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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO AISLAN TOTTI BERNARDO
OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO NO ENSINO DE FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU:
Uma proposta para o Caderno do Aluno do Estado de São Paulo
SÃO PAULO 2011
AISLAN TOTTI BERNARDO MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO NO ENSINO DE FUNÇÃO
POLINOMIAL DO 1º GRAU: Uma proposta para o Caderno do Aluno do Estado de São Paulo
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática sob a orientação da Profª Drª Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes.
SÃO PAULO
2011
Dedico este trabalho aos mestres que me mostraram que sou capaz.
À minha esposa, pelo apoio e carinho constante.
Aos meus filhos que foram a razão da minha luta.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente à Deus, meu refúgio e força, onde encontro respostas para
meus questionamentos. Por me dar sabedoria. E por permitir mais uma realização
de um sonho.
À Professora Doutora Solange pela dedicação, disposição e discussões
teóricas nas orientações que subsidiaram novas reflexões em meus conceitos. Por
ter sido atenciosa e paciente durante o período de desenvolvimento desse trabalho.
À todos os professores do Programa de Mestrado em Educação Matemática
da UNIBAN pelo incentivo dado durante todo o curso.
Aos funcionários da UNIBAN que de forma indireta também foram importantes
para a conclusão desse trabalho.
Aos meu familiares, em especial minha esposa Fernanda Veronica de Oliveira
Bernardo, pelo carinho, paciência, compreensão e dedicação a mim durante todo o
período que lhe faltei com atenção.
Aos meus filhos Renan Augusto de Oliveira e Raissa de Oliveira Bernardo,
que tanto sofreram com minha ausência.
À direção da EE Profª Silvana Evangelista que me deu subsídios para que eu
pudesse coletar os dados de minha pesquisa.
Aos alunos da EE Profª Silvana Evangelista que participaram como
voluntários em minha pesquisa na coleta de dados.
À todos que de forma direta ou indireta me apoiaram na realização deste
trabalho.
À CENP, pela bolsa que proporcionou a realização deste trabalho.
A todos meu carinho e muito obrigado.
A Matemática é a honra do espírito humano.
Leibniz.
RESUMO
Nesta pesquisa analisamos a potencialidade do software GeoGebra para favorecer a
interação entre os registros de representação do objeto matemático função
polinomial do 1º grau, no modelo das questões propostas no Caderno do Aluno do
Estado de São Paulo. Para tanto, o referencial teórico adotado para nossas análises
foi a teoria de Duval (2008, 2009) – Registro de Representações Semióticas. A
metodologia utilizada nesse estudo foi Design Experiment de Cobb et al. (2003) e,
orientados por essa metodologia, dividimos a Fase Experimental em duas fases. Na
Fase I – Estudo Preliminar, aplicamos o Estudo Piloto a quatro duplas compostas
por alunos da primeira série do Ensino Médio de uma Escola Estadual de São Paulo.
A atividade proposta nessa fase foi elaborada a partir de uma questão apresentada
no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo. A Fase II – Fase Experimental
aplicada a outro grupo de alunos foi realizada em duas etapas. Para a primeira,
fizemos o redesign da atividade a partir dos resultados obtidos na Atividade Piloto e
incluímos algumas questões de forma que a atividade proposta na Fase II
privilegiasse os registros de representações de funções polinomiais do 1º grau. Na
segunda etapa dessa fase, duas novas atividades foram aplicadas aos alunos
participantes, elaboradas com o intuito de valorizar a utilização do software
GeoGebra. Nossos dados mostram que, ao manipular os registros de representação
de uma função polinomial do 1º grau, seja movendo sua curva ou alterando os
valores dos parâmetros, os alunos passam a estabelecer relações entre os
diferentes registros de representação. Os resultados desta pesquisa revelaram que,
ao planejar atividades que levam o aluno a observar e relacionar diferentes registros
de representação dos objetos matemáticos utilizando uma ferramenta
computacional, podemos proporcionar ao aluno o controle da diversidade de
registros de representação de modo que ele possa optar pelo que lhe for
significativo.
Palavras-Chave: Design Experiment. Função polinomial do 1º grau. Geometria
Dinâmica. Registros de Representações.
ABSTRACT
In this research we have analyzed the potenciality of the software GeoGebra in an
attempt to encourage interactions between representation registers of the
mathematical object polynomial function of the first degree, following the model of
proposed questions in the São Paulo State‟s Student Notebook (Caderno do Aluno
do Estado de São Paulo). For this, we have used Duval‟s theory (2008, 2009) of
Registers of Semiotic Representation. We used the Design Experiment (Cobb et al.,
2003) methodology and divided the experiment into two moments. In Phase I –
Preliminary Study, we administered a pilot study to four pairs of first year high school
students from a public school. The proposed activity in this phase was developed
from a question posed in the Student Notebook. Phase II – Experimental Phase had
two parts and was administered to a second group of four students pairs. For the first
part, we redesigned the activity on the basics of an analysis of the results obtained in
the pilot activity, and added some questions to emphase representation registers of
first degree polynomial functions. In the second part of this phase, two new activities
were administered to participating students, aiming to value the use of GeoGebra.
Our data show that, by manipulating the representation polynomial function of first
degree, either moving the curve or changing parameters, students started to
establish relations among different registers. Results from this research revealed that
when planning activities that guide the student to observe and relate different
representation registers of mathematical objects using a computational tool, it is
possible to give students the power to control the diversity of representation registers
in order to priviledge those most meaningful for them.
Keywords: Design Experiment. Polynomial function of the first degree. Dynamic
Geometry. Registers of Semiotic Representation.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 3.1: RESPOSTA REGISTRADA PELA DUPLA PILOTO A DA QUESTÃO 4 ...................... 60
FIGURA 3.2: RESPOSTA REGISTRADA PELA DUPLA PILOTO C DA QUESTÃO 4 ...................... 61
FIGURA 3.3: RESPOSTA REGISTRADA PELA DUPLA PILOTO D DA QUESTÃO 5 ...................... 62
FIGURA 3.4: RESPOSTA DA QUESTÃO 6 DADA PELA DUPLA PILOTO A ................................ 63
FIGURA 3.5: RESPOSTA REGISTRADA PELA DUPLA PILOTO D. ........................................... 64
FIGURA 3.6: RESPOSTA REGISTRADA PELA DUPLA PILOTO A. ........................................... 64
FIGURA 3.7: RESPOSTA DA QUESTÃO 5 DA DUPLA B ....................................................... 79
FIGURA 3.8: TELA DA ATIVIDADE PROPOSTA NO GEOGEBRA ............................................ 84
FIGURA 3.9: RESPOSTA DA QUESTÃO 3 DA DUPLA B ....................................................... 90
FIGURA 3.10: TELA DA ATIVIDADE PROPOSTA NO GEOGEBRA .......................................... 92
FIGURA 4.1: RESPOSTA DA QUESTÃO 2 DA DUPLA B ..................................................... 100
LISTA DE TABELAS
TABELA 3.1: PARTICIPANTES DO ESTUDO PILOTO ........................................................... 54
TABELA 3.2: RESPOSTAS DA QUESTÃO 1 DADAS PELAS DUPLAS PILOTO ............................ 57
TABELA 3.3: RESPOSTA REGISTRADA PELAS DUPLAS PILOTO C E D DA QUESTÃO 3 ............ 59
TABELA 3.4: GRÁFICOS TRAÇADOS NO GEOGEBRA PELAS DUPLAS PILOTO C E D .............. 59
TABELA 3.5: GRÁFICOS TRAÇADOS NO GEOGEBRA PELAS DUPLAS PILOTO A E B .............. 60
TABELA 3.6: RESPOSTA REGISTRADA PELAS DUPLAS PILOTO B E C DA QUESTÃO 4 ............ 61
TABELA 3.7: RESPOSTA REGISTRADA PELAS DUPLAS PILOTO B E C DA QUESTÃO 5 ............ 62
TABELA 3.8: RESPOSTA REGISTRADA PELAS DUPLAS PILOTO B E C DA QUESTÃO 6 ............ 63
TABELA 3.9: RESPOSTAS DA QUESTÃO 8 DADAS PELAS DUPLAS. ...................................... 65
TABELA 3.10: RESPOSTAS DA QUESTÃO 9 DADAS PELAS DUPLAS. .................................... 66
TABELA 3.12: ATIVIDADE 2 ........................................................................................... 71
TABELA 3.13: ATIVIDADE 3 ........................................................................................... 71
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1.1: FUNÇÕES NO CADERNO DO ALUNO DO ESTADO DE SÃO PAULO .................. 36
QUADRO 1.2: EXEMPLO DA ATIVIDADE DO CADERNO DO ALUNO ....................................... 37
QUADRO 1.3: EXEMPLOS DA ATIVIDADE DO CADERNO DO ALUNO ..................................... 38
QUADRO 2.1: ATIVIDADES DO CADERNO DO ALUNO DO ESTADO DE SÃO PAULO ................ 51
QUADRO 3.1: QUESTÕES PROPOSTAS NO ESTUDO PILOTO ............................................. 55
QUADRO 3.2: QUESTÕES PROPOSTAS NO ESTUDO PILOTO ............................................. 58
QUADRO 3.3 – ALUNOS PARTICIPANTES DA FASE EXPERIMENTAL .................................... 72
QUADRO 3.4: ENUNCIADO DA ATIVIDADE 1..................................................................... 73
QUADRO 3.5: RESPOSTA ESCRITA DADA PELAS DUPLAS B E C NA QUESTÃO 1 ................... 74
QUADRO 3.6: RESPOSTA ESCRITA DADA PELAS DUPLAS A, C E D NA QUESTÃO 2 .............. 75
QUADRO 3.7: RESPOSTAS DAS DUPLAS A, B E C NA QUESTÃO 3 ...................................... 77
QUADRO 3.8: GRÁFICOS TRAÇADOS PELAS DUPLAS NO GEOGEBRA ................................. 78
QUADRO 3.9: RESPOSTAS DAS DUPLAS C E D NA QUESTÃO 5 .......................................... 79
QUADRO 3.10: RESPOSTAS DAS DUPLAS A, B E C NA QUESTÃO 6 .................................... 80
QUADRO 3.11: RESPOSTAS DAS DUPLAS A, B, C E D NA QUESTÃO 7 ............................... 81
QUADRO 3.12: RESPOSTAS DAS DUPLAS C E D NA QUESTÃO 8 ........................................ 82
QUADRO 3.13: RESPOSTAS DAS DUPLAS C E D NA QUESTÃO 8 ........................................ 85
QUADRO 3.14: EXEMPLOS DE POSIÇÕES DO GRÁFICO NA QUESTÃO 2 ............................... 86
QUADRO 3.15: RESPOSTAS DAS DUPLAS A E B DA QUESTÃO 2 ........................................ 87
QUADRO 3.16: RESPOSTAS DAS DUPLAS C E D DA QUESTÃO 2. ....................................... 88
QUADRO 3.17: RESPOSTAS DAS DUPLAS A, B, C E D NA QUESTÃO 1 ............................... 93
QUADRO 3.18: RESPOSTAS DAS DUPLAS B E C NA QUESTÃO 2 ........................................ 94
LISTA DE TRECHOS
TRECHO 3.1: CONVERSA DA DUPLA B ............................................................................ 74
TRECHO 3.2: CONVERSA DA DUPLA C ............................................................................ 74
TRECHO 3.3: CONVERSA DA DUPLA A ............................................................................ 75
TRECHO 3.4: TRECHO DA CONVERSA DA DUPLA C .......................................................... 80
TRECHO 3.5: DIÁLOGO DA DUPLA A ............................................................................... 85
TRECHO 3.6: DIÁLOGO DA DUPLA B ............................................................................... 86
TRECHO 3.7: TRECHO DA CONVERSA DA DUPLA C .......................................................... 88
TRECHO 3.8: DIÁLOGO ENTRE A DUPLA B E O PROFESSOR-PESQUISADOR ........................ 90
TRECHO 3.4: TRECHO DA CONVERSA DA DUPLA B ........................................................ 100
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 16
CAPÍTULO 1
REFERENCIAL TEÓRICO ....................................................................................... 19
1.1 REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA .......................................... 19
1.2 ALGUNS TRABALHOS PRECEDENTES ........................................................ 26
1.3 FUNÇÕES E SUAS REPRESENTAÇÕES ...................................................... 31
1.3.1 FUNÇÕES NO CADERNO DO ALUNO DO ESTADO DE SÃO PAULO ....................... 31
1.3.2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU ................................................................. 33
CAPÍTULO 2
METODOLOGIA ....................................................................................................... 40
2.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ........................................................ 46
2.2 O SOFTWARE GEOGEBRA E OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO DE
DUVAL ................................................................................................................... 48
2.3 COLETA DE DADOS ....................................................................................... 50
2.4 CONTEXTO DA PESQUISA ............................................................................ 50
CAPÍTULO 3
PROCESSO EMPÍIRICO........................................................................................... 53
3.1 FASE I – ESTUDO PILOTO ............................................................................ 53
3.1.1 A ATIVIDADE DO ESTUDO PILOTO .................................................................. 54
3.1.2 ANÁLISE DO ESTUDO PILOTO ........................................................................ 56
3.2 O REDESIGN DAS ATIVIDADES ................................................................... 67
3.2.1 REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES – FASE II – FASE EXPERIMENTAL ....................... 72
3.2.2 ANÁLISE DA FASE EXPERIMENTAL ................................................................. 73
CAPÍTULO 4
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 96
4.1 RESULTADOS DA FASE I – FASE PRELIMINAR – ESTUDO PILOTO ......... 98
4.2 RESULTADOS DA FASE II – FASE EXPERIMENTAL ................................... 99
4.3 REFLEXÕES ................................................................................................. 101
REFERÊNCIA ......................................................................................................... 105
ANEXO I – ATIVIDADE EXPLORATÓRIA 1 DA FASE EXPERIMENTAL .................................. 108
16
INTRODUÇÃO
Esta pesquisa, que se apóia no quadro teórico dos Registros de
Representação Semióticas de Raymond Duval foi motivada a partir de nossa prática
docente com alunos do Ensino Médio. Essa prática nos mostrou dificuldades dos
alunos em interpretar, construir e relacionar a equação algébrica com o gráfico de
uma função. Com os recursos tecnológicos sendo utilizados como uma ferramenta
de ensino, não temos pretensão de sanar todas as dificuldades, mas pelo menos, de
tentar minimizá-las.
A partir da teoria de Duval, procuramos fazer com que os alunos
interpretassem e relacionassem duas representações ou mais de uma mesma
função do 1º grau. As atividades propostas foram estruturadas a partir de uma
atividade do Caderno do Aluno da 1ª série do Ensino Médio, que é apresentado
como proposta curricular nas Escolas Públicas do Estado de São Paulo. Essas
atividades foram planejadas de forma a contemplar tanto sua originalidade quanto o
trânsito entre os registros de representação do objeto matemático envolvido.
Com o rápido avanço das tecnologias, a disciplina de Matemática, bem como
outras disciplinas científicas, precisa atualizar-se e, para isso acontecer, muitas
discussões ocorreram entre favoráveis e contrários ao uso de novas ferramentas
tecnológicas nas aulas de Matemática, nos diferentes níveis de ensino. Em particular
no Ensino Médio, relativamente ao tema Funções, a interpretação e construção de
gráficos de funções reais traçados com o auxílio de tecnologias digitais é um
assunto que já rendeu várias dissertações e teses.
Para mostrar qual o papel que a tecnologia pode ter na transição entre os
registros de representação de uma função polinomial do 1º grau, temos como
objetivo estudar em que medida, trabalhando em ambiente computacional, o
software GeoGebra pode ampliar significados para essas funções, proporcionando
uma maior interação entre os registros algébrico, gráfico, língua materna e tabular
desse objeto matemático. Para atingirmos esse objetivo, estruturamos as seguintes
questões de pesquisa:
17
Em que medida podemos ampliar os significados atribuídos pelos
alunos à função polinomial do 1º grau, promovendo a interação entre
os registros algébrico, gráfico, língua materna e tabular desse objeto
matemático?
Em que medida o software GeoGebra favorece a interação entre os
registros de representação do objeto matemático função polinomial do
1º grau?
Este trabalho foi estruturado para atender as necessidades de nossa
pesquisa. Neste sentido, no Capítulo 1, intitulado Referencial Teórico
apresentamos a teoria de Duval e alguns trabalhos voltados a utilização de
tecnologia no ensino de funções como ferramenta na transição entre os registros
algébrico, gráfico e tabular. A teoria de Duval destaca a importância que a interação
entre os registros de representação de um objeto matemático tem no ensino desse
objeto, pois o próprio autor descreve que a aprendizagem desse objeto acontece
quando o aprendiz consegue relacionar e interagir entre diversos registros
disponíveis. Na revisão, encontramos trabalhos que destacam o potencial da
tecnologia computacional no âmbito educacional, centrando-nos naqueles que
discutem o objeto matemático funções. Nesses trabalhos, destaca-se entre outros, a
facilidade em traçar vários gráficos de funções, e a possibilidade de visualizar os
registros algébrico, gráfico e tabular simultaneamente.
O Capitulo 2 – Metodologia apresenta o Design Experiment de Cobb et al.
(2003). Os objetivos e características dessa metodologia, que tem o intuito de
coletar, interpretar, revisar e compartilhar o que foi coletado no experimento foi uma
escolha adequada ao tipo de estudo que nos propusemos realizar. Seu caráter
cíclico nos possibilitou planejar, aplicar, replanejar e reaplicar as atividades a fim de
que pudéssemos, ao final do processo empírico, oferecer respostas às nossas
questões de pesquisa.
No Capitulo 3 - Processo Empírico, apresentamos o perfil dos alunos, o
procedimento da coleta de dados, as atividades e as respostas dos alunos,
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verificando as interações ocorridas entre os registros presentes em cada questão.
Nesse capitulo descrevemos todo o processo de aplicação das atividades, as
questões propostas, os objetivos de cada questão e as respostas dos alunos. Esse
procedimento foi dividido em duas fases: a Fase I – Estudo Piloto nos ofereceu
parâmetros para que a partir das análises, realizássemos o redesign das atividades
propostas na Fase II – Fase Experimental. Nessa fase, as atividades foram
redesenhadas com o intuito de contemplarmos a interação entre os registros de
representação da função polinomial do 1º grau proposta no software GeoGebra,
utilizado como ferramenta tecnológica para dinamizar a interação entre os registros,
oferecendo aos alunos a possibilidade de interagir com os registros apresentados ao
mesmo tempo.
A partir de nossas escolhas, no Capítulo 4 - Considerações Finais,
apresentamos as análises a partir dos resultados encontrados no procedimento
empírico, destacando as conclusões. Neste capítulo mostramos a importância das
atividades serem preparadas de forma que contemplem os registros de
representação e a utilização da ferramenta computacional, o que nos revelou a
importância do professor-pesquisador, pois foi esse quem preparou, aplicou e
orientou os alunos em todo o processo empírico, além de apresentar perspectivas
para futuros estudos.
19
CAPÍTULO 1
REFERENCIAL TEÓRICO
Neste capítulo apresentaremos a teoria de Duval com especial interesse nos
registros de representação de um objeto matemático e a Revisão Bibliográfica que
realizamos em busca de trabalhos que destacam o potencial da tecnologia
computacional no âmbito educacional. Trazemos ainda uma breve discussão do
objeto matemático Função Polinomial do 1º grau.
1.1 REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
A escolha da abordagem teórica “Registro de Representações Semióticas” de
Raymond Duval (2008, 2009) que aqui aparecerá como elemento central de análise,
foi feita a partir da necessidade encontrada nos Cadernos do Aluno oferecidos pela
Secretaria Estadual de Educação do Estado de São Paulo para oferecer situações
contextualizadas especialmente relacionadas à leitura e escrita matemáticas. A
nosso ver, transitar entre diferentes registros de representação pode auxiliar na [...]
formação do pensamento científico [que] é inseparável do desenvolvimento de
simbolismos específicos para representar os objetos e suas relações (GRANGER,
1979, pp.21-47 apud DUVAL, 2009, p.16)“ e segundo DUVAL, “as matemáticas são
o domínio em que esse fenômeno é o mais antigo, mais espetacular e,
possivelmente também, o mais indispensável” (2009, p.16).
De acordo com Duval, “não é possível estudar os fenômenos relativos ao
conhecimento sem se recorrer à noção de representação.”(2009, p. 29), ou tudo que
estudamos em relação ao conhecimento pode ser expresso de alguma forma, ou
20
seja, ser representado de alguma forma. Qualquer conhecimento tem uma forma de
representação, embora essa noção de representação tenha passado por algumas
definições distintas ao longo do tempo.
Primeiramente a representação foi definida como mental, ou as explicações e
crenças que as crianças tinham sobre assuntos referentes a fenômenos naturais ou
psicológicos. Essa primeira definição vem com Piaget, que trata a representação
como “evocação dos objetos ausentes” (PIAGET, 1937, pp. 305-306 apud DUVAL,
2009).
Uma segunda definição aparece como representação interna ou
computacional, dando ênfase, de acordo com Broadbent (1958) ao tratamento das
representações. Para Duval essa definição “torna-se, então, essencial como forma
sob a qual uma informação pode ser descrita e considerada em um sistema de
tratamento” (BROADBENT, 1958, apud DUVAL, 2009, p. 31). Tal definição contradiz
a primeira noção de representação apresentada por Piaget porque se trata de uma
“codificação da informação” (DUVAL, 2009, p. 31).
A terceira definição é apresentada como representação semiótica, sendo essa
a mais importante para esta pesquisa, uma vez que está relacionada às
representações de um sistema composto por signos, linguagem própria, gráficos e
escritas algébricas.
Duval (2008) destaca alguns pontos importantes que permitem considerar a
Matemática como uma grande aliada para o estudo da importância dos diferentes
sistemas semióticos na aprendizagem. A relevância dos registros de representações
semióticas se dá como uma abordagem cognitiva, ou seja, “procura inicialmente
descrever o funcionamento cognitivo que possibilite a um aluno compreender,
efetuar e controlar ele próprio a diversidade dos processos matemáticos que lhes
são propostos em situação de ensino” (IBID, p. 12). O ensino da Matemática foi o
grande propulsor dessa abordagem das representações semióticas, e essa
abordagem é verificada no âmbito da matemática escolar, como forma de facilitar
compreensões dos objetos matemáticos.
Segundo Duval,
21
[...] a diferença entre a atividade cognitiva requerida pela matemática e aquela requerida em outros domínios de conhecimento não deve ser procurada nos conceitos, mas nas duas características seguintes: a importância primordial das representações semióticas e a grande variedade de representações semióticas utilizadas em matemática. (DUVAL, 2003, pp.12-14 apud KARRER, 2006).
A partir dessas afirmações podemos concluir que em matemática não existe
comunicação sem a utilização das representações, o que pode acontecer em outras
ciências.
Para estudar a aquisição de conhecimentos, e mais particularmente a aquisição de conhecimentos matemáticos, é preciso recorrer à noção de representação. Não existe conhecimento matemático que possa ser mobilizado por uma pessoa, sem o auxílio de uma representação. (DAMM, 1999, p.137)
Para o autor (2009, p. 17) na matemática “não há noésis1 sem semiósis2, é a
semiósis que determina as condições de possibilidades e exercícios da noésis”, uma
vez que não existe o ensino do objeto matemático sem a utilização dos registros de
representação deste, ou seja, a apreensão dos conceitos matemáticos (noésis) se
dá através das representações semióticas, pois um conhecimento matemático
ocorre quando a noésis, ou a conceitualização, precisa recorrer às representações,
ou semiósis.
Ainda Duval classifica os registros de representação semiótica em
multifuncionais – quando envolvem a língua natural, associações verbais
(conceituais) e forma de raciocinar (argumentos, deduções de definições, teoremas),
ou monofuncionais – que envolvem os sistemas de escritas numéricas, algébricas
1 [Do Gr. noésis, „pensamento, inteligencia‟.] S.f. Filos. Na fenomenologia, aspecto subjetivo da
vivencia, constituído por todos os atos que tendem a apreender o objeto: o pensamento, a percepção, a imaginação. Etc. (Dicionário Aurélio) 2 semiótica. [Do gr. semeiotiké, i. e., téchne semeiotiké, „a arte dos sinais‟.] S. f. 1. Denominação
utilizada, principalmente pelos autores norte-americanos, para a ciência geral do signo; semiologia. 2. V. semasiologia (1). 3. Desus. Arte de comandar manobras militares por meio de sinais, e não da voz. 4. Estudo e descrição dos sinais de uma doença; semiologia. [Nesta acepç., cf. sintomatologia.] 5. V. semântica (1). (Dicionário Aurélio)
22
e simbólicas, e também o cálculo, e os gráficos cartesianos. Dentro dos registros
multifuncionais, Duval classifica as associações verbais e formas de raciocinar em
uma forma de representação discursiva e as figuras geométricas em uma forma de
representação não-discursiva. Já nos registros monofuncionais, o autor classifica os
sistemas de escritas numéricas, algébricas e simbólicas, e também o cálculo como
representação discursiva, e os gráficos cartesianos como representação não-
discursiva, ou seja, esses registros podem ser divididos em quatro tipos:
monofuncionais discursivos, monofuncionais não-discursivos, multifuncionais
discursivos e multifuncionais não-discursivos. Dentre esses, utilizamos em nossa
pesquisa a língua materna (multifuncional discursivo), o registro algébrico
(monofuncional discursivo), o registro numérico (monofuncional discursivo) e o
registro gráfico (monofuncional não-discursivo).
Para o autor, três atividades cognitivas são fundamentais para que um
sistema semiótico seja aceito como registro de representação, são elas:
- A formação de uma representação deve respeitar as regras e propriedades
fundamentais e suficientes para a representação de um objeto no sistema em que
está integrada, pois se isso não ocorrer, poderá dificultar e prejudicar os tratamentos
entre eles. Por exemplo, o sistema posicional e o sistema de numeração decimal
para algoritmo da multiplicação e adição.
- O tratamento de uma representação é feito dentro do mesmo registro, é
uma transformação, por exemplo, de uma representação do registro algébrico para
outra representação do mesmo registro, ou de uma representação do registro
tabular para outra representação do mesmo registro. O tratamento pode ser descrito
como uma transformação interna em um mesmo registro, e sendo que cada
tratamento deve respeitar os algoritmos e propriedades contidas no registro.
Todo tratamento é feito no registro de representação de um objeto
matemático e não no próprio objeto matemático. Como exemplificou DAMM (1999,
p.146):
0,25 + 0,25 = 0,5, que tem representação decimal e envolve um
tratamento decimal.
23
¼ + ¼ = ½ , que tem representação fracionária e envolve um
tratamento fracionário.
- A conversão de uma representação é uma transformação que muda o
registro no qual o objeto está representado, conservando o objeto matemático em
estudo. Na conversão, quando há a mudança de registro deve ser representado o
máximo do objeto matemático representado no registro de partida. A conversão é
muito importante dentro do estudo das representações semióticas, pois pode
representar um mesmo objeto matemático de forma que o aprendiz possa
compreender com mais facilidade.
Resumindo, o tratamento de uma representação refere-se às operações
dentro de um mesmo registro de representação, por isso é dita “interna a um
registro”, por exemplo, efetuar um cálculo sem sair do sistema de representações
dos números, e a conversão de uma representação acontece quando o registro
inicial é transformado em outro registro, por essa razão é dita “transformação
externa”, como por exemplo, ao utilizarmos um gráfico para representar uma
equação da forma algébrica. Para o autor,
“Há, por trás da aplicação de uma regra de codificação para passar de uma equação a um gráfico cartesiano, a necessária articulação entre as variáveis cognitivas que são especificas de cada um dos dois registros. Pois são essas variáveis que permitem determinar quais as variáveis de significado pertinentes, que devem ser levadas em consideração, em cada um dos registros. A conversão das representações, quaisquer que sejam os registros considerados, é irredutível a um tratamento” (Duval, 2008, p. 17).
É na troca desses registros de representação que se encontra a chave para a
aprendizagem em matemática, ou seja, na escolha do registro adequado para
favorecer tratamentos que impliquem um raciocínio mais elaborado,
consequentemente, a resolução das atividades. Para Duval “a compreensão em
Matemática implica a capacidade de mudar de registro” (2008, p. 21) (semiósis) e
ressaltando que a conceituação (noésis) somente será assimilada quando o sujeito
fizer conversões entre as diferentes representações semióticas de um mesmo objeto
matemático. De acordo com essa concepção, destacamos que a possibilidade de
24
aprendizagem em matemática é ampliada quando há integração entre vários
registros de representação.
Como a matemática é muito abstrata, seu estudo se dá com a utilização de
símbolos, escritas, notações que representam o objeto matemático, ou o conceito
matemático em estudo. Essas representações do objeto matemático, muitas vezes
são confundidas com o próprio objeto em estudo, o que dificulta a aprendizagem
desse conceito ou objeto. De acordo com Duval (2008, p.21), “não se deve jamais
confundir um objeto e sua representação”, e que essa distinção é fundamental para
a aprendizagem em Matemática. “O acesso aos objetos matemáticos passa
necessariamente por representações semióticas” (IBID, p. 21), ou seja, o objeto
matemático não é um objeto que possa ser observado diretamente. “[...] como
podemos não confundir um objeto e sua representação se não temos acesso a esse
objeto a não ser por meio de sua representação?” (IBID, p.21), isso é tido como um
paradoxo, pois em outras ciências esse problema não é verificado.
O argumento apresentado a respeito da necessidade da distinção entre o
objeto matemático e sua representação é uma fase importante no processo de
aprendizagem matemática, relaciona-se a reconhecer diversas representações
semióticas para o mesmo objeto matemático.
“... o conceito de uma representação depende mais do registro de representação do que do objeto representado, [...] passar de um registro de representação a outro não é somente mudar de modo de tratamento, é também explicar as propriedades ou os aspectos diferentes de um mesmo objeto” (Duval, 2008, p. 22).
De acordo com esse ponto de vista, não basta saber operar em uma
representação de algum objeto matemático e não conseguir compreender seu
conceito.
“... o que garante a apreensão do objeto matemático, a conceitualização, não é a determinação de re-presentações ou as várias representações possíveis de um mesmo objeto, mas sim a coordenação entre estes vários registros de representação.” (NEHRING, 1996 apud DAMM, 1999. p.147).
25
Os registros de representações semióticas podem ser classificados como
congruentes ou não congruentes, e entre dois registros, havendo ou não
congruência, não implica que quando comparados a um terceiro registro,
necessariamente acontecerá o mesmo.
Quando temos duas representações congruentes, ou seja, quando “existir
correspondência semântica entre as unidades significantes, mesma ordem possível
de apreensão dessas unidades nas duas representações, e conversão de uma
unidade significante da representação de partida em uma só unidade significante na
representação de chegada.” (DUVAL, 2009. p. 18), a transição entre essas
representações se faz de forma natural, espontânea. Quando esses critérios não
são verificados, as representações não são consideradas congruentes, e a
passagem de uma representação a outra pode deixar de acontecer naturalmente.
Quando fazemos as conversões entre dois registros de representação, elas
podem ser congruentes partindo de um registro e não necessariamente congruentes
se partirmos do outro, pois se partirmos de um registro a outro pode ser congruente
e se fizermos o inverso pode acontecer o contrário.
Por exemplo, a expressão “XY 0” e a representação gráfica cartesiana dos dois quadrantes determinados respectivamente pelos semi-eixos Y e X positivos, X e Y negativos, não são congruentes se passamos da escritura algébrica ao gráfico e nem para a passagem inversa. (DUVAL, 2009. p. 19).
então essas passagens de um registro a outro não são tão imediatas, uma vez que a
conversão entre eles não são congruentes. Também podemos destacar que na
passagem de volta entre esses registros existe uma dificuldade maior.
Quando um aluno se confronta com a passagem de uma representação a
outra, em que ambas não são congruentes entre si, o que parece tão trivial na
matemática se torna algo que não é tão simples para ele. Esse é um dos obstáculos
que encontramos na conversão entre registros de representação semiótica de um
objeto matemático, pois a conversão não congruente, por si só, não favorece a ela
mesma.
26
De acordo com essas propostas de representações de Duval, podemos
verificar o que é sugerido no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo, se essas
representações são abordadas e como são abordadas nesse material proposto
como apoio às aulas de Matemática.
1.2 ALGUNS TRABALHOS PRECEDENTES
Esta pesquisa tem como principais aspectos a serem observados, os
Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval sobre o objeto
matemático função polinomial do 1º grau, e a utilização de um software matemático,
nesse caso o GeoGebra, como ferramenta para observação e integração dos
registros. Nesse sentido, as observações feitas em outros trabalhos para iniciarmos
nossa pesquisa, com um olhar mais atento aos registros e também à utilização da
ferramenta computacional para integração desses registros, realizou-se em dois
momentos: primeiro em pesquisas com temáticas relacionadas à utilização da
ferramenta computacional e, em um segundo momento, trabalhos voltados à
temática dos registros de representação de Duval.
Quanto à utilização de computadores nas aulas de Matemática, há
divergências entre autores, alguns simpatizantes e outros contrários ao seu uso,
principalmente no que se refere ao estudo de funções, foco deste trabalho. Autores
não favoráveis à utilização dessa ferramenta apontam dificuldades associadas a ela
(Hillel, 1995; Wilson e Krapfl, 1994, apud ABRAHÃO, 1998. pp. 9-10), como por
exemplo, o problema da escala e da janela que esconde comportamentos gerais das
representações gráficas de funções. Outras dificuldades encontradas no uso da
tecnologia ou de calculadoras gráficas para a construção de gráficos devem-se ao
fato de alunos, e até mesmo de professores, não aceitarem que a máquina pode
trazer soluções que necessitam de uma boa análise antes da conclusão, por
exemplo,
27
[...] alguns alunos “mais maduros”, que interromperam seus estudos por um mínimo de dois anos e retornaram à universidade. O autor constatou que esses alunos não possuíam experiência em manipular janelas gráficas e pediu-lhes que analisassem varias representações gráficas de uma mesma função em diferentes janelas. Em cada desenho acharam os resultados gráficos encontrados estranhos e não conseguiram conciliar todas as informações fornecidas (partes do gráfico da mesma função), ficando em duvida sobre qual era afinal o gráfico da função. (Hillel, 1995 apud ABRAHÃO, 1998. pp. 9-10)
A justificativa desses autores é que muitas vezes não entendemos o processo
utilizado pela máquina para resolver esses problemas ou traçar esses gráficos,
sendo assim muito importante o conhecimento dos conceitos matemáticos.
Em contrapartida, encontramos autores favoráveis ao uso dessa ferramenta
que destacam suas potencialidades,
“No caso da Matemática, o computador pode ser um auxiliar precioso nos processos de ensino-aprendizagem pelas capacidades e economia de tempo que introduz no domínio do cálculo, do armazenamento da informação, da elaboração de gráficos, da simulação, da modelação e da organização de conhecimentos (Ponte, 1986, apud BARREIRA, 2007, pp. 24-25).
Para Benavente (1990 apud BARREIRA, 2007, pp. 4-5) “o computador torna-
se necessário não apenas como fator de modernização, mas, sobretudo, como
contributo transformador para a resolução progressiva de aspectos centrais na
construção do sucesso escolar”. Já Hector (1992), Demana e Waits (1990) e Minton
(1995) (apud ABRAHÃO. 1998. pp. 9-10), revelam que a utilização de softwares de
geometria dinâmica diminui o volume de cálculos rotineiros e maçantes que os
alunos precisam fazer para traçar gráficos, liberando tempo de sala de aula e
causando impacto no currículo de matemática da escola secundária. Esse tempo
liberado é justificado por BARREIRA:
A sociedade tem muito a ganhar com o papel cada vez mais importante das calculadoras e dos computadores na Educação
28
Matemática, nomeadamente através da facilidade com que os estudantes podem experimentar a Matemática, transformando-a numa disciplina exploratória, imprimindo uma dinâmica natural aos processos matemáticos, permitindo aos estudantes explorarem uma grande diversidade de exemplos, envolvendo-se em aplicações com dados reais e centrando a atenção mais em conceito do que em rotinas de cálculo. (2007, p. 38).
Dispondo desse tempo é possível discutir com os alunos mais sobre os
registros de representações de uma função polinomial do 1º grau e sobre as
características envolvidas em cada família dessas funções. Pode-se ainda,
promover discussões mais detalhadas sobre os coeficientes de uma função
polinomial do 1º grau e vários gráficos podem ser feitos em pouco tempo.
Outra importante observação foi feita por Ponte & Canavarro (1997 apud
BARREIRA, 2007, p. 5), que destacam que “com as novas tecnologias, a
Matemática pode tornar-se uma atividade mais experimental e possibilitar
reformulações no trinômio Matemática – Aluno – Professor”.
Outra potencialidade é a facilidade com que é possível traçar um gráfico e
verificar seu comportamento quando mudamos seus parâmetros de maneira
dinâmica, ou traçar vários gráficos de funções afins, quadráticas, exponenciais e
outras, e visualizar suas principais características. Com o maior número de
representações disponíveis para análise, podemos discutir mais sobre as
características do objeto matemático em estudo, proporcionando ao aluno
oportunidades para estabelecer relações entre diversas representações.
Uma característica muito importante para este trabalho relaciona-se com os
registros de representações de Duval, pois alguns softwares de geometria dinâmica
disponibilizam em sua tela os registros algébrico, gráfico e numérico/tabular,
permitindo o estudo de uma função por suas diversas representações, podendo
levar o aluno a compreender que uma mesma função polinomial do 1º grau pode ser
expressa de várias formas, como gráfica, algébrica, tabular e língua materna, como
podemos verificar no texto de Kieran e Yerushalmy: “[...] a tecnologia computacional
pode ser aproveitada principalmente para a integração das múltiplas representações
de um objeto matemático no ensino da matemática [...].” (2004, p. 100).
29
A compreensão de uma função polinomial do 1º grau não acontece sem que
nos recorramos às representações, uma vez que, “o acesso aos objetos
matemáticos passa necessariamente por representações semióticas, que são
externas ao indivíduo.” (ROSA, 2009, p. 113), pois sem as representações, não é
possível acontecer a aprendizagem em matemática, pois a natureza não concreta do
objeto matemático tem que ser representado de alguma forma.
Rosa (2009) menciona algumas formas de registros de representações
semióticas de um objeto matemático, que “na perspectiva de Duval, é usado para
indicar diferentes tipos de representação como, por exemplo, escrita em língua
natural, escrita algébrica, tabelas, gráficos cartesianos e figuras” (p. 113). Dentro
deles podemos fazer articulações internas em cada registro, denominadas
tratamentos, ou modificações externas de um registro para outro, denominadas
conversões.
Geralmente, considera-se a conversão uma operação simples, cuja finalidade consiste em encontrar um registro no qual o tratamento seja mais econômico. No entanto, de modo geral isso não acontece. Para realização de conversões é necessário fazer articulações entre as variáveis cognitivas que podem ser específicas do funcionamento de cada um dos sistemas de registros. (ROSA, 2009, p. 113).
Os registros de representações semióticas de Duval, ainda são muito citados
e utilizados por outros autores. Karrer (2006), por exemplo, descreve o caminho
percorrido para Duval chegar à teoria dos registros de representações semióticas. A
autora também destaca quatro aspectos de uma representação, a serem citados:
“Em primeiro lugar, deve-se determinar em que sistema a representação é produzida, tendo em vista que o conteúdo da representação altera de acordo com o sistema de representação utilizado”. (KARRER, 2006, p. 25).
Esse sistema pode ser, por exemplo, um gráfico ou uma expressão analítica
de um objeto matemático, pois embora esteja representando o mesmo objeto, os
conteúdos ali utilizados não são os mesmos.
30
Um segundo aspecto a ser considerado é a relação entre representação e objeto representado. Se o sistema de produção for físico ou uma organização mental, a relação é de causalidade, baseada na ação do objeto no sistema. Por outro lado, se o sistema é semiótico, composto de palavras, símbolos e desenhos, a relação é somente de denotação (KARRER, 2006, p.26).
Aqui, Karrer (2006) mostra a importância dada por Duval à distinção entre
objeto matemático de sua representação, uma vez que para ele é impossível temos
acesso ao objeto matemático sem recorrermos à sua representação.
“O terceiro aspecto refere-se à análise da possibilidade de acessar o objeto
representado sem o uso de uma representação semiótica.” (IBID, p.26).
Por fim, como último aspecto, tem-se o motivo pelo qual a representação é
necessária, ou seja, se é para fins de comunicação ou tratamento (IBID, p.26).
Esses aspectos reforçam ainda mais a importância dos registros de
representações de Duval, uma vez que para uma simples publicação de alguns
dados quantitativos, por exemplo, precisamos recorrer a alguma representação,
como tabela, gráfico, linguagem materna, e outros.
As teorias de Duval são fundamentais na análise desta pesquisa, pois
verificaremos a importância dos registros de representações na resolução de
exercícios contidos nos materiais propostos aos alunos do estado de São Paulo
como proposta curricular. Essas análises serão feitas sempre levando em
consideração quais registros foram utilizados e quando houve tratamento e/ou
conversão.
31
1.3 FUNÇÕES E SUAS REPRESENTAÇÕES
Esta seção apresenta o objeto matemático de acordo com a estrutura
apresentada no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo. No decorrer do texto
procuramos estabelecer relações entre a proposta do Estado de São Paulo e os
documentos oficiais: Parâmetros Curriculares Nacionais + (PCN +, 2002) e as
Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM, 2006).
1.3.1 FUNÇÕES NO CADERNO DO ALUNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
O Caderno do Aluno do Estado de São Paulo tem a finalidade de auxiliar o
professor em suas atividades durante as aulas, apresentando conceitos e exercícios
propostos. Esses cadernos foram elaborados para servirem de apoio no
desenvolvimento curricular, a fim de promover uma educação de qualidade, e são
oferecidos aos alunos da quinta série do Ensino Fundamental até a conclusão do
ensino básico. Já os PCN (2002) e as OCEM (2006), foram planejados com o
objetivo de “contribuir para o diálogo entre professor e escola sobre a prática
docente” (OCEM, 2006, p.5). Tais documentos apresentam como desafio “preparar o
jovem para participar de uma sociedade complexa como a atual, que requer
aprendizagem autônoma e contínua ao longo da vida” (OCEM, 2006, p.6).
“De acordo com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº 9.394/96), o ensino médio tem como finalidades centrais não apenas a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos durante o nível fundamental, no intuito de garantir a continuidade de estudos, mas também a preparação para o trabalho e para o exercício da cidadania, a formação ética, o desenvolvimento da autonomia intelectual e a compreensão dos processos produtivos. [...] Conforme destacam os PCNEM (2002) e os PCN+ (2002), o ensino da Matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e, também, à contextualização sociocultural.” (OCEM, 2006, p. 69).
32
Na proposta curricular do Estado de São Paulo, apresentada no final de
todos os volumes do Caderno do Professor dos Ensinos Fundamental e Médio, os
conteúdos matemáticos são tratados dando ênfase às expectativas levantadas pelos
PCN+ (2002) e as OCEM (2006). Nessa proposta, temas associados ao conceito de
função são encontrados a partir do 7º ano do Ensino Fundamental, quando se inicia
o “uso de letras para representar problemas” com o objetivo de desenvolver
competências e habilidades que se relacionam ao uso da linguagem simbólica para
determinar generalizações, e esse assunto, que aqui aparece como um dos temas
centrais continua sendo desenvolvido gradativamente até o final do Ensino Médio.
(Ver Quadro 1.1).
Assim como a Proposta Curricular do Estado de São Paulo, os PCN+ (2002) e
as OCEM (2006) tratam o assunto função partindo da relação entre duas grandezas
em diversas situações cotidianas. Outra abordagem encontrada tanto nos PCN+
(2002) como nas OCEM (2006) trata dos diversos registros de representações de
um objeto matemático. Para os PCN+ (2002),
“O domínio de linguagens, para a representação e a comunicação científico-tecnológicas, é um campo comum a toda ciência e a toda tecnologia, com sua nomenclatura, seus símbolos e códigos, suas designações de grandezas e unidades, boa parte dos quais já incorporadas à linguagem cotidiana moderna. A articulação dessa nomenclatura, desses códigos e símbolos em sentenças, diagramas, gráficos, esquemas e equações, a leitura e interpretação destas linguagens, seu uso em análises e sistematizações de sentido pratico ou cultural, são construções características dessa área do conhecimento [...]. O desenvolvimento de códigos e linguagens em ciência e tecnologia deve ser tomado como um aspecto formativo de interesse amplo, ou seja, [...] promovendo uma competência geral de representação e comunicação. (p.24).
Nos OCEM (2006) essa abordagem também é feita no mesmo sentido,
[...] Também é interessante provocar os alunos para que apresentem outras tantas relações funcionais e que, de início, esbocem qualitativamente os gráficos que representam essas relações, registrando os tipos de crescimento e decrescimento (mais ou menos rápido). É conveniente solicitar aos alunos que expressem em palavras uma função dada de forma algébrica. [...] É importante destacar o significado da representação gráfica das funções, quando alteramos seus parâmetros, ou seja, identificar os movimentos
33
realizados pelo gráfico de uma função quando alteramos seus coeficientes. (p.72)
Como mostrado anteriormente, os PCN+ (2002) e as OCEM (2006) destacam
a importância de se apresentar os conteúdos matemáticos visando o
desenvolvimento do jovem como cidadão. A fim de promover esse desenvolvimento,
pensamos tratar o conteúdo função polinomial do 1º grau de uma forma mais
agradável, utilizando para o ensino desse assunto o software GeoGebra e a teoria
dos Registros de Representação de Duval para o planejamento das atividades.
De acordo com a apresentação encontrada nos PCN+ (2002), nas OCEM
(2006) e no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo, as funções polinomiais do 1º
grau devem ser apresentadas de forma intuitiva como a relação entre duas
grandezas proporcionais, e deve-se formalizar essa relação gradativamente, de
forma a mostrar ao aluno que essa relação é uma função, e que essa função pode
ser representada através de vários registros. Na próxima sessão apresentaremos o
objeto matemático função polinomial do 1º grau.
1.3.2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
Conteúdos relacionados a funções permeiam o currículo desenvolvido no
Caderno do Aluno do Estado de São Paulo já no 7º ano em que proporcionalidade é
um dos temas centrais, apresentado através de problemas em que o aluno deve
verificar se há proporcionalidade ou não na relação entre duas grandezas, e em
caso afirmativo, determinar a constante de proporcionalidade.
O estudo das funções polinomiais do 1º grau inicia-se na 1ª série do Ensino
Médio associado ao conceito de grandezas. Primeiro a interdependência entre
grandezas, proporcionalidade direta e inversa, e variáveis dependentes e
independentes já no estudo de funções. Essa forma de abordagem das funções
polinomiais do 1º grau apóia-se nas OCEM (2006), onde encontramos:
34
“O estudo de Funções pode ser iniciado com uma exploração qualitativa das relações entre duas grandezas em diferentes situações: idade e altura; área do círculo e raio; tempo e distância percorrida; tempo e crescimento populacional; tempo e amplitude de movimento de um pêndulo, entre outras.” (p.72)
O desenvolvimento desse conteúdo inicia-se de forma intuitiva a partir da
organização de conhecimentos prévios apresentados no Caderno do Aluno do
Estado de São Paulo do 9º ano – volume 2.
Nesses cadernos, o estudo de função é introduzido a partir da apresentação
de situações que envolvam a variação de duas grandezas, de forma que haja entre
elas uma relação de proporcionalidade, ou seja, dá significado às expressões
diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.
Ainda na mesma série, são propostas então atividades para que o aluno
verifique essa relação de proporcionalidade e a representação dessa relação no
registro algébrico e no registro gráfico. É ainda sugerido aos alunos que façam
leituras e construções de gráficos cartesianos de duas grandezas diretamente
proporcionais. Neste texto podemos identificar a importância dada ao que Duval
(1999, 2008, 2009) denomina conversão de registros (ver seção 1.2).
No Caderno do Aluno do Estado de São Paulo do 9º ano – volume 2 (pp. 34-
43), as atividades relacionadas às grandezas proporcionais, expressões algébricas e
noções de funções pretendem desenvolver nos alunos competências e habilidades
como compreender a ideia de proporcionalidade, expressar situações e problemas
em linguagem algébrica e aplicar as noções de proporcionalidade em diferentes
contextos. Esse trabalho tem o intuito de fazer com que o aluno perceba função
como sendo a interdependência entre duas grandezas, e essas grandezas
reconhecidas como variáveis independentes e dependentes.
A partir dos estudos desenvolvidos nas séries anteriores sobre o conteúdo de
funções, os alunos da 1ª série do Ensino Médio partem de uma forma intuitiva para
formalização desse conteúdo. Inicia-se o estudo com o objetivo do reconhecimento
35
das relações de proporcionalidades diretas existentes em contextos através de
representações feitas por uma função polinomial de 1º grau (Ver Quadro 1.2).
No quadro abaixo (Quadro 1.1) mostraremos alguns assuntos relacionados à
função polinomial do 1º grau e também o próprio objeto função polinomial do 1º
grau. Podemos perceber nesse quadro que o assunto função sempre está em pauta,
ou pelos menos alguns outros assuntos que fazem referência a esse primeiro. No 7º
ano, começamos com proporcionalidade, algoritmo da divisão, sequências
numéricas e sempre mostrando a interdependência entre duas grandezas. No 8º
ano, dando sequência ao conteúdo função, são utilizadas letras representativas de
números no ensino das expressões e também a representação geométrica de um
par ordenado e, no 9º ano, voltamo-nos não só às proporcionalidades, mas também
às representações geométricas da relação entre duas grandezas. A todos esses
assuntos podemos chamar de introdução ao estudo das funções, pois no Ensino
Médio, esse tema é abordado nas três séries. Nesse quadro, não relacionamos
todos os assuntos que fazem parte de cada série, apenas os conteúdos relevantes à
nossa pesquisa.
Como já foi dito, o Ensino Médio inicia já com uma retomada sobre os
assuntos pertinentes abordados no Ensino Fundamental e logo o estudo das
funções. Na 1ª série, utiliza as progressões, as relações existentes entre as
grandezas envolvidas para apresentar as funções e consequentemente defini-las.
Depois de apresentadas as funções de 1º grau, é estudado o significado de cada
coeficiente, qual a relação existente entre eles em vários registros de representação.
Nessa série que encontramos o objeto de estudo dessa pesquisa, e também as
atividades utilizadas como base para análise.
Na 2ª e 3ª séries o conteúdo função também é encontrado, mas agora em
outras categorias. Nessas séries, são tratadas as funções trigonométricas,
logarítmicas, exponenciais e polinomiais de grau maior ou igual a dois.
A seguir apresentamos um breve resumo desse objeto proposto no ensino de
matemática das Escolas Públicas do Estado de São Paulo.
36
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37
Para exemplificarmos o que estamos propondo, apresentamos alguns
exemplos extraídos do Caderno do Aluno (Quadro 1.2).
Em cada um dos casos apresentados a seguir, verifique se há ou não proporcionalidade. Se existir, expresse tal fato algébricamente, indicando o valor da constante de proporcionalidade. Em caso negativo, justifique sua resposta.
a) A altura a de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade t?
b) A massa m de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade t?
c) O perímetro p de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado a?
d) A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado a?
e) O comprimento C de uma circunferência é diretamente proporcional ao seu diâmetro d? Quadro 1.2: Exemplo da atividade do Caderno do Aluno
Nesse exemplo podemos verificar que nos itens a e b não acontece a
proporcionalidade, ao contrário dos itens c, d e e. De acordo com o Caderno do
Professor (2009, p. 27), essas representações podem verificar a interdependência
entre duas grandezas, e se essas grandezas forem diretamente proporcionais e
pudermos ter a ordenada a partir do zero, teremos uma função polinomial de 1º grau
do tipo y = ax, onde a é constante e diferente de zero. Ainda sobre função polinomial
de 1º grau podemos exprimir qualquer situação onde a variação de duas grandezas
interdependentes é diretamente proporcional, por f(x) = ax + b, com a e b
pertencendo ao conjunto dos números reais e a não nulo, ou seja, uma função
polinomial de 1º grau.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais + – PCN+ (2002), que organizam o
Ensino Médio, classificam a Biologia, a Física, a Química e a Matemática como
pertencente a uma mesma área do conhecimento, destacando a importância da
integração entre essas disciplinas, já que investigam fenômenos naturais e avanços
tecnológicos, que são instrumentos essenciais para o desenvolvimento científico,
humano e tecnológico. Essas disciplinas são parte de uma área denominada pelos
PCN+ (2002) de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, e um
conteúdo matemático como funções pode ser uma boa proposta de trabalho para
viabilizar a articulação entre elas.
38
De acordo com os PCN+ (2002), o domínio de linguagens, para a
representação e a comunicação científico-tecnológicas, é um campo de integração
entre toda ciência e toda tecnologia, com suas nomenclaturas, códigos e símbolos,
indicações de grandezas e unidades que já estão incorporadas na linguagem
cotidiana. De modo geral, nos Cadernos do Aluno do Estado de São Paulo da
disciplina de Matemática, podemos verificar essas orientações de modo claro e
objetivo. O ponto de partida para o estudo de funções geralmente são problemas
contextualizados como os exemplos que apresentamos abaixo.
1. Um prêmio P da loteria deve ser dividido em partes iguais, cabendo um valor x a
cada um dos n ganhadores. Considerando um prêmio P de R$ 400 000,00, preencha
a tabela a seguir e expresse a relação de interdependência entre x e n.
n 1 2 3 4 5 8 10 20
x
2. Para cortar a grama de um canteiro quadrado de 5 m de lado, um jardineiro cobrou
R$ 20,00. Mantida a proporção, para cortar a grama de um canteiro quadrado de
15 m de lado, quanto o jardineiro deverá cobrar? A quantia a cobrar C é diretamente
proporcional à medida x do lado do canteiro quadrado?
3. Quando uma pedra é abandonada em queda livre (sem considerar a resistência do
ar ao movimento), a distância vertical d que ela percorre em queda é diretamente
proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = k · t2. Observando-se que
após 1 segundo de queda a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se:
a) Qual é o valor da constante de proporcionalidade k?
b) Qual será a distância vertical percorrida após 5 segundos?
c) Quanto tempo a pedra levará para cair 49 metros?
4. O preço P a cobrar em uma corrida de táxi é composto por uma quantia a fixada,
igual para todas as corridas, mais uma parcela variável, que é diretamente
proporcional ao número x de quilômetros rodados: P = a + bx (b é o custo de cada
quilômetro rodado).
Em certa cidade, temos P = 15 + 0,8x (P em reais e x em km).
a) Qual é o preço a cobrar por uma corrida de 12 km?
b) Calcule a diferença entre os preços de duas corridas, uma de 20 km e outra de 21
km.
c) Esboce o gráfico de P em função de x.
Quadro 1.3: Exemplos da atividade do Caderno do Aluno
39
Nos exemplos anteriores (Quadro 1.3) observamos a forma como o
conteúdo – função – é apresentado aos alunos, buscando partir de alguma situação
diária para desenvolver o estudo do objeto. Essa metodologia tem o intuito de deixar
a matemática mais acessível, substituindo o modelo tradicional de trabalhar um
objeto matemático iniciando com sua definição matemática. As atividades propostas
no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo apresentam alguns dos registros de
representações das funções, mas não os define nem destaca as suas
características, então essas atividades foram redesenhadas para que esses itens
fossem contemplados e os registros de representações fossem observados em
maior detalhe.
Podemos destacar nessa atividade a disponibilidade da língua materna e do
registro numérico/tabular. Mesmo esses registros tendo uma relação, pois a língua
materna fornece dados para que o aluno complete a tabela, não há uma
preocupação no sentido do aluno verificar a interação entre eles. Assim como nessa,
a atividade utilizada como base em nossa pesquisa, sofreu um redesign para que
essa interação fosse contemplada com mais detalhe, observando a relação que
existia entre os registros.
De acordo com a metodologia empregada e a teoria de Duval, procuramos
neste trabalho utilizar o software GeoGebra como ferramenta na tentativa de
estabelecer um melhor desempenho dos alunos nas aulas de matemática quando
estudamos função polinomial do 1º grau. Na perspectiva de causar impacto no
ensino desse objeto matemático, onde o aluno possa ao menos demonstrar mais
interesse, foi que procuramos levar para dentro da sala de aula um instrumento que
tem ótima aceitação entre os alunos, o computador, e aproveitá-lo nas aulas de
matemática para o ensino das funções de 1º grau, utilizando um software específico
para esse fim.
40
CAPÍTULO 2
METODOLOGIA
A metodologia que utilizamos nesta pesquisa é Design Experiment de Cobb et
al. (2003). De acordo com os autores, o Design Experiment é um processo onde
primeiramente devemos levar em consideração as aprendizagens e os raciocínios
dos estudantes. Com o reconhecimento desses fatores, podemos “planejar, delinear,
desenhar, esboçar, projetar esquematizar, criar, inventar e executar”. (DRISOSTES,
2005, apud SALES, 2009).
Para os pesquisadores, as experiências de ensino são planejadas com base
no conhecimento que os participantes da pesquisa têm, e são replanejadas com
base nos resultados anteriores para alcançar o objetivo da pesquisa. Design
Experiment é um processo que visa desenvolver teorias empíricas, baseadas
naquilo que o aluno já sabe sobre o objeto matemático, ou sobre o que ele pode
adquirir sobre esse objeto no contato com o experimento e na matemática que ele
utiliza em sua vida cotidiana.
O Design Experiment tem como objetivo contribuir para o desenvolvimento de
uma maior compreensão de uma “ecologia de aprendizagem”, ou seja, um complexo
sistema interativo que envolve diferentes tipos de elementos de natureza distinta. Os
elementos dessa ecologia de aprendizagem são constituídos por tarefas elaboradas
para os alunos executarem, os recursos utilizados na resolução e a forma que os
professores ministram essas tarefas em suas aulas. Essa idéia de ecologia se dá
pela forma como esses assuntos referentes à educação devem ser trabalhados, ou
seja, devem ser analisados ao todo, ou pelo menos vários elementos em conjunto e
não separadamente. “Design Experiment, portanto, constitui um meio de lidar com a
complexidade que há na indicação de contextos educativos.” (COBB et al., 2003).
Na metodologia proposta por Cobb et al. (2003), as escolhas de pesquisas
variam de acordo com seus objetivos. Essas variações relacionam-se com o número
41
de participantes e o tempo para a realização do estudo. De acordo com os autores,
as escolhas nos conduzem a uma das cinco propostas:
Professor-pesquisador e estudante (one-on-one) – realizada por um
pesquisador que pode ser o professor que conduz o experimento com um
pequeno grupo de alunos, permitindo estudos mais profundos e detalhados.
Experimentos em sala de aula – pesquisadores trabalham colaborativamente
com o professor que é o responsável pela condução do experimento.
Experimentos com futuros professores – pesquisadores colaboram para a
formação de futuros professores.
Experimentos com professores – voltados para oferecer apoio ao
desenvolvimento profissional.
Experimentos escola-comunidade – pesquisadores colaboram com o
professor, equipe gestora, equipe administrativa, e demais responsáveis pela
organização, no sentido de promover melhorias.
Dentre essas propostas do Design Experiment, essa pesquisas foi conduzida
em uma série de sessões, e com um número reduzido de alunos. Essa metodologia
tem a finalidade de fazermos pesquisa em pequena escala, podendo ser em uma
sala de aula, que seja feita na forma de uma ecologia de aprendizagem, onde tudo
ao redor poderá ser observado, para que possamos analisar mais detalhadamente.
Qualquer que seja a função da pesquisa e a escolha da abordagem, todas
têm em comum cinco características transversais aplicáveis aos experimentos de
ensino.
Primeiro é o objetivo do Design Experiment, que visa desenvolver teorias
sobre processos de aprendizagem e os meios que esses processos são submetidos.
Para a realização desses projetos, precisamos levar em consideração os meios que
os auxiliam, vinculados aos materiais de apoio, experiência dos profissionais
envolvidos, e outros aspectos que são influentes no desempenho de tal projeto.
Esses aspectos junto com uma análise sistemática sobre normas e práticas de
ensino, sobre o domínio de um determinado assunto, gera um desafio que é a
42
coordenação desses níveis de análise, ou seja, fazer uma análise conjunta de tudo
que está envolvido no processo de aprendizagem ou na ecologia de aprendizagem.
A segunda característica é altamente intervencionista, pois tem como objetivo
a investigação sobre possibilidades de melhora na qualidade educacional, com
novas ideias de ensino-aprendizagem. O projeto desenvolvido para um experimento
é baseado em pesquisas anteriores e os resultados obtidos dessas pesquisas.
A terceira característica tem como base as duas características anteriores, e
têm duas faces: prospectiva e reflexiva. Na prospectiva, os projetos são realizados
de acordo com o nível de aprendizagem dos alunos, de forma que eles possam
gerar novas formas de desenvolvimento de questões propostas. No lado reflexivo, a
idéia não é apenas a confirmação de uma conjectura, e sim testá-la, fazer novas
conjecturas e também questioná-las.
A quarta é o resultado dos aspectos prospectivo e reflexivo, pois com novas
conjecturas surgindo, sendo desenvolvidas, são submetidas a testes, o que gera um
processo cíclico, pois com o desenvolvimento de novas conjecturas é preciso novas
revisões, podendo assim, mais uma vez, surgirem novas conjecturas.
A quinta e última diz respeito às teorias que podem ser desenvolvidas durante
o processo de experimentação, mesmo que sejam teorias que fazem referências ao
tema da pesquisa, pois essas novas teorias podem nortear o andamento da mesma,
pois essas são bases da atividade de design.
Para a aplicação de um projeto, devemos primeiro nos preparar e também
preparar todos os envolvidos. A principal questão a ser deixada bem clara é a
intenção teórica, ou qual é o objetivo desse estudo. Com esse objetivo revelado é
também preciso verificar o ponto de partida da pesquisa, ou seja, qual nível que
encontra os envolvidos nessa pesquisa, desde o aplicador até os estudantes
envolvidos. Para uma experiência de design, é preciso deixar claro a intenção que
se tem do intelectual e do social dos envolvidos. Para isso é preciso identificar a
atual capacidade dos alunos, as práticas que os alunos são sujeitos em seus
cotidianos ou cotidianos escolares, e quais recursos podem desenvolver.
43
Quanto à sua execução, é realizada intencionalmente de forma que melhore
propositalmente a concepção inicial desse projeto, que melhore os testes aplicados
e que sejam revisadas as conjecturas iniciais.
De acordo com Doerr e Wood (2006) é consenso entre educadores que o
ensino de Matemática deve ser ajustado às novas concepções de aprendizagem.
Mesmo com algumas criações de práticas de ensino em Educação Matemática, esse
avanço foi pequeno, pois ocorre de forma muito lenta. Para que haja melhora no
ensino, Doerr e Wood (2006) consideram que é preciso desenvolver um repertório
pedagógico de acordo com os conhecimentos dos profissionais atuantes no Ensino
da Matemática, podendo utilizar esses repertórios como recursos para compartilhar,
e se preciso, aprimorar o ensino de modo significativo.
Para subsidiar esta pesquisa visando esse avanço no aprimoramento do
Ensino da Matemática, pretendo utilizar como metodologia o Design Research, e de
acordo com esta metodologia existem duas características importantes. A primeira
tem como intenção:
“[...] desenvolver no mesmo sentido da Engenharia ou da Arquitetura
um processo ou um produto aprimorado visando algum propósito
dentro de um sistema necessariamente imerso em negociações e
limitações.” (DOERR e WOOD, 2006, p. 117)
Essa característica aponta a intensidade da complexidade existente no
aprimoramento das interpretações, ou as formas que os docentes utilizam para
pensar em suas aulas, ou a escolha e utilização de instrumentos de ensino.
A segunda característica dessa metodologia revela que ela
“[...] requer vários ciclos de análise para aprimorar o produto e a
interpretação em múltiplos níveis. Em outras palavras, a coleta e a
interpretação dos dados não acontecem ao término do experimento,
mas a própria coleta em desenvolvimento e a interpretação de
dados em todos os níveis devem gerar e refinar princípios,
propriedades e produtos que sejam cada vez mais úteis a
44
pesquisadores, professores e outros profissionais.” (DOERR e
WOOD, 2006, p. 117)
De acordo com essa característica, o Design Research propõe a articulação
das implementações em cada nível de análise em uma pesquisa. As questões
utilizadas para análise de algum conceito devem após sua aplicação serem revistas
e depois refeitas de acordo com o resultado obtido e o resultado esperado, e
generalizando quando e sempre que possível.
Para Doerr e Wood (2006) alguns problemas relacionados ao ensino vêm da
forma como professores, estudantes, escolas, currículos, tecnologias e instrumentos
de aprendizagem são estudados, ou seja, eles julgam a necessidade de uma
integração para que os elementos não sejam estudados sem que haja essa
conexão, pois, caso ela não ocorra, os resultados obtidos podem ser de pouca ou
até mesmo nenhuma importância para o ensino. Dessa complexidade gerada pelo
entrelaçamento entre esses sistemas pertencentes à educação, alguns problemas
de ordem práticas são comuns. De acordo com Doerr e Wood (2006), “o primeiro
conjunto de problemas está associado ao desenho da pesquisa, à metodologia e
aos quadros teóricos analíticos produzidos empiricamente para sumarizar os
resultados” (p 114).
Os autores destacam ainda a importância de se fazer um estudo no sentido
de encontrar uma multiplicidade de desenhos e de metodologias de pesquisas que
possa oferecer subsídios para profissionais da educação.
“Um segundo conjunto de problemas práticos relacionados à pesquisa em
ensino é caracterizada pelas dificuldades com a escala e escopo.” (DOERR e
WOOD, 2006, p 114). A dificuldade com a escala refere-se a estudos realizados com
poucas pessoas, ou um auto-estudo às vezes feito com pessoas participantes do
próprio grupo de pesquisa, o que muitas vezes, não permite a generalização dos
resultados desse estudo para um número mais expressivo de professores. Também
podemos relacionar como problema de escala o pouco tempo que se tem para
realizar uma pesquisa no âmbito educacional. O problema de escopo é entendido
como
45
uma atividade complexa e imersa em um sistema complexo, as
fontes de dados potenciais para a compreensão dos dados
potenciais para a compreensão dos processos de ensino são vastas,
incluindo volumes de trabalhos de estudantes, resmas de notas de
observação e caixas de fitas de áudio e de vídeo de episódios de
ensino. (DOERR e WOOD, 2006, p. 116)
Isso se dá devido à complexidade existente nos estudos direcionados à
educação. A terceira área problemática “localiza-se no desenvolvimento de
intervenções para o aprimoramento da pedagogia, alinhadas a visões atuais sobre a
aprendizagem.” (DOERR e WOOD, 2006, p. 116).
Essa problemática revela o formato de pesquisas nas quais os resultados
apresentam apenas algumas idéias que não servem de base para futuras e maiores
pesquisas, são pesquisa no formato intervencionista, que tem como base a pesquisa
corrente. Essas intervenções deveriam ser de tal forma que servisse de instrumentos
para outras pesquisas.
Um dos principais intuitos do Design Experiment com sua forma cíclica, é
coletar, interpretar, revisar e compartilhar as idéias sobre o experimento e planejar
intervenções que sirvam de modelos para futuras pesquisas abrangendo um numero
maior de professores. Essa forma cíclica favorece a realização de uma pesquisa na
qual para o planejamento das tarefas, primeiro os alunos sejam ouvidos para
identificarmos seus modos de pensar, e estimulá-los a desenvolver e revisar suas
próprias estratégias de resolução.
Outra observação importante nesse tipo de metodologia é quanto ao papel do
professor-pesquisador, pois é quem coletará as informações, é quem fará as
observações, e principalmente quem irá mostrar ao aluno o quanto ele pode ter
novas idéias na resolução da atividade proposta. Outra incumbência do professor-
pesquisador é a relação e interação que tem com o aluno, como proceder nos
questionamentos, e tendo em mente que essa interação nem sempre é prevista,
pois não se sabe até onde vai o conhecimento do aluno.
46
Além dessas incumbências citadas anteriormente, não podemos deixar de
salientar a importância quanto ao caráter intervencionista que o professor
pesquisador tem durante a aplicação da atividade, pois é onde ele mostra ao aluno
participante o objetivo da investigação.
De acordo com uma das propostas do Design Experiment, o professor
pesquisador pode ser o próprio professor dos alunos participantes na experiência,
como nesta, onde o professor-pesquisador é o mesmo professor da turma nas aulas
regulares de matemática. Atendendo as expectativas da pesquisa, foi utilizado como
metodologia o Design Experiment, que utiliza de todas as observações do aluno e as
interações dele com o meio em que está situado.
2.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Nesta pesquisa o procedimento empírico envolveu quatro salas da 1ª série do
Ensino Médio da EE Professora Silvana Evangelista do período matutino. Sua
execução foi dividida em três fases, a serem descritas:
FASE I – Fase preliminar – Estudo Piloto
Nesta fase, os alunos familiarizaram-se com o software GeoGebra3, ferramenta
tecnológica escolhida para esta pesquisa. A partir dessa familiarização, a proposta
foi utilizar essa tecnologia digital para o estudo do objeto matemático função
polinomial do 1º grau, de forma a contemplar os diferentes registros de
representação desse objeto função, como língua materna, registro algébrico, registro
tabular e registro gráfico.
3 O software GeoGebra será apresentado com maiores detalhes na sessão 2.2.
47
Na fase preliminar, propusemos a quatro duplas formadas por alunos de quatro
salas participantes, uma de cada sala, uma atividade elaborada a partir de um
redesign de uma questão do Caderno do Aluno. As análises das atividades e os
resultados alcançados pelos alunos serviram de parâmetros para o planejamento da
fase seguinte (Fase Experimental).
Após o (re)design das atividades passamos à Fase Experimental, fase essa
que aplicamos as atividades já redesenhadas aos alunos participantes da pesquisa.
FASE II – Fase Experimental
Nesta fase desenvolvemos o processo empírico para futuras análises sobre os
registros de representação. Nas Fases I e II, as atividades propostas aos alunos
foram desenvolvidas a partir das apresentadas no caderno do aluno do Estado de
São Paulo, que faz parte de um projeto maior denominado “São Paulo faz escola”.
Esse material é oferecido aos professores das Escolas Públicas do Estado de São
Paulo como uma proposta curricular para auxiliá-los em seus planos de aulas, e até
em suas aulas. Com esse caderno em mãos, fizemos a escolha das atividades ali
propostas e as redesenhamos de forma a contemplar com maior ênfase os registros
de representação, de acordo com o quadro oferecido por Duval (1999, 2008, 2009).
FASE III – Análises
As análises foram realizadas de acordo com o referencial teórico adotado
para esta pesquisa, registros de representação semióticas, de Raymond Duval, que
viabiliza as diferentes formas de registros de representações para facilitar a
aprendizagem a respeito dos objetos matemáticos, pois para o autor é impossível
recorrermos a um objeto matemático a não ser pelo seu registro de representação, e
quanto mais representações compreendemos e articulamos de um mesmo objeto
matemático, melhor entendemos seu conceito.
48
2.2 O SOFTWARE GEOGEBRA E OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO DE
DUVAL
Neste trabalho, pretendemos mostrar a influência da utilização dos recursos
tecnológicos nas aulas de Matemática em especial para o estudo das funções do 1º
grau, conteúdo abordado no Ensino Médio, para favorecer o tratamento e a
conversão entre os registros de representação desse objeto matemático de acordo
com a perspectiva de Duval (2008, 2009). Pretendemos estudar em que medida
esses recursos permitem ampliar ou construir significados para as funções,
trabalhando em ambiente computacional, com os registros: gráfico, linguagem
materna, algébrico e tabular.
O recurso tecnológico escolhido para este estudo é o software GeoGebra.
“Esse software tem a vantagem de ser livre, ou seja, pode ser instalado por qualquer
pessoa em qualquer computador sem a exigência de qualquer pagamento e/ou
registro” (RPM-67. p.43). Como as Escolas Públicas do Estado de São Paulo foram
equipadas com computadores, esse é um bom começo para professores de
matemática dinamizar suas aulas.
No software GeoGebra (Figura 2.1), “na Janela de Visualização (centro) ficam
os objetos geométricos e na Janela de Álgebra (à esquerda) fica anotada toda a
informação algébrica dos objetos que estão na Janela de Visualização” (RPM-67. p.
44), e também contém as informações tabulares dos registros algébricos e
geométricos. Além de permitir a dinamização das aulas, com o software GeoGebra
também podemos trabalhar com os diferentes registros de representação de um
objeto matemático nas aulas de matemática.
49
Figura 2.1: Janela de visualização do GeoGebra
De acordo com Duval (2008, 2009), verifica-se que os objetos matemáticos
são melhores compreendidos quando conseguimos transitar entre os diversos
registros de representação desse objeto. Sob esta perspectiva, sendo funções do 1º
grau objeto matemático deste estudo, o uso do software GeoGebra foi escolhido
também por acreditarmos que ele é uma ferramenta que favorece a conversão dos
diferentes registros de representação dessas funções, através de modificações dos
seus parâmetros, que permite a observação do comportamento de diversos registros
na mesma tela e em tempo real. Outros pontos que merecem destaque a respeito do
uso do software GeoGebra é a facilidade que encontramos em utilizar seus
recursos, e por ele ser um software disponível em qualquer site de downloads e
também como dito anteriormente, sem que haja a necessidade de qualquer
disponibilidade financeira.
50
2.3 COLETA DE DADOS
Os dados da pesquisa foram coletados através de:
Áudio gravação dos participantes realizando as atividades apenas na
fase II. Esses registros nos ofereceram acesso às discussões ocorridas
entre os membros das duplas que realizaram as atividades. Esses dados
coletados nos permitiram acompanhar os passos ou os registros
utilizados até que os alunos chegassem à conclusão que foi mostrada no
papel, ou na tela do computador.
Material produzido pelos alunos. A coleta das atividades feitas pelos
alunos no papel e/ou na tela do computador permitiu que verificássemos
quais registros foram empregados pelas duplas na resolução das
atividades.
Os materiais coletados durante a pesquisa, as transcrições e os registros
escritos, foram de uso exclusivo do grupo de pesquisa, e serviram como base para
procurar entender melhor os processos de aprendizagem do conceito matemático
funções.
2.4 CONTEXTO DA PESQUISA
A proposta inicial de nosso estudo era realizar as atividades apresentadas no
Caderno do Aluno da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo para o
estudo de funções, associando a elas a utilização do software GeoGebra. Sendo
nossa intenção realizar um estudo totalmente voltado para a prática escolar, os
51
sujeitos de pesquisa foram selecionados numa Escola Pública do Estado de São
Paulo – EE Profª Silvana Evangelista – DE Leste 3. Desse modo, as duas fases que
envolveram o procedimento empírico (Fase I e Fase II) foram realizadas com duplas
de formadas por alunos de quatro salas da 1ª série do Ensino Médio, salas essas
onde o professor de matemática é o próprio professor-pesquisador.
A seguir apresentamos as atividades propostas no Caderno do Aluno da
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo na forma original, nas quais nos
baseamos para redesenhar as atividades propostas aos alunos participantes dessa
pesquisa. Seguem as atividades propostas no Caderno do Aluno 1ª série do Ensino
Médio – volume 2 pp. 11-12:
Na casa de uma família que gasta cerca de 0,5 kg de gás de cozinha por dia,
a massa de gás m contida em um botijão doméstico de 13 kg varia com o
tempo de acordo com a fórmula m = 13 - 0,5t, onde t é o tempo em dias.
a) Calcule o número de dias necessários para um consumo de 6 kg de gás.
b) Calcule a massa de gás que resta em um botijão após 10 dias de uso.
c) Esboce o gráfico de m em função de t.
Quadro 2.1: Atividades do caderno do aluno do Estado de São Paulo
Os alunos que participaram da pesquisa, já tinham tido contato com o objeto
matemático função nas aulas de matemática, mas sem a utilização de nenhum
recurso tecnológico e sem a preocupação de fazê-los transitar entre os vários
registros de representações das funções.
Tanto o Estudo Piloto como a Fase Experimental foram realizadas no
laboratório de informática da escola citada, em horário oposto a qual os alunos
estudavam. Como esses alunos são regularmente matriculados no período matutino,
essa experiência foi realizada no período vespertino, logo após o término das aulas.
Esses experimentos foram realizados em três sessões (Sessão 1: Estudo Piloto;
Sessão 2: Atividade 1 e Sessão 3: Atividades 2 e 3), sendo que cada uma teve
52
duração de aproximadamente 1 hora e 20 minutos e cada uma delas contou com
quatro duplas.
A seleção e a organização das duplas foram feitas da seguinte maneira: no
Estudo Piloto participaram quatro duplas sendo cada dupla de salas diferentes, e os
alunos que compunham cada dupla eram da mesma sala. Na Fase Experimental
foram outras quatro duplas, formadas por alunos diferentes dos alunos participantes
no Estudo Piloto, também de quatro salas diferentes, sendo cada dupla formada por
alunos de mesma sala. Isso foi feito propositalmente, pois as atividades propostas
nas duas fases eram similares e foram aplicadas com o mesmo intuito, considerando
que após o Estudo Piloto as atividades passaram por um processo de (re)design
para que fossem aplicadas no estudo experimental. Descreveremos as atividades
redesenhadas na sessão 3.2.
53
CAPÍTULO 3
PROCESSO EMPÍIRICO
A fim de que pudéssemos analisar os alunos frente às questões em que
precisassem observar e transitar entre os diversos registros ali apresentados,
realizamos a primeira fase de nossa pesquisa – Estudo Piloto. A análise dos dados
coletados nesta fase nos fez perceber que as alterações que havíamos feito na
atividade originalmente apresentada no Caderno do Aluno não foram suficientes
para que o software GeoGebra tivesse um papel significativo no sentido de favorecer
o transito entre os diversos registros. Tal fato nos levou a realizar o redesign para a
fase seguinte.
Na Fase Experimental, as atividades redesenhadas foram aplicadas a outro
grupo de alunos com o intuito de destacar a importância da utilização do software
GeoGebra para que os alunos possam estabelecer relações entre diferentes
registros de uma função polinomial do 1º grau.
A última fase destinou-se a análise dos dados coletados segundo o quadro
teórico adotado e a revisão bibliográfica realizada.
3.1 FASE I – ESTUDO PILOTO
Como foi dito anteriormente, nesta fase as atividades foram propostas a
alunos de quatro salas e os resultados obtidos nas atividades propostas serviram de
parâmetros para o planejamento da fase seguinte.
Para o Estudo Piloto foram escolhidos oito alunos, dois de cada uma das
quatro salas, formando assim quatro duplas piloto conforme descrito anteriormente
na sessão 2.4. O estudo foi realizado no período vespertino com alunos da 1ª serie
do Ensino Médio, com faixa etária entre 14 e 15 anos, todos voluntários. Para
54
citarmos esses alunos utilizaremos pseudônimos, com a intenção de preservar suas
identidades. Na tabela abaixo (Tabela 3.1) apresentamos a designação dada a cada
uma das duplas piloto e os elementos que as compunham.
Dupla Piloto A Élio e Carolina
Dupla Piloto B Rafaela e Diná
Dupla Piloto C Marcela e Maria
Dupla Piloto D Marcelo e Regina
Tabela 3.1: Participantes do Estudo Piloto
Nessa fase a coleta dos dados foi feita apenas a partir do material escrito
produzido pelos alunos durante as atividades propostas e dos registros gráficos
produzidos por eles no software GeoGebra.
A partir da aplicação da atividade proposta, percebemos a necessidade da
gravação em áudio das interações entre os alunos de cada uma das duplas durante
a resolução das tarefas. O áudio poderia auxiliar quando as respostas escritas não
apresentassem claramente como os alunos escolheram o registro utilizado como
ponto de partida de um tratamento e/ou conversão e quais observações os levaram
ao registro de chegada.
3.1.1 A ATIVIDADE DO ESTUDO PILOTO
Aqui apresentamos a primeira estrutura das atividades planejadas (Quadro
3.1). Destacamos que durante esse planejamento nos mantivemos atrelados à forma
originalmente proposta no Caderno do Aluno (ver Quadro 2.1), acrescentando
algumas tarefas quando julgamos necessárias para favorecer a utilização de
diferentes registros de representação na resolução. A seguir apresentamos as
atividades que foram oferecidas aos alunos buscando favorecer a mudança entre os
registros de representação semiótica e a interação entre eles.
55
1. Na casa de uma família o consumo diário de gás de cozinha é de y kg. Um
botijão doméstico é comprado com uma quantidade de massa fixa de gás.
Considere a tabela abaixo que representa o consumo de gás desta família
durante 1 semana.
Dias (x) Gás (y)
0 13
2 12
7 9.5
Nesta tabela, você pode encontrar qual a massa de gás de um botijão
que acaba de ser comprado? Justifique.
2. Você pode escrever qual o consumo de gás diário desta família? Se sim,
qual é o consumo? Justifique.
3. Construa o gráfico que representa esse problema. (No software GeoGebra,
na barra de ferramentas, clique na opção reta definida por dois pontos. Clique
em dois pontos que foram gerados no plano cartesiano.)
4. Em quantos dias essa família consome 6 kg de gás? Justifique.
5. Qual a massa desse botijão, após 10 dias sendo usado por essa família?
Justifique.
6. A partir do gasto de gás diário dessa família, quantos dias durará um
botijão? Justifique.
7. Determine a lei de formação dessa relação.
8. Nessa relação o gráfico é uma reta, e no lado esquerdo do gráfico que você
construiu aparece uma lei de formação do tipo y = ax + b. Compare essa lei a
que você determinou. Agora acrescente 0.5 unidades ao número que está
multiplicando a incógnita x e refaça o gráfico. Verifique e escreva o que
aconteceu com o gráfico.
9. Volte ao gráfico original. Agora subtraia 5 unidades do número que na lei
representa o b ( o que não multiplica nenhuma incógnita), e refaça o gráfico.
Verifique e escreva o que aconteceu com o gráfico.
Quadro 3.1: Questões propostas no Estudo Piloto
As análises feitas a partir desse Estudo Piloto mostraram deficiências quanto à
sua elaboração. Nesta fase era esperado que os alunos transitassem entre os
diversos registros de representação com o auxílio do software GeoGebra. No
entanto, percebemos que a utilização da ferramenta computacional associada à
forma que apresentamos as atividades não favoreceu o tratamento nem a conversão
entre os diferentes registros de representação para o objeto matemático função
56
polinomial do 1º grau, uma vez que os alunos já tinham conhecimento que a
atividade proposta envolvia funções polinomiais do 1º grau.
De acordo com o planejamento inicial, as questões 1 e 2 seriam resolvidas sem
que os alunos precisassem recorrer à ferramenta computacional, já que a atividade
apresentava uma tabela com os dados suficientes para resolução. Ainda nessas
questões, era esperado que houvesse um tratamento dentro do registro numérico
(tabular cálculo) e também uma conversão do registro numérico/tabular para a
língua materna.
A partir da terceira questão esperávamos que os alunos recorressem um pouco
mais ao software GeoGebra, acreditando ser uma fonte de informações mais
simples que cálculos e tabelas. No entanto, verificamos que na resolução dessas
questões a ferramenta computacional poderia ter sido dispensada, uma vez que as
respostas apresentadas pelos alunos seriam as mesmas se as questões fossem
propostas apenas no papel. Embora não tenha sido preciso utilizar o software
GeoGebra, as questões contemplaram, de modo geral, alguns tratamentos e
algumas conversões entre os registros de representação do objeto matemático.
Na próxima sessão apresentamos as respostas dadas por alguns alunos
participantes da pesquisa, e fazendo uma breve análise enfocando os tratamentos
e/ou conversões nos registros encontrados no desenvolvimento de cada questão.
3.1.2 ANÁLISE DO ESTUDO PILOTO
Na resolução da questão 1 (ver Quadro 3.1) era realmente esperado que os
alunos utilizassem apenas a tabela, uma vez que o software GeoGebra não tinha
sido, até o momento, aberto pelos alunos. Veremos abaixo (Tabela 3.2), que todas
as duplas piloto utilizaram somente os dados da tabela, uma vez que esse era o
único registro de partida disponível.
57
D U P L A
P I L O T O
A
D U P L A
P I L O T O
B
D U P L A
P I L O T O
C
D U P L A
P I L O T O
D
Tabela 3.2: Respostas da questão 1 dadas pelas duplas piloto
Nesta questão, podemos verificar a ocorrência de uma conversão do registro
numérico/tabular para a língua materna, ou seja, os dados tiveram como registro de
entrada a tabela e como registro de saída o texto.
Na questão 2 (ver Quadro 3.1), esperávamos que os alunos utilizassem os
dados da tabela e realizassem alguns tratamentos, calculando, por exemplo, que se
a capacidade do botijão era de 13kg e que em dois dias a massa passou para 12 kg
então um cálculo resolveria o problema. No entanto, esses tratamentos foram feitos
apenas pelas duplas piloto B e D (Quadro 3.2).
58
Dupla B
Dupla D
Quadro 3.2: Questões propostas no Estudo Piloto
Nas respostas dessas duplas, verificamos que foi realizado um tratamento
dentro do registro numérico, passando do tabular para o cálculo, e ainda ocorreu
uma conversão do registro numérico para a língua materna.
Na questão 3 (ver Quadro 3.1), duas duplas não perceberam que os dados
apresentados representavam uma função polinomial do 1º grau, e marcaram vários
pontos no plano cartesiano para auxiliar na construção da reta. Podemos verificar
nas respostas apresentadas na Tabela 3.3.
59
D U P L A
P I L O T O
C
D U P L A
P I L O T O
D
Tabela 3.3: Resposta registrada pelas duplas piloto C e D da questão 3
Reproduzimos na tabela 3.4 os gráficos traçados pelas duplas piloto C e D no
software GeoGebra:
Representação gráfica a partir da construção de uma nova tabela
Dupla Piloto C
Dupla Piloto D
Tabela 3.4: Gráficos traçados no GeoGebra pelas duplas piloto C e D
Ainda sobre a mesma questão, verificamos que as duplas piloto A e B
reconheceram que os dados da tabela poderiam ser de uma função polinomial do 1º
grau e que o gráfico dessa função seria uma reta, desse modo utilizaram apenas os
pontos fornecidos na tabela para traçarem o gráfico da função (Tabela 3.5).
60
Representação gráfica a partir dos pontos iniciais da tabela
Dupla Piloto A
Dupla Piloto B
Tabela 3.5: Gráficos traçados no GeoGebra pelas duplas piloto A e B
Apesar de o software GeoGebra deixar visível dois ou mais registros de
representação ao mesmo tempo, e mesmo tendo os alunos feito a conversão entre
os registros numérico/tabular e o gráfico, acreditamos que eles não perceberam a
relação entre esses registros, ou seja, que tratavam do mesmo objeto matemático.
Na questão 4 (ver Quadro 3.1), a dupla piloto A, formada pelos alunos Élio e
Carolina, apoiou-se na sua resposta da questão 2 dessa mesma atividade (consumo
diário igual a 0,5) como registro de partida, fez um tratamento no registro numérico e
respondeu usando a língua materna - registro de chegada. (Figura 3.1).
Figura 3.1: Resposta registrada pela dupla piloto A da questão 4
Nessa mesma questão, as duplas piloto B e D, recorreram ao gráfico como
registro de partida para encontrar o gasto diário e fizeram um tratamento para
encontrar um gasto de 6 kg e utilizaram como registro de chegada a língua materna
(Tabela 3.6).
61
D U P L A
P I L O T O
B
D U P L A
P I L O T O
D
Tabela 3.6: Resposta registrada pelas duplas piloto B e C da questão 4
Na resposta dessa questão dada pela dupla piloto D, percebemos um erro no
produto apresentado. Acreditamos que houve uma confusão entre os dias (6), kg
(12) e operação realizada, pois o correto seria 12 X 0,5 = 6. Apesar da confusão na
estrutura do cálculo, percebemos que uma conversão pode ter ocorrido entre os
registros gráfico e língua materna passando por um tratamento dentro do registro
numérico/cálculo, já que os dados eram apresentados no gráfico e a resposta foi
oferecida na língua materna.
A dupla piloto C indica como registro de partida o gráfico, mas não deixa claro
se aconteceu um tratamento entes da resposta final. Observando diretamente o
gráfico, associados à abscissa 12 dias, temos a ordenada 7 kg e não 6 kg como
respondeu a dupla, uma vez que o gráfico mostra a massa restante de gás no
botijão (Figura 3.2).
Figura 3.2: Resposta registrada pela dupla piloto C da questão 4
62
Na questão 5, a resposta foi dada corretamente somente pela dupla piloto D,
pois as outras fizeram confusão entre a massa de gás restante no botijão e a massa
consumida pela família. Como nos sugere a resposta dada por essa dupla
(Figura 3.3), o registro de partida foi o gráfico, no qual os alunos declaram ter
observado a massa restante do botijão depois de 10 dias de uso (8 kg). Quanto ao
consumo diário mencionado na resposta, esse já havia sido determinado na
questão 2 (Figura 3.1) e o procedimento descrito pela dupla para determinar 0,5 kg
não faz referência ao registro gráfico, uma vez que o gráfico não apresenta opção
dessa leitura direta. Assim, podemos verificar uma conversão do registros gráfico
para o registro numérico e depois do registros numérico para a língua materna.
Figura 3.3: Resposta registrada pela dupla piloto D da questão 5
Quanto às duplas piloto B e C (Tabela 3.7), pode-se perceber que realizaram,
para resolver essa atividade, o mesmo procedimento utilizado na atividade anterior
(questão 4), quando a leitura direta do gráfico os levariam a resposta certa.
D U P L A
P I L O T O
B
D U P L A
P I L O T O
C
Tabela 3.7: Resposta registrada pelas duplas piloto B e C da questão 5
63
A questão 6 foi respondida corretamente por todas as duplas. A dupla piloto A,
para justificar sua resposta, apoiou-se no registro gráfico, apresentando sua
resposta na língua materna, (Figura 3.4) o que sugere uma conversão entre esses
registros.
Figura 3.4: Resposta da questão 6 dada pela dupla piloto A
Essa mesma questão foi respondida corretamente pelas duplas piloto B e C,
mas sem se apoiarem no gráfico, utilizando como registro de partida os dados
obtidos nas respostas das questões 1 e 2 dessa atividade (registro numérico),
realizaram um tratamento dentro desse registro convertendo esses dados para
língua materna – registro de chegada (Tabela 3.8).
D U P L A
P I L O T O
B
D U P L A
P I L O T O
C
Tabela 3.8: Resposta registrada pelas duplas piloto B e C da questão 6
A dupla piloto D apoiou-se no registro gráfico, mas também mostrou que
poderia chegar a resposta correta a partir de um tratamento dentro do registro
numérico obtido nas questão anteriores. Essa dupla foi a única que utilizou dois
registros de partida na resolução dessa questão (Figura 3.5).
64
Figura 3.5: Resposta registrada pela dupla piloto D.
Na questão 7 apenas a dupla piloto A não respondeu usando o registro
algébrico como registro de chegada, oferecendo sua resposta correta na língua
materna (Figura 3.6).
Figura 3.6: Resposta registrada pela dupla piloto A.
Já as duplas piloto B, C e D apresentaram suas respostas usando o registro
algébrico (y = 13 – 0,5x) que não havia sido utilizado até então. Embora não tenham
justificado como chegaram à resposta, podemos concluir que houve uma conversão
entre dois registros, um o registro de partida que não podemos determinar e o
registro algébrico – registro de chegada.
Graficamente (no GeoGebra), a questão 8 foi resolvida satisfatoriamente por
todas as duplas (Tabela 3.4 e 3.5).
O intuito dessa atividade era fazer com que os alunos percebessem a relação
existente entre o coeficiente a de x, na função f(x) = ax + b, e a inclinação da reta.
Na tabela abaixo (Tabela 3.9) as respostas apresentadas pelos alunos na atividade
escrita.
65
D U P L A
A
D U P L A
B
D U P L A
C
D U P L A
D
Tabela 3.9: Respostas da questão 8 dadas pelas duplas.
Observando as considerações feitas pelos alunos (Tabela 3.9), vale ressaltar
que, embora não tenham oferecido respostas usando o vocabulário matemático
adequado, as duplas fizeram algumas observações pertinentes. Entre elas
destacamos: o paralelismo da nova reta com o eixo das abscissas e que ambas as
retas (y = 13 – 0,5x e y = 13) interceptam o eixo das ordenadas em y = 13 (possuem
o mesmo coeficiente linear).
A exemplo do que aconteceu na atividade 8, graficamente, a questão 9 foi
resolvida satisfatoriamente pelas duplas (Tabela 3.4 e 3.5). No entanto, algumas das
respostas apresentadas pelos alunos (Tabela 3.10) merecem ressalvas.
66
D U P L A
A
D U P L A
C
Tabela 3.10: Respostas da questão 9 dadas pelas duplas.
A dupla piloto A, foi a única que verificou que o ponto de intersecção do
gráfico com o eixo das ordenadas depende do valor do “b” (coeficiente linear)
(Tabela 3.10). No entanto, para esses alunos o comportamento do gráfico está mais
associado ao contexto do problema do que aos coeficientes de sua lei de formação
(y = ax + b). Para os alunos dessa dupla, o coeficiente b indica consumo zero, ou
seja, esse fato levou-os a concluírem que o consumo total do botijão de gás
acontecerá em 16 dias, e o gasto diário permanecesse o mesmo (y = 8 – 0,5x).
Em relação a dupla piloto C, queremos destacar algumas propriedades
ligadas ao coeficiente linear de uma reta, que, apesar de terem sido levantadas a
partir do registro gráfico, não oferecem parâmetros importantes para as análises
nesta pesquisa. O paralelismo é um deles. Graficamente duas retas serão paralelas
se suas equações tiverem o mesmo coeficiente angular e os coeficientes lineares
distintos. A translação de uma reta é outro objeto que tem propriedades ligadas ao
seu coeficiente linear. Ao afirmar que “foi diminuído 5 unidades de cada ponto no
sentido vertical” os alunos implicitamente consideram a translação de cada um dos
pontos da reta na direção do eixo das ordenadas (eixo y) (vertical) e sentido
negativo.
A análise dos resultados alcançados pelos alunos nesta fase nos indicou que
as atividades não foram adequadas para integrar os registros de representação do
67
objeto matemático função polinomial do 1º grau. Mesmo nas conversões
congruentes percebemos poucas vezes os alunos relacionarem os registros
apresentados (registro numérico/tabular, registro gráfico, registro algébrico e língua
materna) à mesma função.
Essa atividade norteou o (re)design das questões da atividade a ser proposta
na fase seguinte (Fase II – Fase Experimental) de acordo com a orientação da
metodologia empregada - Design Experiment.
3.2 O REDESIGN DAS ATIVIDADES
Nas atividades da Fase II apresentamos as questões após o redesign feito a
partir do Estudo Piloto. Essas atividades foram redesenhadas com o intuito de
aproximar os alunos dos vários registros de representação de um mesmo objeto
matemático, e ainda promover o trânsito entre eles, pois, segundo Duval (2009,
2008) é na transição desses registros que podemos encontrar a chave para a
aprendizagem em matemática. Ainda o mesmo autor defende que, quanto mais
naturalmente transitamos entre os registros de representação de um objeto
matemático, maior é a compreensão desse objeto.
Após o redesign, as atividades ficaram divididas em três partes, sendo a
primeira uma reformulação do Estudo Piloto, visando contemplar a teoria de Duval –
Registros de Representação Semiótica – utilizando o software GeoGebra.
Na segunda parte, foi proposta uma tarefa onde esperávamos que os alunos
verificassem as relações existentes entre os registros de representação de uma
função polinomial do 1º grau. Nessa atividade, inicialmente apresentamos a lei
algébrica e, a partir dessa, pedimos aos alunos que construíssem o gráfico e a
tabela usando o software. Como optamos por um software de geometria dinâmica, o
68
aluno tinha a opção de transladar a reta, podendo assim perceber as mudanças que
estavam ocorrendo na lei algébrica, ou seja, que os alunos observassem a interação
entre os registros.
Já na terceira parte, foi apresentado um gráfico de uma função polinomial do 1º
grau traçado a partir de dois pontos, sendo um deles a intersecção da reta com o
eixo das ordenadas (eixo y). Ao movimentar o outro ponto esperávamos que os
alunos verificassem a mudança ocorrida no coeficiente angular da reta, e também
que os registros ali apresentados faziam referência ao mesmo objeto matemático.
De acordo com a metodologia de Cobb et al. (2003) – Design Experiment – e a
fundamentação teórica de Duval – Registros de Representações Semiótica –
traçamos um paralelo entre as atividades propostas na Fase Preliminar – Estudo
Piloto e na Fase Experimental (Tabela 3.11), e apresentando uma breve análise a
priori que orientou no processo de redesign.
69
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3.1
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71
As atividades 2 e 3 passaram a compor a Fase Experimental como
apresentadas abaixo:
Dado no GeoGebra, o gráfico de uma função definida pela lei f(x) = ax + b, desenvolva o que é pedido. Seja a função dada por y=2x+5:
1. Clique na curva mexa e verifique o que você observa na lei algébrica?
Essa questão proporcionará ao aluno verificar a relação existente entre os registros algébrico e gráfico. A relação existente entre o termo independente e o intercepto do gráfico com o eixo das abscissas.
2. Escolhendo 4 posições da reta, registre a lei correspondente a cada posição. Com esses dados, o que você pode concluir a respeito dessas variantes?
Essa questão tem o mesmo intuito da questão anterior, mas esperando que o aluno tenha verificado a relação da questão anterior, para citar algumas
3. Na lei algébrica que aparece na “janela de álgebra” ao lado, escolha outros valores para o termo independente. O que você observou no gráfico?
Nessa questão também esperamos que os alunos verificassem a relação entre os registros e entre o termo independente e o gráfico, visualizando no registro gráfico uma alteração feita no registro algébrico.
Tabela 3.12: Atividade 2
Dado no GeoGebra, o gráfico de uma função definida por dois pontos A e B, com o ponto A fixo, desenvolva o que é pedido:
1. No software GeoGebra, movimente o ponto B, e verifique na “janela de álgebra” ao lado, o que ocorre com os coeficientes a e b?
Nessa questão também, o intuito foi o mesmo das questões da atividade anterior, verificando a relação existente entre a representação gráfica e os coeficientes angular e linear.
2.Escolhendo 4 posições diferentes da reta, registre a lei correspondente a cada posição. Com esses dados, o que você pode concluir a respeito dessas variantes?
Nessa questão também era esperado que os alunos verificassem as mesmas relações observadas nas questões anteriores.
Tabela 3.13: Atividade 3
Em relação à coleta de dados, além do material produzido pelos alunos e dos
registros gráficos do software GeoGebra, percebemos que seria interessante ter
acesso as interações entre os participantes, já que essas poderiam nos indicar a
72
importância do recurso tecnológico e/ou os elementos das atividades que
conduziram a uma conversão de registro. Deste modo, decidimos que as interações
seriam gravadas em áudio.
3.2.1 REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES – FASE II – FASE EXPERIMENTAL
Nesta fase, as atividades foram realizadas de forma muito parecida com as
atividades propostas no Estudo Piloto. Como os alunos dessa fase também eram
alunos de quatro salas diferentes, as duplas foram divididas de forma que alunos de
uma mesma sala ficassem numa mesma dupla, já que acreditávamos que o fato de
se conhecerem poderia favorecer a discussão durante a realização das atividades.
Assim como no Estudo Piloto, essa atividade foi realizada no período
vespertino, no laboratório de informática da EE Profª Silvana Evangelista. Na tabela
abaixo (Quadro 3.3) apresentamos a designação dada a cada uma das duplas e os
elementos que as compunham.
Dupla A Marina e Rosa
Dupla B Caio e Jamil
Dupla C João e Nei
Dupla D Jackson e Diego
Quadro 3.3: Alunos Participantes da Fase Experimental
Apresentamos, na sequência, uma análise a partir das produções feitas pelos
alunos e das gravações de áudio realizadas durante as atividades.
73
3.2.2 ANÁLISE DA FASE EXPERIMENTAL
Nesta seção analisamos qual processo os alunos utilizaram no
desenvolvimento das questões propostas (Ver Anexo 1), observando os registros de
representação do objeto matemático. As análises destacam os registros de partida e
de chegada, e os tratamentos e/ou conversões realizadas pelas duplas em cada
atividade.
A proposta da atividade 1 não sofreu alteração, sendo apresentada como
segue (Quadro 3.4):
Na casa de uma família o consumo diário de gás de cozinha é de m kg. Um
botijão doméstico é comprado com uma quantidade de massa fixa de gás.
Considere a tabela abaixo que representa o consumo de gás desta família
durante 1 semana.
Dias
(t) Gás-kg (m)
0 13
2 12
7 9.5
Quadro 3.4: Enunciado da Atividade 1
Para iniciar essa atividade foi feita a seguinte observação: Suponha que a
quantidade consumida por dia é sempre a mesma nesta semana e que esse
comportamento se mantém após a primeira semana.
A questão 1 “Nesta tabela, você pode encontrar qual a massa de gás de um
botijão que acaba de ser comprado? Justifique” foi respondida corretamente por 3
das quatro duplas, embora apenas duas delas justificassem. Nossas análises se
concentraram nas duplas que apresentaram justificativas.
As duplas B e C deixaram claro nas respostas escritas e também nas
gravações de áudio que a observação foi feita a partir da tabela, e expressaram a
74
resposta na língua materna. Podemos verificar que essas duas duplas fizeram uma
conversão entre esses dois registros (Quadro 3.5).
Dupla B
Dupla C
Quadro 3.5: Resposta escrita dada pelas duplas B e C na questão 1
Trecho 3.1: Conversa da dupla B
Jamil: Olha aqui, zero dias, quando o botijão foi comprado. Caio: Não, mas olha. Na casa de uma família o consumo diário. Jamil: Não. Mas, nesta tabela, você pode encontrar qual a massa de um botijão que acaba de ser comprado? Caio: Zero dias.
Trecho 3.2: Conversa da dupla C
João: Olha aqui. Zero dia eles ainda não tinham consumido nada e no segundo dia eles consumiram um “quilo”, ou seja, então a cada dois dias eles consomem um “quilo”. João e Nei: Então em um dia eles consomem 0,5 (Kg).
Das quatro duplas pesquisadas, apenas três responderam adequadamente a
questão 2 “Você pode escrever qual o consumo de gás diário desta família? Se sim,
qual é o consumo? Justifique.”
Nesta atividade as duplas A, C e D fizeram um tratamento dentro do registro
numérico observando os dados da tabela e calculando a massa diária que estava
sendo gasta. Após esse tratamento fizeram uma conversão do registro numérico
75
para a língua materna. Destacamos as respostas escritas dessas duplas e o áudio
da dupla A (Quadro 3.6 e ver Trecho 3.3).
Dupla A
Dupla C
Dupla D
Quadro 3.6: Resposta escrita dada pelas duplas A, C e D na questão 2
Para a resolução dessa atividade, os alunos já tinham o conhecimento da
proporcionaliadade entre as grandezas massa e tempo, então utilizaram desse dado
para concluir a linearidade. Na fala da dupla A (Trecho 3.3) percebemos essa
tendência para linearidade, pois já tinham o conhecimento que o objeto matemático
envolvido era uma função polinomial do 1º grau.
Trecho 3.3: Conversa da dupla A
Marina: Em dois dias o gás “tava” pesando 12 quilos, então em dois dias consumiram 1 quilo. Em 7 dias... ah, é meio, olha aí. Rosa: nove e meio? Marina: Não, só meio. Cada dia você gasta meio. Sem ser usado pesava 13 kg, depois que começou usar é, gasta meio quilo por dia. Por que assim, 13 (kg), no primeiro dia meio, mais no segundo dia, meio, 1 (kg).
76
Rosa: Então 4 dias seria 11 (kg), 5 (dias). Marina: 5 (dias) 10 e meio. Rosa: Então 6 (dias) seria 9, não. Rosa e Marina: 6 seria 10. Rosa: E 7 seria 9 e meio, e 8 seria 9, tá certo.
Essas duplas deixaram claro suas respostas escritas e também em áudio a
conversão realizada do registro numérico/tabular para a língua materna, e não
podemos deixar de dizer que, embora não tenham feito cálculos no papel, houve um
tratamento dentro do registro numérico, com cálculos mentais que podemos verificar
no áudio da dupla A e na escrita de todas as duplas.
A questão 3 “Com base nos dados apresentados anteriormente (na tabela),
que tipo de função que representa essa relação? Justifique.” foi acrescentada ao
Estudo Piloto.
As duplas A, B e C ofereceram uma resposta correta, no entanto a dupla A
não justificou de forma consistente. Nas respostas das outras duas duplas (B e C)
verificamos uma conversão do numérico/tabular para a língua materna. Ainda nesta
questão, a dupla C fez uma conversão da língua materna apresentada nas
respostas das questões 2 e 3 para o registro algébrico (Quadro 3.7).
77
Dupla A
Dupla B
Dupla C
Quadro 3.7: Respostas das duplas A, B e C na questão 3
A questão 4 “Construa o gráfico que representa esse problema”, propõe uma
conversão do registro numérico/tabular para o registro gráfico, utilizando o software
GeoGebra para a construção gráfica (Quadro 3.8).
78
Dupla A
Dupla B
Dupla C
Dupla D
Quadro 3.8: Gráficos traçados pelas duplas no GeoGebra
Na questão 5 “Observando o gráfico, você pode dizer em quantos dias essa
família consome 6 kg de gás? Justifique”, esperávamos uma conversão entre o
registro gráfico e língua materna ou entre os registros gráfico e numérico.
Essa questão foi proposta com o intuito de levar o aluno a ter como registro
de partida outros que não fossem a tabela e nem os dados obtidos em atividades
anteriores, pois assim poderiam relacionar os registros e perceberem que todos
representam o mesmo objeto matemático.
Nesta questão, a leitura direta do gráfico poderia causar um conflito, já que
tanto o gráfico quanto a tabela relacionam-se a uma função polinomial do 1º grau
79
decrescente, ou seja, quando se passaram seis dias consumindo esse botijão de
gás, o gráfico relacionava o dia com a massa restante e não com a massa
consumida. Esse conflito pode ser verificado na resposta da dupla B (Figura 3.7).
Figura 3.7: Resposta da questão 5 da dupla B
Verificando a tabela, a dupla considerou os valores da coluna que
representava a “quantidade de gás restante”, como gás consumido, relacionando
então dois dias com 12 kg de consumo.
A dupla C e D, responderam corretamente como pode ser verificado nas
respostas dadas no papel (Quadro 3.9).
Resposta da questão 5 da dupla C
Resposta da questão 5 da dupla D
Quadro 3.9: Respostas das duplas C e D na questão 5
Essas duplas fizeram um tratamento dentro do registro numérico, utilizando
os dados apresentados na resposta da questão 2. O diálogo estabelecido entre os
alunos da questão C confirma que o ponto de partida utilizado foi o registro numérico
do resultado da questão 2 (Trecho 3.4).
80
Trecho 3.4: Trecho da conversa da dupla C
João: Sim, 12. Nei: Por quê? João: Porque consome 0,5 (kg de gás) por dia. Então, “tá” perguntando em quantos dias a família consome 6 quilos (de gás). Nei: Então são 12 dias.
Vale salientar que mesmo o enunciado tendo conduzido os alunos à
observação do gráfico, nenhuma das duplas o fez. Neste caso nenhuma conversão
foi verificada.
Como na questão 5, nenhuma das duplas apoiou-se no gráfico para oferecer
sua resposta. A questão 6 “Se não houvesse o gráfico, como você poderia
determinar esse valor?” perdeu seu sentido, pois sua proposta era levar o aluno a
utilizar como registro de partida outro que não fosse o gráfico, ou seja, aqui era
esperado que ocorresse um tratamento dentro do registro numérico, passando do
numérico/tabular para o numérico/cálculo. As respostas dadas pelas duplas mostram
que tal objetivo já havia sido alcançado na questão anterior (Quadro 3.10).
Dupla A
Dupla B
Dupla C
Quadro 3.10: Respostas das duplas A, B e C na questão 6
81
As duplas A e B sugerem como registro de partida a tabela, e a dupla C o registro
algébrico.
Na questão 7 “Qual a massa desse botijão, após 10 dias sendo usado por
essa família? Justifique.” esperávamos que os alunos se apoiassem no gráfico ou na
tabela, proporcionando assim uma conversão quando optado pelo primeiro registro
como partida, ou um tratamento quando pelo segundo e tendo como registro de
chegada o numérico/calculo.
No entanto, as quatro duplas realizaram um tratamento no registro numérico,
tomando principalmente como base os valores obtidos na questão 2, e podemos
verificar também uma conversão do registro algébrico para o registro numérico feita
pela dupla C (Quadro 3.11).
Dupla A
Dupla B
Dupla C
Dupla D
Quadro 3.11: Respostas das duplas A, B, C e D na questão 7
82
Na questão 8 “Analisando o gráfico, quantos dias durará um botijão?
Justifique. Há outra maneira de chegar à mesma resposta?”, esperávamos que os
alunos utilizassem ao menos dois registros de partida (numérico/tabular ou gráfico).
Apenas as duplas C e D acertaram essa questão, mas mesmo o enunciado
propondo o gráfico como registro de partida, a dupla D respondeu fazendo um
tratamento no registro numérico utilizando como base os dados obtidos na questão
2. Já a dupla C, para a 1ª parte da questão (analisando o gráfico, quantos dias
durará o botijão?), respondeu 26 dias, e como esse valor não foi calculado
anteriormente e não esta na tabela, a resposta só foi possível através da observação
do gráfico. Nessa parte houve uma conversão do registro gráfico para a língua
materna.
Na segunda parte da questão (Há outra maneira de chegar à mesma
resposta?), eles responderam afirmativamente e realizaram uma conversão do
registro algébrico (pela lei de formação da função determinada no exercício 3) para o
numérico, substituindo a variável pela resposta dada anteriormente (26 dias) e
fazendo posteriormente um tratamento neste registro (Quadro 3.12).
Dupla C
Dupla D
Quadro 3.12: Respostas das duplas C e D na questão 8
83
Na questão 9 “Determine a lei de formação dessa relação.”, tínhamos a
expectativa de que os alunos utilizassem os dados das questões anteriores para
subsidiá-los na resolução. Isso aconteceu apenas com as duplas A e C, que
utilizaram como registro de partida principalmente o gasto diário (0,5) encontrado na
questão 2, e formularam uma função do tipo f(x) = ax + b, onde a representa
consumo diário e b a massa total do botijão.
No caso da dupla C, desde a questão 3 já tinham a lei de formação dessa
função, quanto à dupla A não temos parâmetros para determinarmos o registro de
partida.
As atividades que foram propostas aqui foram redesenhadas a partir dos
resultados obtidos na Fase Preliminar – Estudo Piloto, conforme metodologia de
Cobb et al. (2003) com a intenção de levarmos os alunos utilizarem o software
GeoGebra na transição entre os registros de representação semióticas de Duval.
Essa atividade fez parte da Fase Experimental que foi dividida em duas etapas.
A seguir apresentaremos a Atividade 2 que faz parte da segunda etapa da
Fase Experimental, que foi elaborada com o intuito de verificar se o uso do software
GeoGebra causaria algum impacto na transição entre as representações de
registros de uma função polinomial do 1º grau.
Na Atividade 2, os alunos participantes são os mesmos da Atividade 1 da
Fase Experimental e as duplas também permaneceram as mesmas. Essa atividade
foi proposta em um dia diferente e após a Atividade 1 em período oposto ao de aula
dos alunos, ou seja, são alunos do matutino e a atividade foi proposta no período
vespertino.
84
Atividade 2 – Parte 1 da Fase Experimental:
Na atividade 2 (Anexo 2), no GeoGebra, apresentamos a lei de formação e
o gráfico da função y = 2x + 5 (Figura 3.40) e propusemos três questões.
Figura 3.8: Tela da atividade proposta no GeoGebra
Na questão 1 “Clique na curva, mexa e verifique o que você observa na lei
algébrica?”,
Nessa questão as duplas A, B e D perceberam que o valor do coeficiente b
tinha relação com o deslocamento da reta no plano cartesiano, mas nenhuma
dessas duplas relacionou esse coeficiente com o ponto de intersecção entre a reta e
o eixo das ordenadas (eixo y) (Quadro 3.13)
85
Dupla A
Dupla B
Dupla D
Quadro 3.13: Respostas das duplas A, B e D na questão 1
Embora as duplas não percebessem a relação entre o coeficiente b da lei e o
ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y), percebemos que o
GeoGebra foi útil quanto à forma simples de movimentar a reta e analisar ao mesmo
tempo o que acontecia na lei algébrica desse objeto. Quanto à teoria de Duval,
também podemos intuir que ocorreu uma conversão tanto do registro algébrico
quanto do registro gráfico para a língua materna.
Nessa atividade foi preciso a intervenção do professor para que os alunos das
duplas A e B concluíssem o raciocínio, como podemos ver no dialogo entre eles
(Trecho 3.5 e 3.6).
Trecho 3.5: Diálogo da dupla A
Rosa: Cada vez que mexemos a reta o eixo y muda. Professor: Você tem certeza que o eixo y muda? Rosa: Muda. Não. Muda sim. Quando trago pra cá (para a esquerda) ou levo pra lá (para a direita) o eixo vai cortar mais embaixo. Professor: Sim, o ponto de intersecção muda, mas o eixo também se move? Marina: Não, o que muda é a reta, o eixo fica no mesmo lugar.
86
Trecho 3.6: Diálogo da dupla B
Jamil: O que você observa na lei algébrica? Ela modifica. Caio: O que? Professor, professor. Professor: Pode falar. Jamil: Aqui. Quando mexe aqui ela modifica esse aqui, aqui é o valor do b. (Disse o aluno olhando e apontando na tela do computador referindo ao registro gráfico e algébrico, respectivamente.) Professor: Isso. Jamil: Observamos que ela se modifica. Professor: Quem se modifica? Jamil: O valor de b
Na questão 2 “Escolhendo 4 posições da reta, registre a lei correspondente a
cada posição. Com esses dados, o que você pode concluir a respeito dessas
variantes?”, esperávamos que os alunos percebessem a relação existente entre o
termo independente b da função f(x) = ax +b com o ponto de intersecção da reta
com o eixo das ordenadas (eixo y).
Quadro 3.14: Exemplos de posições do gráfico na questão 2
Nesta questão as duplas A e B perceberam exatamente o que era esperado,
que a cada posição diferente da reta sem alterarmos sua inclinação o ponto de
intersecção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y) mudava, e esse valor que
estava sendo alterado era o valor do coeficiente b na função f(x) = ax + b (Quadro
3.15).
87
Dupla A
Dupla B
Quadro 3.15: Respostas das duplas A e B da questão 2
As duplas C e D, fizeram observações quanto ao movimento da reta,
destacando apenas a relação desse e o coeficiente b na função f(x) = ax + b, não
destacando que o ponto de intersecção entre a reta e o eixo y relacionava-se com o
valor de a, como era esperado, que os alunos verificassem a ligação existente entre
os registros ali contidos no software GeoGebra (Quadro 3.16).
88
Dupla C
Dupla D
Quadro 3.16: Respostas das duplas C e D da questão 2.
No trecho abaixo (Trecho 3.7), podemos perceber que a dupla C não teve a
preocupação de relacionar os dois registros ali presentes (gráfico e algébrico), ou
em verificar qual a relação entre alguns itens desses registros.
Trecho 3.7: Trecho da conversa da dupla C
Nei: Professor, ele corta o (eixo) x e o (eixo) y? Professor: O valor do b? João: Sim. Professor: Muda o valor e verifica. Nei: É, ele corta. Professor: Mas no mesmo valor? O mesmo valor a reta intercepta o eixo x e o eixo y? Nei: Não. Professor: O mesmo valor que tá no y tá no x? Nei: Não. Professor: Vamos mudar o valor aqui. Verifica se é o mesmo valor. Nei: É diferente. Coloca 5 agora. João: Vai ficar 5 e -2 e meio. Nei: O eixo y desceu pra 5 e meio e o y para 2 e o que? Parece 2,8. João: Acho que não. Nei: Coloca zero, vamos ver aonde vai?
89
Embora os alunos perceberam que a reta se movimentava vertivalmente, não
destacaram a intersecção da reta com o eixo x como sendo o valor do coeficiente
linear da lei de formação.
Na questão 3 “Na lei algébrica que aparece na “janela de álgebra” ao lado,
escolha outros valores para o termo independente. O que você observou no
gráfico?”, assim como na questão anterior, almejávamos que os alunos
percebessem a relação entre os registros ali apresentando o objeto matemático
função polinomial do 1º grau, mas também que o coeficiente b em f(x) = ax + b
representava o ponto de intersecção entre a reta e o eixo das ordenadas (eixo y).
Nessa questão também poderíamos esperar que o aluno percebesse que quando
b < 0 teríamos a reta interceptando o eixo das ordenadas (eixo y) em um de seus
valores negativos, quando b > 0 interceptava em um de seus valore positivos e
quando b = 0 teríamos com ponto de intersecção ,entre a reta e o eixo das
ordenadas (eixo y), o zero.
Essa questão, a dupla A, de acordo com a resposta dada na atividade
anterior, e a dupla B respondeu satisfatoriamente, pois perceberam o deslocamento
do gráfico, e destacaram a relação entre a intersecção da reta e o eixo das
ordenadas (eixo y). Outra importante observação que mencionaram está relacionada
ao sinal do valor de b, pois perceberam que quando negativo está abaixo do eixo
das abscissas (eixo x), ou seja, o valor da ordenada é negativa, e quando o valor for
positivo o ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y) encontra-
se acima do eixo das abscissas (eixo x), ou seja, o valor da ordenada é positiva
(Quadro 3.17).
90
Dupla A
Dupla B
Quadro 3.17: Resposta das duplas A e B da questão 3
Já no áudio dos alunos da dupla B, podemos destacar a importância do
professor-pesquisador com suas intervenções (Trecho 3.8), pois deixou claro o que
se espera da atividade, mostrando ao aluno qual o caminho que o mesmo deveria
seguir na resolução.
Trecho 3.8: Diálogo entre a dupla B e o professor-pesquisador
Jamil: Professor. Estou confuso nessa questão. Professor: Na atividade anterior vocês mexeram no gráfico e observaram o que acontecia na lei algébrica, agora vocês irão alterar alguns valores da lei e verificar o que acontecerá no gráfico. Clica em cima da lei. Jamil: Aqui? Professor: Sim. Agora vocês irão mexer nesse termo aqui. Que termo é esse? Jamil: O termo independente. Professor: Isso. Qual é o termo independente? Jamil: O três. Professor: Isso. Coloca outro valor no lugar do 3 e verifiquem o que aconteceu na reta. Jamil: Agora entendi. Vou trocando esse valor e observando na reta “né". Professor: Isso, mexe na reta para que ela fique mais no meio da tela, e diminui um pouco o zoom também. Jamil: A tá. . . .
91
Jamil: Professor. Vê se é assim? Professor: Ela mudou de lado conforme o sinal de que? Jamil: Ela passou pra cá. Professor: Sim. Mas conforme o sinal de quem? Jamil: Do b. Professor: O que tem a ver esse b com o sinal, porque ela mudou de lado com o sinal do b? O que tem a ver essa reta com esse valor aqui? Vou mudar o valor do b, o que aconteceu na reta? Qual a relação da reta com esse valor? Observa a reta. Mudei o valor de b e o que aconteceu na reta? Jamil: Da modificando o valor de b. Professor: Mas quem é esse valor de b aqui na reta? Jamil: É onde a reta corta o eixo y. Ah tá.
Outra observação é quando à praticidade e facilidade em mexer no gráfico no
software GeoGebra, pois podem mexer sempre que for preciso, centralizando-o na
tela, aumentando ou diminuindo seu zoom, sem alterar as proporções do gráfico e
voltando ao tamanho original quando for preciso.
Nessa atividade podemos destacar a importância levantada por Cobb et al.
(2003) a respeito do professor pesquisador, uma vez que algumas duplas tiveram
dificuldades quanto à interpretação do enunciado e também duvidas quanto às
ferramentas do software GeoGebra. O autor destaca que nessa intervenção, o
professor-pesquisador mostrou aos alunos o objetivo da questão, orientando-os no
caminho desse objetivo.
92
Atividade 2 – Parte 2 da Fase Experimental:
Dado no GeoGebra, o gráfico de uma função definida por dois pontos A e B,
com o ponto A fixo, desenvolva o que é pedido:
Figura 3.9: Tela da atividade proposta no GeoGebra
Na questão 1 “No software GeoGebra, movimente o ponto B, e verifique na
“janela de álgebra” ao lado, o que ocorre com os coeficientes a e b?” estava sendo
proposto uma observação entre os registros ali contidos (algébrico, gráfico e
numérico/tabular) e a relação existente entre esses registros. Quando movimentado
o ponto B (um ponto fora do eixo das ordenadas (eixo y)) esperávamos que os
alunos percebessem que o coeficiente angular, ou coeficiente a da função f(x) = ax +
b ficava alterado, e ainda mais, quando a reta fosse crescente o valor de a seria
positivo e quando decrescente esse valor seria negativo, e que no valor do
coeficiente b nada acontecia, ou seja, o ponto de intersecção entre a reta e o eixo
das ordenadas (eixo y) não mudava.
Todas as duplas (A, B, C e D) perceberam que quando movimentavam o
ponto B, tendo fixado o ponto de intersecção entre a reta e o eixo y (ponto A),
alteravam apenas o valor do coeficiente a na função f(x) = ax + b. Quanto à
93
inclinação essas duplas não mencionaram nada, apenas a dupla B destacou que
dependendo da movimentação da reta o valor de a ficava positivo ou negativo
(Quadro 3.18).
Dupla A
Dupla B
Dupla C
Dupla D
Quadro 3.18: Respostas das duplas A, B, C e D na questão 1
Pelas respostas das duplas, percebemos que, ao movimentar a reta,
observaram principalmente o registro algébrico. Queremos destacar que nossas
análises foram feitas principalmente tomando por base as questões e as respostas
dos alunos, já que a utilização dos pontos A e B e dos coeficientes a e b nos
confundiram, tendo em vista que os alunos usam indiscriminadamente letras
maiúsculas e minúsculas sem se preocuparem se é ponto ou coeficiente, e ainda
chamaram alguns coeficientes de ponto.
94
Como isso só foi detectado depois da aplicação da atividade, o professor-
pesquisador não fez nenhuma intervenção nesse sentido, e o único apontamento
para discriminar algumas letras utilizadas foram as discussões gravadas no áudio.
Na questão 2, “Escolhendo 4 posições diferentes da reta, registre a lei
correspondente a cada posição. Com esses dados, o que você pode concluir a
respeito dessas variantes?”, esperávamos que os alunos percebessem a relação
entre o coeficiente a da função f(x) = ax + b e a inclinação da reta, e que o sinal
desse coeficiente classificava a reta como crescente ou decrescente. Outra
observação esperada diz respeito ao coeficiente b da função f(x) = ax + b, ordenada
do ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y).
Nesta questão, as duplas B e C (Quadro 3.18), fizeram observações bem
parecidas com as que tinham feito na questão 1, relacionando apenas a
movimentação da reta com o coeficiente a na função f(x) = ax + b, não mencionando
em nenhum momento alguma relação entre esse coeficiente e a inclinação da reta.
Outra observação que poderiam ter feito é quanto aos registros disponíveis para
análise, pois o GeoGebra disponibilizava em sua tela os registros algébrico, gráfico e
numérico/tabular (Figura 3.9).
Dupla B
Dupla C
Quadro 3.19: Respostas das duplas B e C na questão 2
95
As duplas A e D não resposnderam satisfatoriamente. A dupla A tentou
relacionar algum dos coeficientes com a intersecção entre a reta e o eixo x e a dupla
D tentou relacionar o valor do coeficiente a com a distancia da reta e o eixo das
ordenadas (eixo y), embora a reta sempre intersepta o eixo das ordenadas (eixo y).
Nesta atividade percebemos que os alunos deram ênfase aos registros de
representações gráfico e algébrico, como podemos destacar a partir da resposta da
dupla A, que refere-se à variação do coeficiente a e a inclinação da reta.
Apresentamos a seguir algumas considerações referentes aos resultados
obtidos na aplicação das atividades na Fase Preliminar – Estudo Piloto e Fase
Experimental, observando sempre quais registros foram utilizados, as conversões
e/ou tratamentos ocorridos e qual o papel do software GeoGebra.
96
CAPÍTULO 4
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta pesquisa, agregamos a uma das atividades propostas no Caderno do
Aluno da 1ª série do Estado de São Paulo, o software GeoGebra, com intenção de
dinamizarmos as aulas de matemática. Apoiando-nos no aporte teórico de Duval
(2008, 2009), as atividades aplicadas no procedimento empírico foram planejadas
para promover a interação entre os registros de representação de funções
polinomiais do 1º grau. Procuramos conservar a originalidade do modelo proposto no
Caderno do Aluno, mas sem nos privarmos de reformulá-las incluindo questões que
favorecessem a transição entre os registros de representação desse objeto
matemático.
O procedimento empírico realizou-se em duas fases que foram aplicadas a
alunos do 1º ano do Ensino Médio de uma Escola Estadual de São Paulo. No
planejamento dessas fases utilizamos a metodologia de Cobb et al. (2003), Design
Experiment, que tem como ideia central redesenhar as atividades a partir dos
resultados obtidos em atividades anteriores e também o que se observa durante o
processo de aplicação. À Fase I - Fase Preliminar coube o Estudo Piloto e na Fase II
realizamos a Fase Experimental, que foi dividida em duas etapas. Na primeira foi
realizado um redesign das questões a partir das análises do Estudo Piloto e na
segunda foram propostas questões que exigissem a utilização da ferramenta
computacional.
As duas fases desse estudo foram realizadas com a intenção de alcançarmos
o objetivo de nossa pesquisa, ou seja, verificar em que medida o software
GeoGebra pode proporcionar uma maior interação entre os registros de
representação do objeto matemático função polinomial do 1º grau, no modelo
das questões propostas no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo. Para
alcançarmos esse objetivo, propusemos as seguintes questões de pesquisa:
97
Em que medida podemos ampliar os significados atribuídos pelos
alunos à função polinomial do 1º grau, promovendo a interação entre
os registros algébrico, gráfico, língua materna e tabular desse objeto
matemático?
Em que medida o software GeoGebra favorece a interação entre os
registros de representação do objeto matemático função polinomial do
1º grau?
Duval (2008, 2009) afirma que sem os registros de representação de um
objeto matemático não seria possível realizar uma situação instrucional, pois só
podemos nos relacionar com esse objeto através de seu registro. Procuramos
alinhar atividades que envolvem registros de representações de uma função
polinomial do 1º grau com o software GeoGebra, de modo a propiciar a interação
entre eles, outro ponto enfatizado pelo autor que destaca a importância da interação
entre os registros no processo de aprendizagem matemática.
Para Duval (2008, 2009) os objetos matemáticos são melhores
compreendidos quando transitamos entre seus diversos registros de representação.
Escolhemos o software GeoGebra por acreditarmos que ele seria uma ferramenta
que auxiliasse nesse sentido, proporcionando observações no comportamento de
até três registros (algébrico, gráfico e tabular) na mesma tela e de forma dinâmica.
Esse dinamismo permite que os registros possam ser analisados simultaneamente,
e qualquer alteração realizada num deles, promove alterações nos outros.
Nesse sentido, empregando a metodologia de Cobb et al. (2003), Design
Experiment, foi que realizamos as atividades deste estudo. Essa metodologia tem
um caráter cíclico, ou seja, os resultados alcançados em atividades já aplicadas e as
analises feitas durante a aplicação serão utilizados no redesign das atividades que
ainda serão propostas. Nossa escolha por essa metodologia foi principalmente por
esse caráter, pois utilizamos os resultados da Fase I – Estudo Piloto, para
redesenharmos a Fase II – Fase Experimental.
98
Na perspectiva de respondermos nossas questões de pesquisa, buscamos
parâmetros em pesquisas precedentes e teorias voltadas ao mesmo tema. Quanto
às pesquisas já realizadas nesse âmbito, destacamos a de autores como Hector
(1992), Demana e Waits (1990) e Minton (1995) citados por Abrahão (1998) e
Barreira (2007), a respeito da utilização de softwares de geometria dinâmica. Tais
trabalhos destacam principalmente a redução de cálculos rotineiros e a facilidade
para traçar gráficos de funções, liberando tempo em sala de aula. Esse tempo
disponível pode ser usado para tornar as aulas exploratórias, utilizando dados reais
para serem analisados, objetivando mais os conceitos do que os cálculos, e investir
em discussões sobre os parâmetros de uma função de forma a instigar no aluno
observações que o faça construir conjecturas.
De fato, verificamos isso em nossa pesquisa, quando propusemos uma
atividade elaborada com o intuito de levar o aluno a verificar os parâmetros do
registro algébrico de uma função polinomial do 1º grau e relacioná-los com o seu
gráfico. As análises mostraram que o software promoveu a interação entre os
registros sem desviar a atenção do aluno com cálculos ou com o traçado de gráfico.
4.1 RESULTADOS DA FASE I – FASE PRELIMINAR – ESTUDO PILOTO
Nesta fase propusemos aos alunos participantes uma atividade composta por
questões baseadas no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo da 1ª série do
Ensino Médio. Para buscarmos nosso objetivo, redesenhamos uma questão
pertencente a esse Caderno que apresentava apenas o enunciado em língua
materna e uma função no registro algébrico. Mesmo com dois registros disponíveis,
a questão não contemplava nenhuma interação entre esses registros, uma vez que
pedia apenas para o aluno substituir uma variável para encontrar a outra
correspondente. Como essa questão não demonstrava nenhum foco nos registros
de representação nem na interação entre eles, fizemos algumas adequações e
inclusões já no Estudo Piloto.
99
Essa atividade foi aplicada com o intuito de promovermos interações entre os
registros de representação de uma função polinomial do 1º grau, mas após sua
aplicação percebemos que as questões não favoreceram a transição entre os
registros de representação mesmo agregando à atividade o software GeoGebra. As
questões teriam sido resolvidas do mesmo modo usando somente papel e lápis.
Nossas análises evidenciaram apenas algumas transformações entre os registros
algébrico, gráfico, língua materna e tabular, sem proporcionar de forma significativa
a interação entre eles. A partir desses dados percebemos que era preciso replanejar
a atividade para contemplar os registros de representação e a utilização da
ferramenta computacional.
O que podemos destacar aqui, é que devemos apresentar aos alunos
propostas de questões que os façam observar os registros de representação de um
objeto matemático, para que a partir dessas observações possam fazer conjecturas
e até mesmo prová-las, tornando a aula mais exploratória.
4.2 RESULTADOS DA FASE II – FASE EXPERIMENTAL
Os resultados da fase anterior nos deram parâmetros para que pudéssemos
redesenhar e ampliar as atividades com o intuito de levar o aluno a estabelecer
relações entre os registros de representação do objeto matemático função polinomial
do 1º grau num ambiente computacional.
Outro ponto a ser destacado é que a estrutura do enunciado proposto às
duplas de alunos nas duas fases gerou certo conflito. O enunciado da questão 1 e
os dados no registro tabular estavam fornecendo informações contrárias, ou seja, no
enunciado a incógnita m relacionava-se à massa de gás utilizada pela família
enquanto que na tabela referia-se a massa restante após o botijão ter sido utilizado t
dias. Esse conflito pode ser verificado na tentativa de solução da questão 2 – “Você
pode escrever qual o consumo de gás diário desta família? Se sim, qual é o
100
consumo? Justifique.”, apresentada pela dupla B, uma vez que utilizaram os dados
no registro tabular para encontrar o que estava sendo pedido (Figura 4.1).
Figura 4.1: Resposta da questão 2 da dupla B
Nessa resposta oferecida pela dupla B, é evidente o conflito quando tentam
justificar o consumo de 6 dias utilizando os 12 kg consumidos em 2 dias, como
apresentado da tabela. Esse equívoco causado pelo enunciado pode ter provocado
problemas em questões seguintes, pois algumas duplas, assim como a dupla B
utilizaram os dados da tabela ou a resposta apresentada na questão 2 como base
para as seguintes.
Tal fato evidencia-se quando analisamos o trecho de áudio dos alunos.
Trecho 3.4: Trecho da conversa da dupla B
Jamil: Olha na tabela, em sete dias foi gasto 9,5 (kg) então numa semana foi esse o
gasto.
Caio: Então é isso mesmo, esse foi o gasto.
Jamil: Mas a semana tem sete dias e é o consumo diário. Qual o consumo de cada
dia?
Caio: Os dias eram sete, 9,5 (kg) que foi “gastado” em sete dias, e sete dias da uma
semana então é isso mesmo.
Jamil: Mas não tá pedindo o consumo semanal, é diário.
Caio: Diário?
Jamil: É.
Caio: Treze.
Jamil: Não, treze é quando foi comprado o botijão.
101
Caio: Então é seis.
Jamil: Porque é seis?
Caio: Se em dois dias gastou doze “né", a metade de doze é seis.
4.3 REFLEXÕES
Baseado nos resultados encontrados nas atividades que aplicamos, podemos
destacar a necessidade de organizarmos questões que contemplem a utilização do
software, pois constatamos que apenas a disponibilidade de uma ferramenta
computacional não dinamiza a aula de matemática, é necessário também adequar a
aula e as atividades para esse fim.
Outra observação que destacamos, é o tempo liberado em sala de aula
quando utilizamos a ferramenta computacional. Esse tempo, que seria gasto na
construção de gráficos e cálculos utilizando lápis, foi utilizado pelos alunos
principalmente nas observações de vários gráficos.
Observamos que com a ferramenta computacional, o assunto função
polinomial do 1º grau foi explorado observando maiores detalhes, como pontos de
intersecções entre as retas e o eixo das ordenadas (eixo y), inclinação da reta em
relação ao eixo das abscissas (coeficiente angular), pois os alunos não precisaram
analisar apenas um ou dois gráficos das funções dadas, mas sim muitos gráficos,
apenas movendo a reta e obtendo outras que representassem novas leis de
formação, ou modificando valores nas leis e verificando as novas retas no plano
cartesiano. Voltaram ao gráfico da função inicial sempre que preciso.
Outro destaque podemos dar à questão 3 da Atividade 2 - Parte 1 da Fase
Experimantal. Nessa questão, a Dupla A, mesmo tendo acertado a questão anterior
não respondeu conforme esperado. Na questão 2, o aluno modificou quatro vezes a
reta de lugar, ou seja, fez quatro retas diferentes e anotou a lei algébrica de cada
102
uma. Na questão 3, foi modificado a lei algébrica e observado o que estava
acontecendo no gráfico. Mesmo as duas questões tendo o mesmo objetivo, ou seja,
observar a relação entre o ponto de intersecção entre a reta e o eixo das ordenadas
(eixo y) e o coeficiente linear (valor de b) na função f(x) = ax + b, a questão 2 foi
respondido por essa dupla satisfatoriamente, já a questão 3 não.
Podemos perceber nessas respostas, que mesmo nessa atividade sendo
realizado um redesign para contemplar a interação entre os registros observados,
ainda percebemos que nem sempre isso ocorreu, e também que o emprego de uma
ferramenta computacional não é suficiente para que isso ocorresse, pois no caso da
Dupla A, citada acima, não foi suficiente, pois não observaram o que era esperado.
Abaixo destacamos algumas particularidades ocorridas durante o processo
empírico, análises coerentes quanto à teoria empregada e a metodologia utilizada,
destacando conclusões obtidas através dos resultados.
A Fase I – Estudo Piloto foi elaborada com a intenção de levarmos os alunos
a observarem os registros de representação da função polinomial do 1º grau
apresentada na questão e na tela de trabalho do software GeoGebra, no entanto
percebemos que mesmo depois de visualizar a reta como o gráfico da função,
alguns alunos não a relacionaram com uma função polinomial do 1º grau. O que nos
faz concluir que a atividade deve ser preparada com a intenção de promover a
interação entre os registros de representação utilizando a ferramenta computacional
que não pode ser usada em qualquer momento da aula, sem um planejamento
prévio.
Na Fase II – Fase Experimental, fizemos um redesign no sentido de
preparamos as atividades para que contemplassem os registros de representação
utilizando o software GeoGebra. Nessa fase procuramos incluir questões que
levassem os alunos observar os registros de representação e também a utilizar para
esse fim a ferramenta computacional. Nossas análises indicam que quando a
atividade é proposta com o objetivo de levar o aluno a observar os registros de
representação utilizando um software de geometria dinâmica como ferramenta de
interação entre eles, os resultados são satisfatórios, ou seja, os alunos observaram
103
e interagiram com os registros algébrico, gráfico e tabular que constavam na tela do
computador.
Após a análise das duas fases, percebemos a importância que o professor-
pesquisador tem na preparação das atividades. Na Fase I, os resultados não
contemplaram as interações dos registros de representação de forma significativa,
quando feito o redesign, na Fase II, isso pôde ser verificado com maior intensidade,
o que nos leva a destacar a importância da preparação da atividade, e
consequentemente, o papel do professor-pesquisador.
Outro importante destaque é em relação ao papel intervencionista que tem o
professor-pesquisador, uma vez que orienta os alunos quando estão desviando o
foco do objetivo. Essa intervenção aconteceu várias vezes durante a aplicação das
atividades, mas na Fase II, com maior freqüência, por isso percebemos resultados
mais satisfatórios do que na Fase I. Isso mais uma vez nos revela a importância do
professor-pesquisador, tanto na preparação, pois é importantíssimo que ele tenha
um grande conhecimento do objeto matemático em discussão e da teoria a ser
observada, quanto na orientação dada aos alunos, pois assim poderá chegar ao
resultado esperado. Na fase I, que o professor-pesquisador não interviu tanto
durante as atividades, percebemos que algumas dupla tiveram dificuldade de trilhar
rumo ao objetivo, desviando várias vezes a idéia da atividade.
Como proposta para estudos futuros, e no mesmo sentido do que
propusemos em nossa atividade, poderíamos expandir esse estudo com utilização
constante de um software de geometria dinâmica nas aulas de matemática, pois os
alunos se familiarizariam muito mais com a ferramenta computacional e talvez as
interações entre os registros de representação dos objetos matemáticos em estudo
acontecessem com mais naturalidade.
Nesse trabalho tivemos a intenção de dinamizarmos as aulas de matemática,
a fim de impactarmos o ensino dessa disciplina, pois discussões que envolvem a
comunidade acadêmica e a sociedade de modo geral apontam o ensino de
matemática como fracassado e ultrapassado. Procuramos incluir recursos que fazem
parte do dia-a-dia dos alunos, como o computador, na tentativa de tornar as aulas
mais atrativas. Os dados aqui apresentados podem ser utilizados para futuras
104
pesquisas, no sentido de agregar e ampliar o uso de ferramentas tecnológicas na
proposta curricular do Estado de São Paulo.
105
REFERÊNCIA
ABRAHÃO, Ana Maria Carneiro. O comportamento de professores frente a
alguns gráficos de funções f: R→R obtidos com novas tecnologias. 1998. 94 f.
Dissertação (Mestrado) - PUC-RJ, Rio de Janeiro, 1998.
BARREIRA, Ana Isabel Botelho Machado. O Computador na Aula de Matemática
– Um Estudo com Alunos Finalistas do Curso de Matemática e Ciências da
Natureza. 2007. 105 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) -
Universidade Portucalense, Porto: Portugal, 2007.
BRASIL, Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino
Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias / Secretaria de
Educação Básica. 2006. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação
Básica.
BRASIL, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio:
Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. 2002.
Brasília: MEC; SEMTEC.
COBB, P.; CONREY,J.; DISESSA, A.; LEHRER,R; SCHAUBLE, L. (2003). Design
experiments in education research. Educational Researcher, v.32, n.1, pp.9-13.
DAMM, Regina Flemming. Registros de Representação. In: MACHADO, Silvia Dias
Alcantara ET al. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: uma introdução. São Paulo: EDUC-
SP, 1999. p. 135-153.
DOERR, H.M.; WOOD, T.. Pesquisa Projeto (Design Research): aprendendo a
ensinar Matematica. In: BORBA, Marcelo de Carvalho. Tendências Internacionais
em Formação de Professores de Matemática. Belo Horizonte: Autêntica Editora,
2006.
106
DUVAL, R. (2008). Registros de representações semióticas e funcionamento
cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, S.D.A. Aprendizagem
em Matemática: Registros de representação semiótica. Campinas: Papirus,
pp.11-33.
____. (2009). Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e
aprendizagens intelectuais. São Paulo: Editora Livraria da Física.
KARRER, Monica. (2006). Articulação entre Álgebra Linear e Geometria: Um
estudo sobre as transformações lineares na perspectiva dos registros de
representação semiótica. Tese (Doutorado em Educação matemática). São Paulo:
PUC-SP, pp. 01-372.
KIERAN, C; YERUSHALMY, M. (2004). Research on the Role of Technological
Environments in Algebra Learning and Teaching. In STACEY, K; CHICK, h;
KENDAL, M. The Future of the Teaching and Learning of Algebra. Boston:
Kluwer Academic Publishers, pp. 99-153.
MACHADO, N.J.; GRANJA, C.E.S.C.; MELO, J.L.P.; V. MOISES, R.P.; SPINELLI,W.
2010 Caderno do aluno: matemática, ensino fundamental – 7ª série, 3º
bimestre. São Paulo: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.
____. (2010) Caderno do aluno: matemática, ensino médio – 8ª série, 3º
bimestre. São Paulo: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.
MACHADO, N.J.; GRANJA, C.E.S.C.; MELO, J.L.P.; V. MOISÉS, R.P.; FONSECA,
R.F.; PIETROPAOLO, R.C.; SPINELLI, W. (2010) Caderno do aluno: matemática,
ensino médio – 1ª série, 1º bimestre. São Paulo: Secretaria da Educação do
Estado de São Paulo.
____. (2010) Caderno do aluno: matemática, ensino médio – 1ª série, 2º
bimestre. São Paulo: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.
107
ROSA, C. C. (2009). Os Registros de Representação Semiótica e a Modelagem Matemática: A Realização de Conversões em uma Atividade no Ensino Médio. In Diálogos & Saberes, Mandaguari, v. 5, n. 1, pp. 111-124.
SALES, Cassia Osorio Reis. Explorando função através de representações
dinâmicas: Narrativas de estudantes do Ensino Médio. 2008. 144 f. Dissertação
(Mestrado) - Curso de Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São
Paulo, São Paulo, 2008.
108
ANEXO I – ATIVIDADE EXPLORATÓRIA 1 DA FASE EXPERIMENTAL
Alguns programas gráficos que podem servir como ferramentas para o ensino
de matemática, possuem uma interface simples, de fácil utilização e com muitos
recursos utilizados na construção de gráficos. Nesta atividade o objetivo é oferecer
ao aluno as várias formas de registro que podem representar as funções
matemáticas, em especial a função polinomial do 1º grau. Para esta atividade, foi
escolhido o software GeoGebra que pode ser baixado em http://www.geogebra.org,
desenvolvido por Markus Hohenwarter.
Atividade 1
Na casa de uma família o consumo diário de gás de cozinha é de m kg. Um
botijão doméstico é comprado com uma quantidade de massa fixa de gás.
Considere a tabela abaixo que representa o consumo de gás desta família durante 1
semana.
1. Nesta tabela, você pode encontrar qual a massa de gás de um botijão que
acaba de ser comprado? Justifique.
2. Você pode escrever qual o consumo de gás diário desta família? Se sim, qual
é o consumo? Justifique.
3. Com base nos dados apresentados anteriormente (na tabela), que tipo de
função que representa essa relação? Justifique.
Dias (t) Gás-kg
(m)
0 13
2 12
7 9.5
109
4. Construa o gráfico que representa esse problema.
5. Observando o gráfico, você pode dizer em quantos dias essa família consome
6 kg de gás? Justifique.
6. Se não houvesse o gráfico, como você poderia determinar esse valor?
7. Qual a massa desse botijão, após 10 dias sendo usado por essa família?
Justifique.
8. Analisando o gráfico, quantos dias durará um botijão? Justifique. Há outra
maneira de chegar à mesma resposta?
9. Determine a lei de formação dessa relação.