyenkor az történik, hogy noha a vállalat (a pékség) eladta a terméket (a kenyeret), de az ellenérték még nem folyt be, még nem jutottunk a pénzünkhöz, vagyis a lekötött pénzünk még nem szabadult fel. Azt mondjuk, hogy ilyenkor a vállalatunknak követelése van a vevőjével szemben: a leszállított áruért járó pénzösszeg a pékségünket illeti, noha majd csak később fogjuk megkapni. Ezek a vevőkkel szembeni követelések (vagy röviden csak vevőkövetelések,28 vevőállomány) ugyanúgy rövid távra lekötött pénzt jelentenek, mint a készletek. A különbség mindössze annyi, hogy míg az utóbbi esetben eladatlan termékek vagy még fel nem használt alapanyagok formáját ölti a lekötött pénz, addig az előbbi esetben a vevők kiegyenlítetlen tartozása formájában lesz lekötve a pénz.

Nemcsak a vállalatunk vevői fizethetnek halasztott fizetéssel nekünk, hanem mi is fizethetünk később azoknak a cégeknek, amelyektől mi vásárolunk (a beszállítóinknak). Ilyenkor a fizetés teljesítéséig a mi vállalatunk tartozik a beszállítóinak. Itt az előzőhöz képest pont fordított a helyzet: a szállítók felé való tartozások (vagy egyszerűen csak szállító-tartozások, szállítóállomány) éppen hogy azt jelentik, hogy elég később is kifizetni a tartozást, elég később is lekötni a pénzt. Ily módon az azonnali fizetéses helyzethez képest a vállalatunk nyer azzal, hogy később fizethet: a közbülső időszakra felszabadul az egyébként lekötött pénze. A vevőkövetelések és a szállító-tartozások tehát pont ellentétesen működnek: az első növekedése növeli a vállalat rövid távra lekötött pénzeinek nagyságát, míg a második növekedése éppen hogy csökkenti azt, mivelhogy lekötött pénzt szabadit fel.

A számvitelben a szállítóállomány a mérleg forrásoldalán szerepel, hiszen – mint arról szó volt –

27 Itt persze általában hosszabb távú beszállítói kapcsolatokról van szó, ahol a szerződés és a vevő „neve” garantálja, hogy a vevő a vételárat ténylegesen ki is fogja fizetni. A boltban vagy a kocsmában nincs ilyen szerződés, és általában az eladók sem ismernek minket, vevőket (ha mégis, akkor néha esetleg kaphatunk hitelt).

28 Vigyázat: ezek a mi követeléseink a vevőinkkel szemben, és nem fordítva!

tulajdonképpen a beszállítók hitelezik a céget, így a szállítóállomány egyfajta forrásként értelmezhető. A pénzügyes azonban kicsit másképpen gondolkodik, egy tételbe vonja össze mindazt, ami hasonló. Ezért szerepeltetjük a szállítók felé való tartozásokat a forgóeszközök között negatív előjellel: minél nagyobb ez a tartozás, annál kevesebb (pótlólagos) pénzt kell rövid távra lekötni.29 Így azonban igazándiból már nem csak a forgóeszközökről beszélünk, ezért itt egy új fogalmat kell bevezetnünk. A következő pontban ezzel fogunk foglalkozni.

A forgóeszközök következő csoportját a pénzeszközök jelentik. Ide tartozik minden, a vállalat tulajdonában lévő készpénz és számlapénz, ami a cég bankszámláin hever. Ezek az elemek alkotják a forgóeszközök leglikvidebb csoportját.

Ha a vállalat úgy gondolja, hogy a számlát lévő pénzre átmenetileg nincsen szüksége, időlegesen befektetheti, illetve értékpapírokat vásárolhat belőle. Ezeket aztán, ha mégis pénzre lenne szüksége, gyorsan eladhatja. Ilyen befektetés lehet például az államkötvények vásárlása, ami gyorsan akár néhány óra alatt készpénzzé tehető. Így a vállalati gazdálkodás hatékonysága javul, hiszen amíg a pénzre nincs a cégnek szüksége, addig is kamatozhat.30

A nettó forgótőke

Térjünk vissza a forgóeszközök és a szállítóállomány kérdéséhez! Nyilvánvaló, hogy a vállalatunk annál jobban jár, minél hamarabb (lehetőleg azonnal) fizetnek nekünk a vevőink, illetve minél később kell nekünk a mi beszállítóinkat kifizetnünk.31 Hiszen minél kisebbek a vevőkkel szembeni követelések és minél nagyobbak a szállítók felé való tartozások, annál kevesebb tőkét kell rövidtávra lekötni.

Hogy a cég által rövidtávon lekötött tőkét számszerűsíteni tudjuk, vezessünk be egy újfajta elnevezést: a nettó forgótőkét. A nettó forgótőke a forgóeszközök és a rövid lejáratú kötelezettségek különbsége, azaz a fent elmondottakat figyelembe véve:

Nettó forgótőke = Készletek + Vevőkövetelések – Szállító-tartozások

Valójában persze a cég által tartott likvid értékpapírok is a forgóeszközök közé tartoznak, másrészt a rövid lejáratú hitelek is a rövid források közé tartoznak. Azaz a nettó forgótőke pontosabb definíciója szerint:

Nettó forgótőke = Készletek + Vevőkövetelések + Likvid értékpapírok – Szállító-tartozások – Rövid lejáratú hitelek

Azaz a nem készpénz forgóeszközök értékéből levonjuk a szállítók és a rövid hitelek állományát. Mi a továbbiakban meg fogunk elégedni az első, kicsit elnagyolt definícióval.

Milyen következtetést tudunk levonni a nettó forgótőke értékéből? Ha a nettó forgótőke pozitív, a nem készpénz forgóeszközök állománya nagyobb, mint a rövid lejáratú forrásoké, azaz hosszabb futamidejű forrásokból kell rövid futamidejű eszközöket finanszírozni. Ha azonban a nettó

29 Lényegében „kivonjuk” a szállítók felé való tartozásokat a mérleg mindkét oldalából, így az eltűnik a forrásoldalról, de negatív előjellel megjelenik az eszközoldalon (lásd a mérleget a következő oldalon).

30 Ha egy vállalat egy másik cég részvényeit hosszabb távra megveszi, azt nem itt, hanem a befektetett eszközök között szerepeltetjük. Így például a MOL Rt. mérlegében a Slovnaft papírokat ott kell keresnünk.

31 Ilyen „szélsőséges” esetet jelentenek például a nagy bevásárlóközpontok: a vásárlóiknak a pénztárnál azonnal kell fizetniük, az áruház beszállítóinak viszont (mint említettük) sokszor csak jelentős késedelemmel fizet.

forgótőke negatív, a rövid lejáratú források állománya nagyobb, mint a rövid eszközöké, azaz összességében rövid forrásokból finanszírozunk befektetett eszközöket. Ez veszélyes lehet. Ha ugyanis a rövid forrásokat nem tudjuk megújítani, a cég likviditási csapdába kerül, befektetett eszközöket kell eladni, hogy a hiteleket vissza tudjuk fizetni.

Ha pénzügyesként a mérlegben a nettó forgótőkét szerepeltetjük, a mérleg a következő alakot ölti:Eszközök Források

Pénzeszközök Saját tőkeNettó Forgótőke Hosszú lejáratú idegen tőke

11. + készletek (alapanyagok stb.)

12. + vevőkkel szembeni követelések

13. – szállítók felé való tartozások

14. + likvid értékpapírokBefektetett tárgyi eszközök

(gépek, berendezések, épületek stb.)

Végezetül nézzünk egy példát! A Dél - Alföldi Egyesült Sörgyárak Rt. mérlege 2003. decemberében a következő volt (millió forintban):

Eszközök ForrásokForgóeszközök

15. készletek 16. követelések17. készpénz18. forgalomképes ép.

700   240  400  50  10 

Saját tőke

Idegen tőkec. hosszú lej.

hitelekd. rövid lej.

hiteleke. szállítók

1500    

600  200  150  250  

Befektetett tárgyi eszközök 1400     Eszközök összesen 2100   Források összesen 2100  

Számolja ki, hogy mekkora volt a nettó forgótőke értéke 2003 decemberében az egyszerűsített képlet felhasználásával?

Nettó forgótőke = Készletek + Vevőkövetelések – Szállító-tartozások == 240 + 400 – 250 = 390

Mekkora volt a nettó forgótőke értéke a pontosabb képlet felhasználásával?Nettó forgótőke = Készletek + Vevőkövetelések + Likvid értékpapírok – Szállító-tartozások –

Rövid lejáratú hitelek == 240 + 400 + 10 – 250 – 150 = 250.

18. Finanszírozás a beruházások mögött

Korábban részletesen megvizsgáltuk a lehetséges finanszírozási formákat. Beszéltünk a belső- és a külső-, valamint ez utóbbi csoporton belül az idegen tőkés és saját tőkés finanszírozásról. Az előző leckében pedig az eszközoldal elemeit vettük sorra. Feladatunk most az, hogy a mérleg két oldala, azaz a vállalat beruházási (eszközoldal) és finanszírozási (forrásoldal) döntései között lehetséges összefüggéseket vizsgáljuk meg.

A rövid- és a hosszú futamidejű források aránya

Minden vállalatnak szüksége van tőkére, amiből befektetett- és forgóeszközeinek beszerzését finanszírozhatja. A cég megalapításakor az alapítók által a cég rendelkezésére bocsátott összeg a cég kezdő tőkéje. A vállalkozás működése során aztán a cég tőkeszükséglete is változik, ahogy a cég növekszik, úgy nő tőkeszükséglete is. A vállalat által megszerzett, és a működése során felhasznált eszközök finanszírozásához szükséges források együttese a cég kumulált tőkeszükséglete.

A kumulált tőkeszükséglet persze – a növekvő trend ellenére – időről időre változhat, szezonálisan ingadozhat. A csokoládégyártással foglalkozó vállalatok például évente kétszer, karácsony és húsvét környékén jelentősebb tőkét igényelnek. Ekkor sokkal több alapanyagot kell beszerezniük, eladásaik, és így vevőállományuk is megnövekszik. Nyáron azonban, mikor a gyümölcsdömping miatt a csokoládéfogyasztás is alacsonyabb, a tőkeigényük is kisebb lesz.

A szükséges forrást a vállalati pénzügyesnek kell előteremtenie. Ahogyan a tőkeigény ingadozik, úgy fog változni az igénybe vett tőke mennyisége is. A kérdés inkább az, mennyi hosszú távú forrást szerezzen a vállalat, és mekkora legyen az az összeg, amit rövid lejáratú forrásokkal elégítünk ki. Ha a hosszú távú forrás mennyiségét a finanszírozási csúcshoz igazítjuk, vagy – a váratlan események elkerülése céljából – akár annál magasabb szinten rögzítjük, a pénzügyes kolléga kényelmes helyzetben lesz: nem kell a finanszírozási kérdések miatt törnie a fejét. (Lásd az ábra I. és II. vonalait.) Ennek azonban ára van: a hosszabb források általában drágábbak, azaz a kényelem ára a magasabb kamatteher lesz.

Persze a másik véglet is rejt magában buktatókat. Ha a minimális kumulált tőkeszükséglethez igazítjuk a hosszú lejáratú források arányát, esetenként jelentős rövid lejáratú hitellehetőséget kell előteremteni. Ebben az esetben viszont annak a kockázatnak tesszük ki magunkat, hogy az adott pillanatban éppen milyen hitellehetőségek vannak a piacon. A jövőben megszerezhető hitelek kamata előre nem ismert, így a cég kamatkockázattal néz szembe. (Lásd az ábra IV. vonalát.)

Lehet, hogy a hosszú lejáratú kamatok a rövid lejáratúaknál magasabbak, de ha átmenetileg a kamatok megemelkednek, és nekünk éppen akkor kell hitelt felvenni, igen nagy lehet a hitel ára. Ugyanígy, ha egy átmeneti piaci sokk miatt ágazatunkat és ezen belül cégünket kockázatosabbnak ítéli meg a bank, a rövid lejáratú kamat gyorsan emelkedhet.

Összefoglalva: alacsony hosszú távú forrás esetén ugyan nyerünk azon, hogy a hosszú lejáratú források költsége magasabb, és mi a rövid hitelekből finanszírozzuk vállalatunkat, ennek azonban ára van. Ez pedig a hitelek megújításának költsége, illetve az azzal vállalt kamatkockázat.

Kumulált tőkeigény alakulása negyedévenként

Egyetlen helyes megoldás természetesen nincsen, minden esetben a cégvezetésnek kell döntenie. A probléma tulajdonképpen az előző lecke során tárgyalt nettó forgótőke kérdéséhez vezet vissza minket. Ha a nettó forgótőke pozitív, akkor a vállalat forgóeszközeinek értéke meghaladja a rövid lejáratú kötelezettségekét.32 Ez azt jelenti, hogy a nettó forgótőkét részben hosszú futamidejű eszközökből finanszírozzuk, azaz a hosszú források aránya az ingadozó kumulált tőkeszükséglet minimumánál magasabb. Ha viszont a nettó forgótőke negatív, akkor a befektetett eszközök egy része finanszírozódik rövid lejáratú forrásokból. Ilyenkor a hosszú lejáratú források aránya a kumulált tőkeigény minimális szintjét sem éri el.

Milyen esetben lenne a hosszú források aránya még a kumulált tőkeigény maximumánál is magasabb? Nos, ez abban – a gyakorlatban szinte sosem jelentkező – esetben fordulna elő, ha a cég nem rendelkezne rövid lejáratú hitelekkel, a készpénzben és likvid értékpapírokban meglévő vagyona pedig meghaladná a szállítóállomány mértékét.

Összefoglalóan annyit mondhatunk, hogy a hosszú ideig rendelkezésre álló eszközöket lehetőleg tartós forrásból finanszírozzuk, míg az átmenetieket, azaz a forgóeszközöket, finanszírozhatjuk rövid lejárató forrásból is.

A likviditás

Amikor a bankok rövid lejáratú forrásokat biztosítanak a vállalatoknak, megvizsgálják, milyen a cég likviditási helyzete, eleget tud-e majd tenni a vállalat kötelezettségeinek. Az elemzés során a cég ún. likviditási mutatóit vizsgálják meg. Ezek olyan, a vállalat mérlege alapján számítható értékek, amelyek a cég pénzügyi helyzetéről tanúskodnak. Likviditási mutató természetesen sokféle számítható, attól függően, hogy milyen tételeket vonnak be a vizsgálatba. Mi a továbbiakban a legismertebb, és a leggyakrabban használt mutatókat fogjuk számba venni. A mutatókat egyrészt korábbi értékeikhez, másrészt egymáshoz viszonyítva szerezhetünk információt a cég likviditási helyzetéről.

32 A rövid lejáratú kötelezettségek között a szállítók mellett a rövid lejáratú hitelek is szerepelnek.

Az egyik legismertebb, és a nettó forgótőkéhez legközelebb álló mutató, a likviditási ráta. Ez a nettó forgótőke két elemének hányadosa. Azaz:

33

Nézzünk egy gyakorló példát! Számítsuk ki az előző fejezetben megismert Dél – Alföldi Egyesült Sörgyárak likviditási rátáját!

A forgóeszközök egyes elemei azonban nem ugyanolyan gyorsan tehetők pénzzé. A készletekből például előbb követelések lesznek, és mire realizálódik a bevétel, addigra egy rövidebb hitel akár le is járhat.34 Emiatt egy, a likviditási rátánál szűkebb kategóriát, az likviditási gyorsrátát is meg szokták vizsgálni. Itt a számlálóban a forgóeszközök közül a készleteket kiveszik, azaz:

Ugyanez a mutató a korábban is vizsgált sörgyár esetén:

Még ennél is szűkebb kategória a pénzhányad, ami csak a pénzeszközöket, illetve a gyorsan pénzeszközzé tehető likvid értékpapírokat viszonyítja a cég rövid lejáratú kötelezettségeihez.

A sörgyár esetén a mutató értéke:

A cég működéséhez kapcsolható az időtartam-mutató. Ez arra keresi a választ, hogy a cég hány napig képes működni a gyorsan pénzzé tehető forgóeszközeiből. Ebbe jelen esetben beleszámítjuk a vevőállományt is.

Időtartam-mutató =Pénzeszközök + Likvid értékpapírok + Vevőállomány

Napi átlagos működési kiadás

Tegyük fel, hogy a sörgyár napi 80 millió forintot költ működési kiadásokra. Ekkor az időtartam-mutató értéke:

Időtartam-mutató = Pénzeszk. + Likvid ép. + Vevőáll. = 50 + 100 + 400 =5,75

33 Emlékezzünk vissza a korábban elmondottakra, ami szerint a nettó forgótőkének létezhet egy pontosabb és egy kevésbé pontos definíciója. Ebben ez esetben a pontosabb formát szoktuk használni azzal a megkötéssel, hogy a forgóeszközök között most sem szerepeltetjük a készpénz állományt.

34 A kereskedelemben tipikusak a 90 napos fizetési határidők, de a 120 napos sem kirívó. Egy három hónapos hitel esetén a készletből a hitel futamideje alatt gyakorlatilag nem is várható pénzbevétel.

Napi átlagos működési kiadás 80

Ezekkel a mutatókkal azonban nemcsak a bankok operálhatnak. Természetesen a vállalatok pénzügyi vezetőinek is hasznos segítséget nyújthatnak annak megválaszolásához, hogy a cég mennyiben tekinthető likvidnek, hogyan tud eleget tenni kötelezettségeinek. A cég finanszírozási szerkezetét ezek után úgy állíthatjuk össze, hogy azon túl, hogy az eszközökkel összhangban legyen, még a cég likviditási gondjait is meg tudjuk előzni.

A tőkeáttétel

A vezetés által eldöntendő másik fontos finanszírozási kérdés, hogy a hosszú távú forrásokon belül milyen arányt képviseljen az idegen tőkés, azaz hitel alapú finanszírozás, és mekkora legyen a saját tőkés finanszírozás aránya. Az idegen tőke – saját tőke arányt tőkeáttételnek nevezzük. A tőkeáttétel nagysága hatással van a vállalat gazdálkodására is.

Egyértelmű és minden helyzetben használható válasz természetesen ebben az esetben sem adható, sok kérdést kell ugyanis megválaszolni, mielőtt erre is megtalálnánk a választ. A kérdés azonban az eszköz és forrásoldal közötti összhang megteremtése. A kérdést, azt idegen tőke saját tőke arány problémáját is az eszközoldallal összekapcsolva vizsgáljuk.

A csődkockázat és az eszközök

Csőd és a vállalat bukása esetén a hitelezők kedvezőbb helyzetben vannak, mint a tulajdonosok, hiszen ha a cég végképp felszámolásra kerül, akkor előbb az ő követeléseik kerülnek kifizetésre.35 A részvényes csak a maradékból részesedhet, ha marad egyáltalán valami a számukra. Emiatt a hitelezők által elvárt hozam – mivel kisebb a kockázat – kisebb lesz, mint a részvényesek által elvárt. Ha ebből a szempontból vizsgáljuk a kérdést, a hitel olcsóbb forrás, tehát érdemes a hosszú forrásokon belül a hitelek arányát növelni.

A túlzott hitel azonban nagyon megterhelheti a vállalatot: az állandó és jelentős kamatteher ellehetetleníti a működést. Minél nagyobb a csőd veszélye, annál kockázatosabb a bankok számára a cég hitelezése, így annál magasabb kamatot követelnek a hitelekért cserébe. Magyarul hiába olcsóbb forrás a hitel, mint a részvény, a túlzott hitelfelvétel biztosan csődhöz vezet.

A csőd minden ágazat esetén más és más kockázattal jár. Azoknál a cégeknél, ahol a piac biztos és magas a befektetett eszközök aránya, van mire terhelni a hitelt. A bankok kevésbé idegesek, a kamatszint kezelhető szinten marad. Ezekben az iparágakban, az átlagos hitelállomány is magasabb lehet. Ilyen például a nehézipar. Más ágazatokban az érték a jó hírnéven, a kollégák szaktudásán alapul. Ezekben az estekben csőd esetén az egész vállalat értéke odaveszhet. Ezért az ilyen vállalatok nagyobb arányú hitelfelvételét a bankok is csak vonakodva, magasabb kamatok mellett fogadják el. Ebbe a kategóriába tartoznak például a szolgáltató vállalatok, a szoftveripar, vagy a bankszektor.36

35 A csőd és a felszámolás nem szinonim fogalmak. A csőd csak fizetési moratóriumot, és a hitelezőkkel történő megegyezést jelent. A csőd nem feltétlenül jár együtt a cég felszámolásával (ld. MIZO), csak azt, hogy a hitelezők, illetve a csődbiztos átveszik a hatalmat a cég felett.

36 Bár nem termelő vállalat, a Postabank sztoriját Magyarországon mindenki ismeri. Mikor elterjedt, hogy a bank gondokkal küzd, a hitelezők, azaz a betétesek, azonnal elkezdték kivenni a bankból a pénzüket. A Postabank legnagyobb értéke ugyanis a hírneve volt.

A beruházás és a finanszírozás rugalmassága

Hitelhez – hacsak nem áll nagyon rosszul a szénája – minden vállalat könnyen hozzájuthat. Saját tőkét szerezni, azaz részvényt kibocsátani viszont jóval bonyolultabb. Egyrészt jogilag is nehézkes, másrészt a befektetőket is meg kell győzni arról, hogy érdemes társulni vállalkozásunkhoz. Harmadrészt sokszor a korábbi tulajdonosok sem szívesen engednek be újabb tőkéstársat, hiszen ezáltal az ő részesedésük és így befolyásuk csökken. Minél jobban megy a vállalat, annál kevésbé akarják átadni az irányítás egy részét.

Azok a vállalatok, amelyeknek magas a saját tőkéjük, azaz a tőkeáttételük kevesebb, könnyebb helyzetben vannak. Az ő finanszírozási szerkezetük rugalmasabb. Az eszközoldallal összekapcsolva ez annyit jelent, hogy egy vállalat, ha nagy beruházásra készül, bátrabban tervezhet, a tőkekorlát kisebb akadály lesz számára.

A vezetésnek tehát egyrészt a lejárati idő, illetve az élettartam kérdésének, másrészt a tőkeáttétel kérdésének tisztázásával kell meghatároznia a kívánatos idegen tőke – saját tőke, illetve rövid forrás – hosszú forrás arányokat. Ennek alapja minden esetben a cég beruházási terve kell, hogy legyen. Ez lesz az alapja a cég által elkészített pénzügyi tervnek, ami a finanszírozási formákat és azok arányait rögzíti.

A félév hátralévő részében – a lehetséges finanszírozási formák tisztázása után – a beruházási politika kérdését tárgyaljuk. Eddig bemutattuk azokat az eszközöket, amelyeket a vezetés felhasználhat a cég finanszírozására, most azokat a módszereket vesszük számba, amellyel a beruházási politika megtervezhető, a beruházási terv elkészíthető.

13-14. Saját tőkés finanszírozás

Részvények pénzáramlása és árazása

Korábban megtanultuk, hogy a részvénytársaságok tulajdonosai tulajdonjogukat részvény(ek) birtoklásával igazolják. A részvény értékpapír. A részvényesek osztalékra jogosultak, és a vállalat közgyűlésén szavazhatnak. A következőkben azt vizsgáljuk meg, hogy mi határozza meg a részvények piaci árfolyamát. Ugyanazt az elvet kell követnünk, mint korábban: a részvények éppúgy, mint más egyéb eszközök, pénzáramlást generálnak. Ehhez a pénzáramláshoz tartozik valamiféle elvárt hozam. A kettő ismeretében diszkontálással egyértelműen meg tudjuk mondani, hogy mennyit ér a részvény.

A részvények pénzáramlása két forrásból származhat: egyrészt az osztalékok sorozatából, másrészt pedig abból, hogy a tulajdonos valamelyik jövőbeli időpontban a részvényt eladhatja, így a részvényért kapott pénzösszeg is pénzbeáramlást jelent. Figyelemmel kell lennünk arra a tényre, hogy a részvények osztalékfizetése nem feltétlenül jelentkezik szabályos időközönként és az osztalékok nem valamilyen szabály szerint képződnek, ezen kívül a részvényeknek nincs lejárata. Míg korábban például egy kamatszelvényes kötvénynél meghatározott volt, hogy mikor és mennyi kamatot fizet, illetve mikor és mennyit törleszt, és mikor jár le, addig ezt egy részvényről nem mondhatjuk el.

A részvények osztalékfizetése a vállalat működésére és a vállalat vezetőségének a döntésére vezethető vissza. Az osztalék alapvetően a vállalat nyereségéből származik. Több fajtájáról is szoktunk beszélni: a részvénytársaságok általában adott rend szerint fizetnek osztalékot, és törekszenek arra, hogy az egymás követő kifizetések nagysága ne nagyon térjen el egymástól. Ugyanakkor előfordulhat rendkívüli osztalékfizetés is, amiről akkor beszélünk, ha a kifizetés nem ismétlődik később. A kamat- és adófizetés utáni nyereség teljes egészében a vállalat tulajdonosaié – azaz a részvényeseké – de ezt nem föltétlenül kapják meg teljes egészében osztalékként. A menedzsment dönthet úgy, hogy a nyereség egy részével vagy akár egészével a vállalat működését finanszírozza. Meg fogjuk mutatni, hogy ennek a döntésnek mi a pénzügyi alapja.

A továbbiakban tekintsünk egy részvénytulajdonost, aki egy vállalatnak egyetlen részvényét birtokolja. Vezessük be a következő jelöléséket:

DIVt – a t-edik időpontban járó osztalék37

Pt – a részvény árfolyama a t-edik időpontban, ennyiért cserél gazdát a részvény a piacon. Az egyszerűség kedvéért a részvény mai árfolyamát P0 helyett P-vel jelöljük.

r – a részvénytől, mint befektetéstől elvárt hozam, amit a diszkontáláshoz használunk

A részvény tulajdonosáról föltételezzük, hogy előre tudja, hogy milyen pénzáramlásokra számíthat.

Piszkos Fred, a Patyolat Rt. részvényese, még három évig akarja a papírt tartani, és akkor eladja várhatóan 1200 Forintért. Az osztalékok a következő három évben rendre 110, 130, 90 Forint. Tervei szerint a harmadik évi osztalékot még fölveszi, csak utána adja el a részvényt. Így Fred a következő pénzáramlásra számít:

37 A dividend szó angolul osztalékot jelent.

Év 1 2 3Pénzáramlás 110 130 90+1200

Így a bevezetett jelölésekkel:DIV1 = 110 ForintDIV2 = 130 ForintDIV3 = 90 Forint és P3=1200 Forint

Amennyiben a részvénytől elvárt hozam – azaz a hasonló kockázatú befektetésektől elvárt hozam – 19%, úgy egyértelműen meg tudjuk mondani mekkora a részvény mai árfolyama:

Forint

Általában ilyen módon tudunk részvényt árazni: a jövőbeli osztalékok, piaci árfolyam és elvárt hozam ismeretében. A következőkben ennek alapján vezetjük le a részvény elméleti árfolyamát.

Tegyük fel, hogy a részvény tulajdonosa az első évi osztalékot felveszi, aztán a részvényt eladja, ekkor a részvény mai árfolyama:

Tegyük fel, hogy az, aki a részvényt 1 év múlva megveszi, azt szintén 1 évig akarja tartani, akkor fölveszi az osztalékot, majd eladja a papírt. Természetesen a vásárlás előtt tudja, hogy milyen osztalékra és későbbi eladási árfolyamra számíthat: DIV2-re és P2-re. Ekkor:

Az első évi árfolyamra, azaz P1-re kapott összefüggést visszaírhatjuk a P-re kapott összefüggésbe:

No de a második évi árfolyamot a harmadik évi osztalék és harmadik évi árfolyam ismeretében a fentiekhez hasonlóan le tudjuk vezetni:

Ezt az összefüggést pedig be tudjuk helyettesíteni a fönti képletbe:

Az helyettesítés tovább folytatható, látható, hogy végül a részvény mai árfolyamára a következő

összefüggést kapjuk, ha egyre inkább előre megyünk az időben:

Mint a bevezetőben jeleztük, a részvénynek nincs lejárata. E mögött az az egyszerűsítő föltételezés húzódik meg, hogy a vállalat az idők végezetéig folytatni tudja tevékenységét. A fenti képletben ez úgy jelenik meg, hogy n-nel, azaz a legutolsó osztalékfizetés és részvény adásvétel dátumával a végtelenbe tarthatunk. Amennyiben nem feltételezzük, hogy a vállalat értéke a végtelenbe tart38, úgy a legutóbbi képletben az utolsó tagot elhagyhatjuk, hiszen az nullává válik, mivel (1+r)n nevező végtelen nagyságú lesz.

Így a részvény árfolyamát a következő képlettel határozhatjuk meg:

Vegyük észre azt az összefüggést is, hogyha nem a részvény mai, hanem T-edik évi árfolyamára vagyunk kíváncsiak, akkor is éppen ezzel a képlettel kell dolgoznunk, csak arra kell figyelni, hogy az indexeket és a kitevőket megfelelően használjuk:

Látható, hogy annyi a különbség, hogy az összegzést, most (T+1)-től indítottuk.

Ez az összefüggés viszont pont arra hívja fel a figyelmet, hogy részvényárazásnál mindenképpen tisztában kell lennünk a jövőbeli osztalékok teljes sorozatával.

Fred amikor a harmadik évi részvényeladást figyelembe véve árazza értékpapírját, akkor a harmadik évi árfolyamot csak úgy ismerheti, hogy vagy ő vagy pedig valamelyik másik információ-tulajdonos tisztában van a harmadik évet követő osztalékok sorozatával, hiszen P3 csak így lehet adott.

Kizárt, hogy bárki tisztában legyen akármelyik vállalat idők végezetéig tartó osztalékfizetéseinek sorozatával. Ebből viszont egyértelműen az következik, hogy a részvényárfolyamra kapott képlet a gyakorlatban csak egyszerűsítő föltevések alkalmazásával lesz használható. A feltevések általában az osztalékok egymáshoz való viszonyára vonatkoznak.

5. Amennyiben föltesszük, hogy a vállalat minden évben ugyanannyi osztalékot fizet, úgy az osztalékfizetések sorozata örökjáradékot fog alkotni:

Év 1 2 … t t+1 …Osztalék DIV DIV … DIV DIV …

Ekkor az örökjáradék árazásának ismeretében a részvény árfolyama:38 Ha bárminek is a pénzértéke a végtelenbe tarthatna, úgy a tulajdonos mindent fölvásárolna, és kipusztulna az

emberiség.

6. Amennyiben föltesszük, hogy ismerjük az első évi osztalékot, és tudjuk, hogy ezután az osztalékok nagysága évről évre azonos g ütemben fog növekedni, úgy az osztalékfizetések sorozata növekvő tagú örökjáradékot fog alkotni:

Év 1 2 3 … T …Osztalék DIV DIV×(1+g) DIV×(1+g)2 … DIV×(1+g)t-1 …

Ekkor a növekvő tagú örökjáradék árazásának ismeretében a részvény árfolyama:

Vegyük észre, hogy az (a) pont ennek az a speciális esete, amikor nem tételezünk föl növekedést, azaz g=0%.

7. Talán a legésszerűbb, ha föltesszük, hogy a részvénytől elvárható osztalékokat egy bizonyos időpontig pontosan ismerjük, ettől az időponttól kezdve pedig tudni véljük, hogy milyen várható g ütemben fognak az osztalékok növekedni. Ebben az esetben a pénzáramlás a következő:

Év 1 2 … T T+1 T+2 …Osztalék DIV1 DIV2 … DIVT DIVT×(1+g) DIVT×(1+g)2 …

Ekkor a T-edik időponttól kezdve egy növekvő tagú örökjáradékunk van, így a részvény árfolyama:

azaz

Mekk Mester a Fel a Fejjel Káposztatermesztő Rt. részvényét akarja megvásárolni. Mivel nem lát tovább a szarvánál, befektetési tanácsot kér. Három különböző információt kap a részvény jövőbeli osztalékfizetésével kapcsolatban. 19. Az egy év múlva esedékes osztalék 120 Forint lesz, és ezt az osztalékot a vállalat ezután is

minden évben ki fogja fizetni20. Az egy év múlva esedékes osztalék 90 Forint lesz, ezután minden évben 6 százalékkal növekedni

fog.21. Az első évben az osztalék 74, a másodikban 98, a harmadikban 110 lesz, ezután az osztalék

minden évben 5 százalékkal fog növekedni.

A részvénytől elvárt hozam 24%. Mekkora a különböző esetekben a részvény árfolyama?

12. Az osztalékok örökjáradékot alkotnak. Így a részvényárfolyam:

Forint

13. Itt az osztalékok növekvő tagú örökjáradékot alkotnak. Így a részvényárfolyam:

Forint

14. Ebben az esetben az osztalékok a harmadik évtől kezdve alkotnak növekvő tagú örökjáradékot, így a pénzáramlás a következő:

Év 1 2 3 4 5 …Osztalék 74 98 110 110×1,05 110×1,052 …

Azaz:DIV1 = 74 ForintDIV2 = 98 ForintDIV3 = 110 ForintDIV4 = DIV3 × (1+g) = 110 × 1,05 Forint DIV5 = DIV3 × (1+g)2 = 110 × 1,052Forint....DIVt = DIV3 × (1+g)t-3 = 110 × 1,05t-3 Forint

Így a részvényárfolyam:

= 499,94 Forint

(Emlékezzünk rá, hogy miképp áraztuk a T-edik évben kezdődő növekvő tagú örökjáradékot, és

világos lesz a fenti levezetésben az tag jelentése!!)

Látható, hogy Mekk Mester bármelyik javaslat szerint árazza is be a Káposzta részvényt, ugyanannyit kell adjon érte.

Tételezzük fel, hogy az összes elérhető tanácsadó információjából azt szűrjük le, hogy a Káposzta részvény 500 Forintot ér. A részvénypiacon viszont a részvényt éppen 480 Forintért adják és veszik. A tanácsadók információi eljutnak a piaci szereplőkhöz. Ők pedig a következőképpen gondolkodnak: a bölcsek szerint ez a részvény 500-at ér. Ezt mindenki tudja. Ezért előbb utóbb – de

inkább előbb – ezen az árfolyamon fognak ezzel a részvénnyel kereskedni. Akkor legjobban teszem, ha most azonnal veszek 480-ért, mert azt hamarosan 500-ért fogom tudni eladni. Ha mindenki így gondolja, akkor nagyon megnő a kereslet a Káposzta részvény iránt. Azt pedig nagyon jól tudjuk, hogy a növekvő keresletnek, ha a kínálat nem tudja követni – és most éppen ez a helyzet – árfelhajtó hatása van. A Káposzta részvény ára emelkedni kezd. Meddig emelkedik? Amíg az 500 Forintos elméleti árfolyamot el nem éri. Innentől kezdve csak a részvény szokásos forgalmára számíthatunk, hiszen már nem lesz senki, aki a fenti módon gondolkodik: megszűnt a piaci és az elméleti árfolyam eltérése.

Tanulság: ha az összes releváns és elérhető információ alapján megalkotott elméleti árfolyam eltér az éppen aktuális piaci árfolyamtól, akkor ez a piaci szereplőket adásra illetve vételre serkenti. A megváltozott kereslet és kínálat elvezet a két árfolyam kiegyenlítődéséhez. Így működnek a piacok.

Amikor a piaci árfolyam alacsonyabb az elméleti árfolyamnál, akkor azt mondjuk, hogy a részvény alulárazott. Amikor a piaci árfolyam magasabb az elméleti árfolyamnál, akkor azt mondjuk, hogy a részvény túlárazott. Azonban az elméleti árfolyam feltevéseken alapul, így a piaci ár nem azonnal és nem feltétlenül igazodik ehhez. Előfordulhat, hogy egyszerre több elméleti árfolyam is létezik – mert más-más modellt és adatokat, illetve más-más föltételezéseket használtak az elemzéshez. Idő kell, míg kiderül, hogy melyik árfolyam az igazi: azt is mondhatjuk, amíg a piac eldönti a kérdést. Addig azonban a részvényárfolyam nagy vargabetűket írhat le.

Egy vállalatra pénzügyi szempontból egyrészt úgy tekintünk, mint projektek összességére, másrészt pedig úgy, mint azoknak a forrásoknak az összességére, amelyek a projekteket finanszírozzák. Egy projekt lejárata általában véges: ha ugyanazt a tevékenységet is folytatja a vállalat hosszú éveken keresztül, akkor is szüksége lesz rá, hogy eszközállományát, a gépeket, az ingatlanokat előbb vagy utóbb megújítsa. Másrészt a vállalatok új projekteket indítanak, ezeket is finanszírozni kell valamiből. Harmadrészt a vállalatok kiterjeszthetik, megnövelhetik már meglévő tevékenységüket, azért például, mert új piacok megszerzésére törekszenek. Megtanultuk korábban, hogy a vállalatok üzletpolitikai szempontból sokszor a belső forrásból történő finanszírozáshoz ragaszkodnak. Mit jelent ez? A megtermelt nyereséget visszaforgatják a vállalatba, ez jelenti a finanszírozás forrását.

Azt is tudjuk, hogy az eszköz- vagy projektvásárlásnak negatív, nulla vagy pozitív nettó jelenértéke lehet. Ha a vállalat olyan projekteket finanszíroz visszaforgatott nyereségéből, amelyek nettó jelenértéke pozitív, akkor a vállalat értéke növekedni fog. Ugyanakkor előfordulhat az is, hogy a vállalat olyan üzletbe vág bele, amelynek a nettó jelenértéke negatív. Ekkor a vállalat értéke csökkeni fog.

Azt is nagyon jól tudjuk már, hogy a kifizetett osztalékok forrása is a vállalat nyeresége. Ha most a fenti megjegyzéseket összekapcsoljuk ezzel, illetve avval a tudással, amit a részvények árfolyamának meghatározásánál szereztünk, akkor látni fogjuk, hogy az árazásnál használt növekedési modellek növekedési üteme abból származik, hogy a vállalat nyereséget forgat vissza tevékenységébe, és abból különféle projekteket valósít meg.

Tekintsünk egy olyan vállalatot, amelyik egy év múlva DIV1 nagyságú osztalékot ígér, és ezt utána g ütemmel növeli. Ekkor részvényének árfolyama:

Jelöljük a vállalat egy részvényre jutó nyereségét EPS-el, ennek t-edik időpontbeli értékét pedig

EPSt-vel. Tegyük fel, hogy a vállalat minden időszakban a nyereségének ugyanakkora hányadát fizeti ki osztalékként. Ekkor definiálhatunk egy szorzószámot, amelyet osztalék-kifizetési aránynak nevezzük. Ennek jele dp.39 Ekkor a t-edik időpontbeli osztalék nagysága:

DIVt = dp × EPSt

Amennyiben a vállalat minden nyereségét osztalékként kifizeti, úgy dp = 1. Amennyiben a vállalat az összes nyereségét visszaforgatja, úgy dp = 0.

Nyilvánvaló, hogy az éves nyereség saját tevékenységbe visszaforgatott nagysága:

(1-dp) × EPSt, ahol az (1-dp) szorzószámot újra-befektetési aránynak nevezzük.

Így a fönti, részvényárfolyamra vonatkozó képletet a következőképpen írhatjuk át:

Ha az összes nyereségét kifizetné osztalékként, akkor a részvény árfolyama lenne,

hiszen ekkor a vállalat nem valósítana meg új projekteket, így nem is növekedne. Ez utóbbi árfolyamot növekedésmentes politika melletti részvényárfolyamnak nevezzük. Ha föltételezzük, hogy adott, hogy milyen beruházásokat valósíthat meg a vállalat a jövőben, akkor tudhatjuk azt is, hogy ezek a lehetőségek mennyivel járulnának hozzá a vállalat értéhez. Ha vállalat ezeknek a lehetőségeknek mentén folytatja üzletpolitikáját, akkor ebből származtatható a g növekedési ütem, és ez alapján a fenti részvényárfolyam.

A kétféle árfolyam közötti különbséget az elmondottak alapján a növekedési lehetőségek jelenértékének nevezzük, és PVGO-val jelöljük.40 Azaz:

41

És persze a részvényárfolyamot is felírhatjuk a következő formában:

Ne tévesszen meg senkit, hogy növekedési lehetőségekről beszélünk! Mivel a lehetőségek akár negatív nettó jelenértékű projekteket is jelenthetnek, így a PVGO negatív is lehet és természetesen nulla is. Nézzük csak meg jól a PVGO-t kifejező képletet: mivel a nevező mindenképpen pozitív, a nyereséget meg pozitívnak tekintjük, így a számlálóban a zárójelben lévő kifejezés előjele dönti el azt, hogy milyen előjelű a PVGO. Könnyen látható, hogy:Amennyiben

39 A rövidítések itt is az angol nyelvből származnak:EPS – earning per stock : egy részvényre jutó nyereségdp – dividend payment: osztalék-kifizetés

40 PVGO – Present Value of Growth Opportunities: a növekedési lehetőségek jelenértéke41 A fenti rémisztő képlet a megértést segíti, megtanulni nem kell!

r * (1 - dp) = g, úgy PVGO = 0

r * (1 - dp) < g, úgy PVGO > 0

r * (1 – dp) > g, úgy PVGO < 0

Definiáljuk a következő, sajáttőke-arányos nyereségnek nevezett mutatószámot42:

Az elnevezés jogos: ha a vállalatnak N db részvénye van a piacon, akkor az összes részvény értéke, azaz a sajáttőke értéke t időpontban N*Pt, az összes nyereség pedig N*EPSt, így a kettő aránya éppen ROEt.

A ROE, ha jól meggondoljuk, azt fejezi ki, hogy adott időszakbeli tőkéből, mint beruházásból mekkora hozamra számíthatunk. Tegyük föl, hogy ez a mutatószám adott: ha a t-edik időszakban adott volt ROEt, és ez alapján meghatározódott a vállalat nyeresége, akkor így meg tudjuk mondani, hogy a nyereségből visszaforgatott pénznek – ami ugyebár a sajáttőkéhez adódik hozzá – a következő időszakra mekkora hozama lesz a ROE alapján.

Nézzük részletesen:

Adott a részvény, ennek értéke Pt. Adott a sajáttőke-arányos nyereség, azaz ROE, így a nyereség a t-edik időszakban EPSt = Pt * ROE lesz. Tudjuk továbbá, hogy a vállalat a tevékenységébe visszaforgat (1-dp) * EPSt nagyságot. Ez a nagyság mind számvitelileg, mind pénzügyileg hozzáadódik a vállalat sajáttőkéjéhez.

Amennyiben föltételezzük, hogy ROE adott (nem változik), akkor tudjuk, hogy a visszaforgatott nyereségből a következő időszakban ROE * (1-dp) * EPSt nagyságú további nyereség képződik. Így a (t+1)-edik időszakban az összes nyereség:

Node tudjuk, hogy:

így az utóbbi két egyenletből:

És most emlékezzünk arra, amit a növekedési lehetőségek előjeléről mondtunk: ha összevetjük az ott kapott eredményeket a növekedési ütemre kapottal, akkor azonnal látszik, hogy amennyiben:

r = ROE, úgy PVGO = 0

42 ROE – Return on Equity: sajáttőke-arányos nyereség

r < ROE, úgy PVGO > 0

r > ROE, úgy PVGO < 0

Amennyiben ROE adott és ismert, úgy a vállalatvezetés a fentiek értelmében az osztalék-kifizetési illetve újra-befektetési hányad meghatározásával meghatározza a növekedési ütemet. A fenti eredményekből az következik, hogy csak abban az esetben érdemes a tevékenységbe visszaforgatni, amikor a tőke alternatíva költsége alatta marad a sajáttőke-arányos nyereségnek. Ez ugyanis éppen azt jelenti, hogy a vállalaton belül jobban növekszik a pénz, mint a vállalaton kívül a részvényeseknél, így lesz a növekedési lehetőségek jelenértéke pozitív. Azt is mondjuk a fentiek alapján, hogy a levezetett g fenntartható növekedési ütemet jelent.

A Matuska Szilveszter Biztonságtechnikai és Hídverő Rt. sajáttőke-arányos nyeresége (ROE) 15%. Megtermelt nyereségének 40%-át fizeti ki osztalékként. A következő év várható nyeresége 250 Forint. 1. Mekkora a részvény árfolyama, ha az idei osztalékot már kifizették?2. Mekkora a részvényárfolyamban a növekedési lehetőségek jelenértéke?Tegyük fel, hogy a sajáttőke-arányos nyereség és az osztalékfizetési arány nem változik. A részvénytől elvárt hozam évi 20%Írjuk fel először az ismert adatokat:ROE = 15%dp = 40%EPS1 = 250 Forintr = 20%

Ekkor a növekedési ütem:g = (1 – dp) * ROE = (1 – 0,4) * 0,15 = 0,09 azaz 9%

Így az osztalék 1 év múlva:

DIV1 = EPS1 * dp = 250 * 0,4 = 100 Forint

A részvénybirtoklás, tudjuk, hogy ebben az esetben növekvő tagú örökjáradékot generál. Így a részvény árfolyama:

Forint

Tudjuk, hogy a részvényárfolyam előáll a következő alakban is:

Behelyettesítve:

Amiből PVGO = -340,91 Forint

Tulajdonképpen számíthattunk erre az eredményre, hiszen r = 20% > ROE = 15%, azaz a nyereség visszaforgatása a vállalat működésébe értékrombolást jelent!

A mutatószám alapú értékelés

A részvények, illetve vállalatok értékének meghatározása során azonban nem csak az osztalékdiszkontálás módszerét szokták használni. Ugyancsak elterjedt, az ún. mutatószám alapú értékelés módszere, illetve gyakran ezekre alapozva hoznak befektetési döntéseket.A részvényekről szóló tudósításokban – mondjuk újságok gazdasági mellékleteiben, vagy gazdasági újságok pénzügyi mellékleteiben, vagy pénzügyi újságok részvénypiacról szóló mellékleteiben stb. – többféle mutatószámmal találkozunk, amelyek a részvényről, illetve a társaságról hivatottak többet elárulni. Ilyen mutatók származtathatóak számviteli és piaci adatokból is. A fent tárgyalt sajáttőke-arányos nyereség is ilyen mutató: vételi jelzés lehet, ha az adott papír sajáttőke-arányos nyeresége az iparági átlagnál magasabb, ráadásul növekvő tendenciát mutat. Közkedvelt mutató az úgynevezett P/E ráta is, ami nem más, mint a részvényárfolyam és az egy részvényre jutó nyereség hányadosa. Azaz ebben a mutatóban az E betű az általunk már jól ismert EPS-t jelenti. A P/E mutató lényegében azt jelzi, hogy mikor megvesszük a részvényt, hány év nyereségét fizetjük ki érte előre (feltéve, hogy a nyereség a jövőben nem nő). Az árazás menete egyszerű: vegyük a hasonló iparágban tevékenykedő, ezért hasonló piaci helyzettel szembesülő cégek P/E értékét, és szorozzuk ezt meg az általunk vizsgált cég EPS értékével. Ha a két cég P/E mutatója azonos kell, hogy legyen, akkor ebből egy, a vizsgált cégre vonatkozó P érték adódik.Ez az alkalmazás ritkább. Gyakoribb, hogy a hasonló iparágban működő vállalatok értékeivel vetik össze a kérdéses cég P/E értékét. Ehhez persze feltétel, hogy a vizsgált cég részvényének piaci árfolyama (P) is ismert legyen. Ha a cég P/E mutatója az iparági átlag alatt van, az vételi jelzés lehet, ha lényegesen magasabb annál, az a túlértékeltség jele lehet.Önmagában persze egy mutató nem ér semmit. A mutatószámok módszerét ezért inkább kiegészítésként, illetve a gyors fejszámolást segítő, afféle hüvelykujj szabályként szoktuk használni. De érdemes egy kicsit a mutató mögé is nézni.43

Ha a P/E rátánál maradunk, akkor tekintve, hogy , a P/E értékére

adódik. A mutató magas vagy alacsony értéke több lehetséges összetevőre

vezethető vissza. Magas lehet például akkor, ha magas a PVGO és akkor is, ha alacsony a tőke alternatíva költsége. Ugyanakkor a magas P/E ráta lehet, hogy az alacsony nyereséget jelzi.Persze a magas és alacsony kifejezések relatívak. Azaz a mutatószámokon alapuló értékelésnél – ahogyan az a fenti példák alapján egyértelmű – kell egy referencia csoport, amihez a kérdéses cég P/E értékei viszonyíthatóak. Ezt a csoportot vagy az adott mutatónak a cég korábbi években tapasztalt értékei jelentik, vagy az azonos iparágban tevékenykedő vállalatok mutatószámainak ugyanazon időszaki értékei.

A cash flow diszkontáláson és a mutatószámokon alapuló módszer által használt üzleti mutatók (EPS, DIV, ROE, stb.) természetesen időben változhatnak. Ez a vállalat mindennapi működésében nem feltétlenül jelent problémát, de a befektetők gyakran így gondolhatják. Ők ugyanis a cégről, annak éppen aktuális helyzetéről éppen ezeken a mutatókon keresztül értesülhetnek, ezekből vonhatnak le következtetéseket, illetve az általuk tett feltételezések ezek alapján változhatnak.Figyelem! Mi korábban feltettük, hogy ezek a mutatók nem változnak, a nyereség például stabil, évi

43 Sajnos erről sokan elfeledkeznek, emiatt a mutatót és annak jelentését túlértékelik.

állandó ütemben növekszik az idők végezetéig. Ezt azért tettük föl, hogy a részvényárazás alapvető modelljeit vázolni tudjuk, és rámutassunk néhány alapösszefüggésre, ami a részvényárfolyamot és a vállalati üzletpolitikát összekapcsolja. A gyakorlatban elegendő – és nem is túl hosszú – idő alatt (meg)változnak a dolgok. A gyakorlatban nincs olyan vállalat, amelyik örökké él, vagy amelyik azonos ütemben növeli az osztalékfizetését hosszú éveken keresztül.

Elkeseredünk? Dehogy. Nem vagyunk egyedül azzal, hogy nem tudunk pontosan részvényt árazni. Mindenki így van vele. Másrészt igencsak sokan áraznak részvényt, ráadásul a különféle számítások hatnak egymásra. Gondoljunk csak Mekk Mester esetére a befektetési tanácsadókkal. Nem hisszük, hogy véletlenül kapott három különböző helyről olyan adatokat, amelyek mindegyikével ugyanazt a részvényárfolyamot hozta ki. Az, hogy sokan becsülgetik a piacot éppen azt eredményezi, hogy az stabil marad. A befektetőket nem lehet megvezetni csillagos eget ígérő hozamokkal vagy hihetetlen növekedési előrejelzésekkel. Ezt nagyon jól tudjuk. A piacok persze elszállhatnak – láttunk már ilyet – de viszonylagos nyugalmukat talán éppen a sok apró tudásnak, a sok elemző munkájának köszönhetik.

15. A fenntartható növekedés modellje

Megtanultuk, hogy a részvények árfolyam-számítási modelljeiben szereplő g növekedési ütem illetve a növekedési lehetőségek jelenértéke abból származik, hogy a vállalat beruházásokat hajt végre, és ezeknek a beruházásoknak pozitív, nulla illetve negatív nettó jelenértéke lehet. A tárgyalt árazási eljárásokban azt mondtuk, hogy a vállalat megtermelt nyereségének egy részét forgatja vissza tevékenységébe, és ebből finanszírozza a növekedést. Tudjuk azonban azt is – mivel korábban volt róla már szó –, hogy egy részvénytársaság nem csak belső, hanem külső forrásokat is kereshet működésének finanszírozásához.

Emlékeztetőül: külső finanszírozási forrásnak számít a hitelfelvétel és a tőkebevonás új részvények kibocsátásával. Tudjuk, hogy a vállalat attól függően, hogy életciklusának melyik szakaszában van éppen, dönt egyik vagy másik forrás mellett. Az is ismert, hogy a belső finanszírozás során a vállalatról nem kell a külvilág felé plusz információt elárulni, míg külső finanszírozás esetén ez kötelességként jelentkezik. Ez alapján mondtuk azt, hogy a vállalatvezetés ha csak teheti, belső források felé fordul.

A részvényárazási modellek tárgyalásakor azt mondtuk, hogy a menedzsmentnek el kell döntenie azt, hogy a nyereségből mennyi osztalékot fizet, és mennyi pénzt forgat vissza a működésbe, azaz meg kell határoznia a dp osztalék-kifizetési hányadot. Abban az esetben, ha a vállalat által beindított projektek sajáttőke-arányos nyeresége az elvárt hozamnál nagyobb (ROE>r), akkor a vállalat akkor jár el a részvényesek érdekében, ha minél többet ruház be. A növekedés tehát ebben az esetben értéket teremt, a részvényesek örülni fognak neki. Természetesen abban az esetben, ha a helyzet fordítottja igaz, a növekedés veszélyes, értéket rombol.A vállalat növekedésének vizsgálata esetén tehát az az első kérdés, hogy az értéket teremt, vagy sem. Ha a társaság az osztalékot annak érdekében fogja vissza, hogy értékes beruházásokat valósítson meg, a piac értékelni fogja ezt a döntését. Ha azonban azt látják, hogy értelmetlen befektetésekre pazarolja a megtermelt nyereséget, a részvényárfolyam esni fog.44

Azt a növekedési ütemet, amelyet a vállalat akkor érhet el, ha minden belső forrását új beruházásokba fekteti, belső növekedési ütemnek nevezzük.

Ilyenkor dp=1, azaz g=ROE. Ebben az esetben sajnos a korábban megismert képletek nem használhatóak, hiszen a fenti adatokból negatív részvényárfolyam következne, mert ROE=g>r adódna. A képlet azért nem működik, mert a képlet azt tételezi fel, hogy a növekedés örökké tartható. Emlékezzünk vissza arra, hogy említettük, hogy ilyen helyzet nem fordulhat elő, a cég növekedési üteme a tőle elvárt hozamot csak egy ideig haladhatja meg. Ezért az ilyen estekben a vizsgált időszakot –ahogyan arról az előző órákon szó volt – több szakaszra bontjuk.

Lehet ennél gyorsabb növekedést elérni? Természetesen lehet, növekedési pálya végtelen sok van, de ekkor már külső forrás kell. A leggyorsabban megszerezhető külső forrás a hitel. Ne felejtsük, hogy a hitelfelvétel nettó jelenértéke nulla, azaz érték csak akkor teremtődik, ha a hitelt hasznos célra fordítjuk. Persze a külső forrás lehet részvénykibocsátás is. Ha elfogadjuk azt a feltevést, hogy a piacon nemcsak a részvénytársaság dolgozói tudnak részvényt árazni, akkor valószínűleg a részvénykibocsátás is csak olyan áron valósulhat meg, ami a részvény valós értékét tükrözi. Azaz a részvénykibocsátás nettó jelenértéke sem lehet nullától különböző.

Pozitív hatása a külső forrásnak is csak akkor lesz, ha jó projekteket valósítunk meg belőle. Más

44 Így például a piac Magyarországon jó hírként fogadta az OTP növekedését, és a részvényárfolyam annak ellenére sem zuhant, hogy a társaság az osztalék visszafogását jelentette be.

szóval az értéknek a beruházási és nem a finanszírozási döntésekből kell származnia. Azaz ebben az esetben ugyanaz igaz, mint a nyereség visszaforgatás esetén: csak akkor növekedjünk, ha ez értéket teremt.

Kezdjük a külső forrásból finanszírozott növekedés vizsgálatát a hitelekkel. A hitel igénybe vétele ugyan gyorsan megvalósítható, azonban a tőkeáttétel túlzott növekedését sem a korábbi hitelezők, sem a részvényesek nem nézik jó szemmel. De mekkora hitelállomány az elfogadható? Ez természetesen gazdaságonként és ágazatonként, de gyakran még cégek szerint is változik. A részben hitellel finanszírozott növekedési ütemek közül azonban kiemelkedik az ún. fenntartható növekedési ütem. Erről akkor beszélünk, ha a cég olyan mértékben finanszírozza növekedését hitelből, hogy annak aránya a vállalat értékéhez képest nem változik, azaz az idegen tőke saját tőke arány állandó.

Növelhető efölé is a vállalat növekedési üteme? Elméleti korlát nincsen, azonban a túlzott eladósodás sok cég növekedésének, vagy akár egész életének végére tett pontot. Azaz felelős vállalatvezetőként mindig tudatában kell lenni, hogy milyen növekedési ütem mentén haladunk, és célszerű óvatosan bánni a szédítő tervekkel. Erre jó példát szolgáltatnak az ezredforduló gyakran hitelből erőltetetten növekvő távközlési cégei. Magyarul a növekedés és a vállalat gazdálkodása nem szakadhatnak el egymástól.

A gyakorlatban a kérdés gyakran még összetettebb formában vetődik fel. A cég úgy szeretne növekedni, hogy a vezetés nem akar lemondani az osztalékfizetésről sem. Ne felejtsük azonban, hogy az osztalék „pénz elszivárgás”, a növekedési lehetőségeket csökkenti. Adott tehát egyik oldalról a megtermelt pénzáramlás, és a megszerezhető külső források, másrészről a pénz elkölthető osztalékra és növekedésre. Tipikusan azok a cégek fizetnek gáláns osztalékot, amelyek növekedési lehetőségei korlátozottak. Ezek az ún. fejőstehenek (cash cow), az érett, stabil pénzáramlással rendelkező vállalatok. Ilyenek például a közüzemi cégek. Azok a cégek, amelyek gyorsan növekednek, inkább a nyereség visszaforgatásával finanszírozzák magukat. Ezek tipikusan feltörekvő, nagynövekedési lehetőséggel rendelkező cégek. Elvileg ők is fizethetnének nagy osztalékot, és újabb részvények kibocsátásával megőrizhetnék a növekedési lehetőségeket is. A részvénykibocsátás azonban drága és egy sor információt kell nyilvánosságra hozni. De ne feledkezzünk el a tulajdonosokat elrémisztő másik következményről: ha túl magas az új részvények kibocsátásának aránya, a tulajdonosi struktúra teljesen átalakulhat. Igaz ugyan, hogy osztalékra tettünk szert, de közben az ígéretes cég irányításának lehetősége kicsúszik a kezünkből. Megint oda jutunk, hogy „ingen ebédek nincsenek”, a pénzügyi piacokon mindennek megvan az ára.

És mi a konklúzió: egy részvénytársaságtól elvárt hozam, és a korábbi működés hosszú távú átlagából adódó sajáttőke arányos nyereség behatárolja a vállalat hosszú távon fenntartható növekedési ütemét. Ha ennél gyorsabban akarunk növekedni, annak ára van.

19. Projektek pénzáramlása I.

Eddig a pontig amikor pénzáramlásról beszéltünk, akkor többnyire kötvények (hitelek), részvények és más egyéb értékpapírok pénzáramlásait értettük alatta. Ezeket arra használtuk, hogy megállapítsuk az adott értékpapír értékét: a pénzáramlásokat az adott értékpapír kockázatát tükröző elvárt hozammal diszkontáltuk. Ezt neveztük DCF- (diszkontált cash flow) módszernek.

Lényegében ugyanezt az elvet kell alkalmaznunk akkor is, ha nem értékpapírok, hanem beruházási tervek (projektek) értékét akarjuk meghatározni. A „beruházási projekt” kifejezést tágan értelmezzük: ilyen projektnek fogjuk tekinteni azt, ha például a pékségünk szeretne a szomszéd városban is egy üzletet nyitni. De beruházási projekt az is, ha például a vállalat új terméket akar piacra dobni: ezt az új terméket ugyanis először meg kell tervezni, fel kell mérni a várható piaci fogadtatást, létre kell hozni a gyártási kapacitást, biztosítani kell a terjesztést stb. A beruházási projekt ebben az esetben magában foglal minden ilyen, az új termékkel kapcsolatos dolgot. Azután ilyen projektnek tekinthető egy másik vállalat felvásárlása is, és még sorolhatnánk a példákat. Ezek értékelésekor végső soron arra vagyunk kíváncsiak, hogy vajon megéri-e belevágni a projektbe: érdemes-e új üzletet nyitni, új terméket piacra dobni, felvásárolni a másik céget, és így tovább.

Az elmondottak alapján a vállalat mérlegének eszközoldalát tulajdonképpen tekinthetjük úgy, mint különböző beruházási projektek összességét. Amikor tehát megnézzük, hogy miként lehet a beruházási projektek értékét meghatározni, egyúttal azt is megtanuljuk, hogyan értékeljük a vállalat eszközeit. A vállalat értéke, azaz a vállalat eszközoldalának értéke így nem más, mint ezen beruházási projektek értékeinek összege.

Van azonban egy fontos különbség a kötvények vagy részvények, illetve a beruházási projektek pénzáramlásai között. A kötvények és részvények pénzáramlásait ugyanis többé-kevésbé adottnak feltételeztük (kötvények), vagy pedig néhány egyszerű szabály segítségével próbáltuk modellezni (részvények). A beruházási projektek pénzáramlásai azonban bonyolultak, nem lehet ilyen egyszerűen meghatározni őket. Ehelyett a rendelkezésünkre álló adatok és információk alapján meg kell becsülnünk a projekt várható bevételeit és kiadásait, illetve várható időtartamát.45 Ha ez megvan, akkor ezekből az adatokból már meg tudjuk határozni a projekt várható pénzáramlását, illetve várható nettó jelenértékét.46 A vállalati pénzügyek keretében csupán azzal foglalkozunk, hogy a becslések (előrejelzések) ismeretében hogyan tudjuk meghatározni a projektek pénzáramlásait.47 Arra, hogy miként becsüljük a várható bevételeket és kiadásokat, nem adható általános recept: ezek ugyanis általában nem csak az adott iparágtól, a vállalattól és a tágabb gazdasági-jogi környezettől függnek, hanem legtöbbször sokféle társadalmi-kulturális tényezőtől is. Ezek figyelembe vétele pedig inkább a terméktervezők és a marketingesek feladata. Ha viszont már sikerült elkészíteni a becslést, akkor onnantól a vállalati pénzügyes „feladata” annak eldöntése, hogy érdemes-e belevágni a projektbe. A következőkben ezzel a második lépéssel fogunk foglalkozni.

Csak a tényleges pénzáramlás számít

45 A „várható” szó természetesen arra utal, hogy a becsléseink a gyakorlatban mindig bizonytalanok: lehetetlen száz százalékos pontossággal előrejelezni, hogy miként fog alakulni például egy termék kereslete, vagy hogyan változnak a gyártási költségek.

46 Persze ugyanezt elvégezhetjük utólagosan is, a konkrét bevételek/kiadások/stb. ismeretében.47 Ha megvan a (várható) pénzáramlás, már „csak” diszkontálnunk kell, hogy megkapjuk a (várható) nettó

jelenértéket. Kérdés persze, hogy milyen elvárt hozammal diszkontáljuk a projekt pénzáramlásait. Ezzel a problémával később még sokat foglalkozunk; egyelőre csak annyit jegyezzünk meg, hogy (szokás szerint) minden pénzáramlást olyan elvárt hozammal kell diszkontálnunk, amely tükrözi a pénzáramlás kockázatát.

A számvitel felfogása szerint az adózott eredmény (számviteli eredmény) mutatja meg, hogy egy adott időszak (egy év) alatt mekkora nyereséget ért el a vállalat. A pénzügyes felfogás szerint azonban ez nem egyezik meg a tényleges pénzáramlással, hiszen például az árbevétel lehet, hogy nem folyik be azonnal (mert a vevők csak később fizetnek, ezért a vállalat pénze helyett csak a vevőkövetelései nőnek). De az is lehet, hogy a vállalat sem akkor fizeti ki a kiadásait, amikor azok felmerülnek, hanem később.

   Árbevétel– Folyó ráfordítások (költségek)– Amortizáció (értékcsökkenési leírás)+ Rendkívüli bevételek– Rendkívüli ráfordítások= Adózás előtti eredmény (adóalap)– Nyereségadó= Adózott (számviteli) eredmény

Az adózott eredmény felépítése(az eredménykimutatás)

Ebből az következik, hogy a számviteli eredmény és a tényleges (valós) pénzáramlás szinte mindig eltérnek egymástól.48 A könyvelők számára az előbbi a fontos, a pénzügyesnek viszont az utóbbira kell koncentrálnia: a vállalat kasszájába ténylegesen „beáramló” és az onnan „kiáramló” forintokat kell figyelnie (illetve a jövőre vonatkozóan megbecsülnie). Pénzügyi szempontból tehát csak a tényleges pénzáramlás számít. Ez a felfogás az alapja a pénzáramlás kiszámításának.

A fenti táblázatban bemutatjuk az adózott számviteli eredmény kiszámításának menetét. Ezt a táblázatot nevezzük eredménykimutatásnak. Az eredménykimutatás a számvitel felfogását tükrözi ugyan, de a pénzáramlás meghatározásához mi is nagymértékben támaszkodunk rá. Az eredménykimutatást a vizsgált időszakra (jellemzően egy évre) vonatkozóan kell elkészíteni. Az egyes tételek elnevezései magukért beszélnek, de később, a példában azért még részletesen megnézzük őket, különös figyelmet fordítva az amortizációra, illetve a rendkívüli bevételekre és ráfordításokra.

Említettük továbbá, hogy a vállalat eszközoldalát különböző beruházási projektek együttesének tekinthetjük. Amikor azonban a vállalat egy beruházási projekt megvalósítását mérlegeli, akkor a projektet önmagában kell értékelnie, nem pedig a vállalat részeként. Ezt az önmagában való értékelést úgy képzelhetjük el, mintha a vállalat mindig létrehozna egy önálló, a többitől független leányvállalatot, amikor meg akar valósítani egy projektet. Így az egyszerűség kedvéért az egyes projektet a továbbiakban mint egy-egy önálló „minivállalatot” fogjuk felfogni; az egész vállalat pedig nem más, mint ezen „minivállalatok” összessége. A valóságban ez persze kevéssé jellemző, de ez az absztrakciós lépés nagyon hasznos az önmagában való értékelés bemutatásához.

Az indirekt módszer

A pénzáramlás felépítésének indirekt módszere a vállalat mérlegeit illetve eredmény-adatait használja fel. Tudjuk, hogy a mérlegek stock jellegűek: egy adott időpontra pillanatfelvétel-szerűen mutatják be a vállalat eszközeit és forrásait. Az eredmény viszont, akárcsak a pénzáramlás, a cash flow, a nevéből is láthatóan flow jellegű változó: két időpont közötti időszakra vonatkozó számviteli nyereséget illetve pénzáramlást jelent. Persze ami minket érdekel, az a tényleges pénzáramlás.

Vegyük tehát egy egyéves időszak induló és záró mérlegét: az induló mérleg a t  = 0 időpontra, a záró mérleg pedig a t = 1 időpontra vonatkozik (a 0. év vége, illetve az 1. év vége). Ez a mérleg az elmondottak szerint az adott projektnek megfelelő „minivállalat” mérlege. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a vállalat hitelállománya (az alábbi mérlegekben H), valamint jegyzett tőkéje nem

48 Ez már abból is látszik, hogy a számviteli eredmény kiszámításánál az árbevételből levonjuk az amortizációt is, amiről tudjuk, hogy fiktív kiadás: a vállalat számára az amortizáció a valóságban nem jelent tényleges adott időszaki pénzbeli kifizetést. Az eredményben továbbá nem szerepel például a tárgyi eszközök megvásárlása sem.

változik (azaz nincs sem tőkeemelés, sem tőkeleszállítás), és a cég az adott évben nem fizet osztalékot. Az utóbbi feltételezések egyenértékűek azzal, hogy a cég saját tőke (ST) csak a mérleg szerinti, adózott eredmény nagyságával változik.

Mérleg a 0. év végén Mérleg az 1. év végén

Eszközök Források Eszközök ForrásokP0 ST0 P1 ST1

F0 Sz0 F1 Sz1

T0 H0 T1 H1

ahol:P – Pénzeszközök ST – Saját TőkeF – Forgóeszközök (pénzeszk. nélkül!) Sz – SzállítóállományT – Befektetett Tárgyi Eszközök H – Hitelek

A forrásoldalon tehát ( Sz + H ) adja ki az idegen tőkét, az eszközoldalon pedig ( F + P ) az összes forgóeszközt. Azért választjuk külön a P pénzeszközöket a forgóeszközöktől, mert a vállalat pénzáramlása a mérlegben mint a P pénzeszközök megváltozása (ΔP = P0 – P1) jelenik meg. Az (egy év alatti) tényleges pénzbeáramlás és -kiáramlás egyenlegét ugyanis éppen a P pénzeszközök megváltozása mutatja, ezért erre kell koncentrálnunk, hiszen tudjuk, hogy a cash flow meghatározásánál csak a tényleges pénzbeáramlás és pénzkiáramlás számít. Ez annyira fontos, hogy külön is kiírjuk:

Egy időszak alatti pénzáramlás: ΔP = P0 – P1

Az eredményt pedig, mint említettük, az ST saját tőke ΔST = ST0 – ST1 változása mutatja.

Hogyan tudnánk meghatározni ezt a ΔP pénzáramlást? Mivel a mérleg bal és jobb oldalának a 0. év végén és az első év végén is meg kell egyeznie, ezért az összes eszköz értékének megváltozása is egyenlő kell, hogy legyen az összes forrás értékének megváltozásával:49

Eszközök megváltozása = Források megváltozása      ΔP + ΔF + ΔT = ΔST + ΔSz + ΔH

Két megjegyzést kell tennünk. Egyrészt emlékezzünk vissza, hogy feltettük, a H hitelek a kérdéses egy év alatt nem változnak, vagyis ΔH = 0. Másrészt vegyük észre, hogy a korábban már emlegetett nettó forgótőke nem más, mint az F forgóeszközök és az Sz szállítóállomány különbsége:50 NFT = ( F – Sz ). Ebből viszont azt is következik, hogy a nettó forgótőke megváltozása pontosan e két elem megváltozásának a különbsége lesz:

ΔNFT = Δ(F – Sz) = ΔF – ΔSz

Így ha a fenti azonosságot átrendezzük és beírjuk a ΔNFT-t, akkor azt kapjuk, hogy

Pénzáramlás =ΔP = ΔST + ΔSz – ΔF – ΔT =                     = ΔST – ΔNFT – ΔT

Értelmezzük ezt az összefüggést! A ΔST, azaz a saját tőke megváltozása ugyebár nem más, mint az adózott (számviteli) eredmény. Ez a kiindulópontja a pénzáramlás-számításnak, de a történet itt nem ér véget, hiszen tudjuk: a tényleges pénzmozgásokra vagyunk kíváncsiak. Ezért az adózott

49 Azaz lényegében „kivonjuk” az 1. év végi mérlegből a 0. év végi mérleget.50 Ne felejtsük el, hogy az F forgóeszközök most nem tartalmazzák a pénzeszközöket! Azt is feltesszük továbbá, hogy

a vállalat likvid értékpapírjainak a mennyisége nulla, vagy legalábbis nem változik a vizsgált egy év alatt.

eredményt korrigálni kell, hogy valóban a tényleges pénzmozgásokat kapjuk.

Mivel korrigáljuk az adózott eredményt? Például ha eladtuk egy termékünket, de a vevő még nem fizetett, akkor az eladott termék ellenértéke megjelenik ugyan bevételként a számviteli eredményben, de ez a vállalatunknak csak a vevőköveteléseit (vevőállományát) növeli, hiszen pénzt még nem kaptunk. Az ilyen esetekben a számviteli eredmény nagyobb a tényleges pénzáramlásnál. A különbség, a ki nem fizetett ellenérték pontosan akkora, amennyivel a vevőkövetelések megváltoztak, ez pedig jelen esetben ugyanakkora,51 mint amennyivel a nettó forgótőke megváltozott: ΔNFT. Ezért kell a ΔNFT-t levonni az adózott számviteli eredményből. Ugyanezt elmondhatjuk például a készletekre vagy a szállítóállományra: ha a vállalatunk például alapanyagokat vett (és készpénzzel fizetett), akkor ez olyan pénzkiáramlást jelent, ami nincs benne az adózott eredményben. Ezért ezeket le kell vonni az adózott eredményből. Látható, hogy ezt tesszük, hiszen az alapanyagok vétele a készletek növekedése révén szerepel a ΔNFT-ben.

Van még egy dolog, amit eddig nem említettünk. A ΔNFT és ΔT korrekciós tételeket könyv szerinti értéken kell számítanunk, nem pedig tényleges, piaci értéken. Miért? A tényleges, piaci érték és a könyv szerinti érték különbségét mint rendkívüli nyereséget vagy veszteséget (attól függ, hogy melyik érték a nagyobb) az adózott eredmény már tartalmazza! (Hiszen a rendkívüli nyereség után adózni kell, ezért az növeli az adóalapot; a rendkívüli veszteség viszont csökkenti azt.) Ha tehát itt is a piaci értékkel számolnánk, akkor ezt a különbséget kétszer számolnánk bele a pénzáramlásba, amivel mindenképpen hibát követünk el.52

Így hát a ΔT-t is a tárgyi eszközök könyv szerinti értékének megváltozásaként határozzuk meg. A T tárgyi eszközök mérlegben szereplő értéke három okból változhat:

i) új tárgyi eszközöket veszünk, ami növeli T-t;j) eladunk meglévő tárgyi eszközöket, ami csökkenti T-t;k) a tárgyi eszközeink amortizálódnak, azaz könyv szerinti értékük csökken; tehát az

amortizáció is csökkenti T-t.Amikor tehát levonjuk ΔT-t az eredményből, akkor a ΔT-ben szereplő amortizációt tulajdonképpen visszaadjuk az eredményhez – hiszen tudjuk, az amortizáció csak fiktív kiadás, ezért nem is jelent tényleges pénzkiáramlást. Az amortizáción kívül a ΔT még tehát a tárgyi eszközök beszerzését mínusz a tárgyi eszközök eladását, vagy a kettőt egybevéve a tárgyi eszközök nettó beszerzését tartalmazza.

Az indirekt módszer tehát a következőképpen foglalható össze:   ΔST    Adózott (számviteli) eredmény– ΔNFT – a nettó forgótőke megváltozása (könyv szerinti értéken!)

– ΔT– tárgyi eszközök nettó beszerzése (könyv szerinti értéken!)+ Amortizáció

= ΔP = szabad pénzáramlás

Az elmondottak persze csak egyetlen évre vonatkoznak, de ugyanígy kiszámolható több év pénzáramlása is egymás után. Nézzünk végig egy részletes példát mindezekre, hogy az esetleges homályos pontok világosabbá váljanak. Azt javasoljuk az Olvasónak, hogy a példa elolvasása után nézze át újra az ebben a fejezetben eddig elmondottakat.

Példa:A Spanyol Csizma Rt. új termékcsalád bevezetését fontolgatja: a csizmák után az utcai cipők

51 Feltéve, hogy minden más változatlan, azaz készleteink és szállítóállományuk nem változott.52 A cash flow-számításnak ez a pontja a példák során minden bizonnyal világosabb lesz.

piacára is szeretne betörni forradalmian új, lábfejhez idomuló modelljeivel. A piac felmérése alapján a cég arra számít, hogy három évig nagy siker lesz a cipő, azután viszont az új cipő-divatbeli trendek miatt már senki sem fog belőle vásárolni. Becsléseik szerint az első három évben először 15 millió, majd 70 millió, végül pedig 60 millió forintos árbevételt fog tudni elérni a cég a cipőből, a folyó ráfordítások pedig várhatóan mindhárom évben az árbevétel felére rúgnak majd. A cipők gyártásához továbbá új cipőgyárat is kell építenie a cégnek. A gyár felépítésének költsége 50 millió forint, az amortizációs kulcs (lineáris leírás mellett) évi 20%. A harmadik év végén a cipőgyárat várhatóan 30 millió forintért el fogja tudni adni. A társasági nyereségadó (TÁNYA) 16%, a cipőiparban elvárt hozam évi 15%. Érdemes-e a Spanyol Csizma Rt.-nek belevágnia ebbe a projektbe?

Először is írjuk ki külön a szövegben „elrejtett” fontosabb információkat:8. A projekt időtartama három év, utána már nem lesz pénzáramlás.22. Az egyes pénzáramlásokat szokás szerint mindig a megfelelő évek végéhez rendeljük.f. A tárgyi eszközt, azaz a cipőgyárat már a termelés beindítása előtt teljesen fel kell építeni,

tehát az 50 milliós kiadás már a „nulladik” évben esedékes, még mielőtt bármiféle bevétele lenne a cégnek a projektből. Ezt az 50 milliós kiadást tehát úgy tekinthetjük, mintha a „nulladik” év végén, azaz most (az első év kezdetét közvetlenül megelőzően) lenne esedékes.

A projekt (az egyszerűség kedvéért) nem igényli készletek tartását, valamint a bevételek és kiadások is azonnal befolynak ill. kifizetésre kerülnek (így nem lesznek se vevőkövetelések, sem pedig szállító-tartozások). Ezért a nettó forgótőkével, illetve annak megváltozásával, a ΔNFT-vel ebben a példában nem foglalkozunk.

Az egyes évek pénzáramlásait a fent bemutatott indirekt módszer szerint írjuk fel. Ez látható az egyes évekre lebontva az alábbi táblázatban, millió forintokban (a bal szélen feltüntettük a korábbi jelölést is). Lényegében azt csináljuk, hogy a táblázat felső részében kiszámítjuk az adózott eredményt, majd az alsó részben ezt korrigáljuk a bemutatott módon, hogy végül a tényleges pénzáramláshoz jussunk.

0 1 2 3+ Árbevétel 15    70    60   – Folyó ráfordítások -7,5 -35    -30   – Amortizáció -10    -10    -10   + Rendkívüli bevételek 30   – Rendkívüli ráfordítások -20   = Adózás előtti eredmény -2,5 25    30   – Nyereségadó (16%) 0    -4,0 -4,8

   ΔST = Adózott (számviteli) eredmény -2,5 21,0 25,2– ΔNFT – ΔNFT

– ΔT {+ Amortizáció 10    10    10   – Tárgyi eszközök beszerzése -50   + Tárgyi eszközök eladása (KSZÉ) 20   

= ΔP = PÉNZÁRAMLÁS -50    7,5 31,0 55,2

Nézzük végig részletesen a táblázatot. A nulladik évben mindössze egyetlen tétel szerepel: az 50 millió forintos beruházás, a cipőgyár felépítésének költsége. Mivel ez nem működési kiadás, hanem beruházás, így ez nem számít bele az eredménybe, ezért a táblázat alsó részébe, a „Tárgyi eszközök beszerzése” sorba kell beírnunk. A többi három oszlop felépítése alapvetően hasonló egymáshoz, ezért ezeket soronként nézzük végig. Az „Árbevétel” sor adatait a feladat szövege egy az egyben megadta, ezeket csak be kellett írnunk ide, ugyanúgy, ahogy a „Folyó ráfordítások”-at is: ezek

nagysága minden évben az árbevétel fele, de persze mínusz előjellel. A következő sor, az Amortizáció már érdekesebb. Tudjuk, hogy a cipőgyár kezdetben 50 millió forintot ér, és azt is tudjuk, hogy az értéke öt év alatt amortizálódik el, öt év alatt „írható le” teljesen (mivel az amortizációs kulcs évi 20%, azaz öt év alatt éri el a 100%-ot). Az amortizáció nagysága tehát évente pontosan 50 millió Ft × 20% = 10 millió Ft. Ezt kell beírnunk a harmadik sorba.

Emlékezzünk vissza, hogy a tárgyi eszköz (a cipőgyár) könyv szerinti értéke évről évre az amorti-zációval csökken: ez fejezi ki a tárgyi eszköz elhasználódását.53 Írjuk ezt ki egy külön táblázatba is:

0 1 2 3A tárgyi eszköz könyv szerinti értéke (KSZÉ) 50 40 30 20Amortizáció (a KSZÉ változása) -10 -10 -10

Ha tehát a három év alatt évente 10 millió forinttal csökken a cipőgyár könyv szerinti értéke, akkor a harmadik év végére 20 millió forint lesz. A Spanyol Csizma Rt. viszont ennél többért, 30 millió forintért adja el a cipőgyárat a harmadik év végén. Az eladási ár és a könyv szerinti érték különbségére mint rendkívüli nyereségre tekinthetünk (ha ez negatív, akkor persze rendkívüli veszteségről beszélünk). Azért nevezzük ezt rendkívülinek, mert a vállalatok szokásos üzletmenetük során általában nem adják el a gyáraikat vagy gépeiket; ez csak akkor fordul elő, ha lecserélik a gépeket, vagy felszámolják az üzletág működését. Ez a nyereség (vagy veszteség) mindenesetre nem a szokásos üzletmenetből (jelen esetben a cipőgyártásból) származik. Meg is különböztetjük attól: a rendkívüli nyereséget (amely ugyanúgy adóköteles, mint a szokásos üzletmenetből származó, „rendes” nyereség) úgy tüntetjük fel a táblázatban, hogy a 30 milliós eladási árat a „Rendkívüli bevételek” sorba írjuk, a 20 milliós maradék könyv szerinti értéket (amit a vállalat kivezet a könyveiből) pedig a „Rendkívüli ráfordítások” sorba.

Nocsak, mondhatná a figyelmes Olvasó, de hát nem arról volt szó, hogy csak a tényleges pénzáramlás számít?! Az pedig 30 millió Ft, nem pedig 10 millió! A látszólag hiányzó 20 millió forintot persze nem sikkasztottuk el; egyszerűen arról van szó, hogy ennek a 30 millió forintos értékesítési bevételnek nem az egésze adóköteles, hanem csak a könyv szerinti érték feletti rész, azaz a 10 milliós „rendkívüli” nyereség. A 30 milliót tehát tulajdonképpen kétfelé bontjuk: egy adóköteles részre (ez a rendkívüli nyereség, ez beszámít az eredménybe, tehát a táblázat felső részébe kell beírnunk), valamint egy nem adóköteles részre, ami pontosan a könyv szerinti értékkel egyezik meg.54 Ez pedig a táblázat alsó felében szerepel, mégpedig a „Tárgyi eszközök eladása (KSZÉ)” sorban, a harmadik évben. Nem túl bonyolult számítással ellenőrizhető, hogy a két rész együtt pontosan kiadja a 30 milliót, hiszen (30 – 20) + 20 = 30.

A táblázat felső sorával, az eredménybe beleszámolandó elemek összeállításával ezzel készen vagyunk; az eddigi sorok összege adja ki az Adózás előtti eredményt. Látható, hogy ez az első évben negatív, vagyis ekkor még várhatóan veszteséges lesz a cipő-projekt. A veszteség után nyilván nem kell adót fizetni. A második évtől kezdve azonban már nyereséges lesz a vállalkozás; ezután pedig 16%-os társasági nyereségadót (TÁNYA) kell fizetni. Így kapjuk meg az egyes évekre vonatkozó adózott eredményt.

Ezt az adózott eredményt kell tehát korrigálnunk ahhoz, hogy a tényleges pénzáramlást kapjuk. A ΔNFT-vel ebben a feladatban nem foglalkozunk, ezért ez a sor most üresen marad. A következő

53 Tehát az egymás után következő évek mérlegeiben a gyár egyre kisebb (könyv szerinti) értéken szerepel.54 Előfordulhat persze az is, hogy a könyv szerinti értéknél alacsonyabb áron tudunk csak eladni egy tárgyi esz közt.

Ilyenkor tehát rendkívüli veszteség keletkezik, ami oly módon számít bele az eredménybe, hogy csökkenti a vállalat adóalapját (és ezen keresztül a fizetendő adó nagyságát is). Például ha csak 15 millióért tudná az Rt. eladni a cipőgyárat, akkor 5 milliós veszteséget lenne kénytelen elszenvedni. Az adóalap 15 millió lenne, viszont így a fizetendő adó is arányosan csökkenne.

három sor együtt adja ki a tárgyi eszközök könyv szerinti értékének (korábban ΔT-vel jelölt) megváltozását. Itt szerepel a cipőgyár építési költsége, illetve eladáskor a könyv szerinti érték (amit kivezet a vállalat a könyveiből). Szerepel továbbá (újra) az Amortizáció is; most azonban a korábban levont amortizációt visszaadjuk az adózott eredményhez. Ez ugye azért van, mert az amortizáció nem jelent tényleges pénzmozgást, csak egy olyan tételt, ami csökkenti az adóalapot.

Ha mindezekkel megvagyunk, akkor a táblázat alsó felét összeadva végül megkapjuk a cipő-projektből várható pénzáramlást (figyeljük meg, hogy mekkora eltérés van az adózott eredmény és a pénzáramlás között!). Mivel ismerjük az elvárt hozamot (15%), ezért ezeket most már csak diszkontálni kell:

  0    1    2    3Pénzáramlás -50    7,5   31,0   55,2  Diszkontált pénzáramlás (r = 15%) -50    6,52 23,44 36,29

Nettó jelenérték: NPV = -50 + 6,52 + 23,44 + 36,29 = 16,26 millió Forint

A projekt nettó jelenértéke tehát pozitív: a Spanyol Csizma Rt.-nek érdemes belevágnia a cipőgyártásba.

20. Projektek pénzáramlása II.

A direkt módszer

Az előző fejezetben ismertetett indirekt módszer lényege az volt, hogy egy beruházási projekt pénzáramlását a hozzátartozó adózott eredményből kiindulva, azt megfelelően korrigálva határozhatjuk meg. Ez azonban nem az egyetlen lehetséges módszer a cash flow meghatározására: éppenséggel megtehetnénk azt is, hogy hagyjuk az adózott eredményt, és helyette „nulláról indulva” összeszámoljuk az egyes időszakokban bekövetkező tényleges pénzmozgásokat. Ha ezek megvannak, akkor egyszerűen összeadjuk az azonos időszaki pénzáramlásokat, és mindenféle korrekció nélkül megkapjuk a teljes, tényleges pénzáramlást. Pontosan ez a lényege a direkt módszernek: ahelyett, hogy az eredményből indulnánk ki, vegyük inkább számba közvetlenül a tényleges pénzmozgásokat. Természetesen mindkét módszerrel ugyanazt az eredményt kell, hogy kapjuk, hiszen a pénzáramlás az adott projektre jellemző, és nem függhet attól, hogy milyen módszerrel próbáljuk meghatározni.55

Azonban a direkt módszer alkalmazásakor sem tudjuk teljesen elkerülni az eredménykimutatás elkészítését: a tényleges pénzmozgások között ugyanis szerepel a nyereségadó is, ennek meghatározásához pedig ismernünk kell az adózás előtti eredményt (az adóalapot). A többi pénzmozgás-tétel általában adott (becsült, vagy a becslésekből közvetlenül meghatározható); az adó az egyetlen, amelynél „számolni” kell. A direkt módszert ezért két lépésre bonthatjuk: először a már az előző fejezetben ismertetett és használt eredménykimutatás alapján meghatározzuk az adót; az adó ismeretében pedig második lépésként már össze tudjuk állítani a cash flow-kimutatást, ami a tényleges pénzmozgások táblázata. Ezek összegzéseként áll elő a pénzáramlás.

I. lépés: az adó meghatározása(eredménykimutatás)

   Árbevétel– Folyó ráfordítások (költségek)– Amortizáció (értékcsökkenési leírás)+ Rendkívüli bevételek– Rendkívüli ráfordítások= Adózás előtti eredmény (adóalap)→ Nyereségadó

II. lépés: a tényleges pénzáramlásokösszegyűjtése (cash flow-kimutatás)

   Árbevétel– Folyó ráfordítások (költségek)– Nyereségadó– Tárgyi eszközök beszerzése+ Tárgyi eszközök eladása– ΔNFT= Pénzáramlás

További különbséget jelent az indirekt módszerhez képest, hogy itt a második lépésben, azaz a tényleges pénzmozgások összegyűjtésekor mindent piaci értéken kell figyelembe vennünk, azaz pontosan annyit kell beírnunk, amennyi pénzt kapott vagy kifizetett a vállalat. Többek között a tárgyi eszközök eladásánál is a teljes befolyó összeget kell figyelembe vennünk (hiszen ez a tényleges pénzmozgás!), nem pedig a könyv szerinti értéket.

Számoljuk ki az előző példabeli projekt pénzáramlását ezúttal a direkt módszerrel!

Példa: a Spanyol Csizma Rt. cipő-projektje

55 Noha tartalmi különbség nincs a kettő között, a szabályozás mégis előírhatja egyik vagy másik módszer alkal ma-zását. A magyar számviteli szabályok például az utólagos kimutatások elkészítésére az indirekt módszernek megfelelő eljárást írnak elő.

Első lépésként tehát meg kell határoznunk a nyereségadót, hiszen ez ténylegesen befizetendő kiadás. Az adót az eredménykimutatásból tudjuk megállapítani, ezt tartalmazza az alábbi táblázat. Ez a táblázat pontosan megegyezik az előző módszernél bemutatott táblázat felső felével; most azonban csak az adóra vagyunk kíváncsiak:

0 1 2 3+ Árbevétel 15    70    60   – Folyó ráfordítások -7,5 -35    -30   – Amortizáció -10    -10    -10   + Rendkívüli bevételek 30   – Rendkívüli ráfordítások -20   = Adózás előtti eredmény -2,5 25    30      Nyereségadó (16%) 0    -4,0 -4,8

Most, hogy megállapítottuk a fizetendő adó nagyságát, készítünk egy új táblázatot, amely csak a ténylegesen bekövetkező pénzmozgásokat tartalmazza. Ezt a táblázatot nevezzük tehát direkt cash flow-kimutatásnak. Itt mindent a valós értékén kell szerepeltetni, még a különböző tárgyi és forgóeszközök beszerzését és értékesítését is. Éppen ezért most nem szerepel az amortizáció, hiszen az nem tényleges kiadás! A „Tárgyi eszközök eladása” sorba is 30 millió forintot írunk most a harmadik évben, hiszen ez az a tényleges pénzmennyiség, amit a vállalat a cipőgyárért kapott. A ΔNFT sor pedig továbbra is üres, hiszen a példában nem kellett forgóeszközökkel számolnunk.

0 1 2 3+ Árbevétel 15    70    60   – Folyó ráfordítások -7,5 -35    -30   – Nyereségadó 0    -4,0 -4,8– Tárgyi eszközök beszerzése -50   + Tárgyi eszközök eladása 30   – ΔNFT= PÉNZÁRAMLÁS -50    7,5 31,0 55,2

Látható, hogy ugyanazt az eredményt kapjuk, mint az előbb, az indirekt módszer alkalmazása során.

A nettó forgótőke változásának kiszámolása

A valóságban persze minden beruházási projekthez szükséges valamekkora forgótőke is, akár a készletek/alapanyagok, akár a halasztott fizetés miatt. A tényleges pénzmozgások számbavételénél azonban nem a nettó forgótőke abszolút nagyságát, hanem a nettó forgótőke megváltozását, azaz a ΔNFT-t kell figyelembe vennünk. A nettó forgótőke növekedése pótlólagos rövidtávú finanszírozási igényt jelent: ezt a növekedést a vállalatnak készpénzből kell állnia, vagyis ez csökkenti a vállalat pénzeszközeit (pénzáramlását). Az NFT csökkenése pedig kisebb finanszírozási igényt mutat: lekötött pénz szabadul fel, ami növeli a pénzáramlást.

A projekt befejeződésével (vagy felszámolásával) a vállalat a forgóeszközeit is értékesíti, hasonlóan ahhoz, amit a befektetett tárgyi eszközök kapcsán korábban már elmondtunk. Vagyis a forgóeszközeinket is eladhatjuk könyv szerinti értéken, de az alatt vagy felett is, attól függően hogy mit kapunk értük a piacon.56 Ha nem éppen a könyv szerinti értéken adjuk el a (feleslegessé vált)

56 Ehhez hasonló az, amikor a boltok szezonvégi kiárusítást tartanak: nagy leértékeléseknél előfordul, hogy az üzletek még a könyv szerinti, bekerülési értéknél kevesebbért is hajlandók eladni a termékkészleteiket, csak szabaduljon fel a készletekben lekötött pénzük.

forgóeszközeinket, akkor persze itt is keletkezik rendkívüli nyereség vagy veszteség, ami a korábbiakhoz hasonlóan beleszámítandó az adóalapba. Ez nem bonyolítja meg nagyon a számítást. Az egyszerűség kedvéért a későbbi feladatokban általában feltesszük, hogy a vállalat a forgóeszközeit könyv szerinti értéken tudja értékesíteni.

PéldaTegyük fel, hogy a Spanyol Csizma Rt.-nek a cipőgyártáshoz alapanyagra is szüksége van, kezdetben 10 millió forint értékben, ami évente 2 millió forinttal növekszik. A harmadik év végén a cég a forgóeszközeit könyv szerinti értéken értékesíti.

Nézzük meg, hogy miként is alakul a nettó forgótőke állománya, illetve ennek megváltozása! Az alábbi táblázat első sora tartalmazza az NFT-t, a második pedig annak (az előző évhez képest számított) megváltozását:

0 1 2 3Nettó forgótőke (NFT) könyv szerinti értéke 10 12 14 16 0ΔNFT 10 2 2 2 -16

A harmadik évet azért bontottuk ketté, mert egyrészt a harmadik évben is folyik termelés, ezért akkor is szükség van alapanyagokra, sőt a korábbi éveknek megfelelően nő a forgóeszközök állománya, egészen 16 millió forintra. A példa szövege szerint azonban a harmadik év végén azonban a cég el is adja az összes forgóeszközt, mégpedig a könyv szerinti értéken, 16 millió forintért. A forgóeszközök állománya tehát végül 0-ra csökken, hiszen mindent elad az Rt. Ezt a két lépést fent különválasztottuk, de akár egybe is írhatjuk:

0 1 2 3Nettó forgótőke (NFT) könyv szerinti értéke 10 12 14 0ΔNFT 10 2 2 -14

Jelen esetben tehát ezt a ΔNFT sort kell beírni vagy az indirekt, vagy a direkt módszer táblázatába, persze negatív előjellel, hiszen levonjuk: az NFT növekedése kevesebb szabad pénzforrást, azaz kisebb pénzáramlást jelent és fordítva. Írjuk be ezt a direkt módszer második táblázatába, a cash flow-kimutatásba (az első táblázat változatlan, hiszen abban nem szerepel a forgótőke)

0 1 2 3+ Árbevétel 15    70    60   – Folyó ráfordítások -7,5 -35    -30   – Nyereségadó 0    -4,0 -4,8– Tárgyi eszközök beszerzése -50   + Tárgyi eszközök eladása 30   – ΔNFT -10    -2    -2    +14   = PÉNZÁRAMLÁS -60    5,5 29,0 69,2

Diszkontált pénzáramlás (r=15%) -60    4,78 21,93 45,5NPV = -60 + 4,78 + 21,93 + 45,5 = 12,21

A nettó forgótőke nélküli esethez képest tehát csökkent a projekt nettó jelenértéke. Ezt a csökkenést pedig pontosan az okozza, hogy most több pénzt kell lekötni a termeléshez (nagyobb a 0. időszaki kiadás), ami csak a projekt végén szabadul fel. A későbbi pénz pedig, tudjuk, kevesebbet ér.

22. Projektek értékelése I.

Megtanultuk, hogy egy eszköz értékét az határozza meg, hogy a belőle származó pénzáramlásoknak mekkora a (nettó) jelenértéke. Ez a szabály segít eldönteni azt, hogy az adott eszközt megvásároljuk-e vagy sem. Ha ugyanis a nettó jelenérték pozitív, akkor az eszköz megvásárlásával gazdagabbak leszünk, ha negatív, akkor pedig szegényebbek. Jelenértéket számítani nem túlzottan bonyolult feladat, és nagyon helyénvaló értékelési eljárásnak is tűnik, mégis akadnak alternatív értékelési módozatok. A következőkben ezeket ismertetjük röviden. Úgy a legegyszerűbb megragadni őket, hogy megnézzük, miként viszonyulnak a nettó jelenérték szabályhoz.

A megtérülési időA megtérülési idő kritérium azt vizsgálja, hogy a projektből (eszközből) származó pénzáramlások nominálisan mennyi idő alatt érik el a megvalósításhoz szükséges beruházás nagyságát.

Például:A Pumukli Fafeldolgozó Rt. új fűrészgépet vásárolna. Ennek a gépnek az ára 10 000 000 forint, és a megvásárlás utáni használat a következő 8 évben évente 3 000 000 forint pénzáramlást eredményez.

Ekkor a pénzáramlás:Év 0 1 2 3 4 5 6 7 8pénzáramlás -10 3 3 3 3 3 3 3 3

Az első három évben „bejön” 9 millió forint. Még kell 1 millió, hogy a 10 milliót elérjük. Mivel a negyedik évben összesen 3 millió forint folyik be, így föltehetjük, hogy egyharmad évnek kell eltelnie, hogy a hiányzó 1 millió meglegyen, így a megtérülési idő: év.

A megtérülési időt, mint döntési kritériumot használó cégek meg szoktak határozni egy szubjektív elvárt megtérülést. Azaz például a fenti példában a Pumukli Rt. menedzsere előre meghatározhatja, hogy akkor fogad el egy projektet, ha annak megtérülési ideje 3 év vagy annál kevesebb. Így a fűrészgép megvásárlásáról le fognak mondani. Jól látszanak a megtérülési idő kritérium problémái:9. Nem diszkontál, azaz nem veszi figyelembe a pénz időértékét. Már a félév legelején

megtanultuk, hogy különböző évek pénzáramlásai nem adhatóak egyszerűen össze, azokat diszkontálással „közös nevezőre” kell hozni. Ha például a fűrészeléstől elvárt hozam 10 százalék, akkor az első három év pénzáramlásának értéke nem 9 millió forint, hanem csak 7,46 millió. Ha az elvárt hozam 20 százalék, akkor az első három év pénzáramlásának jelenértéke 6,32 millió forint.

10. Nem veszi figyelembe a megtérülési idő utáni pénzáramlásokat. Látható, hogy a vizsgált projekt 8 éves, de csupán a döntéshozatalkor az első 3-4 év pénzáramlását vettük valamilyen szinten figyelembe.

11. Szubjektív elem van benne: a menedzser által meghatározott elvárt megtérülési idő (a 3 év) sokszor nem nyugszik semmiféle alapon. Ha a menedzser 4 évet határozott volna meg, akkor elfogadta volna a projektet, így viszont nem fogadja el. Más esetekben a korlátok objektív formában jelentkeznek. A cégvezetés annak ismeretében állítja fel a megtérülési idő korlátot, hogy adott idő elteltével lejár a szabadalmi védettség, vagy más versenytársak jelennek meg piacon amivel a profit lényegében lenullázódik.

Tekintsük a következő pénzáramlást:Év 0 1 2

pénzáramlás -10 20 -40

Ennek a pénzáramlásnak a megtérülési ideje, mint látjuk fél év. Ha a vállalat ennél nagyobb elvárt megtérülési idővel dolgozik, akkor a projektet elfogadja. Nem veszi figyelembe a második év -40 nagyságú pénzáramlását, amelyet mondjuk a nettó jelenérték számításánál figyelembe veszünk, és akkor azt kapjuk, hogy bármekkora elvárt hozam mellett a nettó jelenérték negatív.

A diszkontált megtérülési időA kritérium neve is mutatja, hogy ugyanúgy járunk el használatakor, mint a megtérülési idő esetén, avval a különbséggel, hogy ezúttal a projekttől elvárt hozammal diszkontáljuk a pénzáramlásokat. Tekintsük újra a Pumukli Rt-t és a fűrészgépet:

Év 0 1 2 3 4 5 6 7 8pénzáramlás -10 3 3 3 3 3 3 3 3pénzáramlás jelenértéke

- 2,73 2,48 2,25 2,05 1,86 1,69 1,54 1,40

kumulált jelenérték

- 2,73 5,21 7,46 9,51 11,37

Látható, hogy a pénzáramlás jelenértéke a negyedikről az ötödik évre lépi át a beruházás 10 millió forintos nagyságát: pontosabban a negyedik év után még 0,49 millió forint kell , hogy jelenértékben befolyjon a megtérüléshez. Minthogy az ötödik évben jelenértékben nézve 1,86 millió forint folyik be, így mondhatjuk azt, hogy a hiányzó 0,49 millió forinthoz 0,49/1,86=0,26 év szükséges, így a projekt diszkontált megtérülési ideje 4,26 év. Az utolsó lépés megtételekor kicsit csaltunk, de nem követtünk el nagy hibát: úgy számoltunk, mintha az ötödik évi bevétel folyamatosan érkezne be a vállalathoz, és nem az év végén.

Ennek a kritériumnak a használatakor is meghatározható egy elvárt diszkontált megtérülési idő, amelyiknél a tényleges diszkontált megtérülési idő, ha kisebb, akkor a projektet elfogadjuk, ellenkező esetben viszont elutasítjuk.

A problémák száma eggyel csökken, de továbbra is fennáll, hogy:1. Nem veszi figyelembe a megtérülés utáni pénzáramlásokat.2. Szubjektív az elvárt diszkontált megtérülési idő megalapozatlansága miatt.

FeladatA Mindent Bele Konyhamalac Részvénytársaság új gyártósor megvásárlásán töri a fejét. A döntést először két menedzser hozza meg. Mátyás a megtérülési idő kritériumot használja, és akkor fogad el egy projektet, ha annak megtérülési ideje 3 év, vagy annál kevesebb. Dezső a diszkontált megtérülési idő kritériumot használja, és akkor fogad el egy projektet, ha annak diszkontált megtérülés ideje 5 év vagy annál kevesebb. Hogyan döntenek, ha a gyártósor 15 millió forintba kerül, az első 6 évben évente 4 millió forintot hoz, a hetedik évben pedig 6 millió forint kiadással jár, és az üzletágtól elvárt hozam 10 százalék.

MegoldásA projekt pénzáramlása, és a pénzáramlások jelenértékei:

Év 0 1 2 3 4 5 6 7Pénzáramlás -15 4 4 4 4 4 4 -6

Pénzáramlás jelenértéke

- 3,64 3,31 3,01 2,73 2,48 2,25 -3,08

Kumulált jelenérték

- 3,64 6,95 9,96 12,69 15,17 17,42 14,34

A projekt 3 év alatt 12 millió Forintot hoz – gondolkodik Mátyás – ehhez a negyedik évben még kell 3 millió, hogy ki legyen a 15 millió. Minthogy a negyedik évben 4 millió folyik be, így ¾ év alatt folyik be a szükséges 3 millió, így a projekt megtérülési ideje 3,75 év. Mivel ez nagyobb, mint a még megengedhető 3 év, így a projektet ne fogadjuk el.

A projekt jelenértékben 4 év alatt 12,69 millió forintot hoz – gondolkodik Dezső -, ehhez még kell 2,31 millió, hogy meglegyen a 15 millió. Minthogy az ötödik évben jelenértékben 2,48 millió folyik be, így a 2,31 millióhoz 2,31/2,48=0,93 év kell, így a projekt diszkontált megtérülési ideje 4,93 év. Mivel ez kisebb, mint a megengedhető 5 év, így a projektet fogadjuk el.

Minthogy a két menedzser más döntést hozott, összeül a közgyűlés, hogy igazat adjanak valakinek. Úgy döntenek, hogy Dezsőnek adnak igazat, mert ő a diszkontált megtérülési idő kritérium alapján dolgozott, és annak kevesebb hibája van, mint a Mátyás által használt megtérülési idő kritériumnak. Így végül is a projektet elfogadják.

A táblázatból látható, hogy rosszul döntöttek. A projekt nettó jelenértéke 14,34-15 = -0,66 millió forint, azaz negatív. A tévedés meg éppen a két kritérium közös hibájából ered, azaz abból, hogy nem veszik figyelembe a megtérülés utáni pénzáramlásokat.

23. Projektek értékelése II.

A belső megtérülési ráta

A belső megtérülési ráta az a hozam, amellyel egy projekt pénzáramlásait diszkontálva nulla nettó jelenértéket kapunk eredményül. Például a következő pénzáramlásnak

0 1 2-200 110 121

A belső megtérülési rátája 10%, mert . Ha általánosságban egy projekt

pénzáramlása:

0 1 2 … T … TC0 C1 C2 … Ct … CT

Akkor a belső megtérülési ráta, a

(*)

egyenlet megoldása, ahol az IRR rövidítés a belső megtérülési rátát jelöli (Internal Rate of Return).

Miért jó nekünk az IRR? Nos segítségével bizonyos projektek esetén el tudjuk dönteni, hogy azokat megvalósítsuk-e vagy sem. Tekintsük a fenti -200, 110, 121 pénzáramlást. Az IRR ennek a pénzáramlásnak az esetén az árulja el nekünk, hogyha 10 százaléknál nagyobb az elvárt hozam, akkor a projekt nettó jelenértéke nullánál kisebb lesz, így elfogadni nem lehet. Ezt általánosan is megfogalmazhatjuk:

Minden olyan pénzáramlás esetén, amelynek az első tagja (a nulladik év beruházása) negatív, a többi tagja pozitív, az IRR az a maximális elvárt hozam, amely mellett a projekt elfogadható.

Ha két olyan pénzáramlás van előttünk, amelyek kezdeti beruházás után pozitív pénzáramlásokat hoznak, akkor az a pénzáramlás az értékesebb, amelyiknek magasabb a nettó jelenértéke. Ha mindkettő nettó jelenértéke pozitív, akkor a nagyobb jelenértékű ér többet. Ha NPV alapján választunk a projektek közül, és csak az egyiket fogadhatjuk el, akkor egyértelmű döntést tudunk hozni. Ekkor az is természetes, hogy a belső megtérülési ráta használatával is mindkét projektet elfogadhatónak minősítjük, de ekkor nem tudjuk egyértelműen megmondani, hogy melyik projekt a jobb.

Tekintsük példának okán az A és B projekteket, amelyek kezdeti negatív pénzáramlás után pozitív pénzáramlásokat hoznak. Mindkét projekt tőkeköltsége legyen 10%, és ezek alapján tegyük föl, hogy NPV(A) > NPV(B) > 0. Így a nettó jelenértékek alapján az A projekt mellett döntünk. Mivel tudjuk, hogy ilyen projekteknél a belső megtérülési ráta az a maximális megtérülés, amely mellett a projekt még éppen elfogadható, így úgy vélnénk, hogy a magasabb IRR érték jobb projektet takar. De ez tévedés! Az A és B projektek esetén hozamoknak van olyan tartománya, ahol mindkét projekt elfogadható, és ezen a tartományon belül előfordulhat az, hogy egyik részen az A projekt a jobb, a másik tartományon a B projekt, illetve van olyan megtérülési ráta, amely mellett a két projekt ugyanannyit ér. Így lehetséges az is, hogy amellett, hogy magasabb az A projekt nettó jelenértéke, attól még az ő IRR-je alacsonyabb, mint a B projekté.

A következő ábrán jól látható, hogy attól a ponttól balra, ahol az A projekt nettó jelenértékeit ábrázoló görbe metszi a B projekt nettó jelenértékeit ábrázoló görbét, az A projekt nettó jelenértéke magasabb. Ha itt van a projektektől elvárt hozam, akkor A projektet fogjuk választani. Ugyanakkor azt is látjuk, hogy A projekt IRR-je alacsonyabb, így kisebb az elvárt hozamoknak az a tartománya, ahol A projektet választanánk.

Gyakran kerül egy menedzser olyan döntési szituációba, hogy választania kell két eszköz között, amelyek ugyanazt tudják, de más pénzáramlásuk van. Ekkor nyilván csak az egyiket fogja választani (két dudás nem fér meg egy csárdában!!), azaz egymást kölcsönösen kizáró lehetőségekről beszélünk.

Tegyük föl, hogy egy zenekarvezető két duda közül kell, hogy egyet kiválasszon. Az Alföldi duda 200 000 forintba kerül, és a következő évben esedékes koncerten 400 000 forinttal járul hozzá a zenekar sikeréhez. A Felföldi duda 400 000 forintba kerül és a következő évben esedékes koncerten 700 000 forinttal járul hozzá a zenekar sikeréhez. A duda-projekt elvárt hozama 10%.

Ekkor a pénzáramlások, azok nettó jelenértékei, és IRR-jeik:

ProjektPénzáramlás

IRR NPV0. év 1. év

Alföldi duda - 200 + 400 100% 163,64Felföldi duda - 400 + 700 75% 236,36

Itt a nettó jelenérték szabály alapján elsőre a Felföldi dudát választanánk, viszont ennek kisebb az IRR-je. Úgy tűnik, megint nem tudunk IRR alapján dönteni. Gondolkodjunk a következőképp: A Felföldi duda megvásárlása 200 000 forinttal többe kerül, viszont 300 000 forinttal többet is hoz a következő évben. Nézzük meg ennek a különbségi pénzáramlásnak az IRR-jét, és ha az még mindig 10% fölött van, akkor vegyük meg a drágább dudát.

A – 200, + 300 pénzáramlás IRR-je 50%, ami alapján már bátran megvehetjük a Felföldi dudát.

Következtetés: egymást kölcsönösen kizáró projektek esetén, ha mindkettő nettó jelenértéke pozitív, akkor IRR szabály alapján úgy tudunk dönteni, ha a különbségi pénzáramlás IRR-jét vizsgáljuk meg.

r

NPV

A B

A (*)-al jelölt, IRR meghatározására szolgáló egyenletről látható, hogy ez egy többedfokú egyenlet, annál magasabb fokú, minél több periódusa van a pénzáramlásnak. Az ilyen egyenletek megoldhatóságának matematikai szabályai alapján az IRR-ről a következőket mondhatjuk el:

15. megoldani az egyenletet számítástechnikai segítség nélkül akkor tudjuk, ha az legfeljebb harmadfokú, de mivel középiskolában csak a másodfokú egyenlet megoldóképletét tanultuk, így csak akkor tudjuk megoldani a kijelölt egyenletet, ha az legföljebb másodfokú.

16. az egyenletnek mindig annyi megoldása van, ahányszor az összeadás tagjai előjelet váltanak. Ha tehát a pénzáramlás a nulladik évben negatív, utána végig pozitív, akkor egy megoldás lesz. Ha a nulladik évben negatív, az első két évben pozitív, a harmadikban negatív, a negyedik évtől kezdve pozitív, akkor összesen 3 előjelváltás történt, így három megoldásunk lesz.

Tegyük fel, hogy egy projekt pénzáramlásának a belső megtérülési ráta értékeire a következő megoldásokat kaptuk:IRR1 = 10%IRR2 = 13%IRR3= 18%IRR4= 21%

Az ábrán azt mutatjuk be, hogy miképp változik a projekt nettó jelenértéke az elvárt hozam függvényében. Látható, hogy a görbe négyszer metszi a vízszintes, elvárt hozamot megjelenítő tengelyt, éspedig az IRR négy különböző értékénél. Egy-egy ilyen pontban a nettó jelenérték előjelet vált. Ha tehát adott egy projekt pénzáramlása, és adottak az IRR-ek, akkor egyszerűen meghatározható, hogy milyen elvárt hozam mellett lesz a nettó jelenérték pozitív: fogjuk a legkisebb IRR értéket, és veszünk egy nála kisebb elvárt hozamot. Ezzel a hozammal kiszámítjuk a projekt nettó jelenértékét, és megnézzük az előjelét, innentől kezdve mivel az NPV az IRR értékek után előjelet vált, tudjuk, hogy melyek a megfelelő elvárt hozam intervallumok, amelyek esetén pozitív lesz a nettó jelenérték.

A mi esetünkben a legkisebb IRR érték 10%, így vehetjük mondjuk a 9%-ot.Itt az előjel, minthogy az első metszéspont előtt a függvény a negatív tartományban van, negatív lesz.Így tudjuk, anélkül, hogy az ábrára néznénk, hogy:

ha r < 10%, akkor NPV < 0ha 10% < r < 13%, akkor NPV > 0ha 13% < r < 18%, akkor NPV < 0ha 18% < r < 21%, akkor NPV > 0ha r > 21%, akkor NPV < 0.

Az IRR, ha a kellő fenntartásokkal kezeljük, akkor ugyanolyan jól használható projektértékelésre, mint a nettó jelenérték szabály. Persze, ha ismerjük egy projekt elvárt hozamát, és ismerjük a pénzáramlását, akkor sokkal egyszerűbb kiszámítani annak nettó jelenértékét, mint az IRR-rel bajlódni. Az IRR inkább arra jó, hogy egy projektnek pénzáramlása ismeretében, és annak ismeretében, hogy a projektet működtetik-e vagy sem eldöntsük, hogy vajon milyen tartományban mozoghat a projekttől elvárt hozam.

Ha például a fenti projektről tudjuk, hogy működtetik, akkor biztosak lehetünk benne, hogy az elvárt hozama 10 és 13% között van, vagy pedig 18 és 21% között van.

Előfordulhat persze az is, hogy az IRR-t meghatározó (*) egyenletnek egyáltalán nincs megoldása: ez akkor lehetséges, ha a projekt nettó jelenértéke sohasem nulla, azaz vagy minden elvárt hozam mellett negatív, vagy minden elvárt hozam mellett pozitív. Itt kell megjegyezni, hogy a képlet alapján negatív megoldást is kaphatunk, amelynek természetesen nincs közgazdasági értelme.

Foglaljuk össze, hogy mit tudunk mondani az IRR-ről:8. az IRR az a hozam, amellyel egy projekt pénzáramlásait diszkontálva nulla nettó

jelenértéket kapunk.9. az IRR alapján bizonyos projektek esetén pont fordított döntést hozhatunk, mint a nettó

jelenérték szabály alapján10. egymást kölcsönösen kizáró projektek esetén a különbségi pénzáramlás IRR-jét kell

megvizsgálnunk11. az IRR-t meghatározni nehéz, másodfokúnál bonyolultabb esetben csak próbálgatással

(iterációval), számítógép segítségével határozható meg a helyes érték.12. egy projektnek több IRR-je lehetséges13. több megoldás esetén több olyan elvárt hozam tartomány is lehet, ahol pozitív a nettó

jelenérték14. lehet, hogy az IRR feladatnak egyáltalán nincs megoldása15. negatív IRR-t nem szabad figyelembe venni

FeladatMilyen elvárt hozam mellett fogadnánk el a következő pénzáramlást?

0 1 2-600 +770 -121

MegoldásHogy a feltett kérdésre válaszolni tudjunk, határozzuk meg a pénzáramlás belső megtérülési rátáját. Ehhez a következő egyenletet kell megoldanunk:

legyen x = 1+IRR, és így x2=(1+IRR)2

Szorozzuk meg mindkét oldalt x2-el:

Szorozzuk meg mindkét oldalt (-1)-el:

Ekkor a másodfokú egyenlet megoldóképletével:

ebből és így , azaz 10%

és és így . Mivel a negatív IRR-nek nincs

értelme, így a második megoldást kizárhatjuk a vizsgálódás köréből.

Így már tudjuk, hogy 10%-os elvárt hozam mellett a fenti pénzáramlás nettó jelenértéke nulla. Azt is tudjuk, hogy ennél a hozamnál vált előjelet a nettó jelenérték, ezért nézzük meg, hogy mi a helyzet például r = 9% esetén:

, azaz ha a projekttől elvárt hozam 10%-nál kisebb, akkor a

projekt nettó jelenértéke pozitív, ha a projekttől elvárt hozam 10%-nál nagyobb, akkor a projekt nettó jelenértéke negatív.

A jövedelmezőségi index

Adott esetben sorrendbe kell állítanunk bizonyos projekteket, hogy eldöntsük, hogy melyiket valósítsuk meg. Egyszerű azt mondani, hogy állítsuk őket sorrendbe nettó jelenértékük alapján, kezdjük a megvalósítást a maximálissal. Nem mindegy azonban az sem, hogy az adott nettó jelenérték mekkora beruházásnak a következménye. Tekintsük a következő táblázatot:

C0 NPVA projekt -400 200B projekt -50 50

Látható, hogy az A projekt nettó jelenértéke jóval nagyobb, mint B projekté, ugyanakkor sokkal több pénz is kell a megvalósításához. A „jóval”, „sokkal” kifejezéseket számszerűsítsük!

Ehhez definiálnunk kell a jövedelmezőségi indexet, amely nem más, mint a projekt nettó jelenértékének és a kezdeti beruházás nagyságának hányadosa, azaz:

, ahol a PI rövidítés a Profitability Index (jövedelmezőségi index) angol kifejezésből

ered.

A fenti példában:

.

A jövedelmezőségi index azt mondja, hogy az A projekt esetén 1 beruházott forint nettó jelenértékben 0,5 forintot hoz, míg a B projekt esetében 1 beruházott forint nettó jelenértékben 1 forintot hoz. Ezért érdemesebb B projektet megvalósítani. Ráadásul, ha megtehetjük, hogy B projektet többször valósítjuk meg, akkor ha egyébként megvan az A projekthez szükséges beruházás fedezete, akkor abból valósítsuk meg B projektet nyolcszor (8*50=400), és így nettó jelenértékben 400 forinthoz jutunk.

24. Projektek értékelése III.

Miért az NPV-t használjuk?

Ennek a tantárgynak az az alapvető célja, hogy a különböző eszközöknek objektíven meg tudjuk határozni az értékét. Az értékelést a befektető viselkedésére tett nagyon egyszerű és elfogadható föltevésekből vezettük le:l) a befektető maximálni akarja a tulajdonában lévő dolgok értékétm) a befektető nem szeret fölöslegesen kockáztatni

Ezen kívül nem hagytuk figyelmen kívül azt, hogy miképp működik a világ:n) az ember berakhatja a pénzét a bankba, és kamatot kap érteo) a pénzt bankba rakni meglehetősen biztonságos befektetésp) minél tovább tartjuk a pénzünket a bankban, annál többet kamatozik

Ezek olyan egyszerű dolgok, mint a satu. És trivialitásuk ellenére, vagy talán éppen amiatt, olyan egyszerű szabály vezethető le belőlük, mint a nettó jelenérték megfontolás. Ha van pénzem, és kínálnak érte valamit, akkor mérlegelem azt az alternatívát, hogy a pénzemet bankba is rakhatnám. A pénz bankba rakásának nagyon pontosan tudom követni a kifizetéseit. Ha az eszközből folyó pénzáramlásokat is ismerem, akkor már tehetek is bizonyos összehasonlításokat. Ha ezenkívül vannak információim arról, hogy mások milyen pénzügyi eredménnyel (megtérüléssel) használták az adott fajta eszközt, akkor fel tudom mérni, hogy a vállalandó kockázat fejében vajon kapok-e elegendő megtérülést.

Azért legyünk böcsületesek: a nettó jelenérték alkalmazásakor mindig használtunk olyan rejtett feltételeket, amelyek hiánya esetén kevésbé lehetnénk biztosak a dolgunkban. Gondoljuk csak meg, amikor belevágunk egy projektbe, akkor annak legföljebb megtervezhetjük a pénzáramlását, de biztosak soha nem lehetünk benne, hogy akkor és annyi pénz érkezik be/ folyik ki, amikor és amekkorára előzetesen számítunk. Ezen kívül ott van az értékeléshez használatos hozam megválasztásának kérdése, amelyről a következő részben ejtünk ár szót. A lényeg az, hogy ezt a piacról vesszük, de nem tévedhet a piac? Dehogynem! És mi van akkor, ha teljesen új projektbe fogunk, olyanba, ami semmivel össze nem hasonlítható?

Mindenesetre a nettó jelenérték használatának van egy csomó előnye, amelyek különösen akkor domborodnak ki, ha összevetjük ezt a szabályt a többi projektértékelési kritériummal. a nettó jelenérték szabály figyelembe veszi a pénz időértékét technikailag nagyon egyszerűen használható nagyon kevés matematika kell csak hozzá nincs benne szubjektív elem, alkalmazásakor mindenki ugyanarra az eredményre jut (így nem

lehet vita)57

alkalmas arra, hogy egymást kizáró projekteket egyszerűen összehasonlítson

Honnan vesszük az értékeléshez felhasznált hozamot?

Egy pénzáramlás diszkontáláshoz felhasznált hozam, illetve a diszkontfaktor azt fejezi ki, hogy a jövőbeli egy forintnak mekkora az ára. Ha magasabb hozammal dolgozunk, akkor a jövőbeli pénz kevesebbet ér, mint alacsonyabb hozam mellett. Így a pénzáramlást értékelő, és az értékelés alapján a projekt elfogadása vagy elutasítása mellett döntő menedzsernek nagyon jól tisztában kell lennie, hogy milyen hozamot használ. Egy gépre nincs ráírva, hogy mekkora elvárt hozam tartozik hozzá.

Az elvárt hozam a piacról határozódik meg. A korábban tárgyalt Pumukli Fafeldolgozó Rt. a fűrészgép értékeléséhez használt 10%-ot semmiképpen sem a levegőből szedi, hiszen akkor a nettó jelenérték kritérium sem érne többet, mint más, szubjektív elemmel felruházott döntési szabály. A 10%-os elvárt hozam abból következik, hogy a fűrészelés üzletágra átlagosan 10%-os megtérülés jellemző.

Szokásos módon feltesszük, hogy a piacon azonos üzletágban tevékenykedő vállalatok elég sokan vannak. További föltételezésünk az, hogy mindegyik vállalat ugyanazokkal a piaci tényezőkkel néz szembe, így mindegyik üzletvitelét ugyanaz a kockázat jellemzi. Így egy beruházónak csak akkor közömbös, hogy melyik azonos üzletágban tevékenykedő vállalatba fekteti pénzét, ha azok ugyanakkora hozamot ígérnek neki. Ha valaki magasabb hozamot ígérne, akkor egyrészt minden beruházó először ezt a vállalatot keresné föl a pénzével (tőkéjével), másrészt pedig az összes többi vállalat ezt a vállalatot próbálná leutánozni, így végül a hozamok kiegyenlítődnek.

Persze jól tudjuk, hogy nincs két teljesen egyforma vállalat a gyakorlatban, és az sem igaz, hogy a piacok oly módon lennének tökéletesek, hogy minden vállalat ugyanazokkal a tényezőkkel nézne szembe. De még változatos világunkban is elmondhatjuk, hogy az ugyanolyan igényeket kielégíteni hivatott vállalatok nagyjából egyforma kihívásoknak vannak kitéve. Nagyjából, és éppen ezért, ha egy üzletág elvárt hozamát keressük, akkor valamilyen módon átlagolni kell az ott tevékenykedő vállalatok elvárt hozamait. Ilyenkor nagyon sokszor nem a jelenbeli, hanem a múltbeli adatokkal számolunk, tehát megnézzük, hogy a különböző, már lejárt projektek mekkora megtérüléshez vezettek, és ezeket a megtérüléseket átlagoljuk. A vállalatok is éppen ezt csinálják, ha új beruházás indításán törik a fejüket.

Az IRR és az elvárt hozam összefüggései

Megszoktuk, hogy egy pénzáramlás értékelésénél minden periódusban ugyanazt az elvárt hozamot használjuk, azaz vízszintes hozamgörbét tételezünk föl. A valóságban azonban a hozamgörbe nem vízszintes, azaz a különböző időpontokhoz más-más elvárt hozam tartozik.

57 Ez úgy értendő, hogy adott CF esetén mindenki ugyanarra az eredményre jut. Azt már korábban láttuk, hogy a CF megbecslése során sok szubjektív feltevéssel élünk, például a jövőbeli beruházások vagy forgótőke tekintetében. Itt nem erről beszélünk, hanem arról, hogy ha egyszer a CF kérdésében már közös véleményre jutottunk, akkor a módszer alkalmazása már objektívnek tekithető.

Tegyük fel, hogy az egyéves elvárt hozam 10%, a kétéves 12%, a hároméves 14%, a négyéves pedig 16%, azaz:

Tekintsük a következő pénzáramlást:

Ennek a pénzáramlásnak a nettó jelenértéke:

Ennek a pénzáramlásnak is értelmezhetjük a belső megtérülési rátáját éppúgy, mint ahogy korábban: azt a hozamot keressük, amellyel diszkontálva a pénzáramlás nulla nettó jelenértéket kapunk:

IRR = 13,46%, mivel

.

A kapott belső megtérülési ráta a különböző időpontokhoz tartozó elvárt hozamok egyfajta súlyozott átlagaként adódik: a nem vízszintes hozamgörbéből vízszinteset alkottunk. A befektetési döntés meghozatala azonban már nem olyan egyszerű, hiszen korábban a szabály úgy fogalmaztuk meg, hogy akkor fogadjuk el a projektet, ha annak IRR-je elvárt hozamánál magasabb. Itt viszont minden lejárathoz más elvárt hozam tartozik. Az persze egyértelmű, hogy akkor, ha az IRR a hozamgörbe minden pontjánál nagyobb, akkor minden lejáratra magasabb megtérülést biztosít, mint amekkora az elvárt hozam, azaz a projekt nettó jelenértéke is pozitív. A projektet érdemes elfogadni.

Ez a kérdés különösen a kötvények árazása és IRR számítása kapcsán kerül elő. A vállalati pénzügyes szakemberek a hozamgörbe létéről – sajnos – az esetek többségében nem vesznek tudomást, illetve a kérdést leegyszerűsítik. Azt a szabályt alkalmazzák, amit már korábban is megismertünk: vesznek egy lejárattól független – azaz minden évre azonos – elvárt hozamot, majd ezt vetik össze az IRR-rel. Ha az magasabb, mint az elvárt hozam, a projektet elfogadja, ha nem elutasítja.

Álljon itt még egy példa a szabály bemutatására!

Tekintsük a következő pénzáramlást:

C0 C1 C2 C3 C4

-1 000 000 +5 070 000 -9 474 100 +7 756 485 -2 352543

Ez a pénzáramlás négyszer vált előjelet, ennek megfelelően négy IRR értéket találhatunk:

IRR1 = 1%IRR2 = 10%IRR3 = 21%IRR4 = 75%

A fenti ábrán látható, hogy miképp alakul a projekt nettó jelenértéke a projekttől elvárt hozam függvényében. A projekt nettó jelenértéke pozitív, ha az elvárt hozam az 1 és 11% vagy a 21 és 75% tartományban van. Vegyük ugyanakkor észre, hogy a nettó jelenérték az elvárt hozam 0 és 100% közötti tartományában abszolút értékben sehol nem éri el a 10 000 forintot, tehát ennél többet sem nem nyerhetünk, sem nem veszíthetünk. Közben a pénzáramlások milliós nagyságrendűek, tehát azt mondhatjuk, hogy a projekt nettó jelenértéke tulajdonképpen bármilyen elvárt hozam mellett nulla. Ugyanakkor, ha mondjuk a 10%, 16%, 16%, 25% hozamgörbével dolgozunk – ami azon a tartományon belül van, ahol vízszintes hozamgörbe esetén a nettó jelenérték sehol nem éri el az 1000 forintot abszolút értékben! – nettó jelenértékben 573 941 forinthoz jutunk, ami már nem elhanyagolható összeg.

Mi vonható le mindezekből következtetésként?Az IRR a projektértékeléshez jól használható, ha ismert a projekt elvárt hozama, pénzáramlása pedig olyan, hogy a nulladik év kiadását a többi év bevételei követik. Ekkor ha az IRR az elvárt hozamnál magasabb, akkor a projekt elfogadható.

Ha a pénzáramlás éppen fordított, tehát a nulladik évben van pénzbevétel, és ezt a későbbi években pénzkiadások követik (ilyen a hitelfelvétel), akkor a szabály megfordul: a projekt akkor lesz elfogadható, ha IRR-je kisebb, mint az értékeléséhez tartozó hozam.De soha ne legyünk túlbuzgóak, ha az IRR használatára kerülhet sor, az NPV-t használni mindig egyszerűbb! Az eredmény mindig egyértelmű, mindenki számára könnyen értelmezhető. Az NPV szabály alkalmazása során a nem vízszintes hozamgörbe esete is könnyen kezelhető. Ha a

CF előjelet vált (pl.: később nagyobb összegű beruházásra lesz szükség) az NPV szabály nem hagy cserben. Ráadásul a döntési kritérium pedig forintban van megfogalmazva, ami minden érintett számára könnyen értelmezhető.Mindezen előnyök miatt azt javasoljuk, ha döntésre kerül a sor, elsősorban az NPV kritériumra támaszkodjon, ha a beruházási lehetőségek egymást kizáróak és különböző volumenűek, a jövedelmezőségi index is hasznos lehet. A többi mutató, így az IRR is inkább csak kiegészítő, a többi módszerrel kapott értékelés kibővítésére szolgáljon. Ezért használtuk és használjuk mi is mindvégig az NPV szabályt.

25. Kockázat és hozam I.

Az egyes befektetések kockázata

A félév végére elérkeztünk oda, hogy közelebbről megvizsgáljuk a kockázat kérdését. Eddig, amikor szóba került, mint valami mindenki által érthető és egyértelmű fogalomként hivatkoztunk a kockázatra. Ez azonban nem feltétlenül van így. A kockázatnak nagyon sok definíciója és nagyon sok fajtája létezik.

A továbbiakban az egyszerűség kedvéért nevezzük kockázatnak mindazokat az eseteket, amikor egy eseménynek több kimenetele lehetséges, mint ami valójában bekövetkezik. Ha például az a kérdés, hogy lesz-e idén karácsony a válasz egyértelműen igen. Csak egy lehetséges esemény következhet be: lesz karácsony. De ha a kérdés úgy hangzik, hogy fehér lesz-e a karácsony, a válasz az, hogy biztonsággal nem tudjuk megmondani. Vagy igen, vagy nem. Csak egy kimenet következhet be (december 24-én már tudni fogjuk), de két lehetséges kimenet létezik (vagy igen, vagy nem).

Mit jelent ez a pénzügyek esetére lefordítva? Mekkora hozamot biztosít egy adott részvény a következő évben? Nem tudjuk. Ha tudnánk, nem kellene tanulnunk, már régen meggazdagodtunk volna a tudásunkból. Akkor honnan tudjuk megtippelni? Vegyük elő az elmúlt évek realizált hozamait!

Tegyük fel, hogy a NagyonJóCég Rt. az elmúlt öt évben (mióta papírjai a tőzsdén forognak) a következő hozamokat biztosította a befektetőknek.

Év Hozam

2000 +12%

2001 +25%

2002 -8%

2003 +2%

2004 +16%

2001. láthatólag egy jó év volt, és úgy tűnik, 2004-ben sem lehet panasza a befektetőknek. Ugyanakkor 2002-ben esett az árfolyam.58 Mit tudunk ezek alapján jósolni 2005-re? Vegyük az elmúlt évek realizált hozamainak átlagát! Ezek alapján a várható hozam:

59

Használjuk fel ezt, és jósoljunk a NagyonJóCég Rt. részvényeinek 2005-re évi 9,4%-os hozamot.

Ha már így belelendültünk a munkába, végezzük el ugyanezt a Dinamikus Rt. papírjaival is. Az ő elmúlt öt évben realizált hozamukat az alábbi táblázat tartalmazza:

Év Hozam

2000 35%

58 Tegyük fel, hogy a 2004-es adatokat már ismerjük. Az adatokat a Nagyon Aktuális Adatbázis (NAA) felhasználásával számoltuk a részvények ex-post hozama képletének felhasználásával.

59 Az E(.) kifejezés a várható értéket (expected value) jelöli.

2001 -25%

2002 25%

2003 27%

2004 -15%

Ugyanígy kiszámolva az átlagot:

Azaz a Dinamikus Rt. részvényeinek is 9,4%-os hozamot jósolunk a következő egy évben a múltbeli adatok alapján.

Tegyük fel, hogy most egy jó barátunk keres meg minket azzal, hogy szeretne tőlünk befektetési tanácsot kérni. Bár ódzkodunk a hasonló kérésektől, vele mégis kivételt teszünk. Barátunk azt kérdezi, melyik cég papírja biztosít várhatóan magasabb hozamot. Válaszunk, amelyet a fenti számolással tudunk alátámasztani a következő lesz: mindkét papír várható hozama azonos, a múltbeli adatok alapján.

Már halljuk is barátunk következő kérdését: Akkor mindegy, hogy melyiket veszem?

Jó kérdés, de mielőtt gyorsan rávágnánk az igent, gondolkodjunk el egy pillanatra. Biztos, hogy 9,4%-ot fogunk realizálni a részvények megvásárlásával? Nem, sőt nagy valószínűséggel nem. Mindkettőnél 9,4%-os eredményre jutottunk, de egyik esetben sem mondhatjuk, hogy tuti biztos az a 9,4%.

A kimenetek száma ugyanis elvileg végtelen nagy lehet, -100% és a végtelen között bármekkora lehet a hozam. Persze a gyakorlatban ennél kisebb sávot tartunk valószínűnek, de ki tudja. Ha a két papírról kellene véleményt mondani, célszerű az elmúlt évek realizált hozamainak szórását is kiszámolni. Már pusztán a hozamokat nézve látható, hogy bár ugyanakkora hozamot realizálhattunk volna a két papír tartásával az elmúlt öt évben, a Dinamikus Rt. hozamai lényegesen jobban szóródtak. Ha a hozamok szórását a statisztikában megtanult képlettel kiszámoljuk, a NagyonJóCég Rt. részvénye hozamának a szórása 11,41%, míg a Dinamikus Rt. részvényének hozama 24,44%-kal szóródik.60 Azaz, ha mindkét papír esetében 9,4%-os várható hozamot jósolunk is, az első esetben nagyobb bizonyossággal tehetjük ezt. Mivel a két papír ugyanakkora várható hozamot biztosít, de az első kockázata kisebb, az jobb befektetésnek tűnik.

Ebben az egyszerű példában két nagyon fontos megállapítást tettünk. Az egyik az, hogy egy befektetés kockázatát a befektetés hozamának szórásával mérhetjük. Ez éppen megfelel a fenti definíciónak. Ha ugyanis csak egyetlen kimenet következhetne be a jövőben, annak a szórása nulla lenne, azaz a kockázatmentes eszköz, mivel hozama előre ismert és biztos, nulla szórással rendelkezik.

Vegyük észre, hogy ez a definíció nem feltétlenül egyezik meg a hétköznapok kockázat definíciójával. Ha ugyanis azt kérdeznék Öntől, hogy kockázatosnak tart-e egy olyan játékot, ahol 100 forintos sorsjegyet megváltva 50% eséllyel 200, 50% eséllyel 500 forintot nyer, aligha nevezné ezt kockázatnak. Pénzügyi szempontból azonban ez kockázat. Egy vállalkozás vezetőjeként Önt nemcsak az érdekli, hogy vállalkozása nyereséges legyen, az sem mindegy, hogy mennyire. Ha a hozamok szóródása kicsi, könnyebben tervezhető a jövő, nagyobb beruházásokba tud kezdeni, hogy még nagyobb bevételhez és eredményhez juttassa a cég tulajdonosait.

60 A fenti szórások kiszámításánál n=5 elemszámmal dolgoztunk. Tudjuk, hogy kis elemszám esetén a szabadságfokkal korrigálni kellene, ez azonban a gyakorlatban nem fordul elő, hiszen nem éves, hanem havi, vagy még inkább napi részvényhozamokkal számolunk. Ha pedig egy évben 250 kereskedési nap van, egy 250 elemű mintánk lesz, ami szükségtelenné teszi a szabadságfok korrigálását.

A másik, a fenti példában szereplő megállapítás, hogy a befektetők szeretik a hozamot, de elutasítják a kockázatot. Ezen persze lehet vitázni, mert sokan vannak, akik fizetnek azért, hogy egy gumival a lábukon leugorhassanak egy daru tetejéről. A továbbiakban azzal – a valóságtól nem túlzottan távol álló – feltevéssel élünk, hogy a befektetők vállalkozni, befektetni, és nem hazardírozni akarnak.

Ha a közgazdaságtan nyelvén kellene a fentieket megfogalmazni, azt mondhatnánk, hogy a hozam pozitív értékkel, míg a kockázat negatív értékkel bíró jószág, az előbbit preferálják, az utóbbit diszpreferálják. Ezért feltesszük, hogy a befektetők azonos kockázatú befektetések közül a várhatóan magasabb hozamot biztosítót választják, azonos hozam esetén pedig a kisebb kockázatút. Döntéseiket egy kétdimenziós térben hozzák meg, minél kisebb kockázatra és minél nagyobb hozamra törekedve.

Vegyünk egy példát! Nézzük az alábbi ábrát! Tegyük fel, hogy három befektetési lehetőség, A, B és C közül választhatunk. A döntés ebben az esetben egyértelmű. Az A befektetés jobb üzletnek tűnik B-nél, hiszen ugyanazt a várható hozamot kisebb kockázat mellett biztosítja. Ugyanakkor C is jobban tűnik B-nél, hiszen ugyanolyan kockázat mellett magasabb várható hozammal kecsegtet.

De kérdés, hogy A és C közül melyiket válasszuk. A válasz igazi közgazdászokra jellemző válasz lehet csak: attól függ…

Hogy mitől? Hát attól, hogy milyen a befektető kockázatvállalási hajlama. A C ugyanis hiába biztosít nagyobb hozamot, nagyobb a kockázata is. Hogy ez a hozamtöbblet elegendő-e a kockázat ellensúlyozására, az egyéni döntés függvénye, ha úgy tetszik, a preferenciáktól függ. Ha valaki nagyon elutasítja a kockázatot, az A befektetést fogja választani, ha jobban viseli, valószínűleg a C mellett fog dönteni.

Rajzoljuk fel egy befektető közömbösségi görbéit a fenti ábrára! A hasznosság a nyílnak megfelelően nő, hiszen mindenki nagy hozamot szeretne magas kockázattal.

Mint látjuk, ez a befektető az A lehetőséget választja, mert az helyezkedik el a legmagasabb hasznosságot biztosító görbén. Természetesen előfordulhat, hogy egy másik befektető közömbösségi görbéi közül a legnagyobb a C befektetésen menne keresztül.

De mi történne ilyen viszonyok között a B befektetéssel? Kihalna? Nem feltétlenül. Egyrészt mindig vannak olyan befektetők, akik tévednek, nem figyelnek a kockázatra, és az A helyett a B befektetést választják. A másik lehetőség, hogy a B befektetéstől mindenki szabadulni igyekszik, aminek következtében az ára esik. Adott cash flow esetén – lapozzunk vissza néhány leckét! – az ár csökkenése a hozam növekedésével jár együtt, azaz a B befektetés az áresés és az ezzel párhuzamos hozamemelkedés következtében a C irányába mozdul el. Addig esik az ára, és emelkedik ezáltal a hozama, míg elég vonzóvá nem válik a befektetők számára.

Mi a fenti gondolatmenetből levonható következtetés? Talán az, hogy magasabb hozam csak magasabb kockázat mellett képzelhető el. Ne feledjük az ingatlanszövetkezetek 2004-es csődhullámából levonható tanulságokat! Ahogyan a Wall Street-en mondják: ingyen ebédek nincsenek. Ha egy befektetés magas hozamot ígér, annak a kockázata is nagyobb. Ha nem így lenne, már régen elhappolták volna előlünk azok, akik közel vannak a tűzhöz, akik hamarabb tudtak lépni. Mindenki csak akkora hozamot akarjon realizálni, amekkora kockázatot be tud vállalni. Az igazán vad spekulánsok sosem alszanak jól!

Többelemű portfóliók kockázata

Változik a fenti helyzet, ha nem egyetlen részvényt vásárolunk? Akik a statisztikaórán figyeltek, azok válasza egyértelmű: Naná!

A részvényeket, illetve a befektetéseket eddig úgy fogtuk fel, mintha azok hozama egy-egy valószínűségi változó lenne. Egy valószínűségi változót eloszlásával jellemzünk. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a részvények hozama normális eloszlású. Ekkor elég a várható érték (itt: várható hozam) és a szórás (itt: a hozam szórása) ahhoz, hogy a valószínűségi változót (itt: a befektetést, a részvényt) jellemezni tudjuk.

De akkor mit tudunk mondani egy portfólió hozamáról? A statisztika nyelvén: mit tudunk mondani két azonos eloszlású valószínűségi változó összegéről?

A válasz egyszerű: a várható érték (itt: a portfólió várható hozama) a két elem (itt: a két részvény) várható hozamának súlyozott számtani átlaga. A szórás (itt: a portfólió hozamának a szórása) a varianciák és a kovarianciák összege. Képlettel:

, ahol rp a portfólió várható hozama, míg r1 és r2 a két lehetséges befektetés hozamát jelöli. A portfólió varianciája (azaz a szórás négyzete)

, ahol 1,2 a két befektetés hozama közötti kovariancia, míg 1,2 a két befektetés hozama közötti

korrelációs együttható, míg w1 és w2 a két papír portfólión belüli súlya.61 Ezek a súlyok értéksúlyok, azaz azt mutatják, hogy a befektetett pénzünk milyen arányban oszlik meg a két részvény között.

Hogyan lehet a pénzügy nyelvére lefordítani a korrelációs együtthatót? Ez gyakorlatilag a két papír hozamainak együttmozgását jelenti, ami a múltbeli adatokból számolható. Ha az egyik papír áremelkedése, azaz pozitív hozama esetén a másik ára esik, azaz a hozama negatív, a két papír korreláltsága negatív. Ha az egyik emelkedése esetén a másik is emelkedik, a két hozam korreláltsága pozitív.

Tegyük fel, hogy egy szigeten két cég működik, az egyik napernyőket, a másik esernyőket gyárt. Nyilvánvaló, hogy esős évben az egyik, napos évben a másiknak megy jól. Ha azonban egyik lakos sem használ esernyő helyett napernyőt és fordítva, akkor egyszerre csak az egyik cégnek mehet jól: a két papír hozama közötti korreláció negatív.

Tegyük most fel, hogy van két esernyőgyár a szigeten. Az egyik piros, a másik zöld esernyőket gyárt, de a bennszülöttek nem tudják a két színt egymástól megkülönböztetni. Ekkor várhatóan ugyanakkor megy jól az egyiknek, mikor a másiknak, és várhatóan visszaeséseik is egy időben következnek be: a két részvény hozama közötti korreláció pozitív.

A fenti példa nyilván erőltetett, de jól mutatja, mit jelent a pozitív és mit a negatív korreláltság.

Sokszor mondják, hogy azok a cégek, amelyek ugyanabban az ágazatban tevékenykednek, hasonló lehetőségekkel és hasonló kihívásokkal néznek szembe. Ezért ha a két vállalat ugyanazt a terméket gyártja, ugyanazt a szolgáltatást nyújtja, részvényeik hozama nagyobb valószínűséggel lesz pozitívan korrelált, mint negatívan. Ha például az olajárak emelkednek, az olajkitermeléssel foglalkozó cégek szinte mindegyikének nő a profitja. Hogy mennyivel, abban persze jelentős eltérések lehetnek. Ha viszont a nyereségesség nő, vélhetően a részvényárfolyam is, azaz mindkét olajtársaság részvényesei pozitív hozamot realizálnak. Ha az olajár csökken, negatív hozamra számíthatunk. A két papír hozama valószínűleg pozitívan korrelált.

Térjünk vissza az előző példánkhoz. Mekkora a NagyonJóCég és a Dinamikus Rt. hozamai közötti kovariancia. A statisztikából megismert módon számítható: 1,2=-2,07%. Ezt leosztva a két szórással, megkapjuk a korrelációs együtthatót:

azaz a két papír hozama negatívan korrelált.

Hogy a portfólió szórásának kiszámítására is nézzünk egy példát, tegyük fel, hogy két élelmiszeripari céget, a Hami Rt-t és a Táp Rt-t vizsgáljuk. Szerencsére a részvényelemzők a fenti számításokat már elvégezték, és az alábbi táblázatba foglalták össze:

E(r)

Hami Rt. 12% 20%

Táp Rt. 16% 25%

A Táp Rt. láthatóan nagyobb várható hozammal kecsegtet, de magasabb szórás mellett. A két papír hozamai közötti korrelációs együttható =0,6.

Tegyük most fel, hogy a Hami Rt. részvénye 100 Ft-ot ér, és 20 darabot birtoklunk belőle, míg a Táp Rt. papírjáért 300 forintot adnak, és 10 darabbal rendelkezünk. Határozzuk meg, mekkora

61 Csak emlékeztetőül: .

portfóliónk várható hozama és mekkora ennek a hozamnak a szórása!

A két papír súlyát kell előbb meghatároznunk. A portfólió értéke 100*20+300*10=5000 Ft. Ezen belül az egyik papírba 2000, a másikba 3000 Ft-ot invesztáltunk. Azaz a Hami Rt. súlya 40%, míg a Táp Rt-jé 60%. Nézzük a képleteket, és használjuk fel, a korábban meghatározott várható értéket és szórást. Eszerint:

, ahonnan

p=20,8%.62

Elemezzük a kapott eredményt! A várható hozam 14,4%. Azaz 2,4%-kal magasabb hozamot értünk el annál, mintha tisztán a kevésbé kockázatos Hami részvényt tartottuk volna. Ugyanakkor a kockázat csak 0,8%-kal nőtt!

Ha csak a Hami Rt-be fektettünk volna, minden 1% plusz kockázatért 0,6% plusz hozamot kapnánk (12%/20%=0,6). Ha csak a Táp Rt. részvényébe, kicsit jobb a helyzet, 0,64%-ot (16%/25%=0,64). Ha viszont a fenti portfóliót tartjuk, 0,69%-ot kapunk minden egy százalék plusz kockázatért (14,4%/20,8%=0,69). Ez a hatás a diverzifikáció hatása. Azzal, hogy megosztom a pénzemet több befektetés között, jobb helyzetbe jutok. Nőtt ugyan valamelyest a kockázat, de a hozam ezt bőven ellensúlyozta. Összességében jobban jártunk.

A diverzifikáció mértéke a két papír hozamai közötti korreláció függvénye. Tegyük fel, hogy a korrelációs együttható valójában nem 0,6, hanem csak 0,2. Ekkor a portfólió szórása csak:

,

azaz lenne. Tehát úgy nőtt a portfólió hozama egy tisztán csak Hami

részvényt tartalmazó portfólió hozamához képest, hogy a kockázat csökkent!63 A hatás a korrelációs együttható függvénye. Minél közelebb van elméleti minimumához, azaz –1-hez, annál erősebb a diverzifikációs hatás. Ilyenkor található olyan w1-w2 arány, ahol a portfólió kockázatmentessé válik! Ha viszont a korrelációs együttható a +1-hez közelít, a diverzifikáció hatása erősen csökken. Az erős negatív korreláltság esetén az egyik papír sikertelensége esetén a másik valószínűleg sikeres lesz, azaz a két hatás kiolthatja egymást, a kockázat, hogy mindkét befektetésünkön bukunk, erősen csökken.

Természetesen, ha azt találjuk, hogy a korrelációs együttható nulla, az azt jelenti, hogy a két papír hozama egymástól függetlenül alakul.

Ahogyan a Wall Street-en mondják: érdemes több kosárban tartani a tojásokat. Ezt a korrelációs együtthatóról elmondottak alapján azzal tudjuk kiegészíteni, hogy ha este rántottát akarunk enni, akkor jó, ha a két kosarat egymástól jó messze helyezzük.

A következő ábra a fenti két részvényből álló portfóliónk lehetséges értékeit mutatja különböző w1-w2 súlyok és különféle korrelációs együtthatók mellett.

62 Mindig gondot szokott okozni, hogy a variancia kiszámításánál a százalékos formát figyelembe vegyük, (azaz 20%-ot, vagyis 0,2-t írjunk), vagy ne (azaz egyszerűen 20-at szerepeltessünk). A válasz, hogy mindegy. A fenti képletben simán 20-at és 25-öt írtunk. Nyilvánvalóan a gyökvonás után kapott érték is ilyen formátumú lesz. Ha 0,2 és 0,25 szerepelt volna, a variancia képletéből 0,0433, míg szórásként ennek gyöke 0,208, azaz 20,8% adódott volna.

63 Ne felejtsük, hogy a korrelációs együttható a várható hozamra nincs hatással, azaz a várható hozam továbbra is 14,4%.

A fenti ábrát bárki előállíthatja a korábban megismert adatok segítségével. Látható, hogy amennyiben = -1, létezik olyan w1-w2 arány, ahol a portfólió kockázata nulla.

Sajnos ez a gyakorlatban sosem fordul elő. Ez persze a diverzifikáció létezését nem cáfolja., de két kockázatos eszközből aligha tudunk a valóságban kockázatmentes portfóliót készíteni.

Hogy ha a korrelációs együttható ismert, adott, hogy a befektető milyen lehetőségek közül választhat. Azt a portfóliót fogja választani, ami hasznosságát maximalizálja, azaz ugyanúgy az egyéni közömbösségi görbéken fog a döntés alapulni, mint mikor csak egy papírt kellett választani.

26. Kockázat és hozam II.

Az előző órán, bár sok kérdést megvizsgáltunk, megálltunk félúton. A gyakorlatban ugyanis nemcsak két részvény közül választhatunk, még Magyarországon sem. Ráadásul az ott elmondottak nemcsak önálló cégekre, hanem egyes projektekre is igazak lehetnek. A diverzifikáció előnye akkor is fellép, ha egy vállalat kezd két, egymástól akár nagyon eltérő tevékenységbe. Gondoljunk csak a Matávra! A telefonos szolgáltatás mellett – többek között – Internetes vállalkozással és kábeltévé társasággal is rendelkezik. De említhetnénk a General Electric-et, a világ legnagyobb vállalatát, amely a turbinától az izzógyártáson át a pénzügyi szolgáltatásig rengeteg dologgal foglalkozik.

A vállalati pénzügyesek azt szokták mondani, hogy az ilyen vállalaton belüli diverzifikáció nem az igazi, mert aki mindennel akar foglalkozni, az végül semmivel sem fog, a befektetők pedig semmi plusz lehetőséget nem kapnak, hiszen ha ezek a projektek külön tőzsdei cégek lennének, akkor is össze tudnák vásárolni ugyanezt a portfóliót.

Látható tehát, hogy a kérdésnek messzemenő vállalati következményei is vannak, nem csupán a tőzsdei portfóliókezelésről beszélünk. Az egyszerűség kedvéért maradjunk annál a feltevésnél, hogy itt külön cégek részvényeiről van szó, nem pedig egy vállalat több tevékenységéről. A megállapítások természetesen ettől függetlenül igazak lesznek arra az esetre is.

Ott tartottunk tehát, hogy több részvény megvásárlásával még nagyobb portfóliókat állíthatunk össze. Ahol pedig több a papír, ott a diverzifikációnak is több lehetősége van. Minél több részvényünk van, annál jobban csökkenthető a portfólió kockázatossága. A kockázat azonban csak egy szintig csökkenthető, mivel a gyakorlatban –1-es korrelációs együtthatót aligha találunk.

Nézzünk egy egyszerű példát. Tegyük fel, hogy 1 db Richter részvénnyel rendelkezünk. Vegyünk mellé még egy EGIS-t. Ekkor a kimondottan a Richterre jellemző kockázatokat már kiütöttük a portfóliónkból. Hiába dől ugyanis be a Richter egy kutatási projektje, az EGIS árfolyamát és hozamát ez aligha érinti. Vegyünk mér hozzá TVK-t, Borsodchemet, MOL-t és Pannonplast-ot. Ekkor már a gyógyszeripar kockázatának való kitettségünket is csökkentettük, de még mindig vegyipari portfóliónk van. Vegyünk Matáv-ot, OTP-t, Rábát, NABI-t, és FHB részvényt. A vegyiparnak való kitettségünk is csökken, hiszen ha nem megy a vegyiparnak, majd megy a bankszektornak, a távközlésnek vagy a gépiparnak.

Persze hiába vesszük meg az összes hazai részvényt, még mindig ott marad a teljes magyar piac hanyatlásának kockázata. Ugyanígy hiába vesszük meg a hazai papírjaink mellé az összes európai részvényt, akkor is ott marad az egész európai gazdaság kockázata. A sor folytatható, de a világgazdasági recesszió kockázatát így sem tudjuk kiküszöbölni.

Ezt, a diverzifikációval meg nem szüntethető kockázatot piaci, vagy nem-diverzifikálható

kockázatnak nevezzük. A kockázatnak a diverzifikációval megszűntethető része az ún. egyedi, vagy diverzifikálható kockázat.

A kockázat csökkenése a részvények számának növekedésével

Nézzük az alábbi ábrát! Az alábbi ábrán feltüntettünk három befektetési lehetőséget, ha úgy tetszik, részvényt (A, B, C). Az őket összekötő fekete vonalak a belőlük páronként képzett portfóliók elvárt hozamát és szórását adják meg. A bal szélső, vastagabb kék vonal viszont a három eszközből együtt létrehozható portfóliók elvárt hozamát és szórását adja meg. Látható, hogy ha bármelyik kételemű portfólióhoz hozzávesszük a harmadik eszközt is, akkor biztosan nem fogunk nagyobb szórású portfóliót kapni (sőt, általában kisebb szórású, azaz kisebb kockázatú portfóliónk lesz).

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

1 4 710 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

Diverzifikálható kockázat

Többelemű portfóliók halmaza

Az ügyes befektetők azonban nem az összes befektetési lehetőség közül fognak választani. Nem választják ugyanis azokat a portfóliókat, amelyeknél van jobb abban az értelemben, hogy ugyanazt a hozamot alacsonyabb kockázat mellett biztosítják. Ugyancsak nem fogják azokat a befektetéseket választani, amelyek ugyanakkora kockázat mellett kisebb hozamot biztosítanak. Azaz, ha igazán racionálisan közelítenek a problémához, azokat választják, amelyek a lehetséges portfóliók felületének „észak-nyugati” határán helyezkednek el.

Ezek a portfóliók már csak piaci kockázatot fognak tartalmazni. Az ilyen, tehát csak piaci kockázatot tartalmazó portfóliókat hatékony, más néven jól-diverzifikált portfólióknak nevezzük. Ha a befektetőkről feltesszük, hogy racionálisak, akkor egyben azt is feltesszük, hogy csak a hatékony portfóliók közül választanak. Hogy melyiket? Az a kockázatviselési hajlamuktól, ha úgy tetszik, közömbösségi görbéiktől függ. Ugyanúgy, ahogyan az előző órán láttuk.

Mi következik abból, hogy a befektetőkről feltesszük, hogy racionálisak? Az, hogy csak jól-diverzifikált portfóliókat tartanak. Így az összes általuk vállalt kockázat a piaci kockázat lesz. Emiatt a piacon a befektetők által elvárt hozamok nem a részvények – illetve a befektetési lehetőségek – összes kockázatától, azaz a szigmától () fognak függeni, hanem csak annak egy részétől, amit piaci kockázatnak nevezünk.

Ennek jelölésére vezették be a pénzügyekben a bétát (). A béta a piaci kockázat mérőszáma. Azt mutatja meg, hogy egy részvény, vagy általánosan egy befektetési lehetőség hozama mennyire függ a piaci kockázattól.

A piaci kockázat, illetve a piac változása alatt a továbbiakban a piac egészének kockázatát, illetve változását, valamifajta piaci portfólió változását értjük. A gyakorlatban az egyszerűség kedvéért piaci portfóliónak az adott piac tőzsdeindexét szokták tekinteni.

Azok a befektetési lehetőségek, amelyek piaci kockázata nulla, nulla bétájúak. Ha a béta pozitív, a vállalat részvényének hozama a piaccal egy irányba mozdul, ha negatív ellene. A választó az egyes érték. Az egynél nagyobb bétájú befektetések a piac mozgását felnagyítják, erősen érzékenyek a piaci portfólió változásaira.

A béták jelentését az alábbi táblázatban foglaltuk össze:

<1 Érzékeny, de a piaccal általában szemben mozgó részvény;

<0 A piac változásait tompító, de a piaccal általában szemben mozgó részvény;

=0 Kockázatmentes befektetés;

<1 A piac változásait tompító, a piaccal általában egy irányban mozgó részvény;

Érzékeny, a piaccal általában egy irányban mozgó részvény;

A kérdés az, hogy mikor, hány részvény összevásárlásával érhető el a jól-diverzifikált állapot? A tapasztalatok azt mutatják, hogy már 20-25 részvény összevásárlásával elérhető, hogy az általunk tartott portfólió már csak a piac egészének mozgását követi, az egyedi kockázatok nincsenek rá hatással.

Egy portfólió bétája a benne szereplő papírok bétájának súlyozott számtani átlaga. Ha például az Ön portfóliójában az előző órán megismert két vállalat a NagyonJóCég Rt. és a Dinamikus Rt. részvénye szerepel 40%-60% arányban, a NagyonJóCég bétája 0,8, míg a Cdinamikus Rt-jé 1,1, akkor a portfólió bétája:

Mi a fent elmondottak következménye a vállalati pénzügyekre, a saját vállalkozásunkra nézve? Ha egy projektet értékelni kell, ahhoz tőkeköltségre van szükségünk. Ezt eddig is tudtuk. Ha tőkeköltség kell, mindig a projekt kockázatának megfelelő tőkeköltséget használjuk. Ezt is tudtuk. Mondjuk a konkurens vállalatok elvárt hozamát.

Ami új, az az a gondolat, hogy ez az elvárt hozam nem a projekt összes kockázatának, hanem csak a piaci kockázatának a függvénye. A piac azért nem fizet, hogy rossz az anyagbeszerzésünk, tűzveszélyes a raktárunk és dilettáns a menedzsmentünk. Csak azért, hogy a cég mennyire ciklus érzékeny. Más szóval a hozam (r) csak a béta, és nem a szigma függvénye!

Hogyan függ egy befektetés elvárt hozama a bétától? Nyilvánvalóan, minél nagyobb a béta, annál nagyobb az elvárt hozam is. Emellett annak is igaznak kell lennie, hogy ha a papír kockázatmentes, azaz bétája nulla, akkor a kockázatmentes hozammal kell, hogy megegyezzen a papír elvárt hozama. Másrészről, ha a béta 1, akkor a piac átlagával azonos kockázatú a befektetés, így a hozamának is a piaci portfólió hozamával kell egyenlőnek lennie.

A megoldás egyszerű. Az elvárt hozam:

,

ahol rf a kockázatmentes kamatláb (f, mint (risk) free), míg rm a piaci portfólió elvárt hozama (m, mint market).64

27. A tőkeköltség I.

Egy vállalati pénzügyes úgy tekint a vállalat eszközoldalára, mint projektek összességére. Az rendben van, hogy számviteli szempontból a vállalat eszközeit befektetett- és forgóeszközökre,

64 Egyeseknek nyilván feltűnt, hogy amennyiben a béta negatív, az elvárt hozam, annak ellenére, hogy kockázatos befektetésről van szó, a kockázatmentes hozamnál kisebb. Ez igaz, de ne feledjük, hogy ezek a papírok akkor muzsikálnak jól, ha a piaci portfólió hozama negatív, azaz, ha a piac egésze esik, hiszen ezek a papírok a piaccal „szemben” haladnak. Ilyenkor a realizált hozam a kockázatmentes hozamnál magasabb lehet.

illetve az ezeken belül definiált kategóriákra különítjük el, de látni kell, hogy minden egyes, a vállalat tulajdonában lévő eszköz valamilyen projekt megvalósításához kapcsolódik. Az eszközök egy-egy ilyen csoportja alkalmas arra, hogy a vállalatot adott pénzáramláshoz juttassa.

Például egy elektromos háztartási eszközöket gyártó cég porszívó projektjéhez kapcsolódik a porszívót alkotó alkatrészek összessége, a porszívót gyártó gépsor és a gépsornak helyet adó üzemcsarnok. Ugyanide tartozik a porszívót előállítani képes szaktudás (know how): mindezeknek pontosan meghatározott helye van a számviteli mérlegben, mi azonban egy kalap alá vesszük őket, mert így együttesen alkotnak egy projektet. Ha a vállalat összes eszközét sikerül projektekhez kapcsolni, akkor pénzügyi szempontból jól átlátható mérleghez jutunk.

Miért van erre szükség? Hát nyilván azért, hogy a vállalatot pénzügyi szempontból kezelni tudjuk, hogy meg tudjuk például határozni az értékét. Ha ugyanis adott egy projekt, az onnantól kezdve jellemezhető lesz a pénzáramlásával és elvárt hozamával, így már tudni is fogjuk, hogy mennyit ér az valójában. Ha az összes projektet ily módon beáraztuk, akkor a projektek értékének összessége megadja a vállalat piaci értékét.

A projektek tőkeköltsége – az az elvárt hozam, amellyel a projekt pénzáramlásait diszkontáljuk – a projekt kockázatától függ.

A vállalatok a projekteket, illetve az azokat alkotó eszközöket megvásárolják, hogy pontosan miből, azt tartja számon a vállalati mérleg forrásoldala. Mi egyszerűen a forrásoldalra mint saját- és idegen tőke összességére hivatkozunk. A vállalat megvehet egy gépet úgy, hogy részvényeket bocsát ki, és megveheti azokat úgy is, hogy hitelt vesz fel (kötvényeket bocsát ki), illetve az előző kettőt kombinálhatja egymással. A legfontosabb mérlegazonosság, amit mindenki ismer az, hogy az eszközök összértéke meg kell egyezzen a források összértékével. Az is tudjuk, hogy az eszközök összértéke nem más, mint a vállalat értéke, így az idegen tőkének és saját tőkének az értéke is a vállalat értékével fog megegyezni.

Tekintsünk egy olyan vállalatot, amelyik csak sajáttőkéből, azaz pusztán részvénykibocsátással finanszírozza eszközvásárlásait. A befektetőt, aki a részvényeket megveszi az érdekli, hogy mekkora ezeknek a részvényeknek a hozama. A vállalati pénzügyes, ha ismeri a vállalat eszközoldalát, tehát azt, hogy milyen projektek működnek éppen, akkor meg tudja mondani, hogy mekkora lesz a részvényektől elvárt hozam. Ugyanis a részvények ebben az esetben egy olyan portfóliót jelentenek, amely összetevőit a vállalat különféle projektjei alkotják.

Tekintsük a következő ábrát!

P1rP1

P3rP3

P2rP2

V rV

ErE

Középen a V a vállalatot jelöli, a baloldalon P1, P2, P3 a vállalat által megvalósított projekteket, a jobboldali E arra utal, hogy a projekteket részvénykibocsátással, azaz saját tőkéből vásárolták meg (equity = saját tőke). A projektek egy eszköz-portfóliót alkotnak, így aki a vállalat egy részvényét megvásárolja, az a portfólió arányos részét vásárolja meg.

Az ábrán az eszközoldalról a forrásoldalra mutató nyilak két dolgot is jelölnek. Egyrészt az eszközök határozzák meg a vállalat, és így a forrásoldal értékét – erről később még bővebben lesz szó, másrészt az eszközök működése biztosítja a vállalat tulajdonosainak (illetve hitelezőinek) a vállalatból nyerhető pénzáramlásokat (osztalék, kamat, tőketörlesztés).

Mielőtt a fenti ábrát részletesebben elemeznénk, meg kell jegyeznünk, hogy egy tipikus kisvállalkozás eszközoldalán jellemzően egyetlen projektet fogunk találni. Így abban az esetben nem jelent túlzott nehézséget annak eldöntése, hogy magához a vállalkozáshoz milyen tőkeköltség vagy átlagos elvárt hozam tartozik. Most térjünk át az ábra elemzésére! Tudjuk, hogy , így az egyes projektek súlya a vállalat értékében:

Ha ismert a portfóliót alkotó elemek súlya (azaz a portfólió pontos összetétele), és az egyes elemektől elvárt hozam, akkor ki tudjuk számítani a portfóliótól elvárt hozamot:

A fenti vállalat esetében így kapott elvárt hozamot az eszközöktől elvárt átlagos hozamnak nevezzük, és általában rA-val vagy rV-vel jelöljük. Az A index az eszközökre utal (Assets = eszközök), a V index a vállalat szóra utal. A fenti példában az rA lesz a részvényektől elvárt hozam is egyben.

Ha továbblépünk, és megengedjük, hogy a vállalat idegen tőkéből is finanszírozza működését, akkor már nem lesz igaz, hogy a részvényektől elvárt hozam megegyezik a súlyozott átlagos tőkeköltséggel. Ebben az esetben a vállalat szerkezete a következő lesz:

A jobboldalon megjelent az idegen tőke, amire a D utal (debt = adósság). Hogyan tudnánk eljutni ebben az esetben a részvényektől elvárt hozamhoz? Gondoljunk bele a részvényes helyzetébe! Amikor ő részvény vásárol, akkor egy olyan portfólióban szerez részesedést, amelynek egy része adósság. A részvényes szempontjából ugyanis ez az egész úgy néz ki, hogy a portfólióban benne van a három projekt, a nekik megfelelő elvárt hozammal, és benne van az adósság, csakhogy az negatív előjellel.

Vegyük lépésenként:

A mérlegazonosság:

Ezek alapján a projektek és a források vállalat értékében betöltött súlya:

A részvényes szempontjából a megvásárolt portfólió (illetve amiben részesedést szerzett) értéke:

Nézzük meg mekkora portfólió egy elemének súlya: az i-edik projekté:

az adósságé:

A súlyok ismeretében már könnyen megkapjuk, hogy mekkora hozamot várhatunk el a részvénytől:

P1rP1

P3rP3

P2rP2

V rV

ErE

DrD

Jól látható, hogy az eszközoldal, és így az eszközöktől elvárt átlagos hozam (rA) ismeretében a részvényektől elvárt hozam attól függ, hogy milyen a forrásoldal összetétele. Ha a fenti egyenlőség elejéz és végét összeolvassuk, és átalakítjuk, akkor a következő összefüggéshez jutunk:

Azaz a forrásoldalon lévő saját- és idegen tőke hozamainak súlyozott átlaga megegyezik az eszközöktől elvárt átlagos hozammal. A forrásoldalról nyert átlagos hozamot a vállalat súlyozott átlagos tőkeköltségének nevezzük, gyakran az angol rövidítésnek megfelelően WACC-ként hivatkozunk rá. (Weighted Average Cost of Capital = súlyozott átlagos tőkeköltség). Tehát:

Azaz: .A fenti levezetésben van egy bújtatott állítás, amit nem árt, ha pontosabban is kifejtünk! Az eszközöktől elvárt hozam nem függ attól, hogy milyen forrásból vásároljuk meg az egyes projekteket.

Könnyen érthető a dolog, ha a cipővásárlásra gondolunk!

A cipőt nem érdekli, hogy loptuk-e a rávalót!

Egy cipőt sokféleképpen meg lehet vásárolni. Össze lehet rá kuporgatni a pénzt, lehet kölcsönkérni anyutól, lehet lopni. Ha a pénz megvan, akkor megvesszük. De a cipő nem attól ázik be, vagy lesz éppen kellemesen meleg a zord téli napokon, hogy a rávalót honnan szereztük. A cipő tulajdonságai attól függnek, hogy egyrészt milyen anyagból rakták össze, másrészt meg attól, hogy mire használjuk.

Ugyanígy van ez a vállalat eszközeivel is. Lapozzunk csak vissza, hogy mitől függ az eszközök kockázata! Nem soroltuk fel kockázati forrásként az eszközök finanszírozásának módját. Így ha egy vállalat eszközeinek összetételén nem változtatunk, akkor a súlyozott átlagos tőkeköltség sem fog változni. Azt persze megtehetjük, hogy megváltoztatjuk a forrásoldal összetételét, mondjuk a részvények egy részét kötvényekre cseréljük le, de ezzel a vállalat értékén változtatni nem tudunk, hiszen az az eszközoldalról már meghatározódott.

Ha elővesszük a képletet, akkor látjuk, hogy a forrásoldal súlyozott tőkeköltsége adja a WACC-ot, de ha az eszközoldal nem változik, akkor a WACC sem fog változni. Így, ha mondjuk megnöveljük a részvények súlyát, és a kötvényektől elvárt hozam nem változik, akkor a részvényektől elvárt hozamnak biztosan változnia kell, hogy az egyenlőség teljesüljön.

Azt a vállalatot, ahol a források között idegen tőke is szerepel, tőkeáttételes vállalatnak nevezzük. A tőkeáttételt kétféleképpen szokták mérni. Egyrészt úgy, ahogy mi azt eddig is

használtuk, tehát az idegen tőke értékét viszonyítottuk a teljes vállalat értékéhez. A tőkeáttétel másik mértéke az idegen tőke súlya (nagysága) a saját tőke súlyához (nagyságához) viszonyítva,

azaz .

Röviden tehát azt mondhatjuk, hogy a tőkeáttétel nagysága nem befolyásolja a vállalat átlagos súlyozott tőkeköltségét, ha a vállalati eszközoldal nem változik.

A fenti tétel kiindulópont, ha a vállalati pénzügyes azon mesterkedik, hogy a vállalatot értékesebbnek tüntesse fel azáltal, hogy mondjuk az adósságot új részvényekre cseréli le vagy vice versa. Mi azt állítottuk, hogy ily módon a vállalat értékét nem változtathatja meg. A vállalati pénzügyes azonban valóságban él, és a valóságban ezen az állításon finomítani kell. Ugyanis az elmondottakból például az következnék, hogy egy vállalat akár 100%-ig is eladósodhat, tehát nincs is részvénytőkére szüksége. A valóságban azonban nem teljesülnek azok a feltételek, amelyekkel mi itt dolgozunk. A vállalat külső környezete, tehát a potenciális hitelezők például nem látnak bele a vállalat működésébe, így nem tudják, hogy az mennyire stabil. Ezért ha a vállalat adósságállománya túlzottan megemelkedik, akkor a piac a vállalatot túlzottan kockázatosnak fogja tartani, ily módon leértékeli anélkül, hogy a vállalat az eszközoldali működésén változtatott volna. Így a valóságban inkább azt mondhatjuk, hogy van a tőkeáttételnek egy olyan tartománya, ahol az eladósodottság mértéke indifferens a vállalat értékére nézve.

Mire használjuk tehát a WACC-ot?17. Változatlan eszközoldal esetén, ha megváltozik a forrásoldal összetétele, akkor a könnyedén

kiszámíthatjuk, hogy az új helyzetben mennyi lesz a részvényektől elvárt hozam, ha tudjuk, hogy a kötvényektől elvárt hozam nem változik.

18. Ha az a vállalatot „egyenes arányosan” növeljük, tehát minden tevékenységet azonos mértékben bővítünk, akkor a fentiek értelmében a súlyozott átlagos tőkeköltség nem változik, tehát a WACC kiindulópont lehet az új források értékelésénél.

A WACC úgy tűnik, jó viszonyítási pont egy vállalat életében, de azért vigyáznunk kell vele. Néhány dolgot nem szabad a WACC-al csinálni:

16. Nem szabad a súlyozott átlagos tőkeköltséget projektek értékelésére használni akkor, ha a vállalat többféle tevékenységet is folytat. Ha a vállalat afelől dönt, hogy vajon belevágjon-e egy új projektbe, akkor, ha már ismeri a pénzáramlásokat, azokat nem szabad a WACC-al diszkontálni. Miért is? Azért, mert a WACC egyáltalán nem biztos, hogy az adott projektnek megfelelő kockázatot tükrözi. Meg kell keresni a projektre jellemző diszkontrátát! Milyen hibákat követhetünk el, ha nem tartjuk be ezt a szabályt?

Ha a WACC nagyobb, mint a projektre egyébként jellemző diszkontráta, akkor meglehet, hogy a projektet elutasítjuk, mert negatív nettó jelenértéket kapunk. Tehát elutasítunk egy kevésbé kockázatos értékes projektet. Vagy mondjuk megvásároljuk (mert pozitív nettó jelenértéket kaptunk), és utána eladjuk egy olyan cégnek, amelyik pontosabban értékel, és így vesztünk az üzleten, pedig azt hittük, hogy nyerünk rajta.

Ha a WACC kisebb, mint a projektre egyébként jellemző diszkontráta, akkor meglehet,

hogy a projektet elfogadjuk, mert pozitív nettó jelenértéket kaptunk. Tehát elfogadunk egy kockázatos, de haszontalan projektet.

Ha a vállalat egyetlen tevékenységet folytat – kisvállalkozás, egyéni vállalkozás (mondjuk pékség) -, akkor persze a súlyozott átlagos tőkeköltség szabadon használható, ha például arról van szó, hogy a vállalkozó a tevékenységét bővíteni akarja.

17. A WACC-ot nem szabad egy jövendőbeli részvényesnek felajánlani, hogy annak segítségével döntse el, hogy befektet a vállalatunkba vagy sem. Ugyanis, ha a vállalatunknak adóssága (idegen tőkéje is van), akkor már a részvényektől elvárt hozam nem egyezik meg a WACC-al, mint azt feljebb láttuk is.