Integrante:

Julius Oviedo

CI: 25646360

1.- Convertir los siguientes puntos cartesianos en puntos en coordenadas Polares o de polaresa cartesiana. Grafique todos los puntos en el sistema de coordenadas polares. Sea explicito yorganizado en su explicación paso a paso.

Solución:

Fórmulas a usar:

r2 = x2 + y2;x = r cos(θ); y = r sin(θ); tan(θ) =y

x

a.- (0,−2). En esta caso x = 0, y = −2 entonces

r2 = (0)2 + (−2)2 = 4 ⇒ r = 2

y además

2 cos(θ) = 0 ⇒ cos(θ) = 0 ⇔ θ =π

2

Por tanto, r = 2 θ =π

2.

0 1 20

1

2 b

b

π

2

r=2

b.- (1,√3). x = 1, y =

√3 entonces

r2 = (1)2 + (√3)2 = 1 + 3 = 4 ⇒ r = 2

y

tan(θ) =

√3

1=

√3 ⇒ θ = arctan(

√3) =

π

3

Así, r = 2 y θ =π

3.

0 1 20

1

2 b

b

π

3

c.- (2, 0). x = 2, y = 0. Entonces

r2 = (2)2 + (0)2 = 4 + 0 = 4 ⇒ r = 2

y

0 = 2 sin(θ) ⇒ sin(θ) = 0 ⇒ θ = π

Así, r = 2 θ = π.

0 1 20

1

2

b b

180◦

r=2

d.- (1,−2). x = 1, y = −2 entonces

r2 = (1)2 + (−2)2 = 1 + 4 = 5 ⇒ r =√5

tan(θ) =−2

1= −2 ⇒ θ = arctan(−2) = −63,4 + 180 = 116,6

Así, r =√5 y θ = 116,6◦.

2

0 1 20

1

2

b

b

116,6◦r =√5

e.- (1, 240◦). r = 1, θ = 240◦entonces tenemos

x = 1 cos(240◦) = −1

2y y = 1 sin(240◦) = −

√

(3)

2

En consecuencia, x = −1

2y y = −

√

(3)

2.

0 1 20

1

2

b

b240◦

r=1

f.- (4, π/2). r = 4, θ = π/2 entonces tendremos

x = 4 cos(π

2) = 4(0) = 0 y y = 4 sin(

π

2) = 4(1) = 4

Por tanto, x = 0 y y = 4.

3

0 1 20

1

2

b

b

π

2

r=4

g.- (−6, π/3). Entonces r = 6, θ = π/3 de donde

x = 6 cos(π/3) = 6(1

2) = 3; y = 6 sin(π/3) = 6(

√3

2) = 3

√3

En consecuencia tenemos que x = 3 y y = 3√3. Graficamente como r = −6 y el ángulo dado es

de π/3 = 60 el ángulo equivalente sería4π

3, esto es

0 1 20

1

2

b

b

r=-6

4π

3

h.- (−3, 360◦). Entonces r = 3; θ = 360◦ de donde

x = 3 cos(360◦) = 3(1) = 3 y = 3 sin(360◦) = 3(0) = 0

Por tanto, x = 3 y y = 0.

4

0 1 20

1

2

b b

180◦

r=-3

2.- Transformar las siguientes ecuaciones:(recuerde explicar paso a paso la solución de cadatransformación)

a.- yx2 − 2x = 5y2

Solución:

Sean x = r cos(θ) y y = r sin(θ) entonces sustituyendo en la ecuación dada se tiene

(r sin(θ))(r cos(θ))2 − 2r cos(θ) = 5(r sin(θ))2 ⇔ r.r2 sin(θ) cos2(θ)− 2r cos(θ) = 5r2 sin2(θ)

⇔ r3 sin(θ) cos2(θ) − 5r2 sin2(θ)− 2r cos(θ) = 0 ⇔ r(r2 sin(θ) cos2(θ)− 5r sin2(θ) − 2 cos(θ)) = 0

⇔ r = 0, r2 sin(θ) cos2(θ)−5r sin2(θ)−2 cos(θ) = 0 ⇔ (sin(θ) cos2(θ))r2+(−5 sin2(θ))r+(−2 cos(θ)) = 0

Para determinar una expresión de r en términos de θ utilizaremos la ecuación de resolventecuadrática, es decir

r =−(−5 sin2(θ)) ±

√

(−5 sin2(θ))2 − 4 sin(θ) cos2(θ)(−2 cos(θ))

2 sin(θ) cos2(θ)

⇔ r =5 sin2(θ)±

√

25 sin4(θ) + 8 sin(θ) cos3(θ)

2 sin(θ) cos2(θ)

b.- y2x2 − x = −3. Sustituyendo respectivamente tenemos

Solución:

5

(r sin(θ))2(r cos(θ))2 − r cos(θ) = −3 ⇔ r2 sin2(θ)r2 cos2(θ)− r cos(θ) = −3

⇔ r4 sin2(θ) cos2(θ)− r cos(θ) = −3

De aca se puede observar que no se puede simplificar esta expresión o despejar la variable r.

c.- r = 4 cos(2θ).

De identidades trigonométricas de los ángulos dobles sabemos que

cos(2θ) = 2 cos2(θ)− 1

Así sustituyendo en la expresión dada se tiene

r = 4(2 cos2(θ) − 1) ⇔ r = 8 cos2(θ)− 4

Ahora bien multiplicamos por r2 en ambos lados de la expresión obtenida, esto es

r3 = 8r2 cos2(θ) − 4r2 ⇔ (r)3 = 8(r cos(θ))2 − 4(r)2

(√

x2 + y2)3 = 8x2 − 4(√

x2 + y2)2 ⇔ (x2 + y2)3/2 = 8x2 − 4(x2 + y2)

(x2 + y2)3/2 = 8x2 − 4x2 − 4y2 ⇔ (x2 + y2)3/2 = 4x2 − 4y2

d.- r = 3(1 + sin(θ))

Multiplicamos por r en ambos lados de la expresión dada, es decir,

r2 = 3r + 3r sin(θ) ⇔ x2 + y2 = 3√

x2 + y2 + 3y

Luego,

x2 + y2 − 3y = 3√

x2 + y2

3.- Encuentre el área de la región R que se encuentra fuera de la curva r = 3 cos(θ) y dentro de lacurva r = 1 + cos(θ)

Solución:

6

–1.5–1

–0.50.51

1.5

0.5

11.

52

2.5

3

Determinamos el punto de corte de las funciones dadas,

3 cos(θ) = 1 + cos(θ) ⇔ cos(θ) =1

2⇔ θ =

π

3

Calculamos inicialmente el área del cardiode desde θ = 0 a θ = π/3, es decir,

A1 =1

2

∫ π/3

0

(1 + cos(θ))2dθ =1

2

∫ π/3

0

(1 + 2 cos(θ) + cos2(θ))dθ

A1 =1

2

∫ π/3

0

(3

2+ 2 cos(θ) +

1

2cos(2θ))dθ =

1

2[3

2θ + 2 sin(θ) +

1

4sin(2θ)]

π/30

A1 =π

4+

9√3

16

Calculemos el área de θ = π/3 a θ = π/2 del círculo entonces

A2 =1

2

∫ π/2

π/3

[3 cos(θ)]2dθ =9

2

∫ π/2

π/3

cos2(θ)dθ

A2 =9

2

∫ π/2

π/3

(1

2+

1

2cos(2θ))dθ =

9

4[θ +

1

2sin(2θ)]

π/2π/3 =

3π

8−

9√3

16

El área tercera viene dada del cardiode, esto es, de θ = 0 a θ = π, por consiguiente

A3 =1

2

∫ π

0

(3

2+ 2 cos(θ) +

1

2cos(2θ))dθ =

1

2[3

2θ + 2 sin(θ) +

1

4sin(2θ)]π0 =

1

2(3π

2) =

3π

4

El área pedida viene dada por

7

AT = 2(A3 −A2 −A1) = 2(3π

4−

3π

8+

9√3

16−

π

4−

9√3

16)

AT = 2(π

8) =

π

4

4.- Encuentre el área de la región R que se encuentra fuera de la curva r = 6 cos(θ) y dentrode la curva r = 2 cos(θ) + 2.

Solución:

–3–2–10123

12

34

56

Igualamos ambas curvas dadas, esto es

6 cos(θ) = 2 cos(θ) + 2 ⇔ 4 cos(θ) = 2 ⇔ cos(θ) =1

2

⇔ θ =π

3

Ahora calcularemos el área del cardiode desde θ = 0 a θ = π/3

A1 =1

2

∫ π/3

0

(2 + 2 cos(θ))2dθ =1

2

∫ π/3

0

4(1 + cos(θ))2dθ

A1 = 2

∫ π/3

0

(1 + 2 cos(θ) + cos2(θ))dθ = 2

∫ π/3

0

(3

2+ 2 cos(θ) +

1

2cos(2θ))dθ

A1 = 2[3

2θ + 2 sin(θ) +

1

4sin(2θ)]

π/30

= 2[π

2+√3 +

√3

8] = π +

9√3

4

8

Calculemos el área de θ = π/3 a θ = π/2 del círculo entonces

A2 =1

2

∫ π/2

π/3

[6 cos(θ)]2dθ =36

2

∫ π/2

π/3

cos2(θ)dθ

A2 = 18

∫ π/2

π/3

(1

2+

1

2cos(2θ))dθ = 9[θ +

1

2sin(2θ)]

π/2π/3

A2 = 9(π

2−

π

3−

1

2sin(

2π

3)) = 9(

π

6−

√3

4) =

3π

2−

9√3

4

Ahora bien,calcularemos la mitad del área del cardiode, esto es, de θ = 0 a θ = π, porconsiguiente

A3 =1

2

∫ π

0

4(3

2+ 2 cos(θ) +

1

2cos(2θ))dθ = 2[

3

2θ + 2 sin(θ) +

1

4sin(2θ)]π

0= 2(

3π

2) = 3π

Finalmente el área pedida viene dada por

AT = 2(A3−A2−A1) = 2(3π−(π+9√3

4)−(

3π

2−9√3

4)) = 2(3π−π−

9√3

4−3π

2+9√3

4) = 2(

π

2) = π

Por tanto, AT = π

5.- Encontrar el área de la circunferencia (x− a)2 + y2 = a2, a > 0.

a.- Usando sustitución trigonométrica

b.- Usando coordenadas polares

Solución:

a.- Despejamos la variable y, esto es

y2 = a2 − (x− a)2 ⇔ y = ±√

a2 − (x− a)2, 0 ≤ x ≤ 2a

Luego planteamos la integral de área encerrada por el círculo,

A =

∫ 2a

0

(√

a2 − (x− a)2 − (−√

a2 − (x − a)2))dx =

∫ 2a

0

2√

a2 − (x− a)2dx

A = 2

∫ 2a

0

√

a2 − (x − a)2dx

Hacemos el cambio de variable por sustitución trigonométrica, x−a = a sin(θ), dx = a cos(θ)dθ

y además sin(θ) =x− a

a, θ = sen−1(

x− a

a).

Resolvemos la integral indefinida siguiente

9

2

∫

√

a2 − (x − a)2dx = 2

∫√

a2 − a2 sin2(θ)a cos(θ)dθ

2

∫

√

a2 − (x− a)2dx = 2a2∫

√

cos2(θ) cos(θ)dθ = 2a2∫

(1

2+

1

2cos(2θ))dθ

2

∫

√

a2 − (x− a)2dx = a2∫

(1 + cos(θ))dθ = a2(θ +1

2sin(2θ)) + k

2

∫

√

a2 − (x− a)2dx = a2(arcsin(x − a

a) +

x− a

a

√

a2 − (x − a)2

a) + k

Luego resolvemos la integral definida,

A = a2[arcsin(x− a

a) +

x− a

a

√

a2 − (x− a)2

a]2a0

= a2(π

2− (−

π

2)) = a2(

π

2+

π

2) = πa2

b.-

(r cos(θ)− a)2 + r2 sin2(θ) = a2 ⇔ r2 cos2(θ) + r2 sin2(θ) − 2ar cos(θ) + a2 = a2

r2 − 2ar cos(θ) = 0 ⇔ r(r − 2a cos(θ)) = 0 ⇔ r = 0, r = 2 cos(θ)

Por tanto,

A =1

2(2

∫ π/2

0

[2a cos(θ)]2dθ) = 4a2∫ π/2

0

(1

2+

1

2cos(2θ))dθ

A = 2a2[θ +1

2sin(2θ)]

π/20

= 2a2(π

2) = πa2

10