1. Proprietatilereactiilornucleare

Radioactivitatea natural a pus la ndemna fizicienilor de la nceputul secolului al XX-lea particule avnd energii cinetice relativ mari. Rutherford a studiat primul n mod coerent ce se ntmpl la impactul dintre particulele ale radiului C' i nucleele diferitelor elemente.

Dac energia particulei este suficient de mare pentru a permite apropierea acesteia de nucleu nvingnd respingerea coulombian electrostatic, particula incident ptrunde n nucleu.

A rezultat necesitatea obinerii unor particule cu energii cinetice mari, soluia fiind accelerarea n cmpuri electrice a particulelor ncrcate electric, dar cu mas mic (1H

1, 1D2, 2He

4). Aceasta se realizeaz cu acceleratoare de particule a

cror dezvoltare constituie o preocupare actual deosebit. Pentru domeniul de energii din reactoarele nucleare,

mai mici sau egale cu 14 MeV, particulele incidente notate cu a, avnd energie cinetic suficient de mare, ptrund n nucleul A.

Dup ptrunderea n nucleu, energia cinetic a particulei i energia ei de legtur n nucleu se vor repartiza pe protonii i neutronii nucleului, astfel nct, practic, rezult un nucleu compus C, excitat cu o energie egal cu suma acestor energii.

Energia de extracie a nucleului se poate concentra, la un moment dat, sub form de energie cinetic, pe un nucleon sau un grup de nucleoni b relativ stabili (1D

2,

2He4), crend posibilitatea ca acest grup s prseasc

nucleul cednd acestuia energia de legtur. Nucleul A va trece astfel n nucleul B, care poate fi n stare fundamental sau excitant.

O reacie nuclear la energiile din reactoarele nucleare

are trei faze:

a + A = C* = b + B Fcnd abstracie de nucleul intermediar, se

obinuiete s se noteze i A (a, b) B.

Conservarea energiei totale

Notm cu M0(A), M0(a), M0(B), M0(b), M0C masele de

repaus, cu Ei energia cinetic iniial, cu Ef energia cinetic

final i cu Eex energia de excitare a nucleelor i avem

relaiile:

a + A C* b + B*

2 2 2

0 0

2 20 0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ci ex

Bf ex

M a c M A c E M C c E

M b c M B c E E

Energia de reacie este, prin definiie, diferena dintre

energia nucleelor iniiale i a celor finale, considerate n

repaus n starea fundamental.

2 20 0 0 0[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] Bf ex iQ M a M A c M B M b c E E E

Msurnd experimental diferena EfEi i EexB, se

poate deduce energia de legtur i masele nucleare.

Dup semnul energiei de reacie, exist:

a) reacii exotermice, dac Q > 0;

b) reacii endotermice, dac Q < 0.

Conservarea impulsului

ntr-o reacie nuclear, impulsul total nainte i dup

reacie se conserv:

A a B bP P P P

Conservarea momentului de rotaie

Conservarea se face n combinaie cu momentul

propriu de rotaie sau cu spinul nuclear.

Conservarea sarcinii electrice

Este echivalent cu conservarea numrului atomic Z, deci a numrului de protoni n reaciile nucleare n care nu avem o transformare a protonilor n neutroni, caz n care sarcina se conserv prin apariia unui positron.

Conservarea numrului de mas

Se conserv numrul total de nucleoni, neutroni i protoni, ceea ce ne arat c, la energii medii, neutronii i protonii nu se distrug ci cel mult pot s treac unul n altul dup reaciile:

ee

p n e

n p e

2. Tipuri de reactiinucleare

Reaciile nucleare se pot clasifica n trei categorii care vor fi descrise n continuare.

mprtiereaelastic

Dup reacie, natura particulei i nucleului se pstreaz, i ca exemplu, avem mprtierea neutronului pe nuclee de deuteriu:

0n1 + 1D

21T3*1D

2 + 0n1

n prim aproximare, putem descrie o astfel de reacie prin modelul simplu al ocurilor bilelor de biliard.

mprtiereainelastic

ntr-o reacie de acest tip, dup soc rezult aceeai particul i acelai nucleu, dar acesta din urm este excitat din cauza energiei cinetice pierdute de particul, de exemplu reacia:

0n1 + 6C

126C12* + 0n

1

Reaciinucleare de transmutare Reaciile sunt de tipul:

A + aB + b

unde: BA

BA*

ba

Putem aminti reacia realizat pentru prima dat, n

1932, de Cockroft-Walton:

3Li7 + 1H

14Be8*2He

4 + 2He4

Un caz particular este captura readiativ, reacie n

care particula iniial este absorbit de nucleul compus i

se elibereaz energia de legtur i energie de excitare

prin emisia unei cuante .

De exemplu:

0n1 + 92U

23892U239*92U

239 +

Nucleul rezultat n urma capturii are mai muli neutroni

dect protoni pentru a fi stabil, deci urmeaz reaciile:

239 239

92 93

239 23993 94

U Np

Np Pu

e

e

e

e

94Pu239 se dezintegreaz n .

Aceast reacie are o deosebit importan deoarece

permite utilizarea uraniului 238 drept combustibil n

reactoarele cu neutroni rapizi.

3. Sectiunea efectiva

Considerm variaia seciunii efective cu viteza pentru

cteva reacii interesante n fizica reactoarelor una dintre

acestea fiind:

5B10 + 0n

13Li7 + 2He

4

Izotopul 5B10 , aflat n procent de 18,5% n borul

natural, este utilizat sub form de triflorur de bor sau

carbur de bor, pentru detectarea neutronilor termici.

Un volum de triflorur de bor pe care cade un flux de

neutroni = nv va fi sediul unui numr de reacii pe cm3

i pe secund egal cu:

105

3abs / cm s ( ) ( ) ( ) ( )Ba B

KBR n v v N n v v N NK n v

v

i deci, proporional cu densitatea neutronilor n fascicul.

Aceast reacie ne permite s msurm densitatea

neutronilor dintr-un mediu.

Alt reacie interesant este cea dat de bombardarea

cadmiului cu neutroni:

48Cd113 + 0n148Cd

114 +

Se observ c aCd este foarte mare pentru energii E

0,3eV i foarte mic pentru E 0,3 eV, ceea ce face ca

neutronii avnd energii E 0,30,4 eV s fie absorbii

aproape total ntr-o plac de Cd cu o grosime de 0,51

mm, n timp ce neutronii cu energia E> 0,330,4 eV s

treac practic neperturbai.

Energia de 0,3 eV se numete pragul cadmiului (ECd),

iar neutronii cu energii mai mici dect ECd se numesc

neutroni termici, n timp ce neutronii cu E > ECd se numesc

epitermici sau epicadmici. Experimental, Cd ne ajut s

separm neutronii epitermici de cei termici, ntr-un reactor

cu neutronii termici.

Se noteaz cu r valoarea maxim a seciunii efective

la energia de rezonan (Er) i cu /2 semilrgimea

rezonanei, adic domeniul de energie n care ( ) ( ) / 2a rE ,

deci:

,2 2

r rE E E

La argint avem: 1 = 0,063 eV.

n jurul energiei de rezonan, seciunea efectiv

variaz dup legea stabilit de Breit-Wigner:

2 2

22

( )4

( )2

r

rE

E E

unde este lungimea de und echivalent a unei particule

incidente.

n general, pentru domeniul de energii ale neutronilor

dintr-un reactor nuclear, seciunea efectiv variaz dup

legea 1/v la energii mici, prezint rezonane n domeniul

1 eV 0,2 MeV i variaz din nou dup legea 1/v la

energii mari (fig.3.9, 3.10).

Seciunile efective au fost msurate i sunt tabelate

pentru toi nuclizii care prezint importan privind

comportarea gazului de neutroni n reactoarele nucleare.

Seciunea efectiv medie

Seciunea efectiv medie Dac fasciculul de neutroni este compus din neutroni

cu viteze diferite i se noteaz cu m(v) dv, numrul

neutronilor avnd vitezele cuprinse n intervalul vv+dv pe

cm3, atunci numrul total de neutroni pe unitatea de volum

va fi:

0

d ( )n v n v

Viteza de reacie n int depinde de v v) i

anume:

3

la viteza

reacii( )d ( ) ( )d ( ) ( ) d

cm s vR v v v N v v v N n v v v

Numrul total de reacii n int va fi:

3 0 0

0 0

reaciid ( ) d ( ) ( )

cm s

d ( ) ( ) d ( )

R v R v v v Nn v v

v v N v v v

Pentru a descrie printr-o formul simpl rata de reacie

se utilizeaz fluxul total i seciunea medie:

00

0

d ( ) ( )d ( )

d ( )

v v vR v v

v v

Se noteaz:

0

d ( )v v

i

00

d ( ) ( )

d ( )

v v v

v v

Se observ c:

00 0 0

0

d ( )d ( ) d ( ) d ( )

d ( )

v n v vv v v n v v v n v vn

v n v

unde: v este viteza medie a neutronilor care au distribuia

n(v).

Rezult c viteza de reacie total este:

R vn

Se observ faptul c, n definiia seciunii efective

medii, aceasta nu este mediat n raport cu densitatea

neutronilor n(v), ci n raport cu distribuia fluxului

neutronilor dup vitez:

( ) ( )v n v v .

5. Imprastierea elastica a neutronilor

Un proces de acest gen este caracterizat de o energie de reacie nul i din acest motiv procesul poate fi descris cu ajutorul legilor din mecanica clasic: legea conservrii energiei i a impulsului total.

Notaiile utilizate sunt:

v i 'v sunt viteza neutronului incident i viteza neutronului mprtiat n SL (sistemul laboratorului).

V i 'V sunt viteza nucleului int i viteza nucleului de recul n SL;

cmv este viteza centrului de mas n SL;

cv i 'cv sunt viteza neutronului incident i viteza neutronului mprtiat n SCM (sistemul centrului de mas);

CV i 'CV sunt viteza nucleului int i a nucleului de recul n SCM;

MA

m este numrul de mas al nucleului int.

Legea de conservare a impulsului total este dat de relaia:

' 'mv MV mv MV

Legea conservrii energiei n SCM este dat de relaia:

2 2 2 2( ) ( ) ( ' ) ( ' )

2 2 2 2

c C c Cmv MV mv MV

m M m M

7. Mecanismul fisiunii faze, diagrama

E. Fermi i colaboratorii si au bombardat pentru prima

oar uraniul cu neutroni, n 1934, ncercnd s obin

elemente transuraniene. Ida Nadback (1934) a sugerat

ideea c poate s apar o reacie de fisiune, dar numai n

1939, Otto Hahn i F. Strassmann identific produsele de

reacie, iar Lise Meitner i Otto Frisch introduc termenul de

fisiune i dau o descriere calitativ a procesului, utiliznd

ca factori antagoniti repulsia coulombian i tensiunea

superficial a nucleului considerat ca o pictur. Modelul

picturii a fost analizat n acelai an, ntr-un articol intitulat

Mecanismul fisiunii nucleare, de ctre Niels Bohr i

John Wheeler, ideea principal constnd n aceea c

nucleul, considerat ca o pictur, este n echilibru sub

aciunea celor dou sisteme de fore: forele nucleare, care

pe suprafaa nucleului sunt similare cu nite fore de

tensiune superficial, i forele repulsive, coulombiene.

Deformarea picturii sferice, care reprezint nucleul,

se studiaz n ipoteza n care volumul rmne constant:

34 const3

Ar

Dup deformare, sfera se transform ntr-un elipsoid

alungit, cu volumul:

3 24 43 3

Ar ab

unde: a i b sunt axele elipsoidului.

parametru care caracterizeaz deformarea nucleului, axele

acestuia devin:

1/ 2

(1 ),(1 )

AA

ra r b

Utiliznd aceste notaii, termenul n energia de

legtur care reprezint energia de suprafa va avea

expresia:

2

2 / 32

21 ...

5sE a A

iar cel care reprezint energia coulombian a elipsoidului

va fi:

2 2

3 1/ 31 ...

5c

ZE a

A

Pentru separarea n dou fragmente, trebuie ca Ec Ep,

i dup un calcul simplu rezult c:

2

2

3

13,052 2 47,8

0,585cr

aZ

A a

pentru a2 i a3 s-au luat valorile din formula energiei de

legtur semiempiric.

Acest raionament simplu ne conduce la o valoare,

pentru Z2/A, care corespunde datelor experimentale.

Pentru analiza modului de producere a fisiunii,

considerm fazele principale A, B, C, D, E, reprezentate n

figura (desen fisiune)

n ultima faz, cele dou nuclee fragmentate de fisiune

sunt la distan infinit unul de cellalt, i dac

reprezentm energia lor n funcie de distan, aceasta va

crete pe msur ce le apropiem, datorit respingerii

coulombiene, apoi, la distanele la care se fac simite

forele nucleare, va ncepe s scad, avnd minimul pentru

o form sferic a nucleului compus din cele dou

fragmente, aa cum se vede n figura 7.2. Pentru

producerea efectului invers, deci fisiunea nucleului A,

trebuie s i se dea energie Ep, necesar pentru a ajunge n

stadiul de deformare C, denumit energia de prag pentru

fisiune i calculat de N. Bohr i J. Wheeler avnd o

valoare de aproximativ 6 MeV pentru nucleele grele.

8. Fragmente de fisiune

Reacia de fisiune are ca rezultat apariia a dou

nuclee care sunt caracterizate prin (A1, Z1) i (A2, Z2).

Nucleele grele au un exces de neutroni mai mare dect

cele medii, motiv pentru care fragmentele de fisiune vor

avea un exces de neutroni mai mare dect cel care

corespunde nucleelor stabile i vor tinde s devin stabile

prin transformarea neutronilor n protoni:

1 10 0 en p e

Produsele de fisiune sunt beta radioactive. Sunt lanuri

ntregi de dezintegrri beta pn cnd se ajunge la

stabilitate i vom lua ca exemplu dou produse de fisiune:

1/ 2

87 87* 87 87 87

55,6s 11aniBr Kr Kr Rb Sr

T

139 139 139 139 1392,6'' 41'' 75' 85''

I Xe Cs Ba La

n urma fisiunii nucleele nu se despart n aceleai fragmente la fiecare fisiune, iar msurarea randamentului

% de apariie a unui nucleu cu A nucleoni depinde de nucleul care fisioneaz i de energia neutronului care produse fisiune.

A) pentru neutronii termici i cele trei nuclee fisionabile este prezentat n figura 7.5.

Remarcm faptul c fisiunea este asimetric, aprnd cu probabilitate mare nuclee cu A n intervalul 8595 i 130140, observndu-se faptul c, nici un nucleu nu apare cu un randament mai mare de 6,5%.

Neutroni de fisiune

La reacia de fisiune, imediat dup ruperea nucleului greu n cele dou fragmente, apar i neutronii liberi cu energii cinetice diferite, cunoscui sub numele de neutroni prompi, iar ulterior, cu constante de timp diferite, apar din produsele de fisiune neutronii ntrziai.

Energia medie maxima

Valoarea maxim are loc pentru o energie de 1 MeV,

iar valoarea medie a energiei neutronilor prompi este de 2

MeV. La energii mai mari de 10 MeV, putem considera c

np(E) = 0.

Pentru anumite produse de fisiune, beta radioactive, n

energie de excitare suficient de mare pentru ca un neutron

s prseasc nucleul. Aceti neutroni sunt emii cu o

constant de timp egal cu constanta de timp de

dezintegrare beta i sunt cunoscui sub numele de

neutroni ntrziai.

10. Concepte

Rata de reacie i fluxul neutronilor termici ndrumulunuifasciculparalel de neutronimonocinetici se

plaseaz o intfoartesubire.

I = n v

unde: Iesteintensitateafasciculului, n

cm2/s;

v vitezaneutronilor din fascicul,

n cm/s;

n densitateaneutronilor din

fascicul0n1/cm3.

t I,

unde: reste rata interaciuniineutronilor cu nucleeleint,

interaciuni/cm3 s;

t seciuneamacroscopictotal de interac-

iuneneutroninuclee, cm1.

t t N

t = t + s

ncazuluneiinte de

dimensiunimiciexpusconcomitentncalea a k fascicule cu

intensitileI1,I2...Ik, vomputeascriec:

r tI1 tI2 tIk t (I1 + I2+...+Ik)

Dac ne referim la rata de interaciune a

neutronilortermici din reactorul nuclear cu nucleele din

V V, vin

ctreacest element de volumduptoateorientrileposibile.

Curentul de neutroni. Densitatea curentului de neutroni Chiardacreactorulesten stare staionar, neutronii se

deplaseaznpermanendintr-o regiunenalta,

Fig.

1.intplasatndrumul

unuifasciculparalel de

neutroni.

procesulfiindcunoscut sub numele de difuzianeutronilor (cu

observaiac la scarmicroscopicdifuziaeste o consecin

a mprtierilorrepetate ale neutronilor, n special

penucleelemoderatorului, iar la scarmacroscopic,

difuziaesteperceputca un curent de neutroni, care este un

curent de convecie).

Introducemnoiunea de densitate a curentului de

neutroni ( , )J r t care este o mrimevectorialiconstituie o

caracteristiclocal a curentului de neutroni,

mrimeafiinddependent de timpi de

coordonatelespaialenaproximaiateorieidifuziei. Noiunea

de densitate de curent arescopul de a

caracterizacantitativcurentul de

neutroniprinanumitesuprafee de

separaierealesauimaginare. La aceastmrime se

ajungeconsidernd din nouneutronii din

V, pe care i sortm

duporientareavitezei (direcieisenspedirecie) cu

ajutoruldensitiiunghiulare a neutronilor, n ( ,r ).

( , )n r V estenumrul de neutroni din

V, din jurulpunctului r , care au

v v ,

cai cum ar forma un fasciculparalel cu intensitatea :

( , )I v n r

careestenumrul de neutroni din fascicul, care trec cu

viteza

vv , nunitatea de timp, prinunitatea de arie a

suprafeei plane, normalpeaxafasciculului.

11. Ecuaia transportului neutronilor.

Ecuaia transportului neutronilor Se poate stabili o ecuaie a densitii unghiulare a

neutronilor ntr-un mediu multiplicator de neutroni, cu

ajutorul unei ecuaii de conservare a numrului de neutroni dintr-un volum arbitrar V, cu o energie cuprins n intervalul E i E+dE i o anumit orientare a vitezei de versor v

v (o vitez n interiorul unghiului solid din jurul

versorului .

Expresia:

( , , , ) dV

n r E t V E

reprezint numrul neutronilor din volumul V cu energia n E, E+dE i viteza n interiorul unghiului solid din jurul versorului la momentul t.

Diferena dintre numrul neutronilor ctigai n V n unitatea de timp i numrul de neutroni pierdui din V n unitatea de timp, reprezint viteza de cretere a acestui numr de neutroni:

( , , , ) dV

n r E t V Et

reprezint neutronii ctigai pe secund neutronii pierdui pe secund.

Dac volumul V nu se deformeaz n timp se poate deriva cantitatea de sub integral i expresia anterioar se poate scrie sub forma:

( , , , )( , , , ) d dV V

n r E tn r E t V E V E

t t

Analizm procesele prin care se ctig i se pierd neutroni.

n volumul V sunt produi neutroni prin:

1 emisia neutronilor de ctre diferite surse, inclusiv fisiunea nuclear;

2 transportul neutronilor n V prin suprafa (frontier);

3 mprtierea neutronilor n urma crora E E i ' .

Din volumul V se pierd neutroni prin:

4 transfer de neutroni din volumul V pe suprafa (frontier);

5 interaciuni neutroni nuclee din V (absorbii sau mprtiai deoarece n urma mprtierii se modific energia i orientarea vitezei).

12. Ecuaia de continuitate Ecuaia de continuitate

Aceast ecuaie reprezint forma general a ecuaiei de conservare a numrului de neutroni din unitatea de volum a mediului n care se afl neutroni termici . n mediul respectiv considerm un domeniu spaial D, n care la momentul t se afl un numr de neutroni dat de expresia:

( )

( , )D

n r t .

Dac starea sistemului este nestaionar, acest numr se modific n timp, din D putnd s dispar neutroni prin absorbie i scurgeri, dar pot s i apar neutroni dac n domeniul D se afl surse, a cror intensitate (ntr-un caz general) este S( ),tr n1/ cm3 s

Expresia:

A(t) = ( )

( , )aD

r t V

reprezint numrul de neutroni care dispar n unitatea de timp prin absorbie.

L(t)=( ) ( )

( , ) div ( , )S D

J r t n A J r t V

reprezint numrul neutronilor care dispar prin scurgeri pe frontier.

D(t) = A(t) + L(t) reprezint rata dispariiei neutronilor din D.

P(t) ( )

( , )D

S r t V

reprezint rata producerii neutronilor n domeniul D de ctre surse .

Viteza de variaie n timp a numrului de neutroni n D este dat de expresia:

( )

( , )D

n r t Vt

= P(t) D(t)

sau:

( ) ( )

( ) ( )

( , ) ( , )

( , ) div ( , )

D D

a

D D

n r t V S r t Vt

r t V J r t V

Observaie

Domeniul D a fost ales arbitrar, motiv pentru care

putem scrie o form local echivalent pentru ecuaia de mai sus:

( , ) ( , ) ( , ) div ( , )an r t

S r t r t J r tt

aceasta fiind ecuaia de continuitate cu dou funcii necunoscute ( , )r t i ( , )J r t . ntre aceste dou funcii a fost

stabilit o relaie de legtur cunoscut sub numele de legea lui Fick, urmrindu-se aproximaiile teoriei difuziei.

13. Legea lui Fick

Legea lui Fick

Aproximaiile teoriei difuziei se refer la mediul n care difuzeaz neutroni i la fluxul de neutroni, i sunt urmtoarele:

a) mediul este infinit;

b) mediul este omogen i izotrop;

c) n mediu nu exist surse de neutroni;

d) mprtierea elastic a neutronilor este izotrop n sistemul de referin al laboratorului;

e) fluxul neutronilor variaz lent n spaiu (n raport cu coordonatele);

f) fluxul neutronilor termici nu depinde de timp.

Unele dintre aceste restricii pot fi eliminate n funcie de rezultatele la care se ajunge. Stabilim expresia densitii curentului de neutroni (0)J n originea sistemului

de coordonate prin determinarea separat a proieciilor sale

(0), (0), (0)x y zJ J J .

(0) (0) (0) (0) (0)z z z z zJ J J J J

(0)z zJ A reprezint numrul de

neutroni care traverseaz n Az,

deplasndu-se de sus n jos. Deoarece conform ipotezei (c), n

V

z

Az

y

x

r

mediu nu exist surse de neutroni, neutronii care trec prin Az, provin numai din mprtierile elastice care au loc n

semiplanul z > 0

Expresia: ( , )s r t V reprezint numrul neutronilor

nu pot traversa Az dect cei care au viteza orientat n interiorul unghiului solid sub care se vede din r Az .

Deoarece mprtierea neutronilor este presupus izotrop n sistemul de referin al laboratorului, fraciunea din numrul neutronil V care au viteza

Az va fi rezultatul ponderrii cu 4

,unde

2

coszA

r

.

2

cos( )

4

zs

Ar V

r

reprezint numrul neutronilor mprtiai n unitatea de Az .

Aceti neutroni pot fi considerai ca fcnd parte dintr-un Az

numai cei care nu sufer interaciuni pe drumul cu lungimea r .

t re

este probabilitatea ca neutronul s parcurg distana r, fr a suferi interaciuni .

2

cos( )

4

t rzs r V e

r

reprezint numrul neutronilor care

trec prin Az n unitatea de timp din Z > 0, n semispaiul Z < 0, n urma mprtierilor n Z > 0 .

Putem scrie c:

2

0

cos( ) ( )

4

t rzz z s

z

J r A r V er

Az va avea forma:

2

0

cos( ) ( )

4 4

t rs

z

z

eJ r r V

r

2

0

(0) (0)4 6

s sz

t t

J

Vom avea:

2 2

0

(0) (0) (0) (0)4

(0)36 4 6

sz z z

t

s s s s

tt t t

J J J

z z z

Pentru celelalte proiecii se procedeaz identic:

0

(0)3

sx

t

Jx

;

0

(0)3

sy

t

Jy

Dac se cunosc proieciile, densitatea de curent n origine este:

2

0 00

(0) s

t

J i j kx y z

dar:

0 00

i j kx y z

este gradientul fluxului de neutroni n origine .

Deci:

2 0

(0) grad ( )sr

t

J r

Se noteaz cu:

23

s

t

D

coeficientul de difuzie cm i obinem o nou form a lui ( )J r :

( ) grad ( ) ( )J r D r D r ( ) grad ( )J r D r

Expresia se numete legea lui Fick i exprim faptul c densitatea de curent ntr-un punct are orientare opus fluxului de neutroni n acel punct (sau densitatea curentului de neutroni are orientarea dup care descreterea fluxului de neutroni este cea mai rapid) .

14. Analiza aproximaiilor teoriei difuziei

Analiza aproximaiilor teoriei difuziei Legea lui Fick stabilete relaia de legtur dintre

densitatea curentului de neutroni i fluxul neutronilor termici ntr-un punct:

( ) grad ( )J r D r

unde: 23

s

t

D

este coeficientul de difuzie al mediului cm.

Legea lui Fick poate fi scris lund n considerare numai dependena de coordonata x:

d( ) ( )d

xJ x i J x D ix

De aici rezult c:

d( ) 0d

xJ x Dx

fluxul de neutroni fiind considerat uniform.

)(), rtr exp (t /T)

deci o variaie exponenial a fluxului de neutroni n timp cu constanta T .

Pentru orice regim tranzitoriu se poate considera c dup un timp egal cu 3T regimul tranzitoriu se anuleaz iar mrimea analizat capt valoarea regimului permanent .

Examinarea triunghiului din figur ne conduce la determinarea constantei T:

00

( )

t

r

T t

rezult c:

0

0

( )

t

rT

t

Se poate considera c variaia n timp a fluxului de neutroni este lent dac constanta de timp este de cteva ori mai mare dect:

1ttv v

i dac admitem

3t

Tv

( , ) ( ) grad ( , )J r t D r r t

Considernd starea staionar putem scrie c:

0 0

( ) ( , )d ( , )d ( )T Tr v n r E E v n r v v n r

),( tr

)(0 r

0 1T 2T 3T

unde 0

( ) ( , )dn r n r E E

, reprezint densitatea neutronilor termici

0n1/cm3, iar v este viteza medie la temperatura T,

exprimat n funcie de viteza cea mai probabil, la aceeai temperatur:

2

T Tv

,

unde

2

T

kTv

m

pentru T0 = 293 K, iar

002

2 300 m/skT

vm

, 00

T

Tv v

T

pentru temperatura T i T0 rezultnd c:

0

0

2T

v Tv

T

,

iar

0 00

2( )t

Tv n r

T

0 = v0 n(r ,t) este fluxul neutronilor .

Deci 00

2T

T

T

este fluxul neutronilor termici (se renun

la indicele T pentru simplificarea scrierii) .

n ceea ce privete seciunea microscopic medie a neutronilor termici, considernd interaciunea de absorbie, de exemplu, rezult c:

0

0 ( )2

a a a

Tg T

T

unde 0

0

( )a av v

v

este seciunea microscopic la v0 = 2200

m/s, iar ga (T) este factorul Westctt al seciunii de absorbie, egal cu unitatea dac seciunea microscopic respect legea 1/v.

15.Ecuaia difuziei neutronilor monocinetici

Ecuaia difuziei neutronilor monocinetici Ecuaia difuziei se deduce din ecuaia de continuitate:

1 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) div ( , )ar t

S r t r r t J r tv t

la care se asociaz legea lui Fick:

( , ) ( ) grad ( , )J r t D r r t

Prin nlocuire se obine ecuaia nestaionar a difuziei:

1 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) div ( ) grad ( , )ar t

S r t r r t D r r tv t

Pentru starea staionar ecuaia are urmtoarea form:

div ( ) grad ( ) ( ) ( ) ( )aD r r r r S r

Dac mrimile de material nu depind de coordonate, ecuaia devine:

2 ( ) ( ) ( ) ( )aD r r r S r

unde: 2 = = div (grad) este operatorul lui Laplace.

16. Sursa plan de neutroni situat ntr-o plac

Considerm c planul sursei coincide cu planul de simetrie al plcii de grosime a iar intensitatea sursei neutronilor termici este S0 0n

1/cm2s, conform figurii 1.16

Considerm cunoscute constantele de material D i a lungimea de difuzie fiind aL D .

n planul sursei se consider originea unei axe de coordonate Ox, normal pe acest plan, deci avem condiiile unei probleme unidimensionale, ecuaia difuziei putnd fi scris sub forma:

2

2 2

d 1( ) 0

dx

x L

, pentru x 0 (6.80)

Soluia este de forma unei combinaii de funcii exponeniale:

1 2( ) exp exp 0x x

x A AL L

(6.81)

constantele A1 i A2 fiind determinate din condiiile de frontier.

Considernd condiii de frontier omogene pentru partea dreapt a sursei x (0,a/2), avem:

2

( ) 0a

xx

unde: 2 2

ex

a ad

Obinem expresia:

1 2exp exp 02 2

a aA A

L L

(6.82)

de unde rezult c:

1( ) exp expx x a

x AL L

, pentru x > 0 (6.84)

D, a

a/2 a/2

(S0) Sex

2/~a

0

Considernd condiia de frontier n planul sursei, se poate scrie c:

0

0

0( )2x

x

SJ x

(6.85)

1d( ) exp expd

x

D A x x aJ x D

x L L L

(6.86)

de unde rezult c:

01 1 exp2

SD A a

L L

(6.87)

Expresia constantei A1 va fi:

1

01 1 exp

2

S L aA

D L

(6.88)

Pentru fluxul de neutroni vom avea relaia:

0( ) exp exp2 1 exp

S L x x ax

L LaD

L

(6.89)

pentru x (0, a /2)

Fig 1.17. Variaia fluxului

de neutroni

n cazul sursei plane situate ntr-o plac.

17. . Formula celor patru factori

Se poate stabili o relaie de calcul a factorului de

multiplicare a unui reactor termic, pornindu-se de la

x

(x)

2/~a 2/~a

a/2 0 a/2

0

conceptul de generaie de neutroni, viaa neutronilor care

aparin unei generaii fiind defalcat n etape.

Reactorul este conceput ca un sistem omogen care

conine n amestec combustibil nuclear, moderator, agent termic, materiale de structur i alte materiale (de exemplu, cele utilizate pentru controlul reactorului).

Neutronii unei generaii pot dispare prin scurgeri din reactor sau prin absorbie n reactor care poate fi util (absorbie n combustibil urmat de fisiune) sau steril. Neutronii pot dispare prin scurgeri din reactor ca neutroni rapizi (n curs de ncetinire) sau ca neutroni termici.

Relaia este valabil pentru reactorul omogen, iar n cazul reactorului eterogen sau n cazul n care procesele analizate sunt dependente de energia neutronilor, mrimile din relaie se nlocuiesc cu valorile medii corespunztoare. Aceast probabilitate se noteaz cu f i se numete factor de utilizare termic (n cazul reactoarelor termice).

af afafa af am

f P

(2.1)

f ffaf af

P

(2.2)

Fig.2.1. Bilanul de neutroni n reactor:

Pl

probabilitatea ca neutronul s nu dispar prin scurgeri din reactor nainte de a fi absorbit;

Paf probabilitatea condiionat c n cazul n care neutronul este absorbit, absorbia s se fi produs n

combustibil; Pf probabilitatea condiionat c n urma absorbiei n combustibil s urmeze o fisiune.

Cu ajutorul acestor probabiliti se poate scrie o expresie a factorului de multiplicare, considernd c din generaia format din N1 neutroni, rezult o generaie cu N2 neutroni.

N2 = N1 Pl Paf Pf sau N2 = N1 Pl f

unde = v Pf = faf

factorul de regenerare.

Conform definiiei:

21

l

Nk P f

N

Probabilitatea Pl este foarte dificil de evaluat i facem pentru nceput ipoteza reactorului infinit extins, situaie n care Pl = 1 .

k f .

Analiznd aceast relaie observm c factorul de multiplicare al reactorului infinit extins este determinat n principal de compoziia material.

Deoarece Pl < 1, reactorul nu poate ajunge critic (k = 1) dect dac factorul de multiplicare k este supraunitar.

La stabilirea relaiei pentru k am neglijat dou aspecte i

anume acelea c neutronii apar ca neutroni rapizi i dispar ca neutroni termici, deci pentru a ajunge n situaia de a fi absorbii n orice mod neutronii trebuie s evite absorbia de rezonan n nucleele materialului fertil 23892 U , acest

fenomen fiind caracterizat de un factor p care este probabilitatea de evitare a capturii de rezonan.

Deci

k f p .

Noi am considerat neutronii din generaia analizat ca fiind neutroni rapizi i o parte nsemnat din ei pot avea o energie superioar energiei de prag de 1,2 MeV, putnd produce fisiuni n materialul 23892 U , deci chiar din start

numrul de neutroni din generaie poate crete de la N1 la N1 unde reprezint factorul de fisiune cu neutroni rapizi.

numrul de fisuni produse n unitatea

de timp de neutroni de orice energie

numrul de fisuni poduse

numai de neutronii termici

Expresia:

k f p (2.3)

reprezint formula celor 4 factori.

Relaia final a factorului de multiplicare a reactorului nuclear, ca sistem finit, se poate obine relundu-se raionamentele anterioare i observndu-se evoluia neutronilor din generaie, de la neutronii rapizi la neutronii termici. Constatm c N1 neutroni de fisiune i pierd energia spre energia termic, n timpul acestui proces unii din neutroni pot evada din reactor (prin scurgeri n timpul ncetinirii).

Definim Pfl ca fiind probabilitatea de a se evita scurgerile de neutroni n timpul ncetinirii (deci scurgeri ca neutroni rapizi). Considerndu-se i probabilitatea de evitare a absorbiei de rezonan, la finalul acestui proces, n reactor se afl N1Pfl p neutroni care ajung termici. O parte din acetia scurg din reactor, motiv pentru care definim probabilitatea Ptl de evitare a scurgerii n procesul de difuzie, nainte ca neutronii termici s fie absorbii, deci la sfritul etape n reactor rmn N1Ptl p Ptl neutroni. Din acetia, o fraciune f, sunt absorbii n combustibil, iar fiecare neutron absorbit n combustibil elibereaz n medie un numr de neutroni deci numrul de neutroni rapizi ai noii generaii va fi:

N2 = N1Pfl p Ptl f (2.4)

21

Nk

N Ptl p Ptl f (2.5)

sau:

1 1f tk k P P (2.6)

expresie ce reprezint formula celor 6 factori n care produsul Pf1Pt1 = Pl reprezint probabilitatea pe care am definit-o anterior.

Deci:

1k k P (2.7)

este relaia fundamental a teoriei reactoarelor nucleare.

18. Perioada reactorului

La un reactor modern de tipul LWR. Atunci cnd este supraunitar, raportul de conversie poart numele de raport de breeding (breeding ratio), se noteaz cu BR i la astfel de reactoare energia medie a neutronilor este n jur de

0,1 MeV, seciunile de fisiune la astfel de energii sunt mici i n aceste condiii pentru realizarea strii critice este nevoie de cantiti mari de combustibil, motiv pentru care crete costul instalaiei. Starea reactorului poate fi apreciat mai bine cu o alt mrime

1kk

care este reactivitatea reactorului, care este nul pentru un reactor critic, pozitiv la un reactor supracritic i negativ la un reactor subcritic.

Unitatea de msur este 1 pcm = 105 (per cent miles) sau 1$.

$ =

Lund n considerare numai neutronii prompi de fisiune, se poate defini un factor de multiplicare al

reactorului kp = (1) k i o reactivitate prompt

1ppp

k

k

.

Un reactor prompt critic are 0p , deci kp = 1 i = .

De fapt reactorul prompt critic este un reactor supracritic. Revenind la expresia factorului de multiplicare n mediu infinit pentru un reactor omogen k f , factorul de

multiplicare este tlk f P unde

faf

v

i af afa af am

f

.

Deci

f tla

k P

,

iar pentru starea critic

1f ta

k P

= 1,

aceast relaie fiind echivalent cu cea dedus din analiza regimului tranzitoriu al reactorului termic omogen de tip plac Bg

2 = Bm2 .

22

1 1f f

f a a am

a

BDD L

2 22

1m g

kB B

L

pentru criticitate se poate scrie c:

2 2

11 g

k

L B

.

Dar 1 tlPk deci

221

1

g

tlBL

P

.

(2.8)

Dac se pornete de la definiia probabilitii:

rata absorbiei neutronilor n reactorrata absorbiei neutronilor + rata scurgerii lor din reactor

tlP

se poate calcula aceast expresie i n alt mod:

rata absorbiilor este:

( ) ( )R R

a a

V V

r V r V (2.9)

rata scurgerilor este:

2

(div )

div( grad ( )) ( )

R R

R R

S V

V V

J n A J V

D r V D r V

(2.10)

Dar:

2 2( ) ( )gr B r (2.11)

din ecuaia difuziei.

Deci:

2 ( )R R

g

S V

J n A D B r V (2.12)

(2.16) Dac se consider reactorul n stare subcritic k < 1 i

1 > 0, mrimea 1/1 reprezint perioada reactorului.

2 2

1

12 2

1 1

(1 )(1 )

1 1 1

1 11

a g

at

g

Tv B L k

l Pv k kB L

(2.17)

unde:

1tl P l (2.18)

este viaa medie a neutronilor n reactor innd cont de absorbii i de scurgeri.

1

lT

k

(2.19)

este perioada reactorului.

Fluxul neutronilor n reactorul critic, n stare staionar, este soluia ecuaiei:

2 2( ) ( ) 0gr B r

cu condiia de frontier ( ) 0exr S

r

Ecuaia este cunoscut sub numele de ecuaia Helmholtz sau ecuaia undelor, reprezentnd n teoria reactoarelor nucleare ecuaia strii critice.

19. Reactorul cilindric

Reactorul cilindric La acest reactor distanele de extrapolare sunt incluse

att n raze ct i n nlimea reactorului. Se consider un sistem de coordonate cilindrice cu originea n centrul reactorului, n aa fel nct fluxul neutronilor s depind numai de coordonata radial r i de cea axial z .

Fig.2.2.

Reprezentarea reactorului cilindric.

O

Z

h Z

r

Q

Se poate scrie c:

= ( r, z ).

Deci:

2 2( , ) ( , ) 0gr z B r z (2.20)

cu condiiile de frontier omogene:

= ( a, z ) = 0 i , 02

hr

.

Folosind expresia laplacianului

2

2

2

1r

r r r z

(2.21)

ecuaia lui Helmholtz se scrie:

2

2

2

1, 0gr B r z

r r r z

(2.22)

Se utilizeaz pentru rezolvare metoda separrii variabilelor:

( , ) ( ) ( )r z R r Z z (2.23)

Se nlocuiete n ecuaie i se mparte cu (r,z), rezultnd:

2 2

2

2 2

1 d 1 d 1 d0

dd dg

R R ZB

R rR r Zr z (2.24)

Suma care conine termeni depinznd numai de r sau de z, nu poate fi nul dect dac respectivii termeni sunt constani i deoarece 02 gB , aceti termeni trebuie s fie

negativi.

Notm:

2

2

2

1 d 1 d

ddr

R RB

R rR rr (2.25)

i

2

2

2

1 d

dz

ZB

Z z (2.26)

Deci:

2 2 2 0r z gB B B (2.27)

sau:

2 2 2g r zB B B (2.28)

care reprezint bucklingul geometric corespunztor coordonatelor r i z.

Ecuaia:

2

2

2

d0

dz

ZB z

z (2.29)

are soluie de forma:

( ) cos sinz z z zZ z A B z C B z (2.30)

Fluxul fiind funcie par de z rezult c Cz = 0 i

( ) cosz zZ z A B z (2.31)

Condiia de frontier impune ca:

cos 02

zB h

deci:

zBh

(2.32)

Deci variaia axial a fluxului de neutroni este dat de expresia:

( ) coszZ z A zh

(2.33)

Ecuaia:

2

2

2

1 d 1 d

ddr

R RB

R rR rr 2( )r R (2.34)

devine:

2

2 2

2

d d( ) 0

ddr

R Rr r rB R

rr (2.35)

Ecuaia este de forma: 2 2 2'' ' ( ) 0x y xy n y care este o

ecuaie Bessel de spea I-a i ordinul 0 (n = 0) cu soluiile J0 (x) i Y0 (x).

Fig.2.3.

Variaia

funciilor Bessel J0(x) i Y0 (x).

Cu schimbarea de variabil x = r Br ecuaia devine:

2 2'' ' ( ) 0x R xR x R x (2.36)

soluia sa fiind de forma:

0 0( ) ( ) ( )r rR x A J x C Y x (2.37)

Fluxul neutronilor trebuie s fie finit i observm c dac:

0 0( ) xY x atunci:

Cr = 0 i R(x) = Ar J0 (x) (2.38) sau:

R = Ar J0 (r Br) (2.39) cu condiiile de frontier R(a) = 0, J0 ( r Br ) = 0 deci

a.Br = 2,405 i 2,405

rBa

sau 0rBa

cu 0 = 2,405 deci

2

2 0rB

a

este bucklingul geometric asociat lui r, iar:

2,405=0

0,894

x

J0(x) 1

0 1 2 3 4

Y0(x)

2 2

2 0gB

a h

(2.40)

00( ) rR r A J ra

(2.41)

i n final fluxul neutronilor n reactorul critic este de forma:

0 0( , ) cosmr z

r z Ja h

(2.42)

unde m r zA A este fluxul mediu de neutroni respectiv fluxul

de neutroni n centrul reactorului.

Cu toate c s-ar prea ncheiat studiul strii critice vom cuta s determinm fluxul mediu i volumul critic minim.

20. Reactorul plac omogen cu reflector

Reactorul plac omogen cu reflector Presupunnd reactorul critic, n starea staionar,

fluxul neutronilor termici este descris de modul fundamental. Ecuaiile satisfcute de fluxul de neutroni n cele dou regiuni (zona activ c i reflectorul r) vor avea forma:

2

2

d( ) 0

d

f accc

c

xDx

, x ,

2 2

a a

(3.1)

2

2 2

d 1( ) 0

d

rr

r

xx L

, x ,

2 2

a ab

(3.2)

Fig.3.1.

Reactorul plac omogen cu reflector.

Reactorul are un plan de simetrie i deci fluxul de neutroni este o funcie par n raport cu coordonatele, dup axa Ox cu originea n planul de simetrie.

Deci:

c (x) = Ac cos Bm x , (3.3) cu:

2 0f acmc

BD

(3.4)

Condiiile de frontier asociate ecuaiilor pe care le satisfac fluxurile de neutroni c (x) i r (x) sunt:

(a) c (x)2

a

= r (x)2

a

(b) 2 2

d d

d d

c rc a r aD D

x x

(3.5)

(c) r (x)

b

ax

2

= 0

Fluxul neutronilor n reflector are o expresie

matematic care reprezint o combinaie de funcii

r c

r

0

a/2

x

a/2+b

hiperbolice, iar soluia care verific condiia de frontier (c), pentru x > 0 va fi:

r (x) = Ar sh 2r

ab x

L

(3.6)

Lund n considerare condiiile (a) i (b) obinem:

Ac cos2

maB = Ar sh rL

b (3.7)

i:

Dc Bm Ac sin2

maB = chr rr r

D bA

L L (3.8)

Necunoscutele sunt Ac i Ar , sistemul admind soluia nebanal, dac determinantul su este nul.

mprind cele dou ecuaii obinem ecuaia strii critice:

Dc Bm tg2

maB = cthrr r

D b

L L (3.9)

Ecuaia strii critice nu mai este o ecuaie algebric simpl, pentru motivul c s-a cutat tratarea unor situaii ct mai apropiate de realitate este o ecuaie transcendent implicit, deoarece marginile geometrice a i b apar n argumentele funciilor transcendente. Problema trebuie s fie abordat ntr-un mod ct mai convenabil, cutnd s determinm compoziia zonei active, deci bucklingul de material, Bm

2, atunci cnd se

cunosc dimensiunile i constantele de material Dr , Lr i Dc .

Ecuaia strii critice poate fi rezolvat prin iteraie sau pe cale grafic, cea mai comod fiind ultima cale, ecuaia fiind nmulit cu

2 c

a

D.

2

maB tg2

maB cth2

r

c r r

D a b

D L L (3.10)

Din grafice rezult foarte multe intersecii, dar ne intereseaz valoarea minim a bucklingului care corespunde primei intersecii care reprezint soluia strii critice care satisface inegalitatea:

a < mB

n cazul reactorului fr reflector, grosimea reactorului era egal chiar cu

mB

= a0 , rezultnd:

a0 = mB

> a i a < a0 = mB

,

deci prezena reflectorului are ca efect micorarea grosimii reactorului critic, ceea ce deja se anticipase.

Fig.3.2.

Reprezentarea grafic a modului de rezolvare

a ecuaiei reactorului cu reflector.

Micorarea dimensiunilor reactorului este dependent de grosimea reflectorului, dar aceast micorare are o limit impus de situaia n care grosimea reflectorului tinde la infinit ( b).

partea

dreapt

b

partea stng

0

2/3

min2

maB

22

m

aB

/2 3/2

Din punctul de vedere al celui care proiecteaz reactorul, valoarea

min2

maB

prezint un interes major,

deoarece la o compoziie dat stabilete grosimea minim posibil a zonei active pentru care reactorul mai poate fi critic:

c = Ac cos Bmx (3.11)

i din relaia de definiie a indicelui economic se deduce grosimea reactorului critic cu reflector a = a0 2 care se nlocuiete n ecuaia strii critice:

DcBm tg2

maB = cthrr r

D b

L L

a0 = mB

Dc Bm tg(a0 2)2

mB = DcBm tg 02

mm

a BB

= Dc Bm tg

2mB

,

sau

Dc Bm tg2

maB = Dc Bm ctg Bm = tg

c m

m

D B

B

(3.13)

Din ecuaia strii critice rezult:

tg

c m

m

D B

B

=

th

r

rr

D

bL

L

,

deci:

tg Bm = thLc r m

r r

D B b

D L

21. Indicele de economie al reflectorului

Indicele de economie al reflectorului

Acest indice (reflector savings) se definete prin relaia:

0 01

2 2 2

a aa a cm

(3.12)

a) Dac reactorul este voluminos iar reflectorul este subire, este valabil aproximaia

thr r

b b

L L

iar soluia este de forma:

cr

Db

D (3.19)

b) Dac reactorul este voluminos iar reflectorul este gros, se poate considera

th 1r

b

L ,

iar soluia este:

c rr

DL

D (3.20)

Pentru rezolvarea ecuaiei transcendente poate fi utilizat o metod iterativ, nlocuindu-se tg prin sin i cos, rezultnd:

sin th cosc r mm mr r

D L B bB B

D L

(3.21)

sau

cos cth sinrm mc r m r

D bB B

D L B L

(3.22)

Rezolvarea ecuaiei se deruleaz n modul urmtor: se alege o valoare iniial 0 i se calculeaz partea dreapt a ecuaiei i dup egalarea cu partea stng se obine o prim estimare 1, cu care se recalculeaz partea dreapt, procesul repetndu-se pn cnd se obine o precizie suficient de bun.

Ecuaia utilizat pentru aproximaiile succesive este:

1cos cth sinrm i m ic r m r

D bB B

D L B L

(3.23)