transformaciones lineales..pdf

lgebra Lineal 2010 I

1 Elabor: Ing. Aldo Jimnez Arteaga

Tema 3: Transformaciones Lineales

Objetivo Se aplicar el concepto de transformacin lineal y sus propiedades a la resolucin de problemas que estos conceptos.

Definicin de transformacin Una funcin, aplicacin o transformacin es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un espacio vectorial V, para convertirlo en un elemento de otro espacio vectorial W. Ejemplo 4.1. Sean los espacios vectoriales |, , y , , |, , Y la transformacin : definida por 1, , 0. Se observa fcilmente que cualquier elemento de V se convierte en un elemento de W, tras aplicrsele la transformacin T. Por ejemplo, si 2 2, al aplicarle la transformacin T, se obtiene: 2 2 2 1, 1 2, 0 1,1, 0 Por lo que el polinomio de V se convirti en una terna ordenada perteneciente a W. Ejemplo 4.2. Sea M2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos con elementos reales, y una transformacin : que se define como En este caso, la transformacin se aplica del mismo espacio al mismo espacio. Por ejemplo, para el vector 1 10 1 se tiene que la transformacin obtenida es 1 10 1 1 1 01 0 1 1 11 1 Dominio, codominio, ncleo y recorrido de una transformacin. Al igual que las funciones tradiciones, las transformaciones tienen tres partes esenciales para existir: el dominio, el codominio, y la regla de asignacin, como se observa en la figura 4.1.



Figura 4.1. Diagrama de Venn de una transformacin. V es el dominio, W el codominio, T

la regla de asignacin y es el recorrido.

El dominio es el espacio vectorial V al cual se le aplicar la transformacin; el codominio es el espacio W al cual pertenece el resultado de aplicar la transformacin; la regla de asignacin T es la forma en la cual se debe manipular un elemento de V para convertirlo en un elemento de W; finalmente, es el recorrido de la transformacin, y es el subconjunto de W obtenido a partir de la aplicacin de la transformacin a cada elemento de V. Ejemplo 4.3. Sea la transformacin !: ", definida por la regla de asignacin !, , , Donde 4 es el espacio vectorial de los cuartetos ordenados con elementos reales, y P1 es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a uno. En este caso, el dominio de S ser el espacio 4; en tanto que el codominio es P1. Para obtener el recorrido de la transformacin se requiere obtener uno de sus conjuntos generadores. Esto se logra a partir de la transformacin de una base del dominio; es decir, si se aplica la transformacin a la base de 4 # 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1 Se obtendr un conjunto generador: !1, 0, 0, 0 !0, 1, 0, 0 1 !0, 0, 1, 0 1 !0, 0, 0, 1 Entonces, el conjunto generador del recorrido es $ , 1, 1, Como se observa, el conjunto G tambin es generador de P1. En este caso, el recorrido y el codominio son el mismo.

V W

:

%& . '%& (& .



Ejemplo 4.4. Para la transformacin : ) definida por *+ ** * Donde (dominio) es el espacio vectorial de los nmeros complejos sobre el campo real, y M2 (codominio) es el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos sobre el campo real. El recorrido se obtendr por medio del conjunto generador resultante de transformar la base 1, +. 1 1 00 1 + 0 11 1 Para este caso , ). Utilizando la ecuacin de dependencia lineal - 1 00 1 - 0 11 1 Y teniendo el sistema de ecuaciones lineales - - - - - Se obtiene que el espacio generado por el conjunto 1, + es ) . / , ; , , , 1 . /, 1 Dentro de las transformaciones existe un subconjunto especial llamado ncleo. El ncleo es parte del dominio y es el conjunto de vectores de V cuya transformacin bajo T tiene como nico resultado al vector nulo del espacio W (codominio). Es decir, si se tiene una transformacin : y existe un subconjunto 2 3 tal que 2 04, entonces el subconjunto U es el ncleo de la transformacin T. Ejemplo 4.5. Sean el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes reales, y la transformacin : " " definida por 2 2 Para obtener el ncleo de la transformacin se debe considerar que al transformar un polinomio se obtendr el polinomio nulo; es decir, 0 0 0



Entonces, 2 2 0 0 0 De aqu se plantea el siguiente sistema de ecuaciones: 0 0 0 2 2 2 0 0 2 0 De donde se obtiene que el conjunto solucin es 3, , ; por lo tanto, el ncleo de la transformacin ser aquel que cumpla las condiciones 3 y , es decir, 6 3 | Se puede verificar que si se aplica la transformacin al vector 74 3 , se obtendr el polinomio nulo. 3 83 2 9 8 9 83 29 3 3 3 3 0 0 0 Se debe recalcar que el ncleo es un subconjunto del dominio; en este ejemplo tanto el dominio como el codominio son el mismo espacio vectorial, pero no siempre sucede as.

Definicin de transformacin lineal Como se ha visto, una transformacin tiene tres elementos esenciales: el dominio, el codominio y la regla de correspondencia; adems, tiene dos caractersticas importantes derivadas de las tres antes mencionadas: el recorrido (perteneciente al codominio) y el ncleo (parte del dominio). En lgebra Lineal se ha hablado de operaciones de suma de vectores y de multiplicacin por un escalar; para que una transformacin sea caso de estudio en el lgebra Lineal, es necesario que mantenga dichas operaciones vlidas a lo largo de la transformacin. Es as como surge el concepto de transformacin lineal. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo campo K y una transformacin : . Se dice que T es una transformacin lineal si satisface :



Ejemplo 4.6. Sean los espacios vectoriales . /, , , 1 | Ambos, sobre el campo de los reales. Debe verificarse si las transformaciones : y !: son transformaciones lineales, donde 2 ! 1 Para el caso de la transformacin T se tiene lo siguiente. Superposicin: > ? 2 2 2 2 2 Por propiedades de la suma y la multiplicacin de los nmeros reales, se concluye que la propiedad se cumple, ya que la ltima expresin es cierta. Homogeneidad: >- ? - - -- - -2 2- - - - -2 En este caso se tiene que por propiedades de la distribucin en los nmeros reales, la propiedad se cumple. Al cumplir la superposicin y la homogeneidad, se concluye que T es una transformacin lineal. Para la transformacin S se probar primero la homogeneidad. Homogeneidad: !- -! - -- - 1 , - 1 - -- - 1 , - -- - -



En esta ltima expresin se confirma que el elemento en el rengln dos, columna dos no es el mismo; por lo tanto la propiedad no se cumple y la transformacin S no es lineal. No es necesario probar la superposicin ya que S no posee homogeneidad. Los subespacios ncleo y recorrido de una transformacin lineal Las transformaciones lineales tambin tienen subconjuntos dentro del dominio y del codominio; como se vio en el apartado anterior, dichos subconjuntos son el ncleo y el recorrido, respectivamente. De manera especial, dentro de las transformaciones lineales dichos subconjuntos forman tambin subespacios, los cuales forman la base de un teorema que se ver ms adelante. Sea : una transformacin lineal. Los subespacios (recorrido de la transformacin) y 6 (ncleo de la transformacin) se definen como:

1. |: 2. 6 | 04

Ejemplo 4.7. Sea la transformacin lineal @: , definida por @A, , *, B A 2 3* B,A 3 5* 2B, 3A 8 13* 3B Para obtener su ncleo y recorrido se procede de la siguiente manera. Recorrido. Al transformar una base del dominio, se obtendr un conjunto generador del recorrido; se utilizar la base cannica de 4. @1, 0, 0, 0 1, 1, 3 @0, 1, 0, 0 2, 3, 8 @0, 0, 1, 0 3, 5, 13 @0, 0, 0, 1 1,2,3 Por lo que el conjunto generador ser $ 1, 1, 3, 2, 3, 8, 3, 5, 13, 1,2,3; con ste se establece el espacio generado, utilizando los vectores como renglones de una matriz: E1 1 32 3 83 5 131 2 3F Al escalonar esta matriz y obtener la base del espacio rengln, se podr obtener el recorrido de la transformacin. E1 1 32 3 83 5 131 2 3F~E1 1 30 1 20 2 40 3 6 F~E1 1 30 1 20 1 20 1 2F~E1 1 30 1 20 0 00 0 0F~E1 0 10 1 20 0 00 0 0F



Por lo que la base cannica del subespacio es 1, 0, 1, 0, 1, 2, y sta genera al subespacio @ , , 2|, Que es el recorrido de la transformacin. Ncleo. Para el ncleo se utiliza directamente la regla de asignacin, igualada al vector nulo del codominio. @A, , *, B A 2 3* B,A 3 5* 2B, 3A 8 13* 3B 0, 0, 0 Y se genera el sistema de ecuaciones lineales A 2 3* B 0A 3 5* 2B 03A 8 13* 3B 0 Y la solucin se da por J1 2 3 11 3 5 23 8 13 3K~J1 2 3 10 1 2 30 2 4 6K~J1 2 3 10 1 2 30 1 2 3 K~J1 2 3 10 1 2 30 0 0 0 K~ ~J1 0 1 70 1 2 30 0 0 0 K Al replantear el sistema de ecuaciones se tiene que A * 7B 0 2* 3B 0 Y el conjunto solucin es 6@ * 7B,2* 3B, *, B|*, B Que tambin es el ncleo de la transformacin lineal. En este ejemplo se verifica que tanto el ncleo como el recorrido son subespacios, ya que en ambos se cumple la respectiva cerradura para la suma de vectores y multiplicacin por un escalar; adems, cada subespacio contiene al vector nulo respectivo. Ejemplo 4.8. Sea la transformacin lineal M: , definida por M, *, B * *B * B Para obtener el recorrido se tiene que establecer la transformacin de una base del dominio. En este caso, se manipular la base cannica de 3.



M1, 0, 0 1 10 1 M0, 1, 0 1 10 1 M0, 0, 1 0 01 1 Para encontrar el espacio generado por el conjunto .1 10 1 , 1 10 1 , 0 01 11 se acude a una combinacin lineal: - 1 10 1 - 1 10 1 - 0 01 1 Y se resuelve el sistema de ecuaciones lineales - - - - - - - - Al escalonar la matriz de coeficientes se tiene que E1 1 0 N 1 1 0 N 0 0 1 N 1 1 1 N F~E1 1 0 N 0 0 0 N 0 0 1 N 0 0 1 N F~E1 1 0 N 0 0 1 N 0 0 0 N 0 0 1 N F~ ~E1 1 0 N 0 0 1 N 0 0 0 N 0 0 0 N F Por lo que las restricciones 0 y 0 le darn forma al recorrido de la transformacin: M . /, 1 El ncleo de la transformacin utiliza directamente la regla de asignacin. 0 00 0 * *B * B Y se obtiene * 0 * 0B 0 * B 0 Directamente, se deduce que B 0 y *; por lo que el ncleo de la transformacin es



6M , , 0| Para este caso, tambin se satisface que el recorrido es subespacio vectorial del codominio, y el ncleo es subespacio vectorial del dominio. Caso de dimensin finita: relacin entre las dimensiones del dominio, recorrido y ncleo de una transformacin lineal. Existe una relacin interesante entre las dimensiones de ncleo, el recorrido y el dominio de una transformacin lineal; esta relacin es fundamental en los espacios vectoriales de dimensin finita. Sean los espacios vectoriales V de dimensin n y W de dimensin m, y la transformacin lineal : . Se establece que dim dim dim6 Se debe recalcar que dim R dim6 y dim R dim; las relaciones de igualdad se establecern ms adelante, cuando se trate el tema de isomorfismo, transformacin identidad y transformacin nula. Como una nota adicional, muchas ocasiones la dimensin del recorrido se conoce como rango, y la dimensin del ncleo como nulidad. Ejemplo 4.9. Sean los espacios vectoriales y las transformaciones lineales consideradas en los ejemplos 4.7 y 4.8. Para el primer caso, @: definida por @A, , *, B A 2 3* B,A 3 5* 2B, 3A 8 13* 3B Se tiene que el ncleo y el recorrido son, respectivamente, 6@ * 7B, 2* 3B, *, B|*, B y @ , , 2|, Se sabe que la dimensin del dominio es cuatro; por otro lado, la dimensin del ncleo es 2 y la del recorrido es 2; por lo tanto, se puede establecer que dim dim6@ dim@ 4 2 2 Como el dominio es de dimensin finita, se satisface el teorema mencionado al inicio de este apartado. En el segundo caso, la transformacin lineal M: se define por M, *, B * *B * B Cuyo ncleo y recorrido son



6M , , 0| y M . /, 1 Que tienen una nulidad igual a 1, y un rango equivalente a 2; como la dimensin del dominio es 3, se satisface la ecuacin dim dim6M dimM 3 1 2 Por lo tanto, tambin se comprueba que el teorema de dimensiones es vlido. Isomorfismo entre espacios vectoriales Dentro de las transformaciones lineales se puede establecer una relacin de equivalencia entre los espacios vectoriales. Por ejemplo, si se tiene al espacio vectorial V y una transformacin lineal de la forma : definida por , : Se tiene que la transformacin lineal aplica al espacio V en l mismo; esta transformacin se conoce como transformacin identidad y se denota como S: Adicionalmente, esta transformacin tiene las propiedades de ser suprayectiva e inyectiva. Recurdese que una funcin suprayectiva establece que el recorrido es el codominio; es decir, la funcin relaciona al dominio sobre el codominio. En tanto que una funcin inyectiva establece que a cada elemento del recorrido se le asocia con uno slo del dominio; es decir, la funcin es uno a uno entre el dominio y el codominio. Ejemplo 4.10. La transformacin identidad S: " " definida por S Establece que cada polinomio del dominio P2 se convertir en un polinomio del codominio P2; es decir, todo el codominio est cubierto por el dominio, o el recorrido de la transformacin es el mismo codominio. En este caso la funcin es suprayectiva. La transformacin tambin presenta la naturaleza de que cada polinomio ser transformado en s mismo; por ejemplo, el polinomio del dominio T 1 solo tiene un asociado en el codominio: l mismo. S 1 1 Si se establece con el polinomio genrico esta aseveracin se confirmar que a cada elemento del dominio le corresponde uno y slo uno del codominio; es decir, la transformacin es inyectiva. Existen transformaciones lineales, no necesariamente la transformacin identidad, que son suprayectivas e inyectivas. Dichas aplicaciones son conocidas como isomorfismos.



Sean dos espacios vectoriales V y W, y una transformacin lineal : . Los espacios V y W son isomorfos entre s, slo si T es inyectiva y suprayectiva; entonces, a T se le conoce como isomorfismo. A un isomorfismo se le denotara como Is, y a los espacios vectoriales isomorfos como U . Los isomorfismos cumplen con propiedades importantes. Sean los espacios isomorfos V, W, y el isomorfismo SV: . Para esta transformacin se cumple que Su ncleo es el vector nulo: 6SV 04 Es no-singular; es decir, tiene una transformacin inversa. Una base cualquiera del dominio se transforma en una base del codominio.

Ejemplo 4.11. Sea la transformacin lineal : W " entre los espacios W XJ 0 00 00 0 K Y, , Z y " |, , Definida como J 0 00 00 0 K Para verificar si la transformacin lineal es un isomorfismo, se debe considerar que se cumplen las tres propiedades mencionadas anteriormente. Ncleo de la transformacin: J 0 00 00 0 K 0 0 0 Se obtiene que 0 0 0 De la segunda ecuacin se deduce que la nica solucin validad para el SELH es la solucin trivial; por lo tanto, el ncleo de la transformacin es el vector nulo. Transformacin de una base: La base que se utilizar para el dominio ser # XJ1 0 00 0 00 0 0K , J0 0 00 1 00 0 0K , J0 0 00 0 00 0 1KZ



Por lo que la transformacin ser: J1 0 00 0 00 0 0K 1 J0 0 00 1 00 0 0K J0 0 00 0 00 0 1K 1 Debido a que el conjunto 1, ,1 es generador del recorrido, se necesita corroborar que es una base del codominio; por lo tanto, se recurre a la ecuacin de dependencia lineal - 1 - -1 0 0 0 Del sistema de ecuaciones resultante - - 0- 0- - 0 Se obtiene que -, -, - 0; por lo tanto, el conjunto analizado es linealmente independiente, y en consecuencia es una base del codominio. As, se cumple la tercera propiedad del isomorfismo. Singularidad de la transformacin: Para esta seccin se debe tomar en cuenta la matriz asociada a la transformacin; dicho concepto se tratar en el siguiente tema. Sin embargo, para comprobar esta propiedad se utilizarn los resultados obtenidos en el punto anterior. El primer elemento considerado ser la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones - - 0- 0- - 0 Ms adelante, se confirmar que esta es la matriz asociada a la transformacin lineal, y que est referida a las bases cannicas de los espacios vectoriales involucrados. Teniendo esta matriz, se debe verificar que es no-singular; as, se segura que la transformacin lineal tiene inversa. det J1 1 00 1 01 0 1K 1 Como el determinante de la matriz es diferente de cero, eso significa que tiene inversa; por lo tanto la transformacin T tiene inversa.



Debido a que la satisfaccin de las tres propiedades se cumple, se asegura que T es suprayectiva e inyectiva; por lo tanto, T es un isomorfismo. Ejemplo 4.12. Se desea encontrar un isomorfismo entre los espacios vectoriales 2 y . Para este ejemplo se tomar al vector genrico y a la base cannica de cada espacio vectorial involucrado. Primeramente, se hace una combinacin lineal en el dominio: -1, 0 -0, 1 , * De donde los escalares tienen valores - y - *. Con estos valores se puede reescribir la combinacin lineal como 1, 0 *0, 1 , * Utilizando las propiedades de linealidad del isomorfismo, se puede expresar: SV]1, 0 *0, 1^ SV, * SV1, 0 *SV0, 1 SV, *_1 Debido a que el isomorfismo transforma una base del dominio en una base del codominio, se necesita estipular cual ser la correspondiente asociacin entre los elementos de las bases. Como es posible encontrar varios isomorfismos entre los mismos espacios vectoriales, se puede establecer que las transformaciones de los elementos de la base de 2 bajo el isomorfismo buscado son: SV1, 0 +_ 2 SV0, 1 1_3 Donde se observa que el conjunto ` +, 1a es una base de . Al sustituir (2) y (3) en (1) se tiene: + *1 SV, * + * SV, * De donde se obtiene que la regla de correspondencia del isomorfismo buscado es SV, * * + Se puede comprobar fcilmente que esta transformacin lineal es inyectiva y suprayectiva; por lo tanto, es un isomorfismo.

Matriz asociada a una transformacin lineal con dominio y codominio de dimensin finita Como se vio en el ejemplo 4.11, es posible asociar a una transformacin lineal con una matriz. Existen dos procedimientos vlidos para obtener esta matriz. Sin embargo, debe recalcarse que



uno de ellos funciona slo si la transformacin estudiada es del tipo : ; el otro procedimiento aplica para cualquier transformacin lineal referida a cualquier espacio vectorial. Al tratar una transformacin de la forma : se puede establecer una matriz asociada con base en la regla de asignacin, y viceversa. Sea : una transformacin lineal entre los espacios vectoriales y . Existe una matriz asociada a T, tal que Donde est compuesta de la siguiente manera ]]4^ ]4^ ]4^ _ ]4^^ Siendo `4, 4, 4 , 4a la base cannica del espacio vectorial . Ejemplo 4.13. Sea la transformacin : definida por , *, B * B, 2,3* 2B, * B Si se utiliza la base cannica del dominio se obtienen las siguientes transformaciones 1, 0, 0 1,2, 0, 1 0, 1, 0 1, 0,3,1 0, 0, 1 1, 0, 2,1 Esas transformaciones se acomodan en un arreglo matricial, utilizando cada vector como una columna de dicha matriz E 1 1 12 0 00 3 21 1 1F La matriz obtenida es la matriz asociada a la transformacin lineal T. Esta matriz puede utilizarse para obtener la imagen de cualquier vector de bajo la transformacin T. Si se desease obtener la transformacin del vector 1,1,4 bajo T, se puede utilizar la regla de asignacin o la matriz asociada. Por regla de asignacin: 1,1,4 2,2, 11, 6 Por matriz asociada:



1,1,4 E 1 1 12 0 00 3 21 1 1FJ 114K E22116 F Se puede observar que las transformaciones por ambos mtodos son iguales. Ejemplo 4.14. Dada la transformacin !: , se desea obtener su regla de correspondencia, si se sabe que !1, 0, 0, 0 !0, 0, 1, 0 c 1, 0 !0, 1, 0, 0 !0, 0, 0, 1 c 0, 1 Para este caso, se tiene la matriz asociada a la transformacin S, expresada en trminos de las transformaciones de los elementos de la base cannica del dominio. ! ]]de^ f h ]ie^^ ]]de^ f ]de^ f^ 1 0 1 00 1 0 1 Finalmente para obtener la regla de correspondencia de la transformacin lineal basta con multiplicar la matriz asociada por el vector genrico del dominio; es decir, !A, , *, B 1 0 1 00 1 0 1jA*Bk !A, , *, B 1 0 1 00 1 0 1jA*Bk A * B De donde obtiene que la regla de correspondencia buscada es !A, , *, B A *, B. De manera general, es posible encontrar una matriz asociada a cada transformacin lineal cuyos espacios vectoriales son de dimensin finita. Dicha matriz utiliza el concepto fundamental de la matriz de transicin desde una base A hasta una base B: el vector de coordenadas. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensin finita, : una transformacin lineal, l 4, 4, 4, , 4 una base de V, y # `4, 4, 4, , 4a una base de W. Debido a que B puede generar cualquier vector de W,



A& m4 m4 m4 _ m4 La imagen de cualquier vector de V bajo T puede escribirse de la siguiente manera A& m4 m4 m4 _ m4 Por lo tanto, cada elemento de la base A puede expresarme de esa misma manera; es decir 4 m4 m4 m4 _ m4 4 m4 m4 m4 _ m4 4 m4 m4 m4 _ m4 N 4 m4 m4 m4 _ m4 De esta forma se obtienen los vectores de coordenadas de 4 en la base B: 849 m, m, m, , m 849 m, m, m, , m 849 m, m, m, , m N 849 m, m, m, , m Utilizando el concepto de matriz de transicin utilizado en el captulo anterior, estos vectores de coordenadas transpuestos pueden formar una matriz; dicha matriz se conoce como la matriz asociada a la transformacin T referida a las bases A y B. 849 849 849 _ 849 Esta matriz referida a esas bases es nica para T, y permite establecer 89 89 Ejemplo 4.15. Sean " |, , y " |, , , dos espacios vectoriales sobre el campo de los reales; y sea la transformacin lineal W:" ", definida por W

a. Obtngase la matriz asociada a D referida a la base # , 1, 1, del dominio y la base n 2 2, 1,2 1 del codominio.

b. Utilcese la matriz para obtener la transformacin de o4 2 3, y comprubese mediante la regla de correspondencia.

Lo primero que debe realizarse es obtener la imagen de los elemento de B bajo D.



W 3 1 W 1 2 W 1 3 W 2 1 Ahora se proceder a obtener los vectores de coordenadas en la base C de cada una de las imgenes obtenidas. 3 1 -2 2 - 1 -2 1 2 m2 2 m 1 m2 1 3 p2 2 p 1 p2 1 2 1 q2 2 q 1 q2 1 Por lo que los resultados de resolver los sistemas de ecuaciones correspondientes son 83 19 12 ,1,1 829 1,1, 1 839 0, 32 , 32 82 19 12 ,32 , 12 Entonces la matriz buscada es

W rst 1 0 1 1 1 1 uvw

Con lo que se concluye el inciso a. Para obtener la transformacin del vector o4 2 3 se utilizar la ecuacin 8Wo49 W8o49 Por lo que x x 1 x 1 x 2 3 Se registra que el vector de coordenadas es 8o49 , , , . Entonces, se puede realizar la operacin matricial



8Wo49 rst 1 0 1 1 1 1 uvwrsst

uvvw j04k

Finalmente, para obtener la imagen buscada se realiza una combinacin lineal con 8Wo49 y los vectores de la base C: 52 2 2 0 1 42 1 3 4 1 Al aplicar directamente la regla de asignacin sobre el polinomio se tiene 2 3 3 4 1 Que es el mismo resultado obtenido con anterioridad. Con esto, se concluye satisfactoriamente el inciso b. Ejemplo 4.16. Dados el espacio vectorial , |, , y la transformacin lineal : . Se debe encontrar la regla de correspondencia de dicha transformacin, utilizando las bases l 1, 2, 2, 0 y # 1, 0, 1,1, sabiendo que 1, 2 cos 45 , 3 cos 45 2, 0 2 cos 45 , 2 cos 45 Sabiendo las transformaciones de los respectivos vectores, se puede la matriz asociada a la transformacin referida a las bases A y B: cos 45 , 3 cos 45 -1, 0 -1,1 2 cos 45 , 2 cos 45 m1, 0 m1,1 De donde se obtiene la matriz asociada 4 cos 45 03 cos45 2 cos 45 Una vez obtenida la matriz asociada, se debe utilizar el vector genrico del espacio vectorial para calcular la regla de correspondencia. El problema sera muy sencillo si las bases de referencia fuesen cannicas: slo se multiplicara la matriz asociada por el vector transpuesto, y se obtendra la regla de correspondencia. Este ejemplo contempla bases que no son cannicas; entonces, se debe recurrir al vector de coordenadas para resolver el problema.



, p1, 2 p2, 0 Se obtiene que 8, 9 , ; utilizando este vector de coordenadas se establece que 8, 9 4 cos 45 03cos 45 2 cos45E 242 4 F 2 cos 45 cos 45 cos 45 Por lo que la regla de correspondencia se obtiene de la siguiente combinacin lineal: 2 cos 451, 0 cos45 cos 451,1 , cos 45 cos45 , cos 45 cos 45 Que es la regla de correspondencia buscada. Un caso interesante es la transformacin identidad, establecida como S: . Se puede establecer que la matriz asociada est referida nicamente a una base, en vista que la transformacin trabaja en el mismo espacio vectorial. De forma general, se toma por conveniencia la base cannica, a menos que se especifique lo contrario. Como slo se trabaja con una base, y la transformacin identidad no afecta a los vectores, es inmediato suponer que la matriz asociada debe poseer esa caracterstica: no afectar a los vectores de coordenadas que se obtienen. Es entonces que se deduce que la matriz asociada a la transformacin identidad es la matriz identidad. Ejemplo 4.17. Sea la transformacin identidad S: y # `4, 4, 4, , 4a una base del espacio vectorial V. Al aplicar la transformacin identidad a la base se obtendr S]4^ 4 c }S]4^~ 1, 0, 0, , 0 S]4^ 4 c }S]4^~ 0, 1, 0, , 0 S]4^ 4 c }S]4^~ 0, 0, 1, , 0 N S]4^ 4 c }S]4^~ 0, 0, 0, , 1 Por lo que al formar la matriz asociada a la transformacin se tiene

S rst1 0 0 _ 00 1 0 _ 00 0 1 _ 0N N N N0 0 0 _ 1uvw

Que es la matriz identidad.



lgebra de las transformaciones lineales Las transformaciones lineales tambin tienen definidas operaciones entre ellas; ms especficamente, la suma de transformaciones y la multiplicacin por un escalar, que son las operaciones bsicas en los espacios vectoriales. Por medio de las operaciones se pueden combinar diversas transformaciones lineales, y as obtener nuevas transformaciones. Definicin y propiedades de la adicin Sean : y $: dos transformaciones lineales entre espacios vectoriales sobre el mismo campo. Se define a la suma de transformaciones lineales $ como la transformacin denotada por $ $ Dos propiedades importantes de esta operacin son: Si F y G son lineales, entonces $ tambin es lineal. $ $.

Definicin y propiedades de la multiplicacin por un escalar Sean : una transformacin lineal entre espacio vectoriales sobre el campo K, y un escalar - =. Se define a la multiplicacin de una transformacin lineal por un escalar - como la transformacin denotada por - -89 Sus propiedades son: Si F es lineal, entonces - tambin es lineal - -.

Ejemplo 4.18. Sean las transformaciones M: " y !: " , definidas por M 2, ! , Se desea obtener la transformacin 3M 2!, as como su matriz asociada a las bases cannicas. Para realizarlo, basta con obtener el resultado de la operacin con las reglas de correspondencia de ambas transformaciones: 3M 2! 32, 2 , 6, 3 3 2 2, 2 3M 2! 4 2, 3 Que es la regla de asignacin buscada. La matriz asociada puede obtenerse como sigue:



M 2, 0 M 0, 1 M1 0, 1 ! 1, 0 ! 0, 1 !1 1, 0 Cuyas respectivas matrices asociadas son: M 2 0 00 1 1 ! 1 0 10 1 0 Para encontrar la matriz buscada, slo se realizan las siguientes operaciones segn las propiedades de las operaciones entre las transformaciones lineales: 3M 2! 3M 2! 3 2 0 00 1 1 2 1 0 10 1 0 6 0 00 3 3 2 0 20 2 0 4 0 20 1 3 Si se toma la base cannica y se utiliza la regla de correspondencia de la transformacin 3M 2!, se tiene que 3M 2! 4, 0 3M 2! 0, 1 3M 2!1 2, 3 Y la matriz asociada es 3M 2! 4 0 20 1 3 Que es la matriz que se obtuvo anteriormente. Puede observarse que no importa cul sea el mtodo para calcular la matriz, siempre se llegar al mismo resultado; esto se debe a que la matriz asociada a una transformacin es nica. Definicin y propiedades de la composicin de transformaciones Una de las operaciones ms interesantes dentro de las transformaciones lineales (y del estudio de las funciones en general) es la composicin de funciones. En general, la composicin de transformaciones se comporta de la misma forma que la composicin de funciones reales de variable real; la diferencia radica en la utilizacin de matrices asociadas para calcular la transformacin composicin. Sean U, V y W tres espacios vectoriales sobre el campo K, y : 2 y $: dos transformaciones lineales. La funcin composicin $ se define como $



Es decir, la composicin es una transformacin evaluada con otra transformacin. La figura 4.2 muestra la relacin entre los espacios involucrados; se puede observar que en la composicin se obtiene la imagen de un vector bajo una transformacin por medio de otra transformacin.

Figura 4.2. Composicin de transformaciones lineales.

Las propiedades de la composicin de funciones son: Si F y G son lineales, entonces $ tambin es lineal. $ $. . - - c -. W W . S y S ; donde S es la transformacin identidad en el dominio de E, e S

es la transformacin identidad en el codominio de E. $ $.

Ejemplo 4.19. Sean los espacios vectoriales , V y , donde |, Y las transformaciones lineales @: y : definidas por @, , ,, , Para obtener la transformacin @ simplemente se sustituye la regla de correspondencia de X en la regla de Y, como sigue @, , ]@, , ^ , , , Para comprobar que el resultado es correcto, se utilizar las matrices asociadas para encontrar la regla de correspondencia; las bases con las que se trabajar sern las bases cannicas, para simplificar el clculo.

%& U

& . W

(& . V

%& . & ]&^



Para la matriz @: @1, 0, 0 @0, 1, 0 @0, 0, 1 Por lo que los vectores de coordenadas, referidos a la base cannica de V, de cada imagen son 89 0, 1, 89 1, 0 y 89 0,1; por lo tanto, la matriz asociada a X es @ 0 1 01 0 1 Para la matriz : 1,1, 0, 0 0, 0, 1, 1 En este caso, los vectores de coordenadas con respecto a la base cannica del espacio son 89 1,1, 0, 0 y 89 0, 0, 1, 1; y la matriz asociada a Y es E 1 01 00 10 1F Para obtener la matriz de la transformacin @, simplemente se realiza la multiplicacin de las matrices. @ @ E 1 01 00 10 1F0 1 01 0 1 @ E 0 1 00 1 01 0 11 0 1 F La multiplicacin de matrices es compatible; por lo tanto, la operacin de composicin hecha es correcta. Para obtener la regla de correspondencia, se utilizar la transformacin del vector genrico transpuesto de premultiplicado por la matriz asociada; recurdese que este procedimiento es correcto debido a que tenemos una transformacin del tipo hacia . 8 @, , 9 E 0 1 00 1 01 0 11 0 1 F>?



E F Por lo que la regla de correspondencia es @, , , , , , comprobando que se obtiene el mismo resultado que mediante la manipulacin de reglas de correspondencia.

La inversa de una transformacin lineal La propiedad S de la composicin de transformaciones lineales plantea la posibilidad de encontrar una transformacin tal que @ S; esto quiere decir que para la operacin de composicin es posible establecer una transformacin lineal inversa. El planteamiento de la transformacin inversa permite establecer problemas en los cuales se desea encontrar un vector cualquier, cuya imagen es conocida. Tambin debe considerarse la relacin que existe entre las matrices asociadas a las transformaciones y las transformaciones inversas; estos conceptos se tocaron de manera breve en el apartado de isomorfismos. Sea : una transformacin lineal. Se llama inversa de T a la transformacin : tal que se cumple S S

La figura 4.3 muestra la relacin entre una transformacin lineal y su inversa. Al igual que en el Clculo, la relacin que existe entre la funcin inversa y la composiciones de funciones es anloga a la que se estudia en este captulo; aqu se hace la extensin hacia las matrices asociadas a las transformaciones lineales.

Figura 4.3. Transformacin lineal inversa.

Dentro de las propiedades de la transformacin inversa se encuentran: Si T es lineal, entonces (si existe) tambin es lineal. existe, si es no-singular. es nica.

V

%& . W

'%& . ' '



. . - -; siendo - , 0 =, que es el campo donde se define la transformacin. 89.

Tambin se cumplen las siguientes propiedades: Si T es inyectiva y suprayectiva, entonces existe. existe, si dim dim y 6 04.

Estas dos propiedades son las correspondientes a un isomorfismo; por ello se habl de que el isomorfismo es una transformacin lineal no-singular. En conclusin, cualquier transformacin inversa es un isomorfismo. Ejemplo 4.20. Se desea determinar cul de las siguientes transformaciones tiene inversa: !, *, J2 0 00 4 * 00 0 2 3* BK 2 4, 3 6 Para cada uno de los casos se puede comprobar las propiedades de transformacin inyectiva, suprayectiva, ncleo y dimensiones; sin embargo, una manera ms sencilla de realizar esta comprobacin es por medio de las matrices asociadas. En ningn momento se establece el uso de dos bases en particular, as que se realizarn los clculos con las bases cannicas. Para la transformacin S: !1, 0, 0 J2 0 00 4 00 0 2K !0, 1, 0 J0 0 00 1 00 0 3K !0, 0, 1 J0 0 00 0 00 0 1K Al realizar la combinacin lineal de las imgenes con la base cannica del espacio vectorial de las matrices diagonales de orden tres se obtienen los respectivos vectores de coordenadas, y la matriz asociada es ! J2 0 04 1 02 3 1K



Para saber si la matriz tiene inversa se calcula su determinante: det! 2; por lo tanto, la matriz es no-singular y existe la transformacin !. Para saber la regla de correspondencia, se invertir la matriz y se utilizarn los vectores de coordenadas. J2 0 0 N 1 0 04 1 0 N 0 1 02 3 1 N 0 0 1K~j1 0 0 N 0 00 1 0 N 2 1 00 3 1 N 1 0 1k~j1 0 0 N 0 00 1 0 N 2 1 00 0 1 N 7 3 1k En este caso, se intercambia el dominio y el codominio, puesto que se est trabajando con la transformacin inversa. Los vectores de coordenadas se obtienen a partir de J 0 00 * 00 0 BK - J1 0 00 0 00 0 0K - J0 0 00 1 00 0 0K - J0 0 00 0 00 0 1K Donde - , - * y - B; entonces se aplica la transformacin ! J 0 00 * 00 0 BK j 0 02 1 07 3 1k>*B? j 2 *7 3* Bk Y la regla de correspondencia se obtiene de la combinacin lineal 12 1, 0, 0 2 *0, 1, 0 7 3* B0, 0, 1 12 , 2 *, 7 3* B Por lo que la regla de correspondencia es ! J 0 00 * 00 0 BK 12, 2 *, 7 3* B Para la transformacin T: 2, 3 1 4, 6 Se tiene la matriz asociada 2 43 6 Se puede observar directamente que una columna es mltiplo de la otra; se comprueba entonces, que el determinante de la matriz es igual a cero, y como consecuencia, la transformacin no existe.



Una de las aplicaciones ms importantes de las operaciones entre transformaciones lineales son las ecuaciones que pueden plantearse. Por ejemplo, se puede establecer la siguiente ecuacin: ! 3 4! @ ! @ Donde se debe encontrar la regla de correspondencia de la transformacin X. Si se sustituyen las transformaciones por sus respectivas matrices asociadas se obtendra una ecuacin de la siguiente forma: ! 3 4! @! @ Que es una ecuacin matricial, cuyo mtodo de resolucin se estudi en el tema de Matrices y determinantes. Ejemplo 4.21. Dadas las transformaciones : " " c M: " " c M 3 !: " " c ! Obtngase la regla de correspondencia de la transformacin lineal X, si 3M ! @ La ecuacin puede escribirse a trminos de matrices asociadas: 3M! @ @ 3M! @ 898 3M!9 Por lo que cada transformacin encuentra a su matriz asociada como sigue: 3M J3 33 03 9K ! 1 1 01 0 1 J1 1 11 1 00 1 1 K Por lo que la matriz faltante es la inversa de : J1 1 1 N 1 0 01 1 0 N 0 1 00 1 1 N 0 0 1K~J1 1 1 N 1 0 00 0 1 N 1 1 00 1 1 N 0 0 1K~J1 1 0 N 0 1 00 0 1 N 1 1 00 1 0 N 1 1 1K~ ~J1 0 0 N 1 2 10 1 0 N 1 1 10 0 1 N 1 1 0 K 89 J1 2 11 1 11 1 0 K



Por lo que la ecuacin queda como @ J1 2 11 1 11 1 0 K J1 1 11 1 00 1 1 K J3 33 03 9K 1 1 01 0 1 J1 2 11 1 11 1 0 K J1 1 11 1 00 1 1 K J 6 3 33 3 012 3 9K J1 2 11 1 11 1 0 KJ 5 2 42 2 012 2 8K J 13 0 1215 2 123 0 4 K Finalmente, como se define @: " ", se tiene que la regla de correspondencia ser: @ 13 12 15 2 12 3 4 Efectos geomtricos de las transformaciones lineales Las transformaciones lineales permiten establecer el comportamiento geomtrico de los puntos de un sistema coordenado; una vez que se sabe donde esta ese punto, se lo puede representar como un vector, que dependiendo de la transformacin lineal que se le aplique, podr convertirse en otro punto, o permanecer inalterable. Estos aspectos nos permiten establecer algoritmos para representar imgenes por medio de una computadora; e incluso, permitir que dichas imgenes se agrupen en fotomontajes y animaciones. En computacin grfica, se utilizan las transformaciones lineales para realizar clculos en los cuales un punto de la pantalla podr trasladarse a diferentes posiciones, o bien cambiar de color, o aumentar su brillo. A continuacin se exponen algunos ejemplos del uso de las transformaciones lineales en aspectos geomtricos involucrados en el procesamiento digital de imgenes. Ejemplo 4.22. Sea la imagen de la figura 4.4.

Figura 4.4. Imagen digital que se puede generar por medio de una

transformacin lineal.

Esta imagen puede presentarse como un sistema coordenado, en el cual el punto inferior del corazn sera el origen. Tomando en consideracin que la imagen es simtrica, se puede



establecer un algoritmo de compresin, en el cual slo se almacenen dos factores: la mitad de la imagen y una transformacin lineal. Se tomar el lado derecho y por medio de una transformacin lineal se generar el lado izquierdo; cada punto de la imagen se representar por medio de un vector. Al aplicar la transformacin a cada vector se obtiene una reflexin de los puntos sobre el eje y (vase la figura 4.5), lo cual permitir establecer una imagen simtrica, y completa, en la pantalla del ordenador.

Figura 4.5. Generacin de la parte izquierda de la imagen estudiada a partir de la parte

derecha y la transformacin lineal T.

Finalmente, la unin de los puntos ya almacenados en el archivo de imagen, y el conjunto de vectores resultantes de aplicar la transformacin nos dar la imagen completa (figura 4.6). Este tipo de manipulacin con imgenes se denomina reflexin, ya que se establece un eje o curva sobre el cual los puntos sern reflejados. Esto permite manipular informacin de una manera ms eficiente, ya que con la mitad de datos conocidos, se obtendr un resultado completo, dejando de lado los costos de almacenamiento que implica el manejo de una gran cantidad de datos, en este caso, de una imagen digitalizada.

Figura 4.6. Imagen generada mostrada en la pantalla del ordenador.

Sin embargo, la reflexin no es el nico efecto geomtrico que se tiene; la rotacin y la reflexin central son importantes tambin. Ejemplo 4.23. Sean las imgenes de la figura 4.7.

x

y

: , * , * x

y

x

y



Figura 4.7. Imgenes de la Cruz de Hierro Alemana, y el planeta Saturno.

ara el caso de la imagen de la Cruz de Hierro, es posible aplicar una transformacin que permita establecer una simetra central, en la cual al aplicar una transformacin a un vector se obtendr su simtrico con respecto al origen. La figura 4.8 muestra ese efecto realizado con la transformacin lineal !, * ,*.

Figura 4.8. Generacin de la imagen a partir de la transformacin S; en azul los vectores originales, en verde los vectores transformados en su simtrico con respecto al origen.

Para la imagen de Saturno, es posible utilizar una transformacin lineal que permita a un punto contenido en uno de sus anillos rotar un determinado ngulo ; as, se formar un todo el anillo, a partir de un solo punto. La transformacin se aplicara sobre un plano XY, que estara superpuesto al plano imaginario que contiene los anillos. La figura 4.9 muestra esta explicacin.

Figura 4.9. Se muestra como a partir del vector en rojo, y al aplicarle una transformacin lineal

de rotacin, se puede generar cualquiera de los vectores en violeta; la lnea curva en azul muestra la rotacin del vector.

En este caso, la transformacin utilizada sera de la forma M, * cos * sen , sen * cos Lo cual implica una rotacin del vector en un determinado ngulo . Existen otros efectos, tales como proyeccin sobre un plano o escalamiento (cambio de tamao), los cuales dependen de los puntos con los que se estn trabajando, la magnitud que se desea

x

y

x

y



obtener, e incluso el lugar donde se quiere proyectar (generalmente un subespacio); la figura 4.10, muestra los dos efectos mencionados. Este tipo de efectos, y otros ms complicados, incluyen los conceptos de transformaciones lineales, y adems de operadores lineales y espacios con producto interno, que son temas que se tratarn ms adelante.

Figura 4.10. Representaciones de transformaciones lineales de proyeccin sobre un

subespacio (izquierda) y escalamiento (derecha).

Operador lineal Como se ha visto, las transformaciones lineales permiten convertir un vector cualquier de un espacio vectorial V en otro vector de un espacio vectorial W. Existe especial inters por las transformaciones lineales que van desde un espacio vectorial hasta el mismo espacio; es decir, transformaciones lineales del tipo : . Sea un espacio vectorial V sobre un campo K. Se llama operador lineal o transformacin lineal en V a la transformacin definida por : Dado un operador se lineal, se deduce que la transformacin de un vector



1, 1 1,5 1, 2 4, 8 Para el caso del vector



00 0 1 00 0 Los valores y vectores propios presentan algunas particularidades para casos especiales de operadores lineales. Para la transformacin identidad S: se establece que todos los vectores no nulos de

V son vectores propios del valor 1. La transformacin nula O: establece que todos los vectores propios no nulos de V

son vectores propios del valor 0. Una caracterstica importante de los operadores lineales dicta que todos los vectores no

nulos del ncleo son vectores caractersticos del valor 0. Si se define un operador lineal T en un espacio vectorial V sobre un campo K. Si es un

vector propio de T correspondiente al valor propio , entonces El escalar es nico para ese vector. El vector - es un vector propio correspondiente a , si - , 0 =. Si



calcular los valores caractersticos de cualquier operador lineal; incluso puede extenderse a una matriz cualquiera, no importando si est asociada o no a un operador lineal. Se sabe que en un operador lineal de un espacio vectorial V, los valores y vectores caractersticos se definen como: 1 El operador posee una matriz asociada, la cual puede referirse a dos bases de V diferentes; por defecto, se le asocia a una sola base B. Esto establece la definicin 89

892 Se puede sustituir la expresin (1) en (2), llegando a 89

89 Esta ecuacin matricial puede reescribirse sucesivamente de la siguiente manera: 89

89 04 89

89 S89

89 8S

989 Se llega entonces a un sistema de ecuaciones lineales homogneo. Dicho sistema presenta la caracterstica de que su matriz de coeficientes ser de la siguiente forma: E1 0 _ 00 1 _ 0N N N0 0 _ 1F E _ _ N N N _ F S

E 0 _ 00 _ 0N N N0 0 _ F E _ _ N N N _ F E _ _ N N N _ F S

Para que esta matriz de coeficientes del SELH obtenido sea compatible determinado (slo acepte a la solucin trivial), su determinante debe ser diferente de cero; por el contrario, sea compatible indeterminado, su determinante debe ser igual a cero. Tomando en cuenta esta situacin, y sabiendo que el vector nulo no es un vector caracterstico, el determinante de la matriz S debe ser igual a cero.



_ _ N N N _ 0 det S Al calcular el determinante, se obtendr un polinomio de grado igual al orden de la matriz; dicho polinomio se llama polinomio propio o ecuacin propia. Las races del polinomio propio son los valores propios buscados. Ejemplo 4.26. Sea el operador lineal : c , * 2 *, 6 *, definido en el ejemplo 4.24. Su matriz asociada referida a la base cannica de es 2 16 1 Ahora se utiliza la ecuacin det S 0 para determinar los valores caractersticos. det 1 00 1 2 16 1 0 det 2 16 1 8 2 19 8619 2 2 6 3 4 De donde se observa que las races del polinomio son 4 y 1, que son los valores propios mencionados en el ejemplo 4.24. Una vez obtenidos los valores propios se pueden conocer los vectores propios. El procedimiento es el evaluar el SEHL 8S

989 04 con los valores propios conocidos; cada conjunto solucin obtenido a partir de un valor propio ser el conjunto de vectores propios. Ejemplo 4.27. Siguiendo con los vectores propios del operador T, se plantea la ecuacin 8S

989 04 con los datos obtenidos; el vector de coordenadas del vector genrico se refiere a la base cannica. 2 16 1 * 00 Para 4 2 * 06 3* 0 Por lo que el conjunto solucin son los vectores de la forma , 2; adems, en forma de conjunto, este es el espacio propio para 4: , 2|



Para 1 3 * 06 2* 0 Los vectores propios son de la forma ,3; el espacio propio es: ,3| Ejemplo 4.28. Sea el espacio vectorial de las matrices simtricas de orden dos con elementos reales sobre el campo de los reales, donde se define un operador lineal H, cuya matriz asociada es J 1 1 01 2 10 1 1 K Para calcular los valores y vectores propios del operador, se plantea det J 0 00 00 0 K J 1 1 01 2 10 1 1 K 0 Y 1 1 01 2 10 1 1Y 1 2 1 1 1 1 3 De donde los valores propios obtenidos son 0, 1 y 3. Para calcular los espacios propios se debe tomar en cuenta que el espacio vectorial donde se define el operador lineal es . /, , 1 Por lo que los espacios caractersticos deben ser conjuntos de matrices. En este caso, recurdese que la ecuacin 8S

989 04 utiliza el vector de coordenadas, por lo que el procedimiento descrito para obtener los espacios propios arrojar vectores de coordenadas. Para 0: - - 0- 2- - 0- - 0 Cuyo conjunto solucin es -, -, -. Este es un vector de coordenadas, por lo que para encontrar el espacio propio se debe realizar una combinacin lineal con los elementos de la base cannica del espacio vectorial: - 1 00 0 - 0 11 0 - 0 00 1 - -- -



Y se obtiene que .- -- - /- 1 Para 1: - 0- - - 0- 0 Con un conjunto solucin de la forma -, 0, -; el espacio propio es - 1 00 0 0 0 11 0 - 0 00 1 - 00 - - 00 - - Para 3: 2- - 0- - - 0- 2- 0 Con un conjunto solucin de la forma -, 2-, -, cuyo espacio propio es - 1 00 0 2- 0 11 0 - 0 00 1 - 2-2- - - 2-2- - - Teorema de Cayley-Hamilton Existe un teorema de particular inters para la ecuacin propia de una matriz. Se trata del teorema de Cayley-Hamilton, que dice toda matriz es una raz de su propio polinomio propio; es decir, si un polinomio propio se escribe como una ecuacin matricial, entonces una de sus races ser la matriz que lo gener. Ejemplo 4.29. Se desea verificar el teorema de Cayley-Hamilton para la matriz l 2 25 1 Primero, se obtiene det 2 25 1 0 2 1 10 12



Escribiendo esta ecuacin como una ecuacin matricial se tiene 12S Al evaluar el polinomio propio matricial con la matriz A se tiene 2 25 1 2 25 1 2 25 1 12 1 00 1 0 00 0 14 25 11 2 25 1 12 00 12 12 00 12 12 00 12 Con lo cual, se satisface el teorema. Tambin es posible calcular alguna potencia de una matriz utilizando su polinomio propio. Ejemplo 4.30. Calclese n y n para la matriz n J1 0 11 1 00 1 1K Se obtiene su polinomio propio det J 1 0 11 1 00 1 1K 0 1 1 3 3 2 En trminos de matrices se tiene 3 3 2S Para calcular n, simplemente se despeja el trmino de tercer orden 3 3 2S C 3J1 0 11 1 00 1 1K 3J1 0 11 1 00 1 1K 2J1 0 00 1 00 0 1K J3 3 66 3 33 6 3K J1 0 33 1 00 3 1K J2 3 33 2 33 3 2K Para el caso de n, a al polinomio propio matricial se le postmultiplica por , y se despeja el trmino de la matriz inversa:



3 3 2S 3 3 2S 3 3S 2 12 3 3S Finalmente se sustituye la matriz C. 12 J1 0 11 1 00 1 1K 3J1 0 11 1 00 1 1K 3J1 0 00 1 00 0 1K n 12 J1 1 22 1 11 2 1K J3 0 33 3 00 3 3K J3 0 00 3 00 0 3K 12 J1 1 22 1 11 2 1K J 0 0 33 0 00 3 0 K 12J 1 1 11 1 11 1 1 K Con lo cual termina el clculo de las matrices pedidas.

Matrices similares y sus propiedades Una matriz asociada a una transformacin lineal tendr diferentes formas, dependiendo de las bases que se utilicen para calcularla; en forma general, lo mismo sucede con el operador lineal, con la salvedad de que slo se refieren a una sola base. En este caso las bases cannicas sirven como un auxiliar para simplificar los clculos y la simpleza de la matriz. Las matrices ms simples con las que puede trabajarse son las matrices diagonales. Aqu surge la interrogante siguiente: es posible calcular una matriz diagonal asociada a un operador lineal, a partir de otra matriz asociada? La respuesta a la pregunta es s, pero slo en algunos casos; no siempre ser posible encontrar una representacin diagonal de un operador lineal. Para que se cumpla esta condicin es necesario verificar la naturaleza del operador y de su matriz asociada. Sean un espacio vectorial V, un operador lineal : y una matriz A asociada a T. La matriz A, de orden n, es diagonalizable si existe una base de V con n vectores propios. En tal caso, la matriz diagonal D (referida a la base mencionada) est dada por W E 0 _ 00 _ 0N N N0 0 _ F Donde son los valores propios correspondientes a T.



Ejemplo 4.31. Sea un operador S definido en un espacio vectorial , cuya matriz asociada es ! J2 3 30 4 40 5 5K Y regla de correspondencia es !, *, B 2 3* 3B, 4* 4B,5* 5B Los valores propios correspondientes son 0, 2 y 1, y los espacios propios son 0, i, i|i i, 0, 0|i i, 4i,5i|i El siguiente conjunto est formado por los vectores propios # 0, 2, 2, 3, 0, 0, 1, 4, 5 Que puede verificarse es una base, ya que es un conjunto generador linealmente independiente de . Si con esta base se encuentra la matriz asociada al operador se tiene: !0, 2, 2 0, 0, 0 !3, 0, 0 6, 0, 0 !1, 4, 5 1,4, 5 Por lo que la matriz asociada se obtiene de las combinaciones lineales 00, 2, 2 03, 0, 0 01, 4, 5 0, 0, 0 00, 2, 2 23, 0, 0 01, 4, 5 6, 0, 0 00, 2, 2 03, 0, 0 11, 4, 5 1,4, 5 Y la matriz es

! J0 0 00 2 00 0 1K Por lo que se confirma la definicin dada al inicio de este apartado, el operador lineal tiene una matriz diagonal asociada, que est referida a una base de vectores propios; y esa matriz diagonal, contiene a los valores propios. La relacin entre la matriz ! y

! es muy estrecha, y puede extenderse hacia todas las matrices asociadas a un mismo operador lineal. Dicha relacin se conoce como similaridad o semejanza.



Se dice que las matrices de orden A y B de orden n son similares, si existe una matriz C invertible tal que n# ln Esta definicin conlleva las siguientes propiedades: Dos matrices son similares si representan al mismo operador lineal. Si dos matrices son similares, entonces sus respectivos determinantes son iguales. Dos matrices similares tienen los mismos valores propios, y el mismo polinomio propio.

Ejemplo 4.32. Para las matrices del ejemplo 4.31, se verificarn las tres propiedades mencionadas. ! J2 3 30 4 40 5 5K

! J0 0 00 2 00 0 1K La propiedad se cumple, ya que las dos matrices se obtuvieron a partir de la regla de correspondencia del operador lineal S. Con respecto a sus determinantes det! det

! Y0 0 00 2 00 0 1Y Y2 3 30 4 40 5 5Y 0 0 Finalmente, al calcular sus polinomios caractersticos se tiene que Y 0 00 2 00 0 1Y Y 2 3 30 4 40 5 5Y 2 1 2 4 5 54 2 2 2 Por lo que se verifica que las dos matrices son similares. Diagonalizacin de la matriz asociada a un operador lineal Para diagonalizar una matriz, es necesario encontrar otra matriz que satisfaga la propiedad de similaridad nW ln Que puede expresarse tambin como W nln



Para poder resolver esta ecuacin es necesario encontrar los valores propios de A. Hay que destacar que dependiendo de la naturaleza de la matriz A, existir o no su matriz diagonal similar; con el simple hecho de obtener los valores propios no se garantiza la existencia de dicha matriz. Una vez obtenidos los valores propios, se encuentran los vectores correspondientes y se elige un conjunto a partir de ellos. Si ese conjunto es una base del espacio vectorial en el cual se define el operador, entonces la matriz A es diagonalizable; por el contrario, si el conjunto no es una base, entonces la matriz no puede diagonalizarse. Finalmente, la matriz C que ayuda en el proceso de diagonalizacin estar formada por la base de vectores propios dispuestos en columnas. Ejemplo 4.33. Se desea encontrar una matriz diagonal similar a l 4 23 1 Primero, se determina el polinomio propio de A / 4 23 1/ T 4 1 23 3 10 Por lo que los valores propios son 5 y 2. Para obtener los espacios propios se resuelven los sistemas:

Para 5, 1 23 6 * 00 y se tiene 2*, *|* . Para 2, 6 23 1* 00 y se tiene ,3| . Con un vector de cada espacio puede formarse el siguiente conjunto # 2, 1, 1, 3 Puede verificarse fcilmente que este conjunto es linealmente independiente y adems, es generador del espacio vectorial de las parejas ordenadas con elementos reales. Por lo tanto, la matriz A es diagonalizable. Para realizar dicho proceso se aplica la ecuacin W nln Donde C es la matriz formada por la base B encontrada



n 2 11 3 Finalmente, se tiene que W 2 11 3 4 23 1 2 11 3 J

K10 25 6 5 00 2 Que es la matriz diagonal buscada, y que es correcta, ya que est formada por los valores propios. Ejemplo 4.34. Se desea verificar que si las siguientes matrices asociadas a operadores lineales definidos en con sus respectivos valores caractersticos pueden diagonalizarse. = J3 1 12 2 12 2 0 K 1, 2 y 2. J2 1 12 3 23 3 4K 7, 1 y 1. Cada matriz tiene un valor propio repetido; por lo tanto, se tendrn dos espacios propios idnticos. Al obtener los espacios propios se observa lo siguiente: Para K se obtienen , 0, 2| , , , 2| Y un conjunto linealmente independiente es 1, 0, 2, 1, 1, 2; pero no es una base del espacio vectorial , por lo que la matriz K no puede diagonalizarse. Mientras que para L se tienen , 2, 3| , , *, *|, * El conjunto linealmente independiente que se puede formar es 1, 2, 3, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ya que el segundo espacio propio arrojar dos vectores por tener dos variables libres. Este conjunto es una base de ; entonces, la matriz si puede diagonalizarse: W J1 1 02 0 13 1 1K J2 1 12 3 23 3 4KJ1 1 02 0 13 1 1K



16J 1 1 15 1 12 4 2KJ 7 1 014 0 121 1 1K J7 0 00 1 00 0 1K Puede observarse que habr ocasiones en las cuales una matriz con valores propios iguales puede o no poseer una matriz diagonal similar; en cambio, si los valores propios son diferentes entre s, entonces si se asegura que la matriz puede diagonalizarse.

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