Tutorial de Introducción de Lógica Borrosahttp://www.dma.fi.upm.es/java/fuzzy/tutfuzzy/contenido.html

Introducción1.   Introducción a la Lógica Borrosa2.   Historia de la Lógica Borrosa3.   Aplicaciones de la Lógica BorrosaContenido1.   ¿Qué es un predicado?2.   Conjunto clásico y conjunto borroso3.   Funciones de pertenencia4.   Operaciones con conjuntos borrosos 

4.1  Extensión de las operaciones clásicas4.2  Otras operaciones con conjuntos borrosos4.3  Propiedades de las operaciones con conjuntos borrosos4.4  T-normas, t-conormas y negaciones estrictas 

4.4.1  Normas triangulares o t-normas4.4.2   Conormas triangulares o t-conormas4.4.3   Negaciones estrictas 

 4.5   Relación entre operacionesAnexoAnexo I: Conjunto clásicoBibliografía Libros Páginas WebGlosario Definiciones

Introducción1. Introducción a la Lógica Borrosa

La Lógica Borrosa es un tipo de lógica que realiza el tratamiento de predicados vagos o también denominados borrosos.

Un predicado vago o borroso es aquél que se le aplica a los elementos de un conjunto, en un cierto grado. Es decir, no tiene por qué verificarse o no verificarse, sino que se verificará en un cierto grado. Un predicado de este tipo, en general, no clasifica el universo en dos categorías, es decir, no produce una distinción en dos clases diferenciadas.Ejemplo

Predicados vagos son: rico, feliz, joven, grande, alto... A partir de ellos formulamos enunciados borrosos:

Juan es alto y no es muy joven. Mi casa es grande. El vecino es feliz porque le ha tocado la lotería.Ante esto, se necesita una nueva herramienta para poder realizar cálculos matemáticos y

surge el concepto de conjuntos difusos o borrosos, es decir, conjuntos que no tienen bien definida su frontera frente a los conjuntos clásicos, usados en la Lógica Clásica, en los que la frontera está definida nítidamente.Ejemplo

Estudiamos el conjunto de los números reales entre 0 y 1. Dado el intervalo [0,1] y el predicado "más grande que 0.5", vemos que es un predicado nítido ya que lo verifican los números del subconjunto (1/2,1] y no lo verifican los del subconjunto [0,1/2]. Con este predicado se puede observar que se realiza una partición del conjunto inicial [0,1]. Una de las partes satisface la propiedad dada en el predicado y la otra parte contiene los que no satisfacen la propiedad.

Sin embargo, en el intervalo [0,1], el predicado "grande" no realiza una partición del conjunto anterior, ya que no queda claro qué es grande y qué no. Por ejemplo, si establecemos que los números grandes son los pertenecientes al intervalo [0.75,1], y preguntáramos, ¿es el 0.7499 un número grande?

La respuesta desde el punto de vista de la Lógica Clásica sería que no lo es, puesto que no está dentro del intervalo que hemos propuesto, y esto sería totalmente válido. Pero, si lo consideramos bajo nuestro sentido común, o desde el punto de vista de la Lógica Borrosa, diríamos que 0.7499 es un número grande ya que está muy próximo al valor de 0.75.

Un conjunto borroso es aquél al que los elementos no tienen por qué pertenecer o no pertenecer, sino que pertenecen con un cierto grado. Para poder trabajar con los conjuntos borrosos, usamos los grados de pertenencia que los elementos tienen a dicho conjunto borroso.

Los grados de pertenencia tienen valores reales definidos en [0,1], es decir, si el grado de pertenencia es 0, el elemento no pertenece al conjunto que estamos estudiando, si el grado de pertenencia es 1, el elemento pertenece al conjunto de estudio; y los valores intermedios (0.33, 0.5, 0.75, ..) tendrán su propia representación dependiendo del problema que estemos estudiando en cada caso.

EjemploUna persona que mide 2 metros es una persona alta (es alta con grado 1) y una persona

que mide 1 metro no es una persona alta (es alta con grado 0). Si tenemos una persona que mide 1.80 metros, podemos decir que es alta (es alta con grado 0.75). Como 0.75 es un valor próximo a 1 podemos decir que esta persona es bastante alta.

Si en este ejemplo solamente dispusiéramos de la Lógica Clásica una persona que mida 2 metros sería alta pero si midiese 1.99 metros claramente no, aunque la diferencia entre 2 y 1.99 metros sea mínima.

La Lógica Borrosa nos permite dar valores intermedios dentro del límite de verdad y falsedad, ya que hay enunciados cuyo valor de verdad depende del contexto. Por esto, tenemos que tener cuidado al definir el dominio en el cual estamos en cada caso.

EjemploSi estamos hablando de los jugadores de un equipo de baloncesto, un jugador que mide

1.80 metros se considera que no es tan alto, mientras que si nos fijamos en los alumnos que hay en una clase, podemos afirmar que los alumnos que miden 1.80 metros sí son altos.

Este tipo de lógica intenta construir modelos que reflejan el razonamiento humano, ya que éste no puede tomar sólo dos valores de certeza como en el caso de la Lógica Clásica que sólo posee dos valores, 0 y 1, ó verdadero y falso.

2. Historia de la Lógica BorrosaParece que la Lógica Borrosa es algo reciente y en lo que se lleva trabajando poco tiempo

pero sus orígenes se remontan a los tiempos de los filósofos Aristóteles y Platón. Ellos son los

primeros en considerar que las cosas no tienen por qué ser de un cierto tipo o dejar de serlo, sino que hay una escala intermedia entre los dos extremos. Es más son los pioneros en considerar que existían diferentes grados de verdad y falsedad.Ejemplo

En el caso de los colores, entre el blanco y el negro hay una escala de tonalidades grises.Después de éstos, en el siglo XVIII, David Hume e Immanuel Kant continuaron pensando

estas ideas. Ambos concluyeron en que el razonamiento se adquiere gracias a las vivencias a lo largo de nuestra vida. Hume creía en la lógica del sentido común y Kant pensaba que sólo los matemáticos podían proveer definiciones claras y que por lo tanto había principios contradictorios que no tenían solución. Uno de los ejemplos dados por Kant es que, la materia podía ser dividida infinitamente, pero al mismo tiempo no podía ser dividida infinitamente. En conclusión, ambos detectaron algunos principios contradictorios en la Lógica Clásica.

A principios del siglo XX, el filósofo y matemático británico Bertrand Russell divulgó la idea de que la lógica produce contradicciones. Realizó un estudio sobre las vaguedades del lenguaje, concluyendo con precisión que la vaguedad es un grado. También en este tiempo Ludwing Wittgenstein, estudió las diferentes acepciones que tiene una misma palabra. Éste llegó a la conclusión de que en el lenguaje una misma palabra expresa modos y maneras diferentes.

Jan Lukasiewicz

En 1920 Jan Lukasiewicz, desarrolló la primera lógica de vaguedades. Para él los conjuntos tienen un posible grado de pertenencia con valores que oscilan entre 0 y 1, y en este intervalo existen un número infinito de valores.

El padre del término "borroso" fue Lofti Asier Zadeh cuando en 1965 publicó "Fuzzy Sets" (Conjuntos Difusos).

Las tesis que propone surgen del estudio de pensadores de distintas disciplinas que como él, tenían una visión de los problemas diferente de la lógica tradicional. La paradoja del conjunto de Bertrand Russell, el principio de incertidumbre de la física cuántica de Werner Heisenberg, la teoría de los conjuntos vagos de Max Black y la aportación de Jan Lukasiewiz, influyeron para que Zadeh publicase el ensayo "Fuzzy Sets" en la revista "Information and Control" y tres años después en 1968, "Fuzzy Algorithm".

Lofti A. Zadeh

Al comienzo las ideas publicadas por Zadeh no fueron seguidas por la comunidad científica del momento, pero con el tiempo comenzó a tener seguidores lo que produjo que sus teorías fuesen ampliadas y se asentaran sus conocimientos.

La intención de Zadeh era la creación de un formalismo para manejar de forma más eficiente la imprecisión del razonamiento humano. Es en 1971, cuando realiza la publicación de "Quantitative Fuzzy Semantics" en donde aparecen los elementos formales que dan lugar a la metodología de la Lógica Borrosa y de sus aplicaciones tal y como se conocen en la actualidad.

A partir de 1973, con la teoría básica de los controladores borrosos de Zadeh, otros investigadores comenzaron a aplicar la Lógica Borrosa a diversos procesos. Se establecen varios grupos de investigación en lógica difusa en algunas pequeñas universidades japonesas; los profesores Terano y Shibata en Tokio y los profesores Tanaka y Asai en Osaka hacen grandes aportaciones tanto al desarrollo de la teoría de la Lógica Borrosa como al estudio de sus aplicaciones.

E.H. Mamdani

En 1974 Assilian y Mamdani en el Reino Unido desarrollaron el primer controlador difuso diseñado para la máquina de vapor. La implantación real de un controlador de este tipo no fue realizada hasta 1980 por F.L. Smidth & Co. en una planta cementera en Dinamarca.

En 1987 Hitachi usa un controlador fuzzy para el control del tren de Sendai, el cual usa uno de los sistemas más novedosos creados por el hombre. Desde entonces, el controlador ha realizado su trabajo correctamente con la consiguiente satisfacción por parte de los usuarios de dicho tren.  Es también en este año cuando la empresa Omron desarrolla los primeros controladores difusos comerciales y es que 1987 es considerado como el "fuzzy boom" debido a la gran cantidad de productos basados en Lógica Borrosa que se comercializan.

En 1993, Fuji aplica la Lógica Borrosa para el control de inyección química en plantas depuradoras de agua por primera vez en Japón. Ha sido precisamente aquí, en donde más apogeo ha tenido la Lógica Borrosa, creándose estrechas colaboraciones entre el gobierno, las universidades y las industrias, estableciendo proyectos llevados a cabo por el Ministerio de Industria y Comercio (MITI) y la Agencia de Ciencia y Tecnología (STA) en consorcio con el Laboratory for International Fuzzy Engineering Research (LIFE).

De forma paralela al desarrollo de las aplicaciones de la lógica difusa, Takagi y Sugeno desarrollan la primera aproximación para construir reglas fuzzy a partir de datos de entrenamiento.

Otro factor decisivo para continuar con la investigación de este campo es el interés en las redes neuronales y su semejanza con los sistemas fuzzy. Se buscan relaciones entre las dos técnicas obteniéndose como resultado los sistemas neuro-fuzzy, que usan métodos de aprendizaje basados en redes neuronales para identificar y optimizar sus parámetros. Para finalizar, aparecen los algoritmos genéticos que sumados a las redes neuronales y los sistemas fuzzy son herramientas de trabajo muy potentes en el campo de los sistemas de control.

3. Aplicaciones de la Lógica BorrosaLa Lógica Borrosa tiene gran utilidad ya que ella nos permite tratar problemas demasiado

complejos, mal definidos o para los cuales no existen modelos matemáticos precisos. Gracias a este tipo de lógica se ha permitido modelizar y resolver situaciones consideradas intratables desde el punto de vista de la Lógica Clásica.

En los últimos años la Lógica Borrosa se ha utilizado en distintos tipos de instrumentos, máquinas y en diversos ámbitos de la vida cotidiana. Algunos casos por ejemplo son los estabilizadores de imágenes en grabadoras de vídeo, controladores de ascensores e ingeniería de terremotos.

También se ha usado esta técnica en la industria, obteniéndose excelentes resultados como en el caso del metro de Sendai en Japón, ya que permitía que el metro arrancara y frenara con gran suavidad, sin producir alteraciones entre los pasajeros. Realizando una división de los ejemplos en tres grandes grupos tenemos: Productos creados para el consumidor: Lavadoras difusas (Matsuhita Electronic Industrial), hornos microondas, sistemas térmicos, traductores lingüísticos, cámaras de vídeo, televisores, estabilizadores de imágenes digitales (Matsuhita) y sistemas de foco automático en cámaras fotográficas. Sistemas: Elevadores, trenes, automóviles (caso de los sistemas de transmisiones, de frenos y mejora de la eficiencia del uso de combustible en motores), controles de tráfico, sistemas de control de acondicionadores de aire que evitan las oscilaciones de temperatura y sistemas de reconocimiento de escritura.

Software: Diagnóstico médico, seguridad, comprensión de datos, tecnología informática y bases de datos difusas para almacenar y consultar información imprecisa (uso del lenguaje FSQL).

A continuación se muestran aplicaciones en las que se pueden consultar a través de la página web algunas de las características, uso y una información más detallada:

Gestión de recursos humanos mediante Lógica Borrosa. http://www.uv.es/asepuma/recta/ordinarios/6/6-2.pdf Módulo hardware mediante lógica difusa. http://www.tq.com/product/cart/pdfs_spanish/CE124%20Spanish.PDF Algoritmo de control borroso usando el dispositivo MSP430x14x.http://focus.ti.com/lit/an/slaa235/slaa235.pdf Sistema experto para evaluar daños postsísmicos en edificios. http://dspace.uniandes.edu.co:5050/dspace/bitstream/1992/413/1/mi_798.pdf Determinación de las IBNR mediante lógica difusa. http://www.actuarios.org/espa/anales/2003/De%20Andres%202003.pdf Evaluación de lógica difusa en el control de máquinas eléctricas. http://dei-s1.dei.uminho.pt/pessoas/jaime/Documentos/CIT.pdf Control de un generador de inducción como un freno eléctrico. http://www.ijesp.com/Vol2No1/IJESP2-8Hosseinzadeh.pdf Modelización de magulladuras por disparos en armaduras con un sistema adaptativo de sistema difuso. http://sipi.usc.edu/~kosko/SMCFinal.D05.pdf Razonamiento para el estudio de la probabilidad de eventos borrosos http://delivery.acm.org Diseño de bases de datos difusa modelada con UML. http://www.inf.udec.cl/~mvaras/papers/2003/fuzzy-IDEAS-2003.pdf Xfuzzy 3.0, entorno de desarrollo para sistemas de Lógica Borrosa. http://www.imse.cnm.es/Xfuzzy/Xfuzzy_3.0/index.html Software para diagnóstico médico.http://espejos.unesco.org.uy/simplac2002/Ponencias/Inforedu

Ejemplo

A continuación se muestra una interfaz que está en desarrollo realizada mediante Lógica Borrosa, EDIMED. EDIMED es una herramienta software para la realización de diagnósticos médicos, el cual puede formar parte del aprendizaje y evaluación de los estudiantes de Medicina.

El estudiante selecciona el tipo de enfermedad y dependiendo de los síntomas que el sistema tenga registrados más los síntomas que el paciente de dicho alumno le exponga, el sistema debería dar un diagnóstico apropiado según el tipo de enfermedad del paciente.

Contenido1. ¿Qué es un predicado?

Un predicado es lo que se afirma o niega de un objeto.Ejemplo Alto: es un predicado que se puede afirmar o negar de una persona, de un árbol, de un

edificio ... Tener más de 40 años: es un predicado que se puede afirmar o negar de una persona, de un

cuadro, de un mueble... Caro: es un predicado que se puede afirmar o negar de un viaje, de un reloj de oro, de un

apartamento, de un coche... Medir más de 1.60 metros: es un predicado que se puede afirmar o negar de una persona,

de una mesa, de un tablón de madera.....Si lo desea puede realizar un ejercicio sencillo.

Para expresar nuestras ideas nos ayudamos de predicados y con ellos construimos enunciados.Ejemplo Mi amigo Miguel es alto. El precio del aceite de oliva es muy caro. Hay que reformar el tejado de la casa de veraneo ya que tiene más de 40 años. La mesa de mi habitación mide más de 1.60 de largo por 90 centímetros de ancho. La hoz que encontró mi padre en el cuarto de labranza es muy antigua. El Pirulí de Madrid es uno de los edificios más altos de Madrid. En Agosto el viaje a Finlandia es mucho más caro que en el mes de Octubre.

El universo es el conjunto de los elementos a los que se puede aplicar un predicado.Ejemplo El predicado "ser par" se puede aplicar en el caso del universo A = {Números naturales

menores que 10} El predicadado "ser rubios" o el predicado "tener más de 2 hijos" se puede aplicar en el caso

del universo B = {Habitantes de un país} El predicado "gozar de buena salud" se puede aplicar en el caso del universo C = {Personas

adultas de una familia}

El predicado "ser barato" se puede aplicar en el caso del universo D = {Viajes que se ofertan para el mes de Marzo}

El predicado "tener más de 20 años" se puede aplicar en el caso del universo E = {Alumnos de la facultad que han aprobado el 50% de los créditos de la carrera}

1.1 Predicados clásicosUn predicado clásico o nítido, es aquél que al aplicarlo a los elementos de un universo, lo

divide en dos subconjuntos: el de los elementos que verifican dicho predicado, y el de los que no lo verifican.Ejemplo

Dado el universo A = {Números naturales menores que 10} y el predicado clásico P = "ser par", podemos realizar la división en dos conjuntos claramente diferenciados:

Subconjunto de elementos de A que verifican el predicado P:   = {2,4,6,8}

Subconjunto de elementos de A que no verifican el predicado P: ¬  = {1,3,5,7,9}A continuación se muestra la representación gráfica de los subconjuntos anteriores.

Se muestra un ejemplo en donde se puede aplicar la definición anterior.

Cada predicado nítido P en un universo X, tiene asociado una función del universo en {0,1}, de forma que a cada elemento que verifica el predicado le hace corresponder el 1, y a cada elemento que no lo verifica, el 0. Es decir, a cada elemento le hace corresponder el grado en que verifica dicho predicado. Esta función recibe el nombre de función característica o de compatibilidad:

φ P: X → {0,1},   φ P(x) = {1,     si x verifica P

0,     si x no verifica P

EjemploDados A = [-1,2] y el predicado nítido P = "mayor de 0.9", su función de pertenencia será:

  µ P(x) = {1,      si x > 0.9

0,      si x ≤ 0.9

Para ilustrar la idea anterior se pueden consultar más ejemplos.

1.2 Predicados borrosos

Hay predicados P que, al aplicarlos a los elementos de un universo, no lo dividen perfectamente en dos subconjuntos, el de los que cumplen dicho predicado y el de los que no lo cumplen. A este tipo de predicados se les denomina predicados borrosos, fuzzy o flexibles.Ejemplo

Dado el conjunto A = [0,1], intervalo de la recta real, y el predicado G = "grande", vemos que el predicado G no admite una definición por medio de µG: X → {0,1}, de forma que a cada elemento le haga corresponder el grado en que verifica G.

Si fuera así, se definiría:µG(x) = 1: si x verifica G, es decir, la afirmación "x es G" es verdadera. µG(x) = 0: si x no verifica G, es decir, la afirmación "x es G" es falsa. 

Por medio de la definición anterior vemos que µG(1) = 1 y que µG(0) = 0. Ahora estudiamos el caso de µG(0.9), al cual le podemos dar el valor 1 (µG(0.9) = 1) que nos indica que 0.9 es grande.Pero, ¿qué pasaría para el valor de µG(0.89)?Si damos µG(0.89) = 1, la siguiente pregunta es, ¿en dónde podemos establecer un corte que nos separe lo que es grande y lo que no? Si diésemos dicho corte de separación estaríamos contradiciendo nuestra propia intuición, por

lo tanto no podemos hacer tal clasificación en dos subconjuntos, los grandes   y los no

grandes ¬ .Un predicado P en el universo A es borroso si existe algún elemento x de A tal que la

afirmación "x es P" no es ni verdadera ni falsa, por lo tanto, no se puede obtener una división en dos subconjuntos claramente diferenciados.Ejemplo

Tenemos el predicado P = "joven", y lo aplicamos al conjunto A = {Jugadores de baloncesto}.

En este caso para representar el predicado "joven" hacemos uso de los colores, partimos de los tonos amarillos que representarán a un jugador de baloncesto joven, hasta llegar en la escala a los tonos azules, que representarán a un jugador de baloncesto no joven.

Podemos decir que un jugador de baloncesto que tiene una edad de 19 años (zona amarilla) es joven, y esto es verdadero, pero también lo es uno de 20 y otro de 20 y 3 meses.Cuando llegamos a un jugador con una edad 30 años (zona azul claro) decimos que es menos joven que el de 20 años. Y uno que tiene 40 años decimos que no es joven (zona azul oscuro).

Con este ejemplo observamos que no existe una frontera establecida claramente entre los que son jóvenes y los que no lo son. Al igual que en el ejemplo anterior, con este predicado borroso no podemos realizar una división en dos subconjuntos.

También con este ejemplo vemos que el contexto influye en la determinación o significado que tiene un predicado, ya que por ejemplo una persona de 40 años no es joven en el caso de los jugadores de baloncesto pero sí lo es cuando hablamos de una persona que es padre de familia.

Como conclusión, con los predicados borrosos no podemos establecer subconjuntos definidos dentro de un universo, ni podríamos asociarle una función en {0,1}, pero sin embargo, sí podemos asociar al predicado una función del universo en el intervalo [0,1], de forma que a cada elemento le haga corresponder el grado en que verifica el predicado.Ejemplo

Sea el conjunto X = {Marta, Luis, Carlos, Lola}, el predicado P = "ser alto". En este caso, como en otros muchos, el grado en que cada elemento verifica el predicado va a depender de una característica numérica; en concreto, en este predicado, dependerá de la altura; por eso para asignar el grado en que cada elemento verifica el predicado "ser alto", se ha de conocer la altura del mismo. Supongamos que las alturas son:

Nombre Altura (centímetros)

Marta 179 cm

Luis 184 cm

Carlos 159 cm

Lola 130 cm

Se podría asignar los siguientes valores de pertenencia: µP(Marta) = 0.8, µP(Luis) = 0.9, µP(Carlos) = 0.5, µP(Lola) = 0.3

De esta forma la función de pertenencia se podría definir sobre las posibles alturas, de la siguiente manera:

Si lo desea puede consultar un ejemplo sobre predicados borrosos.

Recordamos que dado un predicado borroso, cada elemento verifica el mismo predicado en un cierto grado entre 0 y 1, y la función de pertenencia asociada asignará a cada elemento dicho grado.Ejemplo

Dados A = [0,70] y el predicado borroso J = "ser joven", la función de pertenencia del mismo podría estar definida de la siguiente forma:

  µ J(x) = {

1,      si x < 25

8/3 - (1/15)x,      si 25 ≤ x ≤ 40         

0,      si x ≥ 40

En este caso, para un valor menor de 25 años se le asigna el valor 1, es decir, nos indica que una persona es joven y para una edad mayor de 40 años, se le asigna un valor de 0, lo que nos dice que una persona no se considera joven. Para las edades comprendidas entre 25 y 40 años una persona será joven de acuerdo al grado de pertenencia asignado por la función µ J.

Por ejemplo a una persona con 30 años se le asigna un grado de pertenencia de 0.66, lo que nos indica que es joven y a una persona con 38 años se le asigna un grado de 0.13, por lo que es menos joven que la persona de 30 años.

2. Conjunto clásico y conjunto borrosoEn el apartado anterior hemos utilizado los términos conjunto y subconjunto, refiriéndonos

a una colección de elementos que tienen una determinada característica. Por otra parte, el estudio de los predicados clásicos y borrosos nos permitirá hablar de conjuntos borrosos o fuzzy. El estudio de los mismos será el objetivo de la presente sección.

Un conjunto clásico es una colección de elementos. Por ejemplo, puede ser el conjunto de elementos que verifican un predicado nítido. Dado un subconjunto clásico A de X, se le puede asociar su función característica.

φ A: X → {0,1}, dada por   φ A(x) = {1,     si x pertenece A

0,     si x no pertenece A

es decir, φ A(x) = 1 si el grado en que x pertenece a A es 1 y φ A(x) = 0, si el grado en que x pertenece a A es 0.Ejemplo

Sea el conjunto de estudiantes {Lucía, Óscar, Marcos, Roberto, Marta, Almudena, Aurora, Pedro}, el predicado P = "no ser de Madrid" y la siguiente tabla en donde se recogen las ciudades de origen de cada uno de ellos:

Nombre Ciudad de origen

Lucía Segovia

Óscar Móstoles-Madrid

Marcos Leganés-Madrid

Roberto Córdoba

Marta Ciudad Real

Almudena Madrid

Aurora Lugo

Pedro Alcobendas-Madrid

Expresamos el subconjunto de los estudiantes que provienen de otras ciudades   de la siguiente forma: 

 = {Lucía, Roberto, Marta, Aurora}

La función de pertenencia de P o función característica tendrá los siguientes valores:µP(Lucía) = 1;    µP(Óscar) = 0; µP(Marcos) = 0;    µP(Roberto) = 1; µP(Marta) = 1;    µP(Almudena) = 0; µP(Aurora) = 1;    µP(Pedro) = 0;  Se muestran más ejemplos de conjuntos clásicos.

Las operaciones entre conjuntos clásicos y sus propiedades aparecen en el anexo I.Los conjuntos borrosos son aquéllos cuyos elementos no tienen por qué pertenecer

(grado de pertenencia 1) o no pertenecer (grado de pertenencia 0), sino que pertenecen según un cierto grado entre 0 y 1. Ejemplo

Dado el universo X=[1,100] y los predicados A="número grande" y B="mayor de 70" podemos decir que, para el predicado B, tenemos dos subconjuntos diferenciados:1. B = {x perteneciente a X | x > 70}2. ¬B = {x perteneciente a X | x ≤ 70}

El problema aparece cuando intentamos obtener dos subconjuntos del predicado A,1. A={x perteneciente a X| "x es grande" es verdadera}2. ¬A={x perteneciente a X| "x es grande" es falsa}

Ya que si tenemos un x perteneciente a A (por ejemplo, x=100), entonces existe un ε > 0 tal que x-ε también es grande. De la misma forma (x-ε) - ε = x-2ε también es grande. Repitiendo el razonamiento sucesivas veces, llegaremos a que todos los números en [1,100] son grandes, lo que contradice nuestra intuición. Por lo tanto, los conjuntos clásicos no son válidos para trabajar con predicados borrosos.

Por tanto, para un predicado borroso no se puede obtener de forma precisa el conjunto de los elementos que lo verifican, sino que cada elemento verifica dicho predicado en un cierto grado. De esta forma todo conjunto borroso A en el universo X tiene asociada una función de pertenencia µA:X →[0,1] que a cada elemento de X le hace corresponder el grado en que verifica dicha propiedad.

Existen varias formas de representar los conjuntos borrosos; en este tutorial se utilizarán las dos más usuales.

Mediante la notación valor/elemento dentro de un conjunto de elementos. Determinando la función de pertenencia.

EjemploDado el universo de personas X={p1, p2, p3, p4, p5} y el predicado B="bueno", el

subconjunto   = {personas buenas} puede venir definido por:

 = {0.5/p1, 0.9/p2, 0.2/p3, 0.4/p4, 0.6/p5}o mediante la función de pertenencia con los siguientes valores:

µB(p1) = 0.5;   µB(p2) = 0.9; µB(p3) = 0.2;    µB(p4) = 0.7; µB(p5) = 0.6;  Por ejemplo, la persona p1 es buena con un grado 0.5 mientras que la persona p3 lo es con grado 0.2.

Para aclarar estas ideas sobre los conjuntos borrosos se puede consultar otro ejemplo.

En esta página se muestra un ejemplo más sobre conjuntos borrosos. Recordamos que un conjunto borroso es aquél que no clasifica claramente dentro de un universo.Ejemplo

Dado el universo de provincias españolas, X = {Madrid, Barcelona Bilbao, Sevilla, Valencia, Cádiz, Asturias, Ávila y Cáceres} y el predicado P = "tener temperatura agradable" y la siguiente tabla en donde se recogen las temperaturas de algunas provincias españolas previstas para un cierto día de primavera.

Provincia Temperatura ºC

Madrid 30

Barcelona 24

Bilbao 20

Sevilla 33

Valencia 19

Cádiz 23

Asturias 15

Ávila 10

Cáceres 29

Se define   como el subconjunto de provincias de X con temperaturas agradables. P puede venir dado por:

= {0.6/Madrid, 0.9/Barcelona, 0.8/Bilbao, 0.4/Sevilla, 0.75/Valencia, 0.85/Cádiz, 0.3/Asturias, 0.2/Ávila, 0.65/Cáceres} 

o mediante su función de pertenencia: 

µP(Madrid) = 0.6;   µP(Barcelona) = 0.9; µP(Bilbao) = 0.8;    µP(Sevilla) = 0.4; µP(Valencia) = 0.75;  µP(Cádiz) = 0.85; µP(Asturias) = 0.3;    µP(Ávila) = 0.2; µP(Cáceres) = 0.65

Por ejemplo, Madrid es una provincia que tiene una temperatura agradable con grado 0.6 mientras que Cádiz lo es con un grado de 0.85, lo que nos indica que Cádiz tiene una temperatura más agradable que Madrid.3. Funciones de pertenencia

La función de pertenencia de un conjunto nos indica el grado en que cada elemento de un universo dado, pertenece a dicho conjunto. Es decir, la función de pertenencia de un conjunto A sobre un universo X será de la forma: µA:X → [0,1], donde µA (x) = r si r es el grado en que x pertenece a A.

Si el conjunto es nítido, su función de pertenencia (función característica) tomará los valores en {0,1}, mientras que si es borroso, los tomará en el intervalo [0,1]. Si µA(x) = 0 el elemento no pertenece al conjunto, si µA(x) = 1 el elemento sí pertenece totalmente al conjunto.

Las funciones de pertenencia son una forma de representar gráficamente un conjunto borroso sobre un universo.

La función característica del conjunto de los elementos que verifican un predicado clásico está perfectamente determinada. No ocurre lo mismo cuando se intenta obtener la función de pertenencia de un conjunto formado por los elementos que verifican un predicado borroso.

Dicha función dependerá del contexto (o universo) en el que se trabaje, del experto, del usuario, de la aplicación a construir, etc.

A la hora de determinar una función de pertenencia, normalmente se eligen funciones sencillas, para que los cálculos no sean complicados. En particular, en aplicaciones en distintos entornos, son muy utilizadas las triangulares y las trapezoidales: Función Triangular

Definida mediante el límite inferior a, el superior b y el valor modal m, tal que a<m<b. La función no tiene porqué ser simétrica.

Si lo desea puede dibujar funciones triangulares con diferentes parámetros.

Función TrapezoidalDefinida por sus límites inferior a, superior d, y los límites de soporte inferior b y superior c,

tal que a<b<c<d. En este caso, si los valores de b y c son iguales, se obtiene una función triangular.

Casos especiales de estas funciones trapezoidales son aquéllas en las que algunos parámetros toman valores no finitos: Funciones Trapezoidales con parámetros a = b = - ∞

o Funciones Trapezoidales que tienen los parámetros c = d = + ∞

o Puede dibujar funciones trapezoidales con diferentes parámetros.

Además de las funciones de tipo lineal anteriormente expuestas, también se usan las siguientes: Función GammaDefinida por su límite inferior a y el valor k>0. Esta función se caracteriza por un rápido crecimiento a partir de a; cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido.Nunca toma el valor µA (x) = 1, aunque tienen una asíntota horizontal en dicho valor.

EjemploCuando los valores de los parámetros son a = 5 y k = 3, se obtienen las siguientes funciones:

        

Función SigmoidalDefinida por sus límites inferior a, superior b y el valor m o punto de inflexión, tales que a<m<b. El crecimiento es más lento cuanto mayor sea la distancia a-b. Para el caso concreto de m=(a+b)/2, que es lo usual, se obtiene la siguiente gráfica.

EjemploCuanto se toma el valor de a = 3, el valor de b = 10 y m = (3+10)/2 = 6.5 se

obtiene la siguiente gráfica:

Función GaussianaDefinida por su valor medio m y el parámetro k>0. Esta función es la típica campana de

Gauss y cuanto mayor es el valor de k, más estrecha es dicha campana.

EjemploPara los valores k = 5 y m = 3:

      

Si lo desea puede dibujar funciones gaussianas. Al modificar los parámetros se puede observar la variación de la gráfica. Función Pseudo-ExponencialDefinida por el valor medio m y el parámetro k>1. Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido y la campana es más estrecha.

EjemploPara los valores de k = 4 y m = 7 se obtiene:

    

Puede dibujar funciones pseudo-exponenciales modificando los parámetros.

4. Operaciones con conjuntos borrososEn este apartado se presentan algunos modelos matemáticos para realizar las operaciones

de intersección, unión y complemento de los conjuntos borrosos.4.1 Extensión de las operaciones clásicas

De la misma manera que se realizan operaciones con los conjuntos clásicos, se definen operaciones para los conjuntos borrosos. Para estas definiciones, inicialmente nos basaremos en las operaciones con conjuntos clásicos que se pueden ver en el anexo I.Intersección de conjuntos

El primer problema que nos planteamos es la obtención de la intersección de dos conjuntos borrosos. Para ello, vemos qué ocurre en el caso clásico.

Dados dos subconjuntos clásicos P y Q del universo X, un elemento x pertenece a la intersección P∩Q, si y sólo si x pertenece a P y x pertenece a Q.

Tomando las respectivas funciones características como:

φ P(x) = {1, si x pertenece a P

0, si x no pertenece a P    φ Q(x) = {

1, si x pertenece a Q

0, si x no pertenece a Q

La función característica de la intersección quedará:

  φ P∩Q(x) = {1, si φP(x) = 1 y φQ(x) = 1

0, en otro caso

O lo que es lo mismo,

φ P∩Q(x) = Min (φP(x),φQ(x))

Sin embargo, en el caso de los conjuntos borrosos, la definición del conjunto intersección no es tan trivial.

Dadas las funciones de pertenencia µP: X → [0,1] y µQ:X → [0,1], la pregunta es: si un elemento pertenece a P en un cierto grado entre 0 y 1 (µP(x)), y a Q en otro grado entre 0 y 1 (µQ(x)), ¿ en qué grado pertenecerá a P∩Q? Es decir, ¿qué valor tomará µP∩Q(x)?

Tomando como modelo el caso clásico, una primera forma de definir la intersección de dos conjuntos borrosos es:

µP∩Q(x) = Min(µP(x),µQ(x))

Unión de conjuntosEn el caso de los conjuntos clásicos, dados dos subconjuntos P y Q del universo X, un

elemento x pertenece a la unión de PUQ, si y sólo si x pertenece a P o x pertenece a Q.Dadas las respectivas funciones características:

φ P(x) = {1, si x pertenece a P

0, si x no pertenece a P    φ Q(x) = {

1, si x pertenece a Q

0, si x no pertenece a Q

La función característica de la unión será:

  φ PUQ(x) = {1, si φP(x) = 1 o φQ(x) = 1

0, en otro caso

O lo que es lo mismo,

φP U Q(x) = Max (φP(x),φQ(x))

Igual que en el caso de la intersección de conjuntos borrosos la definición de la unión de dos conjuntos no es trivial.

Teniendo las funciones de pertenencia µP: X → [0,1] y µQ:X → [0,1], y sabiendo que un elemento pertenece a P en un cierto grado 0 y 1 (µP (x)), y que pertenece a Q en otro grado (µQ (x)), ¿en qué grado pertenecerá a PUQ? ¿Qué valor tomará µP U Q(x)?

Fijándonos en el modelo del conjunto clásico, definimos la unión de dos conjuntos borrosos como:

µPUQ(x) = Max(µP(x),µQ(x))

Complemento de un conjuntoPara finalizar, veamos qué ocurre en el caso de los conjuntos clásicos cuando tenemos que

realizar la operación del complemento de un conjunto.Dado el subconjunto clásico P del universo X, un elemento x pertenece al complemento Pc,

si y sólo si dicho elemento x no pertenece a P.La función característica está definida mediante:

  φ Pc (x) = {

0, si φP(x) = 1

1, si φP(x) = 0

El complemento de un conjunto borroso no es una operación tan claramente definida como en el caso clásico.

Dada la función de pertenencia µP: X → [0,1], si un elemento pertenece a P en un cierto grado entre 0 y 1 (µP (x)), ¿en qué grado pertenece a Pc? ¿Cuál es el valor de µP

c (x)?Realizando una semejanza con los conjuntos clásicos se podría definir el complemento de

un conjunto borroso P, mediante la función de pertenencia:

µPc(x) = 1 - µP(x)

Para poner en práctica los conocimientos adquiridos con la teoría anteriormente expuesta, se presentan a continuación algunos ejercicios donde se realizan las operaciones definidas en los conjuntos borrosos.

Se puede empezar con un ejercicio sencillo en el que seleccionando algunos de los conjuntos discretos dados, se pueden realizar las diferentes operaciones.

Ahora vamos a poder realizar operaciones con conjuntos borrosos en un universo continuo. Para ello, recordamos que existen varios tipos de funciones de pertenencia, pero como las más utilizadas son las trapezoidales y las triangulares, nos limitaremos a trabajar con ellas.

En los diferentes ejercicios se podrán dibujar mediante la introducción de parámetros diferentes formas trapezoidales y triangulares, para después realizar las distintas operaciones.

Ejercicio para dibujar una función de pertenencia trapezoidal y obtener su complemento.

Ejercicio para dibujar una función de pertenencia triangular y obtener su complemento.

Ejercicio para realizar operaciones de unión, intersección y complemento entre conjuntos borrosos con funciones de pertenencia trapezoidal.

Ejercicio para realizar operaciones de unión, intersección y complemento entre conjuntos borrosos con funciones de pertenencia triangular.

Ejercicio para realizar operaciones de unión, intersección y complemento entre conjuntos borrosos con funciones de pertenencia trapezoidal y triangular.

4.2 Otras operaciones con conjuntos borrososAunque los modelos de operaciones presentados en el apartado anterior son los más

habituales al ser una extensión del caso clásico, también son comunes otras formas de representar la unión, la intersección y el complemento en conjuntos borrosos. Este apartado se dedica a desarrollarlas.

Dados dos conjuntos borrosos P y Q y sus funciones de pertenencia µP: X → [0,1] y µQ:X →

[0,1], se presentan los diferentes modelos para cada una de las operaciones.En el caso de la intersección, se consideran dos modelos:

El producto La función de pertenencia de la intersección viene dada mediante la siguiente expresión:

µP∩Q(x) = Prod(µP(x), µQ(x)) = µP(x) · µQ(x) ∀ x ∈ X 

En la siguiente gráfica se muestra la función producto como función de dos variables:

La operación de Lukasiewicz En este caso la función de pertenencia se define como:

µP∩Q(x) = W (µP(x), µQ(x)) = Max (0, µP(x) + µQ(x) -1) ∀ x ∈ X 

A continuación se pinta la función de Lukasiewicz:

En el caso de la unión, se consideran otros dos modelos: La suma producto 

La función de pertenencia de la unión vendrá dada por:

µPUQ(x) = Prod* (µP(x), µQ(x)) = µP(x) + µQ(x) - [µP(x) · µQ(x)] ∀ x ∈ X 

Para entender mejor este tipo de unión se muestra la gráfica:

La suma acotada Definimos la función de pertenencia de la unión de la siguiente manera:

µPUQ(x) = W* (µP(x), µQ(x)) = Min (1, µP(x) + µQ(x)) ∀ x ∈ X 

A continuación se muestra una gráfica con la operación de dos variables:

Y, por último, en el caso del complemento o la negación de un conjunto borroso se presenta el modelo dado por: La familia de negaciones de SugenoLas funciones de pertenencia, dependiendo del valor que tome el parámetro λ vienen dadas por:

µ P c (x) = 1 - µ P (x) / 1 + λµ P (x)     λ > -1

Un ejemplo de la negación de Sugeno se muestra a continuación con el valor de λ = 2:

Ahora se puede realizar un ejercicio sencillo, en el que dados una serie de conjuntos borrosos se pueden realizar las diferentes operaciones que hemos detallado de forma teórica.

4.3 Propiedades de las operaciones de los conjuntos borrososAntes de seguir adelante y presentar nuevos modelos para las operaciones con conjuntos

borrosos, hacemos un repaso de las principales propiedades que pueden presentar dichas operaciones.

Para ello tendremos en cuenta que :

Ø es el conjunto borroso cuya función de pertenencia es µØ(x) = 0   ∀ x

X es el conjunto borroso cuya función de pertenencia es µX(x) = 1   ∀ x

P ⊆ en Q si µP(x) ≤ µQ(x)  ∀ xDados tres conjuntos P, Q y R y sus funciones de pertenencia µP: X → [0,1], µQ: X → [0,1] y

µR: X → [0,1] se definen las siguientes propiedades para las operaciones:Respecto de la intersección y de la unión:

1. Conmutativa 

P ∩ Q = Q ∩ P; las funciones de pertenencia coincidirán, y por lo tanto, µP∩Q (x) = µQ∩P (x), ∀ x del universo 

P U Q = Q U P; por lo tanto, µPUQ (x) = µQUP (x), ∀ x del universo 2. Asociativa 

P ∩ (Q ∩ R) = (P ∩ Q) ∩ R; entonces, µP∩(Q ∩ R) (x) = µ(P∩Q)∩R (x) P U (Q U R) = (P U Q) U R; entonces, µPU(QUR) (x) = µ(PUQ)UR (x) 

3. Distributiva P ∩ (Q U R) = (P ∩ Q) U (P ∩ R); así obtenemos, µP∩(QUR) (x) = µ(P∩Q)U(P ∩ R) (x) P U (Q ∩ R) = (P U Q) ∩ (P U R); así obtenemos, µPU(Q∩R) (x) = µ(PUQ)∩(P U R) (x) 

4. Idempotencia P ∩ P = P; por lo tanto, µP∩P (x) = µP (x) P U P = P; por lo tanto, µPUP (x) = µP (x) 

5. Elemento neutro 

P ∩ X = P; donde µX (x) = 1   ∀ x ∈ X; es decir, X es el elemento neutro de la intersección 

P U Ø = P; donde µØ (x) = 0   ∀ x ∈ X; es decir, Ø es el elemento neutro de la unión 6. Elemento absorbente 

P ∩ Ø = Ø; por lo tanto, µP ∩ Ø (x) = Ø P U X = X; por lo tanto, µP U X (x) = µP (x) 

7. Ley de absorción P ∩ (P U Q) = P; de esta forma µP ∩ (P U Q) (x) = µP (x) P U (P ∩ Q) = P; de esta forma, µP U (P ∩ Q) (x) = µP (x) 

8. Monotonía 

Si A ⊆ B, C ⊆ D; entonces, A ∩ C ⊆ B ∩ D   y   A U C ⊆ B U D, es decir, si µA (x) ⊆ µB (x), µC (x) ⊆ µD (x), entonces,

µA (x) ∩ µC (x) ⊆ µB (x) ∩ µD (x)   y   µA (x) ∪ µC (x) ⊆ µB (x) ∪ µD (x)Respecto de la negación:

1. Doble negación ¬¬ P = P; con lo que tendremos, µ  ¬ (¬P) (x) = µP (x) 

2. Leyes de Morgan ¬(P ∩ Q) = ¬P U ¬Q; entonces, µ  ¬ (P ∩ Q) (x) = µ(¬P U ¬Q) (x)¬(P U Q) = ¬ P ∩ ¬Q; entonces, µ  ¬ (P U Q) (x) = µ(¬P ∩ ¬Q) (x) 

4.4 T-normas, t-conormas y negaciones estrictasAunque ya se han expuesto diversas formas de representar las operaciones en conjuntos

borrosos, en este apartado, se hace de una forma más general. Se van a buscar todas las funciones que verifican unas propiedades determinadas, en orden a representar dichas operaciones.

Las funciones que se van a desarrollar en este apartado son: Normas triangulares o t-normas   Conormas triangulares o t-conormas   Negaciones estrictas

4.4.1 Normas triangulares o t-normasPara representar la intersección de dos conjuntos borrosos, buscamos funciones del tipo T:

[0,1] x [0,1] → [0,1], que nos permitan obtener la función de pertenencia del conjunto intersección de la siguiente forma:

µP∩Q(x) = T(µP(x), µQ(x)), ∀ x ∈ XSi queremos que la intersección sea conmutativa, asociativa, que tenga por elemento

neutro el conjunto X y sea monótona creciente, se debe verificar:Desde el punto de vista de las funciones de pertenencia se deben cumplir cuatro

propiedades: Conmutativa: 

     µP∩Q(x) = µQ∩P(x), y por tanto, T(µP (x), µQ (x)) = T(µQ (x),µP (x)) ∀ x, con lo que T ha de ser conmutativa. 

Asociativa: 

     µ(P∩Q)∩R(x) = µP∩(Q∩R)(x), entonces, T(T(µP (x), µQ (x)),µR (x)) = T(µP (x), T(µQ (x),µR (x))) ∀ x, por lo que T ha de ser asociativa.  

Elemento neutro el conjunto X: 

     µP∩X(x) = µP(x) con lo que T(µP (x), µX (x)) = T(µP (x),1) = µP (x) ∀ x, siendo el 1 el elemento neutro de T.  

Monótona creciente: 

    Si µP (x) ≤ µQ (x) ∀ x  y  µR (x) ≤ µS (x) ∀ x, entonces, µP ∩ R (x) ≤ µQ ∩ S (x) ∀ x. 

    De esta forma, T(µP (x), µV (x)) ≤ T(µQ (x),µS (x)) por lo tanto, T ha de ser creciente.  

Por tanto buscamos las funciones T: [0,1] x [0,1] → [0,1] que cumplan las siguientes propiedades:

1. Conmutativa 

T(x,y) = T(y,x)     ∀ x, y ∈ [0,1]  

2. Asociativa 

T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z)     ∀ x, y, z ∈ [0,1]  

3. Elemento neutro 

T(x,1) = x     ∀ x ∈ [0,1]  

4. Monótona creciente 

Si x ≤ y entonces T(x,z) ≤ T(y,z)     ∀ x, y, z ∈ [0,1]  

A estas funciones se les denomina normas triangulares o t-normas. Las más conocidas son:

Mínimo 

T(x,y) = Min (x,y), que es la mayor de las t-normas.

Producto 

Prod (x,y) = x · y

Operación de Lukasiewicz: 

W (x,y) = Max (0, x+y-1)

Producto drástico 

Z(x, y) = {

x, si y = 1

y, si x = 1

0, en otro caso

que es discontinua y es la menor de todas las t-normas.

Estas t-normas se relacionan por medio de las desigualdades siguientes:

Z(x,y) ≤ W(x,y) ≤ Prod(x,y) ≤ Min(x,y)       ∀ x,y ∈ [0,1]

  Ahora se puede consultar un resumen de las operaciones anteriormente expuestas y ver así como cambian sus gráficas. Familias de t-normas

Una t-norma T1 pertenece a la familia de otra t-norma T, y se expresa T1 ∈ F(T), si existe un automorfismo de orden en [0,1], φ, (φ: [0,1] → [0,1], estrictamente creciente, con φ (0) = 0

y φ(1) = 1) tal que Tφ (x,y) = φ-1 (T(φ (x), φ(y))), ∀ x,y ∈ [0,1].De este modo, tendremos la familia de

la t-norma Min, a la que sólo pertenece ella misma F(Min) = {Min};es la única idempotente y es continua.  

la t-norma Prod, F(Prod); son estrictamente positivas (si x,y > 0, entonces T(x,y) > 0) y continuas. 

Lukasiewick, F(W); no son estrictamente positivas pero sí continuas.Todas las t-normas continuas pertenecen a una de estas familias, o son una t-norma

ordinal, es decir, una t-norma definida de la forma:

T(x, y) = {ai+ (bi - ai)Ti ((x-ai/bi-ai), (y-ai/bi-ai)),   si (x,y) ∈ [ai, bi]2

Min(x,y)    en otro caso

donde los [ai, bi] con i = 1,..,n son conjuntos disjuntos del intervalo [0,1], y para cada i, T i es una t-norma.

  Para fijar las ideas anteriores se puede realizar un ejercicio con las diferentes t-normas en el caso conjuntos discretos.

  Ahora se puede realizar un ejercicio con funciones triangulares y t-normas en el caso de conjuntos continuos.

  Para continuar con la prática, se puede llevar a cabo un ejercicio con funciones trapezoidales y t-normas en el caso de conjuntos continuos.

  Finalmente, se puede llevar a cabo un ejercicio con funciones trapezoidales, triangulares y t-normas en el caso de conjuntos continuos.

4.4.2 Conormas triangulares o t-conormasCon la operación de la t-conorma se trata de representar la unión de dos conjuntos

borrosos. En este caso, necesitamos buscar una función del tipo S: [0,1] x [0,1] → [0,1], tales que nos permitan obtener la función de pertenencia del conjunto unión de forma que:

µPUQ (x) = S(µP(x),µQ(x))     ∀ x ∈ XDesde el punto de vista de las funciones de pertenencia se deben cumplir unas

propiedades: Conmutativa: 

     µPUQ(x) = µQUP(x), y por tanto, S(µP (x), µQ (x)) = S(µQ (x),µP (x)) ∀ x, con lo que S ha de ser conmutativa. 

Asociativa: 

     µ(PUQ)UR(x) = µPU(QUR)(x), entonces, S(S(µP (x), µQ (x)),µR (x)) = S(µP (x), S(µQ (x),µR (x))) ∀ x, por lo que S ha de ser asociativa.  

Elemento neutro el conjunto Ø: 

     µPUØ(x) = µP(x) con lo que S(µP (x), µØ (x)) = S(µP (x),0) = µP (x) ∀ x, siendo el 0 el elemento neutro de S.  

Monótona creciente: 

    Si µP (x) ≤ µQ (x) ∀ x  y  µR (x) ≤ µS (x) ∀ x, entonces, µP U R (x) ≤ µQ U S (x) ∀ x. 

    De esta forma, S(µP (x), µR (x)) ≤ S(µQ (x),µS (x)) por lo tanto, S ha de ser creciente.  

Para definir de forma correcta la unión, a la función S: [0,1] x [0,1] → [0,1] se le exige que cumpla las siguientes propiedades:

1. Conmutativa 

S(x,y) = S(y,x)     ∀ x, y ∈ [0,1]  

2. Asociativa 

S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z)     ∀ x, y, z ∈ [0,1]  

3. Elemento neutro 

S(x,0) = x     ∀ x ∈ [0,1]  

4. Monótona creciente 

Si x ≤ y entonces S(x,z) ≤ S(y,z)     ∀ x, y, z ∈ [0,1]  

Se denota con el nombre de funciones conormas triangulares o t-conormas aquellas funciones que verifican las propiedades anteriores. Las más conocidas son:

Máximo

S(x,y) = Max(x,y) que es la menor de todas las t-conormas

Suma-Producto: 

Sum-Prod(x,y) = x + y - x · y

Operación dual de Lukasiewicz: 

W* (x,y) = Min (1, x+y)

Suma drástica 

Z*(x, y) = {

x, si y = 0

y, si x = 0

1, en otro caso

que es discontinua y la mayor de todas las t-conormas.

Estas t-conormas se relacionan por medio de las desigualdades siguientes:

Max(x,y) ≤ Sum-Prod(x,y) ≤ W*(x,y) ≤ Z*(x,y)       ∀ x,y ∈ [0,1]

  Ahora se puede consultar un resumen de las operaciones anteriormente expuestas y ver así como se van modificando sus gráficas. Familias de t-conormas

Una t-conorma S1 pertenece a la familia de otra t-conorma S, y se expresa S1 ∈ F(S), si existe un automorfismo de orden en [0,1], φ, (φ: [0,1] → [0,1], estrictamente creciente, con φ

(0) = 0 y φ(1) = 1) tal que Sφ (x,y) = φ-1 (S(φ (x), φ(y))), ∀ x,y ∈ [0,1].De este modo, tendremos la familia de

la t-conorma Max, a la que sólo pertenece ella misma F(Max) = {Max} que es la única idempotente y también es continua.  

la t-conorma Sum-Prod, F(Sum-Prod) que es estrictamente positiva y también continua. 

Lukasiewick, F(W*) que no son estrictas ni positivas pero sí continuas.Todas las t-conormas continuas pertenecen a una de estas familias, o son una t-conorma

ordinal, es decir, una t-conorma definida de la forma:

S(x, y) = {ai+ (bi - ai)Si ((x-ai/bi-ai), (y-ai/bi-ai))   si (x,y) ∈ [ai, bi]2

Max(x,y)    en otro caso

donde los [ai, bi] con i = 1,..,n son conjuntos disjuntos del intervalo [0,1], y para cada i, S i es una t-conorma.

  Una vez estudiadas t-normas y t-conormas todas se pueden visualizar de forma gráfica en el siguiente resumen en donde aparecen expuestas para poder ver las diferencias entre las diferentes gráficas.

  Las ideas anteriores se pueden reforzar realizando un ejercicio con las diferentes funciones de t-conormas con conjuntos discretos.

  En este caso, se puede realizar un ejercicio con funciones triangulares y t-conormas en el caso de conjuntos continuos.

  Siguiendo con los ejercicios, se puede llevar a cabo un ejercicio con funciones trapezoidales y t-conormas en el caso de conjuntos continuos.

  Para terminar, se realiza un ejercicio con funciones trapezoidales, triangulares y t-conormas en el caso de conjuntos continuos.

4.4.3 Negaciones estrictasPara representar el complemento o la negación de un conjunto, buscamos funciones N:

[0,1] → [0,1], tales que nos permita obtener la función de pertenencia del conjunto

complementario de forma que µ  ¬P (x) = N(µP (x)), ∀ x del universo.Teniendo en cuenta que según la lógica clásica:

si "x es P" es falsa, entonces "x es no P" es verdadera.  

si "x es P" es verdadera, entonces "x es no P" es falsa.  

cuanto más verdadera es "x es P ", más falsa es "x es no P".  

"x es no no P" equivale a "x es P". 

Y considerando las funciones de pertenencia del conjunto borroso P y de no P, se ha de verificar:

si µP(x) = 0, entonces µ ¬P(x) = 1  

si µP(x) = 1, entonces µ  ¬P(x) = 0  

si µP(x) ≤ µP(y), entonces µ ¬P(y) ≤ µ ¬P(x) ∀ x, y ∈ X  

si µ ¬¬P(x) = µP(x), ∀ x ∈ X  

De este modo buscaremos funciones N: [0,1] → [0,1] verificando las siguientes propiedades:

N(0) = 1, N(1) = 0  

si x ≤ y entonces N(y) ≤ N(x)  

N(N(x)) = x     ∀ x ∈ [0,1]Las funciones que verifican estas tres propiedades se denominan negaciones fuertes.Se sabe que una función N: [0,1] → [0,1] es una negación fuerte si y sólo si existe un

automorfismo de orden φ, (φ: [0,1] → [0,1], estrictamente creciente, con φ (0) = 0 y φ(1) = 1) tal que

N(x) = φ-1 (1 - φ(x)),     ∀ x ∈ [0,1]Algunas negaciones fuertes son:

N(x) = 1 - x, cuyo automorfismo φ viene dado por φ(x) = x. 

Esta negación es las más utilizada y se denomina negación usual.  

N(x) = (1 - x2) ½, donde φ(x) = x2  

N(x) = (λ2(1-x))/( x+ λ2(1-x)) con   λ > 0, donde φ(x) = x / (λ + (1- λ)x)    

N(x) = ((1-xα)/(1+λxα))1/α con   λ > -1, α > 0, donde φ(x) = (Ln(1+λxα))/(Ln(1+λ))A esta familia de negaciones, dependiendo de los parámetros λ y α, se les denomina negaciones de Sugeno-Yager. En particular:

o fijando α = 1, obtenemos: 

Nλ(x) = (1-x)/(1+λx)   con   λ > -1  que son las llamadas negaciones de Sugeno.  

o y fijando λ = 0, obtenemos: 

Nα(x) = (1-xα)1/α   con α > 0  que son las llamadas negaciones de Yager.

  A continuación se puede realizar un ejercicio, obteniendo los complementos de conjuntos borrosos con funciones de pertenencia triangulares.

  En este caso se realiza un ejercicio, obteniendo los complementos de conjuntos borrosos con funciones de pertenencia trapezoidales.

4.5 Relación entre operacionesA través de las negaciones fuertes es posible relacionar las t-normas y las t-conormas.Dada una t-norma T y una negación fuerte N, la función SN: [0,1] x [0,1] → [0,1], definida

como:SN (x,y) = N(T(N(x), N(y)))es una t-conorma a la que denominaremos t-conorma N-dual de T.

Debido a las propiedades de las negaciones se tiene que también,T (x,y) = N(SN(N(x), N(y)))es decir T, es la t-norma N-dual de SN.

Dada una t-conorma S y una negación fuerte N, la función TN: [0,1] x [0,1] → [0,1], expresada como:TN (x,y) = N(S(N(x), N(y)))es una t-norma a la que denominaremos t-norma N-dual de S.

De nuevo, por las propiedades de las negaciones,S (x,y) = N(TN(N(x), N(y)))es decir es a su vez, la t-norma N-dual de TN.

En conclusión diremos que:

T y S son N-duales si ∀ x, y ∈ [0,1] se cumple: T(x,y) = N(S(N(x), N(y)))  y que   S(x,y) = N(T(N(x), N(y)))  

En particular tomando la negación usual, N(x) = 1 - x, T y S son duales si ∀ x ∈ [0,1] se cumple: T(x,y) = 1 - S(1-x, 1-y)  y que   S(x,y) = 1- T(1-x, 1-y)Anexo I: Conjunto clásico

En este anexo se puede consultar el documento de conjuntos clásicos, en donde se exponen la definición de conjunto clásico, las diferentes operaciones que se realizan entre conjuntos de este tipo y sus propiedades.Libros

Buckley, J. J.; Feuring, T. Fuzzy and Neural: Interactions and Applications. Ed. Springer, New York 1999

Eckel, B. Piensa en Java. Ed. Pearson Education S.A, Madrid, 2007 Guadarrama, S. Representación del conocimiento impreciso: Revisión parcial de las teorías de

conjuntos borrosos. Ed. Facultad de Informática Universidad Politécnica de Madrid, Madrid 2000 Martín, M.A. Java 2. Ed. Anaya Multimedia, Madrid 2000 Menchén, A.J. La lógica y los conjuntos borrosos. Aplicaciones en Inteligencia Artificial, control

de procesos e ingeniería. Apuntes de la Facultad de Informática Universidad Politécnica de Madrid, Madrid

Nguyen, Hung T.; Walker, Elbert A. A first course in Fuzzy Logic. Ed. CRC Press, New Mexico 1996

Sivanandam, S.N.; Sumathi, S.; Deepa S.N. Introduction to Fuzzy Logic using MATLAB. Ed. Springer, Berlín, New York 2007

Tanaka, K. An introduction to fuzzy logic for practical Applications. Ed. Springer, Estados Unidos 1997

Trillas, E.; Cubillo, S. Primeras Lecciones de Lógica Borrosa. Ed. Facultad de Informática Universidad Politécnica de Madrid, Madrid 1999

Trillas, E.; Delgado, M.; Vila, M.A.; Castro, J. L.; Verdegay, J.L; Moraga, C.; Cuena, J.; Gutierrez, J.; Ruiz, A. Fundamentos e introducción a la ingeniería "Fuzzy". Ed. Omron Electronics S.A, España 1994Páginas Web

A continuación se muestran algunas de las páginas web más importantes consultadas para la realización del tutorial.Manuales

http://www.solotutoriales.com http://www.tecnun.es http://www.w3schools.com http://www.webestilo.com/css http://www.tutorial-enlace.net/listado-largo-de-tutoriales-Css.html http://www.abcdatos.com/tutoriales http://www.pangea.org/pacoc/manuales/manual2.htm http://www.uv.es/~ivorra/Latex/LaTeX.pdf http://www.fceia.unr.edu.ar/lcc/cdrom/Instalaciones/LaTex/latex.html http://www.sbcodigo.com/manual/java/Java-3d-Modelado-grafico.php

Hojas de estilo http://www.csszengarden.com http://www.sidar.org/recur/desdi/traduc/es/css/intro.html http://www.webtaller.com/maletin/articulos/guia-CSS.php http://html.conclase.net/w3c/css1-es.html http://www.htmlhelp.com/es/reference/css http://es.selfhtml.org/css/eigenschaften/listen.htm http://jigsaw.w3.org/css-validator/

Herramientas http://validator.w3.org http://html.conclase.net/w3c/html401-es/sgml/entities.html http://www.geocities.com/Eureka/Enterprises/5493/Html/CarEsp.htm http://www.singularsys.com/jep http://java.sun.com/javase/downloads/index.jsp

Ejemplos de aplicaciones http://www.uv.es/asepuma/recta/ordinarios/6/6-2.pdf http://www.tq.com/product/cart/pdfs_spanish/CE124%20Spanish.PDF http://focus.ti.com/lit/an/slaa235/slaa235.pdf http://dspace.uniandes.edu.co:5050/dspace/bitstream/1992/413/1/mi_798.pdf http://www.actuarios.org/espa/anales/2003/De%20Andres%202003.pdf http://dei-s1.dei.uminho.pt/pessoas/jaime/Documentos/CIT.pdf http://www.ijesp.com/Vol2No1/IJESP2-8Hosseinzadeh.pdf http://sipi.usc.edu/~kosko/SMCFinal.D05.pdf http://delivery.acm.org http://www.inf.udec.cl/~mvaras/papers/2003/fuzzy-IDEAS-2003.pdf http://www.imse.cnm.es/Xfuzzy/Xfuzzy_3.0/index.html http://espejos.unesco.org.uy/simplac2002/Ponencias/Inforedu

Varios http://www.ilustrados.com/publicaciones/ http://www.monografias.com/trabajos6/lalo/lalo.shtml http://www.puntolog.com/actual/ESPECIAL_LOGICA_BORROSA/ http://www.lcc.uma.es/~ppgg/FSS/ http://delta.cs.cinvestav.mx/~gmorales/ldifll/ldifll.html http://campusvirtual.unex.es/cala/commonpedia/index.php http://www.gsi.dit.upm.es/~anto/tesis/html/fuzzylog.html http://www.fiv.upv.es/varios/iface/num3/logica.html http://www.imse.cnm.es/Xfuzzy/Xfuzzy_2.1/xfl_sp.htm http://wwwdi.ujaen.es/~jmserrano/teaching/sistemasdifusos/pdfs http://www.uv.es/asepuma/recta/ordinarios/6/6-2.pdf http://wwwdi.ujaen.es/asignaturas/si/tema1.pdf http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/geomfrac/ http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/derivacion/ http://www.infonegocio.com/lubrin/zirkel/trozos/acerca.html http://tracer.lsi.upc.es/visual-grab-and-go/integration.html http://e-stadistica.bio.ucm.es/mod_intervalos/intervalos_applet.html http://www.mclibre.org/consultar/amaya/otros/ot_diferencias_ff_ie.html

GlosarioAquí se muestran algunas definiciones de términos que han ido apareciendo a lo largo de

la exposición:  ConjuntoEs una colección de elementos (reales o imaginarios) considerados como un todo.Conjunto borroso

Es aquél en que cada elemento tiene un grado de pertenencia asociado, dicho grado es un número real en el intervalo [0,1].Conjunto clásicoEs aquél en que cada elemento tiene asignado un grado de pertenencia, 1 si el elemento pertenece al conjunto y 0, si el elemento no pertenece a dicho conjunto.Función de pertenenciaEs una función que indica el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto.Grado de pertenenciaEs un valor numérico en el intervalo [0,1] con el cual se expresa la medida en que un elemento cumple un determinado predicado.Lógica BorrosaEs un tipo de lógica que utiliza información de entrada vaga e imprecisa para extraer conclusiones. Mediante ella se definen conceptos que no pueden ser formulados de forma precisa.PredicadoLo que se afirma o niega del sujeto de una proposición.Predicado vago o borrosoEs un predicado que al aplicarlo a un conjunto proporciona información imprecisa.UniversoConjunto de elementos cualesquiera en los cuales se consideran una serie de características a estudiar.