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  • PHYS-F-440

    Thorie Quantique des Champs

    PHYS-F-478

    Thorie quantique des champs : Complments

    Glenn Barnich

    Physique Thorique et MathmatiqueUniversit Libre de Bruxelles

    andInternational Solvay Institutes

    Campus Plaine C.P. 231, B-1050 Bruxelles, BelgiqueBureau 2.O6. 217, E-mail : gbarnich@ulb.ac.be, Tel : 02 650 58 01.

    Le but du cours PHYS-F-440 est de donner une introduction aux techniques modernes de lathorie quantique des champs. Plus prcisment, une partie du cours est ddie aux divergenceset corrections radiatives qui surviennent lors du calcul perturbatif de la matrice de diffusion.Lautre partie est consacre au traitement des champs invariance de jauge.Le cours est centr sur lintgrale de chemins et laction effective : dun ct, il est montrcomment reconstruire les lments de la matrice de diffusion partir de laction effective,dun autre ct laction effective est utilise pour prouver la renormalisabilit une boucle desthories du champs scalaire en interaction et des thories de Yang-Mills, y compris lectro etchromodynamique quantique. Finalement, les fonctions de ces thories sont calcules et leurcomportement asymptotique est discut.

    Le cours PHYS-F-478 traite de chapitres plus avancs de la thorie quantique des champs. Plusprcisment, la rgularisation par la fonction zta est utilise pour paramtriser de manireuniforme les divergences une boucle du champ scalaire en diverses dimensions. Ensuite, elleest utilise pour driver la fonction de partition dun champ scalaire libre sans masse et aussi lerayonnement du corps noir, dont la drivation par quantification canonique est galement revue.Le dernier chapitre constitute une introduction aux anomalies chirales.

    Ces notes de cours en prparation suivent de trs prs certains chapitres des rfrences citesen annexe. Ltudiant intress est encourag consulter ces ouvrages pour plus de dtails.

    Pr-requis utile : Quantification canonique des champs, PHYS-F-302 Mcanique quantique.

    Directeur de recherches du Fonds de la Recherche Scientifique-FNRS

  • 2

  • Table des matires

    1 Intgrales de chemin 71.1 Prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.1.1 volution dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Image de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Image de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Image de Dirac ou dinteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Quantification canonique du champ scalaire rel libre . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6 Matrice S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2 Formule Hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Oprateur dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Elments de matrices doprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Equations de Schwinger-Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.2.4.1 Rtablir ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4.2 Intgrale de chemin pour le symbole p-q . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4.3 Intgrale de chemin dans la reprsentation de limpulsion . . . . . . . 171.2.4.4 Fonction de partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4.5 Equations de Schwinger-Dyson en dtails . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.3 Passage la matrice S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Thorie des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Reprsentation de lamplitude in-out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Reprsentation de lamplitude vide-vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.4 Sources externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.5 Reprsentation des fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.3.6.1 Intgration gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.6.2 Intgrales de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.6.3 Thorme de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1.4 Formule Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.1 Transforme de Legrendre en mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.2 Intgration sur les moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.4.3.1 Fonction de partition bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Rgles de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.5.1 Thorme de Wick et dveloppement perturbatif . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.2 Propagateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.3 Rgles de Feynman pour le champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3

  • 4 TABLE DES MATIRES

    1.5.4.1 Propagateur du champ vectoriel massif . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6 Reprsentation holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1.6.1 Etats cohrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6.2 Noyau et symbole normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.3 Oprateur dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6.4 Fonction de partition pour loscillateur harmonique libre . . . . . . . . . . . . . 381.6.5 Formules de rduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    1.7 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.7.1 Variables de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.7.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    1.7.2.1 Intgration gaussienne fermionique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7.2.2 Thorme de Wick fermionique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7.2.3 Fonction de partition pour un oscillateur fermionique . . . . . . . . . 46

    1.7.3 Oprateur dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7.4 Propagateur fermionique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    1.8 Symtries et identits de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.8.1 Transformations finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.8.2 Transformations infinitsimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.8.3 Thorme de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.8.4 Identits de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    1.8.4.1 Transformations finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.8.4.2 Transformations infinitsimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.8.4.3 Equations de mouvement pour les fonctions de Green . . . . . . . . . 531.8.4.4 Version locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2 Mthodes fonctionnelles 552.1 Fonctionnelle gnratrice des fonctions de Green connexes . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    2.1.1 Fonctionnelle normalise et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.1.2 Fonctions de Green connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.1.3 Champ classique et inversibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2.2 Action effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.1 Transforme de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.2 Diagrammes connexes et relations topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.3 Propagateur complet et vertex propre dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.4 Dveloppement semi-classique de laction effective . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.5 Action effective comme fonctionelle gnratrice des vertex propres . . . . . . . 622.2.6 Symtries de laction effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.7 Mthode du champ de fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3 Renormalisation 1 boucle et comportement asymptotique 673.1 Action effective au premier ordre pour le champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.1.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1.2 Calcul de lintgrale divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.1.3 Constante de couplage renormalise une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.4 Structure des divergences de laction effective au premier ordre . . . . . . . . . 703.1.5 Masse renormalise une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.1.6.1 Renormalisation des champs et tadpoles . . . . . . . . . . . . . . . . 76

  • TABLE DES MATIRES 5

    3.1.6.2 Absence de tadpoles en 4 dimensions pour un champ scalaire avec in-teraction quartique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.2 Thories renormalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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