utp 2015-2_sirn_s11_operaciones difusas

Sistemas Inteligentes y Redes Neuronales

(WOIA)

MSc. Ing. José C. Benítez P.

Sesión: 11

Operaciones Difusas

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Sesión 11. Operaciones Difusas

� El teorema de la representación.

� El principio de extensión.

� Operaciones entre conjuntos difusos.

� Propiedades básicas

� Propiedades añadidas

� Variables lingüísticas

� Variables difusa.

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El teorema de la representación

Teorema de Representación o Principio de Identidad:Todo conjunto difuso puede descomponerse en una familia de conjuntos difusos.

o, lo que es lo mismo:

donde Aα (x) ∈ {0,1}, dependiendo de si x pertenece o no al α_corte Aα.

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El teorema de la representación

Reconstrucción: Cualquier conjunto difuso puede reconstruirse a partir de una familia de conjuntos α_cortes anidados.

Conclusiones:• Cualquier problema formulado en el marco de los

conjuntos difusos puede resolverse transformando esos conjuntos difusos en su familia de α-cortes anidados, determinando la solución para cada uno usando técnicas no difusas.

• Resalta que los conjuntos difusos son una generalización.

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El principio de extensión

Principio de Extensión (Extension Principle):

Usado para transformar conjuntos difusos, que tengan iguales o distintos universos, según una función de transformación en esos universos.

� Sean X e Y dos conjuntos y f una función de transformación

de uno en otro: f: X → Y

� Sea A un conjunto difuso en X.

� El Principio de Extensión sostiene que la “imagen” de A en

Y, bajo la función f es un conjunto difuso B=f (A), definido como: B(y) = sup {A(x) | x∈X, y=f(x) }

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� Ejemplo, representado gráficamente:� La función sup se aplica si existen dos o más valores de x

que tengan igual valor f (x).

� Ese caso no ocurre en el ejemplo.

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� Se puede generalizar el Principio de Extensión para el caso en el que el Universo X sea el producto cartesiano de n

Universos:

o X = X1 × X2 × ... × Xn

o La función de transformación: f: X → Y, y = f(x), con x =

(x1, x2, ... , xn)

o El Principio de Extensión transforma n Conjuntos Difusos

A1, A2, ... y An, de los universos X1, X2, ... y Xn

respectivamente, en un conjunto difuso B=f (A1, A2, ... ,

An) en Y, definido como:

B(y) = sup { min[A1 (x1), A2 (x2), ... , An (xn)] | xÎX, y=f(x) }

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El principio de extensiónEjemplos: Sean X e Y, ambos, el universo de los números naturales.� Función sumar 4:

y = f (x) = x + 4:A = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5;Hallar f(A).

B = f (A) = 0.1/6 + 0.4/7 + 1/8 + 0.6/9;

� Función suma: y = f (x1, x2) = x1 + x2 :A1 = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5;A2 = 0.4/5 + 1/6;Hallar B = f (A1, A2).

B = f (A1, A2) = 0.1/7 + 0.1/8 + 0.4/9 + 0.4/10 + 0.6/11;

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Operaciones entre conjuntos borrosos

� Complemento difuso� Unión difusa� Intersección difusa� Condicional difusa

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Complemento difuso (NOT)

� Complemento (negación difusa): El complemento de un conjunto difuso es la cantidad que la membresía necesita para alcanzar 1.

� El complemento de A es todo lo que no pertenece a A o está fuera de éste: �̅ = 1 − � x no está cerca de A: x está lejos de A

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Complemento difuso (NOT)Representación del complemento de un conjunto difuso ó negación difusa.

µµµµMedio

µµµµ ¬Medioµµµµ

1

Temperatura

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Unión difusa (OR de Zadeth)

� La unión (o disyunción) difusa, representa al conjunto difuso más pequeño que contiene a A y que contiene a B.

� El operador max (∨), toma como valor verdadero el valor máximo de la función de membresía del elemento x en A y B.

� Asumiendo que A y B son dos conjuntos difusos, la unión de A y B es un conjunto difuso � = � ∪ , en el cual �(�) =

��[�(�), (�)] x está cerca de A o cerca de B

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Unión difusa (OR de Zadeth)

Representación de la Unión difusa ó disyunción difusa.

Temperatura

µµµµBaja∪∪∪∪Media

A B

µµµµ

1

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Intersección difusa (AND de Zadeth)

� En conjuntos difusos la intersección es el grado de membresía que dos conjuntos comparten.

� Una intersección difusa es el menor de la membresía de cada elemento en ambos conjuntos.

� A y B son dos conjuntos difusos. La intersección de A y B es un conjunto difuso � = � ∩ = A.B, en el cual �(�) =

��[�(�), (�)] x está cerca de A y cerca de B

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Intersección difusa (AND de Zadeth)

Representación de la Intersección de difusa ó conjunción difusa.

µµµµ

1

Temperatura

A B

µµµµBaja∩∩∩∩Media

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Operadores difusos

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Operadores difusos

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Otras operaciones difusas

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Propiedades básicas

� Conmutativa:

A U B = B U A; A ∩ B = B ∩ A;

� Asociativa:

A U (B U C) = (A U B) U C = A U B U C;

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C;

� Idempotencia:

A U A = A; A ∩ A = A;

� Distributiva:

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C);

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C);

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Propiedades básicas

� Condiciones Frontera o Límite:

A U φ = A; A U X = X;

A ∩ φ = φ; A ∩ X = A;

� Involución (doble negación):

¬(¬A) = A;

� Transitiva:

A ⊂ B y B ⊂ C, implica A ⊂ C;

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Propiedades añadidas

Se deducen de las anteriores.

� (A ∩ B) ⊂ A ⊂ (A U B);

� Si A ⊂ B, entonces A = A ∩ B y B = A U B;

� Card(A) + Card(B) = Card(A U B) + Card(A ∩ B);

� Card(A) + Card(¬A) = Card(X)

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Otras propiedades

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Variables lingüísticas

� Como un conjunto convencional, un conjunto difuso sepuede utilizar para describir el valor de una variable.Por ejemplo, en la oración: “El porcentaje de humedades Bajo”, se utiliza el conjunto difuso “Bajo” paradescribir la cantidad de humedad en un día.

� Formalmente se expresa como: La humedad es Bajo

� La variable humedad en este ejemplo demuestra unconcepto importante en la lógica difusa: la variablelingüística.

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� Son variables cuyos valores se representan mediante términos lingüísticos. El significado de estos términos lingüísticos se determina mediante conjuntos difusos.

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� Proporcionan una transición gradual de estados

� Tienen capacidad para expresar y trabajar con observaciones y medidas de incertidumbre

� Por capturar medidas de incertidumbre son más ajustadas a la realidad que las variables nítidas

Albert Einstein (1921): “Tan cerca como se refieran las

leyes matemáticas a la realidad no son ciertas, y tan lejos

como sean ciertas no se refieren a la realidad”

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� Una variable lingüística se puede interpretar tanto cualitativamente mediante un termino lingüístico (etiqueta: nombre del conjunto difuso), como cuantitativamente mediante su correspondiente función de membresía (la cual expresa el significado del conjunto difuso).

� El termino lingüístico es utilizado para expresar conceptosy conocimiento, mientras la función de membresía seutiliza para procesar el dato numérico de entrada.

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Permiten la valoración de variables en términos lingüísticos, como por ejemplo, poco, mucho, suficiente, etc. Pueden ser representadas por conjuntos difusos.Se definen por los siguientes elementos:

(�, �(�), �, �, )

Donde:� es el nombre de la variable.�(�) es el conjunto de términos o valores lingüísticos de x.� es el universo del discurso de la variable x.g es una regla sintáctica para generar términos lingüísticos. es una regla semántica que asocia a cada x un significado.

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Ejemplo:� = la velocidad (variable lingüística)�(�) = { Despacio, moderado, Rápido }� = { 0-100Km/h }

Despacio: trapezoidalg = Moderado: triangular

Rápido: trapezoidalDespacio: Velocidad aprox. por debajo de 40 Km/h

= Moderado: Velocidad cercana a 55 Km/hRápido: Velocidad por encima de 70 Km/h

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Ejemplo:� = rendimiento (variable lingüística)�(�) = { Muy bajo, bajo, medio, alto, muy alto }� = { 0-20 }

Muy bajo: trapezoidalBajo: trapezoidal

� = Medio: trapezoidalAlto: trapezoidalMuy alto: trapezoidalMuy bajo: Nota aprox. por debajo de 05Bajo: Nota alejada de 05 y cercana 12

= Medio: Nota alejada de 12 y cercana 14Alto: Nota alejada de 14 y cercana 18Muy alto: Nota por encima de 18

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Modificadores lingüísticos: Hedges

� Existen muchos descriptores lingüísticos como son: moderado, normal, alto, algo caliente, muy bajo, medio

normal, mas o menos alto, etc.

� Uno de los conceptos importantes en la Lógica Difusa es que en vez de enumerar todos estos diferentes descriptores, se pueden generar de un conjunto esencial de términos lingüísticos (llamado: Conjunto Término) utilizando modificadores (por ejemplo: muy, mas o menos) y conectivas (por ejemplo: “y”, “o”).

� En Lógica Difusa a dichos modificadores se les denomina:Hedges.

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Modificadores lingüísticos: HedgesEjemplo:Variables lingüísticas y valores lingüísticos.

Si edad es la variable lingüística, entonces su conjunto término T(edad) puede ser:

( )

=

K

K

K

K

,

,,,,,,

,,,

,,,,,

viejomuynoyjovenmuyno

viejomuynoviejomenosomasviejomuyviejonoviejo

viejomedionoviejomedio

jovenmuynojovenmuyjovennojoven

edadT

Se observa que el conjunto termino consiste de varios términos

primarios (joven, viejo) modificados por la negación ("no") y/o los adverbios (muy, mas o menos, completamente, extremadamente, etc.), y ligados por conectivas tales como y, o, y ni.

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Donde cada término en T(edad) se caracteriza por un conjunto difuso de un universo de discurso X = [0, 100], como se muestra en la siguiente figura.

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Son operadores unarios que se aplican a conjuntos difusos.

Un modificador lingüístico es un operación unaria:

h: [0,1] -> [0,1]

� Ejemplos: “Muy”, “más o menos”, “bastante”, “extremadamente”, etc.

� No son aplicables a conjuntos nítidos.

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Definiciones comunes de algunos modificadores lingüísticos:

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� Si h(a) < a, el modificador h se denomina modificador fuerte.

� Si h(a) > a, el modificador h se denomina modificador débil.

Propiedades de los modificadores:1. h(0) = 0 y h(1) = 12. h es una función continua3. Si h es fuerte, h-1 es débil4. Dado otro modificador g, cualquier composición de h

con g y viceversa, es un modificador

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� Con el uso de modificadores lingüísticos se debe evitar la ambigüedad.

� Los modificadores lingüísticos y los conectivos permiten obtener un amplio conjunto de términos compuestos que amplían la potencia descriptiva de la variable lingüística.

� Si el nº de términos de una variable aumenta indefinidamente se llegará a la indistinguibilidadsemántica de alguno de ellos.

� Granularidad (Lofti Zadeh): Nivel de distinción entre los distintos niveles de incertidumbre contenida en las variables lingüísticas de forma que se pueda representar correctamente la distinción que desea el usuario.

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Variables difusas

� Concepto análogo al de variable lingüística

� Toman como valores conjuntos difusos aunque éstos no tienen asociada una descripción lingüística.

� Útiles en situaciones en las que sea más importante la precisión que la descripción lingüística.

� Se caracteriza mediante (U , X, R(U,x))

1. U es el nombre de la variable

2. X es el universo de discurso

3. x es un nombre genérico para los elementos de X

4. R(U,x) es un conjunto difuso en X que representa una restricción en los valores de X impuesta por x.

Preguntas

Al término de la experiencia de aprendizaje el alumno debe ser capaz de responder las siguientes preguntas:

1. ¿En que consiste el teorema de representación?.2. ¿En que consiste el principio de extensión?.3. ¿Cuales son las operaciones entre CD?.4. ¿Cuales son las propiedades de las operaciones?. 5. ¿Qué es una variable lingüística?.6. ¿Cómo se representa una VL?. Dar ejemplos.7. ¿Qué es un modificador lingüístico?. Dar ejemplos.8. ¿Qué es un conjunto termino?. Dar ejemplos.9. Listar los tipos de modificadores. Dar ejemplos.10. Listar las propiedades de los modificadores.11. ¿Qué es una variable difusa?12. Como se representa una VD?. Dar ejemplos

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Sesión 11. Operaciones difusos

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