Área de un triángulo
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Área de un triángulo
Área de un cuadrado
Área de un rectángulo
Área de un rombo
Área del romboide
A = b · h
Área del trapecio
Área de un polígono regular
Área de un polígono
El área se
obtiene triangulando el
polígono y sumando el
área de dichos triángulos.
A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4
Área de un círculo
Área del sector circular
Área de un segmento circular
Área del segmento circular
AB = Área del sector circular AOB
− Área del triángulo AOB
Área de una corona circular
El área de una corona
circular es igual al área del círculo
mayormenos el área del círculo
menor.
Área de un trapecio circular
El área del trapecio
circular es igual al área del sector
circular mayor
menos el área del sector circular
menor.
Áreas de cuerpos geométricos
Área del Tetraedro
Área del cubo
Área del octaedro
Área del dodecaedro
Área del icosaedro
Área del prisma
Área del ortoedro
Área de la pirámide
Área del tronco de pirámide
Área del cilindro
Área del cono
Área del tronco de cono
Área de la esfera
Área de la semiesfera
Área del huso esférico
Área del casquete esférico
Área de la zona esférica
Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos
Figura Esquema Área Volumen
Cilindr
o
Esfera
Cono
Cubo A = 6 a2 V = a3
PrismaA = (perim. base •h) + 2 • area
base
V = área
base h
Pirámi
de
Poliedros regulares
Figura Esquema Nº de caras Área
Tetraedro4 caras, triángulos
equiláteros
Octaedro8 caras, triángulos
equiláteros
Cubo 6 caras, cuadrados A = 6 a2
Dodecaedro12 caras, pentágonos
regularesA = 30 · a · ap.
Icosaedro20 caras, triángulos
equiláteros
TABLA DE CONVERSIONES
MEDIDAS DE PESO
CONVERTIR DE
TONELADAS
CORTASA...MULTIPLICAR POR
KILOGRAMOS 907.18486
LIBRAS 2,000
TONELADAS LARGAS 0.89287
TONELADAS METRICAS 0.90718
KILOGRAMOS 1,016.04812
LIBRAS 2,240
TONELADAS CORTAS 1.11998
TONELADAS METRICAS 1.01605
KILOGRAMOS 1,000
LIBRAS 2,204.62
TONELADAS CORTAS 1.10231
TONELADAS LARGAS 0.98421
LIBRAS 2.2046224
GRAMOS 1,000
ONZAS 16
KILOGRAMOS 0.4535924
GRAMOS 28.349523
QUINTALES KILOGRAMOS 46
ARROBA LIBRAS 25
MEDIDAS DE LONGITUD
CONVERTIR DE A... MULTIPLICAR POR
CENTIMETROS
PULGADAS 0.3937008
METROS 0.010
MILIMETROS 10
METROS
DECIMETROS 10
CENTIMETROS 100
PULGADAS 39.37008
PIES 3.28084
YARDAS 1.093613
DECAMETROS METROS 10
HECTOMETROS METROS 100KILOMETROS METROS 1,000
YARDAS 1,093.611
PIES 3,280.83
MILLAS 0.621371
MIRIAMETROS METROS 10,000
YARDASMETROS 0.914402
PIES 3
MILLAS
KILOMETROS 1.6093404
PIES 5,280
YARDAS 1,760
METROS 1,609.3404
PIES
CENTIMETROS 30.48006
PULGADAS 12
YARDAS 0.33333
PULGADASCENTIMETROS 2.540005
PIES 0.08333
MEDIDAS DE VOLUMEN
CONVERTIR DE A... MULTIPLICAR POR
METROS CUBICOS
PULGADAS CUBICAS 61,023.192
PIES CUBICOS 35.31467
YARDAS CUBICAS 1.307951
GALONES AMERICANOS 264.2
DECIMETROS CUBICOS
PULGADAS CUBICAS 61.023
PIES CUBICOS 0.0353144
YARDAS CUBICAS 0.001308
CENTIMETROS CUBICOSPULGADAS CUBICAS 0.061023
PIES CUBICOS 0.000035
YARDAS CUBICAS
CENTIMETROS CUBICOS 764,555.555
DECIMETROS CUBICOS 764.555
METROS CUBICOS 0.7645555
PULGADAS CUBICAS 46,656
PIES CUBICOS 27
GALONES AMERICANOS 202.01
PIES CUBICOS
DECIMETROS CUBICOS 28.317
METROS CUBICOS 0.02831685
PULGADAS CUBICAS 1,728
YARDAS CUBICAS 0.037
GALONES AMERICANOS 7.48052
PULGADAS CUBICAS
CENTIMETROS CUBICOS 16.387064
DECIMETROS CUBICOS 0.01638706
METROS CUBICOS 0.000016
PIES CUBICOS 0.0005788
YARDAS CUBICAS 0.00002144
GALONES AMERICANOS 0.0043295
MEDIDAS DE LIQUIDOS
CONVERTIR DE A... MULTIPLICAR POR
GALONES AMERICANOS
GALONES INGLESES 0.83267
PULGADAS CUBICAS 230.9735
PIES CUBICOS 0.1387
CENTIMETROS CUBICOS 3,785.306
METROS CUBICOS 0.0037853
LITROS 3.7853
CUARTOS AMERICANOS 4
PINTAS AMERICANAS 8
GALONES INGLESES
GALONES AMERICANOS 1.20095
PULGADAS CUBICAS 277.42
PIES CUBICOS 0.1605
CENTIMETROS CUBICOS 4,545.956
METROS CUBICOS 0.004546
LITROS 4.545956
CUARTOS INGLESES 4
PINTAS INGLESAS 8
LITROS
GALONES AMERICANOS 0.264172
GALONES INGLESES 0.22
PIES CUBICOS 0.03531
METROS CUBICOS 0.001
METROS CUBICOSGALONES AMERICANOS 264.172052
GALONES INGLESES 220
PIES CUBICOS
GALONES AMERICANOS 7.48052
GALONES INGLESES 6.2305
LITROS 28.317
BARRIL DE ACEITE GALONES AMERICANOS 42
MEDIDAS DE SUPERFICIE
CONVERTIR DE A... MULTIPLICAR POR
CENTIMETROS CUADRADOS
PULGADAS CUADRADAS 0.154918
DECIMETROS CUADRADOS
PIES CUADRADOS 0.1076391
METROS CUADRADOS
DECIMETROS CUADRADOS 100CENTIMETROS CUADRADOS 10,000
PULGADAS CUADRADAS 1,549.99375
PIES CUADRADOS 10.76391
YARDAS CUADRADAS 1.195985
HECTAREASMETROS CUADRADOS 10,000
AREAS 100
PULGADAS CUADRADAS
CENTIMETROS CUADRADOS 6.4516254
PIES CUADRADOS 0.0069439
PIES CUADRADOS
PULGADAS CUADRADAS 144
DECIMETROS CUADRADOS 9.2903406
METROS CUADRADOS 0.0929034
YARDAS CUADRADAS 0.1111111
YARDAS CUADRADASMETROS CUADRADOS 0.836131
PIES CUADRADOS 9
AREAS METROS CUADRADOS 100
ACRESAREAS 40.4685642
HECTAREAS 0.4046856
KILOMETROS CUADRADOS
METROS CUADRADOS 1,000,000
YARDAS CUADRADAS 1,195,985.01932
KILOMETROS CUADRADOS 0.3861
MILLAS CUADRADAS
KILOMETROS CUADRADOS 2.589988
HECTAREAS 258.9988
YARDAS CUADRADAS 3,097,600
CONVERSION DE TEMPERATURAS
CONVERTIR DE A... MULTIPLICAR POR
CELSIUS (C) FAHRENHEIT (F) C X 9 / 5+32
FAHRENHEIT (F) CELSIUS (C) (F-32) x 5 / 9
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Longitud
1 Milla = 1,609.3 mts
1 Kilómetro = 1,000 mts
1 Metro ===
100 cms1.0936 Yardas3.28 Pies
1 Yardas = 3,0 Pies
1 Pie ==
12 Pulgadas30.48 cms
1 Pulgada = 2.54 cms
Volumen
1 mt 3
==
1,000 dm3 1,000 Litros
1 dm 3
==
1 Litro1,000 cms3
1 Galón
==
8 Pintas4.5461 Litros
Superficie
1 Km. 2
= 100 Hectáreas
1 Hectárea
==
10,000 mts22.471 Acres
1 Acre
= 4,046.9 mts2
1 m2
= 10,000 cm2
1 cm2 = 100 mm2
Peso
1 Tonelada
= 1,000 Kgs.
1 Quintal
= 100 Kgs.
1 Quintal Z
= 100 Libras
1 Kilo
==
1,000 grs.2.2046 Libras
1 Libra
==
453.597 grs.16 Onzas
1 Gramo
= 1,000 mgs.
1 Onza
= 28.349 grs
1 Quilate
= 205 mgs.
1 Arroba
==
11.502 Kgs.25 Libras
Temperatura
C F
-17.77 = 0
0 = 32
5 = 41
10 = 50
15 = 59
18 = 64.4
20 = 68
21 = 69.8
22 = 71.6
23 = 73.4
24 = 75.2
25 = 77
30 = 86
32 = 89.6
35 = 95
37 = 98.6
40 = 104
50 = 122
60 = 140
70 = 158
100 = 212
° C/5 = ( ° F – 32 ) / 9
[( 9/5 ) ° C ] + 32 = ° F
Matemáticas
Euclides, matemático griego, del siglo III a. C., tal como fue imaginado por Rafael. Detalle de La Escuela de
Atenas.1
Las matemáticas o matemática (del lat. mathematĭca, y este del gr. μαθηματικά, derivado de
μάθημα, conocimiento) es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento
lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números,figuras
geométricas, símbolos). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas,
estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Losmatemáticos buscan
patrones,2 3 formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad
matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y
las definiciones apropiados para dicho fin.4 Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas
al razonamiento sobre cantidades,5 aunque sólo una parte de las matemáticas actuales usan
números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.
Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente
existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peircedefinió las
matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".6 Por otro lado, Albert
Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas;
cuando son exactas, no se refieren a la realidad".7
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado
basándose en las cuentas, elcálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y
el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin
práctico.
Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática
helénica, especialmente con losElementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose,
con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas
interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una
aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos
campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias
sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como
la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama
de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos,
inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al
desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin
tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas
puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.8
Contenido
[ocultar]
1 Etimología
2 La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas y la
estética
3 Notación, lenguaje y rigor
4 La matemática como ciencia
5 Conceptos erróneos
6 Ramas de estudio de las matemáticas
7 Campos de estudio de la matemática
8 Véase también
9 Referencias
o 9.1 Bibliografía
o 9.2 Enlaces externos
[editar]Etimología
La palabra "matemática" (del griego μαθηματικά, «cosas que se aprenden») viene del griego
antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se
contrapone a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a
poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del
conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas
(astronomía, aritmética).9 Aunque el término ya era usado por lospitagóricos (matematikoi) en el
siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos
deAristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), "relacionado con el
aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική
τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa "el arte matemática".
La forma más usada es el plural matemáticas, que tiene el mismo significado que el singular5 y viene
de la forma latina mathematica(Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta
mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas
matemáticas". Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del término; tal es el
caso de Bourbaki, en el tratado Élements de mathématique (Elementos de matemática), (1940),
destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática moderna, aunque también
hace uso de la forma plural como en Éléments d'histoire des mathématiques (Elementos de historia
de las matemáticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la
unificación de las matemáticas.10 Así mismo, en el escrito L'Architecture des mathématiques (1948)
plantea el tema en la sección "Matemáticas, singular o plural" donde defiende la unicidad conceptual
de las matemáticas aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito.11 Es importante señalar
también que Bourbaki no hace referencia a una sola persona, sino que en realidad consistía de un
colectivo de diferentes matemáticos escribiendo bajo un pseudónimo.
[editar]La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas y la estética
Véase también: Belleza matemática.
Sir Isaac Newton (1643-1727), comparte con Leibniz la autoría del desarrollo delcálculo integral y diferencial.
Es muy posible que el arte del cálculo haya sido desarrollado antes incluso que la
escritura,12 relacionado fundamentalmente con la contabilidad y la administración de bienes,
el comercio, en la agrimensura y, posteriormente, en la astronomía.
Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo
tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo,
el físico Richard Feynman propuso la integral de caminos como fundamento de lamecánica
cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física, pero todavía no se ha
logrado una definición plenamente satisfactoria en términos matemáticos. Similarmente, la teoría de
las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales
de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas.13
Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas
para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área
concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos
generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemática más pura habitualmente tiene
aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wignerha definido como la irrazonable eficacia de las
matemáticas en las Ciencias Naturales.14
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica
ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre
las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. La mayoría de los matemáticos que se dedican
a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza
cuando comienzan sulicenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con
otras áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas
independientes, como pueden ser la estadística, la investigación de operaciones o la informática.
Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto
estético que define a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de
la matemática, su intrínseca estética y su belleza interna. En general, uno de sus aspectos más
valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente demostración, como la
demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos, y en un elegante análisis
numérico que acelera el cálculo, así como en latransformada rápida de Fourier. G. H. Hardy en A
Mathematician's Apology (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas
consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas
puras.15 Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los
teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático Paul Erdős se refiere a este
hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones
favoritas.16 17 La popularidad de la matemática recreativa es otra señal que nos indica el placer que
produce resolver las preguntas matemáticas.
[editar]Notación, lenguaje y rigor
Artículo principal: Notación matemática.
Leonhard Euler. Probablemente el más prolífico matemático de todos los tiempos.
La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo
XVIII.18 Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limita
el avance matemático. En el siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de las notaciones
empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil
para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La notación reduce las
matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan una gran cantidad de información. Al
igual que la notación musical, la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica
la información que sería difícil de escribir de otra manera.
El símbolo de infinito en diferentes tipografías.
El lenguaje matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales
como o y sólo tiene significados más precisos que en lenguaje cotidiano. Además, palabras
como abierto y cuerpo tienen significados matemáticos muy concretos. La jerga matemática, o
lenguaje matemático, incluye términos técnicos como homeomorfismo ointegrabilidad. La razón que
explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más
precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en
la lógica como el "rigor".
El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática. Los
matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático.
Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias
veces en la historia de esta ciencia.19 El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el
tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos
empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton
utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales
del siglo XIX. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones
asistidas por ordenador.20
Un axioma se interpreta tradicionalmente como una "verdad evidente", pero esta concepción es
problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un
significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema axiomático.
[editar]La matemática como ciencia
Carl Friedrich Gauss, apodado el "príncipe de los matemáticos", se refería a la matemática como "la reina de las
ciencias".
Carl Friedrich Gauss se refería a la matemática como "la reina de las ciencias".21 Tanto en el latín
original Scientiarum Regina, así como en alemán Königin der Wissenschaften, la
palabra ciencia debe ser interpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que
laciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menosmatemáticas
puras, no son una ciencia.
Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falseables, y, por tanto, no
es una ciencia según la definición de Karl Popper.22 No obstante, en la década de 1930 una
importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la
lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como
las de física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más
cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora".23 Otros
pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las
propias matemáticas.
Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como la física teórica) son
matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, J.
M. Ziman, propone que la ciencia es conocimiento público y, por tanto, incluye a las
matemáticas.24 En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de
las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis.
La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación
de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias. Las matemáticas experimentales siguen
ganando representación dentro de las matemáticas. El cálculo y simulación están jugando un papel
cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las
matemáticas se sirven del método científico. En 2002 Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un
nuevo tipo de ciencia, que la matemática computacional merece ser explorada empíricamente como
un campo científico.
Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemáticos
consideran que llamar a su campociencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además
supone negar su historia dentro de las siete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso
de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus
aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las
matemáticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la matemática
fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de
incumbencia de la filosofía de las matemáticas.
Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia.
El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields,25 26 fue instaurado en
1936 y se concede cada 4 años. A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la
ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce el logro en
vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003.
Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación
innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de
esos 23 problemas sin resolver, denominada los "Problemas de Hilbert", fue recopilada en 1900 por
el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos
y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas
fundamentales, titulada "Problemas del milenio", se publicó en 2000. La solución de cada uno de los
problemas será recompensada con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo uno (la Hipótesis de
Riemann) aparece en ambas listas.
[editar]Conceptos erróneos
Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas.Puedes añadirlas así o avisar al autor principal del artículo en su página de discusión pegando: {{subst:Aviso referencias|Matemáticas}} ~~~~
Lo que cuenta como conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino
mediante demostraciones. No es la matemática, por lo tanto, una rama de la física (la ciencia con la
que históricamente se encuentra más emparentada), puesto que la física es una ciencia empírica.
Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación
de conjeturasrazonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.
La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen
gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.
Matemática no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los
contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.
Matemática no significa numerología. La numerología es una pseudociencia que utiliza la aritmética
modular para pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o
significados esotéricos, basados en la intuición.
El lenguaje formal no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una
gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y
exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, los avances en el estudio
del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español o
el francés, por ejemplo) y los lenguajes formales (como el matemático o los lenguajes de
programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.
[editar]Ramas de estudio de las matemáticas
Artículo principal: Áreas de las matemáticas.
Véase también: Categoría:Áreas de las matemáticas.
La Sociedad Americana de Matemáticas distingue unas 5.000 ramas distintas de
matemáticas.27 Dichas ramas están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las
matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructura, el espacio y
el cambio.[cita requerida]
Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en
todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la
tecnología.
El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de
los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen
las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más
profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. Después, la
organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías),
permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta
ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones
lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio
vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el
espacio.
El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego
la trigonometría. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y
correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras
concepciones espaciales.
Derivada.
La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de
las ciencias naturales y del cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a
relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las ecuaciones diferenciales y
de sus soluciones. Los números usados para representar las cantidades continuas son
los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función
matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos porNewton y Leibniz,
representan un papel clave en este estudio, y son objetos del Cálculo diferencial e integral y, en
cuanto al rigor, se ocupa el Análisis matemático. Es conveniente para muchos fines introducir
función, derivación, integración en el conjunto C de los números complejos, así surgen el
cálculo de variable compleja y el análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar los
espacios vectoriales de dimensión infinita, problemas cuya incógnita es una función.
[editar]Campos de estudio de la matemática
Se ha sugerido que este artículo o sección sea fusionado con Áreas de las matemáticas(discusión).Una vez que hayas realizado la fusión de artículos, pide la fusión de historiales aquí.
Artículo principal: Áreas de las matemáticas.
Aritmética . Estudio de los números, sus propiedades y las operaciones que pueden hacerse
con ellos.
Álgebra . Estudio de las estructuras, las relaciones y las cantidades.
Conjuntos . Es uno de los actuales fundamentos de la matemática, junto con la teoría de
categorías.
Geometría . Estudio de los segmentos, las medidas y las relaciones entre estas. Aquí se
encuentra la trigonometría, que estudia las medidas, raciones y relaciones de los triángulos.
Cálculo infinitesimal . Estudia la variación de infinitésimos mediante derivadas e integrales.
Estadística . Analiza e interpreta datos recolectados mediante entrevistas o experimentos de
laboratorio.
Sistema de numeración
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Sistemas de numeración
Nociones
Número
Cifra
Numeral
Base Notaciones
Posicional Mixta
Aditiva Numeraciones
Numeración Pipil (mesoamericana)
Árabe
Armenia
Ática
Babilónica
Camboyana (Jémer)
China
Cirílica
Egipcia
Etrusca
Griega
Fenicia
Hebrea
Numeración india brahmánica
India
Japonesa
Maya
Muisca
Romana
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten
construir todos los números válidos.
Un sistema de numeración puede representarse como
donde:
es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son
{0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son
{0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En
un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que
la numeración romanarequiere reglas algo más elaboradas.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a
todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se
pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a
la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de
numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos
desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este
es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades
que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones
trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba
varias líneas el poder representarlas.
Contenido
[ocultar]
1 Clasificación
o 1.1 Sistemas de numeración no posicionales
o 1.2 Sistemas de numeración posicionales
2 Teorema Fundamental de la numeración
o 2.1 Ejemplo en el sistema decimal
o 2.2 Ejemplo en el sistema binario
3 Véase también
[editar]Clasificación
Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-
posicionales:
En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no
depende de la posición (columna) que ocupan en el número.
En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende
tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.
Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es
posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10
ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas
los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños.
[editar]Sistemas de numeración no posicionales
Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la
cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba
cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre
conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los
usados enMesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos .
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de
raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente
el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en
América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2 Las
inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y
fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas.
[editar]Sistemas de numeración posicionales
Artículo principal: Sistema de numeración posicional.
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce
como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene
base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y
que bunidades forman una unidad de orden superior.
Ejemplo en el sistema de numeración decimal
Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades,
hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un
nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una
nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos
que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos
contando.
De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos
columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de
la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha
agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna
(centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.
El cuentakilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra
lo anterior: va sumando 1 a la columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha
completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la
siguiente columna de la izquierda.
Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este
comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que
encierra esa expresión.
Tal es la costumbre de calcular en decimal que la mayoría de la población ni siquiera se imagina que
puedan existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como
este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 sistema binario, de base 8 sistema octal y el
de base 16 sistema hexadecimal. También los antiguos mayas tuvieron un sistema de numeración
posicional el cual ya no se usa.
[editar]Teorema Fundamental de la numeración
Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración
posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:
, número válido en el sistema de numeración.
, base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
, un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración.
,: número de dígitos de la parte entera.
, coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su
parte fraccionaria.
,: número de dígitos de la parte decimal.
La fórmula general para construir un número N, con un número finito de
decimales, en un sistema de numeración posicional de base bes la
siguiente:
El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la
potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el
número.
Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para
la ejecución de operaciones aritméticas.
[editar]Ejemplo en el sistema decimal
En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son
{0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (el número de
símbolos válidos en el sistema) es diez
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeración aplicado al sistema decimal.
Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados
por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias
positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición
que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las
n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades
(100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las
posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma
fraccionaria.
Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-
n representan respectivamente al dígito de las décimas (10-1=0,1),
centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .
Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como:
1492/36
[editar]Ejemplo en el sistema binario
Véase ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos
válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.
En la figura inferior puede verse el teorema fundamental de la
numeración aplicado al sistema binario.
Siguiendo con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba, en este caso
las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema
decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo
existen 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.
En el sistema binario, para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda columna de un
orden superior.
Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades.
Por tanto, una vez que se cuenta (suma) dos se han agotadolos
símbolos disponibles para esa columna, y se deben poner a cero la
columna y usar otra columna a la izquierda.
Así, contando en binario, tras el número viene el , pero si se
cuenta una unidad más se debe usar otra columna, resultando
Se sigue contando , , , . Al añadir una unidad a la
columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
símbolos disponibles), y se debe formar una unidad de segundo orden,
pero como ya hay una, también se agotan los símbolos disponibles para
esa columna, y se deben formar una unidad de tercer orden o .
Así, en el sistema binario
Ejemplos:
El número está formado por un solo símbolo repetido tres
veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene un valor
diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así,
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de , el segundo de y el tercero de ,
dando como resultado el valor del número:
Sistema de numeración
Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas.Puedes añadirlas así o avisar al autor principal del artículo en su página de discusión pegando: {{subst:Aviso referencias|Sistema de numeración}} ~~~~
Sistemas de numeración
Nociones
Número
Cifra
Numeral
Base Notaciones
Posicional
Aditiva
Mixta
Numeraciones
Numeración Pipil (mesoamericana)
Árabe
Armenia
Ática
Babilónica
Camboyana (Jémer)
China
Cirílica
Egipcia
Etrusca
Griega
Fenicia
Hebrea
Numeración india brahmánica
India
Japonesa
Maya
Muisca
Romana
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten
construir todos los números válidos.
Un sistema de numeración puede representarse como
donde:
es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son
{0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son
{0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En
un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que
la numeración romanarequiere reglas algo más elaboradas.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a
todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se
pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a
la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de
numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos
desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este
es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades
que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones
trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba
varias líneas el poder representarlas.
Contenido
[ocultar]
1 Clasificación
o 1.1 Sistemas de numeración no posicionales
o 1.2 Sistemas de numeración posicionales
2 Teorema Fundamental de la numeración
o 2.1 Ejemplo en el sistema decimal
o 2.2 Ejemplo en el sistema binario
3 Véase también
[editar]Clasificación
Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-
posicionales:
En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no
depende de la posición (columna) que ocupan en el número.
En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende
tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.
Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es
posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10
ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas
los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños.
[editar]Sistemas de numeración no posicionales
Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la
cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba
cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre
conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los
usados enMesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos .
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de
raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente
el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en
América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2 Las
inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y
fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas.
[editar]Sistemas de numeración posicionales
Artículo principal: Sistema de numeración posicional.
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce
como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene
base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y
que bunidades forman una unidad de orden superior.
Ejemplo en el sistema de numeración decimal
Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades,
hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un
nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una
nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos
que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos
contando.
De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos
columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de
la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha
agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna
(centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.
El cuentakilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra
lo anterior: va sumando 1 a la columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha
completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la
siguiente columna de la izquierda.
Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este
comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que
encierra esa expresión.
Tal es la costumbre de calcular en decimal que la mayoría de la población ni siquiera se imagina que
puedan existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como
este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 sistema binario, de base 8 sistema octal y el
de base 16 sistema hexadecimal. También los antiguos mayas tuvieron un sistema de numeración
posicional el cual ya no se usa.
[editar]Teorema Fundamental de la numeración
Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración
posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:
, número válido en el sistema de numeración.
, base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
, un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración.
,: número de dígitos de la parte entera.
, coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su
parte fraccionaria.
,: número de dígitos de la parte decimal.
La fórmula general para construir un número N, con un número finito de
decimales, en un sistema de numeración posicional de base bes la
siguiente:
El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la
potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el
número.
Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para
la ejecución de operaciones aritméticas.
[editar]Ejemplo en el sistema decimal
En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son
{0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (el número de
símbolos válidos en el sistema) es diez
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeración aplicado al sistema decimal.
Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados
por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias
positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición
que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las
n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades
(100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las
posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma
fraccionaria.
Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-
n representan respectivamente al dígito de las décimas (10-1=0,1),
centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .
Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como:
1492/36
[editar]Ejemplo en el sistema binario
Véase ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos
válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.
En la figura inferior puede verse el teorema fundamental de la
numeración aplicado al sistema binario.
Siguiendo con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba, en este caso
las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema
decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo
existen 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.
En el sistema binario, para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda columna de un
orden superior.
Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades.
Por tanto, una vez que se cuenta (suma) dos se han agotadolos
símbolos disponibles para esa columna, y se deben poner a cero la
columna y usar otra columna a la izquierda.
Así, contando en binario, tras el número viene el , pero si se
cuenta una unidad más se debe usar otra columna, resultando
Se sigue contando , , , . Al añadir una unidad a la
columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
símbolos disponibles), y se debe formar una unidad de segundo orden,
pero como ya hay una, también se agotan los símbolos disponibles para
esa columna, y se deben formar una unidad de tercer orden o .
Así, en el sistema binario
Ejemplos:
El número está formado por un solo símbolo repetido tres
veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene un valor
diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así,
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de , el segundo de y el tercero de ,
dando como resultado el valor del
número:
.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
binario, octal y hexadecimal
Sistemas de numeraciónSistema de numeración decimal
Sistema de numeración binarioConversión entre números decimales y binariosEl tamaño de las cifras binariasConversión de binario a decimal
Sistema de numeración octalConversión de un número decimal a octalConversión octal a decimal
Sistema de numeración hexadecimalConversión de números binarios a octales y viceversaConversión de números binarios a hexadecimales y viceversa
Sistemas de numeraciónUn sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra
1. Sistema de numeración decimal:
El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:
500 + 20 + 8 = 528
En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:
8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:
8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97
Sistema de numeración binario.El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el unoEn una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:
8 + 0 + 2 + 1 = 11
y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:
10112 = 1110
2. Conversión entre números decimales y binarios
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizarsucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inversosido obtenidos.Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77 : 2 = 38 Resto: 138 : 2 = 19 Resto: 019 : 2 = 9 Resto: 19 : 2 = 4 Resto: 14 : 2 = 2 Resto: 02 : 2 = 1 Resto: 01 : 2 = 0 Resto: 1y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
7710 = 10011012
Ejercicio 1:
Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: 191, 25, 67, 99, 135, 276
i. El tamaño de las cifras binarias
La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el númeroque en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 2podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo denúmero más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir,Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porquemayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15.
Ejercicio 2:Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.
Ejercicio 3:Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?
3. Conversión de binario a decimal
El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:
1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83
10100112 = 8310
Ejercicio 4:
Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:110111, 111000, 010101, 101010, 1111110
Sistema de numeración octalEl inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ochodiferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:
2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610
2738 = 149610
4. Conversión de un número decimal a octal
La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:
122 : 8 = 15 Resto: 2
15 : 8 = 1 Resto: 71 : 8 = 0 Resto: 1Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:
12210 = 1728
Ejercicio 5:Convierte los siguientes números decimales en octales: 6310, 51310, 11910
5. Conversión octal a decimal
La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:
2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910
2378 = 15910
Ejercicio 6:
Convierte al sistema decimal los siguientes números octales: 458, 1258, 625
Sistema de numeración hexadecimalEn el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:
1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F16 = 671910
Ejercicio 7:Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516,
Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del númeronecesario hacer las siguientes divisiones:
1735 : 16 = 108 Resto: 7108 : 16 = 6 Resto: C es decir, 1210
6 : 16 = 0 Resto: 6
De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:
173510 = 6C716
Ejercicio 8:Convierte al sistema hexadecimal los siguientes números decimales: 351910
409510
6. Conversión de números binarios a octales y viceversa
Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:
DECIMAL BINARIO OCTAL
0 000 0
1 001 1
2 010 2
3 011 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
DECIMAL BINARIO OCTAL
7 111 7
Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.
Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
1012 = 58
0012 = 18
0112 = 38
y, de ese modo: 1010010112 = 5138
Ejercicio 9:Convierte los siguientes números binarios en octales: 11011012, 1011102, 110110111011010112
La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos:
78 = 1112
58 = 1012
08 = 0002
y, por tanto: 7508 = 1111010002
Ejercicio 10:
Convierte los siguientes números octales en binarios: 258, 3728, 27538
7. Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa
Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos
establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:
DECIMAL BINARIO HEXADECIMAL
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro bits,
empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:
10102 = A16
01112 = 716
00112 = 316
y, por tanto: 1010011100112 = A7316
En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:1011102 = 001011102 = 2E16
Ejercicio 11:Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:10101001010111010102, 1110000111100002, 10100001110101112
La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
Ejercicio 12:Convierte a binario los números hexadecimales siguientes: 7A5D16, 101016, 8F8F
Luis GonzáleProfesor de Tecnologías de la InformaciónDepartamento de Tecnología
FactorizaciónPara otros usos de este término, véase Factorización (desambiguación).
En matemáticas, la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática
(que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de multiplicación.
Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el
objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que
reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio
en polinomios irreducibles.
El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la
factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números
enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de
complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía
asimétricacomo el RSA.
C.3).- Factorización de monomios y polinomios.
C.2a).- Factorización de un monomio.
C.2b).- factorización de un polinomio.
C.4).- Factor común.
C.4 a).- Factor común monomio.
C.4 b).- Factor común polinomio.
C.5).- Trinomio cuadrado perfecto.
C.6).- Binomio cuadrado perfecto.
C.6 a).- Regla para factorizar una diferencia de cuadrados.
C.7).- Trinomio de la forma x2 + bx +c.
C.8).- Cubo perfecto de un binomio.
c).- Binomio de Newton
d).- Caso
e).- Ecuaciones cuadráticas.
e-a).- Gráficas e interpretaciones
e-b).- Aplicaciones.
Teorema fundamental del álgebra.
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO: Como veremos no todo polinomio se puede se puede descomponer en dos o mas factores distintos de 1, pues en el mismo modo que en aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, y que , por lo tanto, o son el producto de otras expresiones algebraicas, el teorema fundamental del álgebra puede dar la respuesta de cuando se puede obtener una descomposición.
Factor común
El caso mas simple es cuando todos los términos de un monomio o en general un polinomio tienen un factor común.
a).- Factor común monomio.
Se pretende descomponer en factores la expresión algebraica: .
Como los factores de la expresión son y , los cuales tienen en común
a escribiremos al factor común como coeficiente de la expresión
teniendo
b).- Factor común polinomio.
Se pretende descomponer la expresión .
Los términos y tienen en común el factor por lo
que
Como podemos observar en ambos casos, factor común monomio y factor común
polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir por
el factor común.
Ejemplos:
Expresión algebraica Factor común descomposición2+2x 2 2 + 2x =2(1+x)
x(a + b) + m(a + b) (a + b) x(a + b) + m(a + b) = (x + m)(a + b)
3x2 + 3 3 3x2 + 3 = 3(x2+1)2x+1 Ninguno
3x2 + 1 Ninguno
En el último ejercicio se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede realizar.
polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir por
el factor común.
Ejemplos:
En el último ejercicio se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede realizar.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Se dice que una expresión es un cuadrado perfecto cuando la expresión se puede descomponer como producto de un mismo factor.
Por ejemplo:
1.- Se puede expresar como 9x2 como 9x2= (3x)(3x)
2.- x4 se puede descomponer como x4=(x2 )(x2)
Un trinomio es cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio, o el producto de dos binomios iguales.
Por ejemplo: x2 + 2xy + y2 se puede expresar como:
Nota cuando se utiliza el signo mas la expresión es:
(x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2
con signo menos:
(x - y )2 = (x - y) (x - y ) = x2 - 2xy + y2
o en una sola expresión:
(x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2
También se lee como: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término mas o menos, según el caso, el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo.”
Ejemplos de Trinomios cuadrados perfectos
x2 /4 + xy + y2 = ( x/2 + y ) 2 = (x/2 + y) (x/2 + y )4x2 + 12xy + 9y2 = ( 2x + 3y ) 2 = (2x + 3y) (2x + 3y )
x2 /4 - 2xy + 4y2 = ( x/2 - 2y ) 2 = ( x/2 - 2y ) ( x/2 - 2y )
25a2 + 30ab + 9b2 = ( 5a + 3b ) 2 = ( 5a + 3b ) ( 5a + 3b )
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.
En los productos notables se vio que la suma de dos cantidades multiplicados por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea
Se conoce como diferencia de cuadrados a la expresión formada por el producto de una suma de dos términos y la diferencia de los mismos términos.
(x + y ) (x – y) = x2 – y2
Regla para factorizar una diferencia de cuadrados.
Dada la diferencia de cuadrados, x2 – y2, se saca la raíz a los dos términos, considerando la raíz positiva y se multiplica la suma de las dos raíces por la diferencia de las dos raíces.
Ejemplos
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx +c.
La descomposición de factores de la forma x2 + bx +c depende de los valores de b y c, positivos o negativos (ecuación de segundo grado).
Ejemplos:
Ejemplos de expresiones algebraicas de segundo grado de la forma x 2 + bx +c
x2 -2x +1= (x -1)(x -1) = (x -1)2
x2 -2x +5 no se puede descomponer en el campo de los reales.
x2 -2x-5=(x - 5/2)(x +1/2) (ver solución de ecuaciones cuadráticas).
CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO.
La forma de una expresión algebraica que representa un cubo perfecto de un binomio es dada por:
(x + y)3= x3 +3x2y + 3xy2 + y3
generalmente se expresa como:
“El cubo de un binomio es igual al cubo del primero mas, o menos, el triple producto del primer termino al cuadrado por el segundo mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo mas, o menos, el segundo al cuadrado.”
Ejemplos:
Ejemplos de cubo perfecto de un binomio
a3x3 + 3ba2x2y + 3ab2xy2 +b3y3 = (ax + by)3
8x3 + 36x2y + 54xy2 +27y3 = (2x + 3y)3
1/27x3 + x2y + 9xy2 +27y3 = (1/3x + 3y)3
x3 + 3/2x2y + 3/4xy2 + 1/8y3 = (x + 1/2y)3
Se puede desarrollar expresiones, no solo cuadrado o cubos de binomios perfectos, sino para expresiones de binomios a mayor grado, sin embargo es mejor analizar el teorema del binomio de Newton que agrupa a todos estos desarrollos incluyendo los cuadrados o cubos de binomios.
EL TEOREMA DEL BINOMIO
El teorema del binomio, descubierto hacia 1664 -1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 1615-1677), secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época. En la primera carta, fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica.
El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. El análisis mediante las series infinitas parecía posible, porque ahora resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban.
Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.
Como sabemos de los temas de factorización, anteriores podemos desarrollar fácilmente polinomios de la forma a 2 + 2ab + b 2 o a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 , sin embargo el realizar operaciones con potencias de mayor grado resulta tedioso, a continuación presentamos algunos de ellos.
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a +b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 10a2b3 + 5ab4 + b5
debido a lo tedioso de estos cálculos se hace necesario el uso de alguna expresión que nos permita adquirir los binomios de mayor potencia. La expresión que se muestra a continuación es conocido como el teorema de Newton, permite desarrollar los cálculos anteriores y de mayor grado:
Donde
Es la combinatoria, se lee, de n elementos tomados r,
donde n!=1234…..(n-1) n conocido como factorial de n y 0!=0, 1!=1
Ejemplos:
pero podemos ver que:
con esta igualdad es fácil de calcular expresiones mas grandes con menos operaciones, por ejemplo:
Vemos que:
Entonces :
Un caso particular del binomio de Newton es el siguiente:
Ejemplos de la forma a n - b n :
Con n = 0
Con n = 1
Con n = 2
Ejemplos de la forma a n - b n :
Razon y Proporciòn
¿Que es Razon y Proporcion?
Proporción, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee “12 es a 3 como 8 es a 2”. En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.
En la antigua Grecia, la teoría de números no era adecuada para describir aritméticamente las magnitudes geométricas. Por tanto, el astrónomo y matemático griego Eudoxo propuso una teoría separada para la proporción geométrica en el siglo IV a. C. Una descripción detallada de esta teoría, escrita por el matemático griego Euclides, se puede encontrar en los libros quinto y sexto de los Elementos de geometría.
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RAZONES
RAZÓN O RELACIÓN de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o diferencia y razón geométrica o por cociente.
RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: separando las dos cantidades con el signo – o con un punto (.).
Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6. 4 y se lee seis es a cuatro.
RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.
Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: en forma de quebrados, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de
división ( ).
Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe u 8 4, y se lee, ocho es a cuatro.
Los términos de la razón geométrica se llaman antecedente el primero y consecuente el
segundo. Así, en la razón 8 4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.
PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS
Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia:
1. Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.
2. Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.
3. Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varia.
PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS O POR COCIENTE
Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados:
1. Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
2. Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.
3. Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.
EJERCICIOS
(En los ejercicios siguientes, cuando se diga simplemente razón o relación, se entenderá que la razón pedida es geométrica).
1. Cite dos números cuya razón aritmética sea 6; dos números cuya razón geométrica
sea .
2. Hallar la razón aritmética y geométrica de :
3. a) 60 y 12. R. 48; 5. c) 5.6 y 3.5 R. 2.1; .
b) y . R. ; . d) y 0. 02. R- 0.355; .
4. Hallar la relación entre las edades de dos niños 10 y 14 años. R. .
5. Cite tres pares de números que estén en la relación de 2 y 3.
6. Cite tres pares de números cuya razón sea ; tres pares de números cuya relación sea de 1 a 6.
7. La razón de dos números es . Si el menor es 20, ¿ cuál es el mayor? R. 24.
8. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos de 5 a 7. Hallar el número menor. R 30.
9. Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor? R. 119.
PROPORCIONES ARITMÉTICAS.
EQUIDIFERENCIA O PROPORCIÓN ARITMÉTICA es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.
Una equidiferencia se escribe de los dos modos siguientes:
a – b = c – d y a . b :: c . d y se lee a es a b como c es a d.
TÉRMINOS DE UNA EQUIDIFERENCIA
Los términos de una equidiferencia se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y el tercero. También según lo visto antes se llaman antecedentes al primero y tercer términos y consecuentes al segundo y al cuarto.
Así, en la diferencia 20 – 5 = 21 – 6, 20 y 6 son los extremos, y 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.
CLASES DE EQUIDIFERENCIAS
Hay dos clases: Equidiferencia discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales, por ejemplo, 9 – 7 = 8 – 6 y equidiferencia contínua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 10 – 8 = 8 – 6.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS EQUIDIFERENCIAS
TEOREMA
En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a + d = c + b.
En efecto: sumando a los dos miembros de la equidiferencia dada a- - b = c – d un extremo y un medio, b + d, tendremos: a – b + b + d = c – d + b + d y simplificando, queda a + d = c + b que era lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO
En la equidiferencia 8 – 6 = 9 – 7 tenemos: 8 + 7 = 9 + 6 o sea 15 = 15.
COROLARIOS
De la propiedad fundamental de las equidiferencias se derivan los siguientes corolarios:
1. En toda equidiferencia un extremo es igual a la suma de los medios, menos el otro extremo.
2. Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a = b + c – d.
En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental, que: a + d = b + c.
Restando d a ambos miembros, tendremos: a + d – d = b + c – d y simplificando a = b + c – d.
EJEMPLO
En 9 – 5 = 10 – 6 tenemos que 9 = 5 + 10 – 6.
3. En toda equidiferencia un medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que b = a + d – c.
En efecto: ya sabemos que a + d = b + c.
Restando c a los dos miembros, tendremos: a + b – c = b + c – c y simplificando b = a + d – c.
EJEMPLO
En 11 – 7 = 9 – 5 tenemos que 7 = 11 + 5 – 9.
MEDIA DIFERENCIA O MEDIA ARITMÉTICA es cada uno de los términos medios de una equidiferencia continua, o sea cada uno de los medios de una equidiferencia, cuando son iguales. Así, en la equidiferencia 8 – 6 = 6 – 4, la media diferencial es 6.
TEOREMA
La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.
Sea la equidiferencia a – b = b – c. Vamos a demostrar que =
En efecto: por la propiedad fundamental sabemos que a + c = b + b o sea a + c = 2b.
Dividiendo ambos miembros por 2 queda: = o sea = b que era lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO
En 12 – 9 = 9 – 6 tenemos 9 = .
HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN EQUIDIFERENCIAS
1. Hallar el término desconocido en 8 – 6 = 4 – x.
2. Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:
X = 6 + 4 – 8 = 2
Y queda, sustituyendo el valor de x en la equidiferencia: 8 – 6 = 4 – 2.
2) Hallar el término desconocido en 3.4 – x = - 1.
Como el término desconocido es un medio y un medio es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:
x = 3.4 + 1 - = 4.4 - = = 2
y sustituyendo el valor de x: 3.4 - 2 = - 1.
3. Hallar el término desconocido en 14 – x = x – 3.04
Aquí el término desconocido es la media diferencial, que es igual a la semisuma de los extremos, luego:
x = = = 8.52
y queda, sustituyendo el valor de x en la equidiferencia dada:
14 – 8.52 = 8.52 – 3.04
EJERCICIOS
Hallar el término medio proporcional entre: Solución
50 – 42 = 25 – x R. 17
16.5 – 8 = x – 2 R. 10.5
45.3 – x = 18 – 0.03 R. 27.33
x – 0.4 = 25 – 0.004 R. 25.396
- = - x R.
- x = - R.
8 - = x – 5 R. 13
0.03 – 0.01 = 15 - x
R. 15.38
x - = 6 - R. 6
8 - x = 5 - 14 R. 17
- 0.36 = x – 4
R. 4.265
x – 14 = 16 - R. 30
50 – x = x – 14.25 R. 32.13
- x = x - R.
16 - x = x - R. 8
5.04 – x = x – 5
R. 5.145
HALLAR EL TÉRMINO MEDIO DIFERENCIAL ENTRE DOS NÚMEROS
EJEMPLO
Hallar la media diferencial entre 8.04 y 4
No hay más que formar una equidiferencia continua cuyo medio diferencial sea x y los extremos los números dados y despejar x;
8.04 – x = x - 4
Despejando x: x = = = 6.02
Y sustituyendo el valor de x: 8.04 – 6.02 = 6.02 – 4
EJERCICIOS
Hallar el término medio diferencial entre: Resultado
26 y 14 20
18 y 14.04 16.02
25.02 y 0.004 12.512
5.004 y 0.0016 2.5028
y
y
6 y 5 5
14 y 7
100 y 50 75
150 y 20.364 85.182
5 y 0.006
2.803
3.42 y
2.085
8.16 y 5
6.68
16 y 8
50.36 y
25.555
y
PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA o EQUICOCIENTE es la igualdad de dos razones geométricas o por cociente.
Una proporción geométrica se escribe de los dos modos siguientes:
= o a : b :: c : d
y se lee: a es a b como c es a d.
TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Los términos de una proporción geométrica se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y tercero.
También, según lo visto antes, se llaman antecedentes el primero y el tercer términos, y consecuentes el segundo y cuarto términos.
Así, en la proporción = los extremos son 8 y 5, y los medios 10 y 4; los antecedentes son 8 y 10, y los consecuentes 4 y 5.
CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
Hay dos clases de proporciones geométricas: Proporción discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales; por ejemplo, 8 : 4 :: 10 : 5, y proporción continua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 20 : 10 :: 10 : 5.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS TEOREMA
En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Sea la proporción = . Vamos a demostrar que a d = c b.
En efecto: multiplicando ambos miembros de la igualdad = por el producto de un medio y un extremo, b x d, para lo cual basta multiplicar solamente los numeradores,
tendremos: =
Y simplificando queda: a x d = c x b que era lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO
En la proporción = tenemos que 6 x 2 = 3 x 4 o sea 12 = 12
COROLARIOS
De la propiedad fundamental de las proporciones geométricas se derivan los siguientes corolarios:
1. En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios divididos por el otro extremo.
Sea la proporción = . Vamos a demostrar que a = .
En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental que a x d = b x c. Dividiendo los dos miembros de esta igualdad por d, tendremos:
= y simplificando: a = .
EJEMPLO
En = tenemos 9 =
2) En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.
Sea la proporción
Vamos a demostrar que
En efecto: Ya sabemos que ad = bc.
Dividiendo ambos miembros de esta igualdad por c tendremos:
Y simplificando: .
EJEMPLO
En tenemos
MEDIA PROPORCIONAL O MEDIA GEOMÉTRICA es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, o sea, cada uno de los términos medios de una proporción geométrica, cuando son iguales. Así, en la proporción 8:4::4:2 la media proporcional es 4.
TEOREMA
La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.
Sea la proporción continua vamos a demostrar que
En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental que ac=bb, o sea, ac=b2.
Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros, tenemos:
Y simplificando: que era lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO
En tenemos que .
HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
EJEMPLOS
1. Hallar el término desconocido en 8:4::10:x.
2. Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual al producto de los medios dividido por el extremo conocido, tendremos:
. Sustituyendo el valor de la x en la proporción dada, queda: 8:4::10:5.
3. Hallar el término desconocido en 10:1/6::x:4.
4. Como el término desconocido es un medio y un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido tendremos:
Sustituyendo el valor de x en la proporción dada queda. 10:1/6::240:4.
5. Hallar el término desconocido en 25:x::x.1/6.
Como el término desconocido es la media proporcional y la media proporcional es la raíz cuadrada del producto de los extremos, tendremos:
Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda:
EJERCICIO
Hallar el término desconocido en: Resultados
8 : x :: 16 : 4 2
X : 1/5 :: 6 : 2 3/5
x:0.04 :: 24 : 0.4 2.4
5: ½ :: x : 0.04 0.4.
14.25: 14 :: x : 0.002 57/28000
1/3:2/5::4.25:x 5 1/10.
0.04: 0.05 :: 0.06: x 0.075
8 ¼: 5 1/6 :: x: 3 1/7. 5 4/217
1/3:1/5::x:2/3 1 1/9
0.03:x::1/6:2/9 1/25
5 2/3:x::8 ¼:5/6 170/297
16:x::x:25 20
1/12:3 1/6::2/3:x 25 1/3
0.49:x::x: 0.64 0.56
0.45:1/12::10 2/9:x 1 217/243
¼:x::x:9/16 3/8
3.45:1/8::x:4.36 120.336
2.25:x::x:1.69 1.95
HALLAR EL TÉRMINO MEDIO PROPORCIONAL ENTRE DOS NÚMEROS
EJEMPLO
Hallar el término medio proporcional entre 16 y 81.
No hay más que formar una proporción geométrica continua cuyo medio proporcional sea x y los extremos los números dados y despejar x. 16:x::x:81,
Despejando x: .
Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda: 16:36::36:81.
EJERCICIO
Hallar el término medio proporcional entre: Solución
81 y 4. 18
¼ y 1/9. 1/6
64 y 25. 40
25/36 y 40/81 35/54
49 y 0.25. 3.5
0.0144 y 1/324 1/150
0.16. y 169 5.2
121/169 y 289/361. 187/247
0.0064 y 225 1.2
2 ¼ y 3 1/16. 2 5/8
144 y 0.0169 1.56
1 47/529 y 1 49/576. 1 2/23.
HALLAR UNA CUARTA PROPORCIONAL DE TRES NÚMEROS.
Cuarta proporcional es cualquiera de los cuatro términos de una proporción geométrica discreta. Así, en la proporción 8:16::5:10, cualquiera de estos cuatro términos es cuarta proporcional respecto de los otros tres.
EJEMPLO.
Hallar una cuarta proporcional de 20, 1/3 y 2/5.
Se forma una proporción geométrica con estas tres cantidades, poniendo de último extremo x y se despeja el valor de x: 20:1/3::2/5:x.
Despejando x:
Sustituyendo el valor de x: 20:1/3::2/5:1/150.
EJERCICIO
Hallar el término medio proporcional entre: Solución
5, 6, y 0.04. 0.04
150, 24 1/7 y 16 2/5 2 1679/2625.
5/6, ¼ y 2/3. 1/5
5/12, 0.004 y 3.24. 486/15625
1/16, 5 2/3 y 6 1/12 551 5/9
1/14, 5.34 y 16 2/5. 1226 8/125.
HALLAR UNA TERCERA PROPORCIONAL DE DOS NÚMEROS
Tercera o tercia proporcional es el primero o cuarto término de una proporción geométrica continua. Así, en la proporción 20:10::10:5. 20 es una tercia proporcional de 10 y 5, y 5 es una tercia proporcional de 20 y 10.
EJEMPLO.
Hallar una tercera proporcional entre 1/5 y 6.
Se forma una proporción continua, poniendo de término medio proporcional uno de los números dados y x de último extremo y se despeja x:
1/5:6::6:x.
Despejando x:
Sustituyendo el valor de x: 1/5 : 6 :: 180.
EJERCICIO
Hallar el término medio proporcional entre: Solución
8 y 0.4. 0.02.
0.12 y 0.36. 1.08
5/6 y 2/3 8/15
1/3 y 8 ¼. 204 3/16
1/8 y 14 2/5. 1658 22/25
0.002 y 16.34 133497.8.
Ejercicios de cambio de base
En el primer ejemplo, pasa 5126 que está en base 9 a base 10 (3750) y después a base 6 (25210) Tenemos también la calculadora de cambio de base.
Ejemplos de cambio de base
EJERCICIO 1
BASE BASE BASE
1 9 10 6
5126 3750 25210
2 9 10 4
443 363 11223
3 5 10 8
103310 3580 6774
4 3 10 5
12110012 3974 111344
5 6 10 9
30512 4076 5528
6 8 10 6
2523 1363 10151
7 8 10 2
6760 3568 110111110000
8 2 10 9
1001111111 639 780
9 9 10 8
3672 2738 5262
10 8 10 3
6224 3220 11102021
11 7 10 9
12344 3266 4428
12 8 10 5
5304 2756 42011
13 9 10 8
4522 3341 6415
14 5 10 4
14343 1223 103013
15 3 10 6
2212002 2081 13345
16 7 10 2
16203 4560 1000111010000
EJERCICIO 2
BASE BASE BASE
1 2 10 6
101100111101 2877 21153
2 5 10 3
3124 414 120100
3 8 10 4
7454 3884 330230
4 3 10 6
11111212 3290 23122
5 8 10 5
6662 3506 103011
6 4 10 9
1002323 4283 5778
7 2 10 6
111110111111 4031 30355
8 5 10 2
23420 1735 11011000111
9 9 10 8
6030 4401 10461
10 6 10 4
30151 3955 331303
11 6 10 4
25151 3739 322123
12 8 10 4
5662 2994 232302
13 2 10 8
110000100000 3104 6040
14 7 10 2
20324 4967 1001101100111
15 6 10 2
22241 3121 110000110001
16 2 10 7
110110101110 3502 13132
EJERCICIO 3
BASE BASE BASE
1 7 10 6
6445 2287 14331
2 5 10 8
23133 1668 3204
3 2 10 7
110110001 433 1156
4 9 10 4
1532 1163 102023
5 2 10 4
1001011110100 4852 1023310
6 5 10 9
112441 4121 5578
7 7 10 2
1012 352 101100000
8 2 10 5
110100100 420 3140
9 9 10 3
1750 1341 1211200
10 5 10 9
112232 4067 5518
11 3 10 6
12220011 4297 31521
12 6 10 3
10231 1387 1220101
13 3 10 8
1110022 1061 2045
14 6 10 5
24343 3591 103331
15 6 10 3
4151 931 1021111
16 4 10 8
221013 2631 5107
EJERCICIO 4
BASE BASE BASE
1 9 10 6
1547 1177 5241
2 6 10 3
25445 3845 12021102
3 3 10 6
11222220 3642 24510
4 7 10 6
64 46 114
5 2 10 8
101000110101 2613 5065
6 4 10 9
220321 2617 3527
7 2 10 9
101100011001 2841 3806
8 8 10 3
10055 4141 12200101
9 5 10 8
121132 4542 10676
10 3 10 2
10022000 2403 100101100011
11 4 10 3
211022 2378 10021002
12 5 10 9
31203 2053 2731
13 6 10 2
1235 311 100110111
14 8 10 2
5675 3005 101110111101
15 5 10 3
11001 751 1000211
16 7 10 2
15311 4271 1000010101111
EJERCICIO 5
BASE BASE BASE
1 5 10 4
104322 3712 322000
2 6 10 8
33332 4664 11070
3 2 10 6
111110010001 3985 30241
4 2 10 5
10010000100 1156 14111
5 3 10 7
2121202 1910 5366
6 4 10 6
321121 3673 25001
7 5 10 2
23233 1693 11010011101
8 7 10 9
6316 2218 3034
9 3 10 7
11221002 3593 13322
10 8 10 5
473 315 2230
11 8 10 7
11332 4826 20033
12 3 10 2
12010211 3748 111010100100
13 4 10 7
1122 90 156
14 3 10 5
111001 352 2402
15 5 10 4
24003 1753 123121
16 2 10 9
10000000100 1028 1362
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los
términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios , si no lo están.
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado .
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes .
P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del
sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
Multiplicación de polinomiosMultiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y
como coeficientes elproducto de los coeficientes del polinomio por el
número.
3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que
forman el polinomio .
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los
elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de
los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
División de polinomiosResolver la división de polinomios:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es
completo dejamoshuecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado
anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo
restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto , porque su grado es menor que el del divisor y
por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente .
División por Ruffini
Si el divisor es un binomio de la forma x — a , entonces utilizamos
un método más breve para hacer la división , l lamado regla de Ruffini .
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x4 −3x2 +2) : (x −3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los
términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término
independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos
debajo del siguiente término.
6Sumamos los dos coeficientes.
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8El último número obtenido , 56 , es el resto .
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al
dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
Ejercicios y problemas resueltos de polinomios
1Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = 1/2x2 + 4
T(x) = 3/2x2 +5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
1P(x) + Q (x) =
= (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) =
= x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 =
= x3 + x2+ 6x − 3
2P(x) − U (x) =
= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =
= 4x2 − 1 − x2 − 2 =
= 3x2 − 3
3P(x) + R (x) =
= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =
= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =
= 10x2 + x
42P(x) − R (x) =
= 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =
= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =
= 2x2 − x − 3
5S(x) + T(x) + U(x) =
= (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) =
= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 =
= 3x2 + 11
6S(x) − T (x) + U(x) =
= (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) =
= 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 =
= 1
2Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 −2 x − 2
Calcular:
P(x) + Q(x) − R(x) =
= (x4 −2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2x − 2) =
= x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 =
= x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =
= −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5
P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
=(x4 −2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 −2 x − 2)=
= x4 − 2x2 − 6x − 1 +2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2 x + 2 =
= x4 − 2x4 + 2x3 −2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =
= −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9
Q(x)+ R(x) − P(x)=
= (x3 − 6x2 + 4) + ( 2x4 −2 x − 2) − (x4 −2x2 − 6x − 1) =
= x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2 x − 2 − x4 +2x2 + 6x + 1=
= 2x4 − x4 + x3 − 6x2 +2x2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1=
= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3
1(x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) =
= x6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6=
= x6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 =
= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6
2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) =
= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x =
= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x =
= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x
3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) =
= 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 −
− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x +
+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =
= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 +
+8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 =
= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18
3Dividir los polinomios :
1(x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)
2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
3 P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
4 Dividir por Ruffini :
1 (x3 + 2x +70) : (x+4)
2(x5 − 32) : (x − 2)
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R= 0
3 (x4 −3x2 +2 ) : (x −3)
C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R= 56
Ejercicios resueltos de tablas de verdad y formalización Publicado el 25 octubre, 2008 por Eugenio Sánchez Bravo
EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD Y FORMALIZACIÓN MÁS TABLAS DE VERDAD
Construya la tabla de verdad de las siguientes fórmulas. Indique qué fórmulas son tautológicas, cuáles contradictorias
y cuáles indeterminadas.
1.
p & q -> p
V V V V V
V F F V V
F F V V F
F F F V FTAUTOLOGÍA
2.
( p -> q ) & ( p & ¬ q )
V V V F V F F V
V F F F V V V F
F V V F F F F V
F V F F F F V FCONTRADICCIÓN
3.
p v ( q -> r )
V V V V V
V V V F F
V V F V V
V V F V F
F V V V V
F F V F F
F V F V V
F V F V FINDETERMINACIÓN
4.
( p -> q ) & q -> p
V V V V V V V
V F F F F V V
F V V V V F F
F V F F F V FINDETERMINACIÓN
5.
( p -> q ) & ( q -> r ) -> ( p -> r )
V V V V V V V V V V V
V V V F V F F V V F F
V F F F F V V V V V V
V F F F F V F V V F F
F V V V V V V V F V V
F V V F V F F V F V F
F V F V F V V V F V V
F V F V F V F V F V FTAUTOLOGÍA
6.
( p -> q ) & ¬ p -> ¬ q
V V V V F V V F V
V F F F F V V V F
F V V F V F F F V
F V F V V F V V FINDETERMINACIÓN
7.
p -> ( q -> r )
V V V V V
V F V F F
V V F V V
V V F V F
F V V V V
F V V F F
F V F V V
F V F V FINDETERMINACIÓN
8.
¬ ( p v q ) ¬ p & ¬ q
F V V V V F V F F V
F V V F V F V F V F
F F V V V V F F F V
V F F F V V F V V FTAUTOLOGÍA
9.
p v q -> ( r v s -> p )
V V V V V V V V V
V V V V V V F V V
V V V V F V V V V
V V V V F F F V V
V V F V V V V V V
V V F V V V F V V
V V F V F V V V V
V V F V F F F V V
F V V F V V V F F
F V V F V V F F F
F V V F F V V F F
F V V V F F F V F
F F F V V V V F F
F F F V V V F F F
F F F V F V V F F
F F F V F F F V FINDETERMINACIÓN
10.
¬ ( p v q ) ¬ p v ¬ q
F V V V V F V F F V
F V V F F F V V V F
F F V V F V F V F V
V F F F V V F V V FINDETERMINACIÓN
Formalice los siguientes argumentos. Una vez formalizados, Haga su tabla de verdad e indique si son válidos
(tautologías) o no.
[Los ejercicios están tomados de la excelente introducción a la lógica proposicional de Eulalia Pérez Sedeño.
Eulalia Pérez Sedeño: Ejercicios de Lógica, Madrid: s. XXI de España Editores, 1991.]
Ejemplo: Jaime se come el polo o se le derretirá; no se derrite el polo; por tanto, Jaime se come el polo. p = Jaime se come el polo q = el polo se derrite. (p v q) & ¬ q -> p
(p v q) & ¬ q -> p
V V V F F V V V
V V F V V F V V
F V V F F V V F
F F F F V F V FArgumento válido. Tautología.
1. Juan partirá para Japón, si María se queda en Venecia. Rosa viajará a Luxemburgo o Juan no partirá para Japón. O María
no se queda en Venecia o Rosa no viajará a Luxemburgo. Por consiguiente, María no se queda en Venecia.
Juan Japón: p
María Venecia: q
Rosa Luxemburgo: r
((q -> p) & (r v ¬p)) & (¬q v ¬r) -> ¬q
( ( q -> p ) & ( r v ¬ p ) ) & ( ¬ q v ¬ r ) -> ¬ q
V V V V V V F V F F V F F V V F V
V V V F F F F V F F V V V F V F V
F V V V V V F V V V F V F V V V F
F V V F F F F V F V F V V F V V F
V F F F V V V F F F V F F V V F V
V F F F F V V F F F V V V F V F V
F V F V V V V F V V F V F V V V F
F V F V F V V F V V F V V F V V FTAUTOLOGÍA
2. Si la Luna es mayor que la Tierra, la Tierra es mayor que el Sol. Júpiter es mayor que Plutón, si la Tierra es mayor que el
Sol. Por tanto, si la Luna es mayor que la Tierra, Júpiter es mayor que Plutón.
Luna mayor: p
Tierra mayor: q
Júpiter mayor: r
(p -> q) & (q -> r) -> (p -> r)
( p -> q ) & ( q -> r ) -> ( p -> r )
V V V V V V V V V V V
V V V F V F F V V F F
V F F F F V V V V V V
V F F F F V F V V F F
F V V V V V V V F V V
F V V F V F F V F V F
F V F V F V V V F V V
F V V V F V F V F V FTAUTOLOGÍA
3. Cuando viajo me mareo. Siempre que me mareo, me entra un hambre atroz. Así pues, siempre que me entra un hambre
atroz, viajo.
Viajo: p
Mareo: q
Hambre: r
((p -> q) & (q -> r)) ->(r -> p)
( ( p -> q ) & ( q -> r ) ) -> ( r -> p )
V V V V V V V V V V V
V V V F V F F V F V V
V F F F F V V V V V V
V F F F F V F V F V V
F V V V V V V F V F F
F V V F V F F V F V F
F V F V F V V F V F F
F V F V F V F V F V FINDETERMINACIÓN
4. O el amor es ciego y los hombres no son conscientes del hecho de que el amor es ciego, o el amor es ciego y las mujeres
sacan ventaja de ello. Si los hombres no son conscientes de que el amor es ciego, entonces el amor no es ciego. En
conclusión, las mujeres sacan ventaja de ello.
Amor ciego: p
Hombres no conscientes: ¬ q
Mujeres ventaja: r
((p & ¬q) v (p & r)) & (¬q -> ¬p) ->r
(( p & ¬ q ) v ( p & r )) & ( ¬ q -> ¬ p ) -> r
V F F V V V V V V F V V F V V V
V F F V F V F F F F V V F V V F
V V V F V V V V F V F F F V V V
V V V F V V F F F V F F F V V F
F F F V F F F V F F V V V F V V
F F F V F F F F F F V V V F V F
F F V F F F F V F V F V V F V V
F F V F F F F F F V F V V F V FTAUTOLOGÍA
5. Si Guillermo estudia, obtiene buenas notas. Si no estudia, lo pasa bien en el colegio. Si no saca buenas notas, no lo pasa
bien en el colegio. Así pues, Guillermo obtiene buenas notas.
Guillermo estudia: p
Guillermo notas: q
Guillermo colegio: r
((p -> q) & (¬ p -> r)) & (¬ q -> ¬ r) -> q
( ( p -> q ) & ( ¬ p -> r ) ) & ( ¬ q -> ¬ r ) -> q
V V V V F V V V V F V V F V V V
V V V V F V V F V F V V V F V V
V F F F F V V V F V F F F V V F
V F F F F V V F F V F V V F V F
F V V V V F V V V F V V F V V V
F V V F V F F F F F V V V F V V
F V F V V F V V F V F F F V V F
F V F F V F F F F V F V V F V FTAUTOLOGÍA
6. Cuando Eduardo no juega al baloncesto, juega al tenis; cuando juega al tenis, juega al fútbol; no juega al fútbol. Por tanto,
Eduardo juega al baloncesto.
Eduardo baloncesto: p
Eduardo tenis: q
Eduardo fútbol: r
((¬p -> q) & (q ->r)) & ¬r ->p
(( ¬ p -> q ) & ( q -> r )) & ¬ r -> p
F V V V V V V V F F V V V
F V V V F V F F F V F V V
F V V F V F V V F F V V V
F V V F V F V F V V F V V
V F V V V V V V F F V V F
V F V V F V F F F V F V F
V F F F F F V V F F V V F
V F F F F F V F F V F V FTAUTOLOGÍA
7. Si la tormenta continúa o anochece, nos quedaremos a cenar o a dormir; si nos quedamos a cenar o a dormir no iremos
mañana al concierto; por consiguiente, iremos mañana al concierto.
Tormenta continua: p
Anochece: q
Quedamos a cenar: r
Quedamos a dormir: s
Iremos concierto: t
(((p v q) -> (r v s)) & ((r v s) -> ¬t)) -> t
((( p v q ) -> ( r v s )) & (( r v s ) -> ¬ t )) -> t
V V V V V V V F V V V F F V V V
V V V V V V V V V V V V V F F F
V V V V V V F F V V F F F V V V
V V V V V V F V V V F V V F F F
V V V V F V V F F V V F F V V V
V V V V F V V V F V V V V F F F
V V V F F F F F F F F V F V V V
V V V F F F F F F F F V V F V F
V V F V V V V F V V V F F V V V
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F V V V V V F V V V F V F V V V
F V V V V V F V V V F V V F F F
F V V V F V V F F V V F F V V V
F V V V F V V V F V V V V F F F
F V V F F F F F F F F V F V V V
F V V F F F F F F F F V V F V F
F F F V V V V F V V V F F V V V
F F F V V V V V V V V V V F F F
F F F V V V F V V V F V F V V V
F F F V V V F V V V F V V F F F
F F F V F V V F F V V F F V V V
F F F V F V V V F V V V V F F F
F F F V F F F V F F F V F V V V
F F F V F F F V F F F V V F F F
