függvény-transzformációk Általános iskolásoknak készítette: dr. palkóné monostori zsuzsa
DESCRIPTION
Változó képlethez változó kép. Függvény-transzformációk Általános iskolásoknak Készítette: Dr. Palkóné Monostori Zsuzsa. Útmutató. Ha a nyílon haladsz tovább, a függvényfogalom meghatározását olvashatod. Ha a házikón , tartalomjegyzékhez érkezel. Függvény. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Függvény-transzformációkFüggvény-transzformációk Általános iskolásoknakÁltalános iskolásoknak
Készítette: Dr. Palkóné Készítette: Dr. Palkóné Monostori ZsuzsaMonostori Zsuzsa
ÚtmutatóÚtmutató
Ha a Ha a nyílonnyílon haladsz tovább, a haladsz tovább, a függvényfogalom függvényfogalom
meghatározását olvashatod.meghatározását olvashatod.
Ha a Ha a házikónházikón, , tartalomjegyzékhez érkezel.tartalomjegyzékhez érkezel.
FüggvényFüggvény
Ha valamely reláció Ha valamely reláció egyértelmű hozzárendelést fejez egyértelmű hozzárendelést fejez ki, függvénynek nevezzük.ki, függvénynek nevezzük.
Egyértelmű relációEgyértelmű reláció(hozzárendelés)(hozzárendelés)
Egyértelmű a hozzárendelés, Egyértelmű a hozzárendelés, ha az alaphalmaz minden ha az alaphalmaz minden elemének legfeljebb egy képe van elemének legfeljebb egy képe van a képhalmazban.a képhalmazban.
TranszformációTranszformáció
A transzformáció szó A transzformáció szó átalakítást jelent.átalakítást jelent.
Függvény-transzformációkFüggvény-transzformációk
TartalomjegyzékTartalomjegyzék
Lineáris-függvényLineáris-függvény
Abszolút érték-függvénAbszolút érték-függvényy
Másodfokú-függvényMásodfokú-függvény
VégeAz egérrel válassz egy függvénytípust, vagy a lefelé mutató kurzormozgatóval haladj tovább.
Lineáris-függvényLineáris-függvény
Általános képlete:
y=a*x+begyüttható
változókonstans
Több változás együtt
Az egérrel válassz egy témát, vagy a lefelé mutató kurzormoz-gatóval haladj tovább.
Y=XY=Xx -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y Együttható
y=2x y=1/2x
y=3x y=1/3x
y=4x y=1/4x
y=-x
Ez a kiindulás.Nézd végig valamelyik csoportot, milyen változásokat veszel észre?
Konstans
y=x+1 y=x-1
y=x+2 y=x-2
y=x+3 y=x-3
Több változás együtt
y=-2x+2 y=-1/2x-1
Y=2XY=2Xx -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x
y=2x
y=3x
y=4x
y=1/2x
y=1/3x
y=1/4x
y=x
y=2x
y=2x+2
y=-2x+2
Y=3XY=3Xx -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 20
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=2x
y=3x
y=4x
y=1/2x
y=1/3x
y=1/4x
Y=4XY=4Xx -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=2x
y=3x
y=4x
y=1/2x
y=1/3x
y=1/4x
Y=1/2XY=1/2Xx -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=2x
y=3x
y=4x
y=1/2x
y=1/3x
y=1/4x
y=x
y=1/2x
y=1/2x-1
y=-1/2x-1
Y=1/3XY=1/3Xx -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -1,67 -1,33 -1 -0,67 -0,33 0 0,333 0,667 1 1,333 1,667
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=2x
y=3x
y=4x
y=1/2x
y=1/3x
y=1/4x
Y=1/4XY=1/4Xx -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=2x
y=3x
y=4x
y=1/2x
y=1/3x
y=1/4x
Y=-XY=-Xx -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x
y=-x
Y=X+1Y=X+1x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=x+1
y=x+2
y=x+3
y=x-1
y=x-2
y=x-3
Y=X+2Y=X+2x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=x+1
y=x+2
y=x+3
y=x-1
y=x-2
y=x-3
Y=X+3Y=X+3x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=x+1
y=x+2
y=x+3
y=x-1
y=x-2
y=x-3
Y=X-1Y=X-1x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=x+1
y=x+2
y=x+3
y=x-1
y=x-2
y=x-3
Y=X-2Y=X-2x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=x+1
y=x+2
y=x+3
y=x-1
y=x-2
y=x-3
Y=X-3Y=X-3x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x
y=x+1
y=x+2
y=x+3
y=x-1
y=x-2
y=x-3
Y=2X+2Y=2X+2x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x
y=2x
y=2x+2
y=-2x+2
Y=-2X+2Y=-2X+2x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x
y=2x
y=2x+2
y=-2x+2
Nézd végig a változások sorozatát! Mit tapasztalsz?
Y=1/2X-1Y=1/2X-1x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x
y=1/2x
y=1/2x-1
y=-1/2x-1
Y=-1/2X-1Y=-1/2X-1x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x
y=1/2x
y=1/2x-1
y=-1/2x-1
Nézd végig a változások sorozatát! Mit tapasztalsz?
Az együttható változásaAz együttható változása
Az együttható változásával a Az együttható változásával a függvény meredeksége függvény meredeksége
változik.változik. Ha az együttható nő (a>1), akkor a függvény képe meredekebb lesz Ha az együttható nő (a>1), akkor a függvény képe meredekebb lesz a kiindulási képnél. Ha az együttható csökken (a<1), a függvény képe a kiindulási képnél. Ha az együttható csökken (a<1), a függvény képe
laposabb lesz a kiindulási képnél. laposabb lesz a kiindulási képnél. Ha az együttható negatív, a Ha az együttható negatív, a
függvény képe az x tengelyre függvény képe az x tengelyre tükrös lesz.tükrös lesz.
A konstans változásaA konstans változása
A konstans változásával a A konstans változásával a függvény az Y tengely mentén függvény az Y tengely mentén (önmagával párhuzamosan) (önmagával párhuzamosan)
mozog.mozog. Ha a konstans pozitív, akkor a függvény képe felfelé mozdul el a Ha a konstans pozitív, akkor a függvény képe felfelé mozdul el a konstans mértékével, ha a konstans negatív, akkor lefelé teszi konstans mértékével, ha a konstans negatív, akkor lefelé teszi
ugyanazt.ugyanazt. A konstans megmutatja, hogy a A konstans megmutatja, hogy a függvény képe hol metszi az y függvény képe hol metszi az y
tengelyt.tengelyt.
A változó változásaA változó változása
A változó változásával a A változó változásával a függvény az X tengely mentén függvény az X tengely mentén
mozog.mozog. Ha a változó pozitív,akkor a függvény képe balra mozdul el, ha a Ha a változó pozitív,akkor a függvény képe balra mozdul el, ha a
változó negatív, akkor jobbra a változó mértékével, változó negatív, akkor jobbra a változó mértékével,
Az y=-2x+2 függvény Az y=-2x+2 függvény változásainak sorrendjeváltozásainak sorrendje
•Kiindulás az y=x függvény.
•Változik az együttható: y=2x. A kép meredekebb lesz (egyet jobbra, kettőt felfelé).
•Változik a konstans: y=2x+2. Az eltolás az y tengely mentén két egységgel felfelé .
•Változik az együttható előjele: y=-2x+2. Az előző kép az x tengelyre tükröződik.
Az y=-1/2x-1 függvény Az y=-1/2x-1 függvény változásainak sorrendjeváltozásainak sorrendje
•Kiindulás az y=x függvény.
•Változik az együttható: y=1/2x. Az egyenes x tengellyel bezárt szöge kisebb lesz.
•Változik a konstans: y=1/2x-1. Ez eltolás az y tengely mentén egy egységgel felfelé.
•Változik az együttható előjele: y=-1/2x+2. Az előző kép az x tengelyre tükröződik.
Abszolútérték-függvényAbszolútérték-függvény
Általános képlete:
y=a|x|+begyüttható
változó
konstans
Több változás együtt
Az egérrel válassz egy témát, vagy a lefelé mutató kurzormozgatóval haladj tovább.
AbszolútértékAbszolútérték
Egy számnak a nullától való távolságát, a szám abszolútértékének nevezzük.
Jelölés: |+2|=+2
|-2|=+2
|0|=0
Y=|X|Y=|X|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y Együttható
y=2|x| y=1/2|x|
y=3|x| y=1/3|x|
y=|4x| y=1/4|x|
y=-|x|
Ez a kiindulás.Nézd végig valamelyik csoportot, milyen változásokat veszel észre?
Konstans
y=|x|+1 y=|x|-1
y=|x|+2 y=|x|-2
y=|x|+3 y=|x|-3
Több változás együtt
y=-2|x-1|+2 y=-1/2|x+2|-1
Változó
y=|x-1| y=|x+1|
y=|x-2| y=|x+2|
Y=2|X|Y=2|X|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=2|x|
y=3|x|
y=4|x|
y=1/2|x|
y=1/3|x|
y=1/4|x|
Y=3|X|Y=3|X|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 15 12 9 6 3 0 3 6 9 12 15
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=2|x|
y=3|x|
y=4|x|
y=1/2|x|
y=1/3|x|
y=1/4|x|
Y=4|X|Y=4|X|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 20 16 12 8 4 0 4 8 12 16 20
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=2|x|
y=3|x|
y=4|x|
y=1/2|x|
y=1/3|x|
y=1/4|x|
Y=1/2|X|Y=1/2|X|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=2|x|
y=3|x|
y=4|x|
y=1/2|x|
y=1/3|x|
y=1/4|x|
Y=1/3|X|Y=1/3|X|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 1,667 1,333 1 0,667 0,333 0 0,333 0,667 1 1,333 1,667
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=2|x|
y=3|x|
y=4|x|
y=1/2|x|
y=1/3|x|
y=1/4|x|
Y=1/4|X|Y=1/4|X|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=2|x|
y=3|x|
y=4|x|
y=1/2|x|
y=1/3|x|
y=1/4|x|
Y=-|X|Y=-|X|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=|x|
y=-|x|
Y=|X|+1Y=|X|+1x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=|x|+1
y=|x|+2
y=|x|+3
y=|x|-1
y=|x|-2
y=|x|-3
Y=|X|+2Y=|X|+2x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 7 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=|x|+1
y=|x|+2
y=|x|+3
y=|x|-1
y=|x|-2
y=|x|-3
Y=|X|+3Y=|X|+3x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 8 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=|x|+1
y=|x|+2
y=|x|+3
y=|x|-1
y=|x|-2
y=|x|-3
Y=|X|-1Y=|X|-1x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 4 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=|x|+1
y=|x|+2
y=|x|+3
y=|x|-1
y=|x|-2
y=|x|-3
Y=|X|-2Y=|X|-2x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 3 2 1 0 -1 -2 -1 0 1 2 3
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=|x|+1
y=|x|+2
y=|x|+3
y=|x|-1
y=|x|-2
y=|x|-3
Y=|X|-3Y=|X|-3x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 2 1 0 -1 -2 -3 -2 -1 0 1 2
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=|x|+1
y=|x|+2
y=|x|+3
y=|x|-1
y=|x|-2
y=|x|-3
Y=|X-1|Y=|X-1|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=|x|
y=|x-1|
y=|x-2|
y=|x+1|
y=|x+2|
y=|x|
y=|x-1|
y=2|x-1|
y=-2|x-1|
y=-2|x-1|+2y
Y=|X-2|Y=|X-2|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=|x|
y=|x-1|
y=|x-2|
y=|x+1|
y=|x+2|
Y=|X+1|Y=|X+1|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=|x|
y=|x-1|
y=|x-2|
y=|x+1|
y=|x+2|
Y=|X+2|Y=|X+2|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=|x|
y=|x-1|
y=|x-2|
y=|x+1|
y=|x+2|
y=|x|
y=|x+2|
y=1/2|x+2|
y=-1/2|x+2|
y=-1/2|x+2|-1
Y=-2|X-1|+2Y=-2|X-1|+2x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -10 -8 -6 -4 -2 0 2 0 -2 -4 -6
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=|x|
y=|x-1|
y=2|x-1|
y=-2|x-1|
y=-2|x-1|+2
Nézd végig a változások sorozatát! Mit tapasztalsz?
Y=2|X-1|Y=2|X-1|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=|x|
y=|x-1|
y=2|x-1|
y=-2|x-1|
y=-2|x-1|+2
Y=-2|X-1|Y=-2|X-1|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 -8
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=|x|
y=|x-1|
y=2|x-1|
y=-2|x-1|
y=-2|x-1|+2
Y=-1/2|X+2|-1Y=-1/2|X+2|-1x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -2,5 -2 -1,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5 -4 -4,5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=|x|
y=|x+2|
y=1/2|x+2|
y=-1/2|x+2|
y=-1/2|x+2|-1
Nézd végig a változások sorozatát! Mit tapasztalsz?
Y=1/2|X+2|Y=1/2|X+2|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=|x|
y=|x+2|
y=1/2|x+2|
y=-1/2|x+2|
y=-1/2|x+2|-1
Y=-1/2|X+2|Y=-1/2|X+2|x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -1,5 -1 -0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=|x|
y=|x+2|
y=1/2|x+2|
y=-1/2|x+2|
y=-1/2|x+2|-1
Az y=-2|x-1|+2 függvény Az y=-2|x-1|+2 függvény változásainak sorrendjeváltozásainak sorrendje
•Kiindulás az y=|x| függvény.
•Változik a változó: y=|x-1|. A függvény képe az x tengelymentén egy egységet jobbra mozdul.
•Változik az együttható: y=2|x-1|. A kép nyújtottabb lesz.
•Változik az együttható előjele: y=-2|x-1|. Az előző kép az x tengelyre tükröződik.
•Változik a konstans: y=-2|x-1|+2. A kép felfelé mozog két egységet.
Az y=-1/2|x+2|-1 függvény Az y=-1/2|x+2|-1 függvény változásainak sorrendjeváltozásainak sorrendje
•Kiindulás az y=|x| függvény.
•Változik a változó: y=|x+2|. A függvény képe az x tengely mentén kettőt balra mozdul.
•Változik az együttható: y=1/2|x+2|. A kép zsugorodik.
•Változik az együttható előjele: y=-1/2|x+2|. Az előző kép az x tengelyre tükröződik.
•Változik a konstans: y=-1/2|x+2|-1. A kép lefelé mozog egy egységet.
Másodfokú-függvényMásodfokú-függvény
Általános képlete:
y=a*x2+cegyüttható
válto
zó
konstans
Több változás együtt
MásodfokúMásodfokú
Hatványkitevője: 2
Másodfokú egy kifejezés, ha önmagával megszorozzuk.
Y=XY=X22
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y Együttható
y=2x2 y=1/2x2
y=3x2 y=1/3x2
y=4x2 y=1/4x2
y=-x2
Ez a kiindulás.Nézd végig valamelyik csoportot, milyen változásokat veszel észre?
Konstans
y=x2+1 y=x2-1
y=x2+2 y=x2-2
y=x2+3 y=x2-3
Több változás együtt
y=-2(x-1)2+2 y=-1/2(x+2)2-1
Változó
y=(x-1)2 y=(x+1)2
y=(x-2)2 y=(x+2)2
Y=2XY=2X22
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 50 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x2
y=2x2
y=3x2
y=4x2
y=1/2x2
y=1/3x2
y=1/4x2
Y=3XY=3X22
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 75 48 27 12 3 0 3 12 27 48 75
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x2
y=2x2
y=3x2
y=4x2
y=1/2x2
y=1/3x2
y=1/4x2
Y=4XY=4X22
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 100 64 36 16 4 0 4 16 36 64 100
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x2
y=2x2
y=3x2
y=4x2
y=1/2x2
y=1/3x2
y=1/4x2
Y=1/2XY=1/2X22
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x2
y=2x2
y=3x2
y=4x2
y=1/2x2
y=1/3x2
y=1/4x2
Y=1/3XY=1/3X22
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 8,333 5,333 3 1,333 0,333 0 0,333 1,333 3 5,333 8,333
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x2
y=2x2
y=3x2
y=4x2
y=1/2x2
y=1/3x2
y=1/4x2
Y=1/4XY=1/4X22
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x2
y=2x2
y=3x2
y=4x2
y=1/2x2
y=1/3x2
y=1/4x2
Y=-XY=-X22
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -25 -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 -25
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=-x2
Y=XY=X22+1+1x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 26 17 10 5 2 1 2 5 10 17 26
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=x2+1 y=x2-1
y=x2+2 y=x2-2
y=x2+3 y=x2-3
Y=XY=X22+2+2x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 27 18 11 6 3 2 3 6 11 18 27
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=x2+1 y=x2-1
y=x2+2 y=x2-2
y=x2+3 y=x2-3
Y= XY= X22+3+3x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 28 19 12 7 4 3 4 7 12 19 28
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=x2+1 y=x2-1
y=x2+2 y=x2-2
y=x2+3 y=x2-3
Y=XY=X22-1-1x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 24 15 8 3 0 -1 0 3 8 15 24
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=x2+1 y=x2-1
y=x2+2 y=x2-2
y=x2+3 y=x2-3
Y= XY= X22-2-2x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 23 14 7 2 -1 -2 -1 2 7 14 23
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=x2+1 y=x2-1
y=x2+2 y=x2-2
y=x2+3 y=x2-3
Y= XY= X22-3-3x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 22 13 6 1 -2 -3 -2 1 6 13 22
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=x2+1 y=x2-1
y=x2+2 y=x2-2
y=x2+3 y=x2-3
Y=(X-1)Y=(X-1)22
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x2
y=(x-1)2
y=(x-2)2
y=(x+1)2
y=(x+2)2
y=x2
y=(x-1)2
y=2(x-1)2
y=-2(x-1)2
y=-2(x-1)2+2
Y =(X-2)Y =(X-2)22 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=(x-1)2
y=(x-2)2
y=(x+1)2
y=(x+2)2
Y =(X+1)Y =(X+1)22 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=(x-1)2
y=(x-2)2
y=(x+1)2
y=(x+2)2
Y =(X+2)Y =(X+2)22 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=(x-1)2
y=(x-2)2
y=(x+1)2
y=(x+2)2
y=x2
y=(x+2)2
y=1/2(x+2)2
y=-1/2(x+2)2
y=-1/2(x+2)2-1
Y=-2(X-1)Y=-2(X-1)22+2+2x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -70 -48 -30 -16 -6 0 2 0 -6 -16 -30
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=(x-1)2
y=2(x-1)2
y=-2(x-1)2
y=-2(x-1)2+2
Nézd végig a változások sorozatát! Mit tapasztalsz?
Y =2(X-1)Y =2(X-1)22 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 72 50 32 18 8 2 0 2 8 18 32
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=(x-1)2
y=2(x-1)2
y=-2(x-1)2
y=-2(x-1)2+2
Y =-2(X-1)Y =-2(X-1)22 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -72 -50 -32 -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 -32
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=(x-1)2
y=2(x-1)2
y=-2(x-1)2
y=-2(x-1)2+2
Y =-1/2(X+2)Y =-1/2(X+2)22-1 -1 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -5,5 -3 -1,5 -1 -1,5 -3 -5,5 -9 -13,5 -19 -25,5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y y=x2
y=(x+2)2
y=1/2(x+2)2
y=-1/2(x+2)2
y=-1/2(x+2)2-1
Nézd végig a változások sorozatát! Mit tapasztalsz?
Y =1/2(X+2)Y =1/2(X+2)22 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18 24,5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=(x+2)2
y=1/2(x+2)2
y=-1/2(x+2)2
y=-1/2(x+2)2-1
Y =-1/2(X+2)Y =-1/2(X+2)22
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -4,5 -2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5 -8 -12,5 -18 -24,5
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910
-10 -5 0 5 10
x
y
y=x2
y=(x+2)2
y=1/2(x+2)2
y=-1/2(x+2)2
y=-1/2(x+2)2-1
Az y=-2(x-1)Az y=-2(x-1)22+2 függvény +2 függvény változásainak sorrendjeváltozásainak sorrendje
•Kiindulás az y=x2 függvény.
•Változik a változó: y=(x-1)2. A függvény képe az x tengelymentén egy egységet jobbra mozdul.
•Változik az együttható: y=2(x-1)2. A kép nyújtottabb lesz.
•Változik az együttható előjele: y=-2(x-1)2. Az előző kép az x tengelyre tükröződik.
•Változik a konstans: y=-2|x-1|+2. A kép felfelé mozog két egységet.
Az y=-1/2(x+2)Az y=-1/2(x+2)22-1 függvény -1 függvény változásainak sorrendjeváltozásainak sorrendje
•Kiindulás az y=x2 függvény.
•Változik a változó: y=(x+2)2. A függvény képe az x tengely mentén kettőt balra mozdul.
•Változik az együttható: y=1/2(x+2)2. A kép zsugorodik.
•Változik az együttható előjele: y=-1/2(x+2)2. Az előző kép az x tengelyre tükröződik.
•Változik a konstans: y=-1/2(x+2)2-1. A kép lefelé mozog egy egységet.