unidad 8 campo magnetico y fuerza magnetica · campo magnetico y fuerza magnetica 8.1 introduccion....

Apuntes de electricidad y magnetismo Unidad. 8: Magnetismo 166

UNIDAD 8 CAMPO MAGNETICO Y FUERZA MAGNETICA

8.1 INTRODUCCION.

Los primeros fenómenos magnéticos observados fueron, sin duda los relacionados con los llamados imanes naturales, que son trozos de un mineral de hierro encontrado junto a la antigua ciudad de Magnesia llamado magnetita (Fe3O4), o piedra imán. Los antiguos griegos se dieron cuenta de que estos imanes atraían pequeños trozos de hierro. En 1269 Petrus Peregrinus de Maricourt, le escribió una carta a un amigo, dándole una clara descripción de la brújula magnética, la cual se había desarrollado durante los siglos XI y XII probablemente en la China. De Maricourt observó que las piedras imán de formas esféricas tenían dos puntos especiales llamados “polos” los que localizo depositando limaduras de hierro sobre ellos. Las líneas dibujadas a lo largo de la limadura se interceptaban en dos puntos a los que denomino polo norte y polo sur. También encontró que polos iguales se repelen entre si y polos diferentes se atraen. Estas ideas fueron incorporadas en el trabajo de el inglés William Gilbert (1544-1603) a quien se conoce como padre del magnetismo, publicó en el año 1600 De Magnete en la cual muestra los resultados de sus propias observaciones, describiendo el comportamiento de una aguja magnética cerca de otro imán y estableciendo con claridad la diferencias y semejanzas entre las fuerzas eléctricas y magnéticas. Fue el primero en darse cuenta que la tierra se comporta como un imán, explicando así porque la brújula señala al norte. Durante muchos años el estudio de los fenómenos magnéticos se centró en los imanes permanentes. Hacia principios del siglo XIX, se había acumulado una gran cantidad de información experimental acerca de la naturaleza de la electricidad y el magnetismo. Los descubrimientos e ideas de Gilbert, Franklin, Coulomb, Volta y muchos otros eran bien conocidos. Las similitudes entre atracción eléctrica y magnética, la observación repetida del comportamiento de las brújulas de los barcos que al ser golpeadas por un rayo, algunas veces su aguja cambiaba su polaridad y de otros experimentos como los de Franklin de magnetización de agujas pasando entre ellas una descarga eléctrica, todos ellos apuntaban a una posible conexión entre el comportamiento eléctrico y el magnético. Pero hasta principios de 1819 magnetismo y electricidad se consideraban como dos fenómenos independientes. En ese año, el físico Danés Hans Christian Oesterd (1777-1851) observó que un imán se desvía al encontrarse en la proximidad de un hilo conductor que transporta una corriente. Poco después, el físico Francés André Ampère (1775-1836) formuló leyes cuantitativas para calcular la fuerza magnética entre conductores por los que circulan corrientes eléctricas. También sugirió que lazos de corriente eléctrica de tamaño molecular son responsables de todos los fenómenos magnéticos. En la década de 1820, conexiones adicionales entre la electricidad y el magnetismo fueron demostradas por el físico Inglés Michael Faraday (1791-1867) y el físico Norteamericano Joseph Henry (1797-1878). Los dos independientemente mostraron que una corriente eléctrica puede producirse en un circuito ya sea moviendo un imán cerca del circuito o

Electricidad y Magnetismo [email protected]


cambiando la corriente en otro circuito cercano. Estas observaciones demostraron que un campo magnético produce un campo eléctrico.

8.2 EL CAMPO MAGNETICO. En los capítulos 3, 4 y 5 se ha usado el concepto de campo eléctrico E . Este campo eléctrico donde existe, produce sobre una partícula cargada q una fuerza EqF = . Los fenómenos magnéticos pueden estudiarse de forma

similar a los eléctricos, definiendo un campo magnético B . Al campo B , se le puede definir su magnitud, o intensidad, y su dirección como se le definió al campo eléctrico E , en términos de líneas de campo. La dirección del campo magné ico t B en cualquier posición está en la dirección tangente hacia la cual apunta el polo norte de la aguja de una brújula en una línea que pasa por esa posición, y el número de líneas que cruzan cualquier área en particular en ángulo recto da una medida de la magnitud de B . Es decir, B es grande cuando las líneas están muy próximas entre si, y pequeño si las líneas están muy separadas entre si. Sin embargo, existe una diferencia importante y es que la fuerza eléctrica siempre es paralela a las líneas de E , en cambio, como se verá en la próxima sección, la fuerza magnética sobre una partícula cargada en movimiento es siempre perpendicular a las líneas de B . La figura 8.1 muestra varias líneas de fuerza trazadas alrededor de un imán permanente con la ayuda de una brújula. Otra diferencia, es que las líneas de campo eléctrico E siempre comienzan y terminan en cargas o distribuciones de cargas, mientras que las líneas de B siempre forman anillos cerrados.

Figura 8.1

8.3 LA FUERZA MAGNETICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO.

En esta sección, el objetivo es el de establecer un conjunto de procedimientos para determinar si hay un campo magnético presente en una cierta región del espacio. Si colocamos una partícula cargada en reposo en una región en donde hay solamente un campo magnético B , no se observa ninguna fuerza especial ejercida sobre la partícula. Pero si se



envían diferentes partículas cargadas con diferentes velocidades y diferentes direcciones a un punto del espacio donde existe un campo magnético B , se encuentra que existe una relación entre la fuerza, la carga eléctrica y la velocidad. La magnitud y dirección de la fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula y de la magnitud y dirección del campo magnético. Si la partícula se mueve paralela o antiparalelamente al campo magnético la fuerza ejercida sobre esta es cero y es máxima si la partícula entra perpendicular a él. En general, si el vector velocidad forma un ángulo θ con el campo magnético, la componente perpendicular de la velocidad θvsen es la responsable de la fuerza magnética. Por lo tanto en magnitud la fuerza magnética se puede escribir como

θqvBsenF = 8.1

Figura 8.2

Otro hecho experimental es que la dirección de la fuerza magnética es perpendicular al plano determinado por la velocidad de la carga y la dirección del campo magnético, como se muestra en la figura 8.2 a). El sentido de B se obtiene mediante la regla de la mano derecha como se muestra en la misma figura. La fuerza magnética sobre una carga positiva está en la dirección opuesta a la dirección de la fuerza sobre una carga negativa que se mueve en la misma dirección (figura 8.2 b)). Para indicar la dirección de B en este capitulo y en los siguientes, se emplea la siguiente conven ón. Si ci B está dirigida hacia fuera de la página, se utiliza una serie de puntos, los cuales representan las puntas de flechas como en la figura 8.2 b). Si B está hacia adentro de la página, se usa una serie de cruces, las cuales representan las colas de las flechas. Con estas observaciones y la ecuación 8.1 se escribe la fuerza magnética como el producto vectorial

BvqF ×= 8.2

La unidad de B en el SI es el tesla (abreviada T) en honor al físico Servio Nikola Tesla (1856-1943). Se obtiene de la ecuación 8.1 como

111.111 −−== mNA

smCNT .



Otra unidad de campo magnético usada a menudo es el gauss (G); el factor de conversión entre ambas es 1G=10-4 T. El tesla es un unidad de campo magnético generalmente demasiado grande; por ejemplo el campo magnético cerca de la superficie de la tierra, aunque varia de unos lugares a otros, es del orden de 3x10-5 T, o 0.3G, mientras que los mayores campos en los laboratorios son de 25T cerca de un imán superconductor. Además, como la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una partícula cargada en movimiento es siempre perpendicular a su velocidad, el trabajo realizado por esta fuerza es siempre cero. Es decir

∫∫ ∫

=⋅×=

×=⋅×=

0)(

).()(

dtBvvq

dtvBvqsdBvqW

A partir de esta propiedad y del teorema trabajo energía, se concluye que la energía cinética de una partícula en un campo magnético estático no cambia. Entonces, un campo magnético estático cambia la dirección de la velocidad de la partícula. Ejemplo 1. En un experimento se usa una partícula de Cµ0.6 de carga con el fin de medir un campo magnético. La partícula viaja a 1500 ms-1. Cuando se mueve sobre el eje x no se observa ninguna fuerza. La máxima fuerza es de 7.3x10-3 N que se observa cuando la partícula se mueve a lo largo de eje y y apunta en la dirección de z positivo. Determine B . Para su solución se puede razonar de la siguiente manera: como la partícula no experimenta ninguna fuerza cuando se mueve por el eje x, el campo magnético debe tener la dirección x, positiva o negativa. Usando un sistema de coordenadas como el que aparece en la figura de la derecha y la regla de la mano derecha se observa que, B debe tener una dirección a lo largo de las x negativa.

zxy uuu ˆ)ˆ(ˆ =−×

De la ecuación 8.1 para 2πθ = y despejando B se tiene en magnitud que

TmsCx

Nxqv

FB 81.0

)1500)(106(103.7

16

3max === −−

−

xuTB ˆ)81.0(−=

Se trata de un campo magnético intenso, como el que se produce cerca de un electroimán.



Ejemplo 2. Un protón de masa y una carga eléctrica de

es proyectado dentro de un campo magnético con una velocidad de 1.55x10

kg271067.1 −×C191060.1 −× TB 3105.18 −×=

5 ms-1 en una dirección en ángulo recto con el campo. Calcule la fuerza magnética sobre el protón y compárela con su peso. Después de sustituir los valores numéricos, se encuentra que la fuerza magnética es

NTmsCF

16

31519

1059.4)105.18)(1055.1)(1060.1(

−

−−−

×=

×××=

La fuerza gravitacional en el protón es

NmsmskgmgF 262227 1064.1)8.9)(1067.1( −−−− ×=×== La fuerza gravitacional es mínima en comparación con la fuerza magnética. Ejemplo 3. Un protón se mueve con una velocidad 1)ˆˆ4ˆ2( −+−= msuuuv zyx

en una región en la que el campo magnético es .)ˆ3ˆ2ˆ( TuuuB zyx −+= ¿Cuál

es la magnitud de la fuerza magnética que esta carga experimenta? Usando las propiedades del producto vectorial para Bv × de la ecuación 8.2 se tiene

zyxzyx

zyx

uuuuuuuuu

Bv ˆ8ˆ7ˆ10ˆ)44(ˆ)61(ˆ)212(321

142ˆˆˆ

++=++++−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=×

La magnitud de este vector es

11222 .6.14.8710 −− =++=× msTmsTBv

Por lo tanto la magnitud de la fuerza magnética sobre el protón es

NmsTCBvqF 18119 1034.2).6.14)(10602.1( −−− ×=×=×=

¿Qué ángulo forma el vector fuerza con los ejes x, y, y z positivos? 8.4 MOVIMIENNTO DE UNA PARTICULA CARGADA EN UN CAMPO MAGNETICO HOMOGENEO. Una partícula cargada positiva entra perpendicularmente a una región donde existe un campo magnético homogéneo como se muestra en la figura 8.3. Como la fuerza es perpendicular a la velocidad, su efecto consiste en cambiar la dirección de la velocidad si modificar la magnitud; resultando un



movimiento circular uniforme. Entonces, la aceleración de la partícula es centrípeta. De acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene

rvmqvBmaF c

2

===

de la cual se obtiene

qBmvr = . 8.3

Que da el radio del círculo descrito por la partícula llamado radio de Larmor, el cual es proporcional al momentum lineal de la partícula e inversamente proporcional a la magnitud del campo magnético.

mv

Figura 8.3

Reemplazando rv ω= en la ecuación 8.3, donde ω es la velocidad angular de la partícula, se tiene

Bmq

=ω 8.4

Donde, la velocidad angularω es independiente de la velocidad lineal v y sólo depende del cociente q/m y del campo B, y se conoce como la frecuencia de ciclotrón debido a que circulan partículas cargadas a esta frecuencia en un tipo de acelerador llamado ciclotrón. La ecuación 8.4 da el valor de ω pero no su dirección. Si se toma la segunda ley de Newton para este movimiento circular uniforme en su forma vectorial se tiene

)()( Bvqvm ×=×ω .

Invirtiendo el producto vectorial del lado derecho y dividiendo por m a ambos lados de esta última ecuación, se tiene que

))(( vBmqv ×−=×ω ,

lo que indica que

Bmq⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=ω 8.5



Esta última ecuación da la dirección y magnitud de ω . El signo negativo indica que ω es antiparalelo a B para una carga positiva y paralelo para una carga negativa. Entonces, la curvatura de la trayectoria de un ion en un campo magnético proporciona un medio para determinar el signo de la carga, si se conoce la dirección de su movimiento. En la figura 8.4 se muestran las trayectorias de varias partículas cargadas vistas con un dispositivo conocido como cámara de niebla, colocada en un campo magnético intenso. Se observa que las trayectorias se curvan hacia uno de los dos sentidos opuestos, indicando que algunas partículas son positivas y otras negativas.

SERWAY-BEICHNER quinta edición Física para científicos e ingenieros

(Patrice, CERN/SPL/Photo Researches.inc) Figura 8.4

Si la partícula cargada entra inicialmente formando un ángulo θ cualquiera con un campo magnético uniforme, el vector velocidad se puede separar en dos componentes una paralela y otra perpendicular al campo. La componente perpendicular hace que la partícula se mueva con movimiento circular uniforme alrededor del campo y la componente paralela que ella avance en la dirección del campo, dando como resultado una trayectoria helicoidal, como se muestra en la figura 8.5.

Figura 8.5

Ejemplo 4. Un deuterón de masa 3.34X10-27kg y carga 1.60x10-19C es enviada dentro de un campo magnético de 5.50x10-2T con una velocidad de 1.84x105 ms-1 a un ángulo de 65o de la dirección del campo. a) ¿Cuál es el radio de la trayectoria? b) ¿Cuál es el paso p de la trayectoria? La componente de la velocidad paralela al campo a lo largo del eje x de acuerdo a la figura 8.5 es

.65coscos oll vvv == θ



La componente de la velocidad perpendicular al campo es

.65ovsenvsenv ==⊥ θ

Esta proyección en el plano yz del movimiento del deuterón perpendicular al campo, es un círculo de radio de Larmor

mxrTxCxsenmsxkgx

qBmvr

o

2

219

1527

1033.6)1050.5)(106.1(

)65)(1084.1)(1034.3(

−

−−

−−⊥

=

==

La partícula se mueve a lo largo de x en la dirección del campo B con una rapidez constante vll. La distancia recorrida a lo largo del campo durante el tiempo de una rotación completa perpendicular al campo es el paso p como muestra en la figura 8.5. El tiempo para una rotación completa es el periodo T dado por

qBm

vrT ππ 22==

⊥

así, el paso p se convierte en

mTCx

kgms

qBmvTvp

o

oll

185.0)1050.5)(1060.1(

)1034.3)(2()65)(cos1084.1(

2)65cos(

219

2715

=×

××=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−−

−− π

π

El deuterón se mueve en el campo magnético a lo largo de una trayectoria helicoidal. El radio de la hélice es de 6.33cm, y su paso es de 18.5cm. El movimiento helicoidal de este tipo se observa rutinariamente para partículas subatómicas que se mueven en el campo de grandes imanes en detectores de partículas que se usan en la investigación de la física de partículas. Más allá del laboratorio, se encuentran partículas cargadas moviéndose en trayectorias helicoidales alrededor de la tierra, donde forman los cinturones de radiación de Van Allen. Cerca de los polos, estas partículas entran en colisiones con las moléculas de aire de la atmósfera superior para causar las auroras boreales en el hemisferio norte y las auroras australes en el hemisferio sur.

8.4 ALGUNAS APLICACIONES DE PARTICULAS CARGADAS EN UN CAMPO MAGNETICO HOMOGENEO.

A) Espectrómetro de masas. Un espectrómetro de masas es un dispositivo que separa iones de acuerdo a su relación carga masa. El dispositivo de la figura 8.6 debido a Dempster permite medir las masas de los iones que se producen en reposo en una



fuente S y que son acelerados mediante una diferencia de potencial entre dos ranuras SV∆ 1 y S2 por las que pasan los iones. El ion acelerado

entra por la ranura S2 a una región donde existe un campo magnético uniforme B . Dentro del campo el ion se mueve en un semicírculo de radio r, hasta chocar con una placa fotográfica a una distancia x de la rendija de entrada que el espectroscopista puede medir.

Figura 8.6

Para hallar la relación q/m se parte del hecho que el ion de masa m y carga q entra a la región donde existe un campo magnético B con una energía cinética adquirida cuando el ion pasa a través de una diferencia de potencial

. V∆

Vqmv ∆=2

21

así que la velocidad del ion es:

mVqv ∆

=2

reemplazándola en la ecuación 8.3 se obtiene

( )B

qVmqBmvxr

21

22

∆===

entonces

22

8xBV

mq ∆=

B) El ciclotrón. Como la trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético homogéneo es circular ha permitido el diseño de aparatos que operan de manera cíclica llamados aceleradores.



Un dispositivo que funciona con este principio es el ciclotrón, inventado por Ernest O. Lawrence (1901-1958) y M.S. Livingston (1905-1986). Un ciclotrón como el de la figura 8.7 consiste de una cavidad cilíndrica metálica dividida en dos recipientes semicirculares D1 y D2 (llamados “des”), colocados en un campo magnético uniforme paralelo a su eje. Las des están isladas eléctricamente entre sí, y en el centro del espacio entre las des se

tiene una fuente de iones P.

a

Figura 8.7

El sistema debe m tenerse a un alto vacío para evitar colisiones entre las partículas aceleradas y cualquier molécula de gas. Una diferencia de potencial alterno V∆ se aplica entre las des. Si los iones son positivos, se aceleran hacia la de negativa. Cuando los iones penetran en una de, no experimentan fuerza eléctrica, debido a que el campo eléctrico es cero en el interior de un conductor. Sin embargo, el campo magnético hace que el ion

una trayectoria circular, con un radio de Larmor dado por la ecuación 8.3

an

describa qBmvr = , y con velocidad angular dada por la ecuación 8.4,

mqB=ω . La diferencia de potencial entre las des está en resonancia con

el movimiento circular de los iones la cual oscila a una frecuencia πω 2 . Cada que los iones describen media revolución, la polaridad de las des se invierten haciendo que los iones cada vez que crucen la separación entre ellas, reciban una pequeña aceleración. Por lo tanto cada medio ciclo el radio aumenta para la misma velocidad angular. Este proceso se repite varias veces, hasta que el radio es aproximadamente el de las des. En este radio máximo R el campo disminuye drásticamente y así los iones adquieren n movimiento tangencial, lo que les permite salir del sistema a través de la

rejilla de salida con una velocidad máxima dada por

u

BRm ⎠⎝

maxq

⎜⎛v ⎟

⎞=

Por lo tanto, los iones salen con una energía cinética máxima

mk 22 maxRBqmvE 1 222

2 == 8.6

sérvese que, la energía cinética es independiente de la diferencia de

Obpotencial entre las des.



Ejemplo 5. En el ciclotrón que construyo Lawrence en 1939, las des tenían 60.0 pulgadas de diámetro. Se usaba una diferencia de potencial de 0.10 MV entre ellas, para producir un haz de núcleos de deuterio individualmente

nizados de 14.5MeV. ¿Qué campo magnético requería el ciclotrón?

determina cual

r de una de a otra. Al comparar este

a energía Emáx es la dada por la ecuación 8.6. Entonces, cuando Emáx=14.5MeV, el campo requerido es:

io¿Cuánto tiempo demoraba esa partícula en la maquina? El campo magnético controla el tamaño de la trayectoria circular de la partícula. Cuando su velocidad y energía son máximas, la trayectoria de la partícula es máxima y apenas cabe en las des. Esta restricción es la que

es el campo necesario. La partícula completa una revolución por cada periodo del ciclotrón, cruza dos veces el espacio entre des y gana

KeVVe 2002 =∆ de energía al pasavalor con la ganancia total de energía se puede calcular la cantidad de revoluciones, y con ella el tiempo. L

mEqR

Un núcleo de deuterio contien

B máx2=

e un neutrón y un protón, por lo que su masa s aproximadamente 2 veces la masa del protón con una carga +e.

Entonces:

e

[ ]

T0.1≈

pumpuCeVJeVkgB

)lg.1054.2lg)(0.30)(106.1()(106.1)(1045.1)(1066.1)(2(2

1219

21119727

×××××

= −−−

−−−

Cada vez que una partícula pasa de una a otra de gana KeVE 200=∆ . Para de energía cinética en escalones de 200KeVganar Emáx=14.5MeV , debe

pasar entre las des veceseVE

EN máx 73)1045.1(5

7=×=∆= . La eV )100.2( ×

partícula pasa la mitad de su periodo trónico en cada D, de modo que el tiempo total de aceleración es:

ciclo

.7.4)02.1)(106.1(

)1066.1)(2(7373

22173

2

19

27

sTC

kgqBm

TNttotal

µ

ππ

ωπ

=×

×==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

−

−

2∝Como )(BREmáx , para obtener más energía por partícula se necesita un

aparato mayor o un campo magnético mayor.



8.5 MOVIMIENTO DE PARTICULAS CARGADAS EN UN CAMPO

s dos campos actúan obre ella independientemente. La fuerza total por lo tanto es la suma de la

fuerza eléctrica y magnética por separado

ELECTROMAGNETICO. Cuando una partícula cargada se mueve en una región en donde existen simultáneamente campos eléctrico y magnético, los

, dada por

)( BvEqF ×+= 8.7

Conocida como la fuerza de Lorentz, en honor a H. A. Lorentz (1853-928), quien realizó numerosas contribuciones al conocimiento de los

ado por ==

1fenómenos electromagnéticos. Ejemplo 6. Una partícula de masa m y carga q se mueve en un campo electromagnético d + zzyyz uEuEEyuBB ˆˆˆ . Encuentre las

ecuaciones de movimiento. La posición de la partícula en x, y y z para cualquier tiempo si )0(0)0( 00 ====== rtryvtv .0

De acuerdo con la fuerza de Lorentz se tiene que

[ ]zzzyyxxzzyy uBuvuvuvuEuEqamF ˆ)ˆˆˆ(ˆˆ ×++++==

onde las ecuaciones de movimiento para cada una de las componentes

son:

bqExqBymayqBxm

y+−=

D

)()(=

)(cqEzm z=

a ecuación (c), que corresponde a la componente z del movimiento es uniformemente acelerada, y con las condiciones iniciales dadas es:

L

2

2 m Las ecuaciones para x e y están acopladas, para hallar x e y estas se desacopla . Para ello se de

1)( tqEtz z=

n riva respecto al tiempo la ecuación (a) que corresponde a la componente x y se sustituye en la ecuación (b) para eliminar , dando: y

)(22

dBEmqx

mqBx y⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Haciendo

mqE

aymqB y==ω



Se puede escribir (d) así:

)(22dt

2

eaxxd ω =+

sta ecuación tiene la misma forma que la de un oscilador armónico de

frecuencia angular

ω

Eω , dada por

ωω axXconX

dt 2

Xd−==+ ,02

2

Por lo tanto la solución en este caso es:

)()cos( ftωAax ϕ++=

D

xxω

onde x yA xϕ son constantes arbitrarias que han de determinarse.

liminando entre (a) y (b), se obtiene de modo análogo una solución para dada por

E xy

)()cos( gtAy yy ϕω +=

Integrando las ecuaciones (f) y (g) en el tiempo se obtiene:

)()(

)()(

itsenA

Cy

htsenAatCx

yy ω Para resolver completamente este problema se deben determinar seis constantes yxyxyx yCCAA

y

xx

x

ϕω

ϕωωω

++=

+++=

ϕϕ,,,, , y solo se dispone para ello de cuatro

valores iniciales, x0, y0, v0x y v0y. Por lo tanto se deben dar otras dos

ar ellos, se presenta un caso particular cuando esta

elocidad es constante, pues allí la fuerza neta de Lorentz sobre la partícula es cero:

condiciones para resolver completamente el problema en forma particular. Si los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre si y la partícula c rgada entra a esta región con una velocidad perpendicular al plano formado po

vv

EBv

BvEqF

−=×⇒

×+==

)(

)(0



Para determinar la velocidad v , se le aplica la propiedad vectorial cbabcacba )()()( ⋅−⋅=×× a la ecuación

BEvB

BEBvBvBB

EBBvB

×=

×=⋅−⋅

×−=××

2

)()(

)(

Así:

2BBEv ×

= 8.8

Cuya magnitud es

BE

B

BEv =

×= 2 8.9

Un dispositivo, que aplica este efecto y que se describe con la ecuación 8.9

ocidades. Como aplicaciones se tienen el e y el experimento de J.J Thompson para medir

as de brinbridge, un haz de iones pasa a través

se llama selector de velespectrómetro de brinbridgla razón e/m. A) Espectrómetro de masas En un espectrómetro de masde un selector de velocidades en donde coexisten los campos yE B perpendiculares entre si y que hacen que se cumpla la ecuación 8.9 com se muestra en la figura 8.8. Con la velocidad v

o

que el ion sale del selector de velocidades entra por una rendija A a una región donde existe un campo magnético homogéneo 0B

omo en la figura. Dentro del campo el ion se mueve en un semicírculo de radio r, hasta chocar con una placa fotográfica a una distancia x de la rendija de entrada.

c



Figura 8.8

se utiliza la ecuación 8.3, por lo tanto Para expresar la razón m/q

vxB

vrB

qm o

20 ==

Donde v esta dada por la ecuación 8.9, por consiguiente

EBxB

qm

20= 8.10

Entonces, m/q se puede determinar midiendo la distancia x y conociendo los campos E, B y B

e las masas de varios

m vando su desviación en un sistema combinado de campos eléctrico y

magnético. En la figura 8.9, se tiene una versión moderna del aparato usado por Thomson, de un filamento caliente se emiten electrones, los cuales son acelerados por una diferencia de potencial V. Los electrones entran a una región en la cual se mueven perpendicularmente a los campos

0. En la práctica, suelen medirsisótopos de un ion determinado para la misma carga q. B) Experimento de Thomson. En 1897, J. J. Thomson (1856-1940), trabajando en el laboratorio

vendish en Cambridge, midió la relación de la carga e a su masaCaobser

ByE ; los cuales son perpendiculares entre sí. El haz se hace visible en una pantalla fosforescente. El tubo en el cual los electrones se mueven está al vacío para que no haya choques con las moléculas de aire. El proce o por Thomson fue: a) Observar la posición de la mancha por el haz no desviado, cuando tanto

dimiento seguidE como B eran iguales a

cero. b) Aplicar un campo eléctrico fijo E midiendo sobre la pantalla fosforescente la desviación así producida. c) Aplicar un campo magnético B y ajustar su valor hasta restaurar la desviación del haz a cero.



Figur 8.9 a

En el capitulo 3 se había visto que la desviación y de un electrón en un campo puramente eléctrico, medido en el borde extremo de las placas desviadoras, está dado por

2

221

mveEaty ==

2t

como los electrones entran a la región de las placas deflectoras de longitud L con velocidad v, permanecen allí un tiempo t = L/v, entonces la desviación y es

22m

2

veELy =

y no se puede medir directamente, pero puede calcularse midiendo el movimiento que sufre la mancha sobre la pantalla si se conoce la geometría del aparato. Para calcular la relación e/m es necesario conocer v, que corresponde al paso c) que está dado por la ecuación 8.9. Poniendo esta ecuación en la de y y despejando la relación e/m se llega a

2)(2BL

yEme= 8.11

En la cual las cantidades que aparecen a la derecha de la ecuación 8.11 se pueden medir. Thomson midió v = 1.5x107m s-1 en su tubo, y su valor de e/m queda dentro de un margen del 4% respecto al valor moderno de

1111076.1 −× kgC . 8.6 LA FUERZA MAGNETICA SOBRE UN ALAMBRE DE CORRIENTE. Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento. Debido a que un campo magnético ejerce una fuerza lateral sobre una carga en movimiento, es de esperarse que ejerza una fuerza lateral sobre un alambre que lleva corriente. Esto es, se ejerce una fuerza lateral sobre los electrones de conducción en el conductor pero puesto que los electrones no pueden escapar lateralmente, la fuerza debe trasmitirse al conductor mismo. Esto puede mostrarse alambre de orriente flexible entre los polos de un imán, como en la figura 8.10. En esta figura se

o. ce vertical.

poniendo un c

muestra uno de los polos a donde el campo magnético está entrandCuando la corriente en el alambre es cero, el alambre permane



Sin embargo, cuando en el alambre del centro la corriente fluye hacia arriba, el alambre se desvía hacia la izquierda; caso contrario le ocurre al alambre de la dere ha. c

Figura 8.10

a desviación también se invierte cuando el campo

BL se invierte.

sePara entender esto se toma un pedazo de alambre recto de longitud L y

cción transversal A, que conduce una corriente i en presencia de un campo magnético B uniforme como en la figura 8.11.

Figura 8.11

da por los electrones libres, siendo La corriente i en un metal es transportaη el número de estos electrones por unidad de volumen del alambre. La fuerza media que obra sobre uno de estos

cidad de arrastre electrones que se mueve con una

velo dv , está dada por

BveF dB ×−=′

Sobre cada electrón en el segmento de alambre actúa la misma fuerza, y por lo tan uerza total to la f F sobre el segmento es igual al número N de

s que multiplica a la fuerza sobre cada electrón: electrone

B

FNF BvNe d−=′= × 8.12

El número de electrones en el segmento de alambre es ALN η= . Al sustituir en la ecuación 8.12, se obtiene

ALF Bvd−= η × 8.13



Para mantener la relación vectorial de la ecuación 8.13, se toma como vector a L (igual en magnitud a la longitud del segmento) en la dirección e la co nte i. La dirección real del movimiento de los electrones, es

opuest la dirección que se coectores

d rriea a nsidera para la corriente. Por lo tanto los

v dvyL son vectores antiparalelos. Usando la definición de

dvAei η= del capitulo 7, se escribe la siguiente relación vectorial como

dvALeLi η−= 8.14

Si se sustituye la ecuación 8.14 en 8.13, se obtiene la expresión para la fuerza sobre el segmento recto como:

BLiF ×= 8.15

Si el segmento es perpendicular a la dirección del campo, la magnitud de la fuerza es

8.16 Ejemplo 7. Un conductor suspendido por dos alambres flexibles, como se

soportan sea cero? ¿Cuál es la dirección de la corriente en l alambre?

iLBF =

muestra en la figura 8.12 a) tiene una masa por unidad de longitud de 0.040kg.m-1 y el campo magnético es de 3.6T. ¿Qué corriente debe pasar por el conductor para que la tensión en los alambres que lo e

Figura 8.12

Para que la tensión en los alambres sea cero, la fuerza magnética sobre el alambre debe equilibrar a la fuerza gravitacional sobre este, y por lo tanto la corriente sobre el alambre debe ir hacia la derecha como se nuestra en la gura 8.12 b). fi

Relación que se escribe vectorialmente como

gmBLI =×

Como L y B son perpendiculares entonces en magnitud

mgILB =

Entonces



ATsm

mkgB

g

Lm

I 109.06.3.8.9

.04.02

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

La ecuación 8.15 es aplicable únicamente a un trozo recto de alambre recto en un campo magnético B . En general se tiene que tratar con alambres conductores que no son rectos, y con campos magnéticos que no son uniformes. Para encontrar una expresión válida en estos casos, se aplica la ecuación 8.15 a un de longitud infinitesimal dL de un conductor por el que pasa una niente definir un elemento de orriente infinitesimal como el producto de la corriente I por el vector

elemento corriente I. Es conve LIdc

desplazamiento Ld cuya dirección viene dada por el sentido de la corriente en dicho elemento como en la figura 8.13.

Figura 8.13

El trozo de alambre que contiene al elemento de corriente infinitesimal puede ser considerado recto, y también pu Bede considerarse que no varía preciablemente a lo largo de la longitud dL. Aplicando la ecuación 8.15, la

fuerza magnética sobre el elemento de corriente es: a

FdBLIdFd ×= 8.17

La dirección de esta fuerza se muestra en la figura 8.13, y su modulo depende del ángulo que formen Ld y B . La fuerza total sobre toda la longitud del alambre es

∫ × BLd= IF 8.18

dey n

como se muestra en la figura 8.14. Determinar la fuerza agnética sobre esta parte del conductor.

Ejemplo 8. Un conductor semicircular radio R transporta una corriente I,

está contenido e un plano perpendicular a un campo magnético uniforme, m



Figura 8.14

Un segmento de alambre de longitud Ld en el arco experimenta una fuerza

. Como y Fd Ld B son perpendiculares la magnitud del diferencial de fuerza es:

)( θRdIBIBdLdF == y cuya dirección es radial hacia O que es el centro del semicírculo. Por lo tanto la fuerza en sus componentes x e y, está dada por

θθθ dusenuIBRudFudFFd yxyyxx )ˆˆ(cosˆˆ −=−= .

Integrando sobre todo el semicírculo, que corresponde a una variación de θ de πa0 , se obtiene

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= ∫ ∫

π πθθθθ

0 0ˆˆcos yx udsenudIBRF

[ ]

[ ]

y

x

uIBRF

usensenIBR

ˆ2

ˆ)0(

−=

+−=

+ yx uusenIBRF ˆ)cos(ˆ)(00

=

yu)0cos(cos −π π

ππ

Nótese que esta fuerza es la misma que obra sobre un alambre recto de longitud 2R. En forma general para un alambre curvo que se encuentra en un campo magnético uniforme

θθ

B como el de la figura 8.15. La fuerza magnética sobre él es equivalente a la fuerza sobre un segmento recto de longitud L´ que va entre los extremos a y b. En la ecuación 8.18 se puede sacar B de la integral, y obtenerse

BLdIFb

a×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= ∫ 8.19



Figura 8.15

El alambre curvo se reemplaza por una serie de “escalones” paralelos y perpendiculares a la línea recta que va de a a b. La integral entre a y b que representa la suma vectorial de todos los elementos de desplazamiento

es igual al vector Ld L′ , que est a a b. Por lo tanto, la ecuación 8.19 se reduce a

á dirigido de

BLIF ×′= 8.20

Si el alambre forma una espira de corriente que se encuentra en un campo magnético uniforme B como la figura 8.16. La fuerza magnética total sobre

s vectores de esplazamiento debe hacerse sobre una trayectoria cerrada.

la espira es cero. En este caso, la suma vectorial de lod

( ) BLdIF ×= ∫

Figura 8.16

Entonces para la situación mostrada en la figura se tiene que

BLdLdIBLdIFb

a

a

b×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=×= ∫ ∫ ∫)(

de acuerdo con 8.19 y 8.20, la anterior ecuación se reduce a



( ) BLLIF ×′′+′=

Como LL ′′−=′ entonces

0)( =×′−′= BLLIF

8.7 MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA DE CORRIENTE. La figura 8.17 muestra una espira de corriente rectangular de alambre de longitud a y ancho b colocada en un campo magnético uniforme B , con sus lados 1 y 3 normales a la dirección del campo. La normal al plano de la espira forma un ángulo θ con la dirección de B .

Figura 8.17

La fuerza neta sobre la espira es la resultante sobre los cuatro lados de ella. En este caso, las fuerzas magnéticas 42 FyF sobre los lados de longitud a e cancelan entre si, y no producen torque debido a que tienen la misma nea de acción (Figura 8.17 a) ). Las fuerzas

slí 31 FyF tienen una magnitud

común de ibB. Estas fuerzas, se aantiparalelas, pero forman un par y, en consecuencia, producen un torque

nulan entre si por ser iguales y

en torno de cualquier punto. En la figura 8.17 b), se nota que el brazo de palanca de cualquiera de estas dos fuerzas en torno del punto O es igual a

θsena )2( . Por lo tanto el torque neto alrededor de O tiene la magnitud

+= θθτ nasenaF21 seF

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= θθ senaIbBsenaIbB

22

θθ IABsenIabBsen == 8.21 τ



lineación conDonde A =ab es el área de la espira. La dirección de rotación de la espira tiende a llevar a n en a B . Esto es, en la situación que se

ángulomuestra en la figura 8.17, la espira gira en el sentido de las manecillas del reloj, reduciéndose por lo tanto el θ . Si se invierte la corriente la orriente en la tendrá la dirección opuesta, y la espira girará

nuevamente a través espira, nc

del ángulo )( θπ − necesario para lleva a n al

Balineamiento con .

ómetro), el torque total para una bobina será:

La ecuación 8.21 da el torque de una sola espira en el campo. Si se tiene una bobina de N vueltas ( tal como se puede encontrar en un motor o en un galvan

θτ NIABsen= 8.22 La ecuación 8.22 se cumple, por lo general, para toda espira plana de área A, sea o no rectangular. Una expresión para el torque que está de acuerdo con la ecuación 8.22 es una expresión vectorial dada por:

B×= µτ 8.23 Donde ANI=µ se define como el momento dipolar magnético de la espira,

con A , un vector perpendicular al plano de la espira. El sentido de A está determinado por la regla de la m como se muestra en la figura 8.18.

ano derecha

Figura 8.18

Al rotar los cuatro dedos de la mano derecha en la dirección de la corriente alrededor de la espira, el dedo pulgar apunta en la dirección de A y por

ANIconsiguiente en la del momento dipolar magnético =µ .

más gene del torque ejercido sobre cualquier espira plana de corriente entro de un campo magnético uniforme

Aunque no se ha demostrado en general, la ecuación 8.23 da la descripción ral

Bd ; se cumple cualquiera que sea la forma de la espira (bobina) o el ángulo entre su plano y el campo.



Observen que el resultado dado por la ecuación 8.23 es análogo al torque que actúa sobre un dipolo eléctrico en presencia de un campo eléctrico E , con Ep×=τ donde p es el momento de dipolo eléctrico. Continuando con la analogía entre los campos eléctrico y magnético, se puede considerar que, el trabajo que debe realizarse para cambiar la orientación de un dipolo magnético en presencia de un campo magnético uniforme está dada por la ecuación de energía potencial:

BU ⋅−= µ 8.24

La cual es similar a la expresión correspondiente par un dipolo eléctrico, EpU ⋅−= .

Ejemplo 9. El galvanómetro de bobina móvil. Las características de este galvanómetro se esquematizan en la figura 8.19.

Figura 8.19

aproximadaangu

Un imán permanente y un núcleo de hierro dulce hacen que el campo magnético tenga un valor mente constante entre los polos y el núcleo. En este espacio hay una bobina rect lar cuyos hilos metálicos son siempre perpendiculares al campo radial, de forma que el ángulo efectivo entre A y B es 2π siempre . La bobina puede girar sobre un eje ue pasa por su centro, y está unida a una aguja que señala sobre una

escala grad corriente. Un resorte helicoidal ejerce sobre la bobina un torque restaurador proporcional al desplazamiento angular

quada en

φ desde la posición e equilibrio correspondiente a corriente cero (donde la aguja marca el cero). El valor del torque restaurador rτ depende de la constante

de torsión κ del resorte: κφτ =r . Demost ue cuando circula una orriente I ómetro, ésta alcanza la posición de

equilibrio rotacional pa iento angular

rar qc por la bobina del galvan

ra un desplazam φ que es directamente proporcional a la corriente I.

Cuando pasa una corriente I por la bobina, el torque sobre la bobina en magnitud, está dado por

θτ NIABsen=equilibrio sin corriente (

. Debido a este torque la bobina gira desde su posición de )0=φ a una nueva posición de



equilibrio en la que el torque magnético se contrarreste con el torque restaurador del resorte:

κφθ =NIABsen

La normal al plano de la espira (esto es, la aguja) forma siempre un ángulo recto con el campo magnético (radial) de modo que 2πθ = para todas las posiciones de la aguja. Entonces

κφ=NIAB

Por lo tanto

φκNAB

I =

Por lo que la corriente que pasa por el galvanómetro es directamente proporcional a la desviación de la aguja de medida. Ejemplo 10. Una espira rectangular consta de N vueltas enrolladas muy próximas entre sí y tiene dimensiones a y b. La espira se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo θ con el eje x según figura 8.20. ¿Cuál es la magnitud del torque ejercido sobre la espira por un campo magnético uniforme B dirigido a lo largo del eje x cuando la corriente es I en la dirección indicada? ¿Cuál es la rotación de la espira?

Figura 8.20

De la figura 8.20 b) vista desde la parte superior se tiene que

xuBB ˆ= y uusen ˆcosˆ zx θµθµµ −= con NIab=µ .

La dirección de µ se obtuvo utilizando la regla de la mano derecha sobre la espira.


Apuntes de electricidad y magnetismo Unidad. 8: Magnetismo


191

El torque producido por el campo B sobre la espira de acuerdo con la ecuación 8.23 es:

y

y

zyx

uNIabB

uBB

senuuu

B

ˆcos

ˆcos00cos0ˆˆˆ

θτ

θµθµθµµτ

−=

−=−=×=

Resultado que está de acuerdo con la regla de la mano derecha.

unidad 8 campo magnetico y fuerza magnetica · campo magnetico y fuerza magnetica 8.1 introduccion....

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