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INDICE

INTRODUCCIN .............................................................................................................................. 2

TRANSFORMACIONES LINEALES ............................................................................................ 3

DEFINICIN .................................................................................................................................. 3

EJEMPLO ...................................................................................................................................... 4

PROPIEDADES DE LAS TRASNFORMACIONES LINEALES .......................................... 6

REPRESENTACION LINEL DE UNA TRASNFORMACION LIENAL ................................ 7

ISOMORFISMO ................................................................................................................................ 7

ISOMETRIA ................................................................................................................................... 9

CONCLUSIN ................................................................................................................................ 11

RESUMEN ....................................................................................................................................... 12

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 13

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INTRODUCCIN

Una transformacin es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector

para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una

estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar

por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha

estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente

capitulo las estudiaremos. Ms adelante mostraremos que las transformaciones

lineales se pueden representar en trminos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformacin lineal a toda funcin cuyo dominio e imagen sean

espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las

transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el lgebra lineal y en

otras ramas de las matemticas, tienen una gran variedad de aplicaciones

importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicacin en la fsica,

la ingeniera y en diversas ramas de la matemtica.

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TRANSFORMACIONES LINEALES

DEFINICIN

La transformacin lineal es una funcin utilizada para la asignacin de un espacio

vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la

expresin f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y).

En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformacin

lineal es una grfica T: V W que satisface dos condiciones:

1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v)

donde x es una escala

Una transformacin lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y

V tengan dimensiones idnticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es,

se encuentra T-1 el cual satisface la condicin TT-1 = I. Asimismo, T (0) ser

siempre 0.

La teora de la matriz entra en la teora de las transformaciones lineales porque es

posible representar cada transformacin lineal como matriz. La multiplicacin de

matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el

concepto de transformacin lineal. Una matriz A de dimensin n x m define que T

(v) = Av y aqu v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo:

Aqu, la transformacin lineal t es definida como T (x, y) = (y, 2x + 2y, x). En el

caso que, V y W sean de dimensin finita, la transformacin lineal est mejor

representada con la multiplicacin de matrices en lugar de estableciendo la base

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del espacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un producto

escalar y tambin los espacios vectoriales correspondientes y que W y V sean

ortonormales, ser simple representar la matriz correspondiente como.

Mientras que w y v son de dimensin infinita, la transformacin lineal puede ser

continua. Por ejemplo, considera que un espacio polinmico de 1 variable sea v y T

una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras

que T (xn)/n no converge.

El resultado de la suma de 2 o ms transformaciones lineales, la multiplicacin de

una transformacin lineal por nmero particular, y la multiplicacin de 2

transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Una

transformacin lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano

siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea simtrica

en cualquier base ortonormal. Una transformacin lineal que es auto-adjunta y se

describa en una dimensin finita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base

ortonormal en la cual su matriz lleva una forma diagonal.

Existen dos espacios fundamentales que estn asociados a una transformacin

lineal: su kernel ker(T) y su imagen im(T). El kernel y la imagen de una

transformacin lineal T corresponden con el espacio nulo y el espacio de la columna

de cualquier matriz que represente a T.

En un sistema lineal, el nmero de variables es igual al nmero de variables libres

ms el nmero de variables angulares, quedando una transformacin lineal final T:

V W en la identidad dim V = dim ker(T) dim im(T). Si dim ker(T) = 0 y dim im(T) =

dimW, entonces t esta sobre y uno a uno. En este caso, esto se denomina un

isomorfismo.

EJEMPLO

Una casa editora publica un libro en tres ediciones diferentes: cubierta dura, cubierta

blanda y cubierta de lujo. Cada libro requiere cierta cantidad de papel y de material

para la cubierta. Los requisitos estn dados en gramos por la siguiente matriz:

Cubierta

dura

Cubierta

blanda

Cubierta

de Lujo

Papel 300 500 800

Material para la cubierta 40 50 60

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Deja que represente el vector produccin, donde x1, x2, x3 representan el

nmero de libros con cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo

respectivamente, que se publican. La transformacin lineal T: R3 R2 definida por

T(x) = Ax nos da el vector , donde y1representa la cantidad total de papel

requerido y y2 la cantidad de material para la cubierta. Suponga que ,

entonces,

Por lo que se requiere 810,000 gramos en papel y 87,000 gramos en material para

la cubierta.

Puede una transformacin lineal cambiar un dibujo por otro? Observa como la

transformacin T; R2 R2 definida por T(x, y) = (x, x+y) cambia los siguientes

dibujos:

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PROPIEDADES DE LAS TRASNFORMACIONES LINEALES

Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se

satisface que:

Si es lineal, se define el ncleo (ker) y la imagen (Im) de de la

siguiente manera:

Es decir que el ncleo de una transformacin lineal est formado por el conjunto de

todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El ncleo de toda transformacin lineal es un subespacio vectorial del dominio:

dado que (para probar esto, observar

que ).

Dados

Dados

Se denomina nulidad a la dimensin del ncleo.

La imagen de una transformacin lineal est formada por el conjunto de todos

los vectores del codominio que son imgenes de al menos algn vector del dominio.

La imagen de toda transformacin lineal es un subespacio del codominio.

El rango de una transformacin lineal es la dimensin de la imagen.

Para toda transformacin lineal T: V W, T (-x) = -T (x)

Para toda transformacin lineal T: V W, T (0) = 0 (El que aparece en la izquierda

es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector

nulo de W. Se puede escribir tambin T (0V) = 0W)

Sea V un espacio vectorial de dimensin finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn}

una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces

existe una nica transformacin lineal T: V W tal que T (vi) = zi (1 i n).

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REPRESENTACION LINEL DE UNA TRASNFORMACION LIENAL

Sea T: V W una transformacin lineal, donde V y W son espacios vectoriales. Sean e1 = (1, 0, 0, ;, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, ;, 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, ;, 0) , ;, en = (0, 0, 0, ;, 0, 1). Suponga que {e1, e2, e3, ;, en} es una base de V. Ahora, sea T(e1) = w1, T(e2) = w2, T(e3) = w3, ;, T(en) = wn. Llamamos a AT la matriz cuyas columnas son w1, w2, w3, ; , wn. Entonces a la matriz AT se le llama la representacin matricial de T. Ejemplo Encuentre la matriz de transformacin At correspondiente a la proyeccin de un vector en R3 sobre el plano xy.

ISOMORFISMO

Se emplea en el lgebra para denotar la idea de que dos sistemas son tan parecidos

que pueden considerarse, en esencia el mismo.

En general, la sustitucin de los elementos de un conjunto A por los elementos de

otro conjunto B puede hacerse mediante una funcin: Cuando dicha funcin es

biyectiva los elementos de A y de B se encuentran en relacin uno a uno, y cada

uno de ellos puede considerarse como el reflejo de su elemento correspondiente

en el otro conjunto.

Si en el conjunto A est definida una operacin * y en el conjunto B una operacin

, es necesario que los resultados obtenidos en el sistema (A, *) se conservan al

efectuar las operaciones en el sistema (B, ) con las imgenes respectivas por lo

que la funcin f debe ser tal que: f(a*b) = f(a) f(b) a, b A.

Supongamos que nos encontramos en un planeta lejano, donde solamente conocen

dos nmeros, el 0 y el 1, y la nica forma de operarlos la han definido como sigue:

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Pero en otro lugar del espacio, en vez de nmeros conocen las letras e y a, e

inclusive conocen una forma de operar estas letras, como sigue:

No es difcil darse cuenta que en ambos sitios, en realidad estn definiendo una

operacin que, aunque no es exactamente la misma, tiene el mismo fondo. Para

precisar esta idea, podemos definir una funcin:

Dada por:

En esta parte, estamos identificando el 0 con e, y el 1 con a. Pero lo realmente

importante de esta funcin que hemos definido, es que preserva las operaciones

de ambos conjuntos, en el sentido de que:

Pensamos en esto, como que la tabla de sumar de un conjunto, corresponde

exactamente a la tabla de multiplicar del otro conjunto.

En este punto, podemos decir que nuestra funcin no es cualquier funcin, sino

que es tal que preserva las operaciones de ambos conjuntos. De hecho, el ejemplo

que hemos dado, corresponde a lo que en lgebra abstracta se llaman grupos, y la

funcin es conocida como homomorfismo de grupos.

En nuestro contexto, en vez de grupos estudiamos espacios vectoriales y en lugar

de homomorfismos de grupos, transformaciones lineales. Esto es, una

transformacin lineal no es otra cosa, sino una forma de trasladarse de un espacio

vectorial a otro, de tal forma que la forma de operar de un lado se corresponde con

la del otro!

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Finalmente, vemos que la funcin , no solamente preserva las operaciones,

sino que adems es biyectiva. Todas estas cualidades tiene para realmente

mostrarnos el por qu los dos grupos son semejantes. El trmino matemtico lo

introducimos en la siguiente:

Definicin. Sea una transformacin lineal.

i) Decimos que T es un monomorfismo, si T es inyectiva.

ii) Decimos que T es un epimorfismo, si T es suprayectiva.

iii) Decimos que T es un isomorfismo, si T es biyectiva.

As, un isomorfismo no es sino una transformacin lineal que es invertible, y por lo

tanto, a la luz de nuestra discusin anterior, es una identificacin entre dos espacios

vectoriales.

ISOMETRIA

Una isometra es una aplicacin matemtica entre dos espacios mtricos que

conserva las distancias entre los puntos. Es decir, las isometras son los morfismos

de la categora de espacios mtricos.

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Isometras se utilizan a menudo en construcciones en las que un espacio est

incrustado en otro espacio. Por ejemplo, la realizacin de un espacio mtrico M

implica una isometra de M en M ', un conjunto cociente del espacio de secuencias

de Cauchy sobre M. La M espacio original es, pues isomtrica isomorfo a un

subespacio de un espacio mtrico completo, y se identifica por lo general con este

subespacio. Otras construcciones incrustacin muestran que todo espacio mtrico

es isomtrica isomorfo a un subconjunto cerrado de un espacio vectorial normado y

que todo espacio mtrico completo es isomtrica isomorfo a un subconjunto cerrado

de un espacio de Banach.

ISOMETRIA LINEAL

Dados dos espacios vectorial normado V y W, una isometra lineal es una aplicacin

lineal f: V? W que preserva las normas:

Para todo v en V. isometras lineales son mapas distancia de preservacin en el

sentido anterior. Son isometras globales si y slo si son sobreyectiva.

Por el teorema de Mazur-Ulam, toda isometra de espacios vectoriales normados

sobre R es afn.

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CONCLUSIN

Se han visto ms detallado y con ms exactitud los teoremas y propiedades que

hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la

conclusin de todos los temas estn relacionados en cierta forma ya que en varios

de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores.

Con esto podramos decir que nos ha enseado a tener un amplio criterio de la

utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las

enseanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar

y poder poner en prctica los temas futuros.

Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que olvidar lo ya

hemos aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar problemas en

nuestro futuro.

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RESUMEN

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BIBLIOGRAFIA

ESCRITA

Computarizado Digital http://mitecnologico.com/igestion/Main/IntroduccionALasTransformacionesLineales http://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_lineal#Propiedades_de_las_transformaciones_lineales http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/tl/deftl.html http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/aplic%20transformacion%20lineal.htm http://cursos.aiu.edu/algebra%20lineal/pdf/tema%205.pdf http://centrodeartigo.com/articulos-enciclopedicos/article_80994.html