triángulo de pascal

5/4/2018 Tri ngulo de Pascal - slidepdf.com

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EL TRIÁNGULO DE

PASCAL

Universidad de MontevideoFacultad de Humanidades

Profesorado de Matemática

Seminario II

Prof. Alejandra Pollio

PABLO SOIZA LORENZO

30 de Junio de 2009

35

1

11

1

1

1

1

2

33

1 64 4 1

10 151 105

201 156

1 217 35

15

1

16

7

1 288

21

28 1856 5670

1

9 36 84 126 126 84 36 9

45 120 210 252 210 120 45

165 330 462 462

330 165

495 792 924 792 495

1

110

55

1

1

220

11

1266

1

101

1

220

5511

6612



Pablo Soiza Lorenzo Examen Universidad de Montevideo

30 de Junio de 2009 Seminario II Facultad de HumanidadesProfesorado de Matemática

2

INDICE

Primera parte: Construcción y propiedades .........................................................................3 –6

Construcción ................................................................................................................. 3

Propiedades.................................................................................................................. 4

Segunda parte: Numero pares e impares en el triángulo ......................................................7 –8

Números impares.......................................................................................................... 7

Números pares.............................................................................................................. 8

Tercera parte: Aplicación......................................................................................................... 9

Cuarta parte: Demuestre las siguientes igualdades .......................................................... 10 –12





3

Primera parte: Construcción y propiedades

El triángulo de Pascal, también conocido como triangulo de Tartaglia, es un triángulo formado

por infinitos números enteros que presenta múltiples e interesantes propiedades. Lleva el nombre del

matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) pues, si bien no fue el quién lo descubrió1, sí fue él uno

de los primeros en estudiar sus propiedades. A su vez, para demostrarlas Pascal utilizó por primera vez

de forma clara y precisa el método de "inducción matemática".

A. Construcción

Para su construcción, como primer paso debemos tomar una hoja cuadriculada y escribir un

“1” centrado en la parte superior de la hoja. A continuación escribimos una serie de “1” en las casillas

situadas en sentido diagonal descendente, obteniendo una figura como la que se muestra abajo.

Fila 0 1

Fila 1 1 1

Fila 2 1 1

Fila 3 1 1

Fila 4 1 1

Fila 5 1 1

Fila 6 1 1

Fila 7 1 1

Ahora construiremos en interior del triángulo. Para ello debemos sumar las parejas de cifras

situadas horizontalmente separadas por una celda en blanco y el resultado de la suma será el número

que debemos colocar debajo de la casilla en blanco. Continuamos con este proceso escribiendo, en las

celdas inferiores, el resultado de sumar los 2 números que aparecen en la fila anterior.

Debemos obtener un dibujo como el siguiente:

Fila 0 1

Fila 1 1 1

Fila 2 1 1+1=2 1

Fila 3 1 2+1=3 2+1=3 1

Fila 4 1 4 6 4 1

Fila 5 1 5 10 10 5 1

Fila 6 1 6 15 20 15 6 1Fila 7 1 7 21 35 35 21 7 1

1En países no occidentales como China o India, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos cinco

siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.





4

B. Propiedades

Mencionaremos a continuación algunas de las propiedades más notables del triángulo de

Pascal.

1. Los coeficientes de la forma desarrollada del binomio de Newton (a+b)n

se encuentran en la

fila n del triángulo: para conocer los coeficientes del desarrollo de, por ejemplo, (a+b)3

basta

con ir a la fila 3 del triángulo. Los números que allí aparecen corresponden al desarrollo de

este binomio.

(a+b)n

= 1a3

+ 3a2b + 3ab

2+ 1b

3

2. El triángulo es simétrico: podemos observar que, si tomamos como eje la columna 0, ambos

lados, a la derecha y a la izquierda del eje, son simétricos.

3. Si coloreamos las casillas que contienen números pares, observamos una estructura regular:

el Triángulo de Sierpinski 2.(figura en el anexo I)

4. La suma de los números de cada fila nos da como resultado las potencias de 2: a modo de

ejemplo a continuación sumaremos los números que aparecen en las 4 primeras filas.

Fila 0: 1 = 20

Fila 2: 1 + 2 + 1 = 4 = 22

Fila 1: 1 + 1 = 2 = 21

Fila 3: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

5. Si consideramos cada fila como un número obtenemos las potencias de 11: aquí debemos

tener cuidado pues no basta con considerar cada fila como un número para obtener las

potencias de 11. Si en una celda aparece un número de dos o más cifras debemos dejar en esacelda la unidad y sumar los restantes dígitos del número a la celda de la izquierda.

A modo de ejemplo veremos la fila 5 y la 9:

2El triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco

Waclack Sierpinski (1882-1969). Se trata de un fractal que propuso en 1915 para demostrar que una curva puede

cruzarse consigo misma en todos sus puntos. La figura se obtiene conectando los puntos medios de los tres

lados de un triángulo equilátero y seleccionando sólo los tres subtriángulos que se forman en las esquinas,suprimiendo la parte central del triángulo. Repitiendo este proceso de construcción, quitando fragmentos cada

vez más pequeños infinitas veces, se genera el Triángulo de Sierpinski.

Fila 3 1 3 3 1

Columna5

Columna4

Columna3

Columna2

Columna1

Columna0

Columna1

Columna2

Columna3

Columna4

Columna5

Fila 0 1

Fila 1 1 1

Fila 2 1 2 1

Fila 3 1 3 3 1

Fila 4 1 4 6 4 1

Fila 5 1 5 10 10 5 1

Fila 5 1 5 10 10 5 1





5

Al considerar esta fila como un número tendríamos 15.101.051, sin embargo este número no

es 115

= 161.051 (es más, ni siquiera es múltiplo de 11). Pero si seguimos el procedimiento

descrito más arriba obtenemos:

Lo mismo sucede con la fila 9. Siguiendo el procedimiento obtenemos

119

= 2.357.947.691

Fila 9

1 9 3 6 8 4 1 2 6 1 2 6 8 4 3 6 9 1

84+3=87 6 9 1

126+8=134 7 6 9 1

126+13=139 4 7 6 9 1

84+13=97 9 4 7 6 9 1

36+9=45 7 9 4 7 6 9 1

9+4=13 5 7 9 4 7 6 9 1

1+1=2 3 5 7 9 4 7 6 9 1

2 3 5 7 9 4 7 6 9 1

6. Si en una fila el primer número (sin ser el 1) es un número primo, se cumple que todos los

demás números en las celdas de esa fila son múltiplos de de ese número primo. En la fila 17

por ejemplo, el primer número después del 1 es 17 y los otros que aparecen en las celdas deesa fila son:

136 = 17x8 12.376 = 17x728

686 = 17x40 19.448 = 17x1.144

2.380 = 17x140 24.310 = 17x1.430

6.188 = 17x364

7. El resultado de la suma alterna de los números de una fila es cero. A modo de ejemplo

veremos la suma alterna de las 8 primeras filas.

Fila 1: 1-1 = 0 Fila 5: 1-5+10-10+5-1 = 0

Fila 2: 1-2+1 = 0 Fila 6: 1-6+15-20+15-6+1 = 0

Fila 3: 1-3+3-1 = 0 Fila 7: 1-7+21 –35+35-21+7-1 = 0Fila 4: 1-4+6-4+1 = 0 Fila8: 1-8+28-56+70-56+28-8+1 = 0

8. La primer diagonal está formada sólo por unos y la siguiente está formada por todos los

números naturales.

9. La tercer3

diagonal está formada por la sucesión de los números triangulares4; la cuarta, por

la de los números tetraédricos; la quinta por la de los pentaédricos y así sucesivamente.

3

La tercer diagonal es la que se encuentra en tercer lugar empezando a contar desde la diagonal formada porunos. Es la diagonal que tiene los números 1-3-6-10-15-21-… 4

Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero.

Fila 5 1 5 1 0 1 0 5 1

10+1=11 0 5 1

1 5+1=6 1 0 5 1

1 6 1 0 5 1

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo





6

10. El número resultante de sumar dos números consecutivos de la tercer diagonal es un

cuadrado perfecto.

11. Sucesión de Fibonacci5: si sumamos los números que están en las celdas de igual color

obtendremos los números de la sucesión de Fibonacci. Para pintar las celdas debemosproceder de la siguiente manera:

a. nos paramos en la primer celda no vacía de la fila 0 y la pintamos de un color.

b. nos desplazamos tres celdas a la izquierda y una hacia abajo. Si la celda a la

que llego está dentro del triángulo la pinto del mismo color y si está fuera del

triángulo paso a colorear la próxima celda no vacía de la fila 0. En caso de no

haber más celdas no vacía y sin colorear debemos pintar, de un color distinto,

la primer celda no vacía de la siguiente fila.

c. Repetimos el paso b hasta tener pintado todo el triángulo.

12. El

triángul

o

tambié

n

muestr

a

cuántas combinaciones se pueden formar, dados los cardinales de elementos del conjunto

inicial (m) y del subconjunto que quiero formar (n), cuya notación es:m

nC

Para encontrar este número debemos buscar en la fila m y en la celda n+1.Por ejemplo: Si queremos saber cuántas formas hay de elegir 2 bolitas de distinto color de un

conjunto de 6 bolitas distintas (6

2C ), basta con ir a la tercer (2+1=3) celda no vacía de la fila 6.

En esa celda hay un 15, por lo que hay 15 maneras de elegir 2 bolitas de distinto color de un

conjunto de 6 bolitas distintas.

5 La sucesión de Fibonacci es la sucesión infinita de números naturales cuyo primer elemento es 0, el segundo

elemento es 1 y los restantes se construyen a partir de la suma de los dos elementos anteriores.

1 11 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

5 1 4 6 4 1

8 1 5 10 10 5 1

13 1 6 15 20 15 6 1

21 1 7 21 35 35 21 7 1

Fila 0 1

Fila 1 1 1

Fila 2 1 2 1

Fila 3 1 3 3 1

Fila 4 1 4 6 4 1Fila 5 1 5 10 10 5 1

Fila 6 1 6 15 20 15 6 1

1

1

1 + 1

2 + 1

1 + 3 + 1

3 + 4 + 1

1 + 6 + 5 + 1

4 + 10 + 6 + 1





7

II. Segunda parte: Numero pares e impares en el triángulo

En esta parte del trabajo intentaremos deducir una fórmula que nos permita contar la cantidad

de números pares e impares que hay en cada fila del triángulo.

A. Números impares

Si observamos el triángulo de Pascal dibujado abajo, en el que hemos pintado los números

pares de negro y los impares de verde, podemos ver que:

1. La fila 2n – 1, con n Є Naturales, siempre está formada únicamente por números

impares.

2. La fila 2n, con n Є Naturales, está formada por 2 números impares y 2

n – 2 números

pares.

3. El patrón formado por los números impares que están entre la fila 0 y la fila 2n – 1, se

repite dos veces entre las filas 2n

y 2n+1

– 1 (n≥1, n Є Naturales). Por ejemplo, mirando

la figura vemos que el patrón que forman los números impares entre la fila 0 y la fila

15 (15=24 –1) se repite dos veces entre la fila 16 (16=2

n) y la 31 (31=2

4+1 –1).

De estas observaciones podemos concluir que, para saber la cantidad de números impares

que hay en una fila n, tenemos que restarle a n la potencia de 2 inmediatamente anterior y el

resultado nos indicará una nueva fila. Duplicando la cantidad de números impares que hay en ella,

obtendremos la cantidad de impares que hay en la fila n.

A modo de ejemplo, supongamos que queremos averiguar la cantidad de números impares

que hay en la fila 20.

» La potencia de 2 inmediatamente anterior a 20 es 24=16.

» 20 – 16 = 4.

» En la fila 4 hay 2 números impares.

» 2 x 2 = 4

Fila 3 = 22 – 1

Fila 7 = 23 – 1

Fila 15 = 24 – 1

Fila 31 = 25 – 1

Entonces hay 4 números

impares en la fila 20





8

En forma general podemos decir que:

» siendo IPn la cantidad de números impares de la fila n

» e IPn – 2a la cantidad de números impares de la fila n – 2a

, dónde 2a

es la potencia de 2

anterior a n, se cumple que:

Si bien esta fórmula pareciera ser inútil cuando n es un número muy grande, podemos volver a

aplicarla las veces que sea necesario para llegar a una fila en la cual sepamos la cantidad de números

impares que hay.

Por ejemplo, ahora queremos averiguar cuántos números impares hay en la fila 76

» IP76 = 2 x IP12, donde IP12 es la cantidad de impares de la fila 76 – 26

= 12

» IP12 = 2 x IP4, donde IP4 es la cantidad de impares de la fila 12 – 23

= 4

B. Números pares

Una vez que sabemos cuántos números impares hay en la fila n, calcular la cantidad de

números pares (Pn) que habrá es fácil, basta con restarle la cantidad de números impares de la fila n

(IPn ) al total de números de esa fila. Dado que el total de números de una fila n es n + 1 entonces:

IPn = 2 x IPn – 2a

IP76 = 2 x (2 x IP4)

IP4 = 2 IP76 = 2 x (2 x 2) = 8

Pn = (n + 1) - IPn





9

III. Tercera parte: Aplicación

¿Cuántos números impares y cuantos números pares hay en la fila 120 del triángulo de Pascal?

En la parte II llegamos a la conclusión de que:

» IPn = 2 x IPn – 2a, con IPn – 2

ala cantidad de números impares de la fila n – 2

ay 2

aes la

potencia de 2 anterior a n.

» Pn = (n + 1) - IPn

Como en este caso n = 120, las fórmulas quedarían de la siguiente manera:

» IP120 = 2 x IP56, con IP56 la cantidad de números impares de la fila 120 – 26

= 56.

IP56 = 2 x IP24, con IP24 la cantidad de números impares de la fila 56 – 25

= 24.

IP24

= 2 x IP8, con IP

8la cantidad de números impares de la fila 24 – 2

4= 8.

IP8 = 2 x IP0, con IP0 la cantidad de números impares de la fila 8 – 23

= 0.

IP0 = 1.

» P120

= (120 + 1) - IP120

IP120 = 16

IP120 = 2 x 2 x 2 x 2 x IP0

IP0 = 1IP120 = 16

P120 = 121 – 16 P120 = 105





10

IV. Cuarta parte: Demuestre las siguientes igualdades

Basándose en la figura adjunta demostrar las dos desigualdades planteadas debajo de la

misma.





11

A B

C

D

E

FO

α

β

α - β .

2

α - β .

2





12

[OB] = (OB) (BD)

[DB]=

(EA) // (BD)

Por letra[OA] = (OA) (AE)

[AE]=

De 1 y 2, OBD = OAE = 90

ABCD rectángulo [AB] = [CD]

[BD] = [AC]

Considero el triángulo DCE:

» DCE = 90 por figura DCE rectángulo en C

» Por 3, [CD] = [AB] [DC] =

Por figura, [AB] =

[DE] =

[EC] =

» Por 4, [BD] = [AC] [EC] = [DC] =

Por figura, [AC] = CED = (α + β)/2

» Por letra, [DE] = CED = (α + β)/2

D

E

C

triángulo de pascal

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