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Universidade Estadual de Feira de Santana
Curso de Graduação em Engenharia Civil
ALISSON MANOEL ROSARIO SANTANA
ESTUDO DA SEGURANÇA ESTRUTURAL SEGUNDO
PRECEITOS PROBABILÍSTICOS
Feira de Santana
2010
ALISSON MANOEL ROSARIO SANTANA
ESTUDO DA SEGURANÇA ESTRUTURAL SEGUNDO
PRECEITOS PROBABILÍSTICOS
Monografia apresentada a prof.
Eufrosina de Azevêdo Cerqueira da
disciplina projeto final 2 como requisito
para obtenção de graduação.
Orientador : Prof. Clodoaldo Freitas
Feira de Santana
2010
I
RESUMO
A engenharia está em constante mudança, a cada dia surgem novas formas e ferramentas
de cálculo mais eficazes, sendo desenvolvida ao longo dos anos por meio dos sucessos e
fracassos, embasados em modelos e ensaios cada vez mais sofisticados. O objetivo
principal dos projetos de engenharia é garantir a boa funcionalidade da estrutura no decorrer
da sua vida útil, tornando-a capaz de resistir às solicitações para as quais foi projetada, no
limite da economicidade.
Devido a essa necessidade surgiram estudos sobre a confiabilidade estrutural,
desenvolvidos no intuito de medir possibilidade de falha ou sobrevivência que a estrutura
apresenta, levando em conta as incertezas presentes nos materiais, processos construtivos
e efeitos nocivos apropriados através de métodos probabilísticos.
Como aliadas na luta a favor da segurança existem as normas de cálculo, trazendo
padronizações de conduta, estipulando métodos de cálculo, coeficientes de ponderação
para cargas e ações, bem como padronizações de métodos executivos, definidas e
consagradas por meio de práticas previamente executadas e analisadas.
Neste trabalho é feito um apanhado sobre a segurança estrutural, mostrando a forma como
foi tratada ao longo dos anos, apresentado os critérios utilizados pelas normas e a
contribuição dos conceitos probabilísticos.
Palavras-Chave: Estruturas, Segurança, Confiabilidade, Probabilidade.
II
ABSTRACT
The engineering is constantly changing, every day new calculation forms and tools become
more efficient, being developed over the years through the successes and failures, grounded
in models and more sophisticated tests. The main objective of the engineering projects is to
ensure good functionality of the structure during its lifetime, making it able to withstand the
stresses to which it was designed, within the economy limits.
Because of this need arose studies on the structural reliability, aimed at measuring possibility
of failure or survival, which presents the structure, taking into account the uncertainties in
materials, construction processes and adverse effects through appropriate probabilistic
methods.
As an ally in the fight for safety standards are calculated, bringing standardization of conduct
stipulating methods for calculating the weighting factors for loads and actions as well as
standardization of the methods executives, defined and consecrated through practices
previously performed and analyzed .
This paper presents an overview about the structural safety, showing how it was handled
over the years, presented the criteria used by the rules and the contribution of probabilistic
concepts.
Keywords: Structures, Safety, Reliability, Probability.
III
SUMÁRIO
RESUMO....................................................................................................................... I
ABSTRACT.................................................................................................................... II
LISTA DE SÍMBOLOS................................................................................................... V
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO...................................................................................... 1
1.1 Considerações Iniciais......................................................................................... 1
1.2 Objetivos............................................................................................................... 3
1.3 Justificativa.......................................................................................................... 4
1.4 Metodologia.......................................................................................................... 5
1.5 Organização do Trabalho.................................................................................... 5
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.................................................................. 7
2.1 Conceitos de Segurança Estrutural...................................................................... 7
2.2 Evolução das Normas de Cálculo........................................................................ 9
2.3 Norma Brasileira 8681.......................................................................................... 15
CAPÍTULO 3 – CRITÉRIO DE CALCULO BASEADO EM PROBABILIDADE............. 24
3.1 Considerações Iniciais......................................................................................... 24
3.2 Confiabilidade Estrutural...................................................................................... 24
IV
3.3 Coeficientes de Cálculo Baseados em Estados Limites...................................... 27
3.4 Investigação das Fontes de Erros........................................................................ 29
CAPÍTULO 4 – METODOS DE ANALISE DA SEGURANCA ESTRUTURAL
SEGUNDO PRECEITOS PROBABILISTICOS............................................................
33
CAPÍTULO 5 – APLICAÇÕES...................................................................................... 36
CAPÍTULO 6 – CONCLUSAO...................................................................................... 40
REFERENCIAS............................................................................................................. 41
ANEXO A....................................................................................................................... 43
V
LISTA DE SÍMBOLOS
σmax Tensão Máxima
σadm Tensão Admissível
β Índice de Confiabilidade
µ Média
υ Coeficiente de Segurança
M Momento Fletor
N Esforço Normal
Q Esforço Cortante
MT Momento Torçor
Rd Valor de cálculo dos esforços resistentes
Sd Valor de cálculo dos esforços solicitantes
fk Resistência característica
fkinf Resistência característica inferior
fm Resistência característica média
fk.sup Resistência característica superior
F Força
Fk Valor característico das ações
Fqk Valor característico das ações variáveis
VI
s Desvio padrão
W Variável que correlaciona a ação e a estrutura
γm Coeficiente de ponderação das resistências
γm1 Coeficiente de ponderação que considera a variabilidade da resistência dos
materiais envolvidos
γm2 Coeficiente de ponderação que considera a diferença entra a resistência do
material no corpo de prova e na estrutura
γm3 Coeficiente de ponderação que considera os desvios gerados na construção e as
aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências
γf Coeficientes de ponderação das Ações
γf1 Coeficiente de variabilidade das ações
γf2 Coeficiente de simultaneidade de atuação das ações
γf3 Coeficiente segundo erros na avaliação dos efeitos das ações
ψ0 Fator de redução de combinação para o estado limite ultimo
ψ1 Fator de redução da combinação freqüente para o estado limite de serviço
ψ2 Fator de redução de combinação quase permanente para o estado limite de serviço
1
1. Introdução
1.1 Considerações Iniciais
O objetivo do cálculo estrutural é garantir que as estruturas concebidas para atender
as necessidades das pessoas possam desempenhar satisfatoriamente suas funções com
aceitável grau de segurança e custo adequado. A segurança estrutural por sua vez, está
relacionada com a probabilidade de falha da estrutura durante a sua vida útil, estando essa
associada com a probabilidade dos esforços gerados pelas combinações das ações
impostas à construção superem a capacidade resistente da estrutura.
O conceito de probabilidade introduzido na segurança estrutural esta associado com
o grau de incerteza dos dados, modelos e procedimentos utilizados. Mais especificamente,
as incertezas estão relacionadas com a imprecisão decorrentes das ações e resistências,
que podem ter suas origens nos processos de cálculo, na variabilidade dos parâmetros de
rigidez e resistência dos materiais, nas inconformidades geométricas, nas simplificações
inerentes aos modelos de comportamento mecânico utilizado, nas imperfeições nos
processos construtivos e na variabilidade espacial e temporal das ações.
A grande problema está justamente ai, pois a segurança é dependente de fatores
que não são totalmente conhecidos ou que possam ser assumidos com valores absolutos. A
segurança estrutural é caracterizada pela probabilidade de falha, que representa a
probabilidade da estrutura não atender aos estados limites últimos (quando relacionado com
2
a falha do todo ou em parte da estrutura) ou de serviço (referindo-se a problemas nas
condições de uso da estrutura).
A probabilidade de falha de uma estrutura está associada com o grau de
confiabilidade, que de acordo com Nogueira (2005), está inserida na tentativa de avaliar as
incertezas presentes e sua influência na segurança estrutural. Segundo Neves e Cruz
(2001), a confiabilidade de uma estrutura está relacionada com as conseqüências da falha e
o custo associado ao aumento da confiabilidade.
No intuito de padronizar e orientar sobre como alcançar o grau de segurança
desejado surge às normas de dimensionamento, apresentando seus roteiros e coeficientes
de segurança e ou ponderação, sendo revisada constantemente consoante a evolução do
cálculo estrutural e as formas de tratamento das incertezas.
As primeiras normas de cálculo trabalhavam com um coeficiente global para
representar a segurança estrutural dentro de conceitos determinísticos, tendo evoluído a
seguir para as normas atuais as quais são baseadas em conceitos semi probabilísticos,
introduzidos através de coeficientes parciais de ponderação e dos estados limites últimos e
de serviço. A próxima geração de normas, já em discussão na Europa baseia-se em
conceitos puramente probabilístico de dados, modelos e procedimentos, gerando um
dimensionamento mais refinado e condizente com a natureza das variáveis envolvidas.
Este trabalho vem a expor a problemática da segurança estrutural, mostrando a
evolução das normas de cálculo e a forma com que elas vêm encarando o problema. Será
feita também uma abordagem das incertezas inerentes ao processo, destacando a
problemática da combinação de cargas, e uma outra abordagem que demonstra como estes
conceitos de confiabilidade e segurança estão inseridos nas normas.
3
1.2 Objetivo
1.2.1 Geral
Estudar o processo de avaliação da segurança e confiabilidade
estruturais, tendo em vista as incertezas inerentes ao processo e a forma
como elas são tratadas.
1.2.2 Específico
Discutir a introdução dos métodos probabilísticos nas normas de cálculo.
Apresentar métodos simplificados para análises probabilísticas.
Apresentar as tendências futuras com relação à confiabilidade e
segurança estrutural.
4
1.3 Justificativa
O cálculo estrutural é feito de maneira processual, segundo as normas técnicas
vigentes de cada país, no intuito de padronizar e estabelecer um nível de segurança aceitável
para as estruturas. Porém uma estrutura dimensionada segundo todos os preceitos
normativos não garante uma segurança plena, pois em cada coeficiente de ponderação
existente na norma, está uma probabilidade de falha adotada, que irá traduzir a confiabilidade
da estrutura como um todo.
Os livros textos de dimensionamento estrutural muito pouco discutem sobre esses
aspectos, simplesmente é feita uma apresentação das normas de cálculo, sem maiores
explicações sobre o real significado de cada coeficiente, sobre a forma com que foram obtidos
e sobre a probabilidade de falha ou confiabilidade admitida, sendo assim entendida como um
roteiro de cálculo impassível de falhas.
O objetivo do cálculo estrutural é dimensionar a estrutura de forma que garanta sua
integridade e funcionalidade ao longo da vida sua vida útil (não atingir os estados limites
últimos e de serviço), ponderando segurança e custo. Apesar de todos os cuidados e
ponderações a favor da segurança no período de cálculo, é muito complicado garantir o
sucesso da estrutura.
Fica evidente que uma abordagem mais consistente, do ponto de vista científico, é
necessária para uma melhor avaliação da segurança em estruturas, apresentando a forma
com que ela é inserida nas normas e a evolução em sua análise.
O propósito deste trabalho é revelar as questões de segurança e confiabilidade
estrutural e mostrar que os dimensionamentos são cercados de incertezas, tratadas de
5
formas diferenciadas ao longo dos anos, de acordo com o método de dimensionamento
vigente, fazendo um apanhado da sua evolução.
1.4 Metodologia
Inicialmente será realizada uma revisão bibliográfica, abordando tópicos relevantes
ao trabalho como segurança estrutural, evolução das normas de cálculo e a norma brasileira
sobre segurança nas estruturas (NBR 8681) a fim de embasar as discussões posteriores.
Logo depois será feito um estudo sobre confiabilidade estrutural e métodos probabilísticos de
análise de estruturas e será apresentado alguns exemplos de como utilizar as ferramentas de
análise probabilística para dimensionamentos.
1.5 Organização do trabalho
O trabalho está divido em seis capítulos, introdução, revisão bibliográfica, critérios de
cálculo baseados em probabilidade, combinação de cargas, estudo de caso e conclusão.
6
No capítulo introdutório é apresentada uma visão geral do trabalho, fazendo uma
abordagem superficial sobre o tema, apresentando os objetivos do estudo, o por que do
estudo e a forma como o tema será trabalhado.
O segundo capítulo trata-se da revisão bibliográfica, é a parte onde é abordada
conceitos gerais de segurança estrutural, conceituando-a e mostrando a evolução do seu
estudo. Será apresentado também um apanhado sobre as normas de cálculo, mostrando sua
evolução ao longo dos anos e dando um enfoque especial a NBR 8681.
No capitulo três é mostrado os critérios de cálculo baseados em probabilidade,
trazendo temas como confiabilidade estrutural, coeficientes de cálculo baseados em estados
limites, investigação e caracterização dos erros.
Na quarta parte do trabalho é feita uma breve discussão sobre os métodos de cálculo
estrutural segundo os preceitos probabilísticos, falando sobre os métodos simplificados e
completos, dando uma ideia da forma de como se deve utiliza-los.
No capítulo cinco, é apresentado um modelo de analise probabilística simplificada,
apontando como se obter os parâmetros do índice de confiabilidade e probabilidade de falha
envolvidos.
A última parte trata-se da conclusão, onde são feitas algumas considerações e
opiniões tiradas do estudo realizado, fazendo um fechamento trabalho, mas dando algumas
sugestões sobre possíveis temas que poderão complementar o conteúdo apresentado.
7
2. Revisão Teórica
2.1 Conceitos de Segurança Estrutural
Os projetos são sempre realizados sob condições de incertezas tanto pelas ações
quanto pela resistência, como também pelos métodos de análise, por isso as estruturas
sempre foram projetadas para resistir a ações maiores do que as realmente esperadas. A
segurança estrutural é entendida como o processo de majorar as ações e reduzir as
resistências, com a tentativa de evitar que a estrutura atinja seus estados limites, últimos ou
de serviço, durante a sua vida útil.
Os estados limites são divididos de acordo com a gravidade do problema gerado,
tendo como estados limites últimos aqueles que causam riscos de ruína e como estados
limites de serviço aqueles que gerem desconforto ou redução de funcionalidade. Os estados
limites últimos são comumente classificados em:
Ruína da estrutura devido a ruptura em ponto crítico (secção transversal crítica,
secção de ruptura); é a causa de desabamento no caso de vigas simplesmente
apoiadas;
Ruína da estrutura devido a grandes deformações localizadas em vários pontos
críticos (formação de rótulas plásticas); é o caso do colapso de estruturas
hiperestáticas, ocasião em que se forma um mecanismo de ruptura ou uma cadeia
cinemática;
Tombamento da estrutura ou de uma de suas partes – perda de estabilidade, como
por exemplo, devido à falha de uma ancoragem.
8
Flambagem ou abaulamento de partes da estrutura – principalmente no caso de
compressão excêntrica;
Instabilidade como conseqüência de grandes deslocamentos ou deformações;
Destruição por fadiga ou solicitação dinâmica, ou devido deformação plástica em
decorrência de deformação lenta.(LEONHARDT; MONNIG, 1982, p.90)
No caso dos estados limites de serviço, geralmente são classificados como:
Danos ligeiros ou localizados; que comprometam o aspecto estético ou a
durabilidade da estrutura;
Deformações excessivas que afetem a utilização da construção ou seu aspecto
estético;
Vibração excessiva ou desconfortável. (NBR 8681:2003 p.2).
A segurança de uma estrutura é claramente uma função da máxima ação (ou
combinação de ações) que lhe pode ser imposta durante seu tempo de vida útil e dependerá
também da resistência ou capacidade desta estrutura ou seus componentes, de suportar
estas ações. Como a máxima ação da vida útil de uma estrutura e sua capacidade real são
difíceis de serem previstas exatamente, e qualquer previsão está sujeita a incertezas, a
garantia absoluta da segurança de uma estrutura é impossível.
Na realidade idéia de se ter maior ou menor segurança estrutural está associada
com a menor ou maior, respectivamente, probabilidade de falha, o que também esta
associado com a menor ou maior probabilidade de a resistência disponível (ou capacidade
estrutural) ser superada pela máxima ação ou combinação de ações que poderá ocorrer
durante a vida útil da estrutura. Os processos de cálculo para a análise da segurança
estrutural vêm se aprimorando ao longo do tempo, iniciando pelo processo baseado no
método determinístico das tensões admissíveis chegando atualmente no processo semi-
probabilístico baseado nos estados limites. Para o futuro há uma tendência de utilização nas
9
normas de processos puramente probabilísticos, algo que já vem sendo apresentado pelo
JCSS (Joint Comettee on Structural Safety).
2.2 Evolução das Normas de Cálculo
As normas de cálculo têm como finalidade fornecer as condições mínimas para uma
estrutura segura. Sua evolução se da de acordo ao conhecimento disponível, baseando-se
em experiências e calibrando-se através dos sucessos e fracassos.
Segundo Castro (1997), quando se dimensiona um tipo de estrutura pela primeira
vez, esta tende a ser pesada, pois há falta de experiência e confiança no novo modelo. Se
resultados positivos são obtidos, os calculistas ficam mais confiantes ao longo do tempo,
adotando estruturas mais leves. Houveram casos em que o peso da estrutura foi sendo
reduzido até ocorrer a falha, daí aumentando novamente o peso e depois reduzindo-o de
forma mais cautelosa até patamares satisfatórios, tal situação é ilustrada na figura 1.
Figura 1 - Evolução do peso da estrutura ao longo do tempo, por Castro (1997).
10
A evolução no cálculo estrutural caminhou ainda mais, juntamente com esse
processo de refinamento do fator de segurança, vieram mudanças também com a melhoria
das propriedades dos materiais e principalmente da melhoria dos processos de cálculo,
podendo ser ilustrado pela maior sofisticação e complexidade das normas, sendo
exemplificado na tabela 1, onde mostra a quantidade de páginas em relação ao tempo da
norma americana.
Tabela 1 - Quantidade de Páginas da especificação da AISC ao longo do tempo, por Castro (1997)
Ano Especificação Apêndices Comentários Total
1923 15 0 0 15
1928 16 0 0 16
1936 19 0 0 19
1949 30 0 0 30
1963 55 42 37 134
1969 62 51 45 158
1978 65 34 63 162
1986 86 50 83 219
A fim de evidenciar a evolução no dimensionamento, na tabela 2, é apresentado o
dimensionamento apresentado por Castro (1997), de uma viga em aço nos anos de 1923
até 1986, onde pode ser constatada a redução do peso na estrutura, refletindo a redução
nos fatores de segurança, a melhoria das resistências dos perfis, apresentado na tabela 3, e
o ganho na economia.
11
Figura 2 - Modelo viga metálica e carregamento
Tabela 2 - Dimensionamento do Perfil em Aço entre 1923 e 1986
Ano Perfil (mm x kg/m)
1923 W 27 x 94
1936 W 27 x 94
1948 W 24 x 76
1963 W 21 x 62
1969 W 24 x 55
1978 W 24 x 55
1986 W 24 x 55
Quando começaram a surgir às normas de cálculo, as estruturas eram
dimensionadas segundo o método das tensões admissíveis (método clássico), sendo um
método determinístico comparativo, admitindo-se a segurança satisfatória de uma estrutura
quando o seu desempenho for comparável ao de outras do mesmo tipo, consideradas por
consenso geral como seguras o suficiente.
Tabela 3 - Evolução da Tensão de Escoamento do Aço Carbono, por Castro 1997.
Dubois, 1890 197 MPa
Ketchum, 1918 190 MPa
AISC, 1923-1963 228 MPa
AISC, 1963 em diante 248 MPa
12
De acordo com Castanheira (2004), o cálculo utilizando esse modelo parte de dois
pressupostos: a estrutura apresenta um comportamento elástico linear sob as cargas de
serviço; a resistência e o carregamento são variáveis, porém é possível admitir valores
limitantes para as resistências (valores característicos).
A tensão admissível é calculada de acordo com o grau de incerteza presente em
cada material, por meio de um coeficiente de segurança a fim de garantir que a tensão
admissível não alcance a tensão última do material, segundo equação abaixo:
As grandes desvantagens desse método residem no fato dele ser eficiente quando
se admite o comportamento estrutura como sendo linear e considerar como fixos, não
aleatórios, os valores numéricos utilizados para início do cálculo, sendo necessárias
algumas restrições:
Como os valores envolvidos são fixos, não aleatórios, as grandezas são
empregadas com seus valores máximos, raramente atingidos durante a vida útil
da estrutura, o que geralmente leva a um superdimensionamento;
O cálculo por meio do método clássico conduz, freqüentemente, a um mau
aproveitamento dos materiais, pois não considera sua capacidade de adaptação
plástica para resistir a maiores solicitações;
O método clássico fundamenta-se no valor das tensões oriundas das cargas de
serviço, supondo que durante a utilização a estrutura permaneça em regime
elástico, como ocorre geralmente; entretanto, não fornece informação acerca da
capacidade que a estrutura tem de receber mais carga, não sendo possível
averiguar, com esse método sua verdadeira margem de segurança;
σmax ≤ σadm = ______resistência_ R______
Coeficiente de segurança υ
13
Há situações em que as solicitações não são proporcionais às ações, e um
pequeno aumento das ações pode provocar um grande aumento das solicitações
(ou a situação contrária). (CARVALHO; FILHO, 2007, p. 42).
No começo do século XX, muitos engenheiros começaram a perceber que o método
das tensões admissíveis não era uma alternativa muito econômica, impulsionando
pesquisas de desenvolvimento de métodos de cálculo plástico para aço (CASTRO, 1997).
Em paralelo, com o decorrer da segunda guerra mundial, começou a percepção da
possibilidade de se quantificar incertezas a partir de métodos probabilísticos nos projetos de
aeronaves (CASTANHEIRA, 2004).
Estes processos aliados ao estudo crescente sobre a resistência última das
estruturas, fez surgir em 1960 as primeiras normas de cálculo baseadas no método dos
estados limites. Com a adoção deste método, os calculistas passaram a abordar os
problemas da forma mais condizente com a realidade, tratando a estrutura da forma que ela
é, passando a admitir também o comportamento plástico do material.
Segundo Santos (1983), este método resolveu o problema da não linearidade física,
já que ataca o diagrama de tensão x deformação da forma como ele é, ou como se acredita
que é antes da ruína, considerando assim não só o estado elástico como o plástico do
material. Com isso o aproveitamento dos materiais passou a se mais eficaz, reduzindo os
custos das construções.
No caso do projeto baseado em estados limites, também chamado de método do
coeficiente de segurança externo ou método de cálculo no regime de ruptura, o coeficiente
de segurança é determinado para o elemento estrutural completo, sem separação por
materiais, sendo definido como o acréscimo de tensão que leve a estrutura a entrar no seu
estado limite.
14
O princípio fundamental deste método é fazer com que as resistências não fiquem
menores que as solicitações, sendo verificadas em relação a todos os estados limites e
todos os carregamentos especificados para cada tipo de construção, ou seja, respeitando
sempre a condição: (CARVALHO E FILHO, 2007)
Para fazer essa ponderação entre resistências e ações são adotados valores
característicos, tanto para as resistências quanto para as ações, de tal sorte que as
resistências e as ações características sejam sempre inferiores as efetivas.
Este método também é conhecido como semi-probabilístico, pois seus coeficientes
de calibração de cálculo são obtidos segundo estudo de probabilidades. Para a utilização
desse método as normas atribuem valores característicos as ações e as resistências, que
depois deverão ser transformados em valores de cálculo.
A perspectiva para as normas de cálculo hoje em dia é ir em direção a utilizar cada
vez mais os métodos probabilísticos, chegando aos métodos probabilísticos puros,
consistindo em atribuir possibilidades de sucesso e falha de uma estrutura, equacionando
resistência e solicitação por meio da suas densidades de distribuição de probabilidades
(figura 2), tendo alguns modelos de análise já discutidos pelo JCSS (Joint Committee of
Structural Safety), desde novembro do ano 2000.
Rd ≥ Sd S ≥ Slim
Estados Limites Últimos Estados Limites de Serviço
15
Figura 3 - Funções de distribuição da solicitação e resistência por CASTRO, 1997.
2.3 Norma Brasileira sobre Ações e Segurança nas Estruturas
(NBR 8681)
2.3.1 Apresentação
A NBR 8681 foi criada em março de 2003 e passou a vigorar no final de março de
2004. Possui 15 páginas, trazendo conceitos referentes a estados limites, ações e
estabelece os parâmetros exigíveis para a verificação da segurança das estruturas mais
comuns da construção civil, mostrando os critérios que devem ser utilizados na hora de
quantificar as ações e as resistências num projeto estrutural, para quaisquer classes,
destinos ou materiais, salvo casos previstos nas outras NBRs específicas
16
2.3.2 Estados Limites
Segundo a norma, o estado limite é atingido quando a estrutura começa a apresentar
desempenho inadequado às condições a que foi projetada, dividindo-o em dois, estados
limites últimos e de serviço.
São definidos estados limites últimos quando, em sua ocorrência, ocasionam a
paralisação do todo ou em parte do uso da estrutura. De acordo com a norma na maioria
dos projetos devem ser considerados estados limites últimos como:
a) perda de equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo rígido;
b) ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais;
c) transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático;
d) instabilidade por deformação;
e) instabilidade dinâmica.
Podendo ser considerados outros estados limites últimos a depender da estrutura.
Já os estados limites de serviço são descritos como aqueles que, por sua ocorrência,
repetição ou duração, causam efeitos estruturais que não respeitam as condições
especificadas para o uso normal da construção, ou que são indícios de comprometimento da
durabilidade da estrutura. Segundo NBR são usualmente considerados como:
a) danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da construção
ou a durabilidade da estrutura;
b) deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou seu
aspecto estético;
17
c) vibração excessiva ou desconfortável.
Os estados limites de serviço são frutos de ações que podem ocorrer na estrutura com
diferentes graus de permanência na estrutura, sendo subdividida em:
a) combinações quase permanentes;
b) combinações freqüentes;
c) combinações raras.
2.3.3 Ações
De acordo com a norma as ações são todos aqueles fenômenos que geram esforços
ou deformações nas estruturas, sendo muitas vezes, do ponto de vista prático, designadas
como as próprias ações, sendo diretas quando se tratando de força e indireta quando se
tratando de deslocamentos.
A norma divide as ações em três grupos, discriminadas em função da sua
variabilidade ao longo do tempo. Classificam-se como:
a) Permanentes: Ações que não sofrem variação, ou uma pequena variação em
relação a sua média durante a vida útil da estrutura;
b) Variáveis: Ações com variações significativas ao longo da vida útil da estrutura;
c) Excepcionais: Ações que possuem uma curta duração e uma pequena
possibilidade de acontecimento.
Para cada tipo de ação a norma tem uma maneira diferente de tratamento, utilizando
diferentes ponderações, a fim de obter seus valores representativos e dar andamento ao
cálculo estrutural.
18
2.3.3.1 Valores representativos das ações
De acordo com a NBR 8681, as ações são quantificadas por seus valores
representativos, que podem ser valores característicos, valores característicos nominais,
valores reduzidos de combinação, valores convencionais excepcionais, valores reduzidos de
utilização e valores raros de utilização.
Os valores característicos são definidos através da variabilidade da intensidade das
ações, podendo ser obtidos por meio da sua variação ao longo do período de vida útil da
estrutura, ao longo do seu período convencional de recorrência (para ações variáveis, não
sendo considerados situações que trazem efeitos favoráveis a estrutura), ou , no caso de
ações permanentes, o valor característico é o valor médio correspondente ao quantil de
50%.
Valores característicos nominais são utilizados quando a ação não possui sua
variabilidade definida por distribuições de probabilidade, sendo admitidos valores
convenientemente escolhidos.
Os valores reduzidos de combinação são obtidos quando se está calculando em
estados limites últimos, quando houver ações de diferentes naturezas atuando, sendo
definido pela expressão Ψ0 Fk, considerando assim a baixa probabilidade de ocorrência de
valores característicos das duas ou mais ações distintas.
Valores convencionais excepcionais são arbitrados, para ações excepcionais, em
consenso entre o proprietário da construção e as instituições governamentais que nela
tenham interesse. No caso dos valores reduzidos de utilização, são utilizados outros
coeficientes de ponderação Ψ1 e Ψ2, variando de acordo com a periodicidade da ação,
sendo Ψ1 referente ações frequentes e Ψ2 relacionado a ações quase permanentes, já os
19
valores raros de utilização eles por si só caracterizam suas ações na estrutura sem
nenhuma ponderação com relação a periodicidade.
Tabela 4 - Valores dos fatores de combinação (Ψ0) e de redução (Ψ 1 e Ψ 2) para as ações variáveis (NBR 8681)
Ações Ψ0 Ψ1 Ψ2
Cargas acidentais de edifícios
Locais em que não há predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas1)
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de pessoas2) Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e garagens
0,5
0,7
0,8
0,4
0,6
0,7
0,3
0,4
0,6
Vento
Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral
0,6
0,3
0
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local
0,6
0,5
0,3
Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos Passarelas de pedestres
Pontes rodoviárias
Pontes ferroviárias não especializadas
Pontes ferroviárias especializadas
Vigas de rolamentos de pontes rolantes
0,6 0,7 0,8 1,0 1,0
0,4 0,5 0,7 1,0 0,8
0,3 0,3 0,5 0,6 0,5
1) Edificações residenciais, de acesso restrito.
2) Edificações comerciais, de escritórios e de acesso público.
3) Para combinações excepcionais onde a ação principal for sismo, admite-se adotar para 2 o valor zero.
4) Para combinações excepcionais onde a ação principal for o fogo, o fator de redução 2 pode ser reduzido, multiplicando-o
por 0,7.
20
2.3.3.2 Valores de cálculo das ações
Segundo a norma os valores de cálculo das ações, Fd, são obtidos pela multiplicação
deles por coeficientes de ponderação γf . No caso do cálculo em estados limites último o γf é
obtido pelo produto entre γf1 e γf3, sendo γf2 representado por ψ0(coeficiente de combinação).
O coeficiente γf1 leva em conta a variabilidade das ações e o coeficiente γf3 considera os
possíveis erros na avaliação das ações, seja por erros no processo construtivo ou por
deficiências do método de cálculo. Os valores de γf apresentados na norma são mostrados
nas tabelas abaixo:
γf = γf1 γf2 γf3
Tabela 6 – Valores de γf para ações variáveis consideradas separadamente (NBR 8681)
Combinação Tipo de Ação Coeficiente de Ponderação
Normal Ações truncadas1)
Efeito de temperatura Ação do vento Ações variáveis em geral
1,2 1,2 1,4 1,5
Especial ou de construção Ações truncadas1)
Efeito de temperatura Ação do vento Ações variáveis em geral
1,1 1,0 1,2 1,3
Excepcional Ações variáveis em geral 1,0
1) Ações truncadas são consideradas ações variáveis cuja distribuição de máximos é truncada por um dispositivo físico de modo que o valor dessa ação não pode superar o limite correspondente. O coeficiente de ponderação mostrado na tabela 4 se aplica a esse valor limite.
Tabela 7 – Valores de γf para ações variáveis consideradas conjuntamente1 (NBR 8681)
Combinação Tipo de estrutura Coeficiente de ponderação
Normal Pontes e edificações tipo 1 Edificações tipo 2
1,5 1,4
Especial ou de construção Pontes e edificações tipo 1
1,3
21
Edificações tipo 2 1,2
Excepcional Estruturas em geral 1,0
1) Quando a ações variáveis forem consideradas conjuntamente, o coeficiente de ponderação mostrado na tabela 5 se aplica a todas as ações, devendo-se considerar também conjuntamente as ações permanentes diretas. Nesse caso permite-se considerar separadamente as ações indiretas como recalque de apoio e retração dos materiais conforme tabela 3 e o efeito de temperatura conforme tabela 4.
Tabela 8 – Valores de γE para efeitos de recalques de apoio e de retração dos materiais (NBR 8681)
Combinação Efeitos
Desfavoráveis Favoráveis
Normal γE= 1,2 γE= 0
Especial ou de construção γE= 1.2 γE= 0
Excepcional γE= 0 γE= 0
Devido a essa quebra do coeficiente através de parâmetros parciais, faz com que os
valores trazidos por γf possam ser utilizados para diferentes tipos de estruturas e materiais.
No caso de dimensionamento para estados limites de serviço admite-se que o coeficiente γf
seja tomado igual a 1,0, salvo casos em contrário presentes em normas específicas.
2.3.3.3 Combinações de ações
De acordo com a norma, para a verificação da segurança, é necessário realizar
todas as combinações de ações para cada tipo de carregamento, de forma que sejam
obtidas as piores combinações para as seções críticas das estruturas.
As combinações são feitas de acordo com a natureza das ações, sendo as ações
permanentes consideradas em sua totalidade, as ações variáveis consideradas apenas as
22
parcelas com efeito prejudicial à estrutura, e no caso de ações variáveis móveis, devem ser
consideradas nos locais com piores efeitos para a estrutura.
Dependendo do tipo da ação que se vá combinar, a norma traz alguns critérios para
combinação tais como:
a) ações permanentes estão presentes em todas as combinações;
b) ações variáveis em combinações ultimas normais são combinadas com a
adoção de uma das cargas variáveis como principal e com a ponderação
das outras ações variáveis, avaliando a simultaneidade das ações;
c) ações variáveis nas combinações ultimas excepcionais, deve ser
considerada a ação excepcional no seu valor representativo e as demais
ações variáveis ponderadas com uma grande possibilidade de
simultaneidade.
As formas de serem efetuadas as combinações de cargas variam de acordo com o
estado limite a ser estudado, ou da natureza da ação presente no sistema. As fórmulas de
combinações estipuladas pela norma estão expostas na tabela 9.
Tabela 9 - Tabelas de Combinações de Cargas (NBR 8681)
Combinações em estados limites últimos
Combinações últimas normais
Combinações últimas especiais ou de construção
Combinações últimas excepcionais
23
Combinações de utilização das ações
Combinações quase permanentes de serviço
Combinações frequentes de serviço
Combinações raras de serviço
2.3.4 Resistências
A norma determina que as resistências são definidas convencionalmente pela
máxima tensão que pode ser aplicada ao material considerado, até o aparecimento de
fenômenos particulares de comportamento além dos quais há restrições de emprego do
material em elementos estruturais.
Para tratar das resistências a norma se utiliza de valores característicos (ƒk), que
representam a possibilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável. Em forma
gráfica este parâmetro pode ser visualizado na figura 4, onde representa a curva de
distribuição de probabilidades, a parte hachurada significa a parcela de 5%, utilizada pela
norma, representando que 95% do material testado no lote supera essa resistência.
24
Figura 4 - Curva de distribuição normal
Além de utilizar valores característicos para as resistências a norma ainda utiliza
outro parâmetro de ponderação, que seria para transformar a resistência característica em
resistência de projeto, segundo equação abaixo:
ƒd =
Onde representa ponderações a respeito da variabilidade da resistência efetiva,
da diferença entre a resistência do material na estrutura e nos corpos de prova
padronizados, e das incertezas presentes no cálculo das solicitações resistentes, seja pelo
método construtivo ou forma de cálculo.
ƒkinf
25
3. Critério de Cálculo Baseado em Probabilidade
3.1 Considerações Iniciais
A engenharia tem por objetivo garantir a segurança e funcionalidade das estruturas
projetadas, porém há um mar de incertezas no processo, fazendo com que a garantia só
possa ser dada por meios probabilísticos. Tal processo a depender do refinamento pode ser
muito trabalhoso e complicado, porém a fim de simplificar o processo de cálculo, pode-se
optar por processos mais simplificados, sem fazer uma análise probabilística completa da
situação, adotando critérios de cálculo determinísticos apropriados, como os coeficientes de
segurança.
Esse processo fez com que os métodos probabilísticos ganhassem mais espaço no
ramo do cálculo estrutural, pelo fato de que por trás de cada coeficiente utilizado estão
envolvidas condições como probabilidades de falha e sucesso, definidas pelo grau de
confiabilidade adotado.
3.2 Confiabilidade Estrutural
O estudo da confiabilidade e da segurança é fator crucial para qualquer tipo de
empreendimento. Por mais que este estudo não esteja sendo feito diretamente pelo
26
projetista, os preceitos da confiabilidade e segurança estão implícitos nas normas, sendo
demonstrados por considerações de cálculo e coeficientes de ponderação.
Por mais aprimorado que sejam estes estudos o risco de ruína sempre estará
presente, devido a incertezas geradas pela variabilidade das ações, propriedades dos
materiais, pelas hipóteses simplificativas e limitações de cálculo e até mesmo eventuais
erros humanos, tornando assim impossível o conhecimento do comportamento da estrutura
em rigor absoluto.
Para o início do estudo é necessário admitir uma probabilidade de falha da estrutura,
com base na relação custo x benefício, no risco considerável aceitável pela sociedade e
com uma análise sobre o custo do reparo e perda de vidas humanas. Vale salientar que
quanto menor a probabilidade de falha mais cara fica a estrutura, criando um dilema ético e
de complicada resolução.
De acordo com o código modelo do JCSS (Joint Commitee on Structural Safety), por
Vrouwenvelder (1999), o índice de confiabilidade pode ser estipulado pela seguinte fórmula,
consoante as conseqüências que possam causar.
Segundo Neves e Cruz (2001), podemos classificar as conseqüências segundo as
conseqüências de ruptura em três grupos:
Conseqüências pequenas (β < 2): no caso de colapso, o risco de perda de vidas
humanas é pequeno ou desprezível e as conseqüências econômicas são pouco
significativas (estruturas agrícolas, silos,..);
β = Custo da Construção + Custo da Ruptura
Custo da Construção
27
Conseqüências moderadas (2 < β < 5): o risco de perda de vidas humanas é
médio ou as conseqüências econômicas são significativas (edifícios de
escritórios ou habitação)
Conseqüências graves ( 5 < β < 10): o risco de perda de vidas humanas é
elevado ou as conseqüências econômicas são graves (grandes pontes, teatros,
hospitais,...).
No caso de estruturas em que β é maior que 10 (barragens de grandes dimensões,
centrais nucleares,...), torna-se necessário uma análise custo-benefício mais elaborada,
podendo-se chegar à conclusão que a estrutura não deve ser construída.
Com isso é obtida a probabilidade de falha da estrutura, que é um ponto fundamental
para estipular os coeficientes de segurança a cada elemento do projeto, pois é através da
correlação entre a probabilidade de falha e as imprecisões inerentes ao projeto que eles
serão definidos.
Onde Pf é a probabilidade de falha e Ф-1 é a inversa da função normal de
distribuição, tendo alguns valores pré definidos demonstrados na tabela 10:
Tabela 10 – Relação entre β e Pf (VROUWNVELDER, 2000)
Pf 10-1
10-2 10
-3 10-4 10
-5 10-6 10
-7
β 1.3 2.3 3.1 3.7 4.2 4.7 5.2
28
Segundo Zahn (1977), a confiabilidade pode ser definida segundo o estado limite e
as consequências da falha, trazendo em seu trabalho alguns valores, segundo tabela 11.
Tabela 11 – Valores prescritos para β (ZANH, 1977)
Estado Limite Consequência da Falha β
Flexao excessiva Desconforto 1,5
Ruptura de único membro Danos 3,0
Colapso da Estrutura Perda de vidas 4,5
3.3 Coeficientes de Cálculo Baseados em Estados Limites
O processo de dimensionamento consiste em estimar dimensões para elementos
estruturais pré-definidos, baseando-se em dimensionamentos anteriores ou experiência, e a
partir daí por meio de cálculos estáticos determina-se as solicitações M, N, Q e MT para o
peso próprio, a carga acidental e esforços de coação em seções críticas.
De acordo com Leonhardt e Monning (1982), o dimensionamento em regra só deve
ser feito para as seções críticas nas estruturas, locais na estrutura onde os esforços
solicitantes apresentam um máximo, muitas vezes podendo ser determinados pela
experiência. Porém em grandes estruturas como pontes, devem ser calculadas mais
secções a favor da economia.
Porém este processo de cálculo não garante a completa segurança da estrutura, pois
durante esse processo existem várias incertezas que precisam ser mensuradas. De acordo
com Fusco (1976) as incertezas decorrem de quatro elementos:
29
Da resistência dos materiais a serem empregados, assim como suas condições
no processo executivo e fenômenos como tempo de duração das cargas, fadiga e
fragilidade.
Da geometria da estrutura, geometria das seções transversais e disposição real
das armaduras.
Das solicitações impostas à estrutura, sejam variáveis ou permanentes, assim
como as deformações impostas, que podem variar no decorrer da vida útil da
construção.
Da magnitude das cargas calculadas, pois podem divergir da carga real devido a
imprecisões no processo de cálculo.
A solução encontrada pela engenharia foi à estipulação de coeficientes de segurança,
também chamado de coeficiente de incerteza. Com o passar dos anos esses coeficientes
foram diminuindo, tornando as estruturas cada vez mais econômicas, sem ferir os
parâmetros da segurança.
A segurança (ou desempenho) pode ser garantida somente em termos da
probabilidade de que a resistência disponível (ou capacidade estrutural) será suficiente para
resistir à máxima ação ou combinação de ações que poderá ocorrer durante a vida útil da
estrutura.
Este método também é conhecido como semi-probabilístico, pois seus coeficientes
de calibração de cálculo são obtidos segundo estudo de probabilidades. Para a utilização
desse método as normas atribuem valores característicos para as ações e as resistências,
que depois deverão ser transformados em valores de cálculo.
30
3.4. Investigação das fontes de erros
De acordo com Galambos (1982), para desenvolver dos cálculos baseados em
probabilidade são necessários dados que descrevam as ações e a resistência estrutural. A
informação básica requerida é a distribuição de probabilidade de cada variável ação e
resistência e estimativas de suas médias e desvios padrão ou coeficientes de variação. A
média e o coeficiente de variação destas variáveis básicas deverão ser representativos dos
valores esperados para as estruturas reais, porém em muitos outros casos estas podem ser
assumidas com base em argumentos físicos ou por conveniência.
Na maioria dos casos estes dados são obtidos através de ensaios laboratoriais e
testes em estruturas reais, com isso os resultados das várias amostras vão sendo coletados
e lançados num gráfico, de onde se é possível observar os aspectos estatísticos
necessários como média, variância e o tipo de distribuição que mais se assemelha.
3.4.1 Caracterização dos erros
3.4.1.1 Materiais
Geométricos
Todo o cálculo e análise estrutural são feitos com relação aos valores nominais das
características geométricas. Normalmente, as características reais diferem das nominais
devido a imperfeiçoes do material ou do processo de fabricação, devendo ser analisado este
31
aspecto quando houver grandes variações ou quando o comportamento estrutural for
sensível a essas variações.
Resistência
A resistência dos materiais está diretamente ligada a maneira com que foram
produzidos. No caso do concreto, por exemplo, a variabilidade da resistência depende muito
do processo de dosagem, da mistura, da cura e do tipo de cimento utilizado. Um exemplo
bem claro dessa incerteza é evidenciado na NBR 12655:1996, onde ela demonstra o desvio
padrão da resistência do concreto de acordo com a qualidade do processo, segundo tabela
12.
Tabela 12 – Desvio em Função do preparo do concreto ( NBR 12655:1996)
Condições Executivas Desvio Padrão
Boa Fiscalização, pessoal experiente e apreciável mecanização
4,0 Mpa
Execução com controle e pessoal normais 5,5 MPa
Execução com escasso controle e mecanização e com pessoal pouco experiente
7,0 MPa
O desvio padrão expresso pela tabela 12 é de fundamental importância para
determinar a resistência característica do concreto, pois ela obedece a uma distribuição
normal de probabilidade, e adotando como valor característico o valor correspondente ao
quantil de 5% da distribuição, a resistência é descrita segundo a fórmula:
fk = µ(1-1,64V)
32
Onde V é o coeficiente de variação, dado pela fórmula:
Sendo s é o desvio padrão e µ e a média.
3.4.1.2 Ações
As ações aplicadas sobre a estrutura no processo de cálculo devem corresponder à
intensidade, posição direção e duração das mesmas no estado real. Para isso as cargas são
estipuladas através de processos estatísticos. Neste processo de modelagem também é
considerada as combinações de ações, onde a variação e distribuições de probabilidade
para efeitos das máximas ações são estudadas para um período de 50 anos, admitindo-se
valores reduzidos de acordo com as funções de probabilidade, segundo a fórmula:
Onde F descreve a intensidade da força, φ é uma função apropriada, Fo é a variável que
caracteriza a ação e W é o que correlaciona à ação e a estrutura.
Segundo Neves e Cruz (2001), estes estudos estatísticos são um resumo de valores
relatados em vários estudos anteriores de ações e modelos de ações estruturais,
comportamento de elementos estruturais e cálculo baseado em confiabilidade. Tanto quanto
possível, as estatísticas das ações são baseadas em pesquisas “in loco”,
33
3.4.1.3 Modelos Estruturais
Modelo estrutural é onde se define o tipo da estrutura em questão, onde é feita a
decisão de sobre como esta estrutura será estudada, podendo-se adotar a teoria da
elasticidade, considerar o comportamento não linear da estrutura ou fazendo uma análise no
seu estado limite.
De acordo com Neves e Cruz (2001), os modelos estruturais podem ser estudados
de acordo com uma equação que relaciona a resposta da estrutura em relação às diversas
variáveis presentes.
Onde Y vai indicar a resposta da estrutura e f é a função que define o modelo. Como
a função f nunca é exata, pois sempre há variações entre o comportamento real de estrutura
e o comportamento modelado, faz-se necessário o emprego de uma variável aleatória
associada aos erros presentes, θ.
34
4. Métodos de Análise da Segurança Estrutural Segundo
Preceitos Probabilísticos
Quando se pretende analisar estruturas com comportamento não-linear, conseguir
maiores margens de segurança, avaliar a segurança de estruturas existentes, ou até mesmo
assegurar uma maior vida útil as estruturas, a utilização do método semi-probabilístico fica
bem mais complexo. Geralmente nestes casos são utilizados métodos probabilísticos para
análise.
A análise probabilística pode se dar por duas formas, ou por métodos simplificados
ou por métodos completos. Os métodos simplificados em sua maioria são descritos pela
média e desvio padrão das variáveis, tendo a correlação entre as variáveis descritas por
uma matriz de covariância, sendo analisada a segurança em termos desfavoráveis segundo
os estados limites.
Um modelo de análise probabilística simplificado é o método FOSM (First Order,
Second Moment), podendo-se fazer um estudo utilizando apenas o primeiro de segundo
momento da equação de falha da estrutura (média e desvio padrão), sem qualquer
referência a forma específica das funções de resistência (ƒr) e solicitação (ƒs).
Como este é um método probabilístico aproximado à probabilidade de falha estará
condicionada a critérios determinísticos, considerando-se a falha apenas no ponto de maior
solicitação, supondo-se também a independência entre a resistência e a solicitação. O
índice de confiabilidade (β) é definido como a razão entre a média e o desvio padrão da
função de falha associada (ƒf).
β
35
Sendo que a função que irá descrever o evento da falha pode ser descrita de várias
formas, dentre as mais simples estão:
Tipo
Função de Falha (ƒf) Evento de Falha Valor de (ƒf) p/ Falha
1 ƒf = r – s ƒf ≤ 0 0
2 ƒf = ln (r / s) ƒf ≤ 0 0
3 ƒf = (r / s) ƒf ≤ 1 1
Onde r representa a resistência e s representa a solicitação
Admitindo-se que a variável a ser estudada tenha variabilidade e que seja descrita
apropriadamente como uma função probabilística normal, sua probabilidade de falha fica
descrita como sendo a área da distribuição acumulada padrão em relação a confiabilidade.
Pf = ϕ (-β) = 1 - ϕ (β)
Onde ϕ representa a função probabilística normal, Pf a probabilidade de falha e β a
confiabilidade. A equação acima pode ser calculada resolvendo a integração , ou através de
uma tabela de áreas da distribuição normal padrão (anexo A).
Pf =1 -
Os modelos completos de analise probabilística são realizados considerando a
distribuição conjunta de todas as variáveis, são necessárias também distribuições
estatísticas de probabilidade que aproximem as diversas variáveis aleatórias, exigindo
também informações sobre a forma da curva de distribuição de probabilidades. Devido a
essa quantidade e dificuldade de obtenção dessas informações os modelos completos ainda
são muito pouco utilizados.
Para exemplificar melhor este modelo de análise, serão assumidas duas variáveis
básicas X (resistências) e Y (solicitação). Para garantir a probabilidade de sucesso desse
36
evento utilizamos Prob( X>Y), sendo a probabilidade complementar (X<Y) a probabilidade
de falha. Traçando a curva da distribuição de probabilidades da resistência e solicitação
temos:
Figura 5 – Distribuição probabilidades X e Y (Castro, 1997)
A área hachurada representa a zona de falha onde X<Y, podendo ser equacionada pela
fórmula:
Mostrando assim a importância da média, da forma e do desvio padrão das distribuições
para a probabilidade de falha da estrutura.
37
5. Aplicações
O problema consiste em encontrar o índice de confiabilidade e probabilidade de falha
utilizada no dimensionamento de uma viga biapoidada de 7,3x14,6cm com comprimento de
6m em aço ASTM A 36, carregada uniformemente com uma carga distribuída de 15 KN/m,
admitindo-se como única variável aleatória a tensão de escoamento (fy),com fyk = 250Mpa,
fy= 16,64Mpa e a função densidade de probabilidade da tensão de escoamento é
Gaussiana (Normal) .
Resolução
Cálculo dos momentos e reações de apoio pelas equações da estática
38
Para prosseguir com a verificação é necessário encontrar a média da tensão de
escoamento. Como foi dado o valor característico (fyk), que corresponde a uma falha de 5%
pela curva normal corresponde ao índice de 1,645, substituído na equação temos:
=
250 = - 1,645 x 16,4
= 277,37 Mpa
Pela resistência dos materiais podemos dizer que:
Substituindo temos:
Para descobrir o índice de confiabilidade utilizado utilizamos a equação de
densidade de probabilidade normal.
= 277,37
1,05
39
Pela tabela de áreas da função normal padrão tem-se que o valor de Fξ relacionado é
0,8531 com isso temos:
Pf = 1- 0,8531 = 0,1469 x 100 = 14,69%
Índice de confiabilidade = 1,05
Então em uma situação com essas condições podemos dizer que a probabilidade de
falha da estrutura é de 14,69%, este índice tão alto se deu pelo fato do índice de
confiabilidade ser muito baixo, pois segundo trabalho de Zahn (1977), em situações como
essa, que envolve colapso da estrutura o índice de confiabilidade a ser utilizado deveria ser
de 4,5. Refazendo os cálculos para essa confiabilidade vamos encontrar as novas
dimensões da peça.
=
= 277,37
Substituindo na equação temos
Adotando h=2b
b = 8cm e h = 16cm
Utilizando estes novos parâmetros a probabilidade de falha da estrutura caiu para valores na
ordem de 0,001%.
40
A fim de ilustração, pode ser feito também o dimensionamento segundo os preceitos da
NBR 8800 :
Calculando o
Achando o índice de confiabilidade envolvido
=
=
Recalculando as dimensões
Adotando h=2b
b = 7,6cm e h = 15,2cm
Achando a nova probabilidade de falha
Pf = 1- 0,9989 = 0,0011 x 100 = 0,11%
41
Através dos exemplos pode-se perceber que o aumento da confiabilidade em uma
estrutura pode significar um maior investimento. Nestes casos apresentados a variação da
de 1,05 para 3,05 na confiabilidade resultou um consumo de 8% a mais de material e
variando de 1,05 para 4,5 resultou num consumo 20% maior, como apresentado na tabela
abaixo:
Tabela 13 – Resumo de resultados
Situação Seção (cm) Índice de
Confiabilidade Probabilidade de falha (%)
Variação do volume da
seção
01 7,3 x 14,6 1,05 14,690 1,00
02 8,0 x 16,0 4,50 0,001 1,20
03 7,6 x 15,2 3,05 0,110 1,08
42
6. Conclusão
A segurança estrutural esta caminhando em rumo aos métodos probabilísticos, pois
se descobriu que a única forma de se quantificar os erros e falhas inerentes aos materiais,
modelos estruturais e ações seria por esta forma. Os modelos de análise probabilística
ainda são pouco aplicados pelos estruturalistas em construções correntes, tendo seu uso
restringido a situações em que são exigidas uma análise não linear.
É visível nas atuais normas brasileiras a introdução dos conceitos probabilísticos,
como a utilização de resistências características, o controle de qualidade a fim de reduzir a
variabilidade dos materiais e a utilização de coeficientes de segurança mais elevados em
situações de rotura frágil.
Fica evidente também nos casos das combinações de ações a presença de
conceitos probabilísticos nas normas, pois os critérios utilizados pela NBR 8681 levam em
consideração a simultaneidade dos efeitos das ações, utilizando coeficientes de
ponderação, reduzindo o valor característico em função da improbabilidade das ações
atingirem seus valores máximos de forma simultânea.
Tendo em vista tais contribuições nas normas de cálculo e a perspectiva de evolução
dos preceitos probabilísticos no ramo da engenharia estrutural, fica claro a importância
destes conhecimentos para a desmistificação e o aprimoramento dos critérios de
dimensionamento.
Afim de complementar esses conhecimentos fica a sugestão de trabalhos em que
visem obter mais parâmetros de comportamento das ações e resistências, no intuito de
complementar e facilitar os processos de análise probabilística
43
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (2003). NBR 8681 - Ações e
Segurança nas Estruturas. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (2003). NBR 6118 - Projetos de
Estruturas de Concreto Armado. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (2008). NBR 8800 - Projetos de
Estruturas de Aço e de Estruturas Mistas e Concreto de Edifícios. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1996). NBR 12655 – Concreto –
Preparo, Controle e Recebimento. Rio de Janeiro.
CASTRO, Leila Aparecida de. Análise da Segurança no Projeto de Estruturas: Método
dos Estados Limites. Brasil - São Carlos, SP. 1997. 134 p. Dissertação (Pós-graduação
em Engenharia Civil) - Escola Politécnica da USP.
CARVALHO, Roberto Chust; FILHO, Jasson Rodrigues de Figueiredo; Calculo e
Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado. 3a Ed, 2007. 367p. Editora da
Universidade Federal de São Carlos – Edufscar.
44
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dimensionadas segundo NBR 8800. Brasil – Ouro Preto, MG. 2004. 129p. Dissertação
(Mestrado em Engenharia Civil) - Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto.
FUSCO, P. B. . Estruturas de Concreto - Fundamentos do Projeto Estrutural. SAO
PAULO: EDITORA DA UNIVERSIDADE DE SAO PAULO E ED.MCGRAW-HILL DO
BRASIL, 1976. 298 p
GALAMBOS, T.V.; ELLINGWOOD, B.R.; MACGREGOR, J.G.; CORNELL, C.A. (1982).
Probability based load criteria: assessment of current design practice. Journal of the
Structural Division, ASCE, v.108, n.ST5, p.959-977, May.
LEONHARDT, Fritz; MONNIG, Eduard; Construções de Concreto – Princípios básicos de
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol 1, 1982. 305p. Editora Interciência.
NEVES, Luiz A. C.; CRUZ, Paulo J. S.; Introdução a Análise Probabilística da Segurança
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NOGUEIRA, Caio Gorla; Um modelo de confiabilidade e otimização aplicado às
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Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) - Escola de Engenharia de São Carlos da
Universidade de São Paulo.
45
SANTOS, Lauro Modesto; Cálculo de Concreto Armado. Volume 1, 1977. 409 p. Editora
Edgard Blucher.
VROUWNVELDER, Tom; JCSS Probabilistic Model Code, Joint Committee on Structural
Safety. 2000, 12th draft.
ZANH, J.J. ; Reliability – based design procedures for wood structures. 1977 .Forest
Products Journal, n 27
46
ANEXO A
Tabela de Distribuição Normal Padrão
ξ 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
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