válasz függvény
DESCRIPTION
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. Válasz függvény. Romhányi Judit 2006. 10. 26. PhD. I. evf. Elméleti Fizika Tanszék. Bevezetés. 2D és 3D szemcsés rendszereken alkalmazott lokális perturbációra adott választ vizsgáljuk. Kísérleti bizonyíték, arra, hogy a struktúra, - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/1.jpg)
Válasz függvény
Romhányi Judit2006. 10. 26.
PhD. I. evf. Elméleti Fizika Tanszék
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
![Page 2: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Bevezetés
2D és 3D szemcsés rendszereken alkalmazott lokális
perturbációra adott választ vizsgáljuk.
Kísérleti bizonyíték, arra, hogy • a struktúra,• a rendezetlenség,• az anizotrópia,• a súrlódás,
jelentősen befolyásolja a választ.
![Page 3: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Az erők terjedése a szemcsés anyagokban még megoldatlan probléma. Egyik oka:
Rendezetlenség.
Geometriai eredetű
• bi-diszperz rendszer
• ötszög alakú szemcsék (2D)
Kontaktus erők rendezetlensége
•Kontaktusok redundanciája
•súrlódás Azonos makroszkopikus körülmények közt elvégzett kísérlet eltérő válasz a perturbációra. Motivált a statisztikus fizikai megközelítés.
• Számos, azonos körülmények között elvégzett kísérlet átlagát tekintjük.
![Page 4: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Elméleti modellek az erő propagálásának jellemzésére, mind a rács, mind a kontínuum tartományban:
• Kontínuum jellegű leírásnál pl.:
• A klasszikus elasztikus modell
• Elliptikus parciális diff egyenletet (PDE) jósol a rugalmassági küszöb alatt
• és hiperbolikusa fölötte.
• A q modell parabolikus PDE megoldást javasol,
• OSL modell megoldása hiperbolikus PDE-t ad.
• Rácsmodellek esetén:
• Rendezett esetre hullámegyenlet jellegű megoldást,
• Gyenge rendezetlenség mellett diffúziós egyenleteket,
• Erős rendezetlenségre pedig elliptikus PDE-t jósolnak.
![Page 5: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Kísérlet: lokálisan erő alkalmazása után a rendszer válaszának vizsgálata.
Először 2D-s rendszerekkel foglalkozunk:
1. Mono-diszperz korongok rendezett, háromszög rácsba rendezve
2. Bi-diszperz korongokból álló minta, a rendezetlenség különböző fokaival.
3. Derékszögű rácsba rendezett korongok különböző súrlódási eh.kal.
4. Ötszög alakú szemcsék (teljesen rendezetlen eset)
5. Tetszőleges irányú alkalmazott erő hatása
6. Nyírás utáni válasz vizsgálata.
![Page 6: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/6.jpg)
6
A kísérlet bemutatásaFoto-elasztikus mérés: alapja: a szemcsék feszültség által
indukált kettős törése lehetővé teszi 2D-ban a belső szerkezet vizsgálatát.
Elrendezés:
1. Két függőleges plexilap közé pakolt szemcsék
2. A függőlegestől ~2°-kal eltérő lapra helyezett szemcsék.
polarizátorok közé tesszük, majd átvilágítjuk és egy 640480-as felbontású digitális kamerával lefotózzuk.
![Page 7: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/7.jpg)
7
A nyomás alatt álló szemcsén mérve a transzmissziós intenzitást képet kaphatunk a bennük levő erők
(feszültségek) eloszlásáról.
Az erő mérése: Az intenzitás az (x,y) pozícióban:
ahol I0 a beeső intenzitás, t a minta vastagsága, C optikai együttható, a hullámhossz.
F növelésével a fekete-fehér sávok sűrűsödnek, ennek alapján F merhető.
![Page 8: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Az erő kalibrálása:
Először G2 (i,j)-t határozzuk meg (i,j) pozícióra, majd az N pixellel lefedett egy (v. több) szemcsére négyzet átlagot számolunk:
![Page 9: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/9.jpg)
9
A fekete-fehér sávok sűrűsödésével nő <G2> is, ennek kihasználásával kalibrálunk:
1. Ismert erőket alkalmazva mérjük <G2>-et.
2. Egységes súlyokat alkalmazva mérünk.
![Page 10: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Az eljárás:
1. Felvétel: az alkalmazott terhelés és a polarizátorok nélkülfeltérképezzük a szemcsék helyét.
2. Kép: a polarizátorok alkalmazása mellett készül a terhelés nélkül foto-elasztikus háttér.
3. Kép: polarizátorok + terhelés
4. Foto: Ismét polarizátorok és terhelés nélküli felvételesetleges szemcse elmozdulás meghatározása.
A 3.Kép - 2.Kép = a lok. perturbáció okozta feszültség változás. ~G2
![Page 11: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Statisztikus megközelítés:
megvalósítás különböző képet eredményez még rendezett szerkezetű minta esetén is. (súrlódások és kontaktusok a preparáció mikroszkopikus részleteiben rejlik).
Számos, azonos körülmények közt végzett kísérlet átlagos viselkedés
legyen az (x,y) pozícióban a feszültség, az n-dik megvalósítás esetén.
Átlagolás:
• átlagolása n-re.
• Durva-szemcsés átlagolás.
![Page 12: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Az egyes megvalósítások közti fluktuációt
jellemzi. Var = rms2 (x,y).
(a) átlagos válasz
(b) rms(x,y)
Hasonló jelleg összefüggés keresése:
(i,j)-re.
![Page 13: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Kísérleti eredmények:4-féle elrendezés, az erők terjedését befolyásoló tényezőknek megfelelően:
• Rendezetlen szerkezetű minta
• Derékszögű pakolás (rendezett) és a súrlódás szerepe
• Nem merőleges irányú erők hatása
• Nyírt rendszer válasza
![Page 14: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Rendezetlenség szerepe: ~ bidiszprez rendszer válasza
Random kontaktus erők ()Geometriai rendezetlenség
A rendezetlenség (poli-diszperzitás) mértékének kontrolált változtatása:
w(a) : az a korong –átmérő eloszlása.
Bevezetjük az A mennyiséget :
,ahol az m-dik momentum:
A =1 től való eltérés ~ a rendezetlenség mértéke
A =1 felel meg a teljesen rendezett, monodiszperz rendszernek
![Page 15: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Bidiszperz rendszert vizsgálunk: a1 és a2 átmérőjű szemcsékből rendre N1 és N2 db van. Ekkor
R=a1/a2
ni=Ni/N , (i=1,2)
N= N1 + N2
,ahol
Másik út a rendezetlenség jellemzéséhez:
A szemcse-szemcse auto-korrelációs fv. kiszámolása:A: a rsz. Területe
rij a távolság i és j rész között
,és i, j 1-től N1 ill. N2-ig fut
Különböző szemcsék közt:
![Page 16: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/16.jpg)
16
(a) Hexagonálisan pakolt mono- diszperz korongok auto-korrelációs fv.-e.
(b), (c) és (d):
auto-korrelációs fv. A=0,993, A=0,988 és
A=0,965 esetén. Az auto korrelációs fv. itt gyorsan lecsökken a háttér 1 értékére.
![Page 17: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/17.jpg)
17
rendezetlenség -re emlékeztető jelleg.
Bi-diszperz rendszerek lokális gerjesztésre adott válaszai. A 1 rendezett rendszer ~ két csúcs jellegű válasz, rendezetlenség növelésével a 2 csúcs összeolvad.
![Page 18: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Derékszögben pakolt korongok vizsgálata különböző mellett.
meghatározása: 2 korongot összeragasztva ( gördülés) lecsúsztatunk egy az ugyanebből az anyagból készült lejtőn.
1=0,94 ; korongok bevonása teflon szalaggal 2=0,48.
Ez a pakolási módszer csökkenti a kontakt erők véletlen jellegét.
( kontaktus szerepet játszik a stabilitásban. A kontaktus háló jól definiált, a kontaktus erő sehol sem 0.)
![Page 19: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Különböző súrlódás mellett adott válasz. Nagyobb súrlódásnál a válasz fv. viszonylag hamarabb kiszélesedik.
![Page 20: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Tetszőleges irányú erők hatására adott válasz:Kétféle elrendezés: (50g terhelés)
• -ekből álló rendezetlen rendszer ( = 90°, 60°, 45° és 30°)
• Hexagonális rácsba rendezett korongok ( = 90°, 75°, 60°, 45°, 30° és 15°)
Normális irányú erő esetére belátható, hogy a teljesen rendetlen rsz. úgy viselkedik, mint az elasztikus anyagok. Elasztikus anyagra alkalmazva a irányú erőt, a feszültség-tenzor elemei:
Koordináta transzformáció z-tengely F irányába esik, ezzel pl.
![Page 21: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/21.jpg)
21
![Page 22: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/22.jpg)
22
![Page 23: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/23.jpg)
23
![Page 24: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/24.jpg)
24
A következő kísérletben mono-diszperz korongok háromszög rácsára alkalmazunk irányú erőt.
= 90°-ra az ismert válasz, hogy az erők a 2 rácsvektor irányában terjednek. (a)
= 70°-nál a jobb – bal szimmetria megtörik, de még mindig a rácsvektorok irányában terjednek az erők. (b)
= 60° , az erő az egyik rácsvektor irányába mutat. (c)
![Page 25: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/25.jpg)
25
= 45°, 30° és 15° esetekben
•az egyik irány a kitűntetett rácsvektor iránya,
•a másik pedig ~ 62,5° pozitív irányban a függőleges tengelyhez képest
~ az a másod-szomszéd rácsvektor, amelynek iránya közelebb esik az alkalmazott erő irányához.
![Page 26: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Nyírt rendszer vizsgálata:• -alakú szemcsék,
• (a függőlegessel bezárt) szögű nyírások.
• Felületre merőleges erő alkalmazása.
1. Felvétel: az alkalmazott terhelés és a polarizátorok nélkül feltérképezzük a szemcsék helyét.
2. Kép: a polarizátorok alkalmazása mellett készül a terhelés nélkül foto-elasztikus háttér.
3. Kép: polarizátorok + terhelés
4. Foto: Ismét polarizátorok és terhelés nélküli felvételesetleges szemcse elmozdulás.
: az a szög, amelynek irányában a rendszernek a legtöbb kontaktusa van. (): eo.
![Page 27: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/27.jpg)
27
() összehasonlítása nyírás előtti és nyírás utáni esetben
Kvantitatív kép a nyírás köszönhető geometriai érintkezési struktúra megváltozásáról. (adatok szemcsére és 50 mérésre vannak átlagolva)
A szerkezetbeli változás nem olyan szembetűnő, mint az az erő-csatornákban.
Megfigyelés: erő-csatornák 45°-os szögben szeretnek állni.
![Page 28: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Magyarázat:
~ 5°-os nyírás kifejezhető, mint egy /2 szögű forgatás és egy összenyomás 45°-os irány mentén, valamint széthúzás az erre merőleges irányban.
Az összenyomás irányában megnőnek a kontaktus erők, és ez erős aszimmetriához vezet a feszültség hálóban.
Az erő korreláció a kitűntetett irányban hosszú távúak, és a korrelációs függvények hatványfüggvény jellegűek, -0,81 –es exponenssel.
![Page 29: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/29.jpg)
29
3D-s kísérlet:
Dobozba zárt szemcsés anyag esetén a lokális terhelés hatására a doboz alján kialakuló feszültség eloszlását vizsgálták.
Elrendezés:
A homok vékony (~ 100 m) fémes membránra kerül, ennek deformálódását mérték. A P dugattyú ált. kifejtett terhelés M=5g-nak felel meg, A=1cm2 területen.
Mérés 2 különböző méretű és alakú homok keverékén: d1~1mm, d2~300 m.
A lock-in erősítővel (x=0-ban) mért válasz amplitúdót ábrázoljuk ezután az alkalmazott erő-moduláció amplitúdójának (F) fv-ében. Mozgatva az erőt kifejtő dugattyút, zz(x) feltérképezhető a doboz alján.
![Page 30: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/30.jpg)
30
A válasz erő irányú, centrális jelleget mutat. (mint bi-diszperz 2Dben.) A w fél érték szélesség
lineárisan nő a mélység függvényében, és a meredekség anyag függetlenÖsszevetve az egyetlen
rendelkezésre álló elméleti eredménnyel:
(3D fél-végtelen.)
![Page 31: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Kísérlet összefoglalása:
Rendezett rendszer:
rács-szimmetria megjelenése a válaszban.
F
F
rács
rács
Rendezetlen rendszer:
kontínuum jelleg ~ elasztikus anyagokhoz hasonló viselkedés.
F F
-ek+
Kis skála ~ szemcse mérete.Hiperbolikus fv.ek
Nagy skála ~ kontínuum leírás
Súrlódás rendezetlen jelleg
?
![Page 32: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Numerikus eredmények:
2D-s szimuláció különböző rácstípusokra (háromszög és derékszögű)
• Mono-diszperz és
• Poli-diszperz korongokkal.
A kísérlet menete:
1. Kontaktusok nélküli kiinduló konfiguráció létrehozása
2. Relaxáció gravitációs térben
3. Merőleges irányú terhelés alkalmazása
4. Újabb relaxáció
![Page 33: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Mono-diszperz korongok háromszög rácsba rendezve:
A külső erő növelésével átmenet történik az 1 csúccsal jellemzett profilból a 2 csúcsosba. Az átmenethez tartozó erő növekszik növelésével.
Az alk. külső erő (Fext) alatt (x=0) mért válasz Fext fv-ében.
Kis Fext mellett lineáris válasz.
Lineáristól való eltérés oka a külső erő miatti csúszás, ill. a kontaktusok csökkenése.
![Page 34: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Kis külső erő mellett a kontaktus háló változatlan, a válasz elasztikus jellegű. Növelve Fext-t horizontális kontaktusok szűnnek meg csepp alakban. A csepp mérete Fext –el arányosa nő, és -vel arányosan csökken.
= 0 esetben a csepp alakú tartomány erősen anizotrop.
Ha a csepp nem éri el az aljátnyomáseloszlás 1 csúcsú.
Ha eléri (Fext elég nagy) két csúcs látható a válaszban.
![Page 35: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/35.jpg)
35
0 esetben effektív kapcsolat marad a csepp belsejében is.A rendszer sokkal izotropabbnak látszik, mint =0-nál.
Elég kis -re a rendszerben csúszások léphetnek fel két csúcsú válasz jelenik meg. Ha nagy, a nyomáseloszlást alsó lapon 1 csúcs fogja jellemezni.
![Page 36: Válasz függvény](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/5681358e550346895d9cfae8/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Köszönöm a figyelmet!
Felhasznált irodalom:
G. Reydellet & E. Clément: Phys. Rev. Lett. Vol. 86 No. 15. (2001)
G. Reydellet, L. Vanel & E. Clément: Phys. Rev. Lett. Vol. 87 No. 3 (2001)
J. Geng, G. Reydellet, E. Clément & R.P. Behringer: Physica D, 182 274-303 (2003)
C. Goldenberg & I. Goldhirsch: Nature, Vol. 435 (2005)