trigonometria no triângulo retângulo · 2020. 8. 5. · razões trigonométricas no triângulo...
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TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Prof. Antonio Carlos
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Significado e elementos importantes
Trigonometria
Três Ângulos Medida
É o ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.
hipotenusa
catetos
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Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
hipotenusa
cateto
cateto
Fração
oposto
adjacente(oposto)
(adjacente)
𝑠𝑒𝑛𝑜 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Observações:
• Quando falamos de seno, cosseno ou tangente, sempre devemos relacionar a um ângulo.
• O maior valor possível para seno ou cosseno é 1.
• Cada ângulo tem seu próprio valor de seno, cosseno e tangente.
• O cosseno de um ângulo é igual ao seno do complementar dele. Ex.: cos 30° = sen 60°
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6. (Enem (Libras) 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos,
sofrem inclinações durante ou após suas construções.
Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo 𝛼, e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura medindo 1,80 metro, conforme mostra a figura.
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a
apresentada.
Ângulo 𝛼 (Grau) Seno
0,0 0,0
1,0 0,017
1,5 0,026
1,8 0,031
2,0 0,034
3,0 0,052
Uma estimativa para o ângulo de inclinação 𝛼, quando dado em grau, é tal que
a) 0 ≤ 𝛼 < 1,0
b) 1,0 ≤ 𝛼 < 1,5
c) 1,5 ≤ 𝛼 < 1,8
d) 1,8 ≤ 𝛼 < 2,0
e) 2,0 ≤ 𝛼 < 3,0
60
𝑠𝑒𝑛𝛼 =1,8
60=
18
600= 0,03
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1. (G1 - ifpe 2017) Um estudante do curso técnico de Edificações do IFPE Campus Recife, precisou medir a altura de
um edifício de 6 andares. Para isso, afastou-se 45 metros do edifício e, com um teodolito, mediu o ângulo de 28°,conforme a imagem abaixo.
Usando as aproximações 𝑠𝑒𝑛 28° = 0,41, 𝑐𝑜𝑠 28° = 0,88 e 𝑡𝑔 28° = 0,53, esse estudante concluiu corretamente que a altura desse edifício é
a) 21,15 𝑚.
b) 23,85 𝑚.
c) 39,6 𝑚.
d) 143,1 𝑚.
e) 126,9 𝑚. 𝑡𝑔28° =𝑥
45
0,53 =𝑥
45
0,53 . 45 = 𝑥
𝑥 = 23,85
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ÂNGULOS NOTÁVEIS
Prof. Antonio Carlos
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30° 45° 60°
Seno1
2
2
2
3
2
Cosseno3
2
2
2
1
2
Tangente3
31 3
Ângulos Notáveis
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30° 45° 60°
Seno
Cosseno
Tangente
Ângulos Notáveis
1 2 3
3 2 1
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
3
31 3
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4. (Enem 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual
está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede 6
𝜋𝑐𝑚, e
ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é
a)36 3
b)24 3
c)4 3
d)36
e)72
𝐶 = 2. 𝜋. 𝑟
𝑥 = 6 . 2. 𝜋.6
𝜋
𝑥 = 6 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠
𝑥 = 72
𝑡𝑔30° =ℎ
72
3
3=
ℎ
72
3. ℎ = 72 3
ℎ =72 3
3
ℎ = 24 3
ℎ =?
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5. (Unifor 2014) Uma pessoa está a 80 3𝑚 de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30°, como mostra a figura abaixo.
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6𝑚 de distância do solo, então podemos afirmar que a altura do prédio em metros
é:
a) 80,2 b) 81,6 c) 82,0 d) 82,5 e) 83,2
80 3
𝐻 =?
ℎ
𝑡𝑔30° =ℎ
80 3
3
3=
ℎ
80 3
3. ℎ = 80 3. 3
3. ℎ = 80 . 3
ℎ = 80
1,6
𝐻 = 80 + 1,6
𝐻 = 81,6
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CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Prof. Antonio Carlos
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CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Definição: é um círculo de raio 1 e centro na origem do plano cartesiano. A cada ponto da circunferência associamos um ângulo, que é formado entre o eixo x e o raio. Conseguimos ver no círculo trigonométrico os valores das razões trigonométricas para qualquer ângulo.
𝑥𝐴
𝑦𝐴
𝛼
𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠²𝛼 = 1𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑥
1
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝑦
1
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑡𝑔𝛼 =𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
“com sono”
“sem sono”
“deitado”
“em pé”
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1° 2° 3° 4°
Seno + + − −
Cosseno + − − +
Tangente + − + −
Sinais nos Quadrantes
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0°=360° 90° 180° 270°
Seno 0 1 0 −1
Cosseno 1 0 −1 0
Tangente 0 ∄ 0 ∄
Ângulos Quadrantais
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Redução ao 1° Quadrante
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Ex.: a) sen 150° = sen 30° =1
2
Ex.: b) cos 210° = cos 30° =– −3
2
Ex.: c) tg 300° = tg 60° =– − 3
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UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS
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2𝜋
3𝑟𝑎𝑑 =
2.180°
3= 120°
80° 𝑥
180° 𝜋 𝑟𝑎𝑑
80°𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180°. 𝑥
𝑥 =80𝜋
180𝑟𝑎𝑑
𝑥 =4𝜋
9𝑟𝑎𝑑
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LEI DOS SENOS
Prof. Antonio Carlos
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LEI DOS SENOS
𝑎
𝑠𝑒𝑛 መ𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 መ𝐶= 2𝑟
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(Ufpb 2010) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser
reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um
topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o
ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito
empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos B መ𝐶A e C መ𝐴B mediam, respectivamente,
30º e 105º, conforme ilustrado na figura a seguir.
Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em
metros, do ponto A ao ponto B é de:
a) 200 2 b) 180 2 c) 150 2 d) 100 2 e) 50 2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 መ𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 መ𝐶= 2𝑟
𝑥
𝑠𝑒𝑛 30°=
200
𝑠𝑒𝑛 45°⇒
𝑥
12
=200
22
⇒ 𝑥 =200
2
⇒ 𝑥 =200 2
2⇒ 𝑥 = 100 2
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(Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:
Os segmentos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐶𝐴 simbolizam ciclovias construídas no interior
da praça, sendo que 𝐴𝐵 = 80 𝑚. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:
a) 160 3
3𝑚 b)
80 3
3𝑚 c)
16 3
3𝑚 d)
8 3
3𝑚
𝑎
𝑠𝑒𝑛 መ𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 መ𝐶= 2𝑟
80
𝑠𝑒𝑛 60°= 2𝑟 ⇒
80
32
= 2𝑟 ⇒ 80 = 2𝑟 .3
2
⇒ 𝑟 =80
3⇒ 𝑟 =
80 3
3
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LEI DOS COSSENOS
Prof. Antonio Carlos
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LEI DOS COSSENOS
𝑎² = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 መ𝐴
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7. (Unicamp 2018) Considere que o quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1 𝑐𝑚, e que 𝐶 é o ponto médio do segmento 𝐴𝐸. Consequentemente, a distância entre os pontos 𝐷 e 𝐸 será igual a
a) 3 𝑐𝑚. b) 2 𝑐𝑚. c) 5 𝑐𝑚. d) 6 𝑐𝑚.
𝑥 =?
1
1= 2𝑑
𝑑2 = 12 + 1²
𝑑2 = 2
d = 2
2
1
𝑎² = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 መ𝐴
𝑥2 = 12 + 2. 22− 2.1.2 2. 𝑐𝑜𝑠45°
𝑥2 = 1 + 8 − 2.1.2 2.2
2
𝑥2 = 1 + 8 − 4
𝑥2 = 5
𝑥 = 5
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Mapa mental para resolver problemas com triângulos
Prof. Antonio Carlos
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Preciso de quantos triângulos para resolver o problema?
Um
Dois
O triângulo é retângulo?
Sim
Não
Tenho ângulo agudo?
Sim
Não
O que eu tenho?
2 lados2 ângulos
LEI DOS SENOS
3 lados1 ângulo
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(G1 - ifpe 2017) O professor de matemática do Campus Pesqueira lançou um desafio à turma de Edificações: estimar
a altura da Serra do Ororubá utilizando apenas um transferidor. Sara, aluna da turma, lembrou que existe uma placa
turística a 1 𝑘𝑚 de distância da serra de onde se consegue enxergar o cume da Serra. Chegando a esta placa, Sara, com o transferidor perpendicular ao solo, estimou um ângulo de 50° entre a base e o cume da Serra do Ororubá. Sabendo que 𝑠𝑒𝑛50° = 0,77 ; 𝑐𝑜𝑠 50° = 0,64; 𝑡𝑔 50° = 1,19; e tomando como referência o esquema mostrado na figura abaixo, certo que Sara não errou os cálculos, qual é a altitude estimada da Serra do Ororubá calculada por ela?
a)1.000 𝑚 b)640 𝑚 c)770 𝑚 d)1.190 𝑚 e)830 𝑚
𝑡𝑔50° =ℎ
1000
1,19 =ℎ
1000
ℎ = 1000 . 1,19
ℎ = 1190
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(Ufpb 2010) Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma
superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No
parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de comprimento
e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a
seguir.De acordo com essas informações, é correto afirmar que
o comprimento (L) da rampa é de:
a) 2m
b) 2 2m
c) 3 2m
d) 4 2m
e) 5 2m
2
𝑠𝑒𝑛 30°=
𝐿
𝑠𝑒𝑛 45°⇒
2
12
=𝐿
22
⇒ 2 =𝐿
2⇒ 𝐿 = 2 2
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(G1 - cps 2016) A erosão é o processo de desgaste, transporte e sedimentação das rochas e, principalmente, dos
solos. Ela pode ocorrer por ação de fenômenos da natureza ou do ser humano. A imagem mostra uma fenda no solo,
proveniente de erosão. Para determinar a distância entre os pontos A e B da fenda, pode-se utilizar o modelo
matemático da figura.Na figura, tem-se:
- os triângulos 𝐴𝐹𝐶 e 𝐸𝐹𝐷;
- o ponto 𝐸 pertencente ao segmento 𝐴𝐹;
- o ponto 𝐷 pertencente ao segmento 𝐶𝐹;- os pontos 𝐶, 𝐷 e 𝐹 pertencentes ao terreno plano que margeia a borda da fenda;
- as retas 𝐴𝐶 e 𝐸𝐷 que são paralelas entre si.
Sabendo-se que 𝐵𝐶 = 5 𝑚, 𝐶𝐷 = 3 𝑚,𝐷𝐹 = 2 𝑚 e 𝐸𝐷 = 4,5 𝑚, então, a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 é, em metros,
a) 6,25. b) 6,50. c) 6,75. d) 7,25. e) 7,75.
5
3
2
4,5
𝑥 =?4,5
𝑥 + 5=2
5⇒ 2𝑥 + 10 = 22,5
⇒ 2𝑥 = 22,5 − 10
⇒ 2𝑥 = 12,5
⇒ 𝑥 =12,5
2= 6,25
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(G1 - cp2 2020) Para incentivar o turismo, o prefeito de uma cidade decide criar uma tirolesa ligando duas montanhas
do Parque Ecológico Municipal. Um engenheiro foi contratado para projetar a atração e precisa saber quantos metros
de cabo de aço necessitará para ligar os topos dessas duas montanhas.
Para facilitar esses cálculos, o engenheiro criou, em seu projeto, os triângulos equiláteros 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐹, pertencentes a
um mesmo plano vertical, em que 𝐴 e 𝐷 representam os topos das montanhas e os pontos 𝐵, 𝐶, 𝐸 e 𝐹 estão
alinhados no plano horizontal. Observe a figura a seguir com a situação descrita:
Sabendo que os triângulos equiláteros 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐹 têm,
respectivamente, 32 metros e 16 metros de lado; e que a
distância entre os pontos 𝐶 e 𝐸 é de 23 metros, a medida
de cabo de aço (𝐴𝐷), em metros, que o engenheiro
encontrará será de
a) 47. b) 49. c) 51. d) 53.
32
32
32
16
16
16
𝑥 =?
𝐻 =ℓ 3
2
16 38 3
23
8 3
8 3
23 + 8 + 16 = 47
𝑥2 = 472 + (8 3)²
𝑥2 = 2209 + 64.3
𝑥2 = 2209 + 192
𝑥2 = 2401
𝑥 = 2401 = 49
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(G1 - ifsul 2015) Em certa cidade, a igreja está localiza no ponto 𝐴, a prefeitura no ponto 𝐵, e a livraria no ponto 𝐶,como mostra os pontos a seguir. Sabendo-se que a distância da igreja à prefeitura é de 10 metros, a distância da prefeitura à livraria corresponde a 15 metros, e que o ângulo formado por essas duas direções é 60°, a distância da livraria à igreja é
a) 17 5𝑚 b) 5 7𝑚 c) 25 7𝑚 d) 7 5𝑚10
15
60°
𝑥 =?
𝑎² = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 መ𝐴
𝑥2 = 102 + 15² − 2.10.15. 𝑐𝑜𝑠60°
𝑥2 = 100 + 225 − 2.10.15.1
2
𝑥2 = 100 + 225 − 150
𝑥2 = 175
𝑥 = 5 7
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(Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse
desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 𝑐𝑚, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as
hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto 𝐶, a ponta do grafite está representada pelo ponto 𝐵 e a cabeça do compasso está representada pelo ponto 𝐴conforme a figura.
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber
o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este
se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de
acordo com os dados.
Tipo de material Intervalo de valores de raio (𝑐𝑚)I 0 < 𝑅 ≤ 5II 5 < 𝑅 ≤ 10III 10 < 𝑅 ≤ 15IV 15 < 𝑅 ≤ 21V 21 < 𝑅 ≤ 40
Considere 1,7 como aproximação para 3.
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção
será
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
10 10
𝑅 =?
-
10 10
𝑅 =?
10
𝑠𝑒𝑛 30°=
𝑅
𝑠𝑒𝑛 120°
10
12
=𝑅
32
𝑅 = 10 3
𝑅 = 10 . 1,7
2 ângulos iguais
Triângulo isósceles
2 lados iguais
𝑠𝑒𝑛 120° = 𝑠𝑒𝑛 60°
𝑅 = 17
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(Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse
desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 𝑐𝑚, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as
hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto 𝐶, a ponta do grafite está representada pelo ponto 𝐵 e a cabeça do compasso está representada pelo ponto 𝐴conforme a figura.
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber
o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este
se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de
acordo com os dados.
Tipo de material Intervalo de valores de raio (𝑐𝑚)I 0 < 𝑅 ≤ 5II 5 < 𝑅 ≤ 10III 10 < 𝑅 ≤ 15IV 15 < 𝑅 ≤ 21V 21 < 𝑅 ≤ 40
Considere 1,7 como aproximação para 3.
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção
será
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
10 10
𝑅 =?
𝑅 = 17
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POLÍGONOS REGULARES NA CIRCUNFERÊNCIA
Prof. Antonio Carlos
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𝑅
TRIÂNGULO EQUILÁTEROR = raio da circunferência circunscrita
𝑅
Propriedade: o raio da circunferência circunscrita é bissetriz do ângulo interno do polígono.
a
a = apótema do polígono ➔ segmento de reta que parte do centro da circunferência circunscrita e divide o lado ao meio, perpendicularmente.
𝐿
2
60°
30°
â =360°
2. 𝑛
𝑠𝑒𝑛 30° =𝑎
𝑅
1
2=
𝑎
𝑅
𝑅 = 2 . 𝑎
𝑐𝑜𝑠 30° =ൗ𝐿 2𝑅
3
2=
ൗ𝐿 2𝑅
𝐿 = 𝑅 3
O apótema é o raio da circunferência inscrita.
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QUADRADO
𝑅𝑅
45°
a
𝑐𝑜𝑠 45° =ൗ𝐿 2𝑅
2
2=
ൗ𝐿 2𝑅
𝐿 = 𝑅 2
𝐿
2
tg 45° =𝑎
ൗ𝐿 2
1 =𝑎
ൗ𝐿 2
𝑎 =𝐿
2
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HEXÁGONO REGULAR
𝑅
60°
a
ൗ𝐿 2
120°
𝑐𝑜𝑠 60° =ൗ𝐿 2𝑅
1
2=
ൗ𝐿 2𝑅
𝐿 = 𝑅
tg 60° =𝑎
ൗ𝐿 2
3 =𝑎
ൗ𝐿 2
𝑎 =𝐿 3
2
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10. (Enem 2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas
giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma.
Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma
plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em
termos da medida L do lado da base da estatua.
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?
a) 𝑅 ≥ 𝐿/ 2 b) 𝑅 ≥ 2𝐿/𝜋 c) 𝑅 ≥ 𝐿/ 𝜋 d) 𝑅 ≥ 𝐿/2 e) 𝑅 ≥ 𝐿/ 2 2
𝑅
45°
a
𝐿
2
𝑐𝑜𝑠 45° =ൗ𝐿 2𝑅
2
2=
ൗ𝐿 2𝑅
𝑅 2 = 𝐿
𝑅 2 ≥ 𝐿
𝑅 ≥𝐿
2
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9. (Ueg 2018) A melhor maneira de alocarmos pontos igualmente espaçados em um círculo é escrevê-los nos
vértices de polígonos regulares, conforme a figura a seguir exemplifica com 6 pontos.
Para alocarmos 36 pontos igualmente espaçados em um círculo de raio 1, a distância mínima entre eles deve ser aproximadamente. Use 𝑠𝑒𝑛 (5°) = 0,08
a) 0,12 b) 0,11 c) 0,16 d) 0,14 e) 0,19
𝑅a
â =360°
2. 𝑛➔ â =
360°
2.36➔ â =
360°
72➔ â = 5°
𝐿
2
𝑠𝑒𝑛 5° =ൗ𝐿 2𝑅
0,08 =ൗ𝐿 21
𝐿
2= 0,08 𝐿 = 0,16
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