Une introduction à la théorie KAM

Application au système solaire ?

Philippe Robutel IMCCE-CNRS-Observatoire de Paris

Kolmogorov énonce un théorème portant sur la stabilité des systèmes hamiltoniens presque intégrables

1954 :

Moser puis Arnold en démontrent deux versions1962, 1964 :

Une conséquence : “il est bien possible que le système solaire soit quasi-périodique”

Et donc que les orbites des planètes soient stables

Plantons le décor

Kolmogorov énonce un théorème portant sur la stabilité des systèmes hamiltoniens presque intégrables

1954 :

Moser puis Arnold en démontrent deux versions1962, 1964 :

Une conséquence : “il est bien possible que le système solaire soit quasi-périodique”

Et donc que les orbites des planètes soient stables

Plantons le décor

Kepler (1571-1630) : mouvements périodiques

a, e, I,!,⌦ constants

Gravitation : Soleil + 1 planète : 2 corps --> Mouvement keplerien : stable

Interactions gravitationnelles entre les planètes (et les comètes) : les perturbations s’accumulent et peuvent détruire le système !

Newton (1643-1727)

Soleil + n planète :

2 questions scientifiques fondamentales du XVIII :

- La loi de Newton régit elle bien le mouvement des planètes ?

- La stabilité du système solaire est elle garantie malgré les interactions entre les planète ?

a, e, I,!,⌦ ne sont plus constants

Perturbation planétaires :

Les éléments elliptiques des planètes sontanimés de mouvements :

- à courtes périodes (périodes orbitales des planètes : ordre de l’année)

- séculaires : longues périodes (siècle) ou non périodiques (termes polynomiaux en t) ex : précession des orbites

Un problème fondamental : les inégalités dans le mouvement de Jupiter et de Saturne

Kepler décrivait en 1625 qu'ayant examiné les observations de Régiomontanus et de Waltherus, faites vers 1460 et 1500, il avait trouvé constamment les lieux de Jupiter & de Saturne plus ou moins avancés qu'ils ne devaient l'être selon les moyens mouvements déterminés par les anciennes observations de Ptolémée & celles de Tycho faites vers 1600.

De la Lande "Abrégé d'Astronomie" (1774)

Jupiter s’approchait du Soleil (diminution de son demi-grand axe) alors que Saturne s’en éloignait

Evolution séculaires des demi-grands axes ?

Travaux d’Euler (1748, 1752) et de Lagrange (1766) : calculs incorrectes mais novateurs sur les équations différentielles

Laplace montrera plus tard que ces “inégalités” dans les mouvements de Jupiter et Saturne sont dues à des combinaisons de termes périodiques :

2nJ � 5nS T ⇡ 900 ans

En 1773 Laplace montre que :Les demi-grands axes des planètes n’ont pas de variation séculaire

(par un calcul des variations moyennes)

Mouvement des inclinaisons et des noeuds :Lagrange (1774 ----1778)

0

B@y1...y6

1

CA =

0

B@a1,1 · · · a1,6... · · ·

...a6,1 · · · a6,6

1

CA

0

B@y1...y6

1

CA

yj = tan Ij exp(i⌦)

yj =6X

p=1

�p,j exp(ispt)

Evolution Q.P. des noeuds et inclinaisons

Développements au plus bas degré

Mouvement des excentricités et des périhélies :Laplace (1775)

Application de la méthode de Lagrange

Evolution Q.P. des excentricités et périhélies

xj = ej exp(i!)

0

B@x1...x6

1

CA =

0

B@b1,1 · · · b1,6... · · ·

...b6,1 · · · b6,6

1

CA

0

B@x1...x6

1

CA

xj =

6X

p=1

�p,j exp(igpt)

Théorème de stabilité de Lagrange-Laplace

Les demis-grands axes n’ont que des variations à coutes périodes. Ils sont bornés

Les excentricités et inclinaisons ont des variations quasi-périodiques. elles sont bornées

Pas d’intersections possible des orbites planétaires : stabilité perpétuelle

Le Verrier (1840, 1841) soulève le problème des petits diviseurs dans la construction du système

séculaire des planètes intérieures

Ces termes acquièrent par l'intégration de très petits diviseurs ; et ainsi il en résulte, dans les intégrales, des termes dus à seconde approximation, et dont les coefficients surpassent ceux de la première approximation. Si l'on pouvait répondre de la valeur absolue de ces petits diviseurs, la conclusion serait simple : la méthode des approximations successives devrait être rejetée

- Conclut que : les séries de perturbations utilisées par les astronomes pour représenter le

mouvement des planètes ne peuvent converger sur un ensemble ouvert de conditions initiales.

- Mais, ces méthodes peuvent fournir une très bonne approximation des mouvements sur un

temps fini.

Entre autres choses ...

Poincaré (1854-1912)

Les termes de ces séries, en effet, décroissent d'abord très rapidement et se mettent ensuite à croitre ; mais, comme les astronomes s' arrêtent aux premiers ternes de la série et bien avant que ces termes aient cessé de décroître, l'approximation est suffisante pour les besoins de la pratique. La divergence de ces développements n'aurait d' inconvénients que si l'on voulait s'en servir pour établir rigoureusement certains résultats, par exemple la stabilité du système solaire.

n

L’ecart entre la solution “exacte”S la nieme approximationSn evolue comme :

Rn = S � Sn = O ("nn!)

Rn �! 1,mais est minimum pour n = "�1

R"�1 = O⇣"�1/2e�1/"

⌘

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 50 100 150 200 250 300

log

10(R

n)

" =1

100

Liste des ingrédients

Petites perturbations

Approximation successives

Petits diviseurs

divergence des séries

Un modèle réduit de la théorie des perturbations

f0 :R/Z⇥ R �! R/Z⇥ R(x, y) 7�! (x+ ↵, y)

courbe invariante (x, y) = (✓, y0)

La dynamique sur le cylindre est donnee par les iterations de f0

f

n0 (x, y) = (x+ n↵, y)

dynamique ✓ 7�! ✓ + ↵. Translation de vecteur ↵

Si ↵ 2 RrQ : Les trajectoires sont denses sur les cercles

Si ↵ 2 Q : Nombre fini de points sur les cercles : periodicite

Système dynamique très simple : itérations d’une application sur le cylindre

Application non-perturbée : rotation sur le cylindre

f" :R/Z⇥ R �! R/Z⇥ R(x, y) 7�! (x+ ↵, y + "u(x))

Perturbation de l’application :

u : R/Z �! R ”reguliere” et " un petit parametre

courbe invariante (x, y) = (✓, y0)

dynamique ✓ 7�! ✓ + ↵. Translation de vecteur ↵

courbe invariante (✓, y0 + "v(✓))

dynamique ✓ 7�! ✓ + ↵

v existe t’elle et a quels conditions ?

f

n" (x, y) = (x+ n↵, y + "

n�1X

p=0

u(x+ p↵)) "

n�1X

p=0

u(x+ p↵) bormee ?

(✓, y0 + "v(✓)) courbe invariante

f"(✓, y0 + "v(✓)) = (✓ + ↵, y0 + "v(✓) + "u(✓)) = (✓ + ↵, y0 + "v(✓ + ↵))

u(✓) = v(✓ + ↵)� v(✓) équation aux différences

Développement en séries de Fourier

Si u(✓) =X

k2Zuke

2i⇡k✓ et v(✓) =X

k2Zvke

2i⇡k✓

8k 2 Z :�e2i⇡k↵ � 1

�vk = uk

Donc, si u est de moyenne nulle et si ↵ est irrationnel

v(✓) = v0 +X

k2Z⇤

uk e2i⇡k✓

e2i⇡k↵ � 1

Moyenne nulle

si k = 0 : u0 = 0 et v0 arbitraire

u0 =

Z 1

0u(✓)d✓ = 0

Convergence de la série ?

si k 6= 0 : e2i⇡k↵ 6= 1 et vk =uk

e2i⇡k↵ � 1

e2i⇡k↵ 6= 18k 2 Z () ↵ 2 R \Q

Petits diviseurs

e2i⇡k↵ � 1

Si ↵ 2 RrQ : e2i⇡k↵ � 1 6= 0 mais aussi petit que l’on veut

9C > 0 9 r � 2 tels que 8 p/q 2 Q (q > 0), on a |↵� p/q| > C/qr

|e2i⇡k↵ � 1| > 4C/|k|r�1

Si ↵ est un nombre diophantien

Existe t’il des nombre diophantiens ?

8 p/q 2 Q on a : |'� p/q| > 1/(p5q2)

Le nombre d’or ' = (1 +

p5)/2 est diophantien

L’ensemble des nombre diophantiens est de mesure (de Lebesgue) pleine dans l’ensemble des réels

Pour tout ↵ irrationnel , il existe une infinite de nombres rationnels

p/q (q > 0) tels que |↵� p/q| < 1/q2

La vitesse de decroissance depend de la regularite de u

Si u est indefiniment derivable : decroissance rapide

|vk| < C 0p|k|r�p�1

X

k2Z⇤

uk e2i⇡k✓

e2i⇡k↵ � 1

converge pour p assez grand

8 p 2 N, 9Cp > 0 tel que |uk| < Cp|k|�p

Si u est analytique sur la bande |=(✓)| < � |uk| < Ce�|k|�

|vk| < C 0|k|r�1e�|k|�

|e2i⇡k↵ � 1| > 4C/|k|r�1Si ↵ est un nombre diophantien

|vk| < |uk||k|r�1/(4C) Si les uk decroissent su�semment vite, la serie converge

Remarques

↵ diophantien et decroissance assez rapide des uk

par tout point (x0, y0) passe une courbe invariante : (x, y0+"v(x)) independamment de "

Ces courbes se deduisent les unes des autres par translation verticale

La dynamique est identique sur chaque courbe : ✓ 7�! ✓ + ↵

Ce n’est pas un cas perturbatif car l’équation

u(✓) = v(✓ + ↵)� v(✓)

est linéaire

Un exemple moins simple

Mais la dynamique depend du cercle : orbites denses ou discretes

Si " = 0 : les cercles y = ↵ sont des courbes invariantes

u(✓ + "w(✓)) = w(✓ + 2↵)� 2w(✓ + ↵) + w(✓)

v(✓) = w(✓ + ↵)� w(✓)

Dynamique : ✓ 7�! ✓ + ↵

Si " 6= 0 on cherche des courbes invariantes (x, y) = (✓ + "w(✓),↵+ ✏v(✓))

↵, v, w?

g" :R/Z⇥ R �! R/Z⇥ R(x, y) 7�! (x+ y, y + "u(x))

u(✓ + "w(✓)) = w(✓ + 2↵)� 2w(✓ + ↵) + w(✓)

u(n)(✓) = w(n)(✓ + 2↵)� 2w(n)(✓ + ↵) + w(n)(✓)

Resolution iterative de l’equation avec un noyau de la forme

w = w(0) + · · ·+ w(n) + · · ·

équation aux différences : diviseurs�e2i⇡k↵ � 1

�2

Fonctions implicites dans un espace fonctionnel

Si ↵ est diophantien, 9 "⇤ : 8 " < "⇤, la methode converge

(x, y) = (✓ + "w(✓),↵+ ✏v(✓))

(x, y) 7�! (y cosx, y sinx)

9 "⇤ : 8 " < "⇤, certaines courbes invariantes par g0 (cercles) sont detruites

maisd’autres sont seulement legerement deformees en courbes invariantes pas g"

Systèmes hamiltoniens

Le systeme di↵erentiel sur R2n : r = F(r) ssi

si on pose r = (q1, · · · , qn, p1, · · · , pn)

9 H(q1, · · · , qn, p1, · · · , pn) tel que :

8>>><

>>>:

qj =@H

@pj

pj = � @H

@qj

q = r, p = r

r 2 Rn et S 2 S+n (R) : Sr = �rrU(r)

H =1

2p · Sp+ U(q)

H =nX

i=1

||pi||2

2mi�

X

1i<jn

Gmimj

||ri � rj ||ri 2 R3, pi = miri

Problème des n corps :

Fréquence du mouvement

Oscillateur harmonique

x = �↵

2x

q = x, p = x : H(q, p) =p2 + ↵2q2

2

(✓, I) �! (q, p) = (

p2↵I sin ✓,

p2↵�1I cos ✓)

est canonique (preserve de formalisme hamiltonien) : dq ^ dp = d✓ ^ dI

✓ =@H

@I= ↵, I = �@H

@✓= 0H(q, p) = H 0(✓, I) = ↵I

Solutions : (✓(t), I(t)) = (✓0 + ↵t, I0)

Si t = 1, on retrouve l’application f0

Pendule

x = �↵

2 sinx avec ↵

2 = g/l

Solutions : (✓(t), I(t)) = (✓0 + It, I0)Fréquence du mouvement

✓ =@H

@I= I, I = �@H

@✓= 0Si ↵ = 0

Si t = 1, on retrouve l’application g0

Si 0 6= ↵ << 1 : perturbation

H(✓, I) =I212

+I222

Si 9 k 2 Z2 \ (0, 0) : k ·⌦ = 0 ⌦ est resonant : orbite periodique sur T2

Sinon ⌦ est non-resonant : orbite dense sur T2

Solutions : (✓(t), I(t)) = (✓01 + I01 t, ✓02 + I02 t, I

01 , I

02 ) = (✓0 + It, I0)

vecteur fréquence ⌦ = (I1, I2)

(✓1, ✓2, I1, I2) 2 T2 ⇥ R2

T = R/(2⇡Z)

H(✓, I) =I212

+I222

+ "h(✓1, ✓2, I1, I2)

I 0j = �@H 0

@✓0j(✓0, I 0) = 0 ✓0j =

@H 0

@✓0j(✓0, I 0) = I 0j + "

@h

@✓0j(I 0)

h(I1, I2) = (2⇡)�2

Z 2⇡

0

Z 2⇡

0h(✓1, ✓2, I1, I2)d✓1d✓2

H 0(✓0, I 0) =I 0212

+I 0222

+ "h(I 01, I02)

✓j = ✓0j + "@W

@I 0j(✓0, I 0) +O("2)

Ij = I 0j � "@W

@✓0j(✓0, I 0) +O("2)

Flot au temps 1 du systeme hamiltonien d’hamiltonien "W

H(✓, I) =I212

+I222

+ "h(✓1, ✓2, I1, I2)

H 0(✓0, I 0) =I 0212

+I 0222

+ "h(I 01, I02)

✓j = ✓0j + "@W

@I 0j(✓0, I 0) +O("2)

Ij = I 0j � "@W

@✓0j(✓0, I 0) +O("2)

Flot au temps 1 du systeme hamiltonien d’hamiltonien "W

+"2R(W,H)

W = iX

k2Z2\(0,0)

hk(I)

k ·⌦ eik·✓

⌦ · @W@✓0

= I 01@W

@✓01+ I 02

@W

@✓02= h� h

⌦ vecteur frequence diophantien : |k ·⌦| > C

|k|r =

C

(|k1|+ |k2|)ret r > 2

La mesure du complementaire des vecteurs diophantiens dans R2est nulle

diviseurs ... pas trop petits

H 0(✓0, I 0) =I 0212

+I 0222

+ "h(I 01, I02) +"2R(W,H)

On itere la transformation jusqu’a l’ 1

Competition entre la decroissance des "2n

et l’accumulation des petits diviseurs

Ces questions sont au coeur des theories KAM.

sur Tn ⇥ RnH(✓, I, ") = H0(I) + "H1(✓, I, ")

- regularite de H1

- l’application frequence est non-degeneree : I 7�! rH0(I) : est un di↵eo.

Un énoncé de type KAM

Pour une perturbation assez petite, la majeure partie des tores invariants non-

resonants du systeme non-perturbe subsistent en etant faiblement deformes.

Le flot du systeme est lineaire sur ces tores.

La mesure du complementaire de la reunion des tores invariants du probleme

perturbe tend vers zero (quand ") tend vers zero)

En dim. sup. possibilite de di↵usion

Tores T2qui separent l’espace (dim. 4 + integrale premiere = R3

)

Theoreme de Nekhoroshev (1977) :

|I(t)� I(0)| < "b pour 0 t < "�1exp("�a

) a, b > 0

Ij = I0j + "fj( 1, · · · , n)

✓j = j + "gj( 1, · · · , n)

j = !j

KAM et le système solaire

Le problème de Kepler est dégénéré : les résultat précédents ne sont pas applicables

Généralisation d’Arnold aux systèmes dégénérés (1963)

Arnold 1963 : application à 2 planètes dans le plan (+ Soleil) énoncé à n planètes dans l’espace (sans démonstration)

Robutel 1995 : application à 2 planètes dans l’espace (+ Soleil) énoncé à n planètes dans l’espace sans démonstration

Féjoz, Herman 2004 : application à n planètes dans l’espace (+ Soleil)

Chierchia, Pinzari 2010 : application à n planètes dans l’espace (+ Soleil)

Enoncés du type :pour des masses planétaires, des excentricités et des inclinaisons assez petites,la plupart des trajectoires sont quasi-périodiques (stables sur des temps infinis).

Le “assez petites” ne correspond à aucun système planétaire raisonnable !

Simulations numériques (Laskar, Robutel, Guzzo, ...) : - Le mouvement de Jupiter et Sature (dans le problème des 3 corps) est

indiscernable d’un mouvement quasi-périodique (comme dans KAM)- L’instabilité est quasiment indétectable dans le système (Soleil, Jupiter, Uranus,

Neptune)

Mais, le système solaire intérieur (planètes telluriques) est instable !- Laskar (1989) : l’orientation des planètes telluriques est perdue en 100 Ma- Laskar, Gastineau (2009) : collision possible entre Venus et Mercure (5 Ga)

Quelques références bibliographiques

Ghys, Résonances et petits diviseurs (www.umpa.ens-lyon.fr/~ghys/articles/kolmogorov.pdf)

Laskar, 1992, La stabilité du système solaire, in Chaos et Déterminisme, A. Dahan et al, eds

Seuil, Paris

Laskar, 2012, Is the Solar System stable ? (http://arxiv.org/pdf/1209.5996v1)

(http://www.oca.eu/morby/celmech.pdf)

Morbidelli, 2002, Modern celestial mechanics. Taylor \& Francis, London.