Tüketim Gelir75 80

88 100

95 120

125 140

115 160

127 180

165 200

172 220

183 240

225 260

ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ

i21i XbbY

Katsayıların TahminiNormal Denklemler ile,Doğrudan Formüller ile,Ortalamadan Farklar ile,

NORMAL DENKLEMLER

Y = n + XXY= X + X2

1b 2b

1b 2b

Y=? , X=? , XY= ? , X2= ? , n

758895

125115127165172183225

Y

80100120140160180200220240260

X YX X2

60008800

1140017500184002286033000378404392058500

6400100001440019600256003240040000484005760067600

Y=1370 X2=322000X=1700 YX=258220

NORMAL DENKLEMLER

= 10 + = +

-170 /

- = -1700 - = +

25320 = 330002b

= 0.7672727

= 6.5636364

2b

1b

1b 2b

2b1b

1b 2b

2b1b

XY 7672727.05636364.6ˆ

ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ

i21i XbbY

22

2

1 )X(Xn

XYXYXb

2)1700()322000.(10

)258220).(1700()1370).(322000(

= 6.5636364

DOĞRUDAN FORMÜLLER

DOĞRUDAN FORMÜLLER

222 )X(Xn

YXXYnb

2)1700()322000)(10(

)1370)(1700()258220).(10(

= 0.7672727

XY 7672727.05636364.6ˆ

ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ

i21i XbbY

ORTALAMADAN FARKLAR

22 x

xyb

XbYb 21

yx=? x2=?y=? x=??X ?Y

758895

125115127165172183225

Y

80100120140160180200220240260

X

-62-49-42-12-22-10

28354688

-90-70-50-30-101030507090

Y=1370 x=0X=1700

YYy XXx

y=0

137Y 170X

ORTALAMADAN FARKLAR

ORTALAMADAN FARKLAR

558034302100360 220

-100840

175032207920

810049002500900100100900

250049008100

384424011764

144484100784

122521167744

x2yx y2

yx=25320 x2=33000 y2=20606

ORTALAMADAN FARKLAR

22 x

xyb

33000

25320 = 0.7672727

XbYb 21 = 6.5636364=137-(0.7672).(170)

XY 7672727.05636364.6ˆ

ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ

i21i XbbY

ELASTİKİYETLERİN HESAPLANMASI

i

i

Y

X .

dX

dY

X/X

Y/Ylim

EX

EYE

i

i

0xyx

•Nokta Elastikiyet

•Ortalama Elastikiyet

NOKTA ELASTİKİYET

0

i

Y

X .

ˆdX

dYE

0YX

0

i

Y

X .

ˆb2

X0 = 130

0Y

130 .

ˆ767.0E 130YX0

NOKTA ELASTİKİYET

0Y 0 X0.76727275636364.6

(130) 0.76727275636364.6

3091.106

106.3091

130 .767.0E 130XY 0

0.94

ORTALAMA ELASTİKİYET

Y

X .

dX

dYE XY

Y

X . b2

170X ; 137Y

137

170 . 767.0E XY = 0.95

Tahminin Standart Hatası ve Varyansı

n

)YY(s

2i

n

e2i

(n30 ise)

2n

)YY(s

2ii

2n

e2i

(n<30 ise)

?Y 2)YY( ?e2

Tahminin Standart Hatası ve Varyansı

i21i XbbY

ii X 7672727.05636364.6Y

Tahminin Standart Hatası ve Varyansı

Tüketim iY

67.945583.290998.6364

113.9818129.3273144.6727160.0182175.3636190.7091206.0545

758895

125115127165172183225

80100120140160180200220240260

Gelir iii YYe 2ii

2i )YY(e

7.05454.7091

-3.636411.0182

-14.3273-17.6727

4.9818-3.3636-7.709118.9455

49.766622.175513.2231

121.4003205.2707312.3253

24.818511.314059.4301

358.93021370Yi Y=1370 e=0 e2=1178.6545

Tahminin Standart Hatası ve Varyansı

2-10

1178.6545s 147.3318 =12.138

s2= 147.3318

2n

YXbYbYs 21

2

210

)258220(7672727.0)1370(5636364.6208296s

Y2 =? Y = ? YX=? b1 =? b2 =?

= 12.138

Tahminin Standart Hatası ve Varyansı

2n

yxbys 2

2

YYy XXx y2 = ? yx = ? b2= ?

210

)25320(7672727.020606s

= 12.138

DEĞİŞKENLİKLER

2)YY( 2)YY( 2)YY(

Y

X

X

Y

Yi

Xi

2)YY(2)YY(

2)YY(

DEĞİŞKENLİKLER

2)YY( 2)YY( 2)YY(

y2=20600 3455.19427y2 e2=1178.6545

384424011764

144484100784

122521167744

49.766622.175513.2231

121.4003205.2707312.3253

24.818511.314059.4301

358.9302

4768.53022884.66641471.7686

529.836758.870758.8707

529.83671471.76862884.66644768.5302

DEĞİŞKENLİKLER

2)YY( 2)YY( 2)YY( y2 =

2y e2+

2n

e

2n

y

2n

y 222 22y

2y sss

20606 = 19427.3455 + 1178.6545

210

6545.1178

210

3455.19427

210

206062575.75 = 2428.4182 + 141.3318

BELİRLİLİK KATSAYISI

varyansToplam

varyansAçıklanan

s

sr

2y

2y2

varyansToplam

an varyansAçıklanmay

s

sr1

2y

22

varyansToplam

an varyansAçıklanmay

s

s1r

2y

22

75.2575

4182.2428 = 0.9428

75.2775

3318.1471 = 0.9428

75.2575

3318.147 = 0.0572

BELİRLİLİK KATSAYISI

22

22

yx

)xy( r

)20606)(33000(

)25320(

2

= 0.9428

22 yx

xy r

)20606)(33000(

25320 = 0.9710

DAĞILMA DİYAGRAMLARIY

X

•

•

• •

•

•

•

•

••

•

••

15

10

5

15

105 20

3

Y=3+0.5X

r=0.82s=1.94

-6

Y

X15

10

5

15

105 20

3

Y=3+0.5X

r=0.82s=1.94

-6

Y

X15

10

5

15

105 20

3

Y=3+0.5X

r=0.82s=1.94

-6

Y

X15

10

5

15

105 20

3

Y=3+0.5X

r=0.82s=1.94

-6

(d)(c)

(b)(a)

••

••

•

•

• •

•

•

Aşırı kıymet

••••

STANDARTLAŞTIRILMIŞ HATA TERİMLERİ

ei ei/s

0.58120.38796

-0.299590.90774

-1.18037-1.455980.41043

-0.27712-0.635121.56084

7.05454.7091

-3.636411.0182

-14.3273-17.6727

4.9818-3.3636-7.709118.9455

80100120140160180200220240260

Xi

e/s 'nin dağılma diyagramı

-2

0

2

60 100 140 180 220 260

Katsayıların Standart Hataları

2

2

1 xn

X . s)b( s

22x

s)b( s

)33000.(10

322000 . 138.12 = 11.99

33000

138.12 = 0.0668

Gauss-Markov Teoremi

1. Doğrusal olmalıdır, regresyon modelindeki bir stokastik değişken olan Y'nin doğrusal fonksiyonu olmalıdır.

2. Sapmasız olmalıdır, yani ortalaması veya beklenen değeri E( ), gerçek b2 değerine eşit olmalıdır: E( )=b2

3. Doğrusal sapmasız tahminciler sınıfında minimum varyanslı olmalıdır; minimum varyanslı sapmasız bir tahminciye etkin tahminci denir.

2b 2b

Aralık Tahminleri

± t/2 . s( ) 1b 1b

±t/2 . s( ) 2b 2b = 0.7672727 2.306

(0.0668) 0.6132319< 2 <0.9213135

= 6.5636364 2.306 (11.99)

-21.0853 < 1 < 34.2126

Hipotez Testleri

0.6132319< 2 <0.9213135

-21.0853 < 1 < 34.2126

Güven Aralığı Yaklaşımı İle

Hipotez Testleri

Anlamlılık Testi Yaklaşımı İle

•Hipotezlerin Formüle Edilmesi

•Tablo Değerlerinin Bulunması

•Test İstatistiğinin Hesaplanması

•Karar Verilmesi

Hipotez Testleri

1.Aşama H0: 2 = 0

H1: 2 0

2.Aşama = ? = 0.05 ; S.d.=? = n-k = 10-2=8

3.Aşama

t,sd =? t0.05,8=? =2.306

?)b(s

bbt

2

*22

hes

0668.0

07672727.0 =11.4861

4.Aşama |thes= 11.4861 | > |ttab= 2.306 |

H0 hipotezi reddedilebilir

Regresyon ve Varyans Analizi

Değişkenlik KaynağıSapma KareleriToplamı=SKT

SerbestlikDerecesi=sd

SKT Ortalaması=SKTO

Regresyona BağlıDeğişkenlik=RBD

2y f1=k-1=12y

Hata Terimine BağlıDeğişkenlik=HBD

e2 f1=n-k kn

e2

=s2

ToplamDeğişkenlik=TD

y2 n-1

Regresyon ve Varyans Analizi

DeğişkenlikKaynağı

SKT sd SKTO

RBD 19427.3455 2-1=1 19427.3455HBD 1178.6545 10-2=8 147.3318

TD 20606 10-1=9 Fhes=3318.147

3455.19427=131.8612

EKK Modelinde Önceden Tahmin

•İleriye Ait Tahmin

•Önceden Tahmin

•Örnekten tahmin Edilen İlişkinin Ayni Kaldığı

•X Değerlerinin Aynı Eğilimde Olacağı

Y’nin Aralık Tahmini

0Y ± t/2 . s 2

20

x

)XX(

n

11

0Y ± t/2 . s)Y(0 Y0’ın güven aralığı

Y’nin Aralık Tahmini

0YX0=80 = 67.9455

67.9455 ±

2

33000

)80(101

1 170

35.47840 Y0| X0 100.41251

Y’nin Ortalamasının Aralık Tahmini

0Y ± t /2 . s2

20

x

)XX(

n

1

0Y ± t/2 . s)Y(0 Y’nin ortalamasının güven aralığı

Y’nin Ortalamasının Aralık Tahmini

0YX0=80 = 67.9455

67.9455 ±

2

33000

)80(101 170

51.49402 E(Y0| X0) 84.39689

Y’nin Güven Aralıkları

35.4784052.0157268.2857784.2635999.93034

115.27579130.29996145.01304159.43390173.58749

100.41251114.56610128.98696143.70004158.72421174.06966189.73641205.71423221.98428238.52160

80.00100.00120.00140.00160.00180.00200.00220.00240.00260.00

51.4940269.3382186.90184

103.99618120.34284135.68829150.03254163.62911176.75639189.60311

84.3968997.24361

110.37089123.96746138.31171153.65716170.00382187.09816204.66179222.50598

X0 Alt Sınır Üst Sınır Üst SınırAlt Sınır

Y’ninAralık Tahminleri Y’nin OrtalamasınınAralık Tahminleri

X

3002001000

Y 240

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0