5 transformaciones lineales

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5 Transformaciones Lineales. 5.1 Definicin de transformacin lineal y sus propiedades.

Vamos a estudiar en este captulo las funciones conocidas como transformaciones lineales. Estas funciones se presentan en muchos casos tanto en el lgebra lineal como en otras ramas de las matemticas. Tambin podemos encontrar las transformaciones lineales en campos tan diferentes como el procesamiento de imgenes, la fsica, grficas en computadora, ingeniera as como muchas otras reas de la ciencia y de la vida diaria.

Antes de dar la definicin de las transformaciones lineales veamos un ejemplo de su aplicacin. Todos hemos visto caricaturas donde por ejemplo hemos visto un auto en reposo y un auto que va en movimiento, para lograr que la caricatura de la impresin de estar en movimiento se utiliza una transformacin lineal. Vea la siguiente figura.

T

(a) Auto en reposo (b) Auto en movimiento Figura 1 Transformacin lineal de una imagen.

La segunda figura est inclinada y estirada (horizontalmente) a la derecha, dando as la sensacin de movimiento. Las puntas de flecha indican las coordenadas tanto del auto en reposo como del auto en movimiento. Podemos apreciar que la figura no cambia sus valores en , pero en el aumento es del 75%. La pregunta es Existe algn mtodo que nos permita modelarlo matemticamente y hacer que la computadora trace la imagen con la inclinacin deseada? La respuesta es s; adems el mtodo es independiente del cuadro (imagen) inicial y se puede aplicar a otras imgenes. Ms adelante veremos este tipo de problemas, pero podemos adelantar que la solucin es una matriz de la cual multiplica por la izquierda a cada una de las coordenadas de la figura (a), para obtener las coordenadas de la figura (b).La matriz es . Verifiquemos haciendo las cuatro multiplicaciones.

Es posible tener otros porcentajes de aumento en por ejemplo un porcentaje de incremento del 25% con una matriz dara un cuadro de un auto que apenas se empieza a mover, con un porcentaje de aumento en de 50% y una matriz dara un cuadro de un auto que va ms rpido, con el incremento en de 75% y la matriz cuyos clculos ya hicimos se ve un auto a mayor velocidad. Obviamente podemos usar otros porcentajes distintos para el aumento en y as crear una caricatura donde un auto en reposo se ve como empieza a moverse lentamente, e incrementa su velocidad hasta dar la impresin de que avanza muy rpido.

Definicin de transformacin lineal.

Una transformacin lineal (mapeo funcin) de un conjunto a un conjunto se representa por se puede leer tambin como que toma a y lo lleva a es una regla que asocia a cada elemento de un elemento nico de , llamado ste ltimo imagen de bajo . Se acostumbra escribir como y se dice que se mapea a se conoce como dominio de ; es el codominio de ; por ltimo se llama contradomino de el subconjunto de formado por todas las imgenes de los elementos de y que se encuentra representado por En algunas ocasiones resulta que dos o ms elementos de tengan la misma imagen, vea la siguiente figura.

Contradominio de T Dominio de Codominio de

Figura 2 Dominio, Contradominio y Codomio.

Se dice que dos transformaciones son iguales cuando sus imgenes correspondientes son iguales, es decir, y , en este caso, y para toda en

Del mismo modo en los espacios vectoriales existen las transformaciones lineales, que tambin presentan un domino, contradominio y codominio, las cuales toman un espacio vectorial y lo llevan a un espacio vectorial ,

Toda transformacin lineal debe cumplir con las siguientes dos ecuaciones:

En las dos ecuaciones anteriores y estn en mientras que y estn en se lee de , esto es similar a que se lee de Con frecuencia se usa el nombre de operadores lineales para las transformaciones lineales.

Propiedades de las transformaciones lineales.

Sea una transformacin lineal. Entonces deben cumplirse las siguientes tres propiedades para todos los vectores en y todos los escalares . En las siguientes ecuaciones y estn en

1.- 2.- 3.-

Nuevamente el lado izquierdo de las tres ecuaciones anteriores est en , mientras que el lado derecho de las tres ecuaciones est en

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. La siguiente figura muestra un dibujo que representa un auto en reposo, un caricaturista nos pide que le ayudemos a encontrar las coordenadas de los 4 puntos sealados en el auto en dos instantes diferentes. Cuando aumenta el 25% y el 50%. Calcule y anote las coordenadas para representando el auto en papel cuadricuado.

T

(a) Auto en reposo

5.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexin, dilatacin, contraccin, rotacin)

Sea una transformacin lineal. Cuando se anotaron las dos ecuaciones y se escribi que el lado izquierdo de cada ecuacin y est en mientras que el lado derecho y est en Aun cuando en el ejemplo dos se van a demostrar estas dos ecuaciones y las tres ecuaciones de las propiedades, ilustraremos con un ejemplo lo ya sealado.

1.- Ejemplo de transformacin lineal para ver que el lado izquierdo de cada ecuacin y est en mientras que el lado derecho y est en

Sea con ;

Compruebe en las dos ecuaciones y que el lado izquierdo est en y el lado derecho est en NOTA: Cada rectngulo encierra un slo nmero. Iniciamos con la primera ecuacin, estn en , estn en

Hasta este punto, el lado izquierdo est en y el lado derecho est en Observe que del lado izquierdo se suman dos vectores que estn en mientras que la suma de la derecha es de dos vectores que estn en . Es por esto que se afirma con razn que el lado izquierdo est en y que el lado derecho est en En el ltimo paso ambos lados estarn en

Continuamos con:

Hasta este punto, el lado izquierdo est en y el lado derecho est en Observe que del lado izquierdo se multiplica el escalar por un vector que est en mientras que la multiplicacin de la derecha es de el escalar por un vector que est en . Es por esto que se afirma con razn que el lado izquierdo est en y que el lado derecho est en En el ltimo paso ambos lados estarn en

Se demostraron dos cosas, la primera que el lado izquierdo est en y el lado derecho est en para las dos ecuaciones. La segunda que si es una transformacin lineal porque se cumplieron las dos ecuaciones.

2.- Ejemplo de reflexin respecto al eje .

Sea una funcin definida en . Vea la figura 3, donde se aprecia que el eje se comporta igual que un espejo y refleja el vector por lo que podemos afirmar que toma un vector en y lo refleja respecto al eje .

Si y Demuestre que:

(a) (b) (c) (Indique la parte que est en y la parte que est en (d) (Indique la parte que est en y la parte que est en (e) (Indique la parte que est en y la parte que est en (f) Si y Calcule: y

Figura 3 El vector es la reflexin respecto al eje del vector

Como , y

Primero trabajaremos con el lado izquierdo y luego con el lado derecho de la ecuacin.

(a)

NOTA: Cada rectngulo encierra un slo nmero.

Por lo tanto

(b)

(c)

El vector de est en y del lado derecho est en

(d)

Se tiene que est en y est en (e)

Por lo tanto

El vector est en est en

(f) Si y

Por lo tanto

3.- Ejemplo de reflexin respecto al eje .

Sea una funcin definida en . Vea la figura 4, donde se aprecia que el eje se comporta igual que un espejo y refleja el vector por lo que podemos afirmar que toma un vector en y lo refleja respecto al eje .

Si y Calcule:

(a) (b) (c) (d) (e)

Figura 4 El vector es la reflexin respecto al eje del vector

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

La transformacin lineal que multiplica a la coordenada de un vector en por una constante

, se conoce como expansin a lo largo del eje Cuando la multiplicacin es

entonces se llama expansin a lo largo del eje

4.- Ejemplo de dilatacin (expansin) a lo largo del eje . Vea la figura 5 donde se presenta una

expansin a lo largo del eje con en :

Figura 5 (a) Se inicia con este rectngulo (b) Expansin en la direccin de con

5.- Ejemplo de dilatacin (expansin) a lo largo del eje . Vea la figura 6 donde se presenta una expansin a lo largo del eje con en :

Figura 6 (a) Se inicia con este rectngulo (b) Expansin en la direccin de con

La transformacin lineal que multiplica a la coordenada de un vector en por una constante

, se conoce como contraccin (compresin) a lo largo del eje Cuando la multiplicacin es entonces se llama contraccin (compresin) a lo largo del eje

6.- Ejemplo de contraccin (compresin) a lo largo del eje . Vea la figura 6 donde se presenta

una contraccin a lo largo del eje con en :

Figura 7 (a) Se inicia con este rectngulo (b) Contraccin en la direccin de con

7.- Ejemplo de contraccin (compresin) a lo largo del eje . Vea la figura 8 donde se presenta una contraccin a lo largo del eje con en :

Figura 8 (a) Se inicia con este rectngulo (b) Contraccin en la direccin de con

Transformacin de rotacin.

En la siguiente figura se presenta la rotacin en el sentido contrario de las manecillas del reloj del vector , el cual se encuentra inicialmente con un ngulo Se va a desplazar un ngulo , para quedar con un ngulo y se designa como vector Se puede observar que la longitud se mantiene constante a pesar de la rotacin.

Figura 9 Rotacin de un vector un ngulo para quedar como

Por el teorema de Pitgoras sabemos que

Se tienen las siguientes identidades trigonomtricas:

Combinando las dos identidades anteriores con las ltimas dos ecuaciones encerradas en rectngulos se obtiene:

Las ecuaciones correspondientes a y las vamos a escribir como un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas.

Al expresarlas en forma de matrices se obtienen dos matrices de

La primera matriz es el resultado de la multiplicacin de dos matrices de y

La primera matriz se le designa como quedando entonces el sistema

como , pero La ltima expresin es la transformacin

lineal que se expresa as:

Observe que la transformacin lineal viene dado por la multiplicacin de una matriz por el vector La matriz se llama transformacin de rotacin.

8.- Ejemplo de rotacin .

(a) Determine la matriz de rotacin cuando (b) Se tiene el vector , el cual se rota un ngulo de en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Calcule

(a)

Por tanto (b) . La ltima matriz es de

Al resolver con Mathcad se obtiene

El resultado coincide con el obtenido manualmente.

Podemos entonces expresar el resultado como:

9.- Ejemplo de rotacin .

(a) Determine la matriz de rotacin cuando (b) Se tiene el vector , el cual se rota un ngulo de en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Calcule (c) Se tiene el vector , el cual se rota un ngulo de en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Calcule (a)

Por tanto

Nota: En el ejemplo 11 de Cambio de Base, con una rotacin de que inicia en , la base es. Que es la misma matriz obtenida

(b)







Existen muchos ejemplos de transformaciones lineales. Veamos algunos.

10.- Ejemplo de una transformacin lineal de en Sea definida por

. Si y Demuestre que:

(a) (b) (c) (d) (e) (f) Si y Calcule: y Como , y

Cada rectngulo encierra un slo nmero.

(a)

b)

(c)

(d)

(e) (a

(f) Si y

11.- Ejemplo de una transformacin lineal de en

Sea definida con la multiplicacin de una matriz de , es decir, Esta ltima ecuacin cumple con y ya que: y si y estn en Entonces se tiene que Es una transformacin lineal.

El ejemplo anterior nos permite establecer que: toda matriz de se puede usar para definir una transformacin lineal de en

Mas adelante veremos que lo inverso tambin se cumple y es que: toda transformacin lineal entre espacios vectoriales de dimensin finita se puede representar por una matriz.

12.- Ejemplo de la transformacin cero. Se define , donde y son espacios vectoriales, con para todo Esta ltima ecuacin cumple con y ya que: y Entonces se tiene que es la transformacin cero. 13.- Ejemplo de la transformacin identidad. Se define , donde es un espacio vectorial, con para todo e es la matriz identidad. Dado que cualquier vector que se multiplica por da el mismo vector, es una transformacin identidad o tambin operador identidad.

Sea un subespacio de La transformacin de proyeccin ortogonal viene dada por: De acuerdo con la definicin de proyeccin ortogonal que est antes del ejemplo 20 en el subtema 4.6, se tiene que con la base ortonormal .

14.- Ejemplo de la transformacin de proyeccin ortogonal. Suponga que se tienen los vectores y en Demuestre que se cumplen las ecuaciones y cuando se les aplica la ecuacin:.

Como se cumplen las dos ecuaciones entonces:

es la transformacin de proyeccin ortogonal.

15.- Tres operadores de proyeccin. Se define por Se tiene que es el operador de proyeccin que toma un vector en el espacio tridimensional y lo proyecta en el plano , vea la figura 10. De la misma forma consiste en que es el operador de proyeccin que toma un vector en el espacio tridimensional y lo proyecta en el plano Por ltimo tenemos en que es el operador de proyeccin que toma un vector en el espacio tridimensional y lo proyecta en el plano

Figura 10 Proyeccin sobre el plano

En muchas ocasiones es posible conocer la imagen de cada uno de los vectores de la base. En tales casos con esta informacin podemos calcular el efecto de la transformacin lineal sobre cualquier vector que est en el espacio vectorial de la base. 16.- Ejemplo que muestra que es posible conocer el efecto sobre cualquier vector, si se sabe el efecto de una transformacin lineal sobre los vectores de la base.Sea una transformacin lineal de en y se tiene que Calcule

Las componentes del vector son los escalares de

Apliquemos a la ecuacin.

17.- Definicin de una transformacin lineal de en un subespacio de Encuentre una transformacin lineal de en el plano.

para el vector .

En el ejemplo 6 del subtema 4.4 bases y dimensiones se determin que los vectores

son solucin de la ecuacin es decir, forman

una base para el subespacio de dos dimensiones Con el empleo de los vectores de la base cannica en y , se define la transformacin lineal como y . Se tiene que la transformacin lineal de es:Las componentes del vector son los escalares de Apliquemos a la ecuacin.

Podemos obtener una matriz para a partir de los vectores y

Sea . De aqu se tiene:

18.- Ejemplo de operador de transposicin. Se define como

Demuestre que si se cumplen las ecuaciones.

y con

Tambin existen ejemplos que no son transformaciones lineales. Veamos algunos.

19.- Ejemplo que no es una transformacin lineal. Demuestre que con no es una transformacin lineal.Sea NOTA: TL es Transformacin Lineal.

Es suficiente que no se cumpla una de las dos ecuaciones para que no sea transformacin lineal. En este caso no se cumplen las dos ecuaciones y no es transformacin lineal.

20.- Ejemplo que no es una transformacin lineal. Demuestre que con no es una transformacin lineal.Sea

En este caso no se cumplen las dos ecuaciones y no es transformacin lineal.

21.- Ejemplo que no es una transformacin lineal.

Demuestre que con no es una transformacin lineal.Sea

Como No es TL

Como No es TLEn este caso no se cumplen las dos ecuaciones y no es transformacin lineal.

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Sea con ; Compruebe en las dos ecuaciones y que el lado izquierdo est en y el lado derecho est en

2.- Sea una funcin definida en . Si y Calcule: y 3.- Determine la dilatacin (expansin) a lo largo del eje , si y . Dibuje la expansin.

4.- Determine la dilatacin (expansin) a lo largo del eje , si y . Dibuje la expansin.

5.- Determine la contraccin (compresin) a lo largo del eje , si y . Dibuje la contraccin.

6 Determine la contraccin (compresin) a lo largo del eje , si y . Dibuje la contraccin. 7.- (a) Determine la matriz de rotacin cuando (b) Se tiene el vector , el cual se rota un ngulo de en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Calcule (c) Se tiene el vector , el cual se rota un ngulo de en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Calcule (d) Dibuje los vectores y

8.- (a) Determine la matriz de rotacin cuando (b) Se tiene el vector , el cual se rota un ngulo de en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Calcule (c) Se tiene el vector , el cual se rota un ngulo de en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Calcule (d) Dibuje los vectores y


. Si y Demuestre que:

(a) (b) (c) (d) (e) (f) Si y Calcule: y 10.- Suponga que se tienen los vectores y en Demuestre que se cumplen las ecuaciones y cuando se les aplica la ecuacin: , con los vectores de la base ortonormal .

11.- Sea define por Sea determine 12.- Sea una transformacin lineal de en y se tiene que Calcule

13.- Definicin de una transformacin lineal de en un subespacio de Encuentre una transformacin lineal de en el plano.

para el vector NOTA: Ocupa calcular y .

14.- Se define como Demuestre que si se cumplen las ecuaciones. y con

15.- Demuestre que con no es una transformacin lineal.



5.3 Definicin de ncleo o kernel, e imagen de una transformacin lineal.

Definicin de ncleo o kernel, e imagen de una transformacin lineal. Sean y dos espacios vectoriales y sea una transformacin lineal. Entonces se tiene:

1.- El ncleo o kernel de que se escribe como viene dado por

2.- La imagen de que se escribe como viene dado por

En la ecuacin 1 tiene al menos un vector que es (es la primera ecuacin de las propiedades de las transformaciones lineales). El inters en la ecuacin 1 es encontrar vectores en que se transformen en .En la ecuacin 2 es el conjunto de imgenes de los vectores en bajo la transformacin .El siguiente teorema nos ser de mucha utilidad.

Teorema 1. Si es una transformacin lineal entonces:

1.- es un subespacio de 2.- es un subespacio de

Demostracin. 1.- Sean y en Se tiene que y de manera que y estn en 2.- Sean y en Se tiene que y para dos vectores y en . Con esto se tiene que y Por lo anterior se tiene que y estn en la

Veamos algunos ejemplos de ncleo e imagen.

1.- Ejemplo de ncleo e imagen de la transformacin cero. Sea para todo vector , ( es la transformacin cero). Se tiene que , por lo tanto Se sabe que , entonces y por lo tanto

2.- Ejemplo de ncleo e imagen de la transformacin identidad. Sea para todo vector , ( es la transformacin identidad). Se tiene que , entonces como pero y por lo tanto

Observe que en los ltimos dos ejemplos se tienen los dos extremos. En el ejemplo de la transformacin cero todo est en el ncleo y el vector cero en la imagen. En el ejemplo de la transformacin identidad el vector cero est en el ncleo y todo est en la imagen. Nuestro mayor inters est en los casos intermedios a los dos anteriores ejemplos.

3.- Ejemplo de ncleo e imagen de un operador transpuesto. Se tiene que . Se define por . En el ejemplo 18 del subtema 5.2 se demostr que si es transformacin lineal. Se tiene que La matriz cero de es la nica matriz en cumplir , por lo que Se sabe que , y se tiene que los vectores son las matrices que estn en por lo cual

4.- Ejemplo de ncleo e imagen de un operador de multiplicacin de matrices de Se define por donde .

Sea , . Pero

Nota: Dentro de cada rectngulo hay un solo nmero.

Las ltimas dos matrices nos llevan al sistema de ecuaciones:

El sistema de ecuaciones se puede resolver por Gauss-Jordan.

Por lo que As se tiene que, . En cuanto a la imagen se tiene

que: , queda como:

, donde es una matriz de y por lo tanto

5.- Ejemplo de ncleo e imagen de un operador de proyeccin. Sea definida por Se tiene que es el operador de proyeccin de en el plano Vea el ejemplo 15 del subtema 5.2. Se sabe que

Si El vector es posible slo si As se tiene que,

En cuanto a la imagen se tiene que:

, queda como .

6.- Ejemplo de ncleo e imagen de un operador de proyeccin. Sea definida por Se tiene que es el operador de proyeccin de en la recta Se tiene: Si El vector es posible slo si As se tiene que,

En cuanto a la imagen se tiene que: y

queda como e .7.- Ejemplo de ncleo e imagen. Sea definida por Se tiene: Si El vector es posible slo si As se tiene que, En cuanto a la imagen se tiene que:

y queda como

donde forma e

8.- Ejemplo de ncleo e imagen de una transformacin lineal de en Se define por . Se tiene que Si entonces para cualquier valor de , por lo que se hace necesario que De forma que y entonces Se tiene que . Entonces los vectores son de la forma es decir, , por lo cual

9.- Ejemplo de ncleo e imagen de una transformacin lineal de en Se define por . Se tiene que Si entonces para cualquier valor de , por lo que se hace necesario que De forma que y entonces Se tiene que . Entonces los vectores son de la forma e

10.- Ejemplo de ncleo e imagen de una transformacin lineal de rotacinSe define como que es una rotacin de En el subtema 5.2 entre los ejemplos 7 y 8 se anot que donde es la transformacin de rotacin. En el ejemplo 8 del subtema 5.2 se escribi Por lo cual se tiene que

Se tiene que Si La nica forma de obtener el vector es .Se tiene que . Entonces los vectores son de la forma e

Transformaciones biunvocas, sobre e isomorfismos.

Existe por parte de los matemticos y de los cientficos, un gran inters por un gran nmero de espacios vectoriales. Sin embargo, si dejamos de tomar en cuenta las distintas notaciones de los ejemplos individuales, podemos ver que muchos de esos espacios son esencialmente el mismo. En este caso los espacios vectoriales reciben el nombre de isomrficos. Iniciemos con lo bsico.La definicin de una transformacin entre dos conjuntos permite que1. Dos ms elementos de tengan la misma imagen.2. El rango de est estrictamente contenido en el codominio Si no existe la condicin (1), entonces es biunvoca.NOTA: En la seccin 5.4 se ver el teorema y ejemplos de rango, por lo que aqu se dar slo el teorema.

Teorema 2 El rango de una matriz es igual al nmero de unos pivotes en su forma escalonada por renglones. Recuerda como es la FEPR?

Definicin. Transformacin biunvoca.

Una transformacin se llama biunvoca, o uno a uno, si para cada elemento del contradominio hay exactamente un elemento cuya imagen es Lo anterior se puede enunciar como sigue:

O en forma equivalente,

Vea la siguiente figura 1.

Biunvoca sobre biunvoca y sobre

Figura 1 Transformacin biunvoca y sobre.

11. Ejemplo de Transformacin biunvoca y sobre. Determine si las siguientes transformaciones son biunvocas o sobre.

(a) (b)

(a) entonces Por lo tanto, As, Por lo anterior, y es biunvoca. no es sobre porque no es la imagen de algn vector 2.

(b) no es biunvoca, ya que es sobre, porque para todo vector 2 , existe al menos un vector 3 que se transforma en el anterior. Por ejemplo

El teorema siguiente menciona que para demostrar que una transformacin lineal es biunvoca, slo basta demostrar que transforma a 0 y no fijarse en las dems imgenes. De este modo se reduce la cantidad de trabajo que se ocupa para determinar si una transformacin lineal es biunvoca.

Teorema 3

Sea una transformacin lineal. Entonces, es biunvoca Demostracin. Vamos a suponer que es biunvoca. Si est en el ncleo de entonces Pero sabemos que Por lo anterior , lo cual implica que porque es biunvoca. Esto nos demuestra que todo elemento del ncleo es el vector cero. Por lo tanto .Si suponemos que Vamos a demostrar que es biunvoca. Sean y vectores de tales que Debemos comprobar que . Como es lineal,

Por lo tanto est en el ncleo de que supusimos era Con lo antes escrito, es decir,. As, es biunvoca.

12. Ejemplo de Transformacin biunvoca y sobre. Demuestre que la siguiente transformacin es biunvoca y sobre.

Sea Entonces implica que es decir, Por lo tanto, de acuerdo con el teorema 3 es biunvoca. El rango es 2, (ya que si resolvemos por matriz ampliada las ecuaciones y obtendremos 2 unos pivote). As el contradominio es todo y la transformacin es sobre.

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.- Se tiene que . Se define por . Determine el ncleo e imagen.2.- Se define por donde . Determine el ncleo e imagen. 3.- Sea definida por Determine el ncleo e imagen. 4.- Sea definida por Determine el ncleo e imagen.5.- Sea definida por Determine el ncleo e imagen. 6.- Se define por . Determine el ncleo e imagen.7.- Se define por . Determine el ncleo e imagen.8.- Se define como que es una rotacin de Determine el ncleo e imagen. Utilice el valor de del ejercicio 7 del subtema 5.2.

Transformaciones biunvocas, sobre e isomorfismos.

9. Determine si las siguientes transformaciones son biunvocas o sobre.(a) (b) 10. Demuestre que la siguiente transformacin es biunvoca y sobre.

11. Demuestre que la siguiente transformacin es biunvoca y sobre.

5.4 La matriz de una transformacin lineal y representacin matricial de una transformacin lineal.

El ejemplo 10 del subtema 5.3 nos muestra que una transformacin lineal viene dada por una matriz. Tambin estudiamos en el ejemplo 11 del subtema 5.2 que cuando se tiene que la transformacin lineal donde es una matriz de Enseguida veremos que para toda transformacin lineal de en existe una matriz de para la que se cumple para todo Lo interesante de lo anterior es que se puede calcular para cualquier con una multiplicacin de matrices. Por ltimo veremos que es posible representar con una matriz cualquier transformacin lineal entre espacios vectoriales de dimensin finita.

Teorema 1 Matriz de una transformacin lineal.

Sea una transformacin lineal entre dos espacios vectoriales y de dimensiones finitas. Sea una base de y una base de Se tiene que la matriz de cuenta con las siguientes columnas.

y es la nica matriz que cumple con Para todo

Demostracin. Como genera a existen escalares que permiten llegar a Al aplicar la transformacin lineal a la ecuacin se obtiene

porque la transformacin es lineal.

En el teorema 1 del subtema 4.6 cambio de base, se anot que la siguiente ecuacin se cumple si y slo si .

En forma similar la ecuacin se cumple si y slo si

La matriz de la ltima ecuacin se llama matriz de con respecto a Si y , se llama matriz de con respecto a. Vea la figura 1, en la cual se representan los espacios vectoriales y por medio de rectngulos redondeados. Tambin se aprecia la forma en que podemos pasar de un espacio a otro, ya seas a travs de una transformacin lineal o con la multiplicacin por una matriz.

Transformacin lineal

Multiplicacin de por

Figura 1 Matriz de una transformacin lineal.

NOTA 1.- El teorema 1 es de gran ayuda al evaluar transformaciones lineales, ya que sabiendo el valor de la matriz podemos obtener calculando con , que es una multiplicacin de matrices.NOTA 2.- La matriz de depende de y . Por lo que es importante respetar el orden de los vectores de las bases, ya que el cambio en el orden implica un cambio en la matriz

Teorema 2. Toda transformacin lineal es una transformacin matricial.

Demostracin. Sean y las bases estndar de y , respectivamente. Entonces se puede afirmar por el teorema 1 que hay una matriz para la que se cumple. para todo

Pero se tiene que y para las bases estndar, entonces:

Se encuentra que es una transformacin matricial, cuya matriz estndar es

1.- Ejemplo de transformacin lineal del operador identidad.

Sea un espacio vectorial de dimensiones, con , donde es cualquier base. Demuestre que la matriz de la identidad con respecto a es

Se tiene que . Esto slo se obtiene con para y donde es un vector de la base estndar. Entonces las columnas de la matriz de con respecto a son . Estos ltimos vectores pertenecen a la matriz identidad

2.- Ejemplo de representacin matricial de una transformacin de proyeccin.

Obtenga la matriz de con respecto a la base correspondiente a la proyeccin de un vector en sobre el plano (est en .

Aqu se tiene que Las componentes del vector son los escalares de As se tiene que , entonces Apliquemos a la ecuacin. y con la ecuacin. Si combinamos las ltimas dos ecuaciones.

La ecuacin anterior nos muestra que y As Se puede ver que

Existen dos conceptos que nos ayudan a calcular ncleo de y la imagen de

Ya se anot que el ncleo de es El espacio nulo de una matriz es . es un subespacio de

Definicin de Espacio nulo y nulidad de una matriz. se llama el espacio nulo de y se llama nulidad de . Si contiene al vector cero, entonces El espacio nulo se conoce tambin como Kernel.

Ya se anot que la imagen de es La imagen de una matriz es . es un subespacio de

Nota. Se usa indistintamente unos pivotes pivotes para referirse al primer uno de cada rengln en una matriz.

Teorema 3 El rango de una matriz es igual al nmero de unos pivotes en su forma escalonada por renglones. Recuerda como es la FEPR?El rango donde es el nmero de vectores que tiene la imagen.

Se tiene que

Lo que significa que si se reduce por renglones la matriz , los unos pivotes en su forma escalonada por renglones nos dicen el nmero de vectores que son base para tener la y las columnas que no tienen unos pivote nos dicen los vectores que son base para el ncleo de Para encontrar los vectores del ncleo de se resuelve el sistema En el caso de la imagen de cuando todas las columnas tienen pivotes, entonces los vectores (columnas) de la matriz forman la base de la imagen de Si hay menos pivotes que columnas en la matriz , entonces se escogen tantos vectores (columnas linealmente independientes) como pivotes tiene la matriz para formar la base de la imagen de En los dos ejemplos que estn enseguida, as como en los ejemplos 8 y 9, se ilustra lo aqu escrito.

3.- Ejemplo de representacin matricial de una transformacin en . Se define: y sean y las bases de y (a) Obtenga la matriz de con respecto a las bases y (b) Encuentre el ncleo de y la imagen de (c) Determine a partir del inciso (a). (a) Se tiene que

Las componentes del vector son los escalares de As se tiene que , entonces Apliquemos a la ecuacin. y con . Al combinar las ltimas dos ecuaciones La ecuacin anterior nos muestra que y As (b) Para obtener el ncleo de y la imagen de se reduce a forma escalonada la matriz .. Los tres pivotes estn en cuadrito, y como

. Como columnas con pivotes.

El ltimo resultado significa que , en la estn los tres vectores (columnas) por ser (c) Se puede ver que 4.- Ejemplo de representacin matricial de una transformacin en .Se define y sean y las bases de y (a) Obtenga la matriz de con respecto a la base (b) Encuentre el ncleo de y la imagen de (c) Determine a partir del inciso (a). (a) Se tiene que

Las componentes del vector son los escalares de As se tiene que , entonces Apliquemos a la ecuacin. y con. Al combinar las ltimas dos ecuaciones La ecuacin anterior nos muestra que y As (b) Para obtener el ncleo de y la imagen de se reduce a forma escalonada la matriz .. El pivote est en cuadrito, y como

. Como columna con pivote entonces Nota. Como slo hay un pivote, cualquier columna de la matriz ser Se tiene El valor obtenido en la ltima expresin, nos indica que son dos los vectores del ncleo. Para encontrar , se reduce por renglones para resolver el sistema

. Lo anterior significa que si Al despejar se obtiene pero por otro lado se tiene que Los vectores y son solucin de la ecuacin (verifquelo el lector), por lo que son una base para el ncleo.

(c) Se puede ver que

5.- Representacin matricial de una transformacin cero.

Se puede comprobar que si es la transformacin cero de , entonces es la matriz cero de

6.- Representacin matricial de una transformacin identidad.

Se puede comprobar que si es la transformacin identidad de , entonces es la matriz identidad

7.- Representacin matricial de una transformacin de rotacin.

En el subtema 5.2 se anot antes del ejemplo 8 que si es la funcin que rota a cualquier vector un ngulo , se tiene que la matriz se llama transformacin de rotacin.

8.- Representacin matricial de una transformacin de en

Se define por . Las bases son las estndar para y Determine la matriz y sela para determinar el ncleo de y la imagen de Se tiene que en y en . Los vectores de coordenadas para las dos bases son.Para la base Para la base Pero entonces Luego Los tres pivotes estn en cuadrito, y como

. Como columnas con pivotes. El ltimo resultado significa que , en la estn los tres vectores (columnas) por ser

9.- Representacin matricial de una transformacin de en

Se define por . Las bases son las estndar para y Determine la matriz y sela para determinar el ncleo de y la imagen de

Se tiene que en y en . Los vectores de coordenadas para las dos bases son.Para la base

Para la base

Como . Se encerr en rectngulo los trminos que participan en la transformacin lineal. Entonces

Los resultados que siguen se obtienen de las igualdades de los renglones anteriores.

De aqu se obtiene: . Los dos pivotes estn en cuadrito, y como se tiene que:

. Como columnas con pivotes. De aqu se tiene que

.Para el ncleo. Entonces Se cumple si y Por lo que y son arbitrarios y es una base para y es decir

10.- Representacin matricial de una transformacin de a con dos bases que no son las bases estndar. Sea la de transformacin lineal definida por y sean y las bases de y Los vectores de las bases son los siguientes , y respectivamente.(a) Obtenga la matriz de con respecto a las bases y (b) Es la matriz estndar de igual que la matriz del inciso (a)?(c) Determine a partir del inciso (a). (d) Calcule en forma directa.Observe que las dos bases no son las bases estndar. Los vectores coordenados de las bases son:La base , La base

. Pero . Cada rectngulo encierra un solo nmero.

Se tiene que

(a) y .

Enseguida se ocupa y .

y

Se tiene que y

. Al sustituir en la ltima ecuacin

Estos escalares son las componentes del vector

Entonces

De forma similar se obtiene . De aqu se tiene que

(b) La matriz estndar de es la matriz de con respecto a la base estndar. La matriz se forma con y La matriz no es igual a la matriz de (a).

(c) Para obtener a partir del inciso (a), se ocupa Se tiene que y .

Al sustituir en la ltima ecuacin

Estos escalares son las componentes del vector Entonces . A partir de aqu sigue

Es posible obtener (en base estndar) a partir de con la definicin de un vector coordenado con respecto a

(d) Calculemos (base estndar) en forma directa.

11.- Representacin matricial de una transformacin de a de una base no estndar a una segunda base estndar.

Sea la transformacin lineal definida por y sean y las bases de y Los vectores de las bases son los siguientes , y respectivamente.(a) Obtenga la matriz de con respecto a las bases y (b) Calcule en forma directa.(c) Determine a partir de la matriz del inciso (a).(d) Obtenga la frmula general de usando y Observe que la primera base es no estndar. Los vectores coordenados de las bases son de acuerdo a la informacin dada:La base y

La base y (a) La matriz de con respecto a las bases y .

Como entonces


y

Existe una forma alternativa de obtener los dos ltimos vectores. Recordemos que los componentes del vector son los escalares que multiplican los vectores de la base, as:

Similarmente as se obtiene la matriz

(b) El clculo directo de es con

(c) Determinemos a partir de la matriz del inciso (a).

Al escribir en base donde . Iniciamos con y

y

en base estndar. Los componentes del vector son los escalares delos vectores de la base. Estos escalares son los componentes del vector , as Ahora calculamos

Pero

As llegamos a . El mismo resultado.

(d) La frmula general de usando y se calcula conAl escribir en base se obtuvo . Similarmente. Ahora calculamos

Se tiene que . El mismo resultado.

12.- Representacin matricial de una transformacin de a de una base no estndar a una segunda base estndar. Sea la transformacin lineal definida por . Sean y las bases de y Los vectores de las bases son los siguientes , y respectivamente.(a) Determine la matriz de con respecto a la base (b) Calcule la matriz de con respecto a la base (c) Obtenga en forma directa.(d) Determine a partir de la matriz .(e) Obtenga a partir de la matriz .Observe que la primera base es no estndar. Los vectores coordenados de las bases son de acuerdo a la informacin dada:La base y

La base

y

(a) Determinacin de la matriz de con respecto a la base .

Como en rectngulo estn los trminos que participan en la transformacin lineal. Entonces


y

Enseguida se ocupa y .

Se tiene que

Recordemos que los componentes del vector son los escalares que multiplican los vectores de la base, as:

Estos escalares son los componentes del vector . En forma similar.

Estos escalares son los componentes del vector . El ltimo vector es

As la matriz es

(b) Clculo de la matriz de con respecto a la base .

La base

y

Como . En rectngulo estn los trminos que participan en la transformacin lineal.

y

. As la matriz es

(c) Obtencin de en forma directa. Como

Entonces

(d) Obtengamos a partir de la matriz .

La matriz est en

Tambin se obtuvo

En forma similar

Se tiene que

Pero . El mismo resultado.

(e) Obtengamos a partir de la matriz .

La matriz est en .

es la base estndar, entonces

Se tiene que

Pero . El mismo resultado.

EJERCICOS PROPUESTOS.

1.- Obtenga la matriz de con respecto a la base correspondiente a la proyeccin de un vector en sobre el plano (est en .

2.- Se define y sean y las bases de y

(a) Obtenga la matriz de con respecto a las bases y

(b) Encuentre el ncleo de y la imagen de

(c) Determine a partir del inciso (a).

3.- Se define y sean y las bases de y

(a) Obtenga la matriz de con respecto a la base

(b) Encuentre el ncleo de y la imagen de

(c) Determine a partir del inciso (a). 4- Se define por . Las bases son las estndar para y Determine la matriz y sela para determinar el ncleo de y la imagen de

5.- Se define por . Las bases son las estndar para y Determine la matriz y sela para determinar el ncleo de y la imagen de

6.- Representacin matricial de una transformacin de a con dos bases que no son las bases estndar. Sea la de transformacin lineal definida por y sean

y las bases de y Los vectores de las bases son

los siguientes , y respectivamente.


(b) Es la matriz estndar de igual que la matriz del inciso (a)?

(c) Determine y a partir del inciso (a).

(d) Calcule y en forma directa.

7.- Sea la transformacin lineal definida por y sean y las bases de y Los vectores de las bases son los siguientes y , respectivamente.


(b) Calcule en forma directa.

(c) Determine a partir de la matriz del inciso (a). (d) Obtenga la frmula general de usando y

8.- Sea la transformacin lineal definida por . Se y sean y las bases de y Los vectores de las bases son los siguientes , y respectivamente.

(a) Determine la matriz de con respecto a la base

(b) Calcule la matriz de con respecto a la base

(c) Obtenga en forma directa.

(d) Determine a partir de la matriz .

(e) Obtenga a partir de la matriz .

5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Cuando se estudiaron los sistemas de ecuaciones lineales en el captulo dos, se anot que un sistema de ecuaciones y incgnitas se presenta en la forma.

Donde son nmeros reales llamados coeficientes del sistema, los valores son nmeros reales, llamados trminos independientes, las incgnitas son las variables del sistema. La solucin del sistema es un conjunto ordenado de nmeros reales ..., tales que al sustituir las incgnitas , ..., por los valores ..., se verifican las ecuaciones del sistema.Tambin se estudi en el captulo tres que el mismo sistema de ecuaciones lineales en notacin matricial tiene la forma: , en dondeLa matriz de coeficientes matriz del sistema es .La matriz columna de incgnitas es y la matriz columna de trminos independientes es . As se tiene que

En el captulo dos se estudi que el sistema de ecuaciones se puede resolver por matriz ampliada la cual se obtiene cuando se agrega a la matriz de coeficientes la columna de los trminos independientes. La solucin se obtiene por eliminacin de Gauss-Jordan eliminacin gaussiana.

La matriz ampliada es

Recordemos que hay tres tipos de solucin en estos sistemas no homogneos que son: solucin nica, nmero infinito de soluciones y no hay solucin.En el caso de que el vector columna tenga todos sus elementos igual a cero, el sistema se conoce como homogneo y slo tiene dos tipos de solucin que son: solucin trivial ( llamada as porque todos los sistemas no homogneos tiene esta solucin y solucin no trivial.

As como nos representa matricialmente el sistema de ecuaciones con incgnitas, tenemos que es posible tener una representacin vectorial del mismo sistema de ecuaciones, que se muestra enseguida:

Observe que si desarrollamos las multiplicaciones se obtiene el sistema de ecuaciones y incgnitas. En la ltima ecuacin las incgnitas son los escalares de los vectores Es sencillo observar la similitud entre la ltima ecuacin

y la ecuacin

En cuanto a las transformaciones lineales ya sabemos que es un conjunto de operaciones que se realizan a un vector para convertirlo en otro vector . En ocasiones se puede trabajar en forma grfica (reflexin, compresin, expansin, proyeccin en un plano) en otras situaciones esto no es posible.

Estudiamos varios ejemplos de transformaciones lineales entre distintos espacios vectoriales. Se comprob en el subtema 5.2 en diferentes ejemplos, que para tener una transformacin lineal se deben cumplir las siguientes dos ecuaciones:

y .Recordemos que es una transformacin lineal entre dos espacios vectoriales y de dimensiones finitas. Sea una base de y una base de Se tiene que la matriz de cuenta con las siguientes columnas.

y es la nica matriz que cumple con

Para todo Entonces como genera a existen escalares que permiten escribir al vector como una combinacin lineal de los vectores de la base

que es similar a

Al aplicar la transformacin lineal a la ecuacin se obtiene

que es la transformacin lineal de nuestro sistema de ecuaciones

A manera de resumen podemos sealar que los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incgnitas, las cuales podemos representar en una notacin matricial y en una notacin vectorial. Esta ltima contiene los escalares que multiplicados por los vectores de una base permiten obtener cualquier vector y es precisamente este vector con los vectores de la base y sus escalares los que aceptan una transformacin lineal.

A partir de una ecuacin lineal podemos hacerle las transformaciones lineales para tener como resultado escalares.


. Si y Calcule:

(a) (b)

(a) Si y

Cada rectngulo encierra un solo nmero.

.

2.- Ejemplo de un operador de multiplicacin de matrices de .

Se define por donde . Obtenga el ncleo.

Sea , . Pero Nota: Dentro de cada rectngulo hay un solo nmero.

Las ltimas dos matrices nos llevan al sistema de ecuaciones:


Por lo que As se tiene que, .


. Obtenga el ncleo.

Sea un vector de que est en el ncleo de . Entonces se tiene que Las ltimas dos

matrices nos llevan al sistema de ecuaciones:


Por lo que . Compruebe el lector sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones antes indicadas.

.


1.- Sea definida por . Si y Calcule: (a) (b) 2.- Ejemplo de un operador de multiplicacin de matrices de .

Se define por donde . Obtenga el ncleo.


. Obtenga el ncleo.

5.6 lgebra de las transformaciones lineales.

En este subtema veremos las operaciones bsicas con las transformaciones lineales que son suma, multiplicacin por un escalar e inversin, estudiaremos como se relacionan con las operaciones bsicas con matrices. Los espacios vectoriales que se vern son de dimensin finita y estarn definidos como y Iniciamos con la suma y producto por un escalar. Suponga transformaciones lineales. Se tiene que la suma de es la transformacin definida por

para todo

Sea cualquier escalar. El producto se le conoce como el mltiplo escalar de por y es la transformacin definida por

para todo

Teorema 1 y son transformaciones lineales.

Veamos algunos ejemplos.

1.- Ejemplo de suma de dos transformaciones lineales.

Sea . Si y Determine

2.- Ejemplo de producto de una transformacin lineal por un escalar.

Sea . Si Determine

Se tiene que en las transformaciones lineales se cumplen las propiedades de suma y multiplicacin por un escalar del mismo modo en que ocurre con las matrices. De hecho pueden formarse combinaciones lineales para los escalares y las transformaciones lineales , tal que:

No hay que olvidar que y es la transformacin

Teorema 2 Leyes de la suma y multiplicacin por escalares.

Sea transformaciones lineales tales que es posible llevar a cabo las operaciones enunciadas a continuacin, cuando son cualquier escalar. Entonces,

1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.-

3.- Ejemplo de las leyes de la suma y multiplicacin por escalares.

Sea . Si y Determine:

1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.-

Vamos a resolver primero el lado izquierdo y luego el lado derecho en casi todos los puntos.

1.-

En las operaciones que siguen ya no se va a indicar con detalle la suma de dos matrices.

Si se cumple.

2.-

Si se cumple.

3.-

Si se cumple.

4.-

Si se cumple.

5.- con

Si se cumple.

6.- con y

Si se cumple.

7.- con y

Si se cumple.

8.-

Si se cumple.

9.-

Si se cumple.

Composicin de transformaciones lineales.

La composicin de dos transformaciones y es la nueva transformacin que se obtiene evaluando la segunda transformacin en los valores de la primera,. Por tanto, para toda . Esta operacin es muy importante en todas las matemticas y sus aplicaciones. Veamos el caso en el que y son transformaciones lineales.

DEFINICIN (Composicin) Sean y transformaciones lineales. La composicin de con es la transformacin definida por

Para todo (ver figura 1).

Figura 1 La composicin de con

4.- Ejemplo de composicin de transformaciones lineales..

Sean y las tranformaciones lineales definidas por

y Determine (a) y (b) .

(a) La composicin es una aplicacin de a , .

Como , entonces

(b) De igual forma,. Como entonces

Nota: Si sustituimos los valores en la matriz se obtiene

Teorema 3 es una transformacin lineal.

Demostracin. Sean y sean . Entonces

Por consecuencia, es lineal.

Las composiciones de transformaciones lineales satisfacen las propiedades siguientes.

Teorema 4 (Leyes de la composicin)

Sean y transformaciones lineales en las que es posible llevar a cabo las siguientes operaciones y sea cualquier escalar. Entonces se cumple lo siguiente:

Demostracin.

1.- De acuerdo con la definicin de composicin

Para todo .

2. Tambin para todo

ya que es lineal.

3. Tambin para todo

4. Tambin para todo

5. Tambin para todo Recordemos que en forma similar

Tambin para todo

Como en el caso de la multiplicacin matricial, la composicin no es conmutativa. As, en general,

5.- Ejemplo de leyes de la composicin.


, , ,

Determine para y

(a) , (b) (c) , (d)

(e) , ,

, (l)

(a) Pero

,

Entonces

(b) Como entonces

.

Como entonces

Nota: Al sustituir en Si se cumple.(c)

,

(d)

Si se cumple.

(e) Pero

Pero

Nota: Al sustituir en Si se cumple.

Pero ya se obtuvo,

Si se cumple.

. Pero

. Pero

. Pero

Pero

Nota: Al sustituir en y en

Si se cumple.

(j) . Pero entonces

Si se cumple.

(k)

Si se cumple.

Potencias de una transformacin lineal

Sea una transformacin lineal. La composicin suele escribirse en la forma . En forma semejante, se escribe en vez de , etc. Tambin se define como , y como , la transformacin de identidad. A esas composiciones se les llama potencias de .

, , , , ( factores)

Transformacin lineal y operaciones matriciales.

En el subtema 5.4 vimos que hay una relacin muy estrecha entre matrices y transformaciones lineales, que consiste en que toda transformacin lineal puede representarse con una transformacin matricial a travs de

para todo en donde y son bases fijas de y de , respectivamente. es la matriz de con respecto a y a . Recurdese que es la nica matriz que satisface la ecuacin y se expresa como sigue:

El teorema siguiente nos explica cmo se corresponden transformaciones lineales con las operaciones matriciales.

Teorema 5 Sean y transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensiones finitas, con matrices y con respecto a bases fijas. Entonces, la matriz de la transformacin lineal

es ; es ; es ; es , es .

DEMOSTRACIN Comprobemos la parte 1 y dejemos las dems como ejercicios.

Para todo

de modo que es la matriz de con respecto a y a .

6.- Ejemplo del teorema 5.


y

Determine la parte 5 del teorema 5 empleando las bases estndar.

SOLUCIN

Las matrices estndar de y son, respectivamente,

y

Por otro lado, la composicin se expresa por

. Por lo que

As, la matriz estndar de es

Verifique el lector el producto de matrices.

Transformaciones lineales invertibles.

Definicin. Una transformacin lineal es invertible si hay una transformacin con la propiedad y

A la transformacin se le llama inversa de . Recordemos que si existe una inversa es nica. La inversa de se representa por Por lo cual tenemos que

y

Observe que si es invertible, entonces

Se puede afirmar que, significa que lo cual implica que Como estos pasos son reversibles, la equivalencia es el resultado es la equivalencia. Si existe la inversa de una transformacin, se invierte el efecto de la transformacin. Vea la figura 2.

Figura 2 Una transformacin lineal y su inversa

El teorema siguiente identifica las transformaciones lineales invertibles y los isomorfismos, es decir, las transformaciones lineales que son biunvocas y sobre estudiadas en el subtema 5.3.

Teorema 6

Sea una transformacin lineal.

1. es invertible si y slo si es un isomorfismo.2. Si es invertible, entonces es lineal.

Comprobemos el teorema 6 con un ejemplo.

7.- Sea y

Calcule la inversa de Demuestre que y son inversas entre s.

Compruebe que si

Compruebe que si

y . Sabemos que

Si y son inversas entonces .

Comprobemos con Mathcad la inversa.

Si se cumple y entonces y son inversas entre s.

Comprobemos que .

Donde . Entonces se tiene que

Pero

Si se cumple, ya que se obtuvo el vector original.

Comprobemos que .

Donde . Pero

Recordemos que

8. Compruebe que es invertible, no calcule la inversa. . Sabemos que

Se puede verificar que la matriz es inversa con el determinante, al usar Mathcad

Como el determinante es diferente de cero es invertible.

Teorema 7

Sea una transformacin lineal cuya matriz es con respecto a las bases y de Entonces

1. es invertible si y slo si es invertible.2. Si es invertible, entonces es la matriz de con respecto a y

9.- Ejemplo del teorema 7. Demuestre que la transformacin es invertible y determine su inversa.

Sabemos que

Donde que es la matriz estndar de es invertible, al calcular con Mathcad

Por lo que

Tenemos que de acuerdo al teorema 7, es invertible y la matriz estndar de es . En consecuencia,


1.- Sea . Si y Determine

2.- Sea . Si Determine

3.- Sea . Si y Determine:

1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.-

Composicin de transformaciones lineales.

4.- Sean y las tranformaciones lineales definidas por

y

Determine (a) y (b) .

5.- Sean y las tranformaciones lineales definidas

por , , ,

Determine para y .

(a) , (b) (c) , (d)

(e) , ,

, (l)

Potencias de una transformacin lineal

Transformacin lineal y operaciones matriciales.

6.- Sean y las tranformaciones lineales definidas por

y

Determine la parte 5 del teorema 5 empleando las bases estndar.

Transformaciones lineales invertibles.

7.- Sea y

Calcule la inversa de Demuestre que y son inversas entre s.

Compruebe que si

Compruebe que si

8.- Compruebe que es invertible, no calcule la inversa. .

9.- Demuestre que la transformacin es invertible y determine su inversa.

Sabemos que

5.7 Aplicaciones de las transformaciones lineales.

En esta seccin describiremos algunas aplicaciones importantes del material estudiado en este captulo, subrayando las relaciones de las transformaciones lineales con las grficas de computadora.

Transformaciones afines y grficas de computadora

Definicin. Sea una matriz . Una transformacin afin tiene la forma

Para algn vector fijo Esta transformacin es no lineal si . Es por esto que Cuando se tiene el caso de que y matriz identidad de , entonces

A esa se le llama traslacin por

Sea una matriz X . Una transformacin afn tiene la formapara algn vector fijo . Esta transformacin es no lineal si . Por lo anterior, . En el caso especial en que y sea la matriz de identidad, X , entoncesA esa se le llama traslacin por .Una traslacin por un vector desplaza a una figura sumando a todos sus puntos. Una transformacin afn es una transformacin lineal seguida de una traslacin. La figura 1 (a) muestra la imagen del cuadrado despus de la traslacin por . La figura 1 (b) muestra la imagen del cuadrado bajo la transformacin afn.

consiste en una rotacin de 45 seguida de una traslacin por Las transformaciones afines con y son muy tiles para las grficas en computadora.

y y

sssss

(a) x (b) x

Figura 1 (a) Traslacin, (b) transformacin afn: rotacin y despus traslacin.

1.- Ejemplo de transformacin afn .

En papel milimtrico cuadriculado anote los siguientes puntos, unindolos hasta formar un polgono de cuatro lados, que llamaremos figura 2 (a).

En papel milimtrico cuadriculado anote los siguientes puntos, unindolos hasta formar un polgono de cuatro lados, que llamaremos figura 2 (b).

Obtenga la transformacin afn que convirti la figura 2 (a) en la figura 2 (b), donde cada punto de 2 (b) es la imagen de 2 (a), en el orden en que se encuentran, as el punto en 2 (b) es la imagen de en 2 (a), el punto en 2 (b) es la imagen de en 2 (a) y as se continua.Sean con y . Entonces

Ya queCon y

Con y

Con y llegamos al sistema

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es

donde y

Resolvamos con Mathcad, calculando y luego

Es decir: , y . De modo que,

La ltima ecuacin ser vlida siempre y cuando se cumpla con todos los puntos. Comprobemos un punto distinto a los usados para calcular la ecuacin anterior.

Si se cumple. Verifique el lector todos los puntos.

Por lo anterior, es el deslizamiento en 0.3 a lo largo del eje seguido de la traslacin por .

2.- Ejemplo de transformacin afn .

En papel milimtrico cuadriculado anote los siguientes puntos, unindolos hasta formar un polgono de ocho lados, que llamaremos figura 3 (a).

En papel milimtrico cuadriculado anote los siguientes puntos, unindolos hasta formar un polgono de ocho lados, que llamaremos figura 3 (b).

Obtenga la transformacin afn que convirti la figura 3 (a) en la figura 3 (b), donde cada punto de 3 (b) es la imagen de 3 (a), en el orden en que se encuentran, as el punto en 3 (b) es la imagen de en 3 (a), el punto en 3 (b) es la imagen de en 3 (a) y as se continua.

Sean con y . Entonces

Ya que

llegamos al sistema

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es

donde y

Resolvamos con Mathcad, calculando y con

Es decir: , y . De modo que,

La ltima ecuacin ser vlida siempre y cuando se cumpla con todos los puntos. Comprobemos un punto distinto a los usados para calcular la ecuacin anterior.



3- Ejemplo de transformacin afn .

En papel milimtrico cuadriculado anote los siguientes puntos, unindolos hasta formar un polgono de cuatro lados, que llamaremos figura 4 (a).

Si

Calcule los cuatro puntos de la imagen y dibjelos el lector en papel milimtrico.



Transformaciones afines y fractales.

El trmino fractal proviene del latn fractus: quebrar. Fue introducido en 1970 por Benoit Mandelbrot, en su libro La geometra Fractal de la Naturaleza para designar ciertos objetos geomtricos de estructura irregular. Sin embargo los fractales en s han existido por mucho tiempo.

Aunque Mandelbrot no dio una definicin precisa, caracteriz a los fractales mediante las tres propiedades siguientes:

a)Figuras que se repiten en s mismas infinitas veces a distintas escalas (conjuntos autosemejantes).

b)Figuras con dimensin no entera (dimensin fractal).

c)Conjuntos que aparecen tras procesos iterativos infinitos.

En su libro, Mandelbrot present la idea que se convertira con el tiempo en la razn del crecimiento exponencial de las aplicaciones de los fractales y de la actual popularizacin del trmino: las formas de la naturaleza son fractales y mltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Pensemos por ejemplo en una frontera entre estados. Con el paso del tiempo, esta frontera se ve sometida a cambios debido a enfrentamientos, acuerdos locales, pequeas conexiones, etc., que hacen que el trazado de sta vaya variando. El perfil de una costa sufre un proceso anlogo al de la frontera: los elementos en contacto, agua y tierra, estn sometidos durante largos perodos a interacciones (erosiones elicas y marinas, movimiento continental, etc.) que modifican permanentemente la forma de la costa. Se estudia el carcter fractal de diversas ramas y rboles, las redes de drenaje de una cuenca fluvial, la ramificacin de los bronquios en los alveolos pulmonares... Tambin se estn utilizando los fractales para transmitir imgenes digitales, o en el mercado de valores, donde la dimensin fractal proporciona el grado de predictibilidad del fenmeno.

Los fractales tambin aparecen en el grabado "Pez y Escamas" del holands Maurits Escher (1902-1972). Quiz el ms famoso ejemplo fractal en el Arte sean las obras del pintor japons Hokusai. De todos modos, debemos cuidarnos de no llevar la analoga fractal demasiado lejos, ya que los patrones de estos diseos tienen elementos fractales que slo se reproducen un nmero finito de veces a diferente escala. Los fractales verdaderos, por el contrario, se repiten hasta el infinito.La Geometra Fractal que se viene desarrollando desde hace varias dcadas, se ha constituido en un rea nueva en las matemticas, con el estudio de conjuntos geomtricos con propiedades aparentemente paradjicas.

La Geometra Fractal es un lenguaje, ms que un conjunto de figuras. Este lenguaje utiliza ciertos algoritmos iterativos, vale decir reglas y procedimientos repetitivos, que se aplican hasta conseguir una estructura lmite que es el fractal resultante.

Algunos ejemplos de dichos conjuntos son: tringulo de Sierpinski, helecho de Barnley, conjunto de Cantor, curvas de Peano y Koch.

El tringulo de Sierpinski

Alrededor de 1915, Waclaw Sierpinski construy un conjunto cuyo permetro es infinito y su rea cero. Su construccin es la siguiente. Partiendo de un tringulo cualquiera, se dibuja un nuevo tringulo uniendo los centros de sus lados y se elimina de la figura inicial. El resultado ser tres tringulos semejantes al inicial de rea (cada uno) cuatro veces menor que el rea inicial. Se repite la operacin con los tres tringulos y, en general, con los tringulos que se vayan formando. El resultado ser el tringulo de Sierpinski.

Veamos como se aplican las transformaciones lineales en este caso.

Sean y las tres transformaciones afines de a expresadas por

Para generar el tringulo de Sierpinski comenzamos con un tringulo, de cualquier medida, por simplicidad tomaremos como sus vrtices los puntos . Se obtiene el tringulo Enseguida elegimos un punto dentro del tringulo para trazar un nuevo tringulo, digamos trazamos a partir de aqu una lnea horizontal, una vertical y cerramos el tringulo. Se obtiene el tringulo Luego aplicamos las tres transformaciones afines y para el punto .

Se grafican como ya se hizo y se obtiene el tringulo As se continua el procedimiento, con de donde se obtienen un total de nueve puntos que a su vez generan nueve tringulos obteniendo as el tringulo Si continuamos el procedimiento el siguiente paso es con los nueve puntos obtener un total de 27 puntos que implican 27 nuevos tringulos que sera para obtener un tringulo (que no aparece en la ilustracin). Es posible continuar el procedimiento hasta

Enseguida se anota el procedimiento que gener el fractal, el cual produce una imagen fractal para algunos conjuntos de transformaciones afines.

Algoritmo generador de imagen fractal.

1. Iniciar con un conjunto apropiado de transformaciones afines y escoger un punto inicial .

2. Con y calcular y graficar el punto Igualar

3. Repetir el paso dos con cada una de las transformaciones afines hasta completar el conjunto

4. Si se desea continuar se repite el paso dos, pudiendo continuar con el paso 3 en forma total o parcial.

5. Repetir el paso 4 las veces que se desee.


1.- En papel milimtrico cuadriculado anote los siguientes puntos en cm. unindolos hasta formar un polgono de cuatro lados, que llamaremos figura 1 (a).

En papel milimtrico cuadriculado anote los siguientes puntos, unindolos hasta formar un polgono de cuatro lados, que llamaremos figura 1 (b).

Obtenga la transformacin afn que convirti la figura 1 (a) en la figura 1 (b), donde cada punto de 1 (b) es la imagen de 1 (a), en el orden en que se encuentran.

2.- En papel milimtrico cuadriculado anote los siguientes puntos, unindolos hasta formar un polgono de ocho lados, que llamaremos figura 2 (a).

En papel milimtrico cuadriculado anote los siguientes puntos, unindolos hasta formar un polgono de ocho lados, que llamaremos figura 2 (b).

Obtenga la transformacin afn que convirti la figura 2 (a) en la figura 2 (b), donde cada punto de 2 (b) es la imagen de 2 (a), en el orden en que se encuentran.

3- En papel milimtrico cuadriculado anote los siguientes puntos, unindolos hasta formar un polgono de cuatro lados, que llamaremos figura 4 (a).

Si

Calcule los cuatro puntos de la imagen y dibjelos el lector en papel milimtrico cuadriculado.

Transformaciones afines y fractales.

4.- Sean y las tres transformaciones afines de a expresadas por

Inicie el tringulo de Sierpinski en una hoja uniendo los puntos que estn en centmetros . Enseguida contine con el punto trace a partir de aqu una lnea horizontal, una vertical y cerramos el tringulo . Luego aplicamos las tres transformaciones afines y para el punto , obteniendo as el tringulo contine los clculos y el trazado del tringulo Por ltimo calcule y trace para los tringulos que estn tocando el eje x.

5 transformaciones lineales

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