relaÇÕes mÉtricas no triÂngulo retÂngulo · relaÇÕes mÉtricas no triÂngulo retÂngulo...

Professor: Paulo Vinícius www.cursoexpoente.com.br

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Questão 01. (G1 - ifal 2018) A

hipotenusa de um triângulo retângulo

mede 13 cm. Determine o valor da

medida do cateto maior sabendo que o

cateto menor mede 5 cm.

a) 6 cm.

b) 8 cm.

c) 10 cm.

d) 11cm.

e) 12 cm.

TEXTO PARA A PRÓXIMA

QUESTÃO:

Considere o texto e a imagem a seguir

para responder à(s) questão(ões) a

seguir.

Na figura, BAC e DEC são triângulos

retângulos em A e E, com AB 15 cm,

ED 10 cm e AE 30 cm. O ponto C

pertence a AE e o ponto F pertence a r,

que é reta suporte de DE.

O ponto C pode mover-se ao longo de

AE, e o ponto F pode mover-se ao

longo de r, como mostra a figura.

A partir dessas condições, demonstra-se

facilmente que BC CD será mínimo na

circunstância em que o triângulo DCF é

isósceles de base DF.

Questão 02. (Insper 2018) A medida

de BD, em centímetros, é igual a

a) 5 53

b) 5 37

c) 6 26

d) 5 41

e) 18 3

Questão 03. (G1 - cp2 2017)

“Diferente dos balões comuns, os balões

meteorológicos são produzidos com

borracha natural usando um processo de

rotomoldagem. Isso quer dizer que toda

a superfície do balão apresenta a mesma

espessura, evitando estouros

prematuros.”

Fonte:

http://www.mundoclima.com.br/baloes-

meteorologicos/balao-meteorologico-

de-grande-altitude-600g/. Acesso em:

15 de maio de 2016.

Dois jovens pesquisadores, João e

Diogo, decidiram lançar um único balão

meteorológico para fazer um estudo.

Após o lançamento, em um dado

momento, João estava a 8 km do balão e

Diogo a 15 km. Sabe-se que o balão

subiu verticalmente durante todo o

percurso e que a distância entre os

pesquisadores naquele momento era de 17 km.

Observe a figura abaixo, representativa

da situação:


Desconsiderando a curvatura da Terra,

pode-se afirmar que a altura aproximada

desse balão era de

a) 6 km.

b) 6,5 km.

c) 7 km.

d) 7,5 km.

Questão 04. (G1 - cftmg 2017) Duas

crianças, cada uma em um prédio

diferente, brincam com canetas lasers

nas janelas de seus apartamentos,

apontando para um ponto na quadra

situada entre os prédios. A criança do

prédio A está a uma altura de 10 m, e a

do prédio B, a uma altura de 20 m do

chão. A distância entre os prédios é de 50 m.

Em um determinado momento, os lasers

das crianças atingem, simultaneamente,

um ponto P do pátio equidistante das

crianças, tal como na ilustração abaixo:

A distância x, em metros, deste ponto

até o prédio B é

a) 22.

b) 23.

c) 25.

d) 28.

Questão 05. (G1 - cp2 2017) Pedrinho

está brincando com duas moedas

circulares com tamanhos diferentes e

uma régua não graduada. Sabe-se que as

moedas possuem raios iguais a 8 e 18

milímetros, respectivamente. Em certo

momento ele posicionou as duas

moedas tangentes à régua em dois

pontos (A e B), e tangentes entre si,

simultaneamente, conforme a figura a

seguir:

Nessas condições, o comprimento de

AB seria igual a

a) 26 mm.

b) 24 mm.

c) 22 mm.

d) 20 mm.

Questão 06. (G1 - ifce 2016) Um

retângulo cujo comprimento excede a

largura em 2 m está inscrito em um

círculo de 5 m de raio. A área desse

retângulo, em metros quadrados, vale

a) 56.

b) 35.

c) 48.

d) 50.

e) 64.

Questão 07. (G1 - ifpe 2016) Um fio

foi esticado entre as extremidades de

duas torres de transmissão. Sabendo que

a torre menor tem 16 m de altura, a

torre maior tem 21m de altura e que a

distância entre as duas torres é de 12 m,

qual é o comprimento do fio?

a) 13 m

b) 5 m


c) 37 m

d) 12 m

e) 10 m


triângulo retângulo tem catetos medindo

1 e 2. Se um quadrado for construído

tendo como lado a hipotenusa desse

triângulo, a diagonal do quadrado

medirá

a) 5.

b) 2 5.

c) 5 2.

d) 10.

e) 2.

Questão 09. (G1 - cps 2016) As

barragens são elementos fundamentais

para as usinas hidrelétricas.

O trapézio ABCD da imagem é um

modelo matemático que representa um

corte vertical de uma barragem.

Na imagem, a crista mede 10 metros, a

altura mede 12 metros, o talude de

montante mede 13 metros e o talude de

jusante mede 15 metros.

Para calcular a medida da base,

podemos dividir a figura em outros

polígonos, como triângulos.

Assim, considere um primeiro triângulo

retângulo que tem como hipotenusa o

talude de montante e como catetos a

altura e uma parte da base, com medida

x. Aplicando o Teorema de Pitágoras

nesse triângulo, temos:

2 2 2 2 2 2x 12 13 x 144 169 x 169 144 x 25

Como procuramos uma medida, o valor

será positivo, então x 5.

Considere também, um segundo

triângulo retângulo que tem como

hipotenusa o talude de jusante e como

catetos a altura e outra parte da base,

com medida y.

Após aplicar o Teorema de Pitágoras no

segundo triângulo descrito, podemos

concluir que a medida da base do

trapézio é, em metros,

a) 5.

b) 9.

c) 14.

d) 24.

e) 50.

Questão 10. (Ita 2016) Um triângulo

está inscrito numa circunferência de

raio 1cm. O seu maior lado mede 2 cm.

e sua área é de 21cm .

2 Então, o menor

lado do triângulo, em cm, mede

a) 1

1 .2

b) 2 2.

c) 1

.2

d) 2

.6

e) 3

.6

Questão 11. (G1 - ifba 2016) Um

grupo de corredores de aventura se

depara com o ponto A no topo de um

despenhadeiro vertical (o ângulo C é

reto), ponto este que já está previamente

ligado ao ponto B por uma corda

retilínea de 60 m, conforme a figura a

seguir:


Se a altura (AC 30 m) do

despenhadeiro fosse a metade do que é,

o comprimento da corda deveria ser

igual a:

a) 15 m.

b) 30 m.

c) 3 15 m.

d) 13 15 m.

e) 15 13 m.


retângulo inscrito em um círculo de raio

5 cm tem um dos lados medindo 2 cm a

mais que o outro. A área desse

retângulo, em centímetros quadrados, é

a) 30.

b) 56.

c) 48.

d) 24.

e) 40.

Questão 13. (G1 - ifce 2016)

No triângulo ABC, C 90 , AC 6 cm,

BC 8 cm. Os pontos D e E estão sobre

os lados AB e BC, respectivamente, e o

ângulo BED 90 . Se DE 4 cm, então

BD mede

a) 5.

b) 15

.2

c) 8.

d) 20

.3

e) 16

.3

Questão 14. (Mackenzie 2016) A soma

entre as medidas da altura e da base de

um retângulo é de 14 cm. Se a diagonal

mede 10 cm, então as medidas da altura

e da base do retângulo são,

respectivamente,

a) 2 cm e 12 cm

b) 9 cm e 5 cm

c) 10 cm e 4 cm

d) 8 cm e 6 cm

e) 11cm e 3 cm

Questão 15. (Unisinos 2016) Na figura

abaixo, temos um trapézio retângulo

cujas bases medem 9 cm e 12 cm e cujo

lado não perpendicular às bases mede 5 cm.

Qual o perímetro, em cm, desse

trapézio?

a) 26.

b) 29.

c) 30.

d) 31.

e) 48.

Questão 16. (Uece 2015) As medidas

das arestas de um paralelepípedo reto,

em metros, são as raízes da equação 3 2x 5x 8x t 0, onde t é um

número real. A medida da diagonal

deste paralelepípedo é

a) 6 m.

b) 8 m.

c) 3 m.


d) 5 m.

Questão 17. (G1 - cftmg 2015) Na

figura a seguir, os quadrados ABCD e

DEFG possuem áreas iguais a 9 e 216m , respectivamente. O triângulo

ADG é retângulo em D e λ é a

circunferência cujo centro está no ponto O.

Sabendo-se que a área de um círculo de

raio r é 2r ,π então o valor da área

delimitada por ,λ em 2m , é igual a

a) 4,55π

b) 5,76π

c) 7,24π

d) 9,30π

Questão 18. (Ufrgs 2015) Quatro

círculos de raio r foram traçados de

forma que sejam tangentes entre si dois

a dois, como na figura abaixo. As

distâncias entre os centros de dois

círculos não tangentes entre si têm a

mesma medida.

A distância entre os centros de dois

círculos não tangentes entre si é

a) 2r.

b) 2r .

c) r 2.

d) 2r 2.

e) 2r 2.

Questão 19. (Insper 2015) Na figura,

AD é um diâmetro da circunferência

que contém o lado BC do quadrado

sombreado, cujos vértices E e F

pertencem à circunferência.

Se a é a medida do segmento AB e é

a medida do lado do quadrado, então a

é igual a

a) 5 2.

b) 5 1

.2

c) 5 1

.2

d) 5

.2

e) 5 2.

Questão 20. (G1 - col. naval 2015)

Qual a medida da maior altura de um

triângulo de lados 3, 4 e 5?

a) 12

5

b) 3

c) 4

d) 5

e) 20

3


Questão 21. (G1 - ifsul 2015)

Considere a figura:

A área da região hachurada, em 2cm , é

a) 3

(10 100)4

π

b) 3

(50 100)4

π

c) 3

(100 100)4

π

d) 50 10π

Questão 22. (Uece 2015) No plano, as

circunferências 1C e 2C , cuja medida

dos raios são respectivamente 4 cm e

1cm tangenciam-se exteriormente e são

tangentes a uma reta r em pontos

distintos. Uma terceira circunferência

3C , exterior a 1C e a 2C , cuja medida

do raio é menor do que 1cm tangencia a

reta r e as circunferências 1C e 2C .

Nestas condições a medida do raio da

circunferência 3C é

a) 1

cm.2

b) 1

cm.3

c) 4

cm.9

d) 5

cm.3

Questão 23. (Pucrs 2015) Considere a

figura e o texto abaixo.

As medidas de comprimento e largura

da tela de uma televisão, em geral,

obedecem à proporção 16 : 9, sendo que

o número de polegadas (1pol 2,5 cm)

desse aparelho indica a medida da

diagonal de sua tela.

Considerando essas informações, as

medidas do comprimento e da largura,

em centímetros, de uma TV de 32

polegadas, como mostra a figura acima,

podem ser obtidas com a resolução do

seguinte sistema:

a) 2 2

x 9

y 16

x y 32

b) 2 2

x 16

y 9

x y 32

c) 2 2

x 16

y 9

x y 1024

d) 2 2

x 9

y 16

x y 6400

e) 2 2

x 16

y 9

x y 6400

Questão 24. (Unicamp 2015) A figura

a seguir exibe um pentágono com todos

os lados de mesmo comprimento.


A medida do ângulo θ é igual a

a) 105 .

b) 120 .

c) 135 .

d) 150 .

Questão 25. (Unicamp 2014) O

perímetro de um triângulo retângulo é

igual a 6,0 m e as medidas dos lados

estão em progressão aritmética (PA). A

área desse triângulo é igual a

a) 3,0 m2.

b) 2,0 m2.

c) 1,5 m2.

d) 3,5 m2.

Questão 26. (Ucs 2014) Uma escada

de 15 m, encostada em uma parede, fica

estável quando a distância do chão ao

seu topo é 5 m maior que a distância da

parede à base da escada.

Nessa posição, qual é, em metros,

aproximadamente, a altura que a escada

alcança na parede, considerando que as

bases da escada e da parede estão no

mesmo nível? Use para o cálculo a

aproximação 4,12log 17 2.

a) 7,80

b) 8,24

c) 10,00

d) 12,80

e) 13,40

Questão 27. (G1 - ifsc 2014)

Todos os anos, no mês de Setembro,

comemora-se a Independência do

Brasil. Durante uma semana, muitas

Instituições exibem a Bandeira do

Brasil como forma de homenagear a

Pátria.

A maioria dos brasileiros desconhece

que a fabricação da Bandeira Nacional

obedece a rígidos critérios em relação às

dimensões das figuras geométricas

(retângulo, losango e círculo), das letras

e das estrelas.

Considere que as diagonais maior e

menor do losango amarelo da Bandeira

do Brasil medem 16 dm e 12 dm,

respectivamente.

Então é CORRETO afirmar que a linha

que delimita a parte amarela mede:

a) 40 dm

b) 28 dm

c) 20 dm

d) 48 dm

e) 96 dm

Questão 28. (Cefet MG 2014) A figura

abaixo tem as seguintes características:

- o ângulo E é reto;

- o segmento de reta AE é paralelo ao

segmento BD;

- os segmentos AE, BD e DE, medem,

respectivamente, 5, 4 e 3.


O segmento AC, em unidades de

comprimento, mede

a) 8.

b) 12.

c) 13.

d) 61.

e) 5 10.

Questão 29. (Unifor 2014) Os pneus de

uma bicicleta têm raio R e seus centros

distam 3R. Além disso, a reta t passa

por P e é tangente à circunferência do

pneu, formando um ângulo α com a

reta s que liga os dois centros.

Pode-se concluir que cos α

a) 2 3

3

b) 3 2

2

c) 3 3

2

d) 2 2

3

e) 3

3

Questão 30. (G1 - ifsp 2014) Ao ligar,

por segmentos de retas, os pontos

médios dos lados de um quadrado de

lado 60 cm, obtém-se um quadrilátero,

cujo perímetro é, em centímetros,

a) 30 2.

b) 60 2.

c) 90 2.

d) 120 2.

e) 150 2.

Questão 31. (G1 - ifpe 2014) Para

determinar a largura L de um rio de

margens paralelas, sem precisar

atravessá-lo, um topógrafo utilizou o

seguinte procedimento:

- a partir de um ponto B na margem em

que se encontrava, avistou um ponto

A na margem oposta, de modo que o

segmento AB fosse perpendicular às

margens (observe a figura);

- deslocou-se 100 metros

perpendicularmente a AB até o ponto C;

- do ponto C, determinou a medida do

ângulo BCA, obtendo 60 .

Adotando 3 1,73, qual o valor

aproximado encontrado para L, em

metros?

a) 153

b) 158

c) 163

d) 168

e) 173

Questão 32. (G1 - ifal 2014) Em um

triângulo retângulo, a hipotenusa é a 3

e um dos catetos a 3. Se o outro cateto

vale 18, quanto vale a?

a) 20

b) 22

c) 24

d) 27

e) 30


Gabarito:

Resposta da questão 1:

[E]

Considere a situação:

Aplicando o Teorema de Pitágoras

temos: 2 2 2

2 2 2

2

2

hip cat cat

13 5 cat

cat 169 25

cat 144

cat 144

cat 12 cm


[B]

Considere a figura, em que D' é o pé da

perpendicular conduzida por D sobre

AB.

Portanto, sendo D'B 15 10 5cm e

D'D AE, pelo Teorema de Pitágoras,

vem

2 2 2 2 2 2BD D'B D'D BD 5 30

BD 5 37 cm.


[C]

Como 2 2 217 8 15 , concluímos que o

ângulo do triângulo com vértice no

balão é reto.

Portanto, a altura h do balão

desprezando a altura dos pesquisadores

será dada por: 17 h 8 15 17 h 120 h 7 km


[A]

Nos triângulos assinalados na figura

temos o seguinte sistema: 2 2 2

2 2 2

d 10 (50 x)

d 20 x

Igualando as equações, temos: 2 2 2 2

2 2

20 x 10 (50 x)

400 x 100 2500 100x x

100x 2200

x 22


[B]


Considerando que D e C são os centros

das circunferências de raios 8 e 18,

respectivamente, tracemos por um uma

reta paralela ao segmento de extremos

A e B de modo que ela intercepte o

segmento CB no ponto E. como

mostrado na figura acima.

Para determinarmos a medida AB bastar

determinarmos a medida DE, pois

DE AB. Para isto devemos aplicar o

Teorema de Pitágoras no triângulo

CDE. 2 2 2 2DE 10 26 DE 576 DE 24mm


[C]

Teremos:

2 22

2 22 2 2 2

2 2

retângulo

2r x x 2

10 x x 2 100 x x 4x 4 2x 4x 96 0

x 8 (não convém)2x 4x 96 0 x 2x 48 0

x 6

S 6 6 2 48


[A]

Considere a ilustração a seguir:

Logo, aplicando teorema de Pitágoras,

temos: 2 2 2d (5) (12) d 25 144 d 13m


[D]

De acordo com as informações do

enunciado e considerando d a medida

pedida, construímos a seguinte figura:

No triângulo ABC, temos: 2 2 2 2a 1 2 a 5

No triângulo BDC, temos:

2 2 2 2d a a d 2 a d 2 5 d 10


[D]

De acordo com o problema, temos a

seguinte figura:


O valor de y será calculado aplicando o

teorema de Pitágoras no triângulo de

hipotenusa BC. 2 2 2 2y 12 15 y 81 y 9

Como y é uma medida de

comprimento, temos y 9.

Portanto, a medida da base DC será

dada por: DC 5 10 9 24m.


[B]

Como a medida do lado maior é igual a

medida do diâmetro (2cm), podemos

afirmar que este triângulo é retângulo de

catetos x e y.

Temos, então o seguinte sistema. 2 2x y 4

x y 1

2 2

Da segunda equação escrevemos que:

2y

x

Substituindo o resultado acima na

primeira equação, encontramos: 4 2x 4x 2 0

Resolvendo a equação e determinando o

valor de y, encontramos:

x 2 2 y 2 2

ou

x 2 2 y 2 2

Portanto, o menor cateto do triângulo é

2 2.


[E]

Utilizando o Teorema de Pitágoras,

tem-se:

2 22 2

22 2 22

60 30 BC BC 2700 BC 30 3

A 'B 30 3 15 2700 225 A 'B 2925 A 'B 15 13 m


[C]

Aplicando o teorema de Pitágoras no

triângulo assinalado, temos:


2 2 2

2 2

2

2

(x 2) x 10

x 4 x 4 x 100

2x 4 x 96 0

x 2x 48 0

2 196x

2 1

2 14x

2

x 6 ou x 8 (não convém)

x 6 x 2 8

Portanto, a área A do retângulo, em 2cm , será dada por:

2A 6 8 48 cm .


[D]

No triângulo ABC, temos: 2 2 2AB 6 8 AB 10

Os triângulos BDE e BAC são

semelhantes, logo: BD 4 40 20

BD10 6 6 3

20BD cm

3


[D]

De acordo com as informações do

enunciado, podemos escrever:

2 2 2 2

x y 14 y 14 x

x y 10 x y 10

Substituindo a primeira equação na

segunda, temos: 2 2 2 2x (14 x) 10 x 14x 48 0 x 6 ou x 8

Se x 6, temos y 8.

Se x 8, temos y 6.

Portanto, a única alternativa correta é a

[D].


[C]

Considere a figura, em que H é o pé da

perpendicular baixada de A sobre CD.

Tem-se que AB CH 9 cm. Logo, vem

DH CD CH 3 cm. Portanto, pelo

Teorema de Pitágoras aplicado no

triângulo ADH, concluímos que

AH BC 4 cm.


A resposta é

AB BC CD DA 9 4 12 5 30 cm.


[C]

Sendo c, p e h as arestas do

paralelepípedo em questão, pode-se

deduzir, conforme figura a seguir,

utilizando o Teorema de Pitágoras:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

y c p y c p

d y h c p h d c p h

Sabendo que c, p e h são raízes da

equação 3 2x 5x 8x t 0 pode-se

deduzir, utilizando as relações de

Girard: 5

c p h 51

8cp ph ch 8

1

tcph t

1

Se desenvolvermos a expressão 2(c p h) , tem-se: 2 2 2 2(c p h) c p h 2 (cp ph ch)

Substituindo os valores encontrados

pelas relações de Girard: 2 2 2 2

2 2 2

(5) c p h 2 (8)

c p h 9

Logo, se a diagonal d é definida pela

expressão 2 2 2d c p h , pode

deduzir que:

2 2 2 2 2 2c p h 9 c p h 3, logo d 3


[B]

Lado do quadrado ABCD:

AD 9 3cm

Lado do quadrado DEFG:

DG 16 4cm

Considerando o segmento DO como

altura do triângulo, temos: 2 2 2AG 3 4 AG 5cm

DO 5 3 4 DO 2,4cm (raio da

circunferência)

Portanto, a área do círculo de centro O e

raio DO 2,4cm será dada por: 2 2A (2,4) 5,76 cmπ π


[D]

A distância d pedida é a medida da

diagonal de um quadrado de lado 2r.

Portanto, d 2r 2.


[C]

Considere a figura, em que O é o centro

da circunferência.


Tem-se que o triângulo ADE é

retângulo em E e OB .2

Daí, segue

que OE a2

e, portanto, pelo

Teorema de Pitágoras, vem

2 2

2 2 2 2OE BE BO a2 2

5 1.

a 2


[C]

O triângulo com lados 3, 4 e 5 é

retângulo, pois 2 2 23 4 5 .

A altura, relativa ao lado de medida 4,

mede 3.


mede 4.


mede h, que será calculado abaixo:

5 h 3 4 h 2,4

Portanto, a maior altura do triângulo

mede 4.


[B]

A figura apresenta um arco de

circunferência com um quadrado

“inscrito” e um triângulo retângulo em

um de seus lados. O lado do quadrado é

igual a hipotenusa do triângulo. Pelo

Teorema de Pitágoras: 2 2 28 6 10

Pelos conhecimentos em geometria

plana, pode-se deduzir que a diagonal

do quadrado será igual ao diâmetro do

“semicírculo”, e o raio R do mesmo é

igual a duas vezes seu diâmetro, logo:

2R 2 2R 10 2 R 5 2

A área hachurada S será igual a três

quartos da área da circunferência C

menos a área do quadrado Q.

Aplicando-se as fórmulas, tem-se:

22 2 23 3 3 3

S (C Q) R 5 2 10 S 50 1004 4 4 4

π π π


[C]

Pelo enunciado, pode-se desenhar as

circunferências e a reta como segue:

Considerando o raio de 1C como

R 4 cm, o raio de 2C como r 1cm e o

raio de 3C como x (o qual pretende-se


encontrar), podemos deduzir algumas

relações, conforme figura a seguir:

2 22 2 2 2R r AB R r 5 AB 3 AB 4 cm

Sabendo-se a medida do segmento AB,

pode-se deduzir outras relações,

conforme figura a seguir:

Analisando o triângulo retângulo menor

da figura:

2 22 2 2 2

2 22 2

r x AE r x 1 x AE 1 x

1 2x x AE 1 2x x AE 4x

Analisando o triângulo retângulo maior

da figura:

2 22 2 2 2

22 2

2

R x 4 AE R x 4 x 4 AE 4 x

16 8x x 16 8 AE AE 16 8x x

16x 16 8 AE AE

Sendo que 2

AE 4x, então

2

4 AE 16x, logo:

2 2 2

2

4 AE 16 8 AE AE 3 AE 8 AE 16 0

8 4 3 ( 16) 256

8 256 8 4AE AE 4 ou AE6 32 3

Um comprimento de reta negativo é

impossível, logo a única raiz possível

para a equação é 4AE .3

Assim,

substituindo o valor de AE na relação

2

AE 4x, obtêm-se o valor de x em

centímetros, ou seja, o raio da

circunferência 3C :

2

2 4 16 4AE 4x 4x 4x x cm

3 9 9


[E]

Aplicando o Teorema de Pitágoras e a

utilizando a proporção dada no

enunciado, pode-se montar o seguinte

sistema:

2 2 2

2 2

x y (32 2,5)

x 16

y 9

x y 6400


[B]


Considere o pentágono equilátero

ABCDE de lado da figura.

É fácil ver que o triângulo CDE é

isósceles, com CD ED.

Sabendo que BAE 90 , tem-se que o

triângulo ABE é retângulo isósceles,

com BE 2. Em consequência, sendo

ABC 135 , concluímos que o triângulo

ABC é retângulo em B.

Agora, pelo Teorema de Pitágoras

aplicado no triângulo BCE,

encontramos CE 3.

Finalmente, aplicando a Lei dos

Cossenos no triângulo CDE, vem

2 2 2 1( 3) 2 cos cos

2

120 .

θ θ

θ


[C]

Sejam x, x r e x 2r as medidas, em

metros, dos lados do triângulo, com x, r 0.

Aplicando o Teorema de Pitágoras,

encontramos x 3r. Logo, os lados do

triângulo medem 3r, 4r e 5r.

Sabendo que o perímetro do triângulo

mede 6,0 m, vem

13r 4r 5r 6 r .

2

Portanto, a área do triângulo é igual a

2

23r 4r 16 1,5 m .

2 2


[D]

Se x é a altura que a escada alcança na

parede, então, pelo Teorema de

Pitágoras, vem

2 2 2 2

2

x (x 5) 15 x 5x 100

5 425x

2 4

5x (1 17).

2

Sendo 17α e tomando 4,12log 17 2,

encontramos

1

24,12 4,12 4,12 4,12

4,12

1log log 17 log log 17

2

log 1

4,12.

α α

α

α

Portanto,

5

x (1 4,12) 12,80 m.2


[A]

Observe que desejamos obter o

perímetro do losango. Logo, sabendo

das medidas de suas diagonais, temos

que:


Aplicando teorema de Pitágoras

obteremos o lado x : 2 2 2

2

x 6 8

x 36 64

x 100

x 10 dm

Obtendo o perímetro temos que: Perímetro 10 10 10 10 40 dm


[E]

Desde que os triângulos ACE e BCD

são semelhantes por AA, vem

CD BD CD 4

5CE AE CD 3

CD 12.

Portanto, aplicando o Teorema de

Pitágoras no triângulo ACE,

encontramos

2 2 2 2 2 2AC AE CE AC 5 15

AC 5 10.


[D]

Gabarito Oficial: [E]

Gabarito SuperPro®: [D]

Considere a figura.

Sabendo que AP 3R e AB R, do

Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2 22 2AP AB PB (3R) R PB

PB 2 2R.

Em consequência, temos

PB 2 2Rcos cos

3RAP

2 2cos .

3

α α

α


[D]

2 2

2

x 30 30

x 1800

x 30 2

Logo, o perímetro P será dado por:

P 4 30 2

P 120 2 cm.


[E]

Basta aplicar a tangente do ângulo 60 : cateto oposto L

tg(60 ) 3 L 100 1,73 173 mcateto adjacente 100


[D]

Aplicando o teorema de Pitágoras,

temos:


2 2 2

2 2

2 2

hip cat cat

(a 3) (a 3) 18

a 6a 9 a 6a 9 324

12a 324

a 27

relaÇÕes mÉtricas no triÂngulo retÂngulo · relaÇÕes mÉtricas no triÂngulo retÂngulo...

Documents