uso de la carta de smith - líneas con pérdidas
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Breve descripción sobre el uso de la Carta de Smith para líneas de transmisión con pérdidasTRANSCRIPT
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Sistemas de Transmisión
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𝑧 =1 + ρ𝑣(𝑧)
1 − ρ𝑣(𝑧)
ρ𝑣 𝑧 = ρ𝐿 𝑒𝑗θ𝑒𝑗2β𝑧
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𝑧 =1 + ρ𝐿 𝑒𝑗θ𝑒𝑗2β𝑧(𝑒2α𝑧)
1 − ρ𝐿 𝑒𝑗θ𝑒𝑗2β𝑧 𝑒2α𝑧
ρ𝑣 𝑧 = ρ𝐿 𝑒2α𝑧𝑒𝑗 θ+β𝑧
𝑧 =1 + ρ𝐿 𝑒2α𝑧 𝑒𝑗 θ+β𝑧
1 − ρ𝐿 𝑒2α𝑧 𝑒𝑗 θ+β𝑧
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𝑧 𝑧 = 𝑟 + 𝑗𝑥
ρ𝑣 𝑧 = 𝑢 + 𝑗𝑣
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La impedancia de entrada de una línea terminada en
corto circuito es de 𝟑𝟎 + 𝒋𝟐𝟓𝟎 Ω. La línea mide 5
metros y su impedancia característica es de 𝟕𝟓 Ω.
Calcule utilizando la Carta de Smith: a) las constantes
de atenuación y de fase α 𝒚 β , b) la impedancia de
entrada que tendría la misma línea si estuviese terminada
con una carga de 𝑍𝐿 = 112.5 − 𝑗15 Ω.
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𝑧𝐿 = 0
Normalizando las impedancias tenemos:
a) Cálculo de α y β
𝑧𝑖 =30 + 𝑗250
75= 0.4 + 𝑗3.33
Ubicamos estos puntos en la carta y los llamaremos A y B
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Observamos que para llegar al punto B, que representa la
impedancia de entrada, tuvimos que movernos un total de
0.204 λ.
Con este dato y la longitud de la línea, es posible
calcular la longitud de onda:
λ =𝑙
0.204=
5 𝑚
0.204= 24.51 m.
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β =2π
λ= 0.081π [rad/m]
Para encontrar α utilizamos una regla sencilla de tres:
ρL e−2αl
OB=
ρL
OB´
𝑒−2α𝑙 =𝑂𝐵
𝑂𝐵′= 0.93
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Como 𝑙 = 5 m, se tiene que:
−2α𝑙 = ln 0.93
α =ln 0.93
−10= 0.00726 [Np/m]
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Podemos verificar los resultados, reemplazándolos en
la ecuación:
𝑍𝑖 = 𝑍𝑜
1 + ρ𝐿𝑒−2γ𝑙
1 − ρ𝐿𝑒−2γ𝑙= 75
1 + 𝑒𝑗π 𝑒−2𝑙 α + 𝑗β
1 − 𝑒𝑗π 𝑒−2𝑙 α + 𝑗β
𝑍𝑖 = 31 + 𝑗240 Ω
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Los resultados obtenidos tienen un margen de error
debido a que la apreciación visual no es exacta; sin
embargo son bastante aproximados y se pueden
considerar como aceptables.
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b) Si se sustituye al corto circuito por
𝑍𝐿 = 112.5 − 𝑗15 Ω:
𝑧𝐿 =112.5 − 𝑗250
75= 1.5 − 𝑗0.2
Ubicamos el punto en la carta al que llamaremos C
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Trazamos la circunferencia de radio ρ𝐿 y a partir del
punto C avanzamos hacia el generador la distancia
0.204λ obtenida en el literal anterior; el punto nuevo
obtenido lo llamaremos D.
Al considerar las pérdidas de la línea, su efecto será
reducir la magnitud del coeficiente de reflexión, por lo
que la verdadera impedancia de entrada estará en
algún punto entre la recta 𝑂𝐷, llamaremos a este
punto desconocido E.
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Como la magnitud máxima del coeficiente de
reflexión es igual a 𝑂𝐷, aplicamos nuevamente la
regla de tres usada en el literal anterior:
𝑒−2α𝑙 = 0.93 =𝑂𝐸
𝑂𝐷
𝑂𝐸 = 0.93 𝑂𝐷 = 0.93 0.22 = 0.2046
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Con la distancia obtenida es fácil encontrar la
impedancia característica en el punto E:
𝑧𝑖 = 0.66 − 𝑗0.07
Luego: 𝑍𝑖 = 75(0.66 − 𝑗0.07)
𝑍𝑖 = 49.5 − 𝑗5.25 Ω
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