utp pds_s5y6_sistemas_lit

Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica

Procesamiento Digital de Señales

(TC61)(TC61)

Sesión: 5 y 6

Ing. José C. Benítez P.

Sistemas LIT

Sesión 5 y 6. Temas

Sistemas LIT

�Sistemas

�Ecuación de recurrencia

�REE

Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 2

�RMU

�Sistemas Lineales e Invariantes al tiempo (LIT).

�Otras propiedades de los sistemas

�Conexión de sistemas LIT.

�Ecuaciones en Diferencia Lineales.

Sistemas

�Un sistema (también llamado procesador de señal) es cualquier proceso que genera una señal de salida como respuesta a una señal de entrada.

x ySISTEMA


�Esto puede extenderse a múltiples entradas y salidas.

x1, x2, … xnSISTEMA

y1, y2, … yn

Sistemas

� En función de la distribución temporal de las señales que procesa existen dos tipos de sistemas:

� Sistemas continuos: procesan señales en tiempo continuo.

x(t) y(t)SISTEMA


� Sistemas discretos: procesan señales en tiempo discreto.

SISTEMA

x[n] y[n]SISTEMA

Sistemas

�Nos centraremos en los segundos por lo que, en adelante, cuando se hable de sistema nos referiremos a sistemas en tiempo discreto.


x[n] y[n]SISTEMAh[n]

Sistemas

� El flujo de señal a través de un sistema puede representarse de dos formas. Suponiendo que la señal de entrada es x[n] y la de salida es y[n] podemos decir que:

� x[n] produce y[n]: lo que denotaremos como

x[n] → y[n]

� y[n] es la respuesta ante x[n]: lo que denotaremos como


� y[n] es la respuesta ante x[n]: lo que denotaremos como

y[n] = T{x[n]}

� Ambas representaciones son equivalentes.

x[n] y[n]SISTEMA

Ecuación de recurrencia

� Modelo de un sistema: Es una representación matemática de su comportamiento; y se representa mediante su ecuación de recurrencia, que determina cómo se calcula su salida.


su salida.

� Este cálculo puede realizarse, en principio, a partir de cualquier otra muestra; ya sea ésta de entrada o de salida, o bien, previa, actual o posterior.

Ecuación de recurrencia

� Sistema recursivo: y[n] depende de sí misma:

y[n] = x[n] + 3y[n - 1]


� Sistema no recursivo: y[n] depende sólo de x[n]:

y[n] = 2x[n] - x[n - 1]

Respuesta de estado estable (REE)

� La respuesta de estado estable de un sistema se define como su respuesta ante una determinada señal una vez superados los efectos transitorios producidos por la activación repentina de la entrada:


� Ejemplo: promediador móvil de 5 términos.

Respuesta a la muestra unitaria (RMU)

� La respuesta a la muestra unitaria (también llamada respuesta al impulso o respuesta impulsional) es la respuesta del sistema ante la secuencia muestra unitaria o secuencia delta:

h[n] = T{δ[n]}


� La RMU de un determinado sistema caracteriza inequívocamente su comportamiento ante cualquier entrada, por lo que constituye un modelo del mismo.

δ[n] h[n]SISTEMA


Respuesta a la muestra unitaria (RMU)

� La respuesta a la muestra unitaria es una secuencia y, como tal, puede ser finita o infinita:

� Sistemas FIR (finite impulse response), cuya respuesta a la muestra unitaria es


cuya respuesta a la muestra unitaria es finita.

� Sistemas IIR (infinite impulse response), cuya respuesta a la muestra unitaria es infinita.

RMU

� ¿Un sistema recursivo es siempre de tipo IIR?. No siempre?

y[n] = x[n] - 0,25x[n - 2] + 0,5y[n - 1]

h[n] = d[n] - 0,25d[n - 2] + 0,5h[n - 1]h[0] = d[0] - 0,25d[-2] + 0,5h[-1] = 1h[1] = d[1] - 0,25d[-1] + 0,5h[0] = 0,5


h[1] = d[1] - 0,25d[-1] + 0,5h[0] = 0,5h[2] = d[2] - 0,25d[0] + 0,5h[1] = 0h[3] = d[3] - 0,25d[1] + 0,5h[2] = 0h[4] = d[4] - 0,25d[2] + 0,5h[3] = 0...

� ¿Un sistema recursivo es siempre de tipo FIR?. No siempre?

y[n] = x[n] – 2 x[n - 3] + 2 y[n - 2]

Graficar las respuestas de los sistemas recursivos dados.

Sistemas LIT

Lineal �� Principio de superposición

Principio de superposición ��

- Homogéneo(escalado)

- Aditivo


� Un sistema es lineal si cumple el principio de superposición (si cumple la homogeneidad y la aditividad)

- Aditivo(no interacción)

Sistemas LIT

� Un sistema cumple la propiedad de homogeneidad(también llamada de escalado) si un cambio de amplitud en la entrada produce el mismo cambio de amplitud en la salida:

T{Ka[n]} = KT{a[n]


� Un sistema cumple la propiedad de aditividad si dos señales sumadas lo atraviesan sin interactuar entre ellas:

T{a[n] + b[n]} = T{a[n]} + T{b[n]}

� Así, si un sistema es homogéneo y aditivo cumple el principio de superposición; el cual puede formularse como:

T{Ka[n] + Lb[n]} = KT{a[n]} + LT{b[n]}

Sistemas LIT

� Un sistema es invariante con el tiempo si un desplazamiento en la señal de entrada produce otro desplazamiento igual en la señal de salida. Es decir, si se cumple que:

y[n] = T{x[n]} => T{x[n - k]} = y[n - k]


y[n] = T{x[n]} => T{x[n - k]} = y[n - k]

� Cuando un sistema cumple todas estas propiedades se dice que es lineal e invariante con el tiempo (LIT).

Sistemas LIT

� En los sistemas LIT, la respuesta ante cualquier entrada puede calcularse como la convolución de la señal de entrada y de su respuesta a la muestra unitaria.

� Esto se refleja en lo que se conoce como ecuación de convolución:


convolución:

y[n] = T{x[n]} = x[n] * h[n] = Σk=-∞,∞ x[k]h[n - k]


y[n]=x[n] * h[n]

Otras propiedades de los sistemas

� Un sistema no tiene memoria si y sólo si la muestra de salida para cualquier valor de n depende exclusivamente de la muestra de entrada para ese valor.

� Un ejemplo de este tipo de sistemas sería el sistema amplificador en el que:


amplificador en el que:

y[n] = Gx[n], siendo G una constante


� Un sistema es causal si y sólo si cumple el principio de causalidad.

� Este principio dice que el efecto no puede preceder a la causa.

� En un sistema esto se traduce en que la muestra de


� En un sistema esto se traduce en que la muestra de salida y[n] sólo puede calcularse a partir de las muestras anteriores.

� Formalmente, un sistema es causal si y sólo si su respuesta a la muestra unitaria lo es:

T{} es causal ↔ T{d[n]} = 0, n < 0


� Un sistema es estable si y sólo si cualquier secuencia acotada a su entrada produce otra secuencia a su salida también acotada.

� Esto es equivalente a decir que un sistema es estable si y sólo si su respuesta a la muestra


estable si y sólo si su respuesta a la muestra unitaria es módulo sumable:

T{} es estable ↔ Σn=-∞,∞ |h[n]| < ∞

Conexión sistemas LIT

� Si dos sistemas LIT (definidos por h1[n] y

h1[n] h2[n]


� Si dos sistemas LIT (definidos por h1[n] y h2[n]) se encuentran conectados en serie, la respuesta a la muestra unitaria del sistema, equivalente h3[n] es la convolución de h1[n] y h2[n]:

h3[n] = h1[n] * h2[n]

Conexión sistemas LIT

h1[n]

h2[n]


� Si dos sistemas LIT (definidos por h1[n] y h2[n]) se encuentran conectados en paralelo, la respuesta a la muestra unitaria del sistema, equivalente h3[n] es la suma de h1[n] y h2[n]:

h3[n] = h1[n] + h2[n]

Ecuación en diferencias lineal

� Una subclase importante de los sistemas LIT son aquellos sistemas en que la entrada y la salida satisfacen una ecuación en diferencias finitas.

� Para ser estrictos debemos hablar de una ecuación en diferencias lineal con coeficientes


ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes de la forma:

y[n] = Σk=0,Q b[k]x[n - k] - Σk=1,P a[k]y[n - k]

� Si se diseña un sistema cuya ecuación de recurrencia sea una ecuación de este tipo, ese sistema será: (a) lineal, y (b) invariante con el tiempo.

Ecuación en diferencias lineal

� Esta ecuación puede expresarse de forma equivalente:

Σk=0,P a[k]y[n - k] = Σk=0,Q b[k]x[n - k] (a[0] = 1)

� De manera simplificada, podemos expresar esta ecuación mediante operaciones de convolución:

b[n] * x[n] = a[n] * y[n]


b[n] * x[n] = a[n] * y[n]

Revisión

• En este capítulo se estudiaron diversas propiedades de los sistemas.

• Dos de ellas, la linealidad y la invarianza con el tiempo juegan un papel fundamental en el análisis de señales y sistemas, debido a que muchos fenómenos físicos se pueden modelar mediante sistemas LIT.

• Un problema fundamental en el análisis de sistemas es hallar la


• Un problema fundamental en el análisis de sistemas es hallar la respuesta a una entrada determinada.

• Esto se puede obtener mediante ecuaciones en diferencias o explotando el hecho de la linealidad e invarianza en el tiempo. De lo anterior surge el concepto de sumatoria de convolución.

• Un sistema LIT se puede formular mediante una ecuación en diferencias de coeficientes constantes, la cual presenta la forma general siguiente:

Revisión

• Resolver la ecuación en diferencias consiste en encontrar una expresión para y[n], es decir, generar la secuencia:

{y(0), y(1), y(2), ....,y(N),...}

• Antes de estudiar apropiadamente los métodos de solución de una ecuación en diferencias, presentaremos algunas propiedades importantes de los sistemas


algunas propiedades importantes de los sistemas lineales invariantes.

Revisión

Propiedades de los sistemas LIT.

1 Superposición.

El principio de superposición establece que:

a) Si un sistema se excita con K veces una función, la respuesta es K veces la respuesta original.

b) Si el sistemas se excita con la suma de dos funciones, la


b) Si el sistemas se excita con la suma de dos funciones, la respuesta es la suma de las respuestas individuales.

Entrada Salida x[n] y[n]

Kx[n] Ky[n] Kx1[n] + Kx2[n] Ky1[n] + Ky2[n]

Revisión


2 Desplazamiento.

Si la excitación de un sistema lineal invariante se traslada en el tiempo, entonces la respuesta se traslada en la misma cantidad:

Entrada Salida x[n-n0] y[n-n0]


0 0

3 Respuesta natural. Es la respuesta de un sistema cuando se excita con el impulso digital unitario. La denotamos por: h(n).

Revisión


4. Convolución. Cuando un sistema lineal invariante se excita con una señal cualquiera: x(n), la respuesta es la convolución entre la entrada y la respuesta natural, así:

y[n] = conv( x[n] , h[n] )


y[n] = conv( x[n] , h[n] )

La convolución de dos funciones de variable discreta: x[n] y h[n], se define de la siguiente manera:

Revisión


A continuación se presenta una deducción poco rigurosa de la sumatoria de convolución de dos funciones. Supongamos que la respuesta al impulso unitario es h[n], esto es:


Ahora aplicamos la importante propiedad de la función impulso:

Revisión

Ahora bien, si sumamos las entradas correspondientes a k desde menos infinito hasta infinito, tenemos:

Teniendo en cuenta que la entrada así expresada corresponde


Teniendo en cuenta que la entrada así expresada corresponde a la función: x[n], obtenemos finalmente que:

Entrada Salidax[n] y[n]=conv(x[n],h[n])

Revisión

Ejemplo 1. Encuentre la fórmula para expresar la siguiente suma:


Restando las expresiones anteriores, tenemos:

Revision

Ejemplo 2. Encuentre una fórmula para la suma:

Hacemos uso de la fórmula encontrada previamente, teniendo en cuenta que la suma dada se puede escribir como:


De lo anterior podemos concluir que si, la sumatoria llevada hasta el infinito es convergente y está dada por:

Revisión

Ejemplo 3.

Si la señal de entrada: x[n]= 3 δ(n-2) se aplica a un sistema lineal, causal e invariante con el tiempo la salida es:

para n >=2.

Encontrar la respuesta al impulso, h[n] del sistema.


Solución:

Por definición, h[n] es la respuesta del sistema a la entrada δ[n]. Como el sistema es lineal e invariante con el tiempo, se tiene:

x[n+2] = 3 δ[n], o sea que δ[n] = 1/3 x[n+2]. Como la convolución de h[n] con δ[n] es por definición igual a h[n] , se tiene que h[n] = 1/3 y[n+2].

Revisión

La salida se puede expresar en la siguiente forma:

De forma que, h[n] = 1/3 y[n+2]:


Revisión

Ejemplo 4. Encuentre la convolución entre las funciones: a) h(n)= 2-n .u(n)) y x1(n)= u(n) .Represéntela gráficamente b) h(n)= 2-n .u(n)) y x2(n)= u(n) -u(n-5). Represéntela gráficamente

Solución:Hacemos la correspondientes asignaciones.


Hacemos la correspondientes asignaciones.

Podemos calcular las convoluciones de manera simbólica, asi:

Revisión

Puede notarse que u(n - k)=1 para K = 0,1,2,....n con lo que podemos escribir;

Simplificando y denotando la convolución por y1(n), se obtiene y1[n]=


Simplificando y denotando la convolución por y1(n), se obtiene y1[n]= 2(1-2-(n+1))u(n).

Para el caso b), se obtiene: x2[n]= u(n)-u(n-5).

Por tanto, usando la propiedad de traslación y el resultado anterior, tenemos:y2[n]= y1[n]-y1[n-5].y2[n]= 2(1-2

-(n+1))u(n)- 2(1-2-(n-5+1))u(n-5).

Simplificado, se encuentra que: y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)- 2(1-24-n)u(n-5).

Revisión

Si se hacen las correspondientes asignaciones, se tiene que:y1[n]= 2(1-2

-(n+1))u(n).y2[n]= 2(1-2

-(n+1))u(n)-2(1-24-n)u(n-5).


Revisión

Ejemplo 5. En un sistema lineal e invariante con el tiempo, determine y(n) sabiendo que:

Solución.


Revisión

Se sabe que u(m) u( n-m) =1 para y 0 para otra asignación.

Se sabe que u(m-7) u(n-m) = 1 para y 0 para otra asignación.

Por tanto


Cuando la excitación es u[n-5], la respuesta será y[n-5]. Por tanto, para la excitación dada, la respuesta es:

Revisión

Ejercicios1. Sean

calcule las siguientes convoluciones: a) x [n]* h[n] b) x [n]* h[n-2] c) x[n-2]* h[n]


2. Considere una entrada y una respuesta al impulso unitario dado por:

determine y dibuje la salida y[n] .

3. Calcule y dibuje y[n] = x[n] * h[n] donde

Revisión

4. Sea:

es un entero.Determine y[n] = x[n] * h[n] si y[4] = 5 y y[14] = 0

5. Un sistema lineal invariante con el tiempo se excita con el impulso digital unitario y su respuesta es:Determine y[k] sabiendo que


Determine y[k] sabiendo que x[k]= u(k)-u(k-4). Represente x[k] y

6. Un sistema lineal S tiene la relación :donde g[n]=u(n)-u(n-4). Determine y[n] cuando:

Revisión

7. Considere el sistema discreto cuya respuesta al impulso es:

Determinar el entero A tal que:

8. En el sistema lineal invariante cuyas respuestas al impulso son:


respuestas al impulso son:

¿Cuales corresponden a sistemas causales y cuales a sistemas estables?

Tarea 4

1. Realizar los mapas semántico y/o mapas conceptuales de

todo el contenido de la Diapositiva de la Sesión 7 y 8. DFT y FFT.

2. Adjuntar fuentes que le han ayudado a consolidar la tarea.


Presentación:

• Impreso y en USB el desarrollo de la tarea.

• Los mapas semánticos se deben hacer en PowerPoint y los mapas

conceptuales en CMapTools.

• En USB adjuntar las fuentes (05 PDFs, 05 PPTs y 01 Video.).

• La fuente debe provenir de una universidad.

Presentación

� Todas las fuentes deben presentarse en formato digital

(USB), dentro de una carpeta que lleve las iniciales del curso,

sus Apellidos, guion bajo y luego el numero de la Tarea.

Ejemplo:

PDS_BenitezPalacios_T4

44Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P.

PDS_BenitezPalacios_T4

� La fuente debe conservar el nombre original y agregar

_tema.

Las Tareas que no cumplan las indicaciones

no serán recepcionados por el profesor.

Sesión 5 y 6. Sistemas LIT

Procesamiento Digital de Señales


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